Sáng kiến kinh nghiệm SKKN rèn luyện kỹ năng xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐỀ TÀI: "RÈN LUYỆN KỸ NĂNG XÁC ĐỊNH TÂM VÀ TÍNH BÁN KÍNH MẶT CẦU NGOẠI TIẾP KHỐI CHÓP " A - ĐẶT VẤN ĐỀ: Trong đề thi Đại học khối A, A1, B D năm gần đây, câu đề thi câu mức (điểm 7) Hầu hết học sinh trường THPT, học sinh học trường miền núi thường ngại câu Trong thực tế giảng dạy thấy, muốn cho học sinh đạt điểm trở lên kỳ thi ĐH phải hướng dẫn em học tốt nội dung câu Một phần kiến thức quan trọng phần là: Xác định tâm tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp Với mong muốn học sinh làm tốt câu kỳ thi ĐH, mạnh dạn đưa sáng kinh nghiệm:“KỸ NĂNG XÁC ĐỊNH TÂM VÀ TÍNH BÁN KÍNH MẶT CẦU NGOẠI TIẾP KHỐI CHĨP” Nội dung sáng kiến kinh nghiệm gồm phần: Phần I: Các kiến thức cần nhớ Phần II: Kỹ phân tích đề, từ hình thành kỹ vẽ hình tự giải vấn đề Phần III: Các ví dụ minh chứng tập tự luyện Do khả hạn chế kinh nghiệm chưa nhiều nên SKKN tơi có phần chưa hồn chỉnh Rất mong đóng góp q báu q thầy Tơi xin chân thành cảm ơn! B GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ: I CƠ SỞ LÝ LUẬN CỦA VẤN ĐỀ 1/ Một học sinh khơng thể học hình học khơng gian tốt kiến thức hình học phẳng khơng tốt 2/ Một học sinh khơng thể học hình học khơng gian tốt khơng có kỹ phân tích đề, khơng có kỹ vẽ hình khả tự giải vấn để II THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ 1/ Thực trạng chung: Hầu hết học sinh có cảm giác sợ hình ngại học hình, “hình học không gian” 2/ Thực trạng giáo viên: Do phần kiến thức khó dạy, học sinh lại khơng muốn học, số giáo viên khơng mặn mà dạy phần kiến thức 3/ Thực trạng học sinh: Hầu hết học sinh chưa có cách học tốt gặp phần kiến thức ln có cảm giác “sợ học hình khơng gian” Vì hầu hết em học chưa tốt phần kiến thức III GIẢI PHÁP VÀ TỔ CHỨC THỰC HIỆN 1/ Trang bị lại cho học sinh kiến thức nhất, cần thiết hình học phẳng nhằm học tốt nội dung Ví dụ như: • Các cơng thức tính diện tích tam giác, tứ giác, đa giác • Định lí sin, định lí cơsin, cơng thức tính độ dài đường trung tuyến tam giác, … • Các tính chất tam giác vng, tam giác đều, hình vng, hình thoi, … 2/ Trang bị cho học sinh kiến thức khối đa diện, khối đa diện đặc biệt kỹ vẽ hình Ví dụ: Khi nhắc đến “hình chóp tam giác đều” đầu lên tính chất gì? Cách vẽ nào? Khi nhắc đến “hình chóp tứ giác đều” đầu lên tính chất gì? Cách vẽ nào? 3/ Trang bị cho học sinh kỹ tự đặt câu hỏi tự trả lời câu hỏi H? Yêu cầu toán gì? H? Để thực u cầu ta có hướng suy nghĩ nào? H? Giả thiết toán cho gì? H? Với giả thiết đó, ta có cách giải toán ta làm theo cách nào? Khi gặp khó khăn, ta tiếp tục đặt câu hỏi? H? Ta gặp khó khăn đâu? H? Có phần giả thiết chưa xử dụng không? 4/ Trang bị cho học sinh cách đọc đề bài, phân tích đề tốt Ví dụ:  Trong mặt phẳng, thấy điểm cách hai điểm đầu mút đoạn thẳng AB ta phải thấy điểm nằm đường thẳng trung trực đoạn thẳng AB Cịn khơng gian, thấy điểm cách hai điểm đầu mút đoạn thẳng AB ta phải thấy điểm nằm mặt phẳng trung trực đoạn thẳng AB  Trong không gian, thấy điểm cách đỉnh tam giác thấy điểm nằm trục đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC ta phải ABC  Nhắc đến tâm mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện, ta thấy điểm cách tất đỉnh khối đa diện Do tâm mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện điểm đồng quy của: Các mặt phẳng trung trực cạnh khối đa diện; Đó điểm đồng quy trục đường tròn ngoại tiếp mặt khối đa diện 5/ Các hướng suy nghĩ nên có gặp tốn xác định tâm tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp: 5.1/ Hướng 1: Có thể điểm chứng minh điểm tất đỉnh khối chóp khơng? */ Ta hướng dẫn học sinh sau: A - Phải đọc hình vẽ tốt:  Nhìn thấy tam giác vng, ta phải thấy trung điểm cạnh huyền đỉnh tam giác  B - Một số ví dụ minh hoạ: Ví dụ Cho hình chóp S ABC , biết SA ⊥ ( ABC ) tam giác định tâm tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S ABC ABC SA = a b/ SA = a , góc c/ SA = a , góc ( SBC ) với mặt đáy 600 SC với mặt đáy 600 */ Cách thức mà thực tế thân làm:  Yêu cầu học sinh nêu lên cách vẽ hình lên bảng thực +/ Giáo viên nhấn mạnh lại thao tác nhất: Vẽ đáy trước(nêu lên cách vẽ) B Xác trường hợp sau: AB = a a/ vuông cân tai Xác định chân đường cao hạ từ đỉnh S Dựng đường cao(nêu lên cách dựng) Vẽ cạnh bên, hồn thiện hình I A C B  Yêu cầu học sinh nhận xét tính đặc biệt mặt hình chóp Câu trả lời mong muốn: Các tam giác SAC , SBC , ABC tam giác vuông  Yêu cầu học sinh điểm cách tất đỉnh hình chóp Câu trả lời mong muốn: Điểm I trung điểm SC  Yêu cầu học sinh bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp Câu trả lời mong muốn: R = IS = IC = SC  Tiếp theo, giáo viên yêu cầu học sinh nêu lên sơ đồ giải câu a, b, c  Các học sinh trao đổi, tranh luận  Giáo viên làm trọng tài đưa kết luận yêu cầu học sinh lên bảng thực câu a, b, c Ví dụ Cho hình chóp thắng mặt đáy SB S ABCD , 450 biết SA ⊥ ( ABCD ) , SA = a, BC = 2a , góc đường Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp khối chóp S ABCD */ Cách thức mà thực tế thân làm:  Yêu cầu học sinh nêu lên cách vẽ hình lên bảng thực +/ Giáo viên nhấn mạnh lại thao tác nhất: Vẽ đáy trước(nêu lên cách vẽ) S Xác định chân đường cao hạ từ đỉnh Dựng đường cao(nêu lên cách dựng) Vẽ cạnh bên, hồn thiện hình I A D B C  Yêu cầu học sinh nhận xét tính đặc biệt mặt hình chóp Câu trả lời mong muốn: Các tam giác cạnh huyền SAC , SBC , SDC tam giác vng có chung SC  Yêu cầu học sinh điểm cách tất đỉnh hình chóp Câu trả lời mong muốn: Điểm I trung điểm SC  Yêu cầu học sinh bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp Câu trả lời mong muốn: R = IS = IC = SC  Tiếp theo, giáo viên yêu cầu học sinh nêu lên sơ đồ giải toán  Các học sinh trao đổi, tranh luận Giáo viên làm trọng tài đưa kết luận yêu cầu học sinh lên bảng thực C - Bài tập: Bài 1: Cho hình chóp S ABC , biết SA ⊥ ( ABC ) , tam giác ABC a/ Xác định tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp b/ Cho AB = 3a, BC = 4a, AD = 5a Bài 2: Cho hình chóp mặt đáy 450 S ABCD , vuông B S ABC Tính bán kính mặt cầu nói biết SA ⊥ ( ABCD ) , AB = a, BC = 2a , góc đường thắng Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp khối chóp SB S ABCD 5.2/ Hướng 2: Dựng trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy mặt phẳng trung trực cạnh bên A/ Mở đầu: Hầu hết khối đa diện, việc điểm nằm cạnh chứng minh điểm cách tất đỉnh hình chóp gặp nhiều khó khăn Khi gặp tốn này, ta ghi nhớ kết quả: Tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp điểm đồng quy mặt phẳng trung trực cạnh hình chóp, điểm đồng quy trục đường tròn ngoại tiếp mặt hình chóp Từ ta có hướng suy nghĩ: "Dựng trục đường trịn ngoại tiếp đa giác đáy mặt phẳng trung trực cạnh bên đó" Và ln nhớ rằng, có cạnh bên đồng phẳng với trục đường trịn ngoại tiếp hình chóp thay việc dựng mặt phẳng trung trực cạnh bên ta dựng đường thẳng trung trực cạnh bên đó(khi ta ghép vào mặt phẳng đó) B/ Các ví dụ: Ví dụ Cho hình chóp tam giác kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC cạnh AB = a, SA = 2a Xác định tâm bán S ABC  Yêu cầu học sinh lên bảng vẽ hình, học sinh khác nhận S xét, giáo viên đưa kết luận cuối  Yêu cầu học sinh nêu lên cách vẽ trục đường tròn ngoại tiếp tam giác M I ABC A  Câu trả lời mong muốn: Đường thẳng với G trọng tâm tam giác ABC ( G C SG , G B tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC )  Yêu cầu học sinh cho biết, ta dựng mặt phẳng trung trực cạnh bên hay dựng đường thẳng trung trực cạnh bên  Câu trả lời mong muốn: Do SG cắt cạnh bên hình chóp, nên mặt phẳng ( SAG ) , dựng đường trung trực đoạn cầu ngoại tiếp hình chóp, bán kính Ví dụ Cho hình chóp có cạnh AB = a S ABC , biết SA cắt SG I Khi I tâm mặt R = IA SA ⊥ ( ABC ) , SA = 2a , tam giác ABC tam giác Xác định tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC  Yêu cầu học sinh lên bảng vẽ hình, học sinh khác nhận xét, giáo viên đưa kết luận cuối  Yêu cầu học sinh nêu lên cách vẽ trục đường tròn ngoại tiếp tam giác  Câu trả lời mong muốn: Đường thẳng với G trọng tâm tam giác ABC ( G ∆ qua ABC vng góc với , G tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC )  Yêu cầu học sinh cho biết, ta S dựng mặt phẳng trung trực cạnh bên hay dựng đường thẳng trung trực M cạnh bên I A C G B  Câu trả lời mong muốn: Do ∆ song song với cạnh bên mặt phẳng ( SAG ) , dựng đường trung trực đoạn mặt cầu ngoại tiếp hình chóp, bán kính SA hình chóp, nên SA cắt ∆ I Khi I tâm R = IA C/ Bài tập: Bài 1: Cho hình chóp S ABCD AB = AD = a, CD = 2a, SD = a, SD ⊥ ( ABCD ) BC a/ Tính độ dài đoạn DI có đáy hình thang vng Gọi E trung điểm CD I A D, trung điểm b/ Xác định tâm bán kính mặt cầu ( S ) ngoại tiếp hình chóp Bài 2: Cho hình chóp S ABCD có đáy hình thang vng AB = 2a, AD = CD = a, SA = a 3, SA ⊥ ( ABCD ) tiếp hình chóp S ABC Tính theo a S BCE A D, Xác định tâm bán kính mặt cầu ( S ) ngoại diện tích mặt cầu ( S ) 5.3/ Hướng 3: Dựng hai trục hai đường trịn ngoại tiếp hai mặt hình chóp A/ Lí thuyết: Một số kiến thức cần nhớ:  Tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp điểm cách tất đỉnh hình chóp Do đó, điểm điểm đồng qui trục đường tròn ngoại tiếp tam giác mặt bên trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy  Nếu tốn xác định tâm tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp, mà hình chóp có hai mặt hai đa giác đặc biệt(là tam giác đều, tam giác vng, hình vng, ) B/ Các ví dụ: 1/ Ví dụ 1: Cho tứ diện ABCD có tam giác a, góc đường thẳng AD mp ( ABC ) ABC 450 BCD tam giác cạnh Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD D Giáo viên yêu cầu học sinh: */ Yêu cầu học sinh lên bảng vẽ hình I */ Hãy nêu lên cách xác định tâm mặt G' cầu ngoại tiếp tứ diện theo hướng 1và A G M B C hướng 2(học sinh gặp khó khăn) */ Hãy nhận xét xem mặt tứ diện có đặc biệt? (kết mong muốn: tam giác ABC BCD mp ( ABC ) tam giác đều) */ Chỉ góc đường thẳng AD */ Yêu cầu học sinh chứng minh: (kết mong muốn: góc DAG ) DM ⊥ ( ABC ) , AM ⊥ ( DBC ) */ Yêu cầu học sinh dựng hai trục hai đường tròn ngoại tiếp tam giác Kết mong muốn: Là đường thẳng qua G', song song với ∆1 , ∆ qua G, ABC song song với BCD DM AM */ Yêu cầu học sinh tâm I mặt cầu ngoại tiếp tứ diện bán kính mặt cầu đó? Kết mong muốn: I = ∆1 ∩ ∆ , */ Yêu cầu học sinh tính Kết mong muốn: bán kính R = IA R R = IA = IG + AG = 15a */ Yêu cầu học sinh tính thể tích khối cầu ngoại tiếp tứ diện Kết mong muốn: V= 15π a (đvtt) 54 2/ Ví dụ 2: Cho hình chóp SA = SB = a, ( SAB ) ⊥ ( ABCD ) S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABCD a S Giáo viên yêu cầu học sinh: ∆1 */ Yêu cầu học sinh lên bảng vẽ hình G */ Hãy nêu lên cách xác định tâm mặt I D A cầu ngoại tiếp chóp hình theo hướng hướng 2(học sinh gặp khó khăn) B O M C */ Hãy nhận xét xem mặt hình chóp có đặc biệt? (kết mong muốn: tứ giác ABCD hình vng tam giác SAB tam giác đều) */ Yêu cầu học sinh dựng trục đường trịn ngoại tiếp hình vng ∆1 qua trung điểm AB ) Kết mong muốn: Là đường thẳng hình vng ABCD M O, song song với SM */ Yêu cầu học sinh dựng trục đường tròn ngoại tiếp tam giác Kết mong muốn: Là đường thẳng tâm tam giác ∆2 qua G, song song với ABCD (với O tâm SAB OM (với G trọng SAB ) */ Yêu cầu học sinh tâm I mặt cầu ngoại tiếp hình chóp kính mặt cầu đó? Kết mong muốn: I = ∆1 ∩ ∆ , bán kính R = IA = IB = IC = ID = IS S ABCD bán */ Yêu cầu học sinh tính Kết mong muốn: R a 21 R = IB = BO + MG = 6/ MỘT SỐ BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1: Cho hình chóp AB = a, AD = 2a; SA ⊥ ( ABCD ) , SA = b hình chóp ĐS: Tâm có đáy S ABCD Xác định tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp O trung điểm SC , S ABC bán kính có đáy trịn ngoại tiếp tam giác R= SBC SC = 5a + b 2 tam giác cân Chứng tỏ BC A có đường kính đường Hãy xác định tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp S ABC a2 3a − x Bài 3: Cho tứ diện OABC OA = OB = a, ∠OCB = α Tính thể tích tứ diện cầu ngoại tiếp tứ diện OABC ĐS: V = R= ABC AB = AC = a, ( SBC ) ⊥ ( ABC ) , SA = SB = a, SC = x ĐS: hình chữ nhật với S ABCD Bài 2: Cho hình chóp hình chóp ABCD có cạnh OA, OB, OC OABC đơi vng góc với Xác định tâm bán kính mặt a sin 2α a ( dvtt ) ; R = 12 Bài 4: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a , SAB tam giác nằm mặt phẳng vng góc với mặt đáy Xác định tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABCD ĐS: R= a 21 Bài 5: Cho hình chóp tứ giác S ABCD có đáy bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp ĐS: ∠ASB = α Xác định tâm S ABCD a R= 4sin α cosα Bài 6: Cho hình chóp tứ giác góc a 600 S ABCD có đáy a , cạnh bên hợp với mặt đáy Xác định tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABCD Tính diện tích mặt cầu Tính thể tích khối cầu tương ứng ĐS: a 8π a 8π R= ;S = a ( dvtt ) ( dvdt ) ;V = 3 27 Với cách làm giảng dạy lớp 12A1 12CA3, cịn hai lớp 12A2 12CB8 tơi dạy theo cách cũ Tôi thấy, với cách hướng dẫn học sinh cách suy nghĩ, cách tự đặt câu hỏi, tự trả lời câu hỏi trình làm tốn nói chung hình học làm cho học sinh có cảm giác khơng sợ gặp tốn hình học tổng hợp Với cách làm Tơi thấy học sinh học hình học tổng hợp tốt nhiều so với lớp dạy theo cách truyền thụ chiều, học sinh làm nhiều quen Cụ thể sau: Qua hai lần kiểm tra đối chứng, thu kết sau: Lớp 12A1 Lần kiểm tra Lần kiểm tra Sĩ số Giỏi Khá 50 16 11 25 Trung Yếu Kém 24 13 bình 12CA3 Lần kiểm tra 50 Lần kiểm tra 12A2 Lần kiểm tra 50 Lần kiểm tra 12CB8 Lần kiểm tra Lần kiểm tra 50 12 26 10 20 18 14 23 16 22 13 25 10 16 26 C KẾT LUẬN Như thực tiễn dạy học Tôi thấy, việc hướng dẫn cho học sinh cách suy nghĩ: Tự đặt câu hỏi - tự giải vấn đề, Giáo viên làm cố vấn trình học sinh thực Khi làm tốt điều này, Tơi thấy học sinh có tiến rõ rệt tư nói chung tư hình học Thực tiễn giảng dạy trường THPT Cẩm Thuỷ 1, Nhà trường giao cho giảng dạy lớp: 12A1, 12A2, 12CA3 12CB8 Tôi áp dụng tổ chức cho học sinh hai lớp 12A1 12CA3 học tập theo cách Sau trình giảng dạy năm học 2012 – 2013, thấy khả tư giải vấn đề học sinh hai lớp 12A1 12CA3 phát triển lên bước Cụ thể, sau hai kiểm tra cho lớp với chất lượng đề tơi thấy hai lớp 12A1 12CA3 có kết cao hẳn so với hai lớp 12A2 12CB8, đặc biệt khả giải vấn đề khó hình học Trong chun đề này, khơng thể tránh khỏi mhững thiếu sót hạn chế Rất mong góp ý quý bạn đọc, thầy cô giáo, bạn đồng nghiệp em học sinh để chun đề hồn thiện Tơi xin chân thành cảm ơn! TÀI LIỆU THAM KHẢO Hình học 12 nâng cao Bài tập hình học 12 nâng cao SGV Hình học 12 nâng cao Hình học 12 Bài tập hình học 12 SGV Hình học 12 Bộ đề thi Tự luận Toán học: Nguyễn Văn Nho – Lê Bảy - Nguyễn Văn Thổ Báo Toán học tuổi trẻ …