Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 29 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
29
Dung lượng
866 KB
Nội dung
MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Bàitoántiếptuyếnđồthịhàmsố nội dung quan trọng thường gặp kỳ thi tốt nghiệp THPT tuyểnsinh vào Cao đẳng – Đại học năm gần Trong trình giảng dạy trường THPT giảng dạy sốlớpluyệnthi đại học nhận thấy nhiều họcsinh chưa có phươngphápgiảitoán này, nhiều em mơ hồ lúng túng giải sai với yêu cầu đề Bàitoán viết phương trình tiếptuyến có nhiều dạng khác nhau, họcsinh thường mắc sai lầm toán viết phương trình tiếptuyến qua điểm viết phương trình tiếptuyến điểm Họcsinhphươngpháp làm tập viết phương trình tiếptuyếnđồthịhàmsố em biết sơ qua cuối năm lớp 11 lại luyện tập Hơn em phân loại tập để có cách giải hữu hiệu, trình làm tập nhiều giảihọcsinh bỏ sót trường hợp chưa tìm hết tiếp điểm; đánh tráo đề bài… Mặt khác, chương trình sách giáo khoa đại sốgiải tích lớp 11 họcsinhtiếp cận hiểu biết toán viết phương trình tiếptuyếnđồthịhàmsố mức độ bản; chưa hiểu sâu lý thuyết; chưa rènluyện nhiều kĩ Chính mạnh dạn viết sáng kiến kinh nghiệm: “Rèn luyệnchohọcsinhlớp12phươngphápgiảitoántiếptuyếnvớiđồthịhàm số”, với mong muốn giúp họcsinh hiểu sâu toánrèn kĩ nhiều hơn, vận dụng vào giảitoán thành thạo hơn, giảitoán cách tốt Mục tiêu nghiên cứu: Rènluyệnchohọcsinh có lực giảitoántiếptuyếnvới đường cong, qua nhằm giúp họcsinh phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo, rènluyện thói quen khả tự học, tinh thần hợp tác, kĩ vận dụng kiến thức vào tình khác để chủ động giảitoántiếptuyếnvới đường cong cách tốt Đối tượng phạm vi nghiên cứu: - Về phạm vi nghiên cứu: Họcsinhlớp12 trường THCS & THPT Trần Ngọc Hoằng, xã Thới Hưng, huyện Cờ Đỏ, thành phố Cần Thơ - Về đối tượng nghiên cứu: + Nghiên cứu dạng toántiếptuyếnvớiđồthịhàmsốPhươngpháp nghiên cứu: - Phươngpháp nghiên cứu SGK, sách tham khảo tài liệu có liên quan trực tiếp đến đề tài - Phươngpháp thực nghiệm - Phươngpháp thống kê toánhọc NỘI DUNG Thực trạng vấn đề: Qua thực tiễn giảng dạy cho thấy đa phần họcsinh không cảm thấy khó khăn việc khảo sát hàmsố Tuy nhiên họcsinh gặp phải khó khăn làm tập tiếptuyếnđồthịhàm số, thường mắc phải khó khăn sai lầm sau: - Chưa có phươngphápgiải cụ thể cho dạng - Nhầm hai khái niệm tiếptuyến qua điểm tiếptuyến điểm thuộc đồthịhàmsố - Trong trình giảihọcsinh mắc phải sai lầm tính toán, biến đổi… bước trung gian Lập luận không chặt chẽ; đánh tráo đề bài…Chẳng hạn, gặp toán sau: Chohàmsố y = x − 3x + có đồthị (C) Viết phương trình tiếptuyếnđồthị (C) biết tiếptuyến qua điểm A(0;3) Các em thường giải sau: Gọi d đường thẳng qua điểm A(0;3), phương trình d có dạng y = kx + d tiếptuyếnđồthịhàmsố hệ phương trình x − 3x + = kx + (1) có nghiệm x 3 x − x = k (2) Thay k (2) vào (1) ta x − 3x + = (3x − x) x + ⇔ ( x − 1)(2 x − x − 1) = (*) Bây phương trình (* ) họcsinh không ý: Từ phương trình (*) ta có x −1 = mà lại viết 2 x − x − = x −1 = ⇔ x =1 2 x − x − = Vậy phương trình tiếptuyến là: y = −3x + Khi lời giải bị sai từ bước trung gian nên thiếu phương trình tiếptuyến Như lời giải x = k = −3 x −1 = ⇔ ⇒ Từ phương trình (*) ta có x = k = 15 2x − x − = Vậy phương trình tiếptuyến là: y = −3x + y = 15 x+3 Có họcsinh lại đánh tráo đầu viết phương trình tiếptuyếnđồthị (C) điểm A(0;3) Phương trình tiếptuyếnđồthị (C) qua A có dạng y − y0 = f '( x0 )( x − x0 ) Theo đầu ta có x0 = 0, y0 = y '( x0 ) = f '( x0 ) = Vậy phương trình tiếptuyến là: y = Hoặc có họcsinh lại bỏ sót trường hợp trình giải… Giải vấn đề: Để giúp họcsinh tránh khó khăn, sai lầm, thiếu sót nêu giảitoántiếptuyếnvớiđồthịhàmsố Tôi nhận thấy rằng, việc làm phải trang bị cho em nắm vững sở lý thuyết Tiếp theo đó, đưa dạng toántiếptuyếnđồthịhàmsốphươngphápgiải cụ thể cho dạng để em rènluyện , với mức độ tập từ dễ đến khó dần Từ đó, em lúng túng việc lựa chọn cách giải mà có cách giải xác xác định yêu cầu toán Kinh nghiệm hai năm gần phần dạy tập tiếptuyếnđồthịhàmsố cố gắng giúp họcsinh biết cách nhận dạng tập, phươngphápgiải dạng Từ em tự tin có hứng thú học tập gặp dạng toán 2.1 Cơ sở lý thuyết 2.1.1 Định nghĩa tiếptuyến đường cong phẳng Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường cong (C): y = f(x) M0(x ; f (x0)) ∈ (C ) Kí hiệu M(x; f(x)) điểm di chuyển ( C) Đường thẳng M0M cát tuyến ( C) Khi x →x0 M(x; f(x)) di chuyển ( C) tới M0(x ; f (x )) ngược lại y f(x) M Giả sử M0M có vị trí giới hạn, kí hiệu M0T M0T gọi tiếptuyến ( C) M0 Điểm M0 gọi tiếp điểm Sau ta không xét trường hợp tiếp f(xo) M0 O tuyến song song trùng với Oy xo T x 2.1.2 Định lý 1: Chohàmsố y = f ( x) có đồthị (C) Phương trình tiếptuyến điểm M ( xo ; yo ) ∈ (C ) có dạng: y = f '( xo )( x − xo ) + yo Với: f '( xo ) hệ số góc tiếptuyến y = f (x0) 2.1.3 Định lý 2: Chohàmsố (C) y = f(x) đường thẳng (d) có phương trình: y = kx + b f ( x) = kx + b Đường thẳng d tiếp xúc với (C) hệ sau có nghiệm: k = f '( x) Khi nghiệm x hệ phương trình hoành độtiếp điểm Ta định nghĩa tiếptuyếnđồthị sau: x Đường thẳng ( d ) : y = kx + m gọi tiếptuyếnđồthịhàmsố y = f ( x ) (d) tiếp xúc vớiđồthị y = f ( x) điểm xo Khi đó: d: y = kx+m + (d) gọi tiếptuyến y = f(x) + xo gọi tiếp điểm + k hệ số góc tiếptuyến + k = f '( xo ) k = tan α với α = (·d , Ox ) α xo 2.1.4 Định nghĩa hai đường cong tiếp xúc Cho hai đường cong (C1), C2) có phương trình y = f1(x), y = f2(x) Vì (C1) C2) có đạo hàm M(x, y) nên (C 1) (C2) gọi tiếp xúc với M0 M điểm chung chúng chúng có chung tiếptuyến (d) điểm M Điểm M gọi tiếp điểm (C1) C2) Điều kiện cần đủ để (C1), (C2) tiếp xúc điểm M(x; y) hệ: f1 ( x) = f ( x) '' f1 ( x) = f ( x) 2.2 có nghiệm Rènluyệnchohọcsinh dạng toántiếptuyếnđồthịhàm số 2.2.1 Dạng 1: Bàitoántiếptuyến điểm M0(x0;y0) thuộc đồthịhàm số Phương pháp: - Phương trình đường thẳng qua M o ( xo ; yo ) : (d ) : y = k ( x − xo ) + yo - Nếu (d) tiếptuyến M o ( xo ; yo ) ∈ (C ) k = f '( xo ) - Phương trình tiếptuyến M o ( xo ; yo ) ∈ (C ) (d ) : y = f '( xo )( x − xo ) + yo * Chú ý: - Trường hợp biết hoành độtiếp điểm ta thay x = x vào hàmsố y = f(x) để tìm tung độtiếp điểm y0 - Trường hợp biết tung độtiếp điểm ta thay y = y vào hàmsố y = f(x) để tìm hoành độtiếp điểm x0 Ví dụ 1: Chohàmsố y = f ( x ) = x − 3x + có đồthị (C) Viết phương trình tiếptuyến (C) A(2; 4) Giải Vì điểm A(2;4) nằm đồthịhàmsố ( C): y = f ( x) = x − 3x + Suy ra: Phương trình tiếptuyến (d ) : y = f '(2)( x − 2) + Với f '( x ) = 3x − f '(2) = Vậy tiếp tuyến: (d ) : y = 9( x − 2) + hay (d ) : y = x − 14 Ví dụ 2: Chohàmsố y = f ( x ) = x − 3x − có đồthị (C) Viết phương trình tiếptuyến (C) M (0; −4) Giải Vì điểm M (0; −4) nằm đồthịhàmsố (C): y = f ( x ) = x − 3x − Suy ra: Phương trình tiếptuyến (d ) : y = f '(0)( x − 0) − Với f '( x) = x − x suy f '(0) = Vậy tiếp tuyến: (d ) : y = −4 Ví dụ 3: Chohàmsố y = x − x có đồthị (C) Hãy viết phương trình tiếptuyếnđồthị (C) điểm có hoành độ hoành độ x = −2 Giải Ta có: y ' = x3 − x Với x = −2 ⇒ y = y '( −2) = −24 Phương trình tiếptuyếnvớiđồthị (C) điểm A(-2;8) là: y = −24( x + 2) + hay y = −24 x − 40 Ví dụ 4: Chohàmsố y = x − 3x + (C ) Viết phương trình tiếptuyến điểm có tung độ y = Giải xo = Với y = ⇒ x − x + = ⇔ xo = xo = Với M(0; 5) ⇒ Tiếptuyến y = f '(0)( x − 0) + = −3 x + Với N( ; 5) ⇒ Tiếptuyến y = f '( 3)( x − 3) + = x − + Với P( − ; 5) ⇒ Tiếptuyến y = f '( − 3)( x + 3) + = x + + x2 − 2x − Ví dụ 5: Chohàmsố y = f ( x) = có đồthị (C) x +1 (C) cắt trục hoành A B Hãy viết phương trình tiếptuyếnvới (C) A B Giải - Tập xác định: D = R\{- 1} - Hoành độ giao điểm (C) trục hoành nghiệm phương trình x2 − 2x − = ⇔ x2 − 2x − = ⇔ x = ± x +1 ⇒ (C) cắt Ox điểm A (1 + 3; 0) B(1 − 3; 0) x + 2x y' = ⇒ y ' = (1 + 3) = (2 − ) ( x + 1) y ' = (1 − 3) = −2 (2 + 3) Phương trình tiếptuyếnvới (C) A có dạng: y = (2 − 3) ( x − − 3) Phương trình tiếptuyếnvới (C) B có dạng: y = −2 (2 + 3) ( x − + 3) * Nhận xét: Qua ví dụ cho thấy họcsinh lúng túng không viết phương trình tiếptuyến không tìm tọa độ A B Vì giáo viên cần hướng dẫn họcsinh tìm tọa độtiếp điểm A, B trước viết phương trình tiếptuyến theo công thức x2 + 2x + (C ) Tìm điểm M thuộc (C) để tiếptuyến M Ví dụ 6: Chohàmsố y = x +1 tạo với Ox góc 45o Giải Giả sử M ( xo ; yo ) thuộc (C) xo2 + xo Suy tiếptuyến M có hệ số góc: k = y '( xo ) = ( xo + 1) Dotiếptuyến tạo với Ox góc 45o suy hệ số góc k = tan 45o = xo2 + xo = ⇔ xo2 + xo = ( xo + 1) (vô nghiệm) Do đó: ( xo + 1) Kết luận: Không có điểm M ∈ (C ) để tiếptuyến tạo với Ox góc 45o Ví dụ 7: Chohàmsố y = x2 + 2x + (C ) Tìm điểm M thuộc (C) để tiếptuyến M x +1 tạo đường thẳng y = −2 góc 45o Giải Giả sử M ( xo ; yo ) thuộc (C) xo2 + xo Suy tiếptuyến M có hệ số góc: k = y '( xo ) = ( xo + 1) Do đường thẳng y = −2 song song Ox nên tiếptuyến tạo với đường thẳng y = −2 góc 45o ⇒ tạo với Ox góc 45o Do hệ số góc k = ±1 xo2 + xo Nếu k = ⇒ = ⇔ xo2 + xo = ( xo + 1) (vô nghiệm) ( xo + 1) xo2 + xo Nếu k = −1 ⇒ = −1 ⇔ xo2 + xo − = ( xo + 1) Viết y = x − + xo = −2 ± 6 = −1 ± 2 ⇒ y0 = −3 ± + ÷ x +1 6 Kết luận: có điểm thỏa yêu cầu toán 6 6 M −1 + ; −3+ ;− −3− ÷; M −1 − ÷ 2 2 6 6 10 Giải Ta có hệ số góc tiếptuyến điểm đồthị (C) là: k = y' = 3x + x − y '' = x + ⇒ y '' = ⇔ x + = ⇔ x = −1 Xét dấu y” tìm điểm uốn U(-1; 14) Hệ số góc tiếptuyến điểm uốn là: k1 = -12 Bảng biến thiên hàmsố y ' = x + x − x y’’ −∞ +∞ +∞ -1 - + +∞ y’ -12 Từ bảng biến thiên suy k ≥ −12 Dấu “ = ” xảy x = - (hoành độ điểm uốn) (Điều phải chứng minh) Ví dụ 6: Chohàm số: y = mx + (m − 1) x + m + m x−m (C ) Tìm điểm x0 để với m ≠ , tiếptuyếnđồthịhàmsố (C) điểm x song song với đường thẳng cố định Tìm hệ số góc đường thẳng Giải Ta có: y ' = mx02 − 2m x − 2m mx − 2m x − 2m ⇒ y ' ( x ) = ( x − m) ( x − m) Yêu cầu toán tìm x0 để y’(x0) = k ( hằng số) ∀m ≠ 15 mx02 − 2m x0 − 2m ⇔ = k ∀m ( x − m) ⇔ (2 x + + k ) m − (2kx0 + x 02 )m + kx02 = ∀m ≠ 2 x + + k = (1) ⇔ 2kx0 + x02 = (2) kx0 = (3) k = Ta có : (3) ⇔ x0 = + Với x0 = suy k = -2 (thoả mãn) x = −1 (vô nghiệm) x0 = + Với k = ⇒ Vậy, x0 = k = - thìtiếptuyến (C) x song song với đường thẳng cố định Chú ý: Đối vớitoántiếptuyến mà từ yêu vầu đề ta xác định hệ số góc tiếptuyến kt Khi lời giải cần giả sử xo hoành độtiếp điểm ta tìm hoành độ xo bằng việc giảiphương trình f '( xo ) = kt từ suy tiếptuyến 2.2.3 Dạng 3: Bàitoántiếptuyến qua điểm M0(x0;y0) cho trước Phươngpháp : - Phương trình đường thẳng qua điểm M ( xo ; yo ) : ( d ) : y = k ( x − xo ) + yo f ( x ) = k ( x − xo ) + yo - (d) tiếptuyến (C) hệ pt sau: (*) có nghiệm k = f '( x) Chú ý: Sốtiếptuyến qua điểm M ( xo ; yo ) bằng số nghiệm hệ phương trình (*) Ví dụ 1: Cho y = x3 − x + (C) Viết phương trình tiếptuyến (C) qua điểm M ( ; −1) 16 Giải 2 Phương trình đường thẳng qua M ( ; −1) : (d ) : y = k x − ÷− 3 2 x − x + = k x − ÷− 3 (d) tiếp tuyến: hệ điều kiện tiếp xúc k = 3x − (1) (2) 2 Thế pt(2) pt(1) được: x − x + = 3( x − 1) x − ÷− 3 x = ⇔ x3 − x + = 3x − x − 3x + ⇔ x3 − x = ⇔ x = 2 Với xo = ⇒ k = −3 ⇒ tiếp tuyến: (d ) : y = −3 x − ÷− = −3 x + 3 Với xo = ⇒ k = ⇒ tiếp tuyến: (d ) : y = −1 Ví dụ 2: Chohàmsố y = 3x − (C ) Viết phương trình tiếptuyếnvớiđồthị (C) x −1 qua điểm A (2; 0) Giải Ta có y ' = −1 , ∀x ≠ ( x − 1)2 Phương trình đường thẳng (d) qua điểm A(2; 0) có hệ số góc k y = k ( x − 2) 17 - Hoành độtiếp điểm xo hệ số góc k tiếptuyến nghiệm hệ phương trình: x = 3x − = k ( x − 2) x −1 k = −1 f ( x) = k ( x − x A ) xy A ⇔ ⇔ =k x = f x' = k ( x − 1) x ≠ k = −9 y = −x + - Vậy phương trình tiếptuyếnvớiđồthịhàmsố qua A(2; 0) y = −9 x + 18 Ví dụ 3: Chohàmsố y = f ( x) = x − 3x + (C ) Lập phương trình tiếptuyếnvới 2 3 đồthị (C) hàmsố (2) biết tiếptuyến qua A 0; ÷ Giải - Pt đường thẳng (d) qua điểm A(0; 3/2) có hệ số góc k y = kx + - Để đường thẳng (d) trở thành tiếptuyếnđồthịhàmsố (2) hệ phương trình: 3 1 x − 3x + = kx + 2 có nghiệm 2 2x − 6x = k x = ⇔ x = ±2 k = ⇒ k = ±2 Vậy phương trình tiếptuyến cần viết là: y = 3 ; y = −2 x + ; y = 2 x + 2 Nhận xét: Đối vớitoánhọcsinh thường lầm hai khái niệm tiếptuyến qua tiếptuyến tại điểm từ dẫn đến việc xác định thiếu tiếptuyếnđồthị (C) 18 Vì qua tập phải chohọcsinh nhận rõ hai loại tiếptuyến có khác rõ rệt Ví dụ 4: Chohàmsố y = x − x + x − (C) Từ điểm đường thẳng x = kẻ tiếptuyến đến đồthị (C) Giải Gọi điểm B(2; b) điểm nằm đường thẳng x = 2.Phương trình đường thẳng qua B(2; b) có dạng: y = k(x - 2) + b (d) Đường thẳng (d) tiếptuyếnđồthị (C ) hệ sau có nghiệm: x − x + x − = k ( x − 2) + b 3 x − 12 x + = k ⇒ x − x + x − = (3 x − 12 x + 9)( x − 2) + b ⇔ −b = x − 12 x + 24 x − 17 (*) Sốtiếptuyến cần tìm bằng số nghiệm phương trình (*) Xét hàmsố y = x − 12 x + 24 x − 17 Tập xác định: D = R y ' = x − 24 x + 24 = 6( x − 2) ≥ 0∀x ∈ R Dohàmsố đồng biến Vì hàmsốcho đồng biến nên đường thẳng y = - b cắt đồthịhàmsố : y = x − 12 x + 24 x − 17 điểm hay pt (*) có nghiệm Vậy, từ điểm nằm đường thẳng x = kẻ tiếptuyến đến đồthị (C) Ví dụ 5: Cho y = x2 + x + Tìm Oy điểm mà từ kẻ tiếp x −1 tuyến tới đồthịGiải Gọi A(0; a ) ∈ Oy ⇒ đường thẳng qua A(0; a) ∈ Oy : (d ) : y = kx + a 19 x2 + x + x − = kx + a (d) tiếptuyến ⇒ k = x − x − ( x − 1) (1) (2) x2 + x + x2 − 2x − = x + a ⇒ x −1 ( x − 1) ⇔ ( x + x + 2)( x − 1) = x − x − 3x + a ( x − x + 1) ⇔ (a − 2) x − 2(a + 1) x + a + = f ( x) = (3) Để từ A(0; a ) ∈ Oy kẻ tiếptuyến pt (3) có đứng nghiệm x ≠ Nếu a = ⇒ (3) có nghiệm x = (a + 1) − ( a − 4) = ∆ ' = f (1) ≠ f (1) = −2 ≠ ⇔ Nếu a ≠ ⇒ (3) có nghiệm x ≠ ⇔ ∆ ' ≠ (a + 1) − ( a − 4) ≠ f (1) = −2 = f (1) = (loai) 2a + = −5 ⇔ ⇔a= f (1) = −2 ≠ Kết luận: Điểm A(0; −5 ) ∈ Oy từ kẻ tiếptuyến tới đồthịhàmsố Ví dụ 6: Cho y = − x + 3x − (C) Tìm tập hợp điểm M thuộc đường thẳng y = mà từ kẻ tiếptuyến phân biệt tới đồthịhàmsốGiải Gọi M (a;2) ∈ y = Phương trình đường thẳng qua M (a;2) : (d ) : y = k ( x − a) + − x + x − = k ( x − a) + (d) tiếptuyến ⇒ k = −3x + x = −3x ( x − 2) 20 (1) (2) Thế (2) vào (1) ⇒ − x + x − = −3 x( x − 2)( x − a) x = ⇔ ( x − 2)(2 x − (3a − 1) x + 2) = ⇔ x − (3a − 1) x + = (3) Để từ M (a;2) kẻ tiếptuyến phân biệt thị hệ điều kiện có nghiệm phân biệt ⇒ phương trình (3) có hai nghiệm phân biệt khác ∆ = (3a − 1) − 16 > ⇔ 8 − 2(3a − 1) + ≠ 3a − < ⇔ 3a − > 6a ≠ 12 a < −1 ⇔ a > a ≠ 5 Kết luận: M (a;2) ∈ y = với a ∈ (−∞; −1) ∪ ; +∞ ÷\ { 2} từ M (a;2) ∈ y = kẻ 3 tiếptuyến phân biệt tới (C) Ví dụ 7: Chohàm số: y = x2 + x +1 x +1 (C ) CMR: Có hai tiếptuyến (C) qua A(1;0) vuông góc vớiGiảiPhương trình đường thẳng qua A(1; 0) với hệ số góc k có dạng: y = k(x -1) (d) Ta có: y = x2 + x +1 = x +1+ (C) x +1 x +1 Đường thẳng (d) tiếptuyếnđồthị (C) hệ sau: x + + x + = k ( x − 1) (1) (I ) có nghiệm 1 − = k ( ) ( x + 1) Từ (2) ⇔ x + − = k ( x + 1) (3) x +1 21 Lấy (1) – (3) ta được: = −k x +1 x + = − k Do ( I ) ⇔ Hệ có nghiệm 1 − =k ( x + 1) k ≠ k = − − (t / m) k ≠ k ≠ ⇔ ⇔ 2 1 − k = k k + k − = k = − + (t / m) 2 Vì k1k2 = - nên hai tiếptuyến (C) qua A(1; 0) vuông góc với Ví dụ 8: Chohàm số: y = x+2 (C) điểm A(0; a) Xác định a để từ A kẻ hai x −1 tiếptuyến đến (C) cho hai tiếp điểm tương ứng nằm hai phía sovới trục Ox GiảiPhương trình đường thẳng qua A(0; a) có dạng: y = kx + a (d) Đường thẳng (d) tiếptuyếnđồthị (C) hệ sau: x + x − = kx + a có nghiệm −3 =k ( x − 1) ⇒ x+2 −3 = x + a ⇔ (a − 1) x − 2(a + 2) x + a + = (*) (x = không nghiệm) x − ( x − 1) Qua A kẻ tiếptuyến đến đồthị (C) phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt a − ≠ a ≠ a ≠ ⇔ ⇔ ⇔ (**) ∆ ' > 3(a + 2) > a > −2 22 Gọi x1; x2 tiếp điểm Do hai tiếp điểm nằm hai phía trục hoành nên y(x1).y(x2) < (x1; x2 nghiệm phương trình (*)) ⇔ x1 + x + x x + 2( x1 + x ) + ⇔ a − > ⇔ a > (thoả mãn (**)) a −1 a −1 −4 a+2 −4 9a + −2 ⇔ < ⇔ Vậy, − yêu cầu toán thoả mãn < a