Xây dựng bài toán từ bài toán gốc

1 XÂY DỰNG BÀI TOÁN TỪ BÀI TOÁN GỐC Đặt vấn đề Trong dạy học việc tìm toán gốc toán hay xây dựng toán từ toán gốc mang lại nhiều lợi ích cho giáo viên - học sinh phù hợp với xu hướng đổi giáo dục Đối với học sinh: em cần nắm vững dạng tổng quát cách phát triển dạng toán tương ứng đạt mục tiêu đề ra, giảm nhiều nội dung phải học thuộc lòng không cần thiết Qua góp phần phát triển tư toán học tạo hứng thú, động học tập tích cực cho em Đối với giáo viên: công việc nghiên cứu khoa học thân góp phần nâng cao trình độ chuyên môn, nghiệp vụ sư phạm Sau ví dụ cụ thể: Trong sách tập toán 7, Nxb GD có toán sau: so sánh phân số a 1941 2005 1931 1995 b 1930 1990 1945 2005 * Cách giải chung toán so sánh hai phân số a c đưa b d mẫu số cách qui đồng mấu số hai phân số cho sau so sánh tử số hai phân số có mẫu số đưa kết luận Hoặc so sánh hai tích a.c b.d sau dựa tính chất bất đẳng thức đưa kết luận * Đối với toán ta giải thông qua số nhận xét dựa tính chất thông thườmg bất đẳng thức Từ đưa toán tổng quát cách giải tương ứng, đặc biệt áp dụng cho phân số có tử số mẫu số số lớn (không thể giải cách thông thường) 2 a So sánh 1941 2005 1931 1995 • Ta có: 2005-1941=1995-1931=64 • 1941.1995=1941(1931+64)=1941.1931+1941.64 • 1931.2005=1931(1941+64)=1941.1931+1931.64 • Vì 1941>1931 nên 1941.64>1931.64 • Suy ra: 1941.1931+1941.64>1941.1931+1931.64 • Vậy: 1941(1931+64) > 1931(1941+64) • ⇔ 1941 1941 + 64 1941 2005 > ⇔ > (do 1931>0) 1931 1931 + 64 1931 1995 Nhận xét 1: tử mẫu phân số thứ hai sai khác số Từ kết ta nghĩ đến toán tổng quát “Cho a, b số tự nhiên với b>0 n>0, k số nguyên dương Chứng minh a>b a a+k > ” b b+k b Tương tự: • Ta có: 1990-1930=2005-1945=60 • 1930.2005=1930(1945+60)=1930.1945+1930.60 • 1945.1990=1945(1930+60)=1930.1945+1945.60 • Vì 1945>1930 nên 1945.60>1930.60 • Suy ra: 1945(1930+60)> 1930(1945+60) • Vậy: 1930 1930 + 60 1930 1990 < ⇔ > (do 1945>0) 1945 1945 + 60 1945 2005 Nhận xét 2: Tương tự ta nghĩ đến toán tổng quát “Cho a, b số tự nhiên với b>0 n>0, k số nguyên dương Chứng minh a0 Hãy so sánh hai số hữu tỷ a a + 2009 b b + 2009 Giải • Xét a(b+2009)=ab+2009a b(a+2009)=ab+2009b • Nếu a>b thì: ab+2009a> ab+2009b hay a(b+2009)> b(a+2009) Do b>0 nên a a + 2009 > b b + 2009 • Nếu a0 nên a a + 2009 < b b + 2009 Từ thay số k=2009 số nguyên dương nào? Ta tiếp tục xét toán: Bài toán 2: Cho a, b số nguyên, b>0, n số nguyên dương Hãy so sánh hai số hữu tỷ a a+n b b+n Giải Lý luận tương tự • Xét: a(b+n)=ab+a.n b(a+n)=ab+b.n • Nếu a>b a a+n > b b+n • Nếu ab⇔ a a > a < b ⇔ < ” để toán tưong đương: b b Bài toán 3: Cho a, b số nguyên, b>0, n số nguyên dương Chứng minh rằng: a Nếu a a a+n > > b b b+n b Nếu a a a+n < < b b b+n c Nếu a a a+n = = b b b+n Giải Theo kết toán với giả thiết tương tự Theo kết ta xây dựng toán sau áp dụng số tự nhiên lớn (lũy thừa) nằm phạm vi tính toán thông thường (tính tay sử dụng máy tính bỏ túi với phép tính có) Ta xét tiếp toán: Bài toán 4: So sánh hai số hữu tỷ a 19751976 + 19751975 + 19751975 + 19751974 + b 2005 2004 + 2005 2003 + 2005 2005 + 2005 2004 + Giải Dựa theo kết 3: 19751976 + 19751976 + 19751976 + + 1974 > = a Vì >1 nên 19751975 + 19751975 + 19751975 + + 1974 19751976 + 1975 1975(19751975 + 1) 19751975 + = = = 19751975 + 1975 1975(19751974 + 1) 19751974 + 2005 2004 + < nên b Tương tự: 2005 2005 + 2005 2004 + 2005 2004 + + 2004 2005 2004 + 2005 < = 2005 2005 + 2005 2005 + + 2004 2005 2005 + 2005 = 2005(2005 2003 + 1) 2005 2003 + = 2005( 2005 2004 + 1) 2005 2004 + Từ kết này, ta nghĩ đến toán: Bài toán 5: Cho n, m số tự nhiên lớn So sánh phân số sau a n n +1 + nn + nn +1 n n −1 + b mm +1 m m−1 + m m+1 + mm +1 Giải Tương tự toán Nếu thay số số nguyên dương ta toán tương tự Bài toán 6: Cho n, m số tự nhiên lớn 1, a, b số tự nhiên So sánh phân số sau a n n +1 + a nn + a nn + a n n −1 + a b mm + b m m−1 + b m m+1 + b mm + b Giải Tương tự toán Kết luận Qua toán ta thấy việc tìm toán gốc toán cần thiết, điều giúp cho học sinh có nhìn tổng quát, sâu sắc vấn đề học Tạo hứng thú, khơi dậy động học tập tích cực, tránh tình trạng học máy móc, học tủ, học để đối phó Đối với giáo viên nâng cao trình độ chuyên môn, dễ dàng việc tập tương tự, tập có tính chất mức độ nhận thức; góp phần tích cực vào việc nâng cao chất lượng giảng dạy trường Phổ thông theo tinh thần cải cách giáo dục đất nước  ... a+n = b b+n Kết phù hợp với giả thuyết đặt 4 Từ điều kiện toán Ta đặt giả thiết tương tự “ a>b⇔ a a > a < b ⇔ < ” để toán tưong đương: b b Bài toán 3: Cho a, b số nguyên, b>0, n số nguyên dương... c Nếu a a a+n = = b b b+n Giải Theo kết toán với giả thiết tương tự Theo kết ta xây dựng toán sau áp dụng số tự nhiên lớn (lũy thừa) nằm phạm vi tính toán thông thường (tính tay sử dụng máy tính... 1) 2005 2004 + Từ kết này, ta nghĩ đến toán: Bài toán 5: Cho n, m số tự nhiên lớn So sánh phân số sau a n n +1 + nn + nn +1 n n −1 + b mm +1 m m−1 + m m+1 + mm +1 Giải Tương tự toán Nếu thay số