Rèn luyện cho học sinh kĩ năng tính thể tích khối đa diện
Sáng kiến kinh nghiệm Tính thể tích khối đa diện A - ĐẶT VẤN ĐỀ: Trong đề thi Đại học các khối A, B và D những năm gần đây, câu IV trong đề thi là câu ở mức (điểm 7). Hầu hết các học sinh ở các trường THPT, nhất là học sinh học ở các trường miền núi thường rất ngại câu này. Trong thực tế giảng dạy tôi thấy, muốn cho học sinh đạt được điểm 7 trở lên trong các kỳ thi ĐH thì phải hướng dẫn các em học tốt các nội dung trong câu IV. Một phần kiến thức rất quan trọng trong phần này là: Tính thể tích khối đa diện. Với mong muốn các học sinh của mình sẽ làm tốt câu IV trong các kỳ thi ĐH, tôi mạnh dạn đưa ra sáng kinh nghiệm:“ RÈN LUYỆN CHO HỌC SINH KỸ NĂNG TÍNH THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN”. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm gồm 3 phần: Phần I: Các kiến thức cơ bản cần nhớ. Phần II: Kỹ năng phân tích đề, từ đó hình thành kỹ năng vẽ hình và tự giải quyết vấn đề. Phần III: Các ví dụ minh chứng và bài tập tự luyện. Do khả năng còn hạn chế và kinh nghiệm chưa nhiều nên trong SKKN của tôi có thể có những phần chưa hoàn chỉnh. Rất mong được sự đóng góp quí báu của quí thầy cô. Tôi xin chân thành cảm ơn! …………………………………………………………………………………………. Giáo viên: Trịnh Ngọc Bình Trường THPT Cẩm Thuỷ 1 1 Sáng kiến kinh nghiệm Tính thể tích khối đa diện B. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ: I. CƠ SỞ LÝ LUẬN CỦA VẤN ĐỀ 1/ Một học sinh không thể học hình học không gian tốt nếu các kiến thức về hình học phẳng không tốt. 2/ Một học sinh không thể học hình học không gian tốt nếu không có kỹ năng phân tích đề, không có kỹ năng vẽ hình và khả năng tự giải quyết vấn để. …… II. THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ 1/ Thực trạng chung: Hầu hết các học sinh có cảm giác sợ hình và ngại học hình, nhất là “hình học không gian” 2/ Thực trạng đối với giáo viên: Do đây là phần kiến thức khó dạy, học sinh lại không muốn học, vì vậy một số giáo viên không mặn mà khi dạy phần kiến thức này. 3/ Thực trạng đối với học sinh: Hầu hết học sinh chưa có cách học tốt khi gặp phần kiến thức này và luôn có cảm giác “sợ học hình không gian”. Vì vậy hầu hết các em đều học chưa tốt phần kiến thức này. III. GIẢI PHÁP VÀ TỔ CHỨC THỰC HIỆN. 1/ Trang bị lại cho học sinh các kiến thức cơ bản nhất, cần thiết nhất của hình học phẳng nhằm học tốt nội dung này. Ví dụ như: • Các công thức tính diện tích tam giác, tứ giác, đa giác. • Định lí sin, định lí côsin, công thức tính độ dài đường trung tuyến trong tam giác, … • Các tính chất trong tam giác vuông, trong tam giác đều, trong hình vuông, trong hình thoi, … …………………………………………………………………………………………. Giáo viên: Trịnh Ngọc Bình Trường THPT Cẩm Thuỷ 1 2 Sáng kiến kinh nghiệm Tính thể tích khối đa diện 2/ Trang bị cho học sinh các kiến thức cơ bản nhất về các khối đa diện, nhất là các khối đa diện đặc biệt và kỹ năng vẽ các hình đó. Ví dụ: Khi nhắc đến “hình chóp tam giác đều” thì trong đầu chúng ta hiện lên những tính chất gì? Cách vẽ hình như thế nào? Khi nhắc đến “hình chóp tứ giác đều” thì trong đầu chúng ta hiện lên những tính chất gì? Cách vẽ hình như thế nào? … 3/ Trang bị cho học sinh kỹ năng tự đặt câu hỏi và tự trả lời câu hỏi. 3.1/ Câu hỏi 1: Có sử dụng được trực tiếp công thức tính thể tích không? (trong các đê thi ĐH, đối với bài toán tính thể tích khối đa diện thì có đến 90% bài toán chỉ cần sau câu hỏi này học sinh đã thực hiện được) */ Ta hướng dẫn học sinh như sau: A - Phải nhớ được công thức tính thể tích khối đa diện: +/ Công thức tính thể tích khối chóp: hSV . 3 1 = Trong đó: S - là diện tích mặt đáy; h - là chiều cao của hình chóp. +/ Công thức tính thể tích khối lăng trụ: hSV .= Trong đó: S - là diện tích mặt đáy; h - là chiều cao của khối lăng trụ. Như vậy để làm được bài toán theo cách này thì ta cần phải tính được 2 yếu tố: Một là: Với giả thiết bài cho ta phải tính được diện tích đáy Hai là: Ta phải xác định được chính xác chiều cao của hình chóp, muốn vậy ta cần phải xác định chính xác chân đường cao hạ từ đỉnh của hình chóp. …………………………………………………………………………………………. Giáo viên: Trịnh Ngọc Bình Trường THPT Cẩm Thuỷ 1 3 Sáng kiến kinh nghiệm Tính thể tích khối đa diện B - Một số lưu ý khi xác định chân đường cao hạ từ đỉnh của hình chóp: Hình chóp có các cạnh bên bằng nhau (hoặc các cạnh bên hợp với đáy những góc bằng nhau) thì chân đường cao là tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy. Hình chóp có các mặt bên tạo với đáy những góc bằng nhau thì chân đường cao là tâm đường tròn nội tiếp đa giác đáy. Hình chóp có một mặt bên vuông góc với đáy thì chân đường cao nằm trên giao tuyến của mặt phẳng đó với mặt đáy (là hình chiếu của đỉnh lên giao tuyến đó). Hình chóp có hai cạnh bên kề nhau cùng vuông góc với đáy thì đường cao của nó chính là giao tuyến của hai mặt phẳng đó. . . . C - Một số ví dụ minh hoạ: Ví dụ 1 Tính thể tích khối tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a . */ Cách thức mà trong thực tế bản thân đã làm: Yêu cầu từng học sinh đứng tại chỗ nêu lên những tính chất nổi bật của tứ diện đều mà em nhìn thấy được. (Giáo viên ghi lần lượt các tính chất đó của từng học sinh sau đó đưa ra kết luận cho phần này rồi yêu cầu tất cả các học sinh ghi vào vở) Yêu cầu học sinh nêu lên cách vẽ một tứ diện đều và lên bảng thực hiện. +/ Giáo viên nhấn mạnh lại những thao tác cơ bản nhất: 1. Vẽ đáy trước(nêu lên cách vẽ) 2. Xác định chân đường cao hạ từ đỉnh 3. Dựng đường cao(nêu lên cách dựng) 4. Vẽ các cạnh bên, hoàn thiện hình. Yêu cầu học sinh trả lời câu hỏi: Ta có thể áp dụng trực tiếp công thức tính thể tích để tính thể tích khối tứ diện đều không? …………………………………………………………………………………………. Giáo viên: Trịnh Ngọc Bình Trường THPT Cẩm Thuỷ 1 4 Sáng kiến kinh nghiệm Tính thể tích khối đa diện Yêu cầu học sinh chỉ ra đâu là đáy, đâu là chiều cao và cách tính các đại lượng đó. +/ Tính diện tích tam giác BCD theo nhiều cách: 4 3 . 2 1 2 a BMCDS BCD == ∆ +/ Tính chiều cao AG bằng cách gắn AG vào tam giác vuông AGB 6 2 ; 3 3 3 2 a AG a BMBG === +/ Ta tính được thể tích: 3 2 12 2 6 2 4 3 3 1 a aa V = = Với hướng dẫn trên, giáo viên yêu cầu học sinh lên bảng thực hiện chi tiết lời giải sau đó giáo viên yêu cầu các học sinh khác chấm điểm. Sau cùng là giáo viên đưa ra kết luận. Ví dụ 2 Tính thể tích khối chóp tam giác đều ABCS. có cạnh đáy bằng a trong các trường hợp sau: a) Cạnh bên bằng 2a . b) Góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 0 60 . c) Góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng 0 60 . Với cách thực hiện như ví dụ 1 thì nhiều học sinh đã làm quen dần với cách nghĩ, cách làm khi gặp bài toán tính thể tích khối đa diện. Tiếp tục giáo viên hướng dẫn học sinh làm các ví dụ sau: …………………………………………………………………………………………. Giáo viên: Trịnh Ngọc Bình Trường THPT Cẩm Thuỷ 1 5 C A B D G M Sáng kiến kinh nghiệm Tính thể tích khối đa diện D – Bài tập: Bài 1: Tính thể tích khối chóp tam giác ABCS. , biết )(ABCmpSA ⊥ trong các trường hợp sau: a) Tam giác ABC vuông cân tại B , cạnh aAB = và góc giữa SC với mặt đáy bằng 0 45 . b) Tam giác ABC vuông cân tại B , cạnh aAB = và góc giữa mặt SBC với mặt đáy bằng 0 45 . c) Tam giác ABC vuông cân tại B , mặt phẳng SBC với mặt đáy bằng 0 60 và tam giác SBC có diện tích bằng 2 a . Bài 2: Tính thể tích khối chóp tứ giác đều ABCDS. có cạnh đáy bằng a trong các trường hợp sau: a) Cạnh bên bằng 2a . b) Góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 0 60 . c) Góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng 0 60 . Bài 3: Cho lăng trụ tam giác đều '''. CBAABC , mặt phẳng BCA' tạo với đáy một góc 0 30 và tam giác BCA' có diện tích bằng 8 . Tính thể tích khối lăng trụ. Bài 4:(Đại học khối A năm 2009) Cho hình chóp ABCDS. , đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D ; aCDaADAB === ,2 . Góc giữa hai mặt phẳng )(SBC và )(ABCD bằng 0 60 . Gọi I là trung điểm của AD . Biết hai mặt phẳng )(SBI và )(SCI cùng vuông góc với )(ABCDmp . Tính thể tích khối chóp ABCDS. . …………………………………………………………………………………………. Giáo viên: Trịnh Ngọc Bình Trường THPT Cẩm Thuỷ 1 6 Sáng kiến kinh nghiệm Tính thể tích khối đa diện Bài 5:(Đại học khối B năm 2009) Cho hình lăng trụ tam giác '''. CBAABC có aBB =' . Góc giữa đường thẳng 'BB và )(ABCmp bằng 0 60 ; tam giác ABC vuông tại C và góc BAC bằng 0 60 . Hình chiếu vuông góc của đỉnh 'B lên )(ABCmp trùng với trọng tâm của tam giác ABC . Tính thể tích khối chóp ABCA'. theo a . 3.2/ Câu hỏi 2: Có thể bổ sung thêm hoặc chia nhỏ khối đa diện cần tính thể tích thành nhiều khối đa diện đơn giản hơn được không? A/ Mở đầu: Có một số khối đa diện nếu ta tính trực tiếp thể tích của nó thì sẽ gặp nhiều khó khăn, nhưng nếu chúng ta bổ sung thêm hoặc phân chia khối đa diện đó thành nhiều khối đa diện thì việc tính thể tích lại đơn giản hơn. Đây là một kỹ năng rất cần thiết đối với học sinh. B/ Các ví dụ: Ví dụ 1 Cho hình vuông ABCD cạnh a , các nửa đường thẳng DyBx, vuông góc với )(ABCDmp và ở cùng một phía đối với mặt phẳng ấy. Lấy điểm DyNBxM ∈∈ , . Đặt yDNxBM == , . Tính thể tích tứ diện ACMN theo ayx ,, . Yêu cầu học sinh lên bảng vẽ hình, học sinh khác nhận xét, giáo viên đưa ra kết luận cuối cùng. …………………………………………………………………………………………. Giáo viên: Trịnh Ngọc Bình Trường THPT Cẩm Thuỷ 1 7 A B C D x y N M I Sáng kiến kinh nghiệm Tính thể tích khối đa diện Yêu cầu học sinh nêu lên những hiểu biết của mình về tứ diện ACMN Yêu cầu học sinh chọn một mặt nào đó của tứ diện làm mặt đáy và áp dụng công thức tính thể tích khối chóp. (Với yêu cầu này thì học sinh gặp khó khăn) Giáo viên gợi ý: Gọi I là trung điểm của AC , các em có nhận xét gì về mối quan hệ giữa đường thẳng AC và )(MINmp ? (Câu trả lời mong muốn: )(MINAC ⊥ ) Yêu cầu học sinh tính thể tích tứ diện AMNI theo ayx ,, . Yêu cầu học sinh tính thể tích tứ diện CMNI theo ayx ,, . Đáp số: )( 6 3 yx a V += Với cách khai thác như trên, học sinh đã phần nào hình thành cho mình cách suy nghĩ khi gặp bài toán tính thể tích của khối đa diện là: Có thể phân chia khối đa diện cần tính thể tích thành nhiều khối đa diện đơn giản hơn được không? Ví dụ 2 Cho tứ diện ABCD có các cặp cạnh đối bằng nhau aCDAB == , ., cBCADbBDAC ==== Tính thể tích tứ diện ABCD . Hướng dẫn: +/ Dựng tam giác PQR sao cho DCB ,, lần lượt là trung điểm của RPQRPQ ,, +/ PQR 4 1 ∆∆∆∆ === SSSS BDPBCQDCR Suy ra PQRABC SS ∆∆ = 4 1 …………………………………………………………………………………………. Giáo viên: Trịnh Ngọc Bình Trường THPT Cẩm Thuỷ 1 8 A B C D P Q R Sáng kiến kinh nghiệm Tính thể tích khối đa diện +/ PRBCAD 2 1 == ; D là trung điểm của PR . Suy ra: APR ⊥A . +/ Hoàn toàn tương tự, ta cũng chứng minh được: AQRAQ;P ⊥⊥ AA +/ abcAAQAPVV PQRABCDA 12 2 R 24 1 4 1 === C/ Bài tập: Bài 1: Cho hình chóp ABCS. có tất cả các góc phẳng ở đỉnh A và B đều bằng α , aAB = . Tính thể tích khối chóp ABCS. . Đáp số: 2 cossin. 2 sin. cos12 22 2 3 α α α α −= a V Bài 2: Cho tứ diện ABCD có MN là đoạn vuông góc chung của AB và CD . a/ Chứng minh rằng, nếu CDAB ⊥ thì thể tích của tứ diện ABCD là: MNCDABV 6 1 = b/ Chứng minh rằng, nếu góc giữa hai đường thẳng AB và CD bằng α thì thể tích của tứ diện ABCD là: α sin 6 1 MNCDABV = 3.3/ Câu hỏi 3: Có thể sử dụng công thức về tỉ lệ thể tích được không? A/ Lí thuyết: Một số kiến thức cần nhớ: 1. Tỉ số diện tích: a/ Cho tam giác ABC , 'B là điểm nằm giữa A và B . Khi đó ta có: BB AB S S AB BB S S AB AB S S BCB CAB ABC BCB ABC CAB ' ' ; ' ; ' ' ''' === ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ …………………………………………………………………………………………. Giáo viên: Trịnh Ngọc Bình Trường THPT Cẩm Thuỷ 1 9 A B C B’ Sáng kiến kinh nghiệm Tính thể tích khối đa diện b/ Cho tam giác ABC , 'B là điểm nằm giữa A và B , 'C là điểm nằm giữa A và C . Khi đó ta có: ACAB ACAB S S ABC CAB . ''. '' = ∆ ∆ 2. Tỉ số thể tích: a/ Cho hình chóp tam giác ABCS. , 'A là một điểm bất kỳ nằm giữa S và A . Khi đó ta có: AA SA V V SA AA V V SA SA V V ABCA BCAS ABCS ABCA ABCS BCAS ' ' ; ' ; ' '. '. . '. . '. === b/ Cho hình chóp tam giác ABCS. , 'A là một điểm bất kỳ nằm giữa S và A , 'B là một điểm bất kỳ nằm giữa S và B . Khi đó ta có: SBSA SBSA V V ABCS BCAS . ''. . '. = …………………………………………………………………………………………. Giáo viên: Trịnh Ngọc Bình Trường THPT Cẩm Thuỷ 1 10 A B C B’ C’ A B C S A’ B’ B C S A’ A’ [...]... Trường THPT Cẩm Thuỷ 1 x 13 Sáng kiến kinh nghiệm Tính thể tích khối đa diện 3 Nêu công thức tính thể tích thể tích của một tứ diện( biểu thức tọa độ) 4 Nêu lên cách tính thể tích khối chóp S ABMN Kết quả mong muốn: VS ABMN = VS ABM + VS AMN 5 Tính thể tích tứ diện: S ABM ; S AMN [ [ ] ] 1 2 2 SA, SM SB = 6 3 1 2 VS AMN = SA, SM SN = 6 3 6 Tính thể tích khối chóp S ABMN (Kết quả mong muốn: VS ABMN... Trang bị cho học sinh các kiến thức cơ bản nhất, cần thiết nhất của hình học phẳng 2 2 Trang bị cho học sinh các kiến thức cơ bản nhất về khối đa diện, nhất là các khối đa diện đặc biệt và kỹ năng vẽ các hình đó 3 3 Trang bị cho học sinh kỹ năng tự đặt câu hỏi và tự trả lời câu hỏi 3 3.1/ Câu hỏi 1: Có sử dụng được trực tiếp công thức tính thể tích không 3 3.2/ Câu hỏi 2: Có thể bổ sung... tích khối đa diện TÀI LIỆU THAM KHẢO 1 Hình học 12 nâng cao 2 Bài tập hình học 12 nâng cao 3 SGV Hình học 12 nâng cao 4 Hình học 12 5 Bài tập hình học 12 6 SGV Hình học 12 7 Bộ đề thi Tự luận Toán học: Nguyễn Văn Nho – Lê Bảy - Nguyễn Văn Thổ 8 Báo Toán học tuổi trẻ … ………………………………………………………………………………………… Giáo viên: Trịnh Ngọc Bình Trường THPT Cẩm Thuỷ 1 17 Sáng kiến kinh nghiệm Tính thể tích khối đa diện. .. thể bổ sung thêm hoặc chia nhỏ khối đa diện cần tính thể tích thành nhiều khối đa diện đơn giản hơn được không 7 3.3/ Câu hỏi 3: Có sử dụng công thức tỉ lệ thể tích được không 9 3.4/ Câu hỏi 4: Có sử dụng phương pháp toạ độ được không 12 ………………………………………………………………………………………… Giáo viên: Trịnh Ngọc Bình Trường THPT Cẩm Thuỷ 1 18 Sáng kiến kinh nghiệm Tính thể tích khối đa diện SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO... 1 11 Sáng kiến kinh nghiệm Tính thể tích khối đa diện ………………………………………………………………………………………… Giáo viên: Trịnh Ngọc Bình Trường THPT Cẩm Thuỷ 1 12 Sáng kiến kinh nghiệm Tính thể tích khối đa diện B/ Bài tập: Bài 1: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành M là trung điểm của SC , mặt phẳng (P) chứa AM và song song với BD chia hình chóp thành hai phần Tính tỉ số thể tích của hai hình đó? Giáo viên... Thuỷ 1 15 Sáng kiến kinh nghiệm Tính thể tích khối đa diện C KẾT LUẬN Như vậy trong thực tiễn dạy học Tôi thấy, việc hướng dẫn cho học sinh cách suy nghĩ: Tự đặt câu hỏi - tự giải quyết vấn đề, Giáo viên chỉ làm cố vấn trong quá trình học sinh thực hiện Khi làm tốt được điều này, Tôi thấy học sinh có tiến bộ rõ rệt trong tư duy nói chung và nhất là trong tư duy hình học Thực tiễn giảng dạy ở trường... Giáo viên yêu cầu học sinh về nhà làm theo cách khác C/ Bài tập: Bài 1: Cho hình hộp chữ nhật ABCD A' B' C ' D' có AB = a AD = b, AA' = c a/ Tính thể tích tứ diện A' C ' BD b/ Gọi M là trung điểm của CC ' Tính thể tích khối chóp MA' BD 1 3 1 4 Bài 2: Cho hình lăng trụ đứng ABC A' B' C ' có AB = a, AC = 2a, AA' = 2 5.a , ∠BAC = 120 0 Gọi M là trung điểm của cạnh CC ' Tính thể tich khối chóp A A' MB... phẳng qua BC và vuông góc với SA a/ Tính tỉ số thể tích của hai khối chóp S.DBC và S ABC b/ Tính thể tích của khối chóp S.DBC S Giáo viên yêu cầu học sinh: */ Yêu cầu học sinh lên bảng vẽ hình */ Tính tỉ số D VS DBC VS ABC C A’ V SD AD H S DBC = =1− (kết quả mong muốn: V ) SA SA S ABC I B */ Chỉ ra góc giữa cạnh bên và mặt phẳng đáy (kết quả mong muốn: góc SAI ) */ Tính AD, SA theo các yếu tố đã biết?... kinh nghiệm Tính thể tích khối đa diện Với cách làm trên tôi đã giảng dạy tại lớp 12A1 và 12CA4, còn tại hai lớp 12A2 và 12CA3 tôi dạy theo cách cũ Tôi thấy, với cách hướng dẫn học sinh cách suy nghĩ, cách tự đặt câu hỏi, tự trả lời những câu hỏi của mình trong quá trình làm một bài toán nói chung và nhất là trong bài hình học sẽ làm cho học sinh có cảm giác không sợ khi gặp bài toán hình học tổng hợp... khối đa diện SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG THPT CẨM THUỶ 1 *********************** SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐỀ TÀI “RÈN LUYỆN CHO HỌC SINH KỸ NĂNG TÍNH THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN” Họ và tên tác giả: Trịnh Ngọc Bình Chức vụ: Giáo viên Đơn vị công tác: Tổ Toán - tin SKKN: Môn Toán Năm học 2011 - 2012 ………………………………………………………………………………………… Giáo viên: Trịnh Ngọc Bình Trường THPT Cẩm Thuỷ 1 19 . Kém 12 A1 Lần kiểm tra 1 50 6 16 24 4 0 Lần kiểm tra 2 11 25 13 1 0 12 CA4 Lần kiểm tra 1 50 2 12 26 10 0 Lần kiểm tra 2 8 20 18 4 0 12 A2 Lần kiểm tra 1 50 5 14 23 8 0 Lần kiểm tra 2 7 16 22 5 0 12 CA3 Lần. tiễn giảng dạy ở trường THPT Cẩm Thuỷ 1, tôi được Nhà trường giao cho giảng dạy 4 lớp: 12 A1, 12 A2, 12 CA3 và 12 CA4. Tôi đã áp dụng tổ chức cho học sinh trong hai lớp 12 A1 và 12 CA4 học tập theo cách. Trường THPT Cẩm Thuỷ 1 16 Sáng kiến kinh nghiệm Tính thể tích khối đa diện TÀI LIỆU THAM KHẢO 1. Hình học 12 nâng cao 2. Bài tập hình học 12 nâng cao 3. SGV Hình học 12 nâng cao 4. Hình học 12