Rèn luyện cho học sinh kĩ năng tính thể tích khối đa diện_SKKN toán THPT

Với mong muốn các học sinh của mình sẽ làm tốt câu IV trong các kỳ thi ĐH, tôi mạnh dạn đưa ra sáng kinh nghiệm:“ RÈN LUYỆN CHO HỌC SINH KỸ NĂNG TÍNH THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN”.. CƠ SỞ LÝ LU

A - ĐẶT VẤN ĐỀ:

Trong đề thi Đại học các khối A, B và D những năm gần đây, câu IV trong

đề thi là câu ở mức (điểm 7) Hầu hết các học sinh ở các trường THPT, nhất là học sinh học ở các trường miền núi thường rất ngại câu này Trong thực tế giảng dạy tôi thấy, muốn cho học sinh đạt được điểm 7 trở lên trong các kỳ thi ĐH thì phải hướng dẫn các em học tốt các nội dung trong câu IV Một phần kiến thức rất quan trọng trong phần này là: Tính thể tích khối đa diện Với mong muốn các học sinh của mình sẽ làm tốt câu IV trong các kỳ thi ĐH, tôi mạnh dạn đưa ra

sáng kinh nghiệm:“ RÈN LUYỆN CHO HỌC SINH KỸ NĂNG TÍNH THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN” Nội dung sáng kiến kinh nghiệm gồm 3 phần:

Phần I: Các kiến thức cơ bản cần nhớ.

Phần II: Kỹ năng phân tích đề, từ đó hình thành kỹ năng vẽ hình và tự giải quyết vấn đề.

Phần III: Các ví dụ minh chứng và bài tập tự luyện.

Do khả năng còn hạn chế và kinh nghiệm chưa nhiều nên trong SKKN của tôi có thể có những phần chưa hoàn chỉnh Rất mong được sự đóng góp quí báu của quí thầy cô

Tôi xin chân thành cảm ơn!

B GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ:

I CƠ SỞ LÝ LUẬN CỦA VẤN ĐỀ

1/ Một học sinh không thể học hình học không gian tốt nếu các kiến thức về hình

học phẳng không tốt

2/ Một học sinh không thể học hình học không gian tốt nếu không có kỹ năng

phân tích đề, không có kỹ năng vẽ hình và khả năng tự giải quyết vấn để

……

II THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ

1/ Thực trạng chung: Hầu hết các học sinh có cảm giác sợ hình và ngại học hình,

nhất là “hình học không gian”

2/ Thực trạng đối với giáo viên: Do đây là phần kiến thức khó dạy, học sinh lại

không muốn học, vì vậy một số giáo viên không mặn mà khi dạy phần kiến thức này

3/ Thực trạng đối với học sinh: Hầu hết học sinh chưa có cách học tốt khi gặp

phần kiến thức này và luôn có cảm giác “sợ học hình không gian” Vì vậy hầu hết các em đều học chưa tốt phần kiến thức này

III GIẢI PHÁP VÀ TỔ CHỨC THỰC HIỆN

1/ Trang bị lại cho học sinh các kiến thức cơ bản nhất, cần thiết nhất của hình học phẳng nhằm học tốt nội dung này.

Ví dụ như:

• Các công thức tính diện tích tam giác, tứ giác, đa giác

• Định lí sin, định lí côsin, công thức tính độ dài đường trung tuyến trong tam giác, …

• Các tính chất trong tam giác vuông, trong tam giác đều, trong hình vuông, trong hình thoi, …

2/ Trang bị cho học sinh các kiến thức cơ bản nhất về các khối đa diện, nhất

là các khối đa diện đặc biệt và kỹ năng vẽ các hình đó.

Ví dụ:

Khi nhắc đến “hình chóp tam giác đều” thì trong đầu chúng ta hiện lên những tính chất gì? Cách vẽ hình như thế nào?

Khi nhắc đến “hình chóp tứ giác đều” thì trong đầu chúng ta hiện lên những tính chất gì? Cách vẽ hình như thế nào?

…

3/ Trang bị cho học sinh kỹ năng tự đặt câu hỏi và tự trả lời câu hỏi.

3.1/ Câu hỏi 1: Có sử dụng được trực tiếp công thức tính thể tích không?

(trong các đê thi ĐH, đối với bài toán tính thể tích khối đa diện thì có đến 90% bài toán chỉ cần sau câu hỏi này học sinh đã thực hiện được)

*/ Ta hướng dẫn học sinh như sau:

A - Phải nhớ được công thức tính thể tích khối đa diện:

+/ Công thức tính thể tích khối chóp:

V S.h

3

1

= Trong đó: S- là diện tích mặt đáy; h - là chiều cao của hình chóp

+/ Công thức tính thể tích khối lăng trụ:

V =S.h

Trong đó: S- là diện tích mặt đáy; h - là chiều cao của khối lăng trụ

Như vậy để làm được bài toán theo cách này thì ta cần phải tính được 2 yếu tố:

Một là: Với giả thiết bài cho ta phải tính được diện tích đáy

Hai là: Ta phải xác định được chính xác chiều cao của hình chóp, muốn vậy

B - Một số lưu ý khi xác định chân đường cao hạ từ đỉnh của hình chóp:

 Hình chóp có các cạnh bên bằng nhau (hoặc các cạnh bên hợp với đáy những góc bằng nhau) thì chân đường cao là tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy

 Hình chóp có các mặt bên tạo với đáy những góc bằng nhau thì chân đường cao là tâm đường tròn nội tiếp đa giác đáy

 Hình chóp có một mặt bên vuông góc với đáy thì chân đường cao nằm trên giao tuyến của mặt phẳng đó với mặt đáy (là hình chiếu của đỉnh lên giao tuyến đó)

 Hình chóp có hai cạnh bên kề nhau cùng vuông góc với đáy thì đường cao của nó chính là giao tuyến của hai mặt phẳng đó

C - Một số ví dụ minh hoạ:

Ví dụ 1 Tính thể tích khối tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a

*/ Cách thức mà trong thực tế bản thân đã làm:

 Yêu cầu từng học sinh đứng tại chỗ nêu lên những tính chất nổi bật của tứ diện đều mà em nhìn thấy được

(Giáo viên ghi lần lượt các tính chất đó của từng học sinh sau đó đưa ra kết luận cho phần này rồi yêu cầu tất cả các học sinh ghi vào vở)

 Yêu cầu học sinh nêu lên cách vẽ một tứ diện đều và lên bảng thực hiện

+/ Giáo viên nhấn mạnh lại những thao tác cơ bản nhất:

1 Vẽ đáy trước(nêu lên cách vẽ)

2 Xác định chân đường cao hạ từ đỉnh

3 Dựng đường cao(nêu lên cách dựng)

4 Vẽ các cạnh bên, hoàn thiện hình.

 Yêu cầu học sinh trả lời câu hỏi: Ta có thể áp dụng trực tiếp công thức tính thể tích để tính thể tích khối tứ diện đều không?

 Yêu cầu học sinh chỉ ra đâu là đáy, đâu là chiều cao và cách tính các đại lượng đó

+/ Tính diện tích tam giác BCD theo nhiều cách:

4

3

2

BM CD

S∆BCD = =

+/ Tính chiều cao AG bằng cách gắn AG

vào tam giác vuông AGB

6

2

; 3

3 3

AG

a BM

+/ Ta tính được thể tích:

2

12

2 6

2 4

3 3

1

a a

a



















=

 Với hướng dẫn trên, giáo viên yêu cầu học sinh lên bảng thực hiện chi tiết lời giải sau đó giáo viên yêu cầu các học sinh khác chấm điểm Sau cùng là giáo viên đưa ra kết luận

Ví dụ 2 Tính thể tích khối chóp tam giác đều S ABC có cạnh đáy bằng a

trong các trường hợp sau:

a) Cạnh bên bằng a 2

b) Góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 60 0

c) Góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng 60 0

 Với cách thực hiện như ví dụ 1 thì nhiều học sinh đã làm quen dần với

cách nghĩ, cách làm khi gặp bài toán tính thể tích khối đa diện.

 Tiếp tục giáo viên hướng dẫn học sinh làm các ví dụ sau:

C

A

D – Bài tập:

Bài 1: Tính thể tích khối chóp tam giácS ABC, biết SA⊥mp (ABC) trong các trường hợp sau:

a) Tam giác ABC vuông cân tại B, cạnh AB =a và góc giữa SC với mặt đáy bằng 45 0

b) Tam giác ABC vuông cân tại B, cạnh AB =a và góc giữa mặt SBC với mặt đáy bằng 45 0

c) Tam giác ABC vuông cân tại B, mặt phẳng SBC với mặt đáy bằng 60 0 và tam giác SBC có diện tích bằng a2

Bài 2: Tính thể tích khối chóp tứ giác đều S ABCD có cạnh đáy bằng a trong các trường hợp sau:

a) Cạnh bên bằng a 2

b) Góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 60 0

c) Góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng 60 0

Bài 3: Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C', mặt phẳng A' BC tạo với đáy một góc 30 0 và tam giác A' BC có diện tích bằng 8 Tính thể tích khối lăng trụ

Bài 4:(Đại học khối A năm 2009)

Cho hình chóp S ABCD, đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D;

a CD a AD

AB = = 2 , = Góc giữa hai mặt phẳng (SBC)và (ABCD) bằng 60 0 Gọi I là trung điểm của AD Biết hai mặt phẳng (SBI) và (SCI) cùng vuông góc với mp (ABCD) Tính thể tích khối chóp S ABCD

Bài 5:(Đại học khối B năm 2009)

Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có BB' =a Góc giữa đường thẳng '

BB và mp (ABC) bằng 60 0; tam giác ABC vuông tại C và góc BAC bằng 60 0 Hình chiếu vuông góc của đỉnh B' lên mp (ABC) trùng với trọng tâm của tam giác ABC Tính thể tích khối chóp A' ABC theo a

3.2/ Câu hỏi 2: Có thể bổ sung thêm hoặc chia nhỏ khối đa diện cần tính thể tích thành nhiều khối đa diện đơn giản hơn được không?

A/ Mở đầu: Có một số khối đa diện nếu ta tính trực tiếp thể tích của nó thì sẽ

gặp nhiều khó khăn, nhưng nếu chúng ta bổ sung thêm hoặc phân chia khối đa diện đó thành nhiều khối đa diện thì việc tính thể tích lại đơn giản hơn Đây là một kỹ năng rất cần thiết đối với học sinh

B/ Các ví dụ:

Ví dụ 1 Cho hình vuông ABCD cạnh a, các nửa đường thẳng Bx, Dy vuông góc với mp (ABCD) và ở cùng một phía đối với mặt phẳng ấy Lấy điểm

Dy N

Bx

M∈ , ∈ Đặt BM = x,DN = y Tính thể tích tứ diện ACMN theo

a

y

x, ,

 Yêu cầu học sinh lên bảng vẽ hình, học sinh khác nhận xét, giáo viên đưa

ra kết luận cuối cùng

C D

x y

N

M

I

 Yêu cầu học sinh nêu lên những hiểu biết của mình về tứ diện ACMN

 Yêu cầu học sinh chọn một mặt nào đó của tứ diện làm mặt đáy và áp dụng công thức tính thể tích khối chóp

(Với yêu cầu này thì học sinh gặp khó khăn)

Giáo viên gợi ý: Gọi I là trung điểm của AC, các em có nhận xét gì về mối quan hệ giữa đường thẳng AC và mp (MIN)?

(Câu trả lời mong muốn: AC ⊥(MIN))

 Yêu cầu học sinh tính thể tích tứ diện AMNI theo x, y,a

 Yêu cầu học sinh tính thể tích tứ diện CMNI theo x, y, a

6

3

y x

a

Với cách khai thác như trên, học sinh đã phần nào hình thành cho mình cách suy nghĩ khi gặp bài toán tính thể tích của khối đa diện là: Có thể phân chia khối đa diện cần tính thể tích thành nhiều khối đa diện đơn giản hơn được không?

Ví dụ 2 Cho tứ diện ABCD có các cặp cạnh đối bằng nhau AB =CD =a,

, AD BC c b

BD

Hướng dẫn:

+/ Dựng tam giác PQR sao cho

D

C

B, , lần lượt là trung điểm

của PQ, QR, RP

4

1

∆

∆

∆

∆ =S = S = S

S DCR BCQ BDP

Suy ra S∆ABC = S∆PQR

4 1

A

D P

Q

R

+/ AD BC PR

2

1

=

= ; D là trung điểm của PR Suy ra: AR ⊥ AP

+/ Hoàn toàn tương tự, ta cũng chứng minh được: AP ⊥AQ; AR ⊥ AQ

12

2 R 24

1 4

1

.

C/ Bài tập:

Bài 1: Cho hình chóp S ABC có tất cả các góc phẳng ở đỉnh A và Bđều bằng α , AB = a Tính thể tích khối chóp S ABC

Đáp số:

2 cos sin

2 sin cos 12

2 2

2

V

Bài 2: Cho tứ diện ABCD có MN là đoạn vuông góc chung của AB và CD a/ Chứng minh rằng, nếu AB ⊥CD thì thể tích của tứ diện ABCD là:

V .AB.CD.MN

6

1

= b/ Chứng minh rằng, nếu góc giữa hai đường thẳng AB và CD bằng α thì thể

tích của tứ diện ABCD là: sinα

6

1

MN CD AB

V =

3.3/ Câu hỏi 3: Có thể sử dụng công thức về tỉ lệ thể tích được không?

A/ Lí thuyết: Một số kiến thức cần nhớ:

1 Tỉ số diện tích:

a/ Cho tam giác ABC, B' là điểm nằm giữa A và B Khi đó ta có:

B B

AB S

S AB

B B S

S AB

AB S

S

BC B

C AB ABC

BC B ABC

C

AB

'

'

;

'

; '

'

' '

∆

∆

∆

∆

∆

∆

A

B’

b/ Cho tam giác ABC, B' là điểm nằm giữa A và B, C' là điểm nằm giữa A

và C Khi đó ta có:

AC AB

AC AB S

S

ABC

C

AB

.

' '.

'

' =

∆

∆

2 Tỉ số thể tích:

a/ Cho hình chóp tam giác S ABC, A' là một điểm bất kỳ nằm giữa S và A Khi đó ta có: V V SA SA V V A SA A V V A SA A

ABC A

BC A S ABC

S

ABC A ABC

S

BC A S

'

'

;

'

; '

'.

'

.

'.

.

'

b/ Cho hình chóp tam giác S ABC,

'

A là một điểm bất kỳ nằm giữa S

và A, B' là một điểm bất kỳ nằm

giữa S và B Khi đó ta có: V V SA SA SB SB

ABC S

BC A S

.

' '.

.

' =

A

A

B

C

S

A’

B’

B

C

S

A’

A’

c/ Cho hình chóp tam giác S ABC,

'

A là một điểm bất kỳ nằm giữa S

và A, B' là một điểm bất kỳ nằm

giữa S và B và C' là một điểm bất

kỳ nằm giữa S và C

Khi đó ta có: V V SA SA SB SB SC SC

ABC S

BC A S

.

' '.

'.

.

' =

B/ Các ví dụ:

1/ Ví dụ 1: Cho hình chóp tam giác đều SABC có cạnh AB =a. Các cạnh bên

SC

SB

SA, , tạo với đáy một góc bằng 60 0 Gọi D là giao điểm của SA với mặt phẳng qua BC và vuông góc với SA

a/ Tính tỉ số thể tích của hai khối chóp S DBC và S ABC

b/ Tính thể tích của khối chóp S DBC

Giáo viên yêu cầu học sinh:

*/ Yêu cầu học sinh lên bảng vẽ hình

*/ Tính tỉ số

ABC S

DBC S

V

V

.

(kết quả mong muốn: V V SD SA AD SA

ABC S

DBC

.

.

)

*/ Chỉ ra góc giữa cạnh bên và mặt phẳng đáy (kết quả mong muốn: góc SAI

)

*/ Tính AD, SA theo các yếu tố đã biết?

Kết quả mong muốn:

0

0

60 cos 3

2

; 60 cos

AI SA

AI

*/ Vậy tỉ số

ABC S

DBC S

V

V

.

.

bằng bao nhiêu?

Kết quả mong muốn: V S.DBC = 5

A

B

C

S

A’

B’

C’

B

C

S

D

A’

I H

B/ Bài tập:

Bài 1: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành M là trung điểm của SC, mặt phẳng (P) chứa AM và song song với BD chia hình chóp thành hai phần Tính tỉ số thể tích của hai hình đó?

Giáo viên hướng dẫn:

*/ Công thức tỉ lệ thể tích chỉ áp dụng được cho khối chóp tam giác

' '

' '

⇒

∩

=

∩

=

M B D ABCD

MD AB S

V

V P

SD D P SB B

Bài 2: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a,

α

=

⊥ (ABCD), (SC, (SAB))

khối chóp thành hai phần Tính tỉ số thể tích hai phần đó

Bài 3: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông tại

B, AB= a, AA' = 2a, A'C = 3a Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng A 'C' I là giao điểm của AM và A' C Tính V I.ABC theo a

Đáp số:

9

4a3

V IABC =

Bài 4: Cho tứ diện ABCD có góc ∠ABC = ∠BAD = 90 0 , ∠CAD = 120 0 , AB = a,

a AD a

AC = 2 , = 3 Tính V ABCD?

Đáp số:

2

.

2 3

a

3.4/ Câu hỏi 4: Có thể sử dụng phương pháp tọa độ được không?

A/ Mở đầu:

Trong đê thi Đại học hiện nay ít khi sử dụng được phương pháp này nhưng chúng ta cần trang bị cho học sinh cách này vì đây là phần kiến thức khá bổ ích trong các kỳ thi

Để áp dụng được cách này, giáo viên cần hướng dẫn học sinh cách chọn

hệ trục tọa độ thích hợp Muốn vậy, học sinh phải nắm vững tính chất của các hình không gian

B/ Ví dụ: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình thoi,

AC BD

AC = 4 , = 2 , cắt BD tại O,SO ⊥ (ABCD), SA= 2 2 Gọi M là trung điểm của SC , ABM( )cắt SD tại N Tính thể tích khối chóp S ABMN

*/ Giáo viên yêu cầu học sinh làm các công việc sau:

1 Chọn hệ trục tọa độ Oxyz(kết quả mong muốn: O ≡ I, i cùng hướng với OA

; j cùng hướng với OB; k cùng hướng với OS)

2 Chỉ ra tọa độ của các điểm có liêm quan:

C

S

D

M N

z

3 Nêu công thức tính thể tích thể tích

của một tứ diện(biểu thức tọa độ)

4 Nêu lên cách tính thể tích khối chóp S ABMN

Kết quả mong muốn: V S.ABMN =V S.ABM +V S.AMN

5 Tính thể tích tứ diện: S.ABM; S.AMN

, 6

1 = SA SM SB =

[ ] 32

, 6

1 = SA SM SN =

6 Tính thể tích khối chóp S ABMN(Kết quả mong muốn: V S.ABMN= 2

*/ Giáo viên yêu cầu học sinh về nhà làm theo cách khác.

C/ Bài tập:

Bài 1: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có AB = a. AD =b, AA' = c

a/ Tính thể tích tứ diện A ''C BD

b/ Gọi M là trung điểm của CC' Tính thể tích khối chóp MA' BD

Đáp số: a/ V A C BD abc

3

1 ' ' = ; b/ V MA BD abc

4

1

Bài 2: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có AB =a, AC = 2a, AA' = 2 5 a,

0

120

=

∠BAC Gọi M là trung điểm của cạnh CC'

Tính thể tich khối chóp A '.A MB

Đáp số:

3

.

15 3 '

.

a

Với cách làm trên tôi đã giảng dạy tại lớp 12A1 và 12CA4, còn tại hai lớp 12A2 và 12CA3 tôi dạy theo cách cũ Tôi thấy, với cách hướng dẫn học sinh cách suy nghĩ, cách tự đặt câu hỏi, tự trả lời những câu hỏi của mình trong quá trình làm một bài toán nói chung và nhất là trong bài hình học sẽ làm cho học sinh có cảm giác không sợ khi gặp bài toán hình học tổng hợp Với cách làm đó Tôi thấy học sinh học hình học tổng hợp tốt hơn nhiều so với những lớp vẫn dạy theo cách truyền thụ một chiều, học sinh làm nhiều rồi quen Cụ thể như sau:

Qua hai lần kiểm tra đối chứng, thu được kết quả sau:

12A1 Lần kiểm tra 1Lần kiểm tra 2 50 116 1625 2413 41 00 12CA4 Lần kiểm tra 1Lần kiểm tra 2 50 28 1220 2618 104 00

C KẾT LUẬN

Như vậy trong thực tiễn dạy học Tôi thấy, việc hướng dẫn cho

học sinh cách suy nghĩ: Tự đặt câu hỏi - tự giải quyết vấn đề, Giáo viên

chỉ làm cố vấn trong quá trình học sinh thực hiện Khi làm tốt được điều

này, Tôi thấy học sinh có tiến bộ rõ rệt trong tư duy nói chung và nhất là

trong tư duy hình học

Thực tiễn giảng dạy ở trường THPT Cẩm Thuỷ 1, tôi được Nhà

trường giao cho giảng dạy 4 lớp: 12A1, 12A2, 12CA3 và 12CA4 Tôi đã

áp dụng tổ chức cho học sinh trong hai lớp 12A1 và 12CA4 học tập theo

cách trên Sau quá trình giảng dạy trong năm học 2011 – 2012, tôi thấy

khả năng tư duy và giải quyết vấn đề của học sinh ở hai lớp 12A1 và

12CA4 được phát triển lên một bước Cụ thể, sau hai bài kiểm tra cho 4

lớp với chất lượng đề như nhau tôi thấy hai lớp 12A1 và 12CA4 có kết

quả cao hơn hẳn so với hai lớp 12A2 và 12CA3, đặc biệt là khả năng giải

quyết những vấn đề khó trong hình học

Trong chuyên đề này, không thể tránh khỏi mhững thiếu sót và hạn

chế Rất mong được sự góp ý của quý bạn đọc, các thầy cô giáo, các bạn

đồng nghiệp và các em học sinh để chuyên đề này được hoàn thiện hơn

Tôi xin chân thành cảm ơn!