Sáng kiến kinh nghiệm SKKN rèn luyện cho học sinh lớp 10 kỹ năng giải toán véctơ và sử dụng phương pháp véctơ để giải toán

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐỀ TÀI: "RÈN LUYỆN CHO HỌC SINH LỚP 10 KỸ NĂNG GIẢI TOÁN VÉCTƠ VÀ SỬ DỤNG PHƢƠNG PHÁP VÉCTƠ ĐỂ GIẢI TOÁN" Phần I: MỞ ĐẦU I- Lý lựa chọn đề tài I.1 Tính lịch sử “Cùng với KHCN, giáo dục quốc sách hàng đầu” Chủ trương thể rõ quan điểm, đường lối Đảng nhà nước ta, khẳng định tầm quan trọng giáo dục phát triển đất nước, lẽ giáo dục đóng vai trò định việc đào tạo lực lượng sản xuất, đem đến thành công công xây dựng đất nước, xây dựng CNXH Ngành Giáo dục triển khai thực công tác đổi giáo dục phổ thông bao gồm: Đổi sở vật chất phục vụ cho dạy học, đổi chương trình sách giáo khoa, đổi công tác quản lý đạo, đổi phương pháp dạy học, đổi cách kiểm tra đánh giá v.v nhằm giúp học sinh phát triển cách toàn diện Năm học này, Bộ Giáo dục đào tạo đưa hiệu “Xây dựng trường học thân thiện học sinh tích cực” nhằm hướng học sinh đến phát triển toàn diện Trong hệ thống môn học đưa vào đào tạo trường phổ thông, môn Toán đóng vai trò quan trọng, lẽ qua học toán học sinh phát triển cách tốt tư sáng tạo, linh hoạt, dễ thích ứng với hoàn cảnh, phù hợp với xu phát triển đất nước ta Học tốt môn toán giúp học sinh học tốt nhiều môn học khác Xưa môn học mà không học sinh phải ngại ngùng nhắc đến, việc học toán nhiều học sinh điều khó khăn Trong phân môn toán học phổ thông Hình học coi môn học khó khăn Tất đánh giá xuất phát từ lý khách quan chủ quan như: Học sinh chưa nắm phương pháp học tập, giáo viên ôm đồm kiến thức giảng dạy, khó khăn sở lý luận việc dạy học môn v.v Học toán đồng nghĩa với giải toán Muốn làm tập, việc phải có vốn kiến thức từ công thức, quy tắc, định nghĩa, khái niệm, định lý cần có phương pháp suy luận đắn I.2 Tính cấp thiết Bằng việc trao đổi với đồng nghiệp kinh nghiệp dạy Hình học thân, nhận thấy chất lượng dạy học hình học nói chung chưa cao: hầu hết học sinh ngại, sợ học Hình học, cách giải toán Hình học Mà việc giải tập Hình học không dựa vào việc có nắm kiến thức hay không mà dựa nhiều vào việc nhận mối liên quan kiến thức vận dụng chúng vào toán I.3 Thực trạng Đối với học sinh trường THPT Bỉm Sơn thì: - Đa số học sinh nắm vững vận dụng tốt kiến thức hình học vào việc giải tập Tuy nhiên, có vài lớp số học sinh rải rác lớp nắm vững vận dụng kiến thức hình học vào việc giải tập - Nhiều học sinh không nắm kiến thức học, học trước quên sau Kỹ vận dụng kiến thức vào hoạt động giải toán yếu Về mặt kiến thức: Khái niệm vec-tơ mẻ học sinh lớp 10 Qua khảo sát kiến thức kĩ số học sinh lớp 10 trường THPT Bỉm Sơn – Thanh Hóa, năm học 2011 – 2012 sau em học kiến thức vec-tơ nhận thấy em bỡ ngỡ gặp nhiều lúng túng Lấy ví dụ: Trong hai đề kiểm tra kiến thức vec-tơ lớp 10C4 10C7 có toán sau: Đề 1: Cho hai hình bình hành ABCD AB'C'D' có chung đỉnh A Chứng minh rằng: uuur uuur uuur a/ CC  BB  DD b/ Hai tam giác BC'D B'CD' có trọng tâm uur r uur r Đề 2: Cho tam giác OAB Đặt OA  a, OB  b gọi C, D, E điểm cho uuur uur uuur uur uuur uur AC  AB, OD  OB, OE  OA uuur uuur uuur r r a/ Hãy biểu thị vec-tơ OC, CD, DE qua vec-tơ a , b b/ Chứng minh ba điểm C, D, E thẳng hàng Qua khảo sát 98 học sinh lớp có kết sau: Số Không làm Làm Chỉ làm Chỉ làm câu câu câu a câu b Đề 42 25 (59,52%) (21,43%) (16,67%) (2,38%) Đề 46 27 (58,70%) 11 (23,91%) (13,04%) (4,35%) Qua làm học sinh qua thực tế giảng dạy, nhận thấy bộc lộ nhược điểm học sinh sau: - Không nắm vững kiến thức vec-tơ, không hiểu rõ không phân biệt uuur uuur xác kí hiệu: AB, AB, | AB |, AB - Không nắm vững quy tắc cộng, trừ vec-tơ, nhân số với vec-tơ, tích vô hướng hai vec-tơ Khi tính toán số em tuỳ tiện bỏ kí hiệu vec-tơ, kĩ vận dụng kiến thức vec-tơ để giải toán yếu, toán mà chưa viết rõ quan hệ vec-tơ - Thậm chí, với toán “Cho nửa đường tròn tâm O có đường kính AB = 2R Gọi M, N hai điểm nửa đường tròn cho dây cunguurAM BN cắt I uur uuur uur uur uuur uur uuur uuur uuur Chứng minh: AI AM  AI AB ”, có học sinh làm sau: AI.AM  AI.AB  AM  AB uur (chia hai vế cho AI ) suy đẳng thức không xảy Điều chứng tỏ học sinh chưa hiểu rõ khái niệm tích vô hướng vec-tơ Trong nhiều nguyên nhân dẫn đến kết việc học sinh không tiếp thu tốt kiến thức vec-tơ, có nguyên nhân học sinh thực hành toán khái niệm vec-tơ Có lý thời lượng quy định cho học không đủ cho giáo viên học sinh làm việc Đặc biệt học sinh không thực môn Toán Chính lý trên, nhằm giúp em lĩnh hội tốt kiến thức vec-tơ, có kĩ giải tập vec-tơ sử dụng vec-tơ công cụ tốt để giải toán mạnh dạn lựa chọn nghiên cứu vấn đề: “Rèn luyện cho học sinh lớp 10 kỹ giải toán vec-tơ sử dụng phương pháp vec-tơ để giải toán.” II Mục đích nghiên cứu Không có phương pháp tốt, có kết cao Biết vận dụng kiến thức cách phù hợp có cách giải tập tốt Đặc biệt lớp 10, học sinh lần va chạm với kiến thức vec-tơ, mục đích đặt thông qua việc dạy cho học sinh vận dụng kiến thức vec-tơ để giúp học sinh thấy được: - Các ký hiệu, chất ký hiệu vec-tơ - Mối quan hệ vec-tơ với kiến thức khác hình học - Chuyển đổi toán hình học thông thường với toán vec-tơ - Các phương pháp suy nghĩ để tìm lời giải toán hình học nhờ phương pháp vec-tơ Từ giúp học sinh vượt qua tâm lí ngại sợ học hình học, đặc biệt toán vec-tơ III Thời gian, địa điểm nghiên cứu Sáng kiến kinh nghiệm nghiên cứu, áp dụng thực năm học 2011 – 2012, hai lớp 10C4 10C7, trường THPT Bỉm Sơn, Thanh Hóa Đây hai lớp có điểm đầu vào bình quân thấp khối 10 Nội dung sáng kiến trình bày cho học sinh số học tự chọn môn Toán số buổi học bồi dưỡng (ngoài học khóa) NỘI DUNG Phần II: I- Một số kiến thức cần ý I.1 Các định nghĩa vec-tơ, kí hiệu thường dùng Cho điểm A, B thì: - Ký hiệu AB độ dài đoạn thẳng AB Như ký hiệu AB BA uuur uuur uuur - Ký hiệu AB vec-tơ AB Như ký hiệu AB BA , nói chung, hai vec-tơ khác uuur uuur uuur - Ký hiệu | AB | độ dài vec-tơ AB Như | AB |  AB và, đó, uuur uuur | AB |  | BA | - Ký hiệu AB độ dài đại số vec-tơ AB I.2 Các phép toán vec-tơ I.2.1 Phép cộng vec-tơ uuur uur uuur - Quy tắc ba điểm: Với điểm A, B, C thì: AB  BC  AC uuur uuur uuur - Quy tắc hình bình hành: Với ABCD hình bình hành thì: AB  AD  AC - Tính chất trung điểm: Với I trung điểm đoạn thẳng AB thì: uur uur r + IA  IB  uuur uuur uur + MA  MB  2MI , với điểm M I.2.2 Phép trừ vec-tơ uuur uuur uuur Với ba điểm O, A, B thì: OA  OB  BA I.2.3 Phép nhân vec-tơ với số r r - Cho vec-tơ u số k   Vec-tơ ku xác định bởi: r r r + ku hướng với vec-tơ u k  ngược hướng với vec-tơ u k < r r + | ku |  | k |.| u | r r r r - Cho b  a phương với b Khi đó, tồn số thực k r r cho: a  kb uuur uuur - Ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng AB AC vec-tơ phương I.2.4 Tích vô hướng hai vec-tơ r r - Cho trước hai vec-tơ a, b Từ điểm O cố định, dựng vec-tơ uuur r uuur r r r ·r r · góc hai vec-tơ a, b Ký hiệu: (a, b) OA  a, OB  b Khi góc AOB r r (a, b) rr r r r r a.b  | a | | b | cos(a, b) - Tích vô hướng hai vec-tơ: r r rr - a  b  a.b  rr r r - a.a  a  | a |2 I.3 Tọa độ vec-tơ điểm mặt phẳng Xét hệ tọa độ Oxy r r r r r - u(x; y)  u  (x; y)  u  x i  yj uuur uuur r r - M(x; y)  OM  (x; y)  OM  x i  yj r r - Với u(x; y), v(x; y) , k  : r r  x  x  y  y + uv r r + u  v  (x  x;y  y) r + ku  (kx;ky) rr + u.v  xx  yy r + | u |  x  y2 rr u.v r r + cos(u, v)  r r  | u | | v | xx   yy x  y x   y 2 2 I.4 Học sinh cần rèn luyện kĩ tổng hợp nhiều vec-tơ thành vec-tơ ngược lại, cần biết phân tích vec-tơ thành nhiều vec-tơ khác (thường phân tích vec-tơ thành hai vec-tơ khác chung gốc không phương phân tích thành hiệu hai vec-tơ khác chung gốc) Ở tập nên phân tích có cách giải khác giúp học sinh có cách nhìn linh hoạt vec-tơ I.5 Cần rèn cho học sinh biết cách chuyển từ ngôn ngữ hình học thông thường sang ngôn ngữ vec-tơ ngược lại Ví dụ: TT Kiến thức hình học tổng Vec-tơ hợp uuur uuur uuur uuur r 1) MA  MB  M trung điểm đoạn 2) AM  MB uuur uuur uuur thẳng AB 3) OA  OB  2OM , với điểm O uuur uuur uuur r 1) GA  GB  GC  uuur uuur uuur uuur 2) OA  OB  OC  3OG , với O G trọng tâm ΔABC uuur AM trung tuyến uuur uuur AB  AC  2AM ΔABC Ba điểm A, B, C thẳng hàng AB // CD AB  CD ABCD hình bình hành uuur uuur AB  kAC (k  0) uuur uuur AB  kCD (k  0) uuur  uuur AB  mAC (m  ¡ ) uuur uuur AB.CD  uuur uuur AB  DC (A  DC) I- Hƣớng dẫn học sinh giải toán vec-tơ I.1 Các toán xác định vec-tơ Làm cho học sinh nắm vững khái niệm vec-tơ hướng, vec-tơ Một nguyên nhân khiến học sinh không giải toán vectơ không hiểu rõ khái niệm vec-tơ, cách xác định vec-tơ, không hiểu rõ hai vec-tơ nhau, nhầm lần vec-tơ với đoạn thẳng bàng Để giải điều này, tác giả cho học sinh làm lại phân tích kỹ lời giải học sinh qua hoạt động số (§1, chương I, SGK Hình học 10 nâng cao): Cho trước uur r r vec-tơ a điểm O cố định Xác định điểm A cho OA  a Có điểm A uuur r Tác giả vẽ lên bảng hình vẽ sau (tức vẽ cho AO  a ): A O a Hình Và yêu cầu học sinh xác định xem điểm A có thỏa mãn toán không Sau uuur r OA vec-tơ a có độ dài phân tích cho học sinh thấy rõ rằng: Trong hình vẽ trên, vec-tơ uuur r Tuy nhiên, vec-tơ OA có hướng từ phải sang trái vec-tơ a có hướng từ trái sang phải Do hai vec-tơ không nên điểm A không thỏa mãn toán Sau đó, tác giả yêu cầu học sinh xác định điểm A thỏa mãn toán: Đa số học sinh xác định điểm A hình vẽ sau: O A a M N Hình r a xác định điểm Qua đó, tác giả nhấn mạnh uuu cho học sinh rằng: vec-tơ r r đầu M điểm cuổi N OA  a tứ giác MNAO hình bình hành (cần ý chặt chẽ đến thứ tự đỉnh hình bình hành) Hơn qua việc xác định thế, học sinh nhận có điểm A thỏa mãn toán Ngoài ra, tác giả đưa tình sau để giúp học sinh rèn luyện hiểu rõ khái niệm vec-tơ: - Điểm O trùng với điểm M A điểm nào? (A  N) - Điểm O trùng với điểm N A điểm nào? (A đối xứng với M qua N hay N trung điểm MA) - Xác định vị trí điểm O để điểm A trùng với điểm M? (O đối xứng với N qua M hay M trung điểm ON) Làm cho học sinh nắm vững khái niệm tổng, hiệu hai vec-tơ Việc xác định tổng, hiệu vec-tơ nhiều học sinh vấn đề khó khăn Qua giảng dạy vec-tơ, tác giả nhận thấy học sinh không phân biệt rõ dựng tổng vec-tơ với tổng hai cạnh tam giác Để giúp học sinh nắm vững hươn khái niệm tổng hai vec-tơ số tiếp xúc chúng, đặc biệt quy tắc ba điểm cách dựng vec-tơ tổng hai vec-tơ, tác giả cho học sinh làm lại nội dung hoạt động (§2, chương I, SGK Hình học 10 nâng cao) Trước hết, tác giả vẽ lên bảng hình vẽ sau: b a c O Hình Yêu cầu học sinh: uuur r uuur r uur r - Xác định điểm A, B, C cho: OA  a, AB  b, BC  c r r r r - Dựng vec-tơ a  b, b  c Sau học sinh thực yêu cầu giáo viên chỉnh sửa sai sót, hình vẽ sau: b A a B a+b c b+c a+b+c O Hình C Sau học sinh nắm khái niệm vec-tơ cách tương đối chắn, tác giả tiến hành cho học sinh rèn luyện khả vận dụng kiến thức vec-tơ vào giải toán thông qua số ví dụ, toán cụ thể Hơn nữa, với ví dụ, toán, tác giả cố gắng hướng dẫn học sinh tìm nhiều cách giải khác nhau, qua vận dụng nhiều kiến thức hiểu rõ thêm chất loại kiến thức áp dụng * Trước hết, tác giả cho học sinh thực hành việc xác định tổng vec-tơ thông qua toán cụ thể, qua củng cố thêm khái niệm tổng vec-tơ, quy tắc thường dùng tổng vec-tơ Ví dụ 1: Cho tam giác ABC Trên cạnh BC lấy hai điểm D E cho có: BD = r uuur uuur uuur uuur DE = EC Hãy dựng vec-tơ u  AB  AC  AD  AE Giải: Cách 1: Gợi ý học sinh: - Trong phép dựng tổng hai vec-tơ, với hai vec-tơ có chung gốc nên xem xét đến quy tắc nào? (Quy tắc hình bình hành) - Vận dụng quy tắc vào toán cụ thể sao? (Nhóm vec-tơ xác định hai cạnh hình bình hành lại với nhau) Qua hướng dẫn, học sinh thực phép dựng nêu lời giải sau: K I B D O E Hình C A Dựng hình bình hành ABIC ADIE hình bình hành Từ quy tắc hình bình hành, ta có ngay: uuur uuur uur uuur uuur uur uur r AB  AC  AI, AD  AE  AI  u  2AI uur uuur r Từ đó: Dựng K đối xứng với A qua I thì: u  2AI  AK Cách 2: Gợi ý học sinh: Có thể giải cách khác không? r uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur  AD  AE  AB  AE  AC  AD Từ đó, dựng Học sinh biến đổi: u  AB  AC uuu r uuur uuur uuur uuur uuur hình bình hành ABME ACND thì: AB  AE  AM , AC  AD  AN r uuur uuur Như vậy: u  AM  AN r uuur Vẫn cách suy nghĩ đó, dựng tiếp hình bình hành AMKN thì: u  AK K M B D N E A C Hình Cách 3: Gợi ý học sinh: - Hãy phân tích đề theo hướng khác: Với giả thiết đề bài, nhận xét điểm D, E cạnh BC? (D trung điểm BE E trung điểm CD) - Với nhận xét đó, nhớ lại xác định xem vận dụng kiến thức để xác định tổng hai vec-tơ? (tính chất trung điểm) Qua hướng dẫn, học sinh thực phép dựng nêu lời giải sau: K M B D N E Hình C A r uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur Biến đổi: u  AB  AC  AD  AE  AB  AE  AC  AD Do D trung điểm AE E trung điểm CD nên ta có: uuur uuur uuur uuur uuur uuur AB  AE  2AD, AC  AD  2AE Từ đó, dựng M đối xứng với A qua D N đối xứng với A qua E thì: uuur uuur uuur uuur uuur uuur AB  AE  AM, AC  AD  AN r uuur uuur Như vậy: u  AM  AN r uuur Từ đó, dựng hình bình hành AMKN ta có: u  AK * Một loại toán mà học sinh lúng túng toán biểu diễn vec-tơ qua vec-tơ không phương Với loại toán này, nhiều học sinh lúng túng áp dụng quy tắc phép cộng phép trừ hai vec-tơ: Với ba điểm O, A, B bất kỳ, ta có: uuur uuur uuur uuur uuur uuur AO  OB  AB, OA  OB  BA Cả hai quy tắc đó, mấu chốt quy tắc ba điểm phép cộng vec-tơ Chính điều này, kết hợp với đối tượng học sinh yếu nên trước cho học sinh làm toán cụ thể, tác giả cho học sinh thực hành nhiều việc lấy tổng, hiệu hai vec-tơ, phân tích vec-tơ thành tổng, hiệu hai vec-tơ như: uuur uuur uuur uur uuur uuur uur uur uur uuur uur AO  OB  AB; MI  KM  KM  MI  KI; EF  EO  OF uuur uuur uuur uuur uur uur AM  AN  NM; CD  ID  IC uur uuur uuur uuur uuur uur uuur uur uuur AI  AM  AN ; EM  EN  2EI; KM  2KI  KN (Với I trung điểm đoạn   thẳng MN) Ngoài ra, cần hướng dẫn học sinh xem xét phát vec-tơ phương, hướng toán để sử dụng vào việc biểu diễn Để rèn luyện loại toán này, trước hết, tác giả cho học sinh thực hành qua toán đơn giản sau Ví dụ 2: Cho hình bình hành ABCD tâm O Gọi E trung điểm BC Đặt uuur r uuur r uuur r r AB  a, AO  b Hãy biểu diễn vec-tơ AE theo vec-tơ a b Giải: A D O B C E Hình Cách 1: Gợi ý học sinh: uuur uuur - Trong toán này, có vec-tơ với vec-tơ AB, AO uuur - Hãy sử dụng quy tắc ba điểm phép cộng để biểu diễn AE qua tổng hiệu uuur uuur vec-tơ phương với vec-tơ AB, AO (hoặc vec-tơ đó) Qua hướng dẫn, học sinh thực lời giải sau: uuur uuur uuur uuur uuur r r r r AE  AO  OE  AO  AB  b  a  a  b 2 Cách 2: Gợi ý học sinh: Trong cách giải vận dụng quy tắc ba điểm bước biến đổi Hãy xem xét giả thiết toán để biến đổi cách khác Chú ý đến yếu tố: trung điểm, song song, đối xứng Qua hướng dẫn, học sinh thực lời giải sau:     uuur uuur uuur uuur r uuur r 1r r AE  AB  AC  AB  2AO  (a  2b)  a  b 2 2 Tiếp theo, cho học sinh thực hành việc biểu diễn vec-tơ qua vec-tơ không phương ví dụ: Ví dụ 3: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O có trực tâm H Đặt uuur r r r uuur r uuur r uuur r HA  a, HB  b, HC  c Chứng minh rằng: HO  (a  b  c) Giải: Cách 1: Gợi ý học sinh: uuur uuur uuur - Trong toán này, có vec-tơ với vec-tơ HA, HB, HC Nếu chưa có cố gắng để tạo Có thể thông qua vec-tơ, điểm có điểm đặc biệt liên quan đến giả thiết (Lựa chọn trung điểm cạnh) uuur - Hãy sử dụng quy tắc ba điểm phép cộng để biểu diễnuuuHO qua uuu tổng hiệu r uuur r vec-tơ, có vec-tơ phương với HA HB HC (Biểu diễn uuur uuur uuur HO  HA  AO ) - Bước tiếp theo, làm tương tự để biểu diễn vec-tơ tổng (hoặc hiệu đó) chưa uuur uuur uuur uuur uuur uuur phương với HA, HB, HC theo HA, HB, HC vec-tơ phương với uuur uuur uuur HA, HB, HC r r r r - Chú ý đến tính chất: Nếu b  a phương với b tồn r r r r r số k   để a  kb Hơn nữa, với ba vec-tơ a, b, c không phương cho trước r r r r vec-tơ u biểu diễn qua vec-tơ a, b, c Qua hướng dẫn, học sinh thực lời giải sau: A B1 B' C' C1 O H B A1 A' C Hình uuur uuur uuur Gọi A' trung điểm BC thì: HO  HA  AO uuur Mặt khác: theo tính chất trung điểm: HA  uuur   uuur uuur r r HB  HC  (b  c) 2 r Hơn OA' // AH nên AO  ma Do đó, ta có: uuur uuur uuur r r r r 1r 1r HO  HA  AO  (b  c)  ma  ma  b  c 2 (1) Tương tự: Gọi B', C' trung điểm AC, AB thì: uuur uuur uuur r r 1r HO  HB  BO  a  nb  c 2 uuur uuur uuur r r r HO  HC  CO  a  b  pc 2 Từ (1), (2), (3) suy ra: m  n  p  (2) (3) uuur r r r Vậy HO  (a  b  c) Cách 2: Gợi ý học sinh: - Vì đường tròn có tính đối xứng nên xét điểm O vai trò trung điểm có cách suy nghĩ khác không? - Muốn thế, tìm cách tạo O trung điểm đoạn thẳng có gắn với uuur uuur uuur vec-tơ HA, HB, HC Qua hướng dẫn, học sinh thực lời giải sau: A B1 C1 H B D O C A1 Hình 10 · ·  BCD  90o  CD // AH Kẻ đường kính BD đường tròn Khi đó, ta có: BAD AD // HC uuur uuur uuur Do tứ giác AHCD hình bình hành Vậy HA  HC  HD uuur uuur uuur Mặt khác: HB  HD  2HO uuur r r r uuur uuur uuur uuur Suy ra: HA  HB  HC  2HO hay HO  (a  b  c) I.2 Các độ dài vec-tơ Vấn đề mà học sinh lúng túng giải toán vec-tơ không phân biệt rõuuu ràng khái niệm vec-tơ với độ dài vec-tơ Chính thế, nhiều học sinh cho r uur uuur AB  BC  AC (với ABC tam giác) Để khắc phục điều đó, trước hết, tác giả củng cố lại cho học sinh độ dài vec-tơ độ dài đoạn thẳng xác định vec-tơ (khoảng cách từ điểm đầu tới điểm cuối vec-tơ) cho học sinh thực hành ví dụ đơn giản sau: uuur uuur r - Cho hai điểm phân biệt A B Hãy xác định độ dài vec-tơ: AB , BA, uur uur (Phải phân tích để học sinh hiểu rõ AB  BA  AB ) uuur - Cho ba điểm phân biệt A, B, C Hãy xác định độ dài vec-tơ: AB , uuur uur r uur uuur AC, BC, u  BC  AB (Phải phân tích, nhấn mạnh để học sinh hiểu rõ uuur uur uur uuur uuur uuur r BC  AB  AB  BC  AC nên | u |  AC  AC Hơn nữa, cần phân tích qua nhiều trường hợp hình vẽ khác nhau: Ba điểm A, B, C không thẳng hàng bất kỳ; tạo thành tam giác cân, tam giác đều; thẳng hàng bất kỳ, thẳng hàng cách ) Tiếp theo, học sinh nắm vững khái niệm độ dài vec-tơ, tác giả củng cố lại cho học sinh hai vec-tơ chúng có hướng độ dài, hai vec-tơ đối chúng ngược hướng có độ dài Đồng thời cho học sinh thực hành qua ví dụ sau: Ví dụ 4: Cho tứ giác lồi ABCD có hai đường chéo AC BD cắt O Đặt uuur r uuur r uuur r uuur r AB  a, BD  b,DC  c,CA  d Chứng minh rằng: r r r r r r r r r r |a  d||b d|| c d|  |a ||b| | c| |d| Giải: Gợi ý học sinh: - Từ giả thiết quy tắc ba điểm phép cộng, đánh giá ba độ dài vế trái (Với hướng dẫn này, đa số học sinh đánh giá ba độ dài đưa đến kết không mong muốn, giáo viên phải hướng dẫn thêm) r r r r - Hãy xem xét đến đặc biệt vec-tơ xác định nên a, b, c, d để đánh giá tổng hai độ dài lại Chú ý đến tính chất cạnh tam giác Qua hướng dẫn, học sinh thực lời giải sau: B C O A Hình 11 D uuur uuur uuur uuur r r r r r r r r r r Ta có: AB  BD  DC  CA   a  b  c  d   b  d a  c vec-tơ r r r r r r đối  | b  d |  | a  c |  | a |  | c | (1) uuur uuur uur uuur uuur uuur Mặt khác: CA  AB  CB, DC  CA  DA uur uuur r r r r  | a  d |  | c  d |  | CB |  | DA |  CB  DA  BC  AD Lại có: BC + AD < (OB + OC) + (OA + OD) = BD + AC r r r r r r  |a d||c d|  |b||d| (2) r r r r r r r r r r Từ (1) (2) ta có: | a  d |  | b  d |  | c  d |  | a |  | b |  | c |  | d | * Với kiến thức độ dìa vec-tơ, hướng dẫn để học sinh vận dụng vào giải toán khác Sau cho học sinh rèn luyện thêm tập để khắc sâu khía niệm vec-tơ, tác giả cho học sinh vận dụng kiến thức độ dài vec-tơ vào toán sau học sinh thực hiệu Ví dụ 5: Cho tứ giác lồi ABCD Chứng minh rằng: Nếu AD2 + BC2 =AB2 + DC2 hai đường chéo AC BD vuông góc với uuur uuur uuur uuur Nếu MA  MC  MB  MD (với điểm M bất kỳ) tứ giác ABCD hình bình hành Giải: Gợi ý học sinh: - Dựa vào tính chất “Bình phương vô hướng vec-tơ bình phương độ dài nó” biến đổi tổng bình phương giả thiết thành hiệu bình phương vec-tơ để tạo vec-tơ xác định AC BD r r rr - Lưu ý rằng: a  b  a.b  Qua hướng dẫn, học sinh thực lời giải sau: uur uuur uuur uuur Từ giả thiết suy ra: BC2 – BA2 = DC2 – DA2  BC  BA  DC  DA uur uuur uur uuur uuur uuur uuur uuur   BC  BA  BC  BA    DC  DA  DC  DA  uuur uur uuur uuur uuur uuur uur uuur uuur uuur uuur uur uuur uuur uuur uuur  AC  BC  BA   AC  DC  DA   AC  BC  BA  DC  DA    AC  BC  CD  BA  AD   uuur uuur uuur uuur  AC.2BD   AC.BD   AC  BD uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur Ta có: MA  MC  MB  MD  MA  MB  MD  MC  BA  CD Vậy ABCD hình bình hành II- Vận dụng kiến thức vec-tơ để giải toán Đối với em học sinh giỏi hướng dẫn em khai thác sâu kiến thức vec-tơ, coi công cụ hữu hiệu để giải toán khác Chẳng hạn: Chứng minh bất đẳng thức, giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình, tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số, nhận dạng tam giác … Điều giúp em học sinh học tập hứng thú Các kiến thức mà em cần nắm vững để vận dụng kể đến gồm: rr r r r r - Tích vô hướng hai vec-tơ: a.b  | a | | b | cos(a;b) ta suy điều sau: + rr r r a.b  | a | | b | (I) rr r r + | a.b |  | a | | b | (II) r rr r r r r r Từ (I) ta có: 2a.b  | a | | b |  (a  b)  (| a |  | b |) r r r r | a  b |  | a |  | b |  (III) r r Dấu (I) (III) xảy  a  kb với k > r r Dấu (II) xảy  a  kb với k  - Học sinh lớp 10 quen công thức tính diện tích tam giác sau: 1 S  absin C  bcsin A  acsin B 2 uuur r uuur r Nếu đặt AB  b, AC  c ta có công thức tính diện tích tam giác ABC sau: 1r r S  b.c.tan A 1 r r   | b | | c | sin A  rr r r   2S Thật vậy: b.c  | b | | c | cos A   sin A tan A cos A 1r r  S  b.c.tan A r r - Trong hệ trục tọa độ Oxy, u  (x; y), v  (x; y) thì: rr + u.v  xx  yy r + | u |  x  y2 Có thể hướng dẫn học sinh vận dụng kiến thức để làm tập sau: Ví dụ 6: Cho a, b, c, d số thực bất kỳ, chứng minh rằng: (ac + bd)2  (a2 + b2)(c2 + d2) Chỉ rõ dấu đẳng thức xảy Giải: Gợi ý học sinh: - Hãy xem xét (ac + bd)2, (a2 + b2), (c2 + d2) có liên quan đến khái niệm vec-tơ không? (Có vẻ biểu thức tọa độ tích vô hướng độ dài vec-tơ) - Từ nhận xét đó, tạo điều kiện để sử dụng kết nhận xét Qua hướng dẫn, học sinh thực lời giải sau: r r r r Trong hệ trục tọa độ Oxy, đặt u  (a;b), v  (c;d) Khi đó: | u |  a  b , | v |  c  d rr rr Hơn nữa: u.v  ac  bd  | u.v |  | ac  bd | rr r r Từ đó, theo (II) ta có: | u.v |  | u | | v |  | ac  bd |  a  b c  d Bình phương vế ta có: (ac + bd)2  (a2 + b2)(c2 + d2) r r Dấu xảy u  kv hay ad = bc Ví dụ 7: Giải phương trình: x  x   x   x (*) Giải: Gợi ý học sinh: - Nếu xem xét vế trái phương trình biểu thức tọa độ tích vô hướng hai vec-tơ vec-tơ vó tọa độ nào? - Với nhận xét vế phải biểu diễn qua vec-tơ không? - Từ nhận xét đó, tạo điều kiện để sử dụng kết nhận xét Qua hướng dẫn, học sinh thực lời giải sau: Tập xác định: D = [–1; 3] Trong hệ trục tọa độ Oxy, đặt u  (x;1), v    x;  x  thì: | u |   x , | v |  rr u.v  x  x   x rr r r Khi đó: (*)  u.v  | u | | v | r r r Điều xảy u  kv với k >  r r 1 x 3 x  với x > x r x   + x = x2(3 – x)  (x – 1)(x2 – 2x – 1) =   x   Kết hợp điều kiện, phương trình có nghiệm là: x = x   Ví dụ 8: Tìm giá trị lớn hàm số: y  x   x Giải: Gợi ý học sinh: - Trước hết, biến đổi thu gọn biểu thức xác định hàm số (Mong muốn phải đưa dạng: y  x  2  x ) - Với hàm số thế, đưa biểu thức tọa độ tích vô hướng hai vectơ nào? - Từ nhận xét đó, tạo điều kiện để sử dụng kết nhận xét Qua hướng dẫn, học sinh thực lời giải sau: Tập xác định hàm số: D = [0; 2] Ta có: y  x  2  x r r Trong hệ trục tọa độ Oxy, đặt u  (1;2 2), v   x;  x  rr rr  u.v  x  2  x  y  u.v r r Mặt khác: | u |  3, | v |  r r Áp dụng (I) ta có: y  Dấu xảy u  kv với k >  1  k x  2 x   x  x   D   2  k  x Vậy, giá trị lớn hàm số x  Ví dụ 8: Với a, b số thực dương, tìm giá trị nhỏ hàm số: y  x  2ax  2a  x  2bx  2b Giải: Gợi ý học sinh: - Trước hết, biến đổi thu gọn biểu thức xác định hàm số (Mong muốn phải đưa dạng: y  ( a  x )2  a  ( x  b )2  b ) - Với hàm số thế, thấy chúng liên quan đến khái niệm vectơ? - Từ nhận xét đó, tạo điều kiện để sử dụng kết nhận xét Qua hướng dẫn, học sinh thực lời giải sau: Ta có: y  (a  x)2  a  (x  b)  b Tập xác định hàm số: r r r r Trong hệ trục tọa độ Oxy, đặt u  (a  x;a), v  (x  b;b) Khi đó: y  | u |  | v | r r r u  v  (a  b;a  b), | u |  (a  x)  a , Mặt khác, ta có: r r r | v |  (x  b)  b , | u  v |  2(a  b ) r r r r r r Hơn theo (III): | u |  | v |  | u  v |  y  | u  v |  2(a  b ) r r Dấu xảy u  kv với k > a 2ab  a  x  (x  b)  x  b ab Vậy hàm số có giá trị nhỏ 2(a  b2 ) , đạt x  2ab ab Phần III: KẾT QUẢ ÁP DỤNG SÁNG KIẾN Trong năm học 2011-2012, tác giả giao giảng dạy Toán lớp 10C4, 10C7 lớp có chất lượng đầu vào (điểm thi tuyển sinh vào lớp 10, môn Toán) thấp so với mặt chung nhà trường Sau học xong phần vec-tơ kết học sinh hai lớp nêu phần đầu Sáng kiến kinh nghiệm Tác giả sử dụng nội dung Sáng kiến để dạy cho lớp 10C4, lớp 10C7 dạy theo giáo án trước Sau thực xong nội dung giáo án, tác gải khảo sát lại chất lượng hai lớp với thời lượng 60 phút đề kiểm tra sau: Câu : Cho hai tam giác ABC A'B'C' có AA', BB', CC' đôi song song Gọi I, K trọng tâm hai tam giác O trung điểm IK uur uur uuur uuur uuur uuur r 1/ Chứng minh : OA  OB  OC  OA  OB  OC   uuur uur 2/ Gọi M trung điểm A'B' G điểm thỏa mãn : CG  3GI Chứng minh ba điểm O, M, G thẳng hàng r r Câu : Cho a , b hai vec-tơ không phương Chứng minh vec-tơ r r r r r r r x  a  b y  2a  3b không phương Khi đó, phân tích vec-tơ a theo hai r r vec-tơ x, y Câu : Chứng minh với số thực x, y, z ta có : x  xy  y  y  yz  z  z  zx  x Kết thu sau : Không làm câu Điểm Làm Làm Chỉ cao câu câu câu 10C4 45 22 (48,89%) 14 (31,11%) (20,00%) 9,25 10C7 44 19 (43,18%) 17 (38,64%) (18,18%) 9,0 Lớp Số Phần IV: KẾT LUẬN VÀ ĐỀ XUẤT Trên số kinh nghiệm suy nghĩ cá nhân trình giảng dạy công tác năm học vừa qua Trong trình giảng dạy nhận thấy với kinh nghiệm trên, học sinh bước đầu thành thạo giải toán vec-tơ sử dụng vec-tơ công cụ hữu hiệu để giải toán đồng thời phát huy tính tích cực, sáng tạo học tập học sinh Thông qua số toán muốn hình thành cho học sinh tư đuy lôgic, trình tập dượt sáng tạo toán học Điều góp phần nâng cao chất lượng dạy học Tuy nhiên, ý kiến chưa phù hợp với tất đối tượng học sinh, đặc biệt học sinh giỏi Việc áp dụng nội dung sán kiến vào giảng dạy cần bố trí hợp lý mặt thời gian Nếu trường không bố trí học tự chọn khó khăn mặt thời gian để áp dụng Hơn nữa, cần đến kiên trì giáo viên đối tượng học sinh áp dụng sáng kiến học sinh có tố chất, tư toán học chưa thật tốt, ngại học toán, đặc biệt hình học Với kết thu được, mạnh dạn nêu lên nội dung sáng kiến mong đóng góp ý kiến đồng nghiệp để nội dung hoàn thiện lần chỉnh sửa sau [...]... r r r Từ (1) và (2) ta có: | a  d |  | b  d |  | c  d |  | a |  | b |  | c |  | d | * Với kiến thức về độ dìa vec-tơ, có thể hướng dẫn để học sinh vận dụng vào giải các bài toán khác Sau khi cho học sinh rèn luyện thêm các bài tập để khắc sâu khía niệm vec-tơ, tác giả đã cho học sinh vận dụng kiến thức độ dài vec-tơ vào bài toán sau và học sinh đã thực hiện hiệu quả Ví dụ 5: Cho tứ giác lồi... hiệu để giải toán đồng thời phát huy tính tích cực, sáng tạo trong học tập của học sinh Thông qua một số bài toán tôi muốn hình thành cho học sinh tư đuy lôgic, quá trình tập dượt sáng tạo toán học Điều đó góp phần nâng cao chất lượng dạy và học Tuy nhiên, những ý kiến này chưa hẳn đã là phù hợp với tất cả mọi đối tượng học sinh, đặc biệt là các học sinh khá giỏi Việc áp dụng nội dung sán kiến này vào... Sau khi học sinh đã nắm được các khái niệm về vec-tơ một cách tương đối chắc chắn, tác giả tiến hành cho học sinh rèn luyện khả năng vận dụng kiến thức vec-tơ vào giải toán thông qua một số ví dụ, bài toán cụ thể Hơn nữa, với mỗi ví dụ, bài toán, tác giả luôn cố gắng hướng dẫn học sinh tìm nhiều cách giải khác nhau, qua đó vận dụng được nhiều kiến thức cơ bản và hiểu rõ thêm về bản chất của loại kiến. .. quả của học sinh ở hai lớp đã được nêu trong phần đầu của bản Sáng kiến kinh nghiệm này Tác giả đã sử dụng nội dung Sáng kiến để dạy cho lớp 10C4, còn lớp 10C7 vẫn dạy theo giáo án trước đây Sau khi thực hiện xong nội dung giáo án, tác gải đã khảo sát lại chất lượng của hai lớp với thời lượng 60 phút bằng đề kiểm tra sau: Câu 1 : Cho hai tam giác ABC và A'B'C' có AA', BB', CC' đôi một song song và bằng... giờ học tự chọn thì khá khó khăn về mặt thời gian để có thể áp dụng được Hơn nữa, rất cần đến sự kiên trì của giáo viên vì đối tượng học sinh áp dụng trong sáng kiến này là những học sinh có tố chất, tư duy toán học chưa thật tốt, ngại học toán, đặc biệt là hình học Với những kết quả đã thu được, tôi mạnh dạn nêu lên nội dung sáng kiến của mình và mong được sự đóng góp ý kiến của các đồng nghiệp để. .. cần hướng dẫn học sinh xem xét phát hiện các vec-tơ cùng phương, cùng hướng trong bài toán để sử dụng vào việc biểu diễn Để rèn luyện loại toán này, trước hết, tác giả đã cho học sinh thực hành qua một bài toán khá đơn giản sau đây Ví dụ 2: Cho hình bình hành ABCD tâm O Gọi E là trung điểm của BC Đặt uuur r uuur r uuur r r AB  a, AO  b Hãy biểu diễn vec-tơ AE theo các vec-tơ a và b Giải: A D O B... Vận dụng các kiến thức về vec-tơ để giải các bài toán Đối với các em học sinh khá giỏi có thể hướng dẫn các em khai thác sâu hơn kiến thức vec-tơ, coi đó là một công cụ hữu hiệu để giải các bài toán khác Chẳng hạn: Chứng minh bất đẳng thức, giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình, tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số, nhận dạng tam giác … Điều này sẽ giúp các em học sinh học. .. câu nhất 10C4 45 0 22 (48,89%) 14 (31,11%) 9 (20,00%) 9,25 10C7 44 0 19 (43,18%) 17 (38,64%) 8 (18,18%) 9,0 Lớp Số bài Phần IV: KẾT LUẬN VÀ ĐỀ XUẤT Trên đây là một số kinh nghiệm và suy nghĩ của cá nhân tôi trong quá trình giảng dạy và công tác trong năm học vừa qua Trong quá trình giảng dạy tôi nhận thấy với những kinh nghiệm trên, học sinh đã bước đầu thành thạo trong giải toán vec-tơ và sử dụng vec-tơ... xảy ra khi và chỉ khi u  kv với k > 0 a 2ab  a  x  (x  b)  x  b ab Vậy hàm số có giá trị nhỏ nhất là 2(a 2  b2 ) , đạt được tại x  2ab ab Phần III: KẾT QUẢ ÁP DỤNG SÁNG KIẾN Trong năm học 2011-2012, tác giả được giao giảng dạy Toán ở các lớp 10C4, 10C7 là các lớp có chất lượng đầu vào (điểm thi tuyển sinh vào lớp 10, môn Toán) là thấp so với mặt bằng chung của nhà trường Sau khi học xong... kỳ, thẳng hàng cách đều nhau ) Tiếp theo, khi học sinh đã nắm vững khái niệm độ dài vec-tơ, tác giả củng cố lại cho học sinh rằng hai vec-tơ bằng nhau khi và chỉ khi chúng có cùng hướng và cùng độ dài, hai vec-tơ đối nhau nếu chúng ngược hướng và có cùng độ dài Đồng thời cho học sinh thực hành qua ví dụ sau: Ví dụ 4: Cho tứ giác lồi ABCD có hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O Đặt uuur r uuur r uuur ... tốt để giải toán mạnh dạn lựa chọn nghiên cứu vấn đề: Rèn luyện cho học sinh lớp 10 kỹ giải toán vec-tơ sử dụng phương pháp vec-tơ để giải toán. ” II Mục đích nghiên cứu Không có phương pháp. .. d | * Với kiến thức độ dìa vec-tơ, hướng dẫn để học sinh vận dụng vào giải toán khác Sau cho học sinh rèn luyện thêm tập để khắc sâu khía niệm vec-tơ, tác giả cho học sinh vận dụng kiến thức... hình học vào việc giải tập - Nhiều học sinh không nắm kiến thức học, học trước quên sau Kỹ vận dụng kiến thức vào hoạt động giải toán yếu Về mặt kiến thức: Khái niệm vec-tơ mẻ học sinh lớp 10 Qua