Rèn luyện tư duy, tìm tòi sáng tạo cho học sinh THPT qua một số bài toán chứng minh đẳng thức tổ hợp
Trang 1PHẦN I: ĐẶT VẤN ĐỀ
Trong chương trình toán học phổ thông phần đại số tổ hợp, số phức là chương trình mới lạ và khó đối với các em học sinh Các bài toán tổ hợp mang tính tổng hợp và khái quát hóa cao Vì vậy học sinh học đến phần này thường ngại, sự say
mê, sáng tạo giảm Nếu chưa học đạo hàm, tích phân, số phức mà các em chỉ vận dụng các công thức trong sách giáo khoa thì các em giải các bài toán về chứng minh đẳng thức tổ hợp rất khó khăn Các em không biết nên xuất phát từ đâu? Nên dùng công thức nào để chứng minh? Để giúp học sinh khắc phục tình trạng trên,giúp cho các em có sự say mê, tư duy sáng tạo trong việc học phần đại số tổ hợp Tôi đã đọc tài liệu,nghiên cứu,phân tích,cải tiến cách dạy, tìm tòi thêm các công thức khác, hướng dẫn các em tự tìm tòi, tự phát triển ra các công thức mới dựa trên các công thức đã có, các bài tập để trang bị cho các em lượng kiến thức để các em vận dụng làm bài tập một cách khoa học hơn, sáng tạo hơn.Tạo ra sự hứng thú trong học tập đồng thời giúp các em rèn luyện phương pháp giải bài tập không những loại bài tập này mà còn vận dụng cách tư duy đó cho các loại bài tập khác
Trong khuôn khổ đề tài “Rèn luyện tư duy,tìm tòi sáng tạo cho học sinh THPT
qua một số bài toán chứng minh đẳng thức tổ hợp” tôi chỉ nêu một số phương
pháp thường dùng để các em giải quyết bài toán chứng minh đẳng thức tổ hợp một cách khoa học hơn, có cơ sở và có tính sáng tạo hơn Từ đó để các em củng cố kiến thức,rèn luyện khả năng nghiên cứu khoa học, đồng thời cũng trang bị thêm kiến thức nhằm chuẩn bị tốt cho các kỳ thi tốt nghiệp và kỳ thi đại học,cao đẳng
PHẦN II: NỘI DUNG
I CƠ SỞ LÝ THUYẾT
1 Công thức nhị thức Niu-tơn:
k k n k n n
n n k
k n k n n
n n n
b
) ,
; (k n k nN* (Quy ước
1
0
2 Công thức tổ hợp: Các định nghĩa, tính chất
3 Công thức liên quan đến số phức, công thức Moa- vrơ, công thức đạo hàm của hàm số mũ,công thức tích phân
4 Một số công thức khác:
1
1
n k
k
kC (k n;k,nN* )
n
k
C
N n k n
1
1
1
1 1
k n
k
n
C
k (k n;k,nN* )
1
2 2
k
C
k (k 2 ;k n;k,nN ) ( 1 i) 2 2i
;( 1 i) 2 2i
;( 1 3 ) 2 8
i ; ( 1 3 ) 2 8
i
Trang 2II: THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ
- Đối với học sinh THPT đa số học sinh khi gặp loại toán này thường không giải được hoặc giải được nhưng tốn rất nhiều thời gian Các em thường không biết nên giải thế nào ?Công thức trong sách giáo khoa lại ít,nếu dùng định lý về số các tổ hợp để làm bài tập thì rất phức tạp mà có khi không thể giải ra được
- Một số em khi gặp các bài toán mà các em chưa tìm ra hướng giải các em sẽ bỏ cuộc ngay,không có tính kiên trì tìm tòi,ỷ lại,chờ thầy giáo,cô giáo chữa
- Số tiết bài tập dành cho loại bài tập này ít nhưng nó lại có trong các đề thi thử Đại học của một số trường THPT ,và đặc biệt cũng có trong một số đề thi Đại học, cao đẳng,thi học sinh giỏi tỉnh
III.GIẢI PHÁP THỰC HIỆN
Phương pháp 1: Sử dụng công thức khai triển nhị thức Niu-Tơn,các công thức
tổ hợp,các tính chất của tổ hợp
Ví dụ 1:
n
n n
n n
C0 3 1 3 2 2 3 3 3 3 4 (n N* )
Giải:
n n n n n
n n
) 0 1 2 2 1 1 1
n n n n
n n
n n
n
) 3 1
n
n n
n n
C0 3 1 3 2 2 3 3 3 3 4 điều phải chứng minh
Giáo viên:
Nếu ở (1) của ví dụ trên ta thay x = 2 thì được kết quả như thế nào ? giáo viên có thể yêu cầu học sinh phát biểu thành một bài toán.Từ đó cho học sinh phát triển thành bài tập tổng quát với x = a (a N* )
Ví dụ 2:
Chứng minh đẳng thức sau:
2
3 2 2
1 2
2
1 2
8
9 4
5 2
3 2 1
0
n n n n n
n k
n k
k n
n n
C
) ,
,
0
( kn kN nN*
n n
n
1 2
2 1 2
1
1 2
0
1
2 2 (n N* )
Giải:
n k
k n n
n n
1
n n
k n k n
n n n
2
1
2
1
8
1 4
1 2
1 )
2
3
n
k n n
n n n
nC C C C C C
Cộng vế với vế của (1) và (2) ta được:
1 2
3 2 2
1 2
2
1 2
8
9 4
5
2
3 2 1
0
n n n n n
n k
n k
k n
n n
minh
Trang 3b.Áp dụng công thức: n k
n
k
C ( 0 kn;kN,nN* )
2
1
1 2
2 1 2
1 1 2
0 1 2 1
2
2 1 2
1 1 2
0
1
2
C
1 2 2
2 1 2
1 1 2
0 1 2 1
) 1
x n C n C n x C n x C n n x n (n N* )
1 2
2 1 2
1 1 2
0 1
C
n n
n n
n n n
n
1 2
2 1 2
1 1 2
0 1 2 1
2
2 1 2
1 1 2
0
1
2
1
điều phải chứng minh
Ví dụ 3:
Chứng minh:
1 1
3 2
1 2 n 3 n ( 1 ) n n n n 2n
Giải:
n
n n n
n
C
S 1 2 2 3 3 ( 1 ) 1 (1)
Cách 1:
Áp dụng công thức: n k
n
k
N n N k n
Ta có: 1 1
n n
C
2 2 2 2
n n
C
3 3 3 3
n n
C
( 1 ) n 1 ( 1 ) 1n
C
0
n
n
nC
Cộng vế với vế ta được: 1 2 2 3 n 3 ( 1 ) n1 n0
n
n n
n
C
S (2)
Từ (1) và (2) ta có: 2 ( 0 1 2 3 1 n)
n
n n n
n n
C n
n n n n n
n n
) 0 1 2 2 1 1 1
n
n n n
n n n
n C0C1C2C3 C 1C
2
Do đó :2 S n 2n
Hay C1n 2C n2 3C n3 (n 1 )C n n 1 nC n n n 2n 1
Cách 2:
Áp dụng công thức: 1
1
n k
k
kC (kn;k,nN* )
1 1
C
1
1 2
2C n nC n
2
1 3
3C n nC n
1
n n
n
nC
1
2 1
1 1
0
n C n C n C n C n n S
1 2
2 1
1 1
0 1
) 1
x n C n C n x C n x C n n x n (n N* )
1
2 1
1 1
0 1
Do đó :S n 2n 1
Trang 4Hay C1n 2C n2 3C n3 (n 1 )C n n 1 nC n n n 2n 1 điều phải chứng minh.
Cách 3:
Dùng đạo hàm chúng ta cũng giải được ví dụ này (ở phương pháp dùng đạo hàm phần sau)
Có những bài toán để giải nhanh các em càn biết phân tích và dựa vào kết quả các bài tập đã làm rồi
Ví dụ 4:
Chứng minh:
a, 1 0 2 1 3 2 4 3 ( 1 ) ( 2 ) 2 1
b, 1 2 2 3 3 4 ( 1 ) ( 2 ) 2 1 1
Giải:
Hướng dẫn:
a,Ta có:
)
2 ( )
( ) 1 (
3
2
.
n n
n
n n n
n n
n n n
n
Theo ví dụ trên ta có: C n1 2C n2 3C n3 (n 1 )C n n 1 nC n n n 2n 1
và n n
n
n n n
n n
Cộng vế với vế ta được:1 C n0 2C1n 3C n2 4C n3 (n 1 )C n n (n 2 ) 2n 1
3 2 1
.
n n
n n
4 3
.
n n
n
Cách 1: Ta có:
1 2 ) 2 ( 1 2 2 2 ) 2 ( )
(
1
n
n n n
n n
C
S
n n
n n n
n n n
n
C
Các tổng này đều đã tính ở trên thay vào ta được điều phải chứng minh
Ví dụ 5:
Chứng minh:
1 1
4 3 3 2 2
Giải: Áp dụng công thức: 1
1
n k
k
kC (kn;k,nN* )
1 1
C
1
2
.
2 C n nC n
1 2 3
2 C n nC n
1 1
1 1 2
1 2 1 1
0 1
n C n C n C n n C n n S
1 2
2 1
1 1
0 1
) 1
x n C n C n x C n x C n n x n (n N* )
1 1 2
1 2 1 1
0 1
Do đó : 3 1
n n
S
Hay 1 2 2 2 3 2 2 3 4 2 3 4 2 1 3 1
Trang 5Giáo viên: Làm cho học sinh hiểu rõ :Nếu ở ví dụ này ta thay x bởi một số tự nhiên
khác thì chúng ta lại có một bài toán mới Từ đó giáo viên cho học sinh tổng quát thành bài toán:
Bài tâp tổng quát:
Chứng minh:
1 2 2 3 2 3 4 3 4 1 ( 1 ) 1
Thông qua các ví dụ này giáo viên có thể làm cho học sinh thấy rõ ,từ một bài tập nào đó chúng ta có thể suy nghĩ, phát triển ,mở rộng ra được các bài tập mới và từ
đó giúp cho học sinh tập làm quen với khả năng tư duy, sáng tạo trong học toán Giáo viên cũng yêu cầu học sinh về nhà tự tìm tòi ra các bài tập khác từ các ví dụ này và tìm bài tập tổng quát cho ví dụ 2 coi như một bài tập
Ví dụ 6:
Cho n là số tự nhiên n 1 Chứng minh đẳng thức sau:
1
1 2 1
1 1
4
1 3
1
2
1 3
2 1
0
n
C n
C n C
C C
n
n n n
n n
Giải:
Cách 1:
n
k
C
1
1
1 1
k n
k
n
C
k
1 0
1
1
n C
1 1
1
1 2
1
n C
1 2
1
1 3
1
n C
1
1
1 1
n n
n
n
C
n
Cộng vế với vế ta được:
)
( 1
1 1
1 1
4
1 3
1
2
1
3 1
2 1
1 1 1
3 2 1
n
C n
C n C
C C
1 2
2 1
1 1
0 1
)
1
x n C n C n x C n x C n n x n (n N* ) (1)
1
2 1
1 1
0 1
) 1 1
n C n C n C n C n n
Do đó :
1
1 2 1
1 1
4
1 3
1 2
1 3
2 1 0
n
C n
C n C
C C C
n n n
n n n
n n n
điều phải chứng minh
Cách 2:Sử dụng đạo hàm (Phần sau)
Trang 6Giáo viên: Nếu ở khai triển (1) của ví dụ này ta thay x = 2; x = 3 thì kết quả như
thế nào ? giáo viên yêu cầu học sinh phát biểu thành một bài toán Từ đó cho học sinh phát triển thành bài tập tổng quát với x = a (a N* )
Ví dụ 7:
Chứng minh:
1 2 1 2 2 2 3 2 3 ( 1 ) 2 1 2 ( 1 ) 2 2
Giải:
n
n n n
n
C
S 1 2 1 2 2 2 3 2 3 ( 1 ) 2 1 2 (1)
1
2 2
k
C
k (k 2 ;kn;k,nN )
1 1
1 1
0 2 2
2 C n n n C n nC n
2 1
1 2 3
3 C n n n C n nC n
2 1
3 2 1
)
1
C n n n n C n n nC n n
n
1 1
2 2
n
C
n
Cộng vế với vế ta được:
)
( )
)(
1
1
2 1
1 1
0 1
2 21
2 2
1 2
0
n n C n C n C n C n n n C n C n C n C n n
S
2 2
2 2
1 2
0 2
) 1
x n C n C n x C n x C n n x n ( * )
N
n
1 2
2 1
1 1
0 1
) 1
x n C n C n x C n x C n n x n (n N* ) Thay x = 1 ta được: ( 1 ) 2 2 2 1 ( 1 ) 2 2
Ví dụ 8:
Chứng minh:
4027
0 2014
2013 2013
1 2014
2012 2013
2011 2014
2 2013
2012 2014
1 2013
2013
2014
0
Giải:
2013 2013
2013
) 1
2014 2014
2014
) 1
4027 4027
4027
) 1 ( x 4027 C0 C1 xC2 x2 C x
) 1 ( )
1 ( ) 1 ( x 2014 x 2013 x
Đồng nhất các hệ số của x k (k N* )ở hai vế của đẳng thức
4027
) 1 ( ) 1
(
)
1
( x 2014 x 2013 x ta được điều phải chứng minh
Giáo viên:
Gợi ý cho học sinh suy nghĩ để tìm ra bài toán mới, sau đó dẫn đến bài toán tổng quát, coi như một bài tập về nhà
Bài tâp tổng quát:
m n m
k n m
k n
k m n
k m n
k m
C0 1 1 2 2 1. 1 0
) ,
,
; 0
;
0
( k n km k n mN*
Đặc biệt: Khi m = n = k ta có bài toán:
Trang 7Chứng minh: n
n
n n
n n n
n
C0 ) 2 ( 1 ) 2 ( 2 ) 2 ( 1 ) 2 ( ) 2 2
( (n N* )
Bài tập:
n
n n
n n
C
S 1 1 2 2 3 3 4 4 ( 1 ) 1
N
n
n
n n
n n
C
S 1 2 2 3 3 4 4 5 ( 1 ) ( 1 )
n
n n
n n
n n
n n
S 5 1 1 2 5 2 2 3 5 3 3 4 5 4 4 ( 1 ) 1
4.Nêu bài tập tổng quát của bài 1
2013
6 2013
4 2013
2 2013
0 2013
2 C C C C C
6.Nêu bài tập tổng quát của bài 5
7 Tính tổng:
n
n n
n
n n
n
n
C n C
C C
S
1
) 1 ( 1
) 1 (
4
1 3
1 2
1 3
2 1
(n N* )
2
3 2
1 2
2
1
4
1 2
n C
C
S (n N* )
n
n n n
n n
n
n
C n C
C C
S
1
5 5
4
5 3
5 2
1 3
4 2 3 1 2
( * )
N
n
n
n n n
n n
n
n
a C n
a C
a C a C
a
S
1
4 3
2
1 1 3
4 2 3 1 2
(a,nN* )
n
n n
n
n n
n
n
C n C
C C
S
1
) 1 ( 1
) 1 (
4
1 3
1 2
1 3
2 1
(n N* )
2
3 2
1 2
2
1
4
1 2
n C
C
S (n N* )
n
n n n
n n
n
n
C n C
C C
S
1
5 5
4
5 3
5 2
1 3
4 2 3 1 2
(n N* )
n
n n n
n n
n
n
a C n
a C
a C
a C
a
S
1
4 3
2
1 1 3
4 2 3 1 2
(a,nN* )
8 Chứng minh:
2011 2013
2013 2 2012 2013 2 2010
3 2013 2 2011 2
2013 2 2012
1
2013
ính tổng:
0 2 1 1 2 3
3 2 2 2 2 1
1
n
n n
n n
n n
n
C
10.Tính tổng:S 1 2C1 a 1 2 2C2 a 2 (n 1 ) 2C 1 a1 n2C n.a0
n
n n
n n
n
N n
a
11 Chứng minh:
2 1 1 2
1 2
3 1
2
0
1
) 1 (
3
n
n n n
n
n n
n
n
n
n
n
C
C n C
C n C
C C
C
C
C
(n N* )
1
2013 2014
1 2
2012 2014
2011 2012
2 2014
2012 2013
1 2014
2013 2014
0
C
Phương pháp 2: Sử dụng đạo hàm
Rất nhiều bài toán chứng minh đẳng thức tổ hợp khi dùng phương pháp đạo hàm thì chứng minh rất ngắn gọn và dễ hiểu, dễ nhớ cách chứng minh Tùy vào tùng bài toán cụ thể mà ta phải tính đến đạo hàm cấp một, cấp hai,v.v bằng các ví dụ giáo viên dẫn dắt, giúp học sinh lựa chọn cách giải nào cho phù hợp
Ví dụ1: (Đây là Ví dụ 1 phần phương pháp 1 ta sẽ dùng đạo hàm để chứng minh)
Trang 8Chứng minh:C1n 2C n2 3C n3 (n 1 )C n n 1 nC n n n 2n 1 (n N* )
Giải:
n n
n n n
1
N
n (1) Lấy đạo hàm theo x hai vế của (1) ta được:
n n
n n
n n
x
n( 1 ) 1 1 2 2 3 2 3 1
Thay x = 1 ta có điều phải chứng minh
Nhận xét:
- Như vậy khi học sinh đã được học đạo hàm thì việc dùng đạo hàm để giải bài toán này sẽ nhanh hơn cách giải ở phần trước
- Ở Bài tâp tổng quát: phần phương pháp 1 ta chỉ cần thay x = a.(a N* )
- Nếu thay x = - 1 ta dược kết quả của bài tập 1 phần 1
Ví dụ 2:
Chứng minh: 2 2 3 2 ( 2 1 ) 2 2 1 2 1
1 2 2 3
1 2 2 2
1 2
1 1
n
n n
n
Giải:
1 2 3
3 1 2 2 2 1 2
1 1 2
0 1 2 1
) 1
x n C n C n x C n x C n x C n n x n (n N* ) (1)
Lấy đạo hàm theo x hai vế của (1) ta được:
1 2 1 2 2 3
1 2 2 2
1 2
1 1 2
)
1
)(
1
2
n
Thay x = -2 ta có điều phải chứng minh
Ví dụ 3:
n
n n
n
C
S 0 2 1 3 2 ( 1 ) ( 1 )
N
n
Giải:
n n
n n
1
Suy ra: x( 1 x)n C n0xC n1x2 C n2x3 C n n x n 1 (1)
Lấy đạo hàm theo x hai vế của (1) ta được:
n n
n n
n n
n
x
nx( 1 ) 1 ( 1 ) 0 2 1 3 2 2 ( 1 )
Thay x = -1 ta có S = 0
Ví dụ 4:
2014
6 2014
4 2014
2
Giải:
2014 2
2 2014
1 2014
0 2014
) 1 ( x C C xC x C x (1)
2014 2
2 2014
1 2014
0 2014
) 1 ( x C C xC x C x (2) Lấy (1( cộng (2) ta được:
2014 2014 2014 4
4 2014 2
2 2014
0 2014 2014
)
1
Lấy đạo hàm theo x hai vế của (3) ta được:
2013 2014 2014 3
4 2014
2 2014 2013
)
1
(
Trang 9Thay x = 1 ta được S 2014 2 2013
Ví dụ 5:
Cho n là số tự nhiên n 2 Chứng minh đẳng thức sau:
2 0 ( 1 ) 2 1 ( 2 ) 2 2 2 2 2 1 2 1 ( 1 ) 2 2
C
n
Giải:
Hướng dẫn
n
n n
n n
n n
n n
x 1 ) 0 1 1 2 2 1
Lấy đạo hàm theo x hai vế của (1) ta được:
1 2
3 1
2 0
1
)
1
(x n nx n C n n x n C n n x n C n C n n
Suy ra ( 1 ) 1 0 ( 1 ) 1 1 ( 2 ) 2 2 1
n x nx n C n n x n C n n x n C n x C n n
x
Lấy đạo hàm theo x hai vế của (2) ta được:
1 1
2 2 0
1 2 1
) 1
)(
1
x n x n x n n x n C n n x n C n C n n
n
Thay x = 1 vào (3) ta được:
1 2 2 2 2
2 1
2 0
2
2
)
1
(n n n C n n C n n C n C n n C n n
Giáo viên:
Nếu ở (3) của ví dụ trên ta thay x = 2 thì được kết quả như thế nào ? giáo viên có thể yêu cầu học sinh phát biểu thành một bài toán.Từ đó cho học sinh phát triển thành bài tập tổng quát với x = a (a N* )
Bài tập:
1.Chứng minh đẳng thức:
n n
n n
n
n n
n n
n n
n n
n 4 1 0 ( 1 ) 4 2 1 ( 2 ) 4 3 2 ( 1 ) 1 1 1 4 2 2 1
)
(n N*
2.Chứng minh đẳng thức:
1 2 2 3 3 4 ( 1 ) ( 2 ) 2 1 1
3.Chứng minh đẳng thức:
2 1 2 3 2 3 4 3 4 ( 1 ) ( 1 ) 2 2
4.Chứng minh đẳng thức: 1 2C1n 2 2C n2 3 2C n3 (n 1 ) 2C n n 1 n2C n n n(n 1 ) 2n 2
)
;
2
(n nN
5.Chứng minh đẳng thức:
1 2 ) 2 ( ) 1 ( )
2 (
n
n n n
6.Tính tổng:
m m
n m m n
m
n n n n
m
n
n
1
Phương pháp3:Dùng tích phân
Có những bài tập có thể dùng nhiều phương pháp để chứng minh, một số ví dụ hay một só bài tập ở hai phương pháp trên có thể dùng phương pháp tích phân để giải.Giáo viên đưa ra các phương pháp sau đó yêu cầu học sinh lựa chọn phương pháp nào cho phù hợp bởi vì mỗi em có thể thiên về mỗi mảng kiến thức khác nhau.Rèn luyện để các em căn cứ vào đề bài để chọn cách lấy cận của tích phân
Trang 10Ví dụ:1
Cho n là số tự nhiên n 1 Chứng minh đẳng thức sau:
1
1 2 1
1 1
4
1 3
1
2
1 3
2 1
0
n
C n
C n C
C C
C
n n n
n n n
n n
n
Giải:
n n
n n n
1
Lấy tích phân hai vế (từ 0 đến 1 ) ta được:
dx x C x
C x C x C C dx
n n
n n n
)
1
0 0 1
0
1 1
3 4 2 3 1 2
1
1 1
4
1 3
1 2
1
n n n
n
n n
n n
n C x n C
x C x C x C
n
n n n
n n
n
C n C
C C C
1
1 1
4
1 3
1 2
0
Mặt khác:
1
1 2 1
) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( )
1
(
1 1
0
1 1
0 1
n n
n
Từ (1) và (2) ta có điều phải chứng minh
Từ ví dụ 1 giáo viên yêu cầu học sinh đọc kết quả bài tập sau:
Cho n là số tự nhiên n 1 Tính tổng :
n n n
n n
n n
n n
n
C n C
C C
C
S
1
1 2 1
2
4
1 2 3
1 2 2
1
2
.
n n n
n n
n n
n C
C C
C
P
1
1 2 ) 1 (
4
1 2 3
1 2 2
1 2
.
Giáo viên:
Cho học sinh suy nghĩ để tìm ra bài toán mới, sau đó dẫn dắt đến bài toán tổng quát thay số 2 bởi một số tự nhiên khác
Ví dụ 2:
Cho n là số tự nhiên n 1 Chứng minh đẳng thức sau:
1
2 3 1
1 2 1
2
4
1 2 3
1 2 2
1
1 3
4 2 3 1
2
0
n
C n
C n C
C C
n
n n n
n n
n n
n
Giải:
Cách 1:
n n
n n n
1
Lấy tích phân hai vế (từ 1 đến 2 ) ta được:
dx x C x
C x C x C C dx
n n
n n n
)
1
2
1 0 2
1
1 1 1
3 4 2 3 1 2
1
1 1
4
1 3
1 2
1
n n n
n
n n
n n
n C x n C
x C x C x C
n
n n n
n n
n n
n
C n C
C C
C
1
1 2 1
2
4
1 2 3
1 2 2
1
1 3
4 2 3 1 2