Nếuchưa học đạo hàm, tích phân, số phức mà các em chỉ vận dụng các công thức trong sáchgiáo khoa thì các em giải các bài toán về chứng minh đẳng thức tổ hợp rất khó khăn.. Để giúphọc sin
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐỀ TÀI: "RÈN LUYỆN TƯ DUY, TÌM TỊI SÁNG TẠO CHO HỌC SINH THPT QUA MỘT SỐ BÀI TOÁN CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC TỔ HỢP" PHẦN I: ĐẶT VẤN ĐỀ Trong chương trình tốn học phổ thông phần đại số tổ hợp, số phức chương trình lạ khó em học sinh Các tốn tổ hợp mang tính tổng hợp khái qt hóa cao Vì học sinh học đến phần thường ngại, say mê, sáng tạo giảm Nếu chưa học đạo hàm, tích phân, số phức mà em vận dụng công thức sách giáo khoa em giải tốn chứng minh đẳng thức tổ hợp khó khăn Các em nên xuất phát từ đâu? Nên dùng công thức để chứng minh? Để giúp học sinh khắc phục tình trạng trên,giúp cho em có say mê, tư sáng tạo việc học phần đại số tổ hợp Tôi đọc tài liệu,nghiên cứu,phân tích,cải tiến cách dạy, tìm tịi thêm cơng thức khác, hướng dẫn em tự tìm tịi, tự phát triển công thức dựa cơng thức có, tập để trang bị cho em lượng kiến thức để em vận dụng làm tập cách khoa học hơn, sáng tạo hơn.Tạo hứng thú học tập đồng thời giúp em rèn luyện phương pháp giải tập khơng loại tập mà cịn vận dụng cách tư cho loại tập khác Trong khuôn khổ đề tài “Rèn luyện tư duy,tìm tịi sáng tạo cho học sinh THPT qua số tốn chứng minh đẳng thức tổ hợp” tơi nêu số phương pháp thường dùng để em giải toán chứng minh đẳng thức tổ hợp cách khoa học hơn, có sở có tính sáng tạo Từ để em củng cố kiến thức,rèn luyện khả nghiên cứu khoa học, đồng thời trang bị thêm kiến thức nhằm chuẩn bị tốt cho kỳ thi tốt nghiệp kỳ thi đại học,cao đẳng PHẦN II: NỘI DUNG I CƠ SỞ LÝ THUYẾT Công thức nhị thức Niu-tơn: k n k (a + b) n = C n a n + C n a n−1b + C n a n−k b k + + C n x n = ∑ C n a n−k b k ( k ≤ n; k , n ∈ N * ) (Quy ước a = b = ) Công thức tổ hợp: Các định nghĩa, tính chất Cơng thức liên quan đến số phức, công thức Moa- vrơ, công thức đạo hàm hàm số mũ,cơng thức tích phân Một số cơng thức khác: k k −1 kCn = nC n−1 ( k ≤ n; k , n ∈ N * ) k +1 k (k + 1)Cn+1 = (n + 1)Cn ( k ≤ n; k , n ∈ N * ) 1 k k+ Cn = C n+11 k +1 n +1 ( k ≤ n; k , n ∈ N * ) k k −2 k− k Cn = n(n − 1)C n−2 + nC n−11 ( k ≥ 2; k ≤ n; k , n ∈ N ) (1 + i ) = 2i ; (1 − i ) = 2i ; (1 + 3i ) = −8 ; (1 − 3i ) = −8 II: THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ - Đối với học sinh THPT đa số học sinh gặp loại tốn thường khơng giải giải tốn nhiều thời gian Các em thường nên giải ?Công thức sách giáo khoa lại ít,nếu dùng định lý số tổ hợp để làm tập phức tạp mà có khơng thể giải - Một số em gặp toán mà em chưa tìm hướng giải em bỏ ngay,khơng có tính kiên trì tìm tịi,ỷ lại,chờ thầy giáo,cô giáo chữa - Số tiết tập dành cho loại tập lại có đề thi thử Đại học số trường THPT ,và đặc biệt có số đề thi Đại học, cao đẳng,thi học sinh giỏi tỉnh III.GIẢI PHÁP THỰC HIỆN Phương pháp 1: Sử dụng công thức khai triển nhị thức Niu-Tơn,các công thức tổ hợp,các tính chất tổ hợp Ví dụ 1: Chứng minh: n C n + 3C n + 32 C n + 33 C n + + 3n C n = n (n ∈ N * ) Giải: n 2 n −1 n −1 n n Xét khai triển (1 + x) = C n + C n x + C n x + + C n x + C n x (n ∈ N * ) (1) n 2 3 n −1 n −1 n n Thay x = ta được: (1 + 3) = C n + 3C n + C n + C n + + C n + C n 2 3 n n n Hay C n + 3C n + C n + C n + + C n = điều phải chứng minh Giáo viên: Nếu (1) ví dụ ta thay x = kết ? giáo viên yêu cầu học sinh phát biểu thành tốn.Từ cho học sinh phát triển thành tập tổng quát với x = a (a ∈ N * ) Ví dụ 2: Chứng minh đẳng thức sau: 2k +1 k n + n 2 n + 3n −1 a C + C n + C n + C n + + k C n + + n C n = 2 2n n (0 ≤ k ≤ n, k ∈ N , n ∈ N * ) n 2n b C n+1 + C n+1 + C n+1 + + C n+1 = (n ∈ N * ) Giải: n 2 k k n n a.Xét khai triển (1 + x) = Cn + Cn x + Cn x + + Cn x + + Cn x Thay x = (n ∈ N * ) n 1 k n ta ( ) = Cn + Cn + Cn + Cn + + k Cn + + n Cn (1) 2 2 n k n Thay x = ta = C n + C n + C n + C n + + C n + + C n (2) Cộng vế với vế (1) (2) ta được: 2k +1 k n + n 2 n + 3n C + C n + C n + C n + + k C n + + n C n = − Suy điều phải chứng 2 2n n minh k n −k (0 ≤ k ≤ n; k ∈ N , n ∈ N * ) b.Áp dụng công thức: Cn = Cn n Ta có: C2 n+1 + C2 n+1 + C2 n+1 + + C2 n+1 = 1 2 n +1 (C2 n+1 + C2 n+1 + C2 n+1 + + C2 n+1 ) 2 n +1 2 n +1 = C n+1 + C2 n+1 x + C n+1 x + + C n+1 x n+1 (n ∈ N * ) Xét khai triển (1 + x) 2 n +1 n +1 Thay x = ta C2 n+1 + C n+1 + C2 n+1 + + C n+1 = 2 n Dođó: C2 n+1 + C2 n+1 + C2 n+1 + + C2 n+1 = 1 2 n +1 (C2 n+1 + C2 n+1 + C2 n+1 + + C2 n+1 ) = 2 n điều phải chứng minh Ví dụ 3: Chứng minh: n n C n + 2C n + 3C n + + (n − 1)C n −1 + nC n = n.2 n −1 (n ∈ N * ) Giải: n −1 n Đặt: S = C n + 2C n + 3C n + + (n − 1)C n + nC n (1) Cách 1: k n−k Áp dụng công thức: C n = C n (0 ≤ k ≤ n, k ∈ N , n ∈ N * ) n −1 Ta có: Cn = Cn n 2C n = 2C n −2 n 3C n = 3C n −3 n (n − 1)Cn −1 = (n − 1)Cn n nC n = nCn n −1 n−2 n −3 Cộng vế với vế ta được: S = C n + 2C n + 3C n + + (n − 1)C n + nC n (2) n −1 n Từ (1) (2) ta có: 2S = n(C n + C n + C n + C n + + C n + C n ) n 2 n −1 n −1 n n Xét khai triển (1 + x) = C n + C n x + C n x + + C n x + C n x (n ∈ N * ) n n −1 n Thay x = ta được: = Cn + Cn + Cn + Cn + + Cn + Cn Do : 2S = n.2 n n −1 n n −1 Hay C n + 2C n + 3C n + + (n − 1)C n + nC n = n.2 Cách 2: k k −1 Áp dụng công thức: kCn = nC n−1 ( k ≤ n; k , n ∈ N * ) Ta có: C n = nC n−1 2C n = nC n−1 3C n = nC n−1 n n −1 nC n = nC n−1 n −1 Cộng vế với vế ta được: S = n(C n−1 + C n−1 + C n−1 + + C n−1 ) n −1 2 n −1 n −1 (n ∈ N * ) Xét khai triển (1 + x) = Cn−1 + Cn−1 x + Cn−1 x + + Cn−1 x Thay x = ta được: n −1 n −1 = C n−1 + C n−1 + C n−1 + + C n−1 Do : S = n.2 n−1 n −1 n n −1 Hay C n + 2C n + 3C n + + (n − 1)C n + nC n = n.2 điều phải chứng minh Cách 3: Dùng đạo hàm giải ví dụ (ở phương pháp dùng đạo hàm phần sau) Có tốn để giải nhanh em càn biết phân tích dựa vào kết tập làm Ví dụ 4: Chứng minh: n n −1 a, 1.C n + 2C n + 3C n + 4C n + + (n + 1)C n = (n + 2)2 n n −1 b, 1.Cn + 2Cn + 3Cn + + (n − 1)Cn = (n − 2)2 + (n ∈ N * ) ( n ≥ 2; n ∈ N ) Giải: Hướng dẫn: a,Ta có: n n n 1.C n + 2C n + 3C n + + (n + 1)C n = (C n + C n + C n + + C n ) + (C n + 2C n + + nCn ) n −1 n n −1 Theo ví dụ ta có: C n + 2C n + 3C n + + (n − 1)C n + nC n = n.2 n −1 n n C n + C n + C n + C n + + C n + C n = 2 n n −1 Cộng vế với vế ta được: 1.C n + 2C n + 3C n + 4C n + + (n + 1)C n = (n + 2)2 n b, Đặt: 1.C n + 2C n + 3Cn + 4C n + + (n + 1)C n = S1 n 1.C n + 2C n + 3C n + + (n − 1)C n = S Cách 1: Ta có: n S = S1 − 2(C n + C n + C n + C n + + C n ) + C n = (n + 2)2 n−1 − 2.2 n + = (n − 2)2 n−1 + Cách 2: n n Ta có: S = (Cn + 2C n + 3C n + + nC n ) − (C n + C n + Cn + C n + + Cn ) + C n Các tổng tính thay vào ta điều phải chứng minh Ví dụ 5: Chứng minh: n C n + 2.2C n + 3.2 C n + 4.2 C n + + n.2 n −1 C n = n.3n −1 (n ∈ N * ) k k −1 Giải: Áp dụng công thức: kCn = nCn−1 (k ≤ n; k , n ∈ N * ) Ta có: C n = nC n−1 2.2C n = 2.nC n−1 2 2.3Cn = 2.nC n−1 n n −1 n−1.nCn = n−1.nCn−1 2 n −1 n −1 Cộng vế với vế ta được: S = n(C n−1 + 2C n−1 + C n −1 + + C n−1 ) n −1 2 n −1 n −1 (n ∈ N * ) Xét khai triển (1 + x) = C n−1 + Cn−1 x + C n−1 x + + C n−1 x Thay x = ta được: n −1 n −1 = C n −1 + 2C n−1 + 2 C n−1 + + n−1 C n −1 Do : S = n.3n −1 2 3 n −1 n n −1 Hay C n + 2.2C n + 3.2 C n + 4.2 C n + + n.2 C n = n.3 điều phải chứng minh Giáo viên: Làm cho học sinh hiểu rõ :Nếu ví dụ ta thay x số tự nhiên khác lại có tốn Từ giáo viên cho học sinh tổng quát thành toán: Bài tâp tổng quát: Chứng minh: n Cn + 2.aC n + 3.a 2C n + 4.a 3Cn + + n.a n−1Cn = n.(1 + a) n−1 ( a, n ∈ N * ) Thông qua ví dụ giáo viên làm cho học sinh thấy rõ ,từ tập suy nghĩ, phát triển ,mở rộng tập từ giúp cho học sinh tập làm quen với khả tư duy, sáng tạo học toán Giáo viên yêu cầu học sinh nhà tự tìm tịi tập khác từ ví dụ tìm tập tổng quát cho ví dụ coi tập Ví dụ 6: Cho n số tự nhiên n ≥ Chứng minh đẳng thức sau: 1 n n+1 − n C n + C n + C n + C n + + C n −1 + Cn = n n +1 n +1 Giải: Cách 1: k +1 k Ta có cơng thức: (k + 1)C n+1 = (n + 1)C n Nên (k ≤ n; k , n ∈ N * ) 1 k k+ Cn = C n+11 k +1 n +1 Do đó: C n = 1 C n+1 n +1 1 Cn = C n+1 n +1 Cn = C n+1 n +1 10 Cn C2 C3 C n −1 Cn + n + n + + (n − 1) n − + n nn−1 = C n −1 n Cn Cn Cn Cn Cn (n ∈ N * ) 2013 2012 2011 2012 2013 12 Tính tổng: S = C 2014 C 2014 + C 2014 C 2013 + C 2014 C 2012 + + C2014 C + C2014 C1 Phương pháp 2: Sử dụng đạo hàm Rất nhiều toán chứng minh đẳng thức tổ hợp dùng phương pháp đạo hàm chứng minh ngắn gọn dễ hiểu, dễ nhớ cách chứng minh Tùy vào tùng toán cụ thể mà ta phải tính đến đạo hàm cấp một, cấp hai,v.v ví dụ giáo viên dẫn dắt, giúp học sinh lựa chọn cách giải cho phù hợp Ví dụ1: (Đây Ví dụ phần phương pháp ta dùng đạo hàm để chứng minh) n −1 n n −1 Chứng minh: C n + 2C n + 3C n + + (n − 1)C n + nC n = n.2 (n ∈ N * ) Giải: n 2 3 n n Xét khai triển (1 + x) = Cn + Cn x + Cn x + Cn x + + Cn x (n ∈ N * ) (1) Lấy đạo hàm theo x hai vế (1) ta được: n n(1 + x ) n−1 = C n + xCn + x 2C n + + n.x n−1C n Thay x = ta có điều phải chứng minh Nhận xét: - Như học sinh học đạo hàm việc dùng đạo hàm để giải toán nhanh cách giải phần trước - Ở Bài tâp tổng quát: phần phương pháp ta cần thay x = a (a ∈ N * ) - Nếu thay x = - ta dược kết tập phần Ví dụ 2: 15 2 2n n +1 Chứng minh: C n+1 − 2.2C n+1 + 3.2 C n+1 − + (2n + 1)2 C n+1 = 2n + (n ∈ N * ) Giải: n +1 n = C n+1 + C n+1 x + C n+1 x + C n+1 x + + C n+1 x n+1 (n ∈ N * ) (1) Xét khai triển (1 + x) Lấy đạo hàm theo x hai vế (1) ta được: n +1 ( 2n + 1)(1 + x ) n = C n+1 + xC2 n+1 + x C n+1 + + (2n + 1) x n C n+1 Thay x = -2 ta có điều phải chứng minh Ví dụ 3: n n Tính tổng: S = C n − 2C n + 3C n − + (−1) (n + 1)C n (n ∈ N * ) Giải: n 2 n n Xét khai triển (1 + x) = C n + C n x + C n x + + C n x Suy ra: (n ∈ N * ) n x(1 + x) n = C n x + Cn x + C n x + + Cn x n+1 (1) Lấy đạo hàm theo x hai vế (1) ta được: n nx(1 + x) n −1 + (1 + x) n = C n + xC n + x C n + + (n + 1) x n C n Thay x = -1 ta có S = Ví dụ 4: 2014 Tính tổng: S = 4C 2014 + 8C 2014 + 12C2014 + + 4028C 2014 Giải: 16 2014 2014 = C2014 + C2014 x + C2014 x + + C2014 x 2014 Xét khai triển (1 + x) (1) 2014 (1 − x) 2014 = C2014 − C2014 x + C2014 x − + C2014 x 2014 (2) Lấy (1( cộng (2) ta được: 2014 (1 + x ) 2014 + (1 − x) 2014 = 2C 2014 + 2C 2014 x + 2C 2014 x + 2C 2014 x 2014 (3) Lấy đạo hàm theo x hai vế (3) ta được: 2014 2014(1 + x) 2013 − 2014(1 − x) 2013 = 4C 2014 x + 8C 2014 x + 4028C2014 x 2013 Thay x = ta S = 2014.2 2013 Ví dụ 5: Cho n số tự nhiên n ≥ Chứng minh đẳng thức sau: n n n 2C n + ( n − 1) C n + ( n − 2) C n + + 2 C n −2 + 12 C n −1 = n( n + 1)2 n−2 Giải: Hướng dẫn n n n −1 n−2 n −1 n Xét khai triển ( x + 1) = C n x + C n x + C n x + + C n x + C n (n ∈ N * ) (1) Lấy đạo hàm theo x hai vế (1) ta được: n n( x + 1) n−1 = nx n−1C n + (n − 1) x n−2Cn + (n − 2) x n−3C n + + C n −1 n −1 n n −1 n −2 n −1 Suy n( x + 1) x = nx C n + (n − 1) x Cn + (n − 2) x C n + + x C n (2) Lấy đạo hàm theo x hai vế (2) ta được: n n(n − 1)( x + 1) n−2 x + n( x + 1) n−1 = n x n−1C n + (n − 1) x n−2C n + + C n −1 (3) 17 Thay x = vào (3) ta được: n n n(n + 1)2 n−2 = n 2C n + (n − 1) C n + (n − 2) C n + + 2 C n −2 + 12 C n −1 (điều phải chứng minh) Giáo viên: Nếu (3) ví dụ ta thay x = kết ? giáo viên yêu cầu học sinh phát biểu thành tốn.Từ cho học sinh phát triển thành tập tổng quát với x = a (a ∈ N * ) Bài tập: 1.Chứng minh đẳng thức: n n n.4 n −1 C n − (n − 1).4 n −2 C n + (n − 2).4 n −3 C n + + ( −1) n −1 C n −1 = C n + 4C n + + n.2 n −1 C n (n ∈ N * ) 2.Chứng minh đẳng thức: n 1.Cn + 2Cn + 3Cn + + (n − 1)Cn = (n − 2)2 n−1 + ( n ≥ 2; n ∈ N ) 3.Chứng minh đẳng thức: n 2.1.C n + 3.2C n + 4.3C n + + n( n − 1)C n = n(n − 1) n−2 ( n ≥ 2; n ∈ N ) 2 2 n −1 n n−2 4.Chứng minh đẳng thức: C n + C n + C n + + (n − 1) C n + n C n = n(n + 1).2 ( n ≥ 2; n ∈ N ) 5.Chứng minh đẳng thức: n n C n + 2C n + + ( n − 2)C n −1 + (n − 1)C n = ( n − 2) n−1 + (n ∈ N * ) 6.Tính tổng: 18 n n n n n m S = (−1) n Cn Cm + (−1) n+1 Cn+1.Cm+1 + + (−1) m Cm Cm ( n ≤ m; n, m ∈ N * ) Phương pháp3:Dùng tích phân Có tập dùng nhiều phương pháp để chứng minh, số ví dụ hay só tập hai phương pháp dùng phương pháp tích phân để giải.Giáo viên đưa phương pháp sau yêu cầu học sinh lựa chọn phương pháp cho phù hợp em thiên mảng kiến thức khác nhau.Rèn luyện để em vào đề để chọn cách lấy cận tích phân Ví dụ:1 Cho n số tự nhiên n ≥ Chứng minh đẳng thức sau: 1 n−1 n+1 − n C + C n + C n + C n + + C n + Cn = n n +1 n +1 n Giải: n 2 3 n n Xét khai triển (1 + x) = Cn + Cn x + Cn x + Cn x + + Cn x (n ∈ N * ) Lấy tích phân hai vế (từ đến ) ta được: 1 ∫ (1 + x) dx = ∫ (C n 0 n n + C n x + C n x + C n x + + C n x n )dx 0 = ( x.C n + 1 1 n+1 n n x C n + x C n + x C n + + x n C n −1 + x Cn ) n n +1 1 n n = C n + C n + C n + C n + + C n −1 + Cn n n +1 (1) Mặt khác: 19 (1 + x ) n +1 (1 + x) dx = ∫ (1 + x) d (1 + x ) = ∫ n +1 0 1 n = n n +1 − n +1 (2) Từ (1) (2) ta có điều phải chứng minh Từ ví dụ giáo viên yêu cầu học sinh đọc kết tập sau: Cho n số tự nhiên n ≥ Tính tổng : 1 n n S = 2.C n + 2 C n + C n + C n + + n C n −1 + n+1 Cn n n +1 1 n P = 2.C n − 2 C n + 23 C n − C n + + (−1) n n+1 Cn n +1 Giáo viên: Cho học sinh suy nghĩ để tìm tốn mới, sau dẫn dắt đến tốn tổng qt thay số số tự nhiên khác Ví dụ 2: Cho n số tự nhiên n ≥ Chứng minh đẳng thức sau: 2 − 1 23 − 2 − n − n−1 n+1 − n 3n+1 − n+1 C + Cn + Cn + C n + + Cn + Cn = n n +1 n +1 n Giải: Cách 1: n 2 3 n n Xét khai triển (1 + x) = Cn + Cn x + Cn x + Cn x + + Cn x (n ∈ N * ) Lấy tích phân hai vế (từ đến ) ta được: 20 2 ∫ (1 + x) dx = ∫ (C n n n + C n x + C n x + C n x + + C n x n )dx = ( x.C n + 1 1 n+1 n n x Cn + x C n + x C n + + x n C n −1 + x Cn ) n n +1 2 − 1 23 − 2 − n − n−1 n+1 − n =C + Cn + Cn + C n + + Cn + C n (1) n n +1 n Mặt khác: (1 + x) n+1 n n ∫ (1 + x) dx =∫ (1 + x) d (1 + x) = n + 1 2 3n +1 − n+1 = n +1 (2) Từ (1) (2) ta có điều phải chứng minh Cách 2: Tách dùng phương pháp (học sinh tự làm) Giáo viên: Nếu thay tích phân từ đến tích phân từ 1đến ta ? Từ yêu cầu học sinh suy nghĩ để dẫn đến tập tổng quát Ví dụ 3: Chứng minh đẳng thức sau: 1 1 (−1) n−1 n−1 (−1) n n C n − C n + C n − C n + + Cn + Cn = 2n 2n + 2n + (n ∈ N * ) Giải: −1 (1 − x ) n+1 n Ta có: ∫ x(1 − x ) dx = ∫ (1 − x ) d (1 − x ) = − 2(n + 1) 1 = n 2(n + 1) (1) Xét khai triển: 21 n (1 − x ) n = C n − C n x + C n ( x ) − C n ( x ) + + ( −1) n C n ( x ) n Ta có x(1 − x ) n = Cn x − Cn x + Cn2 x − Cn x + + (−1) n Cnn x n+1 Lấy tích phân hai vế (từ đến ) ta được: ∫ x(1 − x 1 n ) dx = ∫ (C n x − C n x + C n x − C n x + + (−1) n C n x n+1 )dx n 0 1 1 1 n = ( x C n − x C n + x C n − x 8C n + + (−1) n x n+2C n ) 2n + 1 1 (−1) n−1 n−1 (−1) n n = C n − C n + C n − C n + + Cn + Cn 2n 2n + (2) Từ (1) (2) ta có điều phải chứng minh Giáo viên: Nếu thay tích phân từ đến tích phân từ đến ta ? Từ rút tập tổng quát Ví dụ 4: Chứng minh đẳng thức sau: 1 1 n+1 − n C n + C n + C n + C n + + Cn = 12 3n + 3n + (n ∈ N * ) Giải: 1 1 (1 + x ) n+1 n+1 − x (1 + x ) dx = ∫ (1 + x ) n d (1 + x ) = = Ta có: ∫ 30 3(n + 1) 3(n + 1) n (1) Xét khai triển: 22 n (1 + x ) n = C n + C n x + C n ( x ) + C n ( x ) + + Cn ( x ) n n 11 n 3n + Ta có x (1 + x ) = C n x + C n x + C n x + C n x + + C n x Lấy tích phân hai vế (từ đến ) ta được: ∫ x(1 − x 1 n ) dx = ∫ (C n x + C n x + Cn x + C n x11 + + C n x 3n+2 )dx n 0 1 1 1 n = ( x 3C n + x 6C n + x 9C n + x12C n + + x n + 3C n ) 12 3n + 1 1 n = C n + C n + C n + C n + + Cn 12 3n + (2) Từ (1) (2) ta có điều phải chứng minh Giáo viên: - Nếu thay tích phân từ đến tích phân từ đến ta ? Từ rút tập tổng quát - Có tập cần kết hợp đạo hàm tích phân ví dụ sau Ví dụ 5: Chứng minh đẳng thức sau: n C n + 3C n + 7C n + + (2 n − 1)C n = 3n − n (n ∈ N * ) Giải: n 2 3 n n Xét khai triển (1 + x) = Cn + Cn x + Cn x + Cn x + + Cn x (n ∈ N * ) (1) Lấy đạo hàm theo x hai vế (1) ta được: 23 n n(1 + x ) n−1 = C n + xCn + x 2C n + + n.x n−1C n Lấy tích phân hai vế (từ đến ) ta được: 2 n n ∫ (1 + x) dx = ∫ (C n + 2C n x + 3C n x + + nC n x n−1 )dx n −1 1 2 n n n = ( xC n + x C n + x 3C n + + x n−1C n −1 + x n C n ) = C n + 3Cn + 7Cn + + (2 n − 1)C n 2 Mặt khác: n ∫ (1 + x) dx =n ∫ (1 + x) n −1 n −1 (1 + x) n d (1 + x) =n n n n n n Do đó: C n + 3C n + 7C n + + (2 − 1)C n = − 2 = 3n − n ( n ∈ N * ) điều phải chứng minh Giáo viên: Yêu cầu học sinh suy nghĩ tập tổng quát,coi tập nhà Bài tập: 1.Chứng minh đẳng thức sau: n C n + 5C n + 19C n + + (3n − n )C n = n − 3n (n ∈ N * ) 2.Tính tổng: 1 1 n n S = C n + C n + C n + C n + + C n −1 + Cn 2n 2n + (n ∈ N * ) 3.Chứng minh đẳng thức sau: 2 28 (−1) n−1 2 n n−1 (−1) n 2 n+ n − (−3) n+1 C n − C n + C n − C n + + Cn + Cn = (n ∈ N * ) 2n 2n + 2(n + 1) 24 4.Chứng minh đẳng thức sau: 1 1 + (−1) n n n +1 n (n ∈ N * ) 2C − Cn + Cn − Cn + + (−1) Cn = n +1 n +1 n 5.Chứng minh đẳng thức sau: 1 (−1) n n 2.4 (2n) C − C n + Cn − C n + + Cn = 2n + 3.5 (2n + 1) n (n ∈ N * ) 6.Nêu tập tổng quát (nếu có) tập Phương pháp4:Sử dụng số phức Số phức phần kiến thức mà học sinh lúng túng mơ hồ, dạy phần tơi phải lựa chọn phương pháp dạy để học sinh tiếp cận nhanh Tôi phân loại dạng tập để học sinh nắm bắt nội dung học hiệu Một dạng dùng số phức để chứng minh hay tính tổng đẳng thức liên quan đến tổ hợp Ví dụ : 2013 1006 Chứng minh đẳng thức: C2013 − C2013 + C2013 − + C2013 = −2 Giải: Xét khai triển : (1 + i ) 2013 2013 = C 2013 + C 2013i + C 2013i + C 2013i + + C 2013 i 2013 2012 2013 = C2013 − C2013 + C2013 − + C2013 + (C2013 − C2013 + C2013 − + C2013 )i (1) Mặt khác: (1 + i ) 2013 = (1 + i )[(1 + i ) ] 1006 = (1 + i )(2i )1006 = (1 + i )(−2)1006 = −21006 − 21006.i (2) 25 Từ (1) (2) ta có: 2012 2013 − 21006 − 21006.i = C2013 − C2013 + C2013 − + C2013 + (C2013 − C2013 + C2013 − + C2013 )i Đ 2013 1006 ồng hai vế ta được: C2013 − C2013 + C2013 − + C2013 = −2 Điều phải chứng minh Sau giải xong ví dụ giáo viên yêu cầu học sinh rút kết tập sau: 2012 Tính tổng: S = C2013 − C2013 + C2013 − + C2013 Ví dụ 2: 2008 2012 Tính tổng: S = C2013 + C2013 + C2013 + + C2013 + C2013 Giải: Xét khai triển : (1 + i ) 2013 2013 = C 2013 + C 2013i + C 2013i + C 2013i + + C 2013 i 2013 2012 2013 = C2013 − C2013 + C2013 − + C2013 + (C2013 − C2013 + C2013 − + C2013 )i (1) Mặt khác: (1 + i ) 2013 = (1 + i )[(1 + i ) ] Từ (1) 1006 = (1 + i )(2i )1006 = (1 + i )(−2)1006 = −21006 − 21006.i (2) (2) ta có: 2012 2013 − 21006 − 21006.i = C2013 − C2013 + C2013 − + C2013 + (C2013 − C2013 + C2013 − + C2013 )i Đ ồng hai vế ta được: − 1006 Xét khai triển : (1 + x) 2013 2012 = C2013 − C2013 + C2013 − + C2013 (3) 2013 = C 2013 + C 2013 x + C 2013 x + C 2013 x + + C 2013 x 2013 Thay x = ta có: 2012 2013 (C2013 + C2013 + C 2013 + + C2013 ) + (C2013 + C 2013 + C2013 + + C2013 ) = 2013 Thay x = -1 ta có: 26 2012 2013 C2013 + C2013 + C2013 + + C2013 = C2013 + C2013 + C2013 + + C2013 Do đó: 2012 2012 = C2013 + C2013 + C2013 + + C2013 (4) Cộng vế với vế (3) (4) ta được: S = 2011 − 21005 Ví dụ : 2 1006 2012 2013 Chứng minh đẳng thức: C2013 − 3C 2013 + C2013 − C2013 + + C2013 = −2 Giải: Xét khai triển : 2013 (1 + 3i ) 2013 = C 2013 + C 2013 ( 3i ) + C 2013 ( 3i ) + C2013 ( 3i ) + + C2013 ( 3i ) 2013 2012 2013 = C2013 − 3C2013 + 32 C2013 − + 31006 C2013 + (C2013 − 3C2013 + + 31006 C2013 ) 3i (1) [ Mặt khác: (1 + 3i ) 2013 = (1 + 3i ) Từ (1) ] 671 = (−8) 671 = −2 2013 (2) (2) ta có: 2012 2013 − 2013 = C2013 − 3C 2013 + 32 C2013 − + 31006 C2013 + (C2013 − 3C2013 + + 31006 C2013 ) 3i Đồng hai vế ta được: 2012 C2013 − 3C2013 + 32 C2013 − 33 C2013 + + 31006 C2013 = −2 2013 Điều phải chứng minh Sau giải xong ví dụ giáo viên yêu cầu học sinh rút kết tập sau: 1006 2013 Tính tổng: S = C2013 − 3C2013 + C2013 − + C2013 Ví dụ : Cho n số tự nhiên n ≥ ,chứng minh: 27 n C n cos α + C n cos 2α + C n cos 3α + C n cos 4α + + C n cos(n + 1)α = n cos n α n+2 cos α 2 Giải: n 2 3 n n Xét khai triển (1 + x ) = C n + C n x + Cn x + C n x + + C n x (n ∈ N * ) n ⇒ x(1 + x ) n = C n x + C n x + C n x + C n x + + C n x n+1 Thay x = cos α + i sin α áp dụng công thức Moa_vrơ ta được: n (cosα + i sin α )(1 + cos α + i sin α ) n = C n cos α + C n cos 2α + C n cos 3α + + C n cos(n + 1)α + n + i (C n sin α + C n sin 2α + C n sin 3α + + C n sin( n + 1)α ) n Mặt khác: (1 + cos α + i sin α ) = (2 cos (1) α α α α α α + 2i sin cos ) n = n cos n (cos + i sin ) n 2 2 2 Áp dụng công thức Moa-vrơ ta có: α α nα nα + i sin ) n = (cosα + i sin α )(cos + i sin ) 2 2 n+2 n+2 = cos α + i sin α 2 (cos α + i sin α )(cos Do đó: (cos α + i sin α )(1 + cos α + i sin α ) n = n cos n α n+2 α n+2 cos α + i.2 n cos n sin α (2) 2 2 Từ (1) (2) ta có: 28 n C n cos α + C n cos 2α + C n cos 3α + C n cos 4α + + C n cos(n + 1)α = n cos n α n+2 cos α Điều 2 phải chứng minh Bài tập: 1.Chứng minh đẳng thức sau: n C n sin α + C n sin 2α + C n sin 3α + C n sin 4α + + C n sin( n + 1)α = n cos n α n+2 sin α 2 (n ∈ N * ) 2014 2.Tính tổng S = C2014 − C2014 + C2014 − − C2014 Chứng minh (1 − C n ) ( ) 2 + C n − + C n − C n + C n − = n (n ∈ N * ) 4.Chứng minh (1 − C n ) + C n − = ( 2) n cos nπ (n ∈ N * ) 5.Chứng minh C n − 3C n + 32 C n − 33 C n + = n cos nπ (n ∈ N * ) 6.Chứng minh C − 3C + C − C + = n n n n 2n sin nπ (n ∈ N * ) 7.Tính tổng hữu hạn: S = − C n + C n − C n + 29 ... cách tư cho loại tập khác Trong khuôn khổ đề tài ? ?Rèn luyện tư duy ,tìm tịi sáng tạo cho học sinh THPT qua số tốn chứng minh đẳng thức tổ hợp? ?? tơi nêu số phương pháp thường dùng để em giải toán chứng. .. trình tốn học phổ thông phần đại số tổ hợp, số phức chương trình lạ khó em học sinh Các tốn tổ hợp mang tính tổng hợp khái qt hóa cao Vì học sinh học đến phần thường ngại, say mê, sáng tạo giảm... Thông qua ví dụ giáo viên làm cho học sinh thấy rõ ,từ tập suy nghĩ, phát triển ,mở rộng tập từ giúp cho học sinh tập làm quen với khả tư duy, sáng tạo học toán Giáo viên yêu cầu học sinh nhà tự tìm