Rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh lớp 9 thông qua việc phát triển một số bài toán chứa căn thức bậc 2

Trang 1

Nguyễn Thị Hương – THCS Trần Phú, Pleiku

RÈN LUYỆN TƯ DUY SÁNG TẠO CHO HỌC SINH LỚP 9

THÔNG QUA VIỆC PHÁT TRIỂN MỘT SỐ BÀI TOÁN

CHỨA CĂN THỨC BẬC HAI

PHẦN A:

ĐẶT VẤN ĐỀ

I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Sự phát triển kinh tế của một đất nước không phụ thuộc nhiều ở tài nguyên thiên nhiên mà phụ thuộc vào trình độ dân trí Toán học có vị trí đặc biệt trong việc nâng cao và phát triển dân trí, góp phần tạo nên nguồn tài nguyên chất xám - nguồn tài nguyên quý nhất cho đất nước Toán học không chỉ cung cấp cho con người những kĩ năng tính toán cần thiết mà còn (và ở đây là điều kiện chủ yếu) rèn luyện cho con người một khả năng tư duy lôgic, một phương pháp luận khoa học

Việc nâng cao chất lượng giáo dục là nhiệm vụ số một trong bất kì nhà trường nào và cũng là mục tiêu phấn đấu của mỗi giáo viên Đặc biệt vấn đề chất lượng giáo dục đối với học sinh lớp 9, vì đây là năm cuối cấp bậc trung học cơ sở và đánh dấu bước chuyển tiếp quan trọng trên con đường học tập của học sinh Là một giáo viên đã từng tham gia giảng dạy bộ môn toán 9 tôi luôn trăn trở một điều là làm thế nào để tư duy suy luận của học sinh được chặt chẽ, nhạy bén, sáng tạo? Có như vậy sẽ nâng cao chất lượng bộ môn

Trong việc giảng dạy môn toán người thầy đóng vai trò quan trọng trong việc hình thành, phát triển tư duy lô gíc và phương pháp luận khoa học cho học sinh Để có thể phát triển tư duy sáng tạo trong việc học toán và giải toán thì tìm

ra kết quả một bài toán chưa có thể coi là kết thúc được, mà phải tiến hành khai thác, phải "mổ xẻ" và phân tích bài toán đó

Phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh không chỉ nhằm đạt chất lượng cao trong dạy học mà còn nhằm phát triển nhân tố con người, nhất là trong thời đại mà thông tin và khoa học công nghệ đang bùng nổ như hiện nay

Trong quá trình dạy học toán nói riêng cũng như trong quá trình dạy học nói chung người dạy cũng như người học cần tạo cho mình một thói quen là: sau khi đã tìm được lời giải bài toán thì dù là đơn giản hay phức tạp, tiếp tục suy nghĩ, lật lại vấn đề, thêm điều kiện cho bài toán, hay thay đổi yêu cầu bài toán sẽ được bài toán mới thú vị hơn

Chính vì lý do trên tôi chọn đề tài :" Rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh

lớp 9 thông qua việc phát triển một số bài toán chứa căn thức bậc hai " như một

sân chơi trí tuệ dành cho học sinh lớp 9 trong các giờ học toán Nhằm tạo điều kiện kích thích khả năng sáng tạo, ham học hỏi của học sinh

Trang 2

II MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU

Hình thành cho học sinh có năng lực hành động, năng lực ứng xử, năng lực tự học và kĩ năng diễn đạt (bằng lời, bằng viết) Kích thích trí tưởng tượng, gây hứng thú học tập toán góp phần rèn luyện phương pháp học tập và có kế hoạch khoa học, chủ động, linh hoạt, sáng tạo

Trên cơ sở nắm được phương pháp giải một số dạng toán biến đổi biểu thức chứa căn thức bậc hai học sinh biết nhận xét một số đặc trưng của bài toán gốc, học sinh có thể lật lại vấn đề, thêm điều kiện cho bài toán, hay thay đổi yêu cầu bài toán sẽ được bài toán mới thú vị hơn

Thông qua việc phát triển một số bài toán gốc nhằm hình thành cho học sinh kĩ năng phân tích để tìm ra đặc trưng bài toán, phát triển bài toán

Kích thích trí tưởng tượng, gây hứng thú học tập môn toán góp phần rèn luyện nhân cách con người: Phát triển tư duy lô gíc và phương pháp luận khoa học, rèn luyện cho học sinh kĩ năng học tập và làm việc có kế hoạch khoa học chủ động, sáng tạo

III ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU :

Tiến hành trên học sinh lớp 9 -Trường THCS .TP Pleiku

IV PHẠM VI NGHIÊN CỨU:

Vì phạm vi đề tài khá rộng nên tôi chỉ tập trung vào việc rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh lớp 9 thông qua việc phát triển một số bài toán chứa căn

thức bậc hai

Trang 3

PHẦN B:

THỰC TRẠNG VÀ MỘT SỐ BIỆN PHÁP GIẢI QUYẾT

I/ THỰC TRẠNG :

Phải nói rằng kiến thức toán Trung học cơ sở là kiến thức rất cơ bản và quan trọng, làm nền tảng để các em học ở bậc THPT và cao hơn là học chuyên nghiệp Kiến thức toán THCS là vật chất đầu tiên để các em hình thành và rèn luyện tư duy logic, trìu tượng, hình thành phẩm chất cần cù, kiên trì và sáng tạo Việc hổng kiến thức toán dẫn đến các em khó tiếp thu kiến thức mới, vì vậy dẫn đến tâm lý chán nản, ngại học toán, sợ học toán Như vậy ảnh hưởng chung đến việc học tập, hứng thú học tập của các em tại trường THCS

Thực trạng các trường THCS ở thành phố nói chung, các trường vùng ven,

xa thành phố nói riêng là: học sinh khối 9 đa số hổng kiến thức toán dẫn đến tiếp thu kiến thức mới rất khó khăn vì không thạo những kỹ năng cơ bản như: cộng, trừ, nhân, chia, lũy thừa, căn thức

Số lượng học sinh trong một lớp quá đông (trên 40 em, có khi 45 em), có trình độ nhận thức và kiến thức nền tảng quá khác nhau, việc tiếp thu kiến thức không đồng đều Vì vậy giáo viên không thể giúp tất cả học sinh đều hiểu bài, kết quả học tập của học sinh chưa cao

Qua khảo sát thực tế chất lượng đầu năm của 2 lớp 9 như sau:

Lớp Sĩ số Giỏi Khá Trung bình Yếu

(3 em)

20%

(8 em )

45%

(18 em )

27,5%

(11 em )

( 9 em )

38,1 % ( 16 em )

23,8 % (10 em )

16,7 % (7 em )

Những nguyên nhân của thực trạng trên

* Đối với giáo viên:

Trình độ chuyên môn của một số giáo viên còn chưa đồng đều, đôi khi còn hạn chế Giáo viên bị bó hẹp trong phạm vi một tiết giảng mà quá nhiều nội dung Một số giáo viên còn tham lý thuyết do đó không thể rèn luyện kỹ năng nhiều cho học sinh Nhiều giáo viên không biết “chế biến” kiến thức mà phụ thuộc quá nhiều vào SGK

* Đối với học sinh :

Phần lớn học sinh hổng kiến thức toán cơ bản cấp 2 Do đó sự hứng thú với môn toán không có hoặc ít Thói quen học tập không khoa học đã hình thành ở các lớp dưới, học sinh thường giải bài tập xong là xong, khi đưa bài toán khai thác thì ít học sinh làm được

Trang 4

Gia đình thiếu sự quan tâm, tạo điều kiện học tập cho các em Đặc biệt đối với nhiều gia đình dân tộc thiểu số

Các em ngại hỏi giáo viên, hỏi bạn bè; có tâm lý dấu dốt; quen với tâm lý học để thi Nhất là ở cấp THCS do muốn phổ cập giáo dục THCS các giáo viên phải đẩy các em lên lớp bằng mọi cách Vì vậy xảy ra mâu thuẫn là: các em không cần cố gắng vẫn được điểm cao, vẫn được lên lớp Dần dần tạo nên sự ỷ

lại, lười biếng trong tư duy của học sinh (Tất nhiên, có nhiều ý kiến chủ quan

của cá nhân tôi)

II/ MỘT SỐ BIỆN PHÁP GIẢI QUYẾT

1 Kiến thức cơ bản sử dụng trong chuyên đề

A 2 A

2

2 2

( 0; 0)

( 0) ( 0; 0) ( 0; 0) 1

( 0; 0)

( 0)

( 0; )

( 0; 0; )

A

B B B

A B











2 Các bài toán phát triển

Bài toán 1

Rút gọn biểu thức :A = ( 5  3 ) 2  ( 5  3 ) 2

Giải

Ta có : A = 5  3- 5  3 = 5  3- 5  3 =-2 3

Trang 5

Nhận xét : Biểu thức A đãù cho mỗi số hạng đều ở dạng 2

A nên học sinh dễ dàng áp dụng công thức A 2 A để tính toán Để yêu cầu học sinh buộc phải suy luận rồi mới có thể áp dụng công thức để tính ta có thể phát triển bài toán trên thành bài toán sau :

Bài 1.1 Rút gọn biểu thức :A = 8  2 15  8  2 15

Hd : Làm cho các biểu thức xuất hiện dạng hằng đẳng thức và làm như bài toán 1

A = 8  2 15  8  2 15=  5 2 2 15  3 2   5 2 2 15  3 2

=  5  32   5  32

Ta được kết quả như bài toán 1

Nhận xét Theo kết quả của bài toán 1 ta có A =-2 3   3.A  6là một số nguyên hoặc

3



A

= 2 cũng là một số nguyên Vì thế trên cơ sởù bài toán 1 và bài toán 1.1 ta có thể phát triển thành bài toán sau:

Bài 1.2 Chứng minh những biểu thức sau có giá trị là một số nguyên

A = 24  6 15- 24  6 15

B =

3

5 2 3

8 3

5 2 3

8





Nhận xét : Ta cũng có thể thay đổi yêu cầu bài toán 1.1 và bài toán 1.2 để có bài

toán mới :

Bài toán 1.3 Chứng minh đẳng thức :



 2 15

8 8  2 15  2 3

Bài 1.4 Tìm x biết

a) ( 5 x)2  ( 5 x)2  2 3

b) x 2 15  x 2 15  2 3

rõ ràng ở bài 1.4a ta sử dụng được ngay công thức A 2 A ta sẽ tìm được dễ dàng giá trị của x Nhưng câu b thì không thể áp dụng ngay kiến thức đó được vậy làm thế nào để giải quyết được bài toán b Lúc này ta phải sử dụng tính chất của đẳng thức

Vì vế phải bằng 2 3> 0 suy ra vế trái x 2 15  x 2 15> 0

Bình phương hai vế phương trình câu b ta được phương trình tương đương

(x+2 15) +(x–2 15) – 2 x2  4 15  12 ( x2 15)(*)

2

x x2  60  6

x  6 x2  60(1)

vì x2 15 nên x – 6 > 0 và x 2 60 0

(1)x2  12x 36 x2  60

  12x  96

Trang 6

 x 8 ( Thỏa mãn điều kiện (*))

Vậy x = 8 là nghiệm của phương trình x 2 15  x 2 15  2 3

Như vậy vẫn từ bài toán gốc nhưng hai bài toán phát triển không phải lúc nào cũng có cùng cách giải với bài toán gốc

Tiếp tục nhận xét ta thấy:

A = ( 5  3 ) 2  ( 5 3)2 =2 3

 5 3 5 3

=1

Từ kết quả đó ta phát triển thành bài toán mới sau:

Bài 1.5 Chứng minh rằng

là hai số nghịch đảo của nhau

Bài 1.6 Tìm x để

2

Nhận xét : Từ bài 1.1 ta có A = 8  2 15  8  2 15 ta có thể đưa về cách giải của bài toán gốc là A = ( 5  3 )2  ( 5  3 )2 để suy ra A=-2 3

Nhưng ta cũng có thể rút gọn A2 rồi suy ra A

Giải bài toán 1.1 theo cách khác như sau:

A = 8  2 15  8  2 15< 0 vì 8  2 15  8  2 15

Xét

A2= (8 2 15) (8 2 15)    – 2 64  60 =16 – 4 =12

Vì A < 0 nên suy ra A = 2

A

Cách giải bài toán này có thể cho ta những bài toán tương tự sau

Bài 1.7 Rút gọn biểu thức

A = 3  3  2 5  3  3  2 5

Bài 1.8 Chứng minh đẳng thức

5 2 19 5 5 2 19

Bài 1.9 Chứng minh biểu thức sau là số hữu tỉ

C = 13  48  13  48

Nhận xét : Kết hợp bài 1.7 với cách giải của bài 1.4 ta có bài toán sau

Bài 1.10 Tìm x biết :

x  x 

Trang 7

Nhận xét : Cộng vào hai vế của bài 1.7 số –2 5 ta có bài toán sau :

Bài 1.11 Chứng minh

A = 3  3  2 5  3  3  2 5 -2 5 là một số nguyên

Trở lại bài toán 1.10 : tìm x của biểu thức chứa dấu căn thức bậc hai nếu không

hướng dẫn học sinh và trình bày lời giải mẫu thì học sinh sẽ lúng túng khi gặp dạng toán này

Giải bài 1.10 Điều kiện : x 2 5( *)

Bình phương hai vế phương trình bài 1.10 ta được :

x  x x  x 

2

x x2  20  10

 x2  20  10 x( với x10 ) (**)

2 2

20 20 100

 20x 120

x 6 ( Thỏa mẫn điều kiện (*) và (**))

Vậy x = 6 là nghiệm của phương trình x 2 5  x 2 5  2 5

Bài toán 2 Rút gọn biểu thức : A =(1+ 1 )

1 3

3 3 )(

1 3

3 3







Giải : Có thể dùng phương pháp nhân mỗi phân thức với liên hợp của nó nhưng như thế bài toán trở nên dài dòng, ta có thể dùng phương pháp đặt nhân tử chung như sau :

A        

Nhận xét : A = 2 là một số nguyên tố, thay số 3 trong biểu thức A bởi một số

nguyên dương bất kì ta có bài toán sau :

Bài 2.1 Chứng minh giá trị biểu thức sau là một số nguyên

a) 1 5 5 . 5 5 1

Vẫn từ bài toán 2, thay hằng số 3 bởi biến x với x 0 và x1 ta có một vài bài toán thú vị sau:

Bài 2.2 Rút gọn biểu thức 1 1

x x x x

x

Bài 2.3 Tìm x biết 1

1

x x x



1

x x x



= 2

Trang 8

hay thay 3 bởi tham số a để có bài toán sau

Bài 2.4 Tìm a để biểu thức sau là một số nguyên

a a a a

Bài 2.5 Chứng minh giá trị biểu thức không phụ thuộc vào biến

x x x x

x

Bài 2.6 Chứng minh

2

5 1



và 5 5 2

5 1



Bài 2.7 Tìm x biết

3

1

x



1

x



là hai số nghịch đảo của nhau Kết hợp dạng của bài toán 1 và biểu thức dạng bài toán 2 ta có bài toán mới sau :

Bài 2.8 Thu gọn biểu thức sau A = 3

1

x x x



x x x







Hướng dẫn : Sử dụng cách 2 của bài toán 1

Rút gọn A2  A A2 (vì A > 0)

Và dĩ nhiên có thể thay đổi yêu cầu bài 2.8 ta được bài toán sau

Bài 2 9 Tính giá trị biểu thức sau tại x = 5 và x =

9 4

A = 5

1

x x x





x

x x

Bài 2.10 Tìm x biết 1

1

x







x

x x

=2(1) (0x1)

Giải: (1)

1

) 1 ( 1



x

x x

+

1

) 1 ( 1





x

x x

= 2

 1  x  1  x  2 (2)

Vì 0  x  1 nên 1  x 1  x  0

Bình phương hai vế pt (2) ta được:

2 2 1  x  4

 2 1 x 2  1 x 1 x 0 ( Thỏa mãn điều kiện 0  x  1)

Vậy x = 0 là nghiệm của phương trình

Nhận xét :Như vậy đối với bài toán thu gọn biểu thức A là tổng hay hiệu của hai

số hạng liên hợp thì tốt nhất ta nên thu gọn từ A2 để suy ra A Với suy luận như vậy và phương pháp thay đổi giả thiết hay yêu cầu bài toán ( thay đổi dạng bài toán ) ta có thể tiếp tục suy luận bài toán 2 thành nhiều bài toán thú vị hơn Mời độc giả cùng phát triển bài toán để chuyên đề này đạt được hiệu quả cao

Xin được tiếp tục trình bày bài toán 3

Trang 9

Bài toán 3 : Tính A =

100 99

1

4 3

1 3

2

1 2

1



Giải : Ta có: A =

100 99

1

4 3

1 3

2

1 2

1



= 







2 3

2 3 1 2

1 2

99 100

3 4







= 2 1   3  2  4  3   100  99

= – 1  100 = – 1 + 10 = 9

Nhận xét :

Bài toán 3 là một bài toán tính tổng của dãy mà mỗi hạng tử là một phân số có tử số là 1, và mẫu số là tổng của hai căn bậc hai của hai số tự nhiên liên tiếp Vì thế bài toán có thể viết dưới dạng tổng quát

Bài toán 3.1: Rút gọn biểu thức

B =

n

n 



1

4 3

1 3

2

1 2

1

( n N, n 1) Thay đổi yêu cầu bài toán ta có một số bài toán sau:

Bài 3.2: Tìm x để

x N

x



1

4 3

1 3

2

1 2

1

Bài 3.3: Chứng minh rằng biểu thức sau là một số nguyên

A =

121 119

1

7 5

1 5

3

1 3

1



Giải Ta có: A =

121 119

1

7 5

1 5

3

1 3

1



= 







3 5

3 5 1 3

1 3

119 121

5 7







= ( 3 1 5 3 7 5 121 119 )

2

1















= ( 1 121 )

2

1



= ( 1 11 )

2

1





= 5Z

Vậy A là số nguyên

Tiếp tục phát triển ta có bài toán sau

Bài toán 3.4: Rút gọn A =

13 165

1

13 3

1 3

5

1 5 1

1



Nhận xét:

Đối với bài toán 3.4 ta không hoàn toàn áp dụng cách giải của bài toán 3, bài 3.4 buộc học sinh phải đưa về bài toán 3 rồi áp dụng

Giải :

Ta có A =

13 165

1

13 3

1 3 5

1 5 1

1



Trang 10

=

169 165

1

13 9

1 9

5

1 5

1



= 







5 9

5 9 1 5

1 5

165 169

9 13







= ( 5 1 9 5 13 9 169 165 )

4

1















= ( 1 169 )

4

1



= ( 1 13 )

4

1



Bài 3.5 Chứng minh rằng biểu thức sau là một số nguyên dương

A =

10 99

1

10 7

1 7

2

1 2 1

1



Bài 3.6 Tìm aN,a 16 để

A =

5

1

16 11

1 11

6

1 6

1



Bài 3.7 Rút gọn biểu thức

A =

a a

1

2 1 1

1 1

1



Bài 3.8 Tìm điều kiện của a để biểu thức sau là một số nguyên dương

A =

a a

1

2 1 1

1 1

1



Bài 3.9 Chứng minh rằng với mọi aN, a 1

A =

a a

1

2 1 1

1 1

1



Bài 3.10 Tìm aN biết

a a

1

2 1 1

1 1

1



Bài toán 4 Cho P = ;( 0, 9)

3

x

x x

x   Tìm x để P >0

Giải :Vì x  0, x 9 nên biểu thức P có nghĩa

Khi đó để P > 0  x( x 3)>0

 ( x 3)>0

 x>3x > 9

Từ bài toán trên có thể thay đổi yêu cầu bài toán để được một số bài toán mới cùng dạng với bài toán 4 như sau :

Bài 4.1 Cho P =

3

x

x  với x 0,x 9 Tìm x để P < 0

Bài 4 2 Cho P = 1

3

x x



 với x 0,x 9 Tìm x để P > 0

Bài 4.3 Cho P= 5

3

x x



 với x 0,x 9 Tìm x để P > 0

Định dạng
Số trang	16
Dung lượng	217,81 KB