0

SKKN Rèn luyện tư duy, tìm tòi sáng tạo cho học sinh THPT qua một số bài toán chứng minh đẳng thức tổ hợp

32 2,074 3
  • SKKN Rèn luyện tư duy, tìm tòi sáng tạo cho học sinh THPT qua một số bài toán chứng minh đẳng thức tổ hợp

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

Tài liệu liên quan

Thông tin tài liệu

Ngày đăng: 08/04/2015, 15:04

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐỀ TÀI: "RÈN LUYỆN TƯ DUY, TÌM TÒI SÁNG TẠO CHO HỌC SINH THPT QUA MỘT SỐ BÀI TOÁN CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC TỔ HỢP" 1 PHẦN I: ĐẶT VẤN ĐỀ Trong chương trình toán học phổ thông phần đại số tổ hợp, số phức là chương trình mới lạ và khó đối với các em học sinh. Các bài toán tổ hợp mang tính tổng hợp và khái quát hóa cao. Vì vậy học sinh học đến phần này thường ngại, sự say mê, sáng tạo giảm. Nếu chưa học đạo hàm, tích phân, số phức mà các em chỉ vận dụng các công thức trong sách giáo khoa thì các em giải các bài toán về chứng minh đẳng thức tổ hợp rất khó khăn. Các em không biết nên xuất phát từ đâu? Nên dùng công thức nào để chứng minh? Để giúp học sinh khắc phục tình trạng trên,giúp cho các em có sự say mê, tư duy sáng tạo trong việc học phần đại số tổ hợp .Tôi đã đọc tài liệu,nghiên cứu,phân tích,cải tiến cách dạy, tìm tòi thêm các công thức khác, hướng dẫn các em tự tìm tòi, tự phát triển ra các công thức mới dựa trên các công thức đã có, các bài tập để trang bị cho các em lượng kiến thức để các em vận dụng làm bài tập một cách khoa học hơn, sáng tạo hơn.Tạo ra sự hứng thú trong học tập đồng thời giúp các em rèn luyện phương pháp giải bài tập không những loại bài tập này mà còn vận dụng cách tư duy đó cho các loại bài tập khác. Trong khuôn khổ đề tài “Rèn luyện tư duy,tìm tòi sáng tạo cho học sinh THPT qua một số bài toán chứng minh đẳng thức tổ hợp” tôi chỉ nêu một số phương pháp thường dùng để các em giải quyết bài toán chứng minh đẳng thức tổ hợp một cách khoa học hơn, có cơ sở và có tính sáng tạo hơn. Từ đó để các em củng cố kiến thức,rèn luyện khả năng nghiên cứu khoa học, đồng thời cũng trang bị thêm kiến thức nhằm chuẩn bị tốt cho các kỳ thi tốt nghiệp và kỳ thi đại học,cao đẳng. PHẦN II: NỘI DUNG 2 I. CƠ SỞ LÝ THUYẾT 1. Công thức nhị thức Niu-tơn: kknk n nn n kknk n n n n n n baCxCbaCbaCaCba −−− ∑ =++++=+ )( 110 ),;( * Nnknk ∈≤ (Quy ước 1 00 == ba ) 2. Công thức tổ hợp: Các định nghĩa, tính chất. 3. Công thức liên quan đến số phức, công thức Moa- vrơ, công thức đạo hàm của hàm số mũ,công thức tích phân. 4. Một số công thức khác: 1 1 − − = k n k n nCkC ),;( * Nnknk ∈≤ k n k n CnCk )1()1( 1 1 +=+ + + ),;( * Nnknk ∈≤ 1 1 1 1 1 1 + + + = + k n k n C n C k ),;( * Nnknk ∈≤ 1 1 2 2 2 )1( − − − − +−= k n k n k n nCCnnCk ),;;2( Nnknkk ∈≤≥ ii 2)1( 2 =+ ; ii 2)1( 2 =− ; 8)31( 2 −=+ i ; 8)31( 2 −=− i II: THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ - Đối với học sinh THPT đa số học sinh khi gặp loại toán này thường không giải được hoặc giải được nhưng tốn rất nhiều thời gian .Các em thường không biết nên giải thế nào ?Công thức trong sách giáo khoa lại ít,nếu dùng định lý về số các tổ hợp để làm bài tập thì rất phức tạp mà có khi không thể giải ra được. 3 - Một số em khi gặp các bài toán mà các em chưa tìm ra hướng giải các em sẽ bỏ cuộc ngay,không có tính kiên trì tìm tòi,ỷ lại,chờ thầy giáo,cô giáo chữa . - Số tiết bài tập dành cho loại bài tập này ít nhưng nó lại có trong các đề thi thử Đại học của một số trường THPT ,và đặc biệt cũng có trong một số đề thi Đại học, cao đẳng,thi học sinh giỏi tỉnh. III.GIẢI PHÁP THỰC HIỆN Phương pháp 1: Sử dụng công thức khai triển nhị thức Niu-Tơn,các công thức tổ hợp,các tính chất của tổ hợp Ví dụ 1: Chứng minh: nn n n nnnn CCCCC 43 333 332210 =+++++ )( * Nn ∈ Giải: Xét khai triển nn n nn nnnn n xCxCxCxCCx +++++=+ −− 112210 )1( )( * Nn∈ (1) Thay x = 3 ta được: n n nn n n nnnn n CCCCCC 33 333)31( 11332210 ++++++=+ −− Hay nn n n nnnn CCCCC 43 333 332210 =+++++ điều phải chứng minh. Giáo viên: Nếu ở (1) của ví dụ trên ta thay x = 2 thì được kết quả như thế nào ? giáo viên có thể yêu cầu học sinh phát biểu thành một bài toán.Từ đó cho học sinh phát triển thành bài tập tổng quát với x = a )( * Na ∈ Ví dụ 2: Chứng minh đẳng thức sau: 4 a. 1 2 32 2 12 2 12 8 9 4 5 2 3 2 3210 − + = + ++ + +++++ n nn n n n n k n k k nnnn CCCCCC ),,0( * NnNknk ∈∈≤≤ b. nn nnnn CCCC 2 12 2 12 1 12 0 12 2 =++++ ++++ )( * Nn ∈ Giải: a.Xét khai triển nn n kk nnnn n xCxCxCxCCx ++++++=+ )1( 2210 )( * Nn ∈ Thay 2 1 =x ta được n n n k n k nnnn n CCCCCC 2 1 2 1 8 1 4 1 2 1 ) 2 3 ( 3210 +++++++= (1) Thay 1 = x ta được n n k nnnnn n CCCCCC +++++++= 2 3210 (2) Cộng vế với vế của (1) và (2) ta được: 1 2 32 2 12 2 12 8 9 4 5 2 3 2 3210 − + = + ++ + +++++ n nn n n n n k n k k nnnn CCCCCC Suy ra điều phải chứng minh. b.Áp dụng công thức: kn n k n CC − = ),;0( * NnNknk ∈∈≤≤ Ta có: ) ( 2 1 12 12 2 12 1 12 0 1212 2 12 1 12 0 12 + ++++++++ ++++=++++ n nnnn n nnnn CCCCCCCC Xét khai triển 1212 12 22 12 1 12 0 12 12 )1( ++ ++++ + ++++=+ nn nnnn n xCxCxCCx )( * Nn ∈ Thay 1=x ta được 1212 12 2 12 1 12 0 12 2 ++ ++++ =++++ nn nnnn CCCC Dođó: nn nnnn n nnnn CCCCCCCC 212 12 2 12 1 12 0 1212 2 12 1 12 0 12 2) ( 2 1 =++++=++++ + ++++++++ điều phải chứng minh. 5 Ví dụ 3: Chứng minh: 11321 2.)1( 32 −− =+−++++ nn n n nnnn nnCCnCCC )( * Nn ∈ Giải: Đặt: n n n nnnn nCCnCCCS +−++++= − 1321 )1( 32 (1) Cách 1: Áp dụng công thức: kn n k n CC − = ),,0( * NnNknk ∈∈≤≤ Ta có: 11 − = n nn CC 22 22 − = n nn CC 33 33 − = n nn CC 11 )1()1( n n n CnCn −=− − 0 n n n nCnC = Cộng vế với vế ta được: 01321 )1( 32 nn n n n n n n nCCnCCCS +−++++= −−− (2) Từ (1) và (2) ta có: ) (2 13210 n n n nnnnn CCCCCCnS ++++++= − Xét khai triển nn n nn nnnn n xCxCxCxCCx +++++=+ −− 112210 )1( )( * Nn∈ Thay x = 1 ta được: n n n nnnnn n CCCCCC ++++++= − 13210 2 Do đó : n nS 2.2 = 6 Hay 11321 2.)1( 32 −− =+−++++ nn n n nnnn nnCCnCCC Cách 2: Áp dụng công thức: 1 1 − − = k n k n nCkC ),;( * Nnknk ∈≤ Ta có: 0 1 1 − = nn nCC 1 1 2 2 − = nn nCC 2 1 3 3 − = nn nCC 1 1 − − = n n n n nCnC Cộng vế với vế ta được: ) ( 1 1 2 1 1 1 0 1 − −−−− ++++= n nnnn CCCCnS Xét khai triển 11 1 22 1 1 1 0 1 1 )1( −− −−−− − ++++=+ nn nnnn n xCxCxCCx )( * Nn ∈ Thay x = 1 ta được: 1 1 2 1 1 1 0 1 1 2 − −−−− − ++++= n nnnn n CCCC Do đó : 1 2. − = n nS Hay 11321 2.)1( 32 −− =+−++++ nn n n nnnn nnCCnCCC điều phải chứng minh. Cách 3: Dùng đạo hàm chúng ta cũng giải được ví dụ này (ở phương pháp dùng đạo hàm phần sau). Có những bài toán để giải nhanh các em càn biết phân tích và dựa vào kết quả các bài tập đã làm rồi. Ví dụ 4: 7 Chứng minh: a, 13210 2)2()1( 432.1 − +=++++++ nn nnnnn nCnCCCC )( * Nn ∈ b, 12)2()1( 32.1 1432 +−=−++++ − nn nnnn nCnCCC );2( Nnn ∈≥ Giải: Hướng dẫn: a,Ta có: ) 2() ()1( 32.1 21210210 n nnn n nnnn n nnnn nCCCCCCCCnCCC ++++++++=+++++ Theo ví dụ trên ta có: 11321 2.)1( 32 −− =+−++++ nn n n nnnn nnCCnCCC và nn n n nnnnn CCCCCC 2 13210 =++++++ − Cộng vế với vế ta được: 13210 2)2()1( 432.1 − +=++++++ nn nnnnn nCnCCCC b, Đặt: 1 3210 )1( 432.1 SCnCCCC n nnnnn =++++++ 2 432 )1( 32.1 SCnCCC n nnnn =−++++ Cách 1: Ta có: 12)2(12.22)2() (2 1103210 12 +−=+−+=++++++−= −− nnn n n nnnnn nnCCCCCCSS Cách 2: Ta có: 03210321 2 ) () 32( n n nnnnn n nnnn CCCCCCnCCCCS ++++++−++++= Các tổng này đều đã tính ở trên thay vào ta được điều phải chứng minh. Ví dụ 5: Chứng minh: 8 11433221 3.2 2.42.32.2 −− =+++++ nn n n nnnn nCnCCCC )( * Nn ∈ Giải: Áp dụng công thức: 1 1 − − = k n k n nCkC ),;( * Nnknk ∈≤ Ta có: 0 1 1 − = nn nCC 1 1 2 .22.2 − = nn nCC 2 1 232 .23.2 − = nn nCC 1 1 11 .2.2 − − −− = n n nn n n nCnC Cộng vế với vế ta được: )2 22( 1 1 12 1 21 1 0 1 − − − −−− ++++= n n n nnn CCCCnS Xét khai triển 11 1 22 1 1 1 0 1 1 )1( −− −−−− − ++++=+ nn nnnn n xCxCxCCx )( * Nn ∈ Thay x = 2 ta được: 1 1 12 1 21 1 0 1 1 2 223 − − − −−− − ++++= n n n nnn n CCCC Do đó : 1 3. − = n nS Hay 11433221 3.2 2.42.32.2 −− =+++++ nn n n nnnn nCnCCCC điều phải chứng minh. Giáo viên: Làm cho học sinh hiểu rõ :Nếu ở ví dụ này ta thay x bởi một số tự nhiên khác thì chúng ta lại có một bài toán mới. Từ đó giáo viên cho học sinh tổng quát thành bài toán: Bài tâp tổng quát: Chứng minh: 11433221 )1.( 4.3.2 −− +=+++++ nn n n nnnn anCanCaCaaCC ),( * Nna ∈ 9 Thông qua các ví dụ này giáo viên có thể làm cho học sinh thấy rõ ,từ một bài tập nào đó chúng ta có thể suy nghĩ, phát triển ,mở rộng ra được các bài tập mới và từ đó giúp cho học sinh tập làm quen với khả năng tư duy, sáng tạo trong học toán. Giáo viên cũng yêu cầu học sinh về nhà tự tìm tòi ra các bài tập khác từ các ví dụ này và tìm bài tập tổng quát cho ví dụ 2 coi như một bài tập. Ví dụ 6: Cho n là số tự nhiên 1 ≥ n .Chứng minh đẳng thức sau: 1 12 1 11 4 1 3 1 2 1 1 13210 + − = + ++++++ + − n C n C n CCCC n n n n nnnnn Giải: Cách 1: Ta có công thức: k n k n CnCk )1()1( 1 1 +=+ + + ),;( * Nnknk ∈≤ Nên 1 1 1 1 1 1 + + + = + k n k n C n C k Do đó: 1 1 0 1 1 + + = nn C n C 2 1 1 1 1 2 1 + + = nn C n C 3 1 2 1 1 3 1 + + = nn C n C 10 [...]... + x) số của 4027 xk 4027 (k ∈ N * ) ở hai vế của đẳng thức ta được điều phải chứng minh Giáo viên: Gợi ý cho học sinh suy nghĩ để tìm ra bài toán mới, sau đó dẫn đến bài toán tổng quát, coi như một bài tập về nhà Bài tâp tổng quát: 0 k 1 k −1 2 k −2 k −1 1 k 0 k minh: Cn Cm + Cn Cm + Cn Cm + + Cn Cm + Cn Cm = Cn+m Chứng (0 ≤ k ≤ n;0 ≤ k ≤ m; k , n, m ∈ N * ) Đặc biệt: Khi m = n = k ta có bài toán: ... túng và rất mơ hồ, vì vậy khi dạy phần này tôi phải lựa chọn phương pháp dạy để học sinh tiếp cận nhanh nhất Tôi đã phân loại các dạng bài tập để học sinh nắm bắt nội dung bài học hiệu quả Một trong các dạng đó là dùng số phức để chứng minh hay tính tổng đẳng thức liên quan đến tổ hợp Ví dụ 1 : 1 3 5 2013 1006 Chứng minh đẳng thức: C2013 − C2013 + C2013 − + C2013 = −2 Giải: Xét khai triển : (1 + i ) 2013... dùng công thức nào để chứng minh? các bài kiểm tra có nhiều em còn bị điểm kém ,điểm khá giỏi ít.Để kiểm tra hiệu quả của đề tài này, sau khi các em được hướng dẫn cách sử dụng công thức, tính chất tổ hợp, cách sử dụng đạo hàm, tích phân, công thức triển khai nhị thức Niu Tơn, số phức để chứng minh hay tính tổng các bài toán liên quan đến tổ hợp Các em đã tự tin và giải bài toán dạng này một cách thành... cùng tiến bộ - Rèn luyện cách trình bày bài một cách chặt chẽ, cẩn thận và sáng sủa - Làm cho các em yêu thích môn toán và say mê học toán hơn 31 Trên đây lầ một số phương pháp để rèn luyện cho học sinh, tuy nhiên trong phạm vị đề tài này tôi cũng chỉ mới giải quyết một số bài toán Rất mong các bạn đồng nghiệp góp ý kiến để có một cách dạy và khai thác thể loại này một cách tốt nhất và hiệu quả cao nhất... 2013 0 12 Tính tổng: S = C 2014 C 2014 + C 2014 C 2013 + C 2014 C 2012 + + C2014 C 2 + C2014 C1 Phương pháp 2: Sử dụng đạo hàm Rất nhiều bài toán chứng minh đẳng thức tổ hợp khi dùng phương pháp đạo hàm thì chứng minh rất ngắn gọn và dễ hiểu, dễ nhớ cách chứng minh Tùy vào tùng bài toán cụ thể mà ta phải tính đến đạo hàm cấp một, cấp hai,v.v bằng các ví dụ giáo viên dẫn dắt, giúp học sinh lựa chọn... chứng minh) Giáo viên: Nếu ở (3) của ví dụ trên ta thay x = 2 thì được kết quả như thế nào ? giáo viên có thể yêu cầu học sinh phát biểu thành một bài toán. Từ đó cho học sinh phát triển thành bài tập tổng quát với x = a (a ∈ N * ) Bài tập: 1 .Chứng minh đẳng thức: 0 1 2 n 1 2 n n.4 n −1 C n − (n − 1).4 n −2 C n + (n − 2).4 n −3 C n + + ( −1) n −1 C n −1 = C n + 4C n + + n.2 n −1 C n (n ∈ N * ) 2 .Chứng. .. 2 = 3n − 2 n 1 ( n ∈ N * ) điều phải chứng minh Giáo viên: Yêu cầu học sinh suy nghĩ bài tập tổng quát,coi như một bài tập về nhà Bài tập: 1 .Chứng minh đẳng thức sau: 1 2 3 n C n + 5C n + 19C n + + (3n − 2 n )C n = 4 n − 3n (n ∈ N * ) 2.Tính tổng: 1 0 1 1 1 2 1 3 1 n 1 n S = C n + C n + C n + C n + + C n −1 + Cn 2 4 6 8 2n 2n + 2 (n ∈ N * ) 3 .Chứng minh đẳng thức sau: 2 2 0 2 4 1 2 6 2 28 3 (−1)... 2.Năm học 2012-2013 Lớp Sỹ số Điểm từ 5 đến dưới Điểm từ 7 đến dưới 8 Điểm trên 8 7 Số lượng % Số lượng % Số lượng % 12M 41 11 26,8 10 24,4 20 48,8 12B 44 7 15,9 12 27,3 25 56,8 12G 49 2 4,1 11 22,4 36 73,5 PHẦN III: KẾT LUẬN VÀ ĐỀ XUẤT 1.Kết luận Qua quá trình thực hiện đề tài này tôi thu được một số bài học kinh nghiệm: - Luôn củng cố và khắc sâu các kiến thức có liên quan - Cần rèn luyện cho học sinh. .. điều phải chứng minh Từ ví dụ 1 giáo viên yêu cầu học sinh đọc kết quả bài tập sau: Cho n là số tự nhiên n ≥ 1 Tính tổng : 1 1 1 2 1 3 1 n 1 0 n S = 2.C n + 2 2 C n + 2 3 C n + 2 4 C n + + 2 n C n −1 + 2 n+1 Cn 2 3 4 n n +1 1 1 1 2 1 3 1 0 n P = 2.C n − 2 2 C n + 23 C n − 2 4 C n + + (−1) n 2 n+1 Cn 2 3 4 n +1 Giáo viên: Cho học sinh suy nghĩ để tìm ra bài toán mới, sau đó dẫn dắt đến bài toán tổng quát... 24 4 .Chứng minh đẳng thức sau: 1 1 1 1 + (−1) n 3 1 2 4 1 3 n n +1 n (n ∈ N * ) 2C − 2 Cn + 2 Cn − 2 Cn + + (−1) 2 Cn = 2 3 4 n +1 n +1 0 n 2 5 .Chứng minh đẳng thức sau: 1 1 1 2 1 3 (−1) n n 2.4 (2n) C − C n + Cn − C n + + Cn = 3 5 7 2n + 1 3.5 (2n + 1) 0 n (n ∈ N * ) 6.Nêu các bài tập tổng quát (nếu có) của các bài tập trên Phương pháp4:Sử dụng số phức Số phức là phần kiến thức mới mà học sinh đang . cách tư duy đó cho các loại bài tập khác. Trong khuôn khổ đề tài Rèn luyện tư duy ,tìm tòi sáng tạo cho học sinh THPT qua một số bài toán chứng minh đẳng thức tổ hợp tôi chỉ nêu một số phương pháp. SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐỀ TÀI: "RÈN LUYỆN TƯ DUY, TÌM TÒI SÁNG TẠO CHO HỌC SINH THPT QUA MỘT SỐ BÀI TOÁN CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC TỔ HỢP" 1 PHẦN I: ĐẶT VẤN ĐỀ Trong chương trình toán học. 4 1 .2 3 1 .2 2 1 .2.2 13423120 + −++−+−= + Giáo viên: Cho học sinh suy nghĩ để tìm ra bài toán mới, sau đó dẫn dắt đến bài toán tổng quát thay số 2 bởi một số tự nhiên khác. Ví dụ 2: Cho n là số tự nhiên 1 ≥ n .Chứng minh đẳng thức sau: 1 23 1 1212
- Xem thêm -

Xem thêm: SKKN Rèn luyện tư duy, tìm tòi sáng tạo cho học sinh THPT qua một số bài toán chứng minh đẳng thức tổ hợp, SKKN Rèn luyện tư duy, tìm tòi sáng tạo cho học sinh THPT qua một số bài toán chứng minh đẳng thức tổ hợp, SKKN Rèn luyện tư duy, tìm tòi sáng tạo cho học sinh THPT qua một số bài toán chứng minh đẳng thức tổ hợp

Từ khóa liên quan