Rèn luyện cho học sinh kỹ năng khai thác hình chiếu của điểm trên đường thẳng để giải quyết một số bài toán cực trị hình học

Rèn luyện cho học sinh kỹ năng khai thác hình chiếu của điểm trên đường thẳng để giải quyết một số bài toán cực trị hình học

PHẦN I: ĐẶT VẤN ĐỀ

Bài toán cực trị hình học là những bài toán khó đối với học sinh THPT chính vì vậy trong quá trình giảng dạy tôi nhận thấy học sinh thờng ngại làm những bài tập dạng này Để học sinh tiếp cận tốt mảng bài tập về cực trị hình học thì trớc hết phải làm cho học sinh thấy đợc một số bài toán cực trị hình học thực chất là những bài toán hình học phẳng cơ bản dễ khai thác với kiến cơ bản dễ áp dụng chứ không phải là những bài tập phức tạp trừu tợng khó giải

quyết Chính vì vậy tôi chọn đề tài : “Rèn luyện cho học sinh kĩ năng khai thác hình chiếu của điểm trên đờng thẳng để giải một số bài toán cực trị hình học”.Với những khai thác rất cơ bản về tính chất hình chiếu của điểm trên

đ-ờng thẳng đã mở ra các hớng giải quyết rất đơn giản cho một số bài toán cực trị có liên quan đến khoảng cách Từ đó sẽ làm cho học sinh có cách nhìn khác vễ các bài toán cực trị hình học tạo hứng thú trong học tập, tăng khả năng tìm tòi, sáng tạo khai thác các tính chất hình học vào giải toán Quy các bài toán lạ, phức tạp về các bài toán đã biết cách giải

PHẦN II: giải quyết VẤN ĐỀ

1 Thực trạng vấn đề.

Khi gặp cỏc bài toỏn về cực trị hình học học sinh thờng lúng túng trong h-ớng giải quyết và ngại học phần này

2 Phương phỏp nghiờn cứu.

Đề tài đó sử dụng phương phỏp phõn tớch và tổng hợp

3 Đối tượng.

ôn tập cho học sinh lớp 10 và ôn thi đại học cho học sinh lớp 12 trường THPT Ba Đỡnh

4 Cỏch thức thực hiện.

Để thực hiện đề tài này, tụi phõn thành hai dạng bài tập tương ứng với các hớng vận dụng của hình chiếu của điểm trên đờng thẳng

5 Nội dung.

A CƠ SỞ Lí THUYẾT

1.Cho đờng thẳng , điểm A thuộc , điểm M không thuộc 

Gọi H là hình chiếu của M trên 

Khi đó: d(M; )= MH  MA

Suy ra:

+d(M; ) lớn nhất bằng MA khi điểm A trùng với điểm H hay A là hình chiếu của điểm M trên đờng thẳng 

+ MA nhỏ nhất bằng MH khi điểm A trùng với điểm H hay A là hình chiếu của điểm M trên đờng thẳng 

Đó là hai hớng khai thác linh hoạt từ tính chất cơ bản d(M; )  MA

2 Phơng pháp tìm toạ độ hình chiếu của điểm trên đờng thẳng

Cho đờng thẳng và điểm M, gọi H là hình chiếu của M trên  Điểm H

đ-ợc xác định nh sau:

A

M

Cách 1:

+Viết phơng trình đờng thẳng d đi qua M và vuông góc với 

+Toạ độ giao điểm của đờng thẳng d và chính là điểm H cần tìm

Cách 2:

+Gọi toạ độ điểm H(x;y) Do H nên toạ độ H biểu thị theo một biến x +Do HM  nên MH u 0 ( ulà một vectơ chỉ phơng của)

Suy ra toạ độ điểm H

B Một số dạng toán cơ bản

Khai thác tính chất của hình chiếu của điểm trên đờng thẳng có nhiều bài toán cực trị về hình học phẳng đã đợc giải quyết rất ngắn gọn và độc đáo dễ vận dụng tạo cho học sinh hứng thú hơn trong học tập Giúp phát triển t duy sáng tạo cho học sinh

Các bài tập đợc chọn trong đề tài này có thể bắt nguồn từ các bài tập trong sách giáo khoa và sách bài tập Mức độ bài tập đợc nâng dần lên, quy lạ thành quen và có sự tổng quát hóa bài toán sau mỗi dạng toán Các dạng toán đợc phân chia sao cho học sinh dễ tiếp thu và vận dụng linh hoạt trên cơ sỏ hai h-ớng khai thác cơ bản từ tính chất d(M; )  MA

Dạng 1: Tìm toạ độ điểm.

1.Bài toán 1: Cho đờng thẳng và hai điểm A, B Tìm điểm M thuộc đờng thẳng sao cho vectơ ua MAb MB (a+b 0) có độ dài nhỏ nhất

Ph ơng pháp : Chọn điểm I sao cho a IAb IB0 suy ra điểm I cố định

Ta có ua MAb MBa(MI IA) b(MIIB)  (ab)MI

 u ab MI

u nhỏ nhất khi và chỉ khi MI nhỏ nhất hay điểm M là hình chiếu của

điểm I trên đờng thẳng 

Ví dụ minh hoạ:

Ví dụ 1: Cho đờng thẳng : x-y-2 = 0 và hai điểm A(1;2), B(-1;0) Tìm toạ

độ điểm M thuộc đờng thẳng  sao cho vectơ uMAMB có độ dài nhỏ nhất

Giải Chọn điểm I sao cho IAIB0 I(0;1)

(điểm I là trung điểm của đoạn thẳng AB)

Ta có : uMAMB2MI  u  2MI

u nhỏ nhất khi và chỉ khi MI nhỏ nhất hay điểm M là hình chiếu của điểm

I trên đờng thẳng 

Phơng trình đờng thẳng d đi qua điểm I và vuông góc với đờng thẳng là: x+ y- 1= 0

Toạ độ hình chiếu của điểm I trên đờng thẳng là nghiệm của hệ :













   







2 2 0

2 0 1

y x y

x y

Vậy M )

2

1

; 2

3 (  là điểm cần tìm

Ví dụ 2: Cho đờng thẳng : 2x- y+1 = 0 và hai điểm A(-1;2), B(1;4) Tìm toạ

độ điểm M thuộc đờng thẳng  sao cho vectơ u 2MA 3MB có độ dài nhỏ nhất

Giải Chọn điểm I sao cho 2IA 3IB0 I(5;8)

Ta có : u 2MA 3MB 2 (MI IA)  3 (MI IB)  MI  u  MI

u nhỏ nhất khi và chỉ khi MI nhỏ nhất hay điểm M là hình chiếu của điểm I trên đờng thẳng 

Phơng trình đờng thẳng d đi qua điểm I và vuông góc với đờng thẳng là: (x-5)+2(y-8)=0 x 2y 21  0

Toạ độ hình chiếu của điểm I trên đờng thẳng là nghiệm của hệ phơng









   







5

4 35 19 0

1 2

0 21 2

y x y

x

y

Vậy M )

5

43

; 5

19 ( là điểm cần tìm

Nhận xét: Từ bài toán 1 ta có thể nâng mức độ khó của bài toán bằng cho thêm điểm C, xét vectơ ua1MAa2MBa3MC (a1+ a2+ a3  0)

và cũng câu hỏi nh trên

Ví dụ 3 (b.37sbt) Cho tam giác ABC và đờng thẳng d Tìm toạ độ điểm M trên

đờng thẳng d sao cho vectơ uMAMB2MC có độ dài nhỏ nhất

Giải Chọn điểm I sao cho IAIB2IC0 điểm I cố định

Ta có : uMAMB 2MC 4MI  u 4MI

u nhỏ nhất khi và chỉ khi MI nhỏ nhất hay điểm M là hình chiếu của điểm

I trên đờng thẳng 

Nhận xét: Từ các ví dụ đó có thể giải quyết bài toán tổng quát :

Bài toán tổng quát:

Cho n điểm A1, A2, , An(nN, n 1 ) và đờng thẳng  Tìm điểm M thuộc

sao cho vectơ ( 0 )

1 1



n

i i n

nMA a a

MA a

H

ớng dẫn : Cách tìm điểm M nh bài toán 1 với chọn điểm I sao cho

a1IA1 a n IA n  0

Nếu a1= a2= = an thì điểm I xác định nh trên là trọng tâm của hệ n điểm A1,

A2, , An

Nhận xét: Có thể giải quyết dạng toán này bằng cách gọi toạ độ điểm M, do

M thuộc nên có thể biểu thị toạ độ điểm M theo một biến Do đó u là biểu thức bậc hai theo biến đó Từ đó tìm đợc giá trị nhỏ nhất của u và toạ độ của điểm M Tuy nhiên cách này đôi khi phức tạp về mặt tính toán, dễ sai sót

còn cách trình bày trên học sinh dễ tiếp thu và trình bày không phức tạp về mặt tính toán tạo hứng thú tìm tòi sáng tạo cho học sinh giải toán

*Các bài tập tơng tự.

Cho các điểm A(-1;2), B(0;1), C(3;5), D(-4;3) Tìm các điểm M, N, E, F sao cho các vectơ sau có độ dài nhỏ nhất:

u2MA 5MB

u2NA NB3NC

uEAEBECED

u3FA 4FBFC2FD

2.Bài toán 2: Cho đờng thẳng và hai điểm A, B Tìm điểm M thuộc đờng thẳng sao cho biểu thức :

bMB aMA

X   ( Với a+ b > 0 ) đạt giá trị nhỏ nhất

X aMA2 bMB2 ( Với a+ b < 0) đạt giá trị lớn nhất

Ph ơng pháp : Chọn điểm I sao cho a IAb IB 0 suy ra điểm I cố định

Ta có: X a MA2 b MB2 a(MIIA) 2 b(MIIB) 2

2 2

2

2 2

2

) (

) (

2 )

(

bMB aMA

MI b a

MB b MA a IB b IA a MI MI

b a





















Do các điểm A, B, I cố định nên giá trị của biểu thức X phụ thuộc vào MI Suy ra :

+)Nếu a+ b > 0 thì biểu thức X nhỏ nhất khi và chỉ khi MI nhỏ nhất hay

điểm M là hình chiếu của điểm I trên đờng thẳng 

+)Nếu a+ b < 0 thì biểu thức X lớn nhất khi và chỉ khi MI nhỏ nhất hay điểm

M là hình chiếu của điểm I trên đờng thẳng 

Ví dụ minh hoạ:

Ví dụ 1: Cho đờng thẳng : 2x- y- 1 = 0 và hai điểm A(3;1), B(-2;2) Tìm toạ độ điểm M thuộc đờng thẳng  sao cho biểu thức X  2MA2 MB2 đạt giá trị nhỏ nhất

Giải Chọn điểm I sao cho 2IAIB 0 I(

3

4

; 3

4

)

Ta có : X  2MA2 MB2  3MI2  2IA2 IB2

Do các điểm A, B, I cố định nên biểu thức X nhỏ nhất khi và chỉ khi độ dài MI nhỏ nhất hay điểm M là hình chiếu của điểm I trên đờng thẳng 

Phơng trình đờng thẳng d đi qua điểm I và vuông góc với đờng thẳng là:

0 4 2 0

) 3

4 (

2

)

3

4

(

1 x  y   x y 

Toạ độ hình chiếu của điểm I trên đờng thẳng là nghiệm của hệ :











   







5 5 0

4 2 0 1 2

y x y

x y x

Vậy M )

5

7

; 5 6 ( là điểm cần tìm

Ví dụ 2: Cho đờng thẳng d: x- 3y+ 2= 0 và hai điểm A(2;1), B(-3;2) Tìm toạ

độ điểm N thuộc đờng thẳng d sao cho biểu thức Y MA2  2MB2 đạt giá trị lớn nhất

Giải Chọn điểm I sao cho IA 2IB 0 I(-8;3)

Ta có : Y MA2  2MB2  MI2 IA2  2IB2

Do các điểm A, B, I cố định nên biểu thức X lớn nhất khi và chỉ khi độ dài MI nhỏ nhất hay điểm M là hình chiếu của điểm I trên đờng thẳng 

Phơng trình đờng thẳng d đi qua điểm I và vuông góc với đờng thẳng là:

0 21 3

0 ) 3 (

1

)

8

.(

3 x  y   xy 

Toạ độ hình chiếu của điểm I trên đờng thẳng là nghiệm của hệ :

2 2 13 0

21

3

0 2

3















   







y x y

x

y

x

Vậy M )

2

3

; 2

13 (  là điểm cần tìm

Nhận xét: Từ bài toán 1 ta có thể nâng mức độ khó của bài toán bằng cho

3 2 2 2

1MA a MB a MC a

X    và cũng câu hỏi nh trên

Ví dụ 3 Cho tam giác ABC với A(1;2), B(3;-2), C(5;3) Gọi M là trung điểm của AB, G là trọng tâm của tam giác ABC Tìm toạ độ điểm P trên đờng thẳng

BC sao cho biểu thức X PA2 PG2 PM2 đạt giá trị nhỏ nhất

Giải

Ta có M(2;0), G(3;1)

Phơng trình đờng thẳng BC: 5x- 2y- 19= 0

Chọn điểm I sao cho IAIGIM 0 I(2;1) (I là trọng tâm tam giác AGM)

Ta có : X PA2 PG2 PM2  3PI2 IA2 IG2 IM2

Do các điểm A, G, M cố định nên biểu thức X nhỏ nhất khi và chỉ khi độ dài

PI nhỏ nhất hay điểm P là hình chiếu của điểm I trên đờng thẳng 

Phơng trình đờng thẳng d đi qua điểm I và vuông góc với đờng thẳng là:

0 9 5 2 0 ) 1 (

5

)

2

(

2 x  y   x y 

Toạ độ hình chiếu của điểm I trên đờng thẳng là nghiệm của hệ:











   







297 29 113 0

19 2 5

0 9 5 2

y x y

x y x

Vậy M )

29

7

; 29

113 ( là điểm cần tìm

Nhận xét: Từ các ví dụ đó có thể giải quyết bài toán tổng quát :

Bài toán tổng quát:

Cho n điểm A1, A2, , An(nN, n 1 )và đờng thẳng 

Tìm điểm M thuộc sao cho biểu thức X a1MA12  a n MA12 đạtgiá trị nhỏ

nhất (nếu 0

1







n

i i

a ), đạt giá trị lớn nhất (nếu 0

1







n

i i

ớng dẫn : Cách tìm điểm M nh bài toán 1 với chọn điểm I sao cho

a1IA1 a n IA n  0

Nếu a1= a2 = = an thì điểm I xác định nh trên là trọng tâm của hệ n điểm A1,

A2, , An

Nhận xét: Có thể giải quyết dạng toán này bằng cách gọi toạ độ điểm M, do

M thuộc  nên có thể biểu thị toạ độ điểm M theo một biến Do đó X là biểu thức bậc hai theo biến đó Từ đó tìm đợc giá trị nhỏ nhất hoặc lớn nhất của X

và toạ độ của điểm M Tuy nhiên cách này đôi khi phức tạp về mặt tính toán,

dễ sai sót còn cách trình bày trên học sinh dễ tiếp thu và trình bày không phức tạp về mặt tính toán tạo hứng thú trong học tập, tăng khả năng tìm tòi sáng tạo cho học sinh khi giải toán

*Các bài tập tơng tự.

Bài 1: Cho các điểm A(1;-2), B(3;1), C(-3;4), D(-1;2) Tìm các điểm M, N, E,

F sao cho các biểu thức sau đạt giá trị nhỏ nhất:

a 2 2

1 MA 2MB

X  

b 2 2 2

2 3NB NC 2ND

c 2 2 2 2

3 EA 2EB 3EC ED

Bài 2: Cho các điểm M(-1;-2), N1;3), P(-2;5), E(-3;2) Tìm các điểm I, K, F sao cho các biểu thức sau đạt giá trị lớn nhất:

1 2IM 3IN

b 2 2 2

2 2KP KM 3KE

c 2 2 2 2

3 FM 4FN 3FP FE

Nhận xét: Hình chiếu của điểm có thể chính là điểm cần tìm của bài toán, tuy nhiên có bài toán nó không trực tiếp là điểm cần tìm nhng lại rất quan trọng

hộ trợ cho việc tìm điểm đối xứng với điểm qua đờng thẳng từ đó khai thác tính chất hình học để giải bài toán cực trị nh hai dạng toán sau:

3.Bài toán 3: Cho đờng thẳng và hai điểm A, B Tìm điểm M thuộc đờng thẳng sao cho MA+ MB đạt giá trị nhỏ nhất

Ph ơng pháp :

+)Nếu hai điểm A, B nằm khác phía đối với 

thì MA+ MBAB

Suy ra MA+ MB nhỏ nhất bằng AB khi M = AB

+)Nếu hai điểm A, B nằm cùng phía đối với 

Gọi A1 là điểm đối xứng với A qua đờng thẳng 

Ta có MA= A1M

 MA+ MB = MA1+ MB A1B

Suy ra MA+ MB nhỏ nhất bằng A1B khi

M= A1B .

A

B M



1

A

A M

B



Ví dụ minh hoa:

Ví dụ 1: Cho đờng thẳng : 3x- 4y+1= 0 và hai điểm A(1;2), B(-1;0)

Tìm điểm M thuộc đờng thẳng sao cho MA+ MB đạt giá trị nhỏ nhất Giải

Nhận thấy hai điểm A, B nằm cùng phía đối với  Gọi A1 là điểm đối xứng với A qua đờng thẳng  Ta có MA = A1M

 MA + MB = MA1+ MBA1B Suy ra MA + MB nhỏ nhất bằng A1B

khi M =A1B .

Phơng trình đờng thẳng d đi qua điểm A và vuông góc với đờng thẳng là: 4(x-1) + 3(y-2) = 0  4x + 3y - 10 = 0

Toạ độ hình chiếu H của điểm A trên đờng thẳng là nghiệm của hệ :

) 25

; 25 ( 25 25 0

1

4

3

0

10

3

y

x

y

x

y

x













   





Do H là trung điểm của AA1 nên A1(

25

18

; 25

49

)

Phơng trình đờng thẳng A1B là: 9x - 37y + 9 = 0

Toạ độ điểm M cần tìm là nghiệm của hệ :













   







25 6

7 5 1 0

1 4

3

0 9 37

9

y x y

x

y

Vậy M(

25

6

; 75

1



) là điểm cần tìm

Ví dụ 2:(b.3sgk tr 118) Cho đờng thẳngd: x - y + 2 = 0 và điểm A(2;0) Tìm điểm M thuộc đờng thẳng d sao cho chu vi tam giác OMA đạt giá trị nhỏ nhất

Giải

Chu vi tam giác OAM bằng: OA + OM + AM

Vì OA = 2 không đổi nên chu vi tamgiác OAM nhỏ nhất khi OM + MA nhỏ nhất

Nhận thấy hai điểm O, A nằm cùng phía đối với d

Gọi O1 là điểm đối xứng với O qua đờng thẳng d Ta có MO= MO1  MA+

MO = MO1+ MAO1A Suy ra MA + MO nhỏ nhất bằng O1A khi M =

d

A

O1 

Phơng trình đờng thẳng d1 đi qua điểm O và vuông góc với đờng thẳng d là:

x + y = 0

Toạ độ hình chiếu H của điểm O trên đờng thẳng d là nghiệm của hệ :

( 1; ) ( 2 ; 2 )

1

1 0

0

1  

































O H y

x

y

y

Phơng trình đờng thẳng O1A là: x + 2y- 2 = 0

Toạ độ điểm M cần tìm là nghiệm của hệ : 











   







3 3 0

2 0 2 2

y x y

x y

Vậy M(

3

4

; 3

2



) là điểm cần tìm

*Các bài tập tơng tự.

Bài 1: Cho các điểm A(2;4), B(-4;7) C(-1;0)

a.Tìm toạ độ điểm M thuộc đờng thẳng AB sao cho MA + MB đạt giá trị nhỏ nhất

b.Tìm toạ độ điểm N thuộc đờng thẳng AC sao cho NA + NC đạt giá trị nhỏ nhất

Bài 2: Cho tam giác A(-2;1), B(4;5), C(-1;0) Gọi H là trực tâm của tam giác a.Tìm toạ độ điểm M thuộc đờng thẳng AB sao cho chu vi tam giác MHC đạt giá trị nhỏ nhất

b.Tìm toạ độ điểm N thuộc đờng thẳng AC sao cho chu vi tam giác NBO đạt giá trị nhỏ nhất

4.Bài toán 4: Cho đờng thẳng và hai điểm A, B Tìm điểm M thuộc đờng thẳng sao cho MA  MB đạt giá trị lớn nhất

Ph ơng pháp :

+)Nếu hai điểm A, B nằm cùng phía đối với 

thì MA MB AB

Suy ra MA  MB lớn nhất bằng AB

khi M = AB

+)Nếu hai điểm A, B nằm khác phía đối với 

gọi A1 là điểm đối xứng với A qua đờng thẳng 

Ta có MA = A1M  MA MB MA1 MB A1B

Suy ra MA  MB lớn nhất bằng A1B khi M = A1B .

Ví dụ minh hoa:

Ví dụ 1:(b.40bsbt -tr106)

Cho hai điểm P(1;6), Q(-3;-4) và đờng thẳng : 2x- y- 1 = 0

Tìm toạ độ điểm N trên sao cho NP  NQ lớn nhất

Giải

Nhận thấy hai điểm P, Q nằm cùng phía đối với 

Ta có NA NB PQ Suy ra NP  NQ lớn nhất bằng PQ khi N= PQ  Phơng trình đờng thẳng PQ là: 5x- 2y + 7 = 0

Toạ độ điểm N là nghiệm của hệ phơng trình:

19 9 0

1 2

0 7 2

5































y x y

x

y x

Vậy N(-9;-19) là điểm cần tìm

Ví dụ 2: Cho đờng thẳng d: 2x- y +1 = 0 và điểm A(1;2), B(0;3) Tìm điểm M thuộc đờng thẳng d sao cho MA  MB lớn nhất

Giải

Nhận thấy hai điểm A, B nằm khác phía đối với d

Gọi A1 là điểm đối xứng với A qua đờng thẳng d Ta có MA = A1M 

B A MB MA

MB

MA  1   1

Suy ra MA  MB lớn nhất bằng A1B khi M =A1B .

A

B

M



A

B

A1

Gọi H là hình chiếu của A trên d, toạ độ H(x; 2x+1) Suy ra:

).

5

11

; 5

3 ( 5

3 0

AH d     ( u d  ( 1 ; 2 )là một vectơ chỉ phơng của d)

Do H là trung điểm của AA1 nên A1(

5

12

; 5

1

)

Phơng trình đờng thẳng A1B là: 3x + y- 3 = 0

Toạ độ điểm M cần tìm là nghiệm của hệ :











   







5 5 0

3 3

0 1 2

y x y

x

y

Vậy M(

5

9

; 5

2

) là điểm cần tìm

*Các bài tập tơng tự.

Bài1: Cho các điểm A(0;1), B(-3;8), C(-3;3), D(9;5)

a.Tìm toạ độ điểm M thuộc đờng thẳng AB sao cho MC  MO lớn nhất

b.Tìm toạ độ điểm N thuộc đờng thẳng CD sao cho NA  NB nhỏ nhất

Bài 2: Cho tam giác A(-1;1), B(-4;3), C(0;1) Gọi H, K lần lợt là chân đờng cao, chân đờng phân giác kẻ từ đỉnh A và đỉnh C, I là trung điểm của AC a.Tìm toạ độ điểm M thuộc đờng thẳng AC sao cho MH  MK lớn nhất b.Tìm toạ độ điểm N thuộc đờng thẳng BI sao cho NH  NK lớn nhất

DạngII: Viết phơng trình đờng thẳng

1.Bài toán 1: Cho hai điểm A, B Viết phơng trình đờng thẳng đi qua điểm

A sao cho khoảng cách từ B đến  là lớn nhất

Ph

ơng pháp :

Gọi H là hình chiếu của B trên 

Ta có: d(B; ) BH AB

Suy ra d(B;  )lớn nhất bằng AB khi và chỉ khi

A trùng với H hay đờng thẳng đi qua A

và vuông góc với AB

Ví dụ minh hoạ:

Ví dụ 1: Cho hai điểm A(1:2), B(-1;3) Viết phơng trình đờng thẳng đi qua

điểm A sao cho khoảng cách từ B đến  là lớn nhất

Giải

Gọi H là hình chiếu của B trên 

Ta có: d(B; ) BH AB

Suy ra d(B;  ) lớn nhất bằng AB khi và chỉ khi A trùng với H hay đờng thẳng đi qua A và vuông góc với AB

 Phơng trình đờng thẳng là: 2x - y = 0

Vậy đờng thẳng : 2x - y = 0 thoả mãn yêu cầu

Ví dụ 2(b.41 sbt-tr106): Cho đờng thẳngm: (m-2)x+ (m-1)y+ 2m-1 = 0

và điểm A(2;3)

a.Chứng minh rằng mluôn đi qua một điểm cố định với mọi m

A

B

 H

b.Tìm m để khoảng cách từ điểm A đến đờng thẳng mlà lớn nhất.

Giải

a.Giả sử mluôn đi qua điểm cố định M(xo;yo) với mọi m

Khi đó: (m-2)xo+ (m-1)yo+ 2m-1= 0 m

















































3

1 0

1 2

0 2

0 1 2

) 2 (

o o o

o o o

o o

o o

y

x y

x y x

m y

x m

y x

Vậy m luôn đi qua điểm cố định M(1;-3) với mọi m

b.Gọi H là hình chiếu của A trên m

Ta có :d(A; m) AH AM

Suy ra d(A; m)lớn nhất bằng AM khi và chỉ khi H trùng với M hay

m

AM  

Lại có AM  ( 1 ; 6 ), m có vectơ chỉ phơng u ( 1  m;m 2 )

5

11 0

  





AM m

Vậy

5

11



m là giá trị cần tìm

Ví dụ 3: Cho điểm A(-1;0) và đờng tròn (c): (

4

107 )

1 ( ) 2

9







Một đờng thẳng  thay đổi đi qua A cắt đờng tròn (c) tại M, N Hãy viết

ph-ơng trình của sao cho đoạn thẳng MN ngắn nhất

Giải Nhận thấy điểm A nằm trong đờng tròn (c) nên đờng thẳng  đi qua A luôn cắt (c) tại hai điểm phân biệt

Đờng tròn (c) có tâm I( ; 1 )

2

9



, bán kính R=

2 107

Gọi H là trung điểm của MN thì IH  MN Ta có MN= 2MH= 2 R 2 IH2

Do đó MN nhỏ nhất khi và chỉ khi IH lớn nhất

Mà IH  IA nên IH lớn nhất khi và chỉ khi H trùng với A hay  IH

Suy ra phơng trình đờng thẳng  là : 7x - 2y + 7 = 0

Vậy đờng thẳng  cần tìm là :7x - 2y + 7 = 0

Nhận xét: Từ bài toán 1 ta có thể thay đổi cách hỏi để làm bài toán phức tạp hơn nhng bản chất vẫn là bài toán 1 nh ví dụ 3 Sự thay đổi nh vậy làm cho học sinh linh hoạt hơn, t duy sáng tạo hơn

* Các bài tập tơng tự.

Bài 1: Cho đờng thẳngm: mx+ (m-1)y- 1= 0 và điểm A(2;3)

Tìm m để khoảng cách từ điểm A đến đờng thẳng mlà lớn nhất