Rèn luyện cho học sinh một số phương pháp chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức

Rèn luyện cho học sinh một số phương pháp chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức

"RÈN LUYỆN CHO HỌC SINH MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC, BẤT ĐẲNG THỨC TỔ HỢP"

A ĐẶT VẤN ĐỀ

Trước tình hình các lớp học sinh lớp 11 và 12 ở các khóa mà tôi đã dạy: Các em lúng túng khi gặp những bài toán về chứng minh đẳng thức,bất đẳng

phát từ đâu để đưa ra đẳng thức, BĐT cần chứng minh, hay từ đắng thức cần

đề tài này tôi rèn luyện cho học sinh ba phương pháp chứng minh đẳng thức,BĐT tổ hợp đó là: Sử dụng cồng thức, tính chất tổ hợp để biến đổi; Sử dụng đạo hàm; Sử dụng tích phân

Với mục đích phần nào giúp các em giải quyết những vướng mắc trên, chuẩn bị cho các em vững tin bước vào kỳ thi Tốt nghiệp và Đại học

B CƠ SỞ KHOA HỌC

1) Cơ sở lý thuyết.

Trước hết cho các em nắm vững những vấn đề sau:

+ Công thức khai triển Nhị thức Niu Tơn:

k

k

n a b

C 





+ Hệ số của các hạng tử trong khai triển: Có tính chất đối xứng, tức là:

Cn k = C nn k (0  k  n)

+ Dạng đặc biệt của nhị thức Niu Tơn:

Dạng 1: Thay a = 1 ; b = x ta được:

n

C0 1 x + C n2 x2 + + C n n 1 xx - 1 + C n nxn

Dạng 2: Thay a = 1 ; b = - x.

n

C0 1x + C n2x2 - + (-1)n

n n

C xn

+ Công thức tính đạo hàm của hàm số mũ: [(1 + x)n]’ = n (1 + x)n -1 + Công thức tính tích phân

2) Cơ sở thực tiễn:

Qua nhiều năm giảng dạy, tôi đã áp dụng đề tài này vào các lớp mà tôi phụ trách rất hiệu quả, đặc biệt năm học này tôi đã tiến hành trên các lớp 11I, 11H, 11G và các lớp 12A, 12G cùng các lớp ôn thi đại học của trường THPT

Ba Đình Nga Sơn, kết quả thu được tương đối tốt Từ chỗ các em thấy rất khó khăn khi giải các bài toán dạng này, sau khi được hướng dẫn, rèn luyện thì các em đã giải thành thạo

C BIỆN PHÁP THỰC HIỆN

Sau khi cho các em nắm vững kiến thức cơ bản về công thức khai triển nhị thức Niu Tơn và các tính chất của nó, nắm vững công thức tính đạo hàm, tích phân của hàm số mũ Tôi đưa ra 3 phương pháp chứng minh đẳng thức,

và nâng lên tổng quát, sau đó đưa ra các bài tập áp dụng

I- PHƯƠNG PHÁP 1: Sử dụng các công thức và tính chất tổ hợp để chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức chứa Cn k (Tổ hợp chập k của n ).

Ví dụ 1:

Chứng minh các đẳng thức sau:

a) C10

21 = C9

9 + C9

10 + C9

20 (1)

1





k

n = Ck

n + Ck

n 1 + Ck

n 2 +… + Ck

k (2)

n 1 + C 1

1





p

n = C p

n

n 1 + C 1

1





p

n = (( 1)!1)!







p n p

n

+ (p (1n)!(n1)! p)!







= (n 1)!(p n(n p)p)!(n 1)!p = p(n(n 1)!p n)!

= p (n n! p)! = C p

n

a Áp dụng công thức trên ta có:

10 + (C10

11 - C10

10) + (C10

12 - C10

11) + + (C10

21 - C10

20)

= C10

b Tương tự câu a, ta có:

1





k

2





k

k - C 1

1





k

1





k

n - Ck 1

n )

1





k

Ta có thể chứng minh câu b, tổng quát trước rồi áp dụng cho câu a

Ví dụ 2: Chứng minh các đẳng thức sau:

a k Ck

1





k

b n Cr

n = (r+1)Cr 1

Giải: a Ta có: n C 1

1





k

n = n.( ( )!(1)! 1)!







k k n

n

= k.(nn k!)!k! = k Ck

n

đpcm

b CM tương tự câu a,

Có thể sử dụng 2 công thức trên vào chứng minh các đẳng thức khác

Ví dụ 3:

a C0

2011C1000

2010 + C1

2011C999

2010 + + C1000

2011C0

2010 = C1000

4021

b C0

mCk

n + C1

mCk 1

mC0

n = Ck

n m

c (C0

n )2 + (C1

n )2+ + (Cn

n)2 = (Cn

n)2

Giải : Cách 1: Ta chứng minh câu b, rồi thay k=1000, m=2011, n=2010

thì được câu a,

b Từ khai triển nhị thức Niu tơn:

(1 + x)n = C n C n

1 0



2

n

C  1

xx - 1 + n

n C

xn

+ x)n(1 + x)m = (1+x)m+n ta được:

mCk

n + C1

mCk 1

mC0

n = Ck

n

c Đặc biệt hoá: k = m = n thì:

(C0

n)2 + (C1

n )2+ + (Cn

n )2 = (Cn

n)2 đpcm Cách 2: Chứng minh câu a, trước rồi nâng lên tổng quát ta được câu b,

Ví dụ 4:

2010C2009

2010 + C1

2010C2008

2009 + + C2009

2010C0

1  1005.22010 + 1 (*)

Giải:

k





2009

k

C k

k k

k k

! 2009 2010 )!

2009 (

)!

2010 ( )!

2010

(

!

2010













2009+C1

2009+ + C2009

2009) = = 2010.22009= 1005.22010  1005.22010 + 1 đpcm

n C   1



k n k

n 1

Ví dụ 5:

Cn

k n

k n

n)2

Giải:

k n

k n

2

Thật vậy:

)!

1 (

)!

1 2

(









k n n

k n

n(2(n n k k11)!)!  n(2(n n k k)!)!





n(2(n n k k)!)! 

1

1 2









k n

k n



k n

k n



 2

Do đó Uk Uo 0 k  z

k n

k n

n)2 đpcm

Bài tập áp dụng:

1 C1000

2011 C1000

2009  (C1000

2010)2

2001 + C 1

2001



k  C1000

2001 + C1001

2001 (ok  1000 k  z)

3 (ĐHSP Vinh 2001)

CMR: C0

2001+ 32 C2

2001+ 34 C4

2001+ + 32000.C2000

2001 = 22000(22001-1)

n + 2n 2 C2

n + + Cn

n <

2

2

3 n

5 4n C0

n - 4n-1C1

n + + (-1)n Cn

n = C0

n + 2C1

n+ 22 C2

n+ +2n Cn

n

II- PHƯƠNG PHÁP 2: Sử dụng đạo hàm

Xuất phát từ khai triển nhị thức Niu tơn:

n

C0 1 x + C n2 x2 + + C n n 1 xx - 1 + C n nxn

Ta có thể lấy đạo hàm cấp 1, cấp hai hoặc cấp r, sau đó thay x = a tuỳ vào đẳng thức hoặc bđt cần chứng minh

Ví dụ 1: Với n là số nguyên dương, chứng minh rằng.

a) 1 C n1 -+ 2 C n2 + C n3 + + n C n n = n 2n - 1

b) C1n - 2C n2+ 3C n3 - + ( - 1)k - 1 Cn k xk + + (- 1)n- 1 n C n n = 0

Giải : a) x, với n là số nguyên dương ta có:

(1 + x)n = C n0 + C n1x + C n2x2 + + C n nxn (1) Lấy đạo hàm theo x hai vế của (1) ta được :

n (1 + x)n - 1 = C1n + 2 C n2x + + n xn - 1

n

n

C (2)

Thay x = 1 vào (2) ta có: n 2n - 1 = C n1 + 2 C n2 + + n C n n

đpcm

b) Với x và với n là số nguyên dương ta có:

(1 - x)n = C n0 - C n1x + C n2x2 - + ( - 1)n

n

n

C xn (3)

Lấy đạo hàm hai vế của (3) theo x ta được:

- n (1 - x)n - 1 = -C n1+ 2C n2x - + n (-1)n

n n

C xn - 1 (4)

Thay x = 1 vào (4) ta có:

0 = - C n1 + 2C n2 - + ( - 1)n n C n n

 C1n - 2C n2 + 3C n3 - + (- 1)n - 1 n C n n = 0 đpcm

Ví dụ 2: Với n nguyên dương, chứng minh rằng:

a) 2 1 C n2 + 3 2 C n3 + + n (n - 1) C n n = n(n - 1) 2n - 2

b) (-1)r C n r

r

r

1



r

r

C C r n1+ + ( - 1 )n

n

r C

n

n

(r nguyên dương, r  n)

Giải:

a) x và n nguyên dương, ta có:

(1+ x)n = C n0 + C n1 + 2C n2x + + C n nxn (1)

n (1+ x)n - 1 = C n1 + 2C n2x + + nC n nxn - 1 (2)

n (n - 1) (1 + x)n - 2 = 2.1C n2 + 3.2C n3x + + n(n - 1) C n nxn - 2

(3)

n (n - 1) 2n - 2 = 2.1C n2 + 3.2C n3+ + n(n - 1) C n nđpcm

b) Lấy đạo hàm cấp r theo x hai vế của (1) ta được:

n(n - 1) (n - r + 1) (1 + x)n - r = 



n r

k k (k - 1) (k - r + 1) C k nxk - r (4) Chia hai vế của (4) cho r ! ta được:

!

1

r n (n - 1) (n - r + 1) (1 + x)n - r = 



n r

) 1 ) (

1 (

r

r k k

n

k

C xk - r



n r

!

r k r

k

k

C xk - r

= 



n r

r C

n

k

C xk – r (5)

Thay x = - 1 vào (5) ta được: 0 = 



n r

r C

n

k

C ( - 1)k - r  



n r

r C

n

k

đpcm

Ngoài việc lấy đạo hàm theo x hai vế của khai triển nhị thức Niu Tơn cấp 1, 2, 3, , cấp r, rồi thay x = 1 hay x = - 1; ta còn gặp các bài toán thay

chẳng hạn:

Ví dụ 3: Với n nguyên dương, chứng minh rằng:

a) C n1 + 4C n2 + + n 2n - 1

n

n

C = n 3n - 1 b) 3 n - 1

n

C1 + 2.3n - 2

n

C2 + 3.3n - 3

n

C2+ + n C n n  n.4n - 1 +1

Giải:

x  R, với n nguyên dương ta luôn có:

a) (1 + x)n = C n0 + C n1x + C n2 x2 + + C n nxn (1)

n.3n - 1 = C n1 + 2 2 C n2 + 3.22

n

C3+ + n.2n - 1

n

n

b) Từ : (3 + x)n = C n03n + C n13n - 1x +C n23n - 2 x2 + +C n n 30 xn (2)

n.4n - 1 = C n13n - 1 + 2C n23n - 2 + 3C n33n - 1+ + nC n n  n.4n - 1 +1 đpcm

hàm cấp r, thay x = m, mà có thể phải nhân thêm với một biểu thức của x, tách ra thành tổng 2 biểu thức hay nhân chia, cộng, trừ với một biểu thức khác, chẳng hạn:

Ví dụ 4: Với n nguyên dương, chứng minh:

a) 12

n

C1 + 22

n

C2 + 32

n

C3 + + C n n = (n2 + n) 2n - 2 b) C n2 + 2 C n3 + + (n - 1) C n n > (n - 2) 2n - 1

Giải:

a) Từ khai triển: (1 + x)n = C n0 + C1nx + + C n nxn (1)

n(n -1) (1 + x)n - 2 = 2.1 C n2 + 3.2 C n3x + + n (n - 1) C n nxn - 2

Thay x = 1, được: n(n - 1)2n -2 = 2.1 C n2 + 3.2 C n3 + + n(n- 1) C n n (2)

n 2n - 1 = C n1 + 2C n2 + + n C n n

Ta có: n(n - 1)2n - 2 + n 2n - 1 = C n1 + 22

n

C2+ 33

n

C3+ +n2

n

n

C

 C1n + 22

n

C2+ 33

n

C3+ +n2

n

n

C = (n2 + n) 2n - 2 đpcm

2n = C n0 + C n1 + C n2+ + C n n (3)

n.2n - 1 = C n1 + 2C n2+ + (n - 1) C n n 1 + nC n n (4)

Lấy (4) trừ (3) theo vế, ta được:

n.2n - 1 - 2n = -C n0 + C n2 + + (n - 2)C n n 1 + (n - 1) C n n

 C n2 + 2.C n3+ + (n - 1) C n n = (n - 2)2n - 1 + 1 > (n - 2) 2n - 1 đpcm

Ví dụ 5: Với n nguyên dương, chứng minh rằng:

C n1 + 4C n2 + + n 2n -1

n

n

C = n.4n - 1

n

C0 - (n - 1)4n - 2

n

C1 +

+ (n - 2) 4n - 3

n

C2 + + ( - 1)n - 1

n

n

C  1

Giải: Từ khai triển: (1 + x)n = C n0 + C1n x + + C n n xn (1)

n.3n - 1 = C n1 + 4 C n2 + + n 2n – 1

n

n

Lại có: (x - 1)n = C n0 xn - C1n xn - 1 + + (- 1)n

n

n

n.3n - 1 = n 4n - 1

n

C0 - (n - 1) 4n - 2

n

C1 + + ( - 1)n -1

n

n

C  1 (3)

Từ (*) và (3) ta suy ra:

n

C1+ 4C n2 + +n.2n - 1.C n n= n.4n - 1

n

C0- (n - 1)4n - 2

n

C1 +

…+(-1)n-1

n

n

Ví dụ 6: CMR: 



1004 1

k

(2k - 1)2

2007

1

2 k

Giải : Ta có: S =



1004 1

k

(2k -1)2.C2 2007k 1=12.C20071 +32

2007

3

2007

2007

C

Xét hàm số: (x) = [(1 + ex)2007 - (1 - ex)2007]

Khai triển nhị thức Niu Tơn ta có:

(x) = 



1004 1

1

2 k

C e(2k - 1)x  ''(x) = 



1004 1

k

(2k - 1)2

2007

1

2 k

C [e(2k - 1)x]



1004 1

k

(2k - 1)2

2007

1

2 k

Mà: (x) = [ (1 + eX)2007 - (1 - ex)2007]

''(x) = [(1 + ex)2006 + (1 - ex)2006] + [(1 + ex)2005 - (1 - ex)2005]

 S =  ''(0)= 2007 2008 22004  đpcm

Bài tập áp dụng:

Với n nguyên dương, chứng minh rằng:

1) C1n + 2.4 C n2 + 3.42

n

C3 + + n.4n-1

n

n

2) C1n 5n-1 + 2 C n2 5n-2 + + n C n n  n 6n - 1 - 2

3) n1 (C n1 + 2 C n2 + 3 C n3 + + n C n n ) < n !

4) 3.2 C n0 + 4.3 C n1 + 5.4 C n2 + + (n + 3)(n + 2) C n n

= 3(2 + n) 2n + n (n - 1) 2n - 2

III- PHƯƠNG PHÁP 3: Sử dụng tích phân:

Căn cứ vào đẳng thức hay BĐT cần chứng minh để chọn tích phân hai vế của

cho phù hợp

Ví dụ 1: Với n là số nguyên dương, chứng minh rằng:

a) C n0 +

n n

n

n C k

n

k C n

C n



























1

1 2 1

1

2 1

2 1 1

1

(ĐHGTVT 2000)

1

1 1

) 1 (

2 1

2 1 1

1



















n

n C n

C n

C

n

Giải: x và với n nguyên dương ta có:

(1 + x)n = 



n

k

C xk (1)



t

0

(1 + x)n dx = 

t



n

k

1

) 1



 

n

0 = 



n

k C

1





k

x k t t

0



1

1 ) 1

( 1





 

n

t n



n

1





k n

k C

t k

(2)

a) Thay t = 1 vào (2), ta được:

n

n







1

1

2 1



n

k 0 k 1

n

k C

đpcm b) Thay t = - 1 vào (2) ta được:

-1

1





n

) 1



k

n

k C

k



1

1





n

) 1



k

n

k C

k

suy ra đpcm

Ví dụ 2: Chứng minh rằng:

2 C n0 - 22

2

1

n

C1 + 23

3

1

n

C2 + +

1

2 ) 1



 

n

n n

n

n C

=

1

1



n [1 + (-1)n ] n  N

Giải: Với  x và với n là số nguyên dương ta có:

(1 - x)n = 



n

k 0 (-1)k

n

k

C xk (*)

Lấy tích phân theo x hai vế của (*) ta được:



2

0

(1 - x)n dx = 

2



n

k 0

( - 1)k

n

k

 -

1

) 1



 

n

0 = 



n

k 0 (- 1)k

n

k C

1

1





k

x k

2

0

 [(n1)11]

n

0

- 22

2

1

n

C1 + 23

3

1

n

C2 - + (n1)1

n

2n n

n C

.đpcm

Ví dụ 3: Tính tích phân: In = 

1

0

(1 - x2)n dx, với n  N

Từ đó suy ra: C n0 -

3

1

n C

+

5

2

n C

- +

1 2

) 1 (





n n

n C

n

= 3.25. (4 (2n2n)1)

Giải: Tính In bằng phương pháp tích phân từng phần, với cách đặt:





























x v

dx x

nx du

dx dv

x

Khi đó: In = x (1 - x2)n 1

1

0

(1 - x2)n - 1 x2 dx

= - 2n 

1

0

(1 - x2)n - 1 [(1 - x2) - 1] dx

1

0

(1 - x2) n dx - 

1

0

(1 - x2)n - 1 dx] = -2n (In- In - 1)

 In = 22 1



n

n

In- 1 = 22 1



n

n

22( 11)





n

n

32I0 = 3.25. (4 (2n2n)1) 

1

0

dx

= 3.25. (4 (2n2n)1) (1)

Ta có (1 - x)n = 



n

k 0

(-1)k

n

k

C xk

 (1 - x2)n = 



n

k 0 (- 1)k

n

k



1

0

(1 - x2)n dx = 

1



n

k 0

(- 1)k

n

k



n

k 0

(- 1)C k n

1 2

1 2





k

0

= C n0 -

3

1

n C

+

5

2

n C

- +

1 2

) 1 (





n n

n C

n

Từ (1) và (3) suy ra điều phải chứng minh

Ví dụ 4: Chứng minh rằng với n nguyên dương ta có:

n

C0 - C n1 + +

) 1 ( 2

) 1 (





n

n n

n

C > 2(n11) - 3

Giải: Xuất phát từ khai triển:

(1 - x2)n = C n0 + C1n ( - x2) + C n2 (- x2)2 + + C n n ( - x2)n

 x ( 1 -x2)n = C n0 x - C n1 x3 + C n2 x5 - + (- 1)n

n

n

C x2n + 1 (1)



1

0

x (1 - x2)n dx = x21

0 C n

0

- C n1

4

4

0 + + ( - 1)n

n

n C

2 2

2 2





n

0 (2)

Từ (1) và (2) suy ra:

= C n0 - C n1 + C n2 - C n3 + + C n n

1

0

x (1 - x2)n dx = - 

1

0

(1 - x)2d (1- x2) = 1

0 = )

 đpcm.

BÀI TẬP ÁP DỤNG:

1) Chứng minh rằng: C n0 + C n1 + + C n n = n  N

2) Chứng minh rằng: C n0 + C n1 2 + 22

n

C2 + C n3 23 +

+ C n n 2n > - 2 n  N

3) CMR: C n0 + C n1+ C n2+ + C n n =

4) CMR:

1

0



m n C

-

2

1



m n C

+ + (- 1)n

n

n

5) CMR: 12 C0

n + 83 C n1 + 247 C n2 + … +

1 2

1



n

n

n

n

C <

1

1

1

2

)

1

(

3

4











n

n

n

( với n nguyên dương )

D KẾT QUẢ VÀ BÀI HỌC KINH NGHIỆM

Sau khi các em được hướng dẫn cách sử dụng công thức, tính chất của tổ hợp, cách sử dụng đạo hàm, tích phân để chứng minh đẳng thức, bất đẳng

này tương đối thành thạo.Tôi đã tiến hành kiểm tra trên các lớp 11G, 11I, 11H

và các lớp 12A, 12G được kết quả như sau:

- Lớp 12A: 65% học sinh giải thành thạo các bài toán dạng này

25% học sinh biết cách giải

10% học sinh còn lúng túng

40% học sinh biết cách giải

10% học sinh còn lúng túng

40% học sinh biết cách giải

15% học sinh còn lúng túng.

45% học sinh biết cách giải

15% học sinh còn lúng túng

Qua quá trình thực hiện đề tài này tôi thấy cần:

+ Củng cố và khắc sâu những kiến thức có liên quan

+ Giáo viên cần đưa ra những ví dụ từ dễ đến khó, sau đó đưa ra dạng tổng quát hoặc phương pháp giải chung cho mỗi loại bài (lưu ý học sinh có thể còn có cách giải khác)

+ Động viên học sinh cần nỗ lực học tập, tư duy lô gíc và mạnh dạn đưa

ra cách giải của mình

Trên đây là những ý kiến chủ quan của mình, trong bài viết này nếu có chỗ nào chưa thật hay, tôi mong rằng các bạn đồng nghiệp góp ý để có một cách dạy tốt nhất và đạt kết quả cao nhất khi dạy dạng toán này

Tôi xin chân thành cảm ơn !

Nga Sơn, ngày 2 tháng 5 năm 2011

NGƯỜI VIẾT

Hoàng Thị Uyên

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG BA ĐÌNH NGA SƠN

- -RÈN LUYỆN CHO HỌC SINH MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC, BẤT ĐẲNG THỨC TỔ HỢP

HỌ VÀ TÊN : Hoàng Thị Uyên

CHỨC VỤ: TỔ PHÓ CHUYÊN MÔN TỔ TOÁN ĐƠN VỊ CÔNG TÁC: TRƯỜNGTHPT BA ĐÌNH SKKN THUỘC MÔN: TOÁN

Năm học: 2010 - 2011 ***************