Rèn luyện tư duy học sinh qua bài toán tính tích phân

RÈN LUYỆN TƯ DUY CHO HỌC SINH THÔNG QUA VIỆC TỔ CHỨC GIẢI BÀI TOÁN BẰNG NHIỀU CÁCH TRƯỜNG HỢP DẠY HỌC TÍNH TÍCH PHÂN Training thinking for students through the organization of solving problems in different ways: case of teaching students to calculate integrals TÓM TẮT Một nhiệm vụ quan trọng người giáo viên dạy học Toán rèn luyện phát triển tư cho học sinh Để hoàn thành nhiệm vụ này, giáo viên tổ chức hoạt động khám phá chohọc sinh dạy học kiến thức thông qua hoạt động dạy học giải toán Đặc biệt, có cách hữu hiệu để rèn luyện tư cho học sinh tổ chức giải toán nhiều cách khác Dựa tư tưởng này, triển khai thực nghiệm cho HS lớp 12 giải toán nhiều cách tính tích phân Từ khóa: rèn luyện tư duy, giải toán nhiều cách, tính tích phân ABSTRACT An important task of the mathematics teacher is to train and to develope thinking for students To accomplish this task, teachers can organize activities for students to discover new knowledge and activities of solving problems In particular, there is an effective way to train students to think is that teachers can organize activities of solving problems in many different ways Based on this idea, we implement an experiment for students in class 12 to calculate integrals in various ways Keywords: train thinking, solve problems in different ways, calculate integrals ĐẶT VẤN ĐỀ Hoạt động giải toán nhiều cách khác có ý nghĩa quan trọng dạy học toán Một ý nghĩa giúp học sinh (HS) phát triển tư Bởi lẻ, để giải nhiều cách, người làm cần phải biết huy động thật nhiều kiến thức liên quan, từ họ tiếp tục phân tích, tổng hợp, đánh giá kiện toán sau tìm lời giải thích hợp Quá trình buộc HS phải sử dụng thao tác tư cần thiết suy luận hợp lí Thực tế, sách giáo khoa (SGK) 12 cung cấp cho HS nhiều kiến thức hữu hiệu để tính tính phân Vấn đề đặt ra, em có thực khai thác hết kiến thức để tính tích phân chưa Qua đây, có số câu hỏi cần nghiên cứu sau: - Việc giải toán nhiều cách khác có ý nghĩa dạy học toán? Mối quan hệ với việc rèn luyện tư sao? - Sách giáo khoa toán hành có thực cung cấp đầy đủ kiến thức tích phân để tạo điều kiện cho em sử dụng chúng nhằm giải toán theo nhiều cách khác hay không? - Học sinh có thực khai thác hết kiến thức cần thiết SGK để tiến hành tính tích phân nhiều cách hay không? Hiệu chúng sao? Mục tiêu báo tìm câu trả lời cho ba câu hỏi xem xét tính đắn giả thuyết nghiên cứu H: “Khi dạy học tính tích phân, giáo viên tổ chức hoạt động giải toán nhiều cách khác nhau, từ góp phần rèn luyện phát triển tư cho học sinh” PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU 2.1 Phân tích, tổng hợp tài liệu Chúng phân tích, tổng hợp nội dung chủ đề nguyên hàm – tích phân SGK hành sách tham khảo sau đây: - Sách giáo khoa - Giải tích 12 (Trần Văn Hạo chủ biên - 2007), - Sách giáo viên - Giải tích 12 (Trần Văn Hạo chủ biên - 2007), - Hướng dẫn thực chương trình Sách giáo khoa lớp 12 môn toán (Nguyễn Thế Thạch chủ biên - 2008), - Hướng dẫn thực chuẩn kiến thức, kĩ môn toán lớp 12 (Nguyễn Thế Thạch chủ biên - 2009) Mục tiêu: nhằm nội dung kiến thức, kĩ phương pháp mà giáo viên (GV) tổ chức dạy học chủ đề tích phân theo chương trình ban để giúp HS học tập chủ đề với hiệu cao 2.2 Thực nghiệm sư phạm 2.2.1 Đối tượng thời gian thực nghiệm: Học sinh lớp 12A2 (N = 31) thuộc trường THCS & THPT Trần Ngọc Hoằng, thành phố Cần Thơ Thời gian: từ 9h45 đến 10h30 (giờ Việt Nam) buổi sáng ngày 29/02/2016 2.2.2 Công cụ để tổ chức thực nghiệm kịch bản: Tổ chức cho HS giải toán sau: π Hãy tính tích phân sau cách khác nhau: I = sin  π − x  dx ∫0  ÷ Thực nghiệm thiết kế theo pha: Pha 1: (HS làm cá nhân - 15 phút) Tổ chức cho em làm cá nhân HS làm giấy GV photo có in sẵn toán Mục tiêu: Pha tổ chức cho em làm việc cá nhân Điều đồng nghĩa với việc muốn tìm hiểu mối quan hệ cá nhân HS Mọi ứng xử HS thể làm Cụ thể hơn, HS thể khả em việc giải toán nhiều cách khác Pha 2: (HS làm theo nhóm, 15 phút) nhóm hoàn thành giống Mục tiêu: Trong pha 2, em không giải yêu cầu toán mà có cộng tác từ bạn nhóm Pha tạo hội cho em bảo vệ kiến Tuy nhiên, HS thấy cách giải chưa xác bạn khác thuyết phục chứng hợp lí Pha 3: (Hợp thức hóa – 15 phút) Lớp học chia thành nhóm Các nhóm sửa với GV Mỗi nhóm đưa nhận xét, phát biểu cách làm nhóm Các nhóm khác nhận xét, phản biện bổ sung GV người nhận xét, đánh giá sau Mục tiêu: Pha nhận xét, đánh giá kết có từ pha có can thiệp từ GV (rất hạn chế) Đây pha hợp thức hóa tiết học Nó cho phép ghi nhận lại quan trọng, yếu tố mà em học tập thông qua việc giải vấn đề đưa HS mong muốn để học: có cách hợp lí khác để giải toán tính tích phân 2.2.3 Phân tích tiên nghiệm toán thực nghiệm a Mục tiêu thực nghiệm Mục tiêu thực nghiệm tìm câu câu trả lời cho câu hỏi kiểm chứng tính đắn giải thuyết H nêu phần đặt vấn đề Thêm vào đó, trình dạy chủ đề tích phân, cho có hợp đồng ngầm ẩn GV HS, toán kết thúc sau tìm đáp án xác HS không cần phải nghiên cứu xem liệu lời giải có hợp lí chưa? Lời giải có thừa hay thiếu không? Còn có lời giải khác cho toán hay không? Trường hợp đề yêu cầu tính tích phân cho cách dẫn đến phá vỡ hợp đồng mong muốn HS huy động kiến thức cần thiết để trình bày lời giải nhiều cách khác b Ngữ cảnh lớp học toán thực nghiệm Bài toán tổ chức cho HS giải sau em học xong chủ đề nguyên hàm – tích phân Trong đó, phương pháp tìm nguyên hàm nhiều đề cập c Các cách giải S1 Vận dụng định nghĩa nguyên hàm π π π '  π  π  π 2 I = ∫ sin  − x ÷dx = − ∫  cos  − x ÷÷ dx = − cos  − x ÷ 4  4  4 0 0 2  π π  = − cos  − ÷+ cos  ÷ = − + =0 2  4 4 S2 Biến đổi hàm số dấu tích phân cung phụ π π π π  π  π 2 I = ∫ sin  − x ÷dx = ∫ cos  + x ÷dx = sin  + x ÷ 4  4  4 0 0 = sin 3π π 2 − sin = − =0 4 2 S3 Đổi biến số Đặt t = − π π π π − x ⇒ dx = − dt Khi đó, x = ⇒ t = , x = ⇒ t = − 4 π I = − ∫ sin tdt = π π ∫ − sin tdt = − cos t π π π − = − cos π 2  π + cos  − ÷ = − + =0 2  4 S4 Sử dụng vi phân π π π π  π  π  π  I = ∫ sin  − x ÷dx = − ∫ sin  − x ÷d  − x ÷ = cos  − x ÷ 4  4  4  4 0 0 2  π π  = cos  − ÷+ cos  ÷ = − + =0 2  4 4 S5 Biến đổi hàm số dấu tích phân công thức cộng π π π π π   π  I = ∫ sin  − x ÷dx = ∫  sin cos x − cos sin x ÷dx = ( cos x − sin x ) dx 4 ∫0 4   0 = ( sin x + cos x ) π = 2 π π   sin + cos − sin − cos ÷ =  2  2.2.4 Phân tích kết thực nghiệm Pha Bảng 1.1: Thống kê số học sinh theo chiến lược giải, theo cách giải Số HS Số HS làm S1 29 (93.5%) S2 14 (45.2%) S3 31 (100%) S4 18 (58.1%) S5 31 (100%) (31%) 12 (85.7%) 14 (45.2%) 17 (94.4%) 28 (90.3%) - Chiến lược chiếm ưu thuộc S5 (31/31 HS, chiếm 100%) Nhìn chung, em định hướng sử dụng tính chất tuyến tính tích phân để biến đổi tích phân cho thành tổng (hiệu) hai tích phân sử dụng trực tiếp bảng nguyên hàm Hơn nữa, số em bổ sung thêm công thức sin ( a − b ) = sin a cos b − cos a sin b làm Điều giải thích dễ dàng em quen thuộc với việc trình bày sở lí thuyết cho suy luận giải toán Có HS (chiếm 9,68%) có lời giải không xác - Chiến lược S3 chiếm ưu không (31/31 HS, chiếm 100%) Tuy nhiên có 14 HS (chiếm 45,16%) có lời giải trình bày theo chiến lược Sai sót nhiều sai cận tích phân sau đổi biến số Việc định nghĩa tích phân xác định đoạn [ a; b ] , a < b vô hình chung dẫn em đến sai lầm sách giáo khoa trang 105 có ý: “Trong trường hợp a = b a > b ta quy ước a ∫ a b a a b f ( x ) dx = 0; ∫ f ( x ) dx = − ∫ f ( x ) dx - Chiến lược S1 nhiều HS lựa chọn (29/31 HS chiếm 93.55%) Nhìn chung, em nắm vững định nghĩa nguyên hàm có ý thức việc khai thác phương pháp này.Tuy nhiên, có HS (chiếm 31.03%) có lời giải Điều dễ thấy chương trình sách giáo khoa hành, tập giải cách trình bày cụ thể bảng nguyên hàm, đổi biến số đặt ẩn phụ HS nhiều hội để luyện tập phương pháp không tìm hiểu nhiều cách để giải tập - Chiến lược S4 có nhiều HS lựa chọn (18/31 HS chiếm 58.06%) Đây chiến lược có tỉ lệ HS làm cao (17/18 HS chiếm 94.44%) lựa chọn trình bày lời giải theo phương pháp Nhận xét ưu (nhược) điểm cách giải khảo sát cho thấy tính ưu việt phương pháp vi phân - Chiến lược S2 nhận lựa chọn nhất, hầu hết HS đầu cho việc tìm π  π  nguyên hàm sin  − x ÷, cos  + x ÷ nhiều khác biệt Những hàm số 4  4  có công thức tính bảng nguyên hàm mở rộng Nhưng với số HS, việc π  tìm nguyên hàm hàm số cos  + x ÷ giúp hạn chế sai sót dấu Cụ thể: 4   π  π  π  sin − x dx = − − cos − x + C = cos ( )  ÷  ÷  − x ÷+ C dễ mắc sai sót  ÷ ∫ 4  4  4   π π   ∫ cos  + x ÷ dx = sin  + x ÷ + C mắc sai sót Những sai sót mà HS gặp phải trình bày lời giải theo cách khác là: Viết thừa kí hiệu tích phân biến đổi hàm số dấu tích phân (6 HS) Dưới làm HS H19 mắc phải lỗi này: π π  π π   π  sin − x dx = cos − − x = cos + x ÷  ÷  ÷  2  ∫0   4  4   π  π π   π  Cách viết sin  − x ÷ = cos  −  − x ÷ = cos  + x ÷ 4   4  2  Viết thiếu cung, sai cung hàm số lượng giác (4 HS) Dưới làm HS H31 mắc phải lỗi này: π π π π π 2 2 cos xdx + − sin xdx = sin x + cos ∫ ∫ 2 2 0 π π π 2 2 cos xdx + − sin xdx = sin x + cos x ∫ ∫ 2 2 0 Cách viết Viết sai dấu (6 HS): Dưới làm HS H5 mắc phải lỗi này: π π π  π  π  sin − x dx = sin − x  ÷  ∫0   ∫0  ÷ d  − x ÷ π π Cách viết sin  π − x  dx = − sin  π − x  d  π − x  ∫0  ÷ ∫0  ÷  ÷ Viết sai cận (2 HS): Dưới làm H1 mắc phải lỗi này: π π π π π  π  Cách viết π  π  sin − x dx = cos + x dx sin − x dx = cos  ÷  ÷  ÷ ∫0   ∫0   ∫0   ∫0  + x ÷ dx Viết thiếu giá trị cận giá trị cận sau tìm nguyên hàm: (12 HS) π  − cos  − x ÷ π  4  Dưới làm H21 mắc phải lỗi này: ∫ sin  − x ÷dx = ' 4  π   − x÷ 4  π π π  − cos  − x ÷ 4  Cách viết sin  π − x ÷dx = ' ∫0   π   − x÷ 4  π Viết thiếu dx (5 HS): Dưới làm H15 mắc phải lỗi này: π π π π π  π  Cách viết π  π  sin − x dx = cos + x sin − x dx = cos  ÷  ÷  ÷ ∫0   ∫0   ∫0   ∫0  + x ÷ dx Viết sai công thức lượng giác sin ( a − b ) = sin a − sin b thay công thức sin ( a − b ) = sin a cos b − cos a sin b Viết thiếu kí hiệu đạo hàm (6 HS) Dưới làm H19 mắc phải lỗi này: π π 2 − cos  − x ÷ π  4  sin ∫0  − x ÷ dx =  π   − x÷ 4  π π π  − cos  − x ÷ 4  Cách viết đúng: sin  π − x ÷dx = ' ∫0   π   − x÷ 4  π Viết sai công thức nguyên hàm: π π π   ∫ sin  − x ÷ dx = − cos  − x ÷ π π π Cách viết sin  π − x  dx = −1  − cos  π − x    ÷÷ ∫0  ÷ ( )  4  Không tìm vi phân đổi biến số (1 HS) t = Cách viết t = π π π π − x, x = ⇒ t = , x = ⇒ t = − 4 π π π π − x ⇒ dx = − dt , x = ⇒ t = , x = ⇒ t = − 4 Bảng 1.2: Thống kê số HS theo số cách mà em làm Số cách Số HS 0 (0%) (0%) (0%) 23 Pha Bảng 2.1: Thống kê số nhóm theo chiến lược giải, theo cách giải Số nhóm Số nhóm làm S1 (100%) S2 (100%) S3 (100%) S4 (100%) S5 (100%) (100%) (100%) (60%) (100%) (80%) Từ bảng thống kê cho thấy, nhóm nắm yêu cầu toán, tức em cố gắng đưa cách giải khác Có cách giải mà có nhóm làm (cách 1, 2, 3) Tuy nhiên, nhóm thành công với cách giải Riêng cách có nhóm nhóm thực không kết Cả nhóm tìm nguyên hàm π sai sau đổi cận Chẳng hạn, làm nhóm sau: ∫ sin tdt = sin t π − π − π Thêm vào đó, có nhóm (chiếm 80%) làm theo cách giải nhóm khai π π triển sai công thức lượng giác sin( − x) = sin − sin x Mặc dù, làm việc nhóm tạo 4 hội cho em sữa chữa sai lầm cho Nhưng có nhóm chưa thực làm tốt điều Chính vậy, cần có pha với kết bên Pha Giáo viên tổ chức cho đại diện nhóm trình bày sản phẩm nhóm, HS nhóm khác nhận xét, phản biện sản phẩm nhóm trình bày, đại diện nhóm trình bày bảo vệ quan điểm nhóm Giáo viên cho HS thống ý kiến đưa kết luận sau Qua hai pha: làm việc cá nhân làm việc theo nhóm trước đó, HS dễ dàng nhận xét, rút kiến thức, kinh nghiệm trình bày lời giải toán nêu Hoạt động học tập trở thành thói quen tốt tổ chức rèn luyện thường xuyên sau hoạt động HS hình thành kĩ nghiên cứu khoa học, biết đào sâu kiến thức, khai thác tri thức phương pháp để hình thành nhiều cách giải khác nhau, tìm cách giải hợp lí (tối ưu) hết nhận xét ưu/khuyết cách giải Cụ thể em nhận xét sau: π π cos( − x ) Đối với S1 cách vận dụng định nghĩa nguyên hàm ∫ sin( π − x)dx = ưu π ( − x)' π điểm nhanh chóng tìm kết nhược điểm dễ quên chia cho u ' Đối với S2 cách biến đổi lượng giác cung phụ 10 π π π  π  sin − x dx = cos  ÷ ∫0   ∫0  + x ÷dx ưu điểm tìm trực tiếp nguyên hàm π  sin  + x ÷ hạn chế việc sai dấu nhược điểm lại khó khăn tìm 4  công thức biến đổi sin u thành cos u Đối với S3 cách đổi biến số t = π π π π − x ⇒ dx = − dt , x = ⇒ t = , x = ⇒ t = − 4 ưu điểm đưa hàm số cho dạng đơn giản nhược điểm cách làm phải tìm vi phân, đổi cận viết tích phân theo biến mới, cận Đây chi tiết mà HS dễ bỏ sót π π Đối với S4 cách dùng vi phân sin  π − x  dx = − sin  π − x  d  π − x  ưu điểm ∫0  ÷ ∫0  ÷  ÷ biến đổi trực tiếp không cần phải đổi cận nhược điểm dễ sai sót, đặc biệt sai dấu viết π π 0 ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( u ) du Đối với S5 cách dùng công thức cộng π π  π  π π  ∫ sin  − x ÷ dx = ∫  sin cos x − cos sin x ÷ dx 0 ưu điểm nhìn thấy công thức cần sử dụng nhược điểm lại lời giải dài dễ sai dấu giá trị cận trên, cận để tính giá trị tích phân cho KẾT LUẬN Những kết đạt cho phép trả lời câu hỏi xuất phát khẳng định tính đắn giả thuyết H Trong đó, HS thực khai thác kiến thức cần thiết SGK để đưa lời giải thích đáng, gián tiếp góp phần vào việc rèn luyện phát triển tư cho em Một ghi nhận khác nhiều sai sót HS tính tích phân: thiếu dx , thiếu cận cận dưới, sai công thức nguyên hàm, ghi sai cận, không thuộc công thức lượng giác, Chúng thiết nghĩ vấn đề nghiên cứu thú vị thời gian tới 11 TÀI LIỆU THAM KHẢO Annie Bessot, Claude Comiti, Lê Thị Hoài Châu, Lê Văn Tiến (2009), Những yếu tố Didactic Toán, Nxb Đại học Quốc Gia TP Hồ Chí Minh Trần Văn Hạo (chủ biên) (2008), Giải tích 12, Nxb Giáo dục, Nha Trang Trần Văn Hạo (chủ biên) (2008), Giải tích 12, Nxb Giáo dục, TP Hồ Chí Minh Nguyễn Thế Thạch (chủ biên) (2008), Hướng dẫn thực chương trình sách giáo khoa lớp 12 môn toán, Nxb Giáo dục, Phú Yên Nguyễn Thế Thạch (chủ biên) (2009), Hướng dẫn thực chuẩn kiến thức, kĩ môn toán lớp 12, Nxb Giáo dục, Phú Yên 12 ... cứu H: “Khi dạy học tính tích phân, giáo viên tổ chức hoạt động giải toán nhiều cách khác nhau, từ góp phần rèn luyện phát triển tư cho học sinh PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU 2.1 Phân tích, tổng hợp... học Nó cho phép ghi nhận lại quan trọng, yếu tố mà em học tập thông qua việc giải vấn đề đưa HS mong muốn để học: có cách hợp lí khác để giải toán tính tích phân 2.2.3 Phân tích tiên nghiệm toán. .. hiệu để tính tính phân Vấn đề đặt ra, em có thực khai thác hết kiến thức để tính tích phân chưa Qua đây, có số câu hỏi cần nghiên cứu sau: - Việc giải toán nhiều cách khác có ý nghĩa dạy học toán?