HÌNH KHÔNG GIAN TT V năđ 3: Kh iăl ngătr và các bài toán liên quan I... Cho hình chóp S có đáy là hình vuông tâm , c nh và SAC vuông cân... Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình ch
Trang 122
PH N 2 HÌNH KHÔNG GIAN (TT)
V năđ 3: Kh iăl ngătr và các bài toán liên quan
I Vài khái ni m c n nh :
Hình l ng tr là hình có 2 đáy là 2 đa giác b ng nhau và
n m 2 mp song song
Hình l ng tr đ ng là hình l ng tr có c nh bên vuông góc
v i m t đáy
Hình l ng tr đ u là hình l ng tr đ ng và có đáy là đa giác
đ u
Hình h p là hình l ng tr t giác có đáy là hình bình hành
Hình h p ch nh t là hình l ng tr đ ng và có đáy là hình
ch nh t
Chú ý:
Khi tính kho ng cách t m t đi m đ n m t m t ph ng, ngoài cách tìm hình chi u vuông góc c a đi m lên m t ph ng thì ta còn m t cách n a không c n bi t hình chi u vuông góc đâu ta v n tính đ c kho ng cách nh công th c tính th tích Ví d :
.
3.
( , ( )) S ABC
SBC
V
d A SBC
S
Trong hình l ng tr có nhi u y u t song song nên ta đ c bi t
chú ý đ n đi m này đ áp d ng cho k thu t “đ i đ nh” trong bài
toán v kho ng cách
Trang 223
II Các ví d
Ví d 1 Cho hình h p đ ng có đáy là
hình vuông, vuông cân, Tính theo
Phân tích: Tính
Vi c tìm hình chi u vuông góc c a lên c a ta g p
chút khó kh n đây…ta th xét theo h ng khác xem th có đ n gi n
h n không?
Gi i Ta có
vuông cân t i suy ra
Suy ra
Do đó
Trang 324
Bài toán đ c gi i quy t m t cách nh nhàng r i
Ví d 2 Cho hình l ng tr đ ng có
Gi i :
Cách truy n th ng
G i là chân đ ng cao k t c a tam giác
Ta có: và suy ra hay
Cách dùng th tích
Ta ti p t c ý t ng ví d 1
Ta có
Do đó
(chú ý A’BM vuông t i )
Trang 425
Ví d 3 Cho hình l ng tr có đáy là
hình ch nh t 3 Hình chi u vuông góc c a
đi m lên trùng v i giao đi m c a và M t ph ng
t o v i m t đáy m t góc 600
Gi i:
T gi thi t suy ra
G i là trung đi m c a , ta d dàng xác đ nh đ c
Vi c tính c a ta g păchútăkhóăkh nă?
Ta th chuy năh ng nhé:
Bây gi vi c tính toán c a
ta s đ năgi năh nănhi u
Ngoài ra, n uătaăchúăỦăh năm t chút thì ta có th tính tr c
G i là chân đ ng cao k t c a tam giác
Ta có: và suy ra ( hay
Trang 526
Chú ý : Bài trên ta đã th c hi n k thu t đ i đ nh Và qu th t
nó r t hi u qu
Ví d 4 Cho l ng tr tam giác đ u có ,
góc gi a hai m t ph ng và b ng 600 Tính
theo v i là trung đi m c a
Gi i :
Tính
Nh n xét : và suy ra
hay
Ta có và nên là đo n vuông góc
chung c a và
Trang 627
V năđ 4: Bài toán tâm và bán kính m t c u ngo i ti p hình
chóp
I Nh c l i:
1 M t c u ngo i ti p hình chóp là m t c u đi qua các đ nh c a
hình chóp
2 Tâm m t c u ngo i ti p hình chóp là đi m cách đ u các đ nh
c a hình chóp
3 Tâm đ ng tròn ngo i ti p c a:
- Tam giác đ u là tr ng tâm c a tam giác
-Tam giác vuông là trung đi m c a c nh huy n
- Hình vuông là giao đi m c a hai đ ng chéo
- Hình ch nh t là giao đi m c a hai đ ng chéo
4 Tr c c a đ ng tròn ngo i ti p đa giác là đ ng th ng đi qua tâm đ ng tròn ngo i ti p đa giác và vuông góc v i m t ph ng ch a
đa giác đó
5 M t ph ng trung tr c c a m t đo n th ng là mp đi qua trung
đi m c a đo n th ng và vuông góc v i đo n th ng đó
6 Di n tích c a m t c u :
7 Th tích c a kh i c u : , v i R là bán kính m t c u ngo i ti p hình chóp
II.ăPh ngăphápătìmătơmăđ ng m t c u ngo i ti p
B1 Tìm đ ng th ng d là tr c c a đ ng tròn ngo i ti p đa
giác đáy
B2 Tìm m t trung tr c (hay là đ ng trung tr c ) c a
c nh bên
(… tìm nh th nào cho thích h p Th y trò mình nói trên
l p nhé ….)
Khiăđóă: giao đi m c a 2 đ ng th ng d và là tâm m t c u
ngo i ti p hình chóp
L uăỦ: Bán kính m t c u ngo i ti p hình chóp thông th ng s
đ c tìm thông qua 2 cách:
- Các h th c l ng trong tam giác vuông
Trang 728
- S d ng tam giác đ ng d ng
III Các ví d
Ví d 1 Cho hình chóp t giác đ u có c nh đáy b ng
a , góc gi a c nh bên v i m t đáy b ng 600
Hãy xác đ nh tâm và tính bán kính c a m t c u ngo i ti p hình chóp theo
Gi i:
SD = 2a
Khi đó : hay SO là tr c c a đ ng tròn ngo i
ti p hình vuông
G i K là trung đi m c a SD
Trong mp d ng đ ng trung tr c c a c nh c t
c nh SO t i I
Suy ra hay là tâm m t c u
ngo i ti p hình chóp
Bán kính
Trang 829
Nh n xét : tìm tâm m t c u ngo i ti p hình chóp S.ABCD là
tìm đi m cách đ u các đ nh A, B, C , D, S
Chính vì v y trong bài toán trên v i nh n xét là
2 tam giác đ u G i I là tr ng tâm c a thì I c ng là tr ng tâm
c a Khi đó : hay I là tâm m t
c u ngo i ti p hình chóp S ABCD Vi c tính bán kính IS c ng s nh nhàng h n r t nhi u
Ví d 2 Cho hình chóp S có đáy là hình vuông
tâm , c nh và SAC vuông cân
Hãy xác đ nh tâm I và tính bán kính R c a m t c u ngo i ti p
hình chóp theo a
Gi i :
Trong mp
- D ng đ ng th ng qua và song song v i Mà
hay là tr c c a đ ng tròn
ngo i ti p hình vuông
- D ng đ ng trung tr c c a c nh , c t d t i I.(I là
trung đi m c a SC )
Trang 930
Suy ra hay là tâm m t c u
ngo i ti p hình chóp
Nh n xét : ba đi m cùng nhìn c nh d i m t góc
vuông nên g i I là trung đi m SC thì ta có
hay I là tâm m t c u ngo i ti p
hình chóp và bán kính
Chú ý:
Hai ví d trên ch là m t vài tr ng h p đ c bi t , ta s ti p t c
v i các ví d khác
Ví d 3 Cho hình chóp đáy là tam giác đ u c nh
b ng a vuông góc v i m t ph ng Hãy xác
đ nh tâm I và tính bán kính R c a m t c u ngo i ti p hình chóp
theo a
Gi i :
G i G là tr ng tâm Trong mp ( :
- D ng đ ng th ng d qua và song song v i
Mà SA nên hay d là tr c c a đ ng tròn ngo i
ti p tam giác ABC
- D ng đ ng trung tr c c a c nh SA, c t d t i I Khi đó :
Trang 10
31
Suy ra : hay I là tâm m t c u ngo i ti p hình chóp
Ví d 4 Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông t i B,
AB = BC = 2a SB vuông góc v i (ABC) M t ph ng (SAC) t o v i
m t đáy m t góc 300 Hãy xác đ nh tâm I và tính bán kính R c a m t
c u ngo i ti p hình chóp S.ABC theo a
Gi i :
G i là trung đi m c a
Trong
- D ng đ ng th ng qua và song song v i
Mà nên hay d là tr c c a đ ng tròn
ngo i ti p tam giác
- D ng đ ng trung tr c c a c nh SB, c t d t i I Khi đó :
Trang 11
32
Suy ra : hay I là tâm m t c u ngo i ti p hình chóp
Bán kính
Ví d 5 Cho hình chóp S có đáy là hình vuông
tâm , c nh b ng a M t bên là tam giác đ u và n m trong m t
ph ng vuông góc v i Hãy xác đ nh tâm và tính bán kính
c a m t c u ngo i ti p hình chóp theo
Gi i :
G i là trung đi m c a , ch ng minh đ c (ABCD)
là tr ng tâm c a tam giác
Trong
- D ng đ ng th ng qua và song song v i
Mà nên hay d là tr c c a đ ng tròn
ngo i ti p hình vuông
- D ng đ ng th ng qua và song song v i
Mà nên (SAB) hay là tr c c a đ ng tròn
ngo i ti p SAB Và c t t i Khi đó:
Trang 12
33
Suy ra : hay là tâm m t c u
ngo i ti p hình chóp
V năđèă5.ăBƠiătoánătínhăgócătrongăkhôngăgian
C n chú ý:
Ví d 1 Cho hình chóp có đáy hình vuông
l n l t là trung đi m c a Tính th tích kh i chóp
theo a và tính
Gi i
Suy ra
Do đó :
L i có
Ta có :
Ta có
M t khác
Do đó
Trang 1334
Tam giác vuông t i nên
Suy ra
Tam giác vuông t i nên
Thay vào (1), ta đ c
Ví d 2
Cho hình l p ph ng c nh Tính
theo a
G i l n l t là trung đi m c a Tính góc
Gi i
G i , suy ra là hình bình hành
Trang 14
35
Ta có
suy ra
Tam giác vuông t i , có là đ ng cao nên
Tính góc
M t khác
Do đó:
Trang 1536
Bài t p áp d ng:
Bài 1 Cho hình l ng tr đ ng có đáy là tam giác vuông t i g i là trung
đi m c a c nh là giao đi m c a Tính th tích kh i
t di n IABC và theo
Bài 2 Cho hình l ng có đáy là hình vuông c nh c nh bên Hình chi u vuông góc c a lên
m t ph ng trùng v i trung đi m c a G i là trung
đi m c a Tính th tích t di n và theo
Bài 3 Cho hình l ng tr có đáy là tam giac
đ u c nh a ng th ng t o v i m t ph ng m t góc 300
G i l n l t là trung đi m Tính th tích kh i l ng tr
và theo a, v i là tr ng tâm c a
Bài 4 Cho l ng tr , bi t là hình chóp đ u
có c nh đáy b ng a Góc gi a hai m t ph ng ABC và BCC B
b ng 900 Tính th tích kh i l ng tr ABC AB C và
theo a
Bài 5 Cho l ng tr có đáy là tam giác vuông cân t i G i là tr ng tâm c a tam giác Bi t r ng vuông góc v i m t đáy và t o v i m t đáy m t góc
b ng 600 Tính th tích kh i chóp và theo
Bài 6 Cho hình l ng tr có đáy là tam giác
đ u c nh Hình chi u vuông góc c a đi m lên m t ph ng
là đi m th a DC 2.DB ng th ng t o v i m t góc 450 Tính th tích kh i l ng tr và côsin c a góc t o
b i hai đ ng th ng BB’ và AC
Trang 1637
Bài 7 Cho hình l p ph ng ABCD.A’B’C’D’ có c nh b ng a
a Tính kho ng cách gi a hai đ ng th ng và
b G i là trung đi m c a M t ph ng chia hình
l p ph ng thành hai kh i đa di n Tính t s th tích c a hai kh i đa
di n này
Bài 8 Cho hình l ng tr có đáy là hình vuông c nh G i l n l t là trung đi m c a Hình chi u vuông góc c a lên m t ph ng trùng v i giao đi m
0
60 Tính th tích kh i l ng tr và theo
a
Bài 9 Cho l ng tr tam giác đ u C’ có góc
gi a hai m t ph ng và ( b ng 600 G i là tr ng tâm
c a tam giác Xác đ nh tâm và tính bán kính m t c u ngo i ti p
t di n theo
Bài 10 Cho hình chóp tam giác đ u có c nh đáy
M t bên t o v i mp m t đáy m t góc 600 Hãy xác đ nh tâm và tính
bán kính c a m t c u ngo i ti p hình chóp
Bài 11 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình ch nh t,
a Hãy xác đ nh tâm và tính bán kính c a m t c u ngo i ti p
hình chóp
b G i l n l t là hình chi u vuông góc c a A lên các
c nh Hãy xác đ nh tâm I và tính bán kính R c a m t c u
đi qua các đi m
Trang 1738
Bài 12 Cho hình chóp có đáy là tam giác vuông
t i góc gi a m t ph ng và m t ph ng đáy b ng tam giác cân t i thu c m t ph ng vuông góc v i
m t ph ng đáy Tính th tích hình chóp và th tích kh i c u ngo i ti p hình chóp
Bài 13 Cho hình chóp có đáy là hình thoi c nh
đáy, m t ph ng t o v i đáy m t góc Tính th tích c a kh i chóp và bán kính m t c u ngo i ti p t di n
Bài 14 Cho hình chóp có đáy hình vuông c nh
M t vuông góc đáy G i l n l t
là trung đi m c a Tính th tích kh i chóp theo a và tính
Bài 15 Cho hình chóp có đáy là hình vuông c nh
vuông góc đáy l n l t là trung
đi m Tính th tích hình chóp và
Bài 16 Cho hình l ng tr có đáy là tam giác
Tính th tích theo Gi
s , tính góc gi a hai đ ng th ng