http://edufly.edu.vn Khóa học thể tích khối đa diệnBài giảng số 3 ôn thi đại học CÁC PHƯƠNG PHÁP XÁC ĐỊNH TÂM VÀ BÁN KÍNH MẶT CẦU NGOẠI TIẾP KHỐI ĐA DIỆN A.. -Chỉ ra một điểm cách đều
Trang 1http://edufly.edu.vn Khóa học thể tích khối đa diện
Bài giảng số 3 ôn thi đại học CÁC PHƯƠNG PHÁP XÁC ĐỊNH TÂM VÀ BÁN KÍNH MẶT CẦU NGOẠI TIẾP KHỐI ĐA DIỆN
A TÓM TẮT LÝ THUYẾT
Có 4 phương pháp xác định tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
-Chỉ ra một điểm cách đều các đỉnh của khối đa diện
-Dựng trục đường tròn đáy và mặt phẳng trung trực của một cạnh bên
-Dựng hai trục đường tròn của hai mặt của khối đa diện
-Dùng phương pháp tọa độ tìm tâm và bán kính mặt cầu
B CÁC VÍ DỤ MẪU
Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA = SB = a, mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt đáy Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD
Lời giải
Gọi H là trung điểm của AB, ta có
SH AB
SH ABCD SAB ABCD
Gọi O là tâm đường tròn đáy và từ O
dựng đường thẳng d vuông góc với
(ABCD) suy ra d/ /SH
Vì SA = SB = a = AB nên tam giác
SAB đều Gọi G là trọng tâm của SAB
suy ra G là tâm đường tròn ngoại tiếp
tam giác SAB
Từ G dựng được thẳng d’ vuông góc
với (SAB) thì d’ và d cắt nhau tại I thì I
là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
S.ABCD Bán kính R =SI
SH GS SH
2
a
OH
O A
D S
H
Trang 2http://edufly.edu.vn Khóa học thể tích khối đa diện
Xét tam giác vuông SGI, theo định lý Pitago ta có
2
.
SI SG IG SG OH R
Bình luận: Bài tập này sử dụng phương pháp tìm tâm mặt cầu bằng giao của hai trục đường tròn ngoại tiếp
đáy ABCD và tam giác SAB
Ví dụ 2: (Khối B-2010) Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có cạnh AB = a, góc giữa hai mặt phẳng (A’BC) và (ABC) là 60 0 Gọi G là trọng tâm tam giác A’BC Tính thể tích khối lăng trụ đã cho và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện G.ABC
Lời giải
Vì tam giác ABC đều nên đường cao 3
2
a
AH
Theo giả thiết thì
(( A BC ), ( ABC )) A HA 60
Trong tam giác vuông A’AH tại H, theo công thức
tỉ số lượng giác ta có:
0
2
Vậy thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ là
3
ABC
a
V AA S AA AH BC
B'
A'
C'
A
C B
H G
O
M I
Từ G hạ GO AH ( O AH ), khi đó 1
AA AH HA Suy ra O là trọng tâm của tâm giác ABC và O
là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Vậy GO là trục đường tròn của đáy ABC
Trong mặt phẳng (GAH), kẻ trung trực của GA cắt GO tại I thì I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp G.ABC
Trang 3http://edufly.edu.vn Khóa học thể tích khối đa diện
Ta có '
GO Xét tam giác vuông GOA, theo Pitago, ta có
GA GO AO GA
Dễ thấy GMI đồng dạng với GOA theo trường hợp (g-g)
Từ đó suy ra:
2 2
7
a
GI
GA GO GO GO a
Vậy bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp G.ABC là 7
12
a
R
Ví dụ 3: Cho t ứ diện ABCD có hai tam giác tam giác ABC và DBC đều cạnh a Góc giữa AD và mặt phẳng (ABC) bằng 45 0 Tính thể tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD
Lời giải
Gọi H là trung điểm của CB, dễ thấy
CB DAH Hạ
DH AH DH ABC
(DA ABC, ( ))DAH'45
Mà
90
DBC ABC HA HD DHA
Vậy H’ trùng với H
Tức DH ( ABC )
Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, vì ABC đều
nên G là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC
Từ G dựng đường thẳng d vuông góc với ABC
tại G suy ra d//DH
Trong mặt phẳng (DHA) dựng đường trung
trực của cạnh bên DA cắt d tại I thì I là tâm
mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD
Vì tam giác AHD vuông cân tại H nên suy ra
N D
C
B
A
K I
Trang 4http://edufly.edu.vn Khóa học thể tích khối đa diện
2
DA AH AK
Tam giác NGA vuông cân tại G nên 2 3
a
NG GA AH và 6
2 3
a
NA GA
Tam giác NKI cũng vuông cân nên ta có 6 6 6
IK NK AN AK
Tam giác vuông IKA, theo Pitago ta có:
R IA IK AK
Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D với AB=AD=a, CD=2a Canh bên SD(ABCD) và SD=a Gọi E là trung điểm của CD và I là trung điểm của BC
a) Tính độ dài cạnh DI
b) Xác định tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SBCE
Lời giải
a) Dễ thấy tam giác BEC vuông cân tại E nên ta có BC BE 2 a 2
Xét tam giác DIC, theo định lý hàm số cosin ta có:
2
2
DI
Trang 5http://edufly.edu.vn Khóa học thể tích khối đa diện
b) Dựng trục đường tròn của tam giác BCE
(Đường thẳng vuông góc với (BCE) tại I
Dễ chứng minh được
CB SDB CB SB
Gọi J là trung điểm thì J là tâm đường tròn
ngoại tiếp tam giác DBC, dựng trục đường
tròn của tam giác DBC và giả sử trục đường
tròn này cắt cắt trục đường tròn tam giác BCE
tại O thì O là tâm mặt cầu ngoại tiếp S.BCE
Gọi R là bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình
chóp S.BCE
Khi đó, xét tam giác vuông IOC theo Pitago ta
có:
2 2
2
a
OI R
Từ O hạ OH SD, ta có DH = OI
j
O
D
A
B
C
S
E
I H
Ta có
2
,
SH SD DH a R OH DI
Xét tam giác vuông SHO, theo định lý Pitago, ta có:
2
5
5 2
11
C BÀI TẬP TỰ LUYỆN
1 Cho tứ diện S.ABC có SA, SB, SC đôi một vuông góc nhau và có độ dài lần lượt la a, b, c Hãy xác định
tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện (Đs:R= a2 b2 c2
2
1
Trang 6http://edufly.edu.vn Khóa học thể tích khối đa diện
2 Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, mặt bên hợp với đáy một góc bằng Xác
định tâm và tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp (ĐS: R =
tg 12
) tg 4 ( a
)
3 Cho mặt phẳng (P) mặt phẳng (Q) và (P) (Q) = Δ Trên Δ lấy A, B sao cho AB = a.Trong mặt phẳng (P) lấy C, trong mặt phẳng (Q) lấy D sao cho AC và BD cùng vuông góc với Δ và AC = BD = a Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD và khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCD) theo a
(Đs: R =
2
3 a
; d =
2
2 a
)
4 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, Tam giác SAB đều cạnh a nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, góc giữa đường thẳng SD và mặt phẳng (ABCD) bẳng 300
a) Tính thể tích khối chóp SABCD
b) Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD
5 Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có các cạnh bên bằng a và mặt chéo SAC là tam giác đều
a) Tìm tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp Đs: a 3
R
3
b) Qua A, dựng mặt phẳng ( ) vuông góc với SC Tính diện tích thiết diện tạo bởi mặt phẳng ( ) và
2 AMNP
S
6
6 Hình chóp S.ABCD có SA vuông góc v ới mặt phẳng đáy, SA = a và đáy ABCD là tứ
giác nội tiếp đường tròn bán kính r, trong đó các đường chéo AC và BD vuông góc với nhau Tính bán kính
R của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD
7 Cho tứ diện ABCD có AB=a, CD=b, các cạnh còn lại bằng c Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện
2 2 2
c a b R
c a b
8 Cho tứ diện ABCD có AB=x Hai mặt phẳng ACD và BCD là các tam giác đều cạnh a Gọi M là trung điểm của AB
a) Xác định x khi DM là đường cao của tứ diện x a 2
Trang 7http://edufly.edu.vn Khóa học thể tích khối đa diện
b) Cho DM(ABC) Tính bán kính mặt cầu nội tiếp ABCD (2 3)
2
a
r
9 Cho tứ diện ABCD với AB AC a BC , b Hai mặt phẳng (BCD) và (ABC) vuông góc nhau và có
0
90
BDC Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD theo a và b
Đs:
2
a R
10 Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a 2 Lấy điểm H thuộc đoạn AC sao cho
2
a
AH Trên đường
thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) tại H lấy điểm S sao cho góc ASC = 450 Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD