Sáng kiến kinh nghiệm SKKN rèn luyện kỹ năng xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp

Với mong muốn các học sinh của mình sẽ làm tốt câu 5 trong các kỳ thi ĐH, tôi mạnh dạn đưa ra sáng kinh nghiệm:“KỸ NĂNG XÁC ĐỊNH TÂM VÀ TÍNH BÁN KÍNH MẶT CẦU NGOẠI TIẾP KHỐI CHÓP”.. 5/ C

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

ĐỀ TÀI:

"RÈN LUYỆN KỸ NĂNG XÁC ĐỊNH TÂM VÀ TÍNH BÁN KÍNH

MẶT CẦU NGOẠI TIẾP KHỐI CHÓP "

A - ĐẶT VẤN ĐỀ:

Trong đề thi Đại học các khối A, A1, B và D những năm gần đây, câu 5 trong đề thi là câu ở mức (điểm 7) Hầu hết các học sinh ở các trường THPT, nhất là học sinh học

ở các trường miền núi thường rất ngại câu này Trong thực tế giảng dạy tôi thấy, muốn cho học sinh đạt được điểm 7 trở lên trong các kỳ thi ĐH thì phải hướng dẫn các em học

tốt các nội dung trong câu 5 Một phần kiến thức rất quan trọng trong phần này là: Xác

định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp Với mong muốn các học sinh

của mình sẽ làm tốt câu 5 trong các kỳ thi ĐH, tôi mạnh dạn đưa ra sáng kinh

nghiệm:“KỸ NĂNG XÁC ĐỊNH TÂM VÀ TÍNH BÁN KÍNH MẶT CẦU NGOẠI TIẾP

KHỐI CHÓP” Nội dung sáng kiến kinh nghiệm gồm 3 phần:

Phần I: Các kiến thức cơ bản cần nhớ.

Phần II: Kỹ năng phân tích đề, từ đó hình thành kỹ năng vẽ hình và tự giải quyết vấn đề.

Phần III: Các ví dụ minh chứng và bài tập tự luyện.

Do khả năng còn hạn chế và kinh nghiệm chưa nhiều nên trong SKKN của tôi có thể

có những phần chưa hoàn chỉnh Rất mong được sự đóng góp quí báu của quí thầy cô Tôi xin chân thành cảm ơn!

B GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ:

I CƠ SỞ LÝ LUẬN CỦA VẤN ĐỀ

1/ Một học sinh không thể học hình học không gian tốt nếu các kiến thức về hình học

phẳng không tốt

2/ Một học sinh không thể học hình học không gian tốt nếu không có kỹ năng phân tích

đề, không có kỹ năng vẽ hình và khả năng tự giải quyết vấn để

II THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ

1/ Thực trạng chung: Hầu hết các học sinh có cảm giác sợ hình và ngại học hình, nhất là

“hình học không gian”

2/ Thực trạng đối với giáo viên: Do đây là phần kiến thức khó dạy, học sinh lại không

muốn học, vì vậy một số giáo viên không mặn mà khi dạy phần kiến thức này

3/ Thực trạng đối với học sinh: Hầu hết học sinh chưa có cách học tốt khi gặp phần kiến

thức này và luôn có cảm giác “sợ học hình không gian” Vì vậy hầu hết các em đều học chưa tốt phần kiến thức này

III GIẢI PHÁP VÀ TỔ CHỨC THỰC HIỆN.

1/ Trang bị lại cho học sinh các kiến thức cơ bản nhất, cần thiết nhất của hình học phẳng nhằm học tốt nội dung này.

Ví dụ như:

 Các công thức tính diện tích tam giác, tứ giác, đa giác

 Định lí sin, định lí côsin, công thức tính độ dài đường trung tuyến trong tam giác,

…

 Các tính chất trong tam giác vuông, trong tam giác đều, trong hình vuông, trong hình thoi, …

2/ Trang bị cho học sinh các kiến thức cơ bản nhất về các khối đa diện, nhất là các khối đa diện đặc biệt và kỹ năng vẽ các hình đó.

Ví dụ:

Khi nhắc đến “hình chóp tam giác đều” thì trong đầu chúng ta hiện lên những tính chất gì? Cách vẽ hình như thế nào?

Khi nhắc đến “hình chóp tứ giác đều” thì trong đầu chúng ta hiện lên những tính chất gì? Cách vẽ hình như thế nào?

3/ Trang bị cho học sinh kỹ năng tự đặt câu hỏi và tự trả lời câu hỏi.

H? Yêu cầu bài toán là gì?

H? Để thực hiện yêu cầu đó ta có những hướng suy nghĩ nào?

H? Giả thiết bài toán cho gì?

H? Với giả thiết đó, ta có mấy cách giải quyết bài toán này và ta sẽ làm bài này theo cách nào?

Khi gặp khó khăn, ta tiếp tục đặt câu hỏi?

H? Ta gặp khó khăn ở đâu?

H? Có phần giả thiết nào chưa xử dụng không?

4/ Trang bị cho học sinh cách đọc đề bài, phân tích đề bài tốt.

Ví dụ:

 Trong mặt phẳng, khi thấy một điểm cách đều hai điểm đầu mút của đoạn thẳng

AB thì ta phải thấy điểm đó nằm trên đường thẳng trung trực của đoạn thẳng AB Còn trong không gian, khi thấy một điểm cách đều hai điểm đầu mút của đoạn thẳng AB thì ta phải thấy điểm đó nằm trên mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng

AB

 Trong không gian, khi thấy một điểm cách đều 3 đỉnh của tam giác ABC thì ta phải thấy điểm đó nằm trên trục của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

 Nhắc đến tâm của mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện, ta thấy ngay điểm đó cách đều tất cả các đỉnh của khối đa diện Do đó tâm của mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện là

điểm đồng quy của: Các mặt phẳng trung trực của các cạnh của khối đa diện; Đó cũng là điểm đồng quy của các trục đường tròn ngoại tiếp các mặt của khối đa diện

5/ Các hướng suy nghĩ nên có khi gặp bài toán xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp:

5.1/ Hướng 1: Có thể chỉ ra một điểm và chứng minh điểm đó các đều tất cả các đỉnh của khối chóp được không?

*/ Ta hướng dẫn học sinh như sau:

A - Phải đọc hình vẽ tốt:

 Nhìn thấy tam giác vuông, ta phải thấy được trung điểm của cạnh huyền các đều 3 đỉnh của tam giác



B - Một số ví dụ minh hoạ:

Ví dụ 1 Cho hình chóp S ABC. , biết SAABC và tam giác ABC vuông cân tai B Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S ABC. trong các trường hợp sau: a/ SA a 3 và AB a

b/ SA a 3, góc giữa SC với mặt đáy bằng 600

c/ SA a 3, góc giữa SBC với mặt đáy bằng 600

*/ Cách thức mà trong thực tế bản thân đã làm:

 Yêu cầu học sinh nêu lên cách vẽ hình và lên bảng thực hiện

+/ Giáo viên nhấn mạnh lại những thao tác cơ bản nhất:

1 Vẽ đáy trước(nêu lên cách vẽ)

2 Xác định chân đường cao hạ từ đỉnh

3 Dựng đường cao(nêu lên cách dựng)

Vẽ các cạnh bên, hoàn thiện hình.

 Yêu cầu học sinh nhận xét tính đặc biệt về các mặt của hình chóp

Câu trả lời mong muốn: Các tam giác SAC SBC, , ABC là các tam giác vuông

 Yêu cầu học sinh chỉ ra một điểm cách đều tất cả các đỉnh của hình chóp

Câu trả lời mong muốn: Điểm I là trung điểm của SC

 Yêu cầu học sinh chỉ ra bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

Câu trả lời mong muốn: = 1

2

R IS IC SC

 Tiếp theo, giáo viên yêu cầu học sinh nêu lên sơ đồ giải quyết các câu a,

b, c

 Các học sinh trao đổi, tranh luận

 Giáo viên làm trọng tài đưa ra kết luận và yêu cầu 3 học sinh lên bảng thực hiện 3 câu a, b, c

B

S

I

Ví dụ 2 Cho hình chóp S ABCD. , biết SAABCD SA a BC,  ,  2a, góc giữa đường thắng SBvà mặt đáy bằng 45 0 Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp khối chóp S ABCD.

*/ Cách thức mà trong thực tế bản thân đã làm:

 Yêu cầu học sinh nêu lên cách vẽ hình và lên bảng thực hiện

+/ Giáo viên nhấn mạnh lại những thao tác cơ bản nhất:

1 Vẽ đáy trước(nêu lên cách vẽ)

2 Xác định chân đường cao hạ từ đỉnh

3 Dựng đường cao(nêu lên cách dựng)

Vẽ các cạnh bên, hoàn thiện hình.

 Yêu cầu học sinh nhận xét tính đặc biệt về các mặt của hình chóp

Câu trả lời mong muốn: Các tam giác SAC SBC SDC, , là các tam giác vuông có chung cạnh huyền là SC

 Yêu cầu học sinh chỉ ra một điểm cách đều tất cả các đỉnh của hình chóp

Câu trả lời mong muốn: Điểm I là trung điểm của SC

 Yêu cầu học sinh chỉ ra bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

Câu trả lời mong muốn: = 1

2

R IS IC SC

B

S

A

D I

C

 Tiếp theo, giáo viên yêu cầu học sinh nêu lên sơ đồ giải quyết bài toán.

 Các học sinh trao đổi, tranh luận

Giáo viên làm trọng tài đưa ra kết luận và yêu cầu học sinh lên bảng thực hiện

C - Bài tập:

Bài 1: Cho hình chóp S ABC. , biết SAABC, tam giác ABC vuông tại B

a/ Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC.

b/ Cho AB 3a,BC 4a,AD 5a Tính bán kính mặt cầu nói trên

Bài 2: Cho hình chóp S ABCD. , biết SAABCD AB a BC,  ,  2a, góc giữa đường thắng SB

và mặt đáy bằng 45 0 Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp khối chóp S ABCD.

5.2/ Hướng 2: Dựng trục của đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy và một mặt phẳng trung trực của một cạnh bên

A/ Mở đầu: Hầu hết các khối đa diện, việc chỉ ra một điểm nằm trên một cạnh nào

đó và chứng minh điểm đó cách đều tất cả các đỉnh của hình chóp thì sẽ gặp nhiều khó khăn Khi gặp bài toán này, ta ghi nhớ kết quả: Tâm của mặt cầu ngoại tiếp khối chóp là điểm đồng quy của các mặt phẳng trung trực của các cạnh của hình chóp, nó cũng là điểm đồng quy của các trục đường tròn ngoại tiếp các mặt của hình chóp Từ đó ta có hướng suy nghĩ: "Dựng trục của đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy và mặt phẳng trung trực của một cạnh bên nào đó" Và luôn nhớ rằng, nếu có một cạnh bên đồng phẳng với trục của đường tròn ngoại tiếp hình chóp thì thay bằng việc dựng mặt phẳng trung trực của một cạnh bên thì ta sẽ dựng đường thẳng trung trực của cạnh bên đó(khi ta ghép vào trong một mặt phẳng nào đó)

B/ Các ví dụ:

Ví dụ 1 Cho hình chóp tam giác đều S ABC. cạnh AB a SA ,  2a Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC.

 Yêu cầu học sinh lên bảng vẽ hình, học sinh khác nhận

xét, giáo viên đưa ra kết luận cuối cùng

 Yêu cầu học sinh nêu lên cách vẽ trục đường tròn

ngoại tiếp tam giác ABC

 Câu trả lời mong muốn: Đường thẳng SG,

với G là trọng tâm tam giác ABC(G cũng

chính là tâm đường tròn ngoại tiếp

tam giác ABC)

 Yêu cầu học sinh cho biết, trong bài này ta

sẽ dựng mặt phẳng trung trực của một cạnh bên

hay dựng đường thẳng trung trực của một

cạnh bên nào đó

 Câu trả lời mong muốn: Do SG cắt các cạnh bên của hình chóp, nên trong mặt phẳng SAG , dựng đường trung trực của đoạn SA cắt SG tại I Khi đó I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp, bán kính là R IA

Ví dụ 2 Cho hình chóp S ABC. , biết SAABC SA,  2a, tam giác ABC là tam giác đều

có cạnh AB a Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC.

 Yêu cầu học sinh lên bảng vẽ hình, học sinh khác nhận xét, giáo viên đưa ra kết luận cuối cùng

B

S

A

G

I

C

B

S

A

G

I

C M

 Yêu cầu học sinh nêu lên cách vẽ trục đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

 Câu trả lời mong muốn: Đường thẳng  qua G và vuông góc với ,

với G là trọng tâm tam giác ABC(G cũng chính là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác

ABC)

 Yêu cầu học sinh cho biết, trong bài này ta

sẽ dựng mặt phẳng trung trực của một cạnh bên

hay dựng đường thẳng trung trực của một

cạnh bên nào đó

 Câu trả lời mong muốn: Do  song song với cạnh bên SA của hình chóp, nên trong mặt phẳng SAG, dựng đường trung trực của đoạn SA cắt  tại I Khi đó I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp, bán kính là R IA

C/ Bài tập:

Bài 1: Cho hình chóp S ABCD. có đáy là hình thang vuông tại A và D,

ABAD a CD  a SD a SD  ABCD Gọi E là trung điểm CD và I là trung điểm của

BC

a/ Tính độ dài đoạn DI

B

A

G

I

C

B

S

A

G

C M

b/ Xác định tâm và bán kính của mặt cầu  S ngoại tiếp hình chóp S BCE.

Bài 2: Cho hình chóp S ABCD. có đáy là hình thang vuông tại A và D,

AB a AD CD a SA a   SA ABCD Xác định tâm và bán kính của mặt cầu  S ngoại tiếp hình chóp S ABC. Tính theo a diện tích của mặt cầu  S

5.3/ Hướng 3: Dựng hai trục của hai đường tròn ngoại tiếp hai mặt nào đó của hình chóp.

A/ Lí thuyết: Một số kiến thức cần nhớ:

Tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là điểm cách đều tất cả các đỉnh của hình chóp Do đó, điểm đó là điểm đồng qui của các trục đường tròn ngoại tiếp các tam giác mặt bên và trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy

Nếu trong bài toán xác định tâm và tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp,

mà hình chóp đấy có hai mặt là hai đa giác đặc biệt(là tam giác đều, là tam giác vuông, là hình vuông, )

B/ Các ví dụ:

1/ Ví dụ 1: Cho tứ diện ABCD có các tam giác ABC và BCD là các tam giác đều cạnh

a, góc giữa đường thẳng AD và mp ABC  bằng 45 0 Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp

tứ diện ABCD

Giáo viên yêu cầu học sinh:

*/ Yêu cầu học sinh lên bảng vẽ hình

*/ Hãy nêu lên cách xác định tâm mặt

cầu ngoại tiếp tứ diện theo hướng 1và

B

C

D

A

M G

G' I

hướng 2(học sinh gặp khó khăn)

*/ Hãy nhận xét xem các mặt của tứ diện

này có gì đặc biệt?

(kết quả mong muốn: tam giác ABC và BCD là các

tam giác đều)

*/ Chỉ ra góc giữa đường thẳng AD và mp ABC  (kết quả mong muốn: góc DAG)

*/ Yêu cầu học sinh chứng minh: DM ABC AM, DBC

*/ Yêu cầu học sinh dựng hai trục của hai đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và BCD

Kết quả mong muốn: Là các đường thẳng   1 , 2 lần lượt qua G, song song với DM và qua G', song song với AM

*/ Yêu cầu học sinh chỉ ra tâm I của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện và bán kính của mặt cầu đó?

Kết quả mong muốn: I   1 2, bán kính R IA

*/ Yêu cầu học sinh tính R

6

a

R IA  IG AG 

*/ Yêu cầu học sinh tính thể tích khối cầu ngoại tiếp tứ diện

Kết quả mong muốn: 5 15 3

54

V   a (đvtt)

2/ Ví dụ 2: Cho hình chóp S ABC Dcó đáy ABCD là hình vuông cạnh a

SA SB a SAB   ABC Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC D

Giáo viên yêu cầu học sinh:

*/ Yêu cầu học sinh lên bảng vẽ hình

*/ Hãy nêu lên cách xác định tâm mặt

cầu ngoại tiếp chóp hình theo hướng 1 và

hướng 2(học sinh gặp khó khăn)

*/ Hãy nhận xét xem các mặt của hình chóp

này có gì đặc biệt?

(kết quả mong muốn: tứ giác ABCD là hình vuông và tam giác SAB là

tam giác đều)

*/ Yêu cầu học sinh dựng trục của đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD

Kết quả mong muốn: Là đường thẳng  1 qua O, song song với SM (với O là tâm của hình vuôngABCD và M là trung điểm của AB)

*/ Yêu cầu học sinh dựng trục của đường tròn ngoại tiếp tam giác SAB

Kết quả mong muốn: Là đường thẳng  2 qua G, song song với OM (với G là trọng tâm của tam giác SAB)

*/ Yêu cầu học sinh chỉ ra tâm I của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC D và bán kính của mặt cầu đó?

Kết quả mong muốn: I   1 2, bán kính R IA IB IC   ID IS

D A

M

G

O I

S

1



*/ Yêu cầu học sinh tính R

6

a

R IB  BO MG 

6/ MỘT SỐ BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 1: Cho hình chóp S ABCD. có đáy ABCD là hình chữ nhật với

AB a AD  a SA ABCD SA b Xác định tâm và bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABCD.

ĐS: Tâm O là trung điểm của SC, bán kính 1 2 2

5 2

R SC  a b

Bài 2: Cho hình chóp S ABC. có đáy ABC là một tam giác cân tại A và có

AB AC a SBC   ABC SA SB a SC  x Chứng tỏ rằng BC là đường kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác SBC Hãy xác định tâm và bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC.

ĐS:

2

3

a R





Bài 3: Cho tứ diện OABC có các cạnh OA OB OC, , đôi một vuông góc với nhau và

,

OA OB a  OCB  Tính thể tích tứ diện OABC Xác định tâm và bán kính của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC

;

Bài 4: Cho hình chóp S ABCD. có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SAB là tam giác đều nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy Xác định tâm và bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABCD.

ĐS: 21

6

a

R 

Bài 5: Cho hình chóp tứ giác đều S ABCD. có đáy bằng a và ASB  Xác định tâm và bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABCD.

2

a R

c







Bài 6: Cho hình chóp tứ giác đều S ABCD. có đáy bằng a, cạnh bên hợp với mặt đáy một góc 60 0 Xác định tâm và bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABCD. Tính diện tích mặt cầu Tính thể tích khối cầu tương ứng

2

3

Với cách làm trên tôi đã giảng dạy tại lớp 12A1 và 12CA3, còn tại hai lớp 12A2 và 12CB8 tôi dạy theo cách cũ Tôi thấy, với cách hướng dẫn học sinh cách suy nghĩ, cách

tự đặt câu hỏi, tự trả lời những câu hỏi của mình trong quá trình làm một bài toán nói chung và nhất là trong bài hình học sẽ làm cho học sinh có cảm giác không sợ khi gặp bài toán hình học tổng hợp Với cách làm đó Tôi thấy học sinh học hình học tổng hợp tốt hơn nhiều so với những lớp vẫn dạy theo cách truyền thụ một chiều, học sinh làm nhiều rồi quen Cụ thể như sau:

Qua hai lần kiểm tra đối chứng, thu được kết quả sau:

bình Yếu Kém