Tuyển tập bộ đề luyện thi đại học môn toán new (kèm lời giải chi tiết)

Đây là bộ tài liệu luyện thi đại học cực hay, được tuyển chọn kĩ càng, có chất lượng cao, giúp các em học sinh lớp 12 củng cố và nâng cao kiến thức, phục vụ tốt việc luyện thi đại học của bộ môn. Bên cạnh phần lí thuyết được hệ thống hóa một cách khoa học và dễ hiểu là phần bài tập thực hành với lời giải chi tiết cụ thể, không những giúp các thầy cô có căn cứ để hướng dẫn và giảng dạy cho học sinh mà còn giúp cho các em tự học, tự kiểm tra và so sánh đối chiếu kết quả làm bài của mình khi không có sự trợ giúp của các thầy cô giáo. Hy vọng bộ tài liệu sẽ giúp ích đắc lực cho các em học sinh lớp 12 trong việc luyện thi đại học.

www.MATHVN.com Bộ đề ôn thi Đại học Dành cho học sinh khối 12 ôn thi vào Đại học khối A, B, D ĐỀ Câu I x   cos  3sin   x  1  cos2  x  Chứng minh với  hàm số ln có cực đại cực tiểu 2 Giả sử hàm số đạt cực trị x1 , x Chứng minh: x12  x2  18 Câu II Giải phương trình: 31  2cos x   t anx  t anx  2sin x  Cho hàm số: Cho hàm số: y   3 x  y   2 Giải hệ phương trình sau:    x   y  10  2  Câu III Trong mặt phẳng Oxy, cho Parabol  P  : y  64 x đường thẳng  : x  y  46  Tìm A thuộc (P) cho khoảng cách từ A đến  nhỏ Tính khoảng cách nhỏ Trong khơng gian Oxyz, cho hai điểm M  0;0; 3 , N  2;0; 1 mặt phẳng   : x  y  z   a) Tìm tọa độ giao điểm I đường thẳng MN với mặt phẳng   b) Tìm tọa độ P nằm mặt phẳng   cho tam giác MNP Câu IV ln e x dx 1.Tính tích phân : I   x x ln 10  e  e  Tìm tập hợp điểm M mà tọa độ phức thỏa mãn điều kiện: z   i  Câu V 20 C 21 C12010 2 C2010 23 C3 22010 C 2010 2010 2010 2010 Tính P       1.2 2.3 3.4 4.5 2011.2012 Cho a, b, c ba số thực thoả mãn điều kiện: a  b  c  Chứng minh rằng: 27 a  27 b  27c  3a  3b  3c Văn Phú Quốc ♥ 0982 333 443 www.mathvn.com quocdhsptoan@gmail.com www.MATHVN.com Bộ đề ôn thi Đại học Dành cho học sinh khối 12 ôn thi vào Đại học khối A, B, D HƯỚNG DẪN GIẢI Câu I Xét PT: y  2x   cos  3sin   x  1  cos2   Ta có: 2    cos  3sin    16 1  cos2    cos  3sin    32cos    cos  3sin   sin   Nếu       sin   cos 2  Điều cos  cos  vô lý Suy    Do hàm số ln có cực đai, cực tiểu Theo định lý Viet, ta có: x1  x  3sin   cos ; x1x  4 1  cos2  2 x1  x   x1  x   2x1x   3sin   cos   1  cos2   9sin   6sin  cos  17 cos  x12  x2  18  9sin   6sin  cos  17 cos   18  sin   cos 2    3sin   cos   Từ đây, ta suy ra: đpcm Câu II ĐK: cos x  PT  1  2cos x   tan x 1  2cos x   1  2cos x    tan x    1    cos x   cos x   cos x   cos x      2 2    2 cos x   tan x  sin x  3cos x 1  cos x  3cos x      1 2   cos x   cos2x    2x    k2  x    k k   3 thỏa mãn điều kiện ban đầu 3 ĐK:   x, y  2 Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski:   3 3   1  x   y   12  12    x   y   x  y  2 2    (1)   3 3  10  1  x   y   12  12    x   y   x  y  2 2 2    Văn Phú Quốc ♥ 0982 333 443 www.mathvn.com (2) quocdhsptoan@gmail.com www.MATHVN.com Bộ đề ôn thi Đại học Dành cho học sinh khối 12 ôn thi vào Đại học khối A, B, D Từ (1) (2) suy x  y  , nghĩa dấu xảy (1) (2) Khi          x  x  y  x  y Vậy  x; y   1;1 nghiệm hệ y Câu III  a2  A   P  : y  64x  A  ;a   64  a2  3a  46 64 2 d  A,     a  48a  736   a  24   160 80 80 42  32 160   a  24   160     80 80  Dấu xảy khi a  24   a  24 Lúc Mind  A,    A  9; 24    a) Đường thẳng MN qua M  0;0; 3 nhận MN   2;0;2  làm VTCP nên có  x  2t  phương trình:  y   z  3  2t  I  MN   P   Tọa độ điểm I ứng với tham số t nghiệm phương trình: 11 4  11  I  ;0;   10 5 5 b) Gọi    mặt phẳng trung trực đoạn thẳng MN Gọi K trung điểm    MN  K 1;0; 2  Chọn n  MN  1;0;1 làm VTPT    Lúc đó,    có phương trình: 1. x  1  1. z     x  z   3.2t  8.0  7. 3  2t     t   P         P    cho MNP   2  MN  NP  Giả sử tọa độ điểm N  a;b;c  , ta có: Văn Phú Quốc ♥ 0982 333 443 www.mathvn.com quocdhsptoan@gmail.com www.MATHVN.com Bộ đề ôn thi Đại học Dành cho học sinh khối 12 ôn thi vào Đại học khối A, B, D 3a  8b  7c    a  c    2 a  b   c  3   2 1 Giải hệ phương trình , ta tìm P  2; 2; 3 , P   ;  ;    3 3 Câu IV Đặt t  e x   t  e x   2tdt  e x dx Đổi cận: x  ln  t  ; x  ln  t  2 2 2tdt dt  1  3 t I  2     dt  ln  t   t    t  t  3 t 9  t  t  1  ln 2 Hai số phức liên hợp có mođun nhau, ta suy z 2i  z 2i Vì z   i  z   2  i   z   i Từ ta có: z   i  Tập hợp điểm M đường tròn tâm I  2;1 , bán kính R  Câu V 2010 20 C 21 C12010 2 C 2010 23 C3 2010 C2010 2010 2010 A       2011 Ta có: k k 2k C k  2  2010!   2  2010! 2010   1  k  1 k! 2010  k ! k  1  k  1! 2010  k ! k k  2  2011! k 1      2  C k 1 2011 2011  k  1! 2011  k  1! 4022  2011   2  C12011   2  C2    2  C 2011  2011 2011  4022  2011    2  1   2  C0   2011  4022 2011 P Đặt x  3a ; y  3b ; z  3c Bài toán quy chứng minh bất đẳng thức: x  y3  z  x  y  z với x, y, z dương thỏa mãn xyz  3a.3b.3c  3a  bc  30  Ta có: x    3 x 1.1  3x Tương tự y3    3y ; z    3z Văn Phú Quốc ♥ 0982 333 443 www.mathvn.com quocdhsptoan@gmail.com www.MATHVN.com Bộ đề ôn thi Đại học Dành cho học sinh khối 12 ôn thi vào Đại học khối A, B, D Cộng vế theo vế 3  x  y  z    3 x  y  z  bất đẳng thức trên, (1) ta được: Mặt khác  x  y3  z    x  y3  z    x  y3  z3    x  y3  z   2.3 x y3z    x  y  z3   2.3xyz   x  y  z3   (2) Từ (1) (2) suy đpcm ĐỀ Câu I 2x 1  C  điểm M thuộc (C) Gọi I giao điểm x 1 hai tiệm cận Tiếp tuyến M cắt hai tiệm cận A B Chứng minh rằng: M trung điểm AB Chứng minh diện tích tam giác IAB khơng đổi Tìm tọa độ điểm M để chu vi tam giác IAB nhỏ Câu II Giải phương trình:  8sin x  1  162sin x  27  Cho hàm số: y  Tìm m để phương trình sau có nghiệm: Câu III x2  x   x2  x   m x2 1.Trong mặt phẳng Oxy, cho parabol (P): y  x  x elip (E):  y  Chứng minh (P) (E) cắt điểm phân biệt A, B, C, D bốn điểm nằm đường tròn Xác định tâm bán kính đường trịn Cho tia OA, OB, OC đơi vng góc OA = a, OB = b, OC = c Gọi  ,  ,  góc mặt phẳng (OAB), (OBC) , (OCA) với mặt phẳng (ABC) Chứng minh rằng: cos 2  cos   cos 2  Câu IV  dx  sinx  cos x Tính tích phân: I   Văn Phú Quốc ♥ 0982 333 443 www.mathvn.com quocdhsptoan@gmail.com www.MATHVN.com Bộ đề ôn thi Đại học Dành cho học sinh khối 12 ôn thi vào Đại học khối A, B, D Gọi A, B theo thứ tự điểm mặt phẳng phức biểu diễn số z khác 1 i z  z Chứng minh tam giác OAB vuông cân Câu V  22 y  x  y  x 1  Giải hệ phương trình sau:  2 log  x  y  1  log y  2 x  y   Cho số thực dương thay đổi x, y, z thỏa mãn điều kiện  1 1 1 24           Tìm giá trị lớn biểu thức: y z  x x y z 1 Q   30 x  y  2008 z 30 y  z  2008 x 30 z  x  2008 y HƯỚNG DẪN GIẢI Câu I 2x  2x    ; TCN: y  lim  x 1 x  x  x  Giao điểm hai tiệm cận I 1;2  Hàm số viết lại sau: y   x 1   Gọi M  x ;2     C x0 1   Tiếp tuyến với (C) M là: y  y  x  x  x    x0 1 Ta có : TCĐ : x  lim   Giao điểm tiếp tuyến với TCĐ A 1;2   x0    Giao điểm tiếp tuyến với TCN B  2x  1;2  x  xB  xM  A  x0   Ta có :  A , M , B thẳng hàng nên M trung điểm yA  yB  yM  2 x0 1   đoạn thẳng AB 1 2 S IAB  IA.IB   x  1  2 x0  Vậy diện tích tam giác IAB không đổi Văn Phú Quốc ♥ 0982 333 443 www.mathvn.com quocdhsptoan@gmail.com www.MATHVN.com Bộ đề ôn thi Đại học Dành cho học sinh khối 12 ôn thi vào Đại học khối A, B, D Ta có: IA.IB  Chu vi  IAB   IA  IB  AB  IA  IB  IA  IB2   IA.IB  2IA.IB  2    x   M  0; 1 Dấu xảy IA  IB   x      x   M  2;3  Câu II Đặt u  2sin x ĐK: 2  u  3 PT cho thành:  u  1  81u  27    u  1  81u  27 Đặt 3v  u   3u  v3  Do đó, ta có:    u   3v   u   3v u   3v    v   3u  u  v3   3 v  u   u  v   u  uv  v2  3         u   3v  u   3v     3u  u   v   u  v    u    v  3   u  v        Lúc đó: 6sin x  8sin x   3sin x  4sin x   sin 3x  sin   2   3x   k2  x  18  k   5 3x   x  5  k 2  k2     18 2 2 1  3 1  3   x  x 1  x  x 1  m   x       x     m 2   2      3 1 3 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, xét: A   ;  ; B ;  đỉnh 2  2    M  x;0  ta có: AB  2 Với điểm M AM  BM  AB  2 1  3 1  3   Mà AM   x      ; BM=  x      2   2     Suy ra: m   1  m  Vậy phương trình cho có nghiệm 1  m  Văn Phú Quốc ♥ 0982 333 443 www.mathvn.com quocdhsptoan@gmail.com www.MATHVN.com Bộ đề ôn thi Đại học Dành cho học sinh khối 12 ôn thi vào Đại học khối A, B, D Câu III Tọa độ giao điểm (P) (E) nghiệm hệ phương trình:  y  x  2x x2     x  2x    9x  36x  37x   x   y 1 9 Đặt f  x   9x  36x  37x  f  x  liên tục  f  1 f    657   x1   1;0  : f  x1   f   f 1  9   x   0;1 : f  x   f 1.f    5   x  1;2  : f  x   f   f  3  405   x   2;3  : f  x   Do PT: f  x   PT bậc nên có tối đa nghiệm Vậy PT f  x   có nghiệm phân biệt nên (P) cắt (E) điểm phân biệt Giả sử  P    E   M  x ; y  Khi đó, ta có:  y0  x  2x     x  2x  y  8x  16x  8y     x0 2  y0   x  9y    x  9y      9 Cộng vế theo vế hai phương trình trên, ta : 16 2 2 9x  9y  16x  8y    x  y0  x  y   9 2 8   161  Vậy giao điểm (P) (E) nằm  x     y0    9  9 81  161 8 4 đường tròn tâm I  ;  , bán kính R  9 9  z C O B A x Văn Phú Quốc y ♥ 0982 333 443 www.mathvn.com quocdhsptoan@gmail.com www.MATHVN.com Bộ đề ôn thi Đại học Dành cho học sinh khối 12 ôn thi vào Đại học khối A, B, D   1  x y z mp  ABC  :     có phương vectơ pháp tuyến n1   , ,  a b c a b c     mp  OAB  có vectơ pháp tuyến n2  OC   0,0, c     mp (OBC ) có vectơ pháp tuyến n3  OA   a,0,0      mp  OAC  có vectơ pháp tuyến n4  OB  (0, b,0) Gọi  ,  ,  góc mặt phẳng  OAB  ,  OBC  ,  OCA với mp  ABC  Vậy : 1 1 0 c a b c c cos   1 1 1 02  02  c2    2 2 a b c a b c 1 1 a 0 0 a b c a cos   1 1 1 a   02    2 2 a b c a b c 1 1 b 0 a b c b cos   1 1 1  b  02    2 2 a b c a b c Từ (1), (2) (3) suy ra: cos 2  cos   cos 2  Câu IV x 2dt Đặt t  tan  dx   t2  x 0t 0 ; x = t  3 I  2dt  2t 1 t2   1  t  1   t   t    dt   t  ln  t (1) (2) (3)    ln 1   3  Giả sử z  x  yi ta có : A  x; y  Vì z  nên x  y  1 i xy xy Ta có z  z  1  i  x  yi    i 2 2 xy xy Vậy B có tọa độ : B  ;    Văn Phú Quốc ♥ 0982 333 443 www.mathvn.com quocdhsptoan@gmail.com www.MATHVN.com Bộ đề ôn thi Đại học Dành cho học sinh khối 12 ôn thi vào Đại học khối A, B, D 2 2 xy xy x y Ta lại có: OA  x  y ; OB           2 2 xy  x  y   x  y   y  x  x  y2  AB   x   y               OB  AB Từ đó, suy :  OA  OB2  AB2  Vậy tam giác OAB vuông cân B Câu V  22 y  x  y  x 1 1   2 log  x  y  1  log y  2 x  y     ĐK: y  Chia hai vế (1) cho x  ta được:  yx  2 y  x  2 y  x  y x yx 2 22      yx   2 Loại y x  2  ( vô lý) Nhận y x   x  y Thay y  x vào (2) ta được:   log  x  3x  1  log x  2x  4x   log  x       x  1 (3) x     Áp dụng bất đẳng thức Cauchy: VT  3  log  x     log     x   VP  3   x  x Vậy VT  3  VP       x   y  (thỏa ĐK y  )  x  1   Vậy  x; y   1;1 nghiệm hệ phương trình 2 1 1 1  Dấu xảy x     0  x 3x 36 x 6 1 Tương tự :   Dấu xảy y  y 3y 36 2 2 1   Dấu xảy y  z 3z 36 Văn Phú Quốc ♥ 0982 333 443 www.mathvn.com quocdhsptoan@gmail.com 10 www.MATHVN.com Bộ đề ôn thi Đại học Dành cho học sinh khối 12 ôn thi vào Đại học khối A, B, D + Nếu n  4k   k   i n  i k i  1.i  i + Nếu n  4k   k    i n  i k i  1. 1  1 + Nếu n  4k   k   i n  i k i  1 i   i Câu V + Điều kiện: 1  x, y  + Với điều kiện đó, hệ phương trình cho viết thành: x 1 y  y 1 x  2   2 x 1 y  y 1 x    1  x, y    + Từ điều kiện toán là:  x  y  y  x   2 x 1 y  y 1 x 1  + Áp dụng bất đẳng thức Bunhiakovsky, ta có : x x  y2  y  x2  *   x  y   y     x, y   Do : x  y  y  x    x  x ( kết hợp với (*))   y  1 y   x, y   1 x  y2   + Lại áp dụng bất đẳng thức Bunhiakovsky hai lần ( có kết hợp với (1) ), ta đuợc : x  y  y  x   x  y2   x  y  2  x  y  1  1  x2  y    2   x, y   x y   1 y  1 x Do : x  y  y  x      x y  x2  y   x  y  + Từ (1) (2) ta hệ cho tương đương với: Văn Phú Quốc ♥ 0982 333 443 www.mathvn.com quocdhsptoan@gmail.com 87 www.MATHVN.com Bộ đề ôn thi Đại học Dành cho học sinh khối 12 ôn thi vào Đại học khối A, B, D    x, y   2 x  y 1  x  y   x  y   Vậy x  y  nghiệm hệ phương trình cho 2 Xét hàm số f  x   ln x  x  1, x   0;   Ta có : f   x    x Vậy f  1  0, f   x    x  f   x   x  Suy f  x   f 1  0, x   0;       Vậy xf    yf     2x   2y  x x, y  y     Hay ln    ln     2x   2y  Suy x x y y  Mặt khác x x  y y  x x y y   2 Dấu “=” xảy x  y  Vậy giá trị nhỏ biểu thức x x  y y ĐỀ 16 Câu I x 1 (C) x 1 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số Tìm Oy điểm kẻ tiếp tuyến đến đồ thị  C  Câu II Giải phương trình: x x    x  x  Cho hàm số: y  Văn Phú Quốc ♥ 0982 333 443 www.mathvn.com quocdhsptoan@gmail.com 88 www.MATHVN.com Bộ đề ôn thi Đại học Dành cho học sinh khối 12 ôn thi vào Đại học khối A, B, D  x4  x3 y  x y   Giải hệ phương trình;   x y  x  xy  1  Câu III Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC với AB  5, C  1; 1 , đường thẳng AB có phương trình x  y   trọng tâm tam giác ABC thuộc đường thẳng x  y   Hãy tìm toạ độ điểm A B Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A  5;4;3 , B  6;7;2  x 1 y  z  d1 :   a) Viết phương trình đường thẳng d qua hai điểm A, B Chứng minh hai đường thẳng d1 d chéo b) Tìm điểm C thuộc d1 cho tam giác ABC có diện tích nhỏ Tính diện tích nhỏ Câu IV e  2ln x Tính tích phân: I   dx x  2ln x Tìm miền xác định hàm số: y  ln  82lg x  2lg x  Câu V Gọi x, y, z khoảng cách từ điểm M thuộc miền tam giác ABC có góc nhọn đến cạnh BC, CA, AB Chứng minh rằng: a2  b2  c2 x y z , a, b, c độ dài cạnh tam giác, R bán 2R kính đường trịn ngoại tiếp Dấu “=” xảy nào?   Giải phương trình: 3log  x  x  2log x HƯỚNG DẪN GIẢI Câu I Học sinh tự giải Lấy M  0; a   Oy Đường thẳng  qua M với hệ số góc k có phương trình: y  kx  a  tiếp xúc với  C  hệ sau có nghiệm: Văn Phú Quốc ♥ 0982 333 443 www.mathvn.com quocdhsptoan@gmail.com 89 www.MATHVN.com Bộ đề ôn thi Đại học Dành cho học sinh khối 12 ôn thi vào Đại học khối A, B, D  x 1  x   kx  a   2 k    x  1  1 2 Thay (2) vào (1), ta được: x  x 1 2   xa 2 x   x  1  x   2 x  a  x  1  x     a  1 x   a  1 x  a    Ta xét khả sau đây:  3 + Nếu a  , phương trình (3) thành: 4 x    x   Suy từ M  0;1 kẻ tiếp tuyến đến (C) + Nếu a  1, để từ M kẻ tiếp tuyến đến (C) phương trình (3) phải có nghiệm kép khác có hai nghiệm phân biệt có nghiệm       a  1   a  1 a  1       a  1  x  2  a  1  a  1  a 1         a  1   a  1 a  1         a  1   a  1  a     2     2  a  1    a  3   a  1  M  0; 1 2  a  1    2   Vậy từ điểm M  0;1 , M  0; 1 kẻ tiếp tuyến đến  C  Câu II Điều kiện: 1  x    Đặt u   x;1 , v  x  1;  x    Ta có; uv  x x    x u v  x   Văn Phú Quốc  ♥ 0982 333 443 www.mathvn.com quocdhsptoan@gmail.com 90 www.MATHVN.com Bộ đề ôn thi Đại học Dành cho học sinh khối 12 ôn thi vào Đại học khối A, B, D    Suy ra: uv  u v Dấu “=” xảy x  k x     x 1  u  kv , k >  1  k  x   x 1  k    Vậy x  1, x = 1+ nghiệm phương trình cho Nhận xét: x  khơng phải nghiệm phương trình Vì x  Ta có: x  x y    x  xy   x y Đặt u   x  xy , v = x y Hệ cho thành: u  1  u  v   v  u  v      u  u  v  1 u  u      v  3   x    x  xy  1   y   u  1  + Nếu      x  1 v0 x y0      y       x  xy   x  x  u   + Nếu    ( Vô nghiệm)  x y  3  v  3  y    x3  Vậy tập hợp nghiệm hệ phương trình là: S  1;0  ,  1;0  Câu III Vì G trọng tâm tam giác ABC nên x A  xB  xC  x A  xB   xG y A  y B  yC  y A  y B   yG G thuộc đường thẳng x  y   Suy x A  y A  xB  yB    xG  yG   3.2  Lại A, B thuộc đường thẳng x  y   nên  y  y B  2  x A  y A  xB  yB   y A  y A   yB  y B   A  x A  xB  10 2 Mặt khác AB    x A  xB    y A  y B   Văn Phú Quốc ♥ 0982 333 443 www.mathvn.com quocdhsptoan@gmail.com 91 www.MATHVN.com Bộ đề ôn thi Đại học Dành cho học sinh khối 12 ôn thi vào Đại học khối A, B, D Nhưng x A   y A , x B   yB nên x A  xB   yB  y A  2 Suy  x A  xB    y A  yB    y A  y B    y A  yB   y  y B  1 Vậy   A  y A  y B  2  y A  y B  Giải hệ phương trình ta suy 1 3 3 1     A  4;   , B  6;   A  6;   , B  4;   2 2 2 2     Văn Phú Quốc ♥ 0982 333 443 www.mathvn.com quocdhsptoan@gmail.com 92 www.MATHVN.com Bộ đề ôn thi Đại học Dành cho học sinh khối 12 ôn thi vào Đại học khối A, B, D   a) Đường thẳng d qua A  5;4;3 nhận AB  1;3; 1 làm vectơ phương nên có phương trình tham số: x   t   y   3t z   t   Đường thẳng d1 qua M 1;2;3 nhận u   2;3;1 làm vectơ phương    3 1 2 3  Ta có: u; AB    ; ;    6;3;3  ; MA   4; 2;0     1 1 1      Suy ra: u; AB  MA  18  Vậy d1 d không đồng phẳng   b) C  d1  C 1  2t ;2  3t;3  t    AC   2t  4;3t  2; t      1 1 1   AB; AC    ; ;    6t  2; 3t  4; 3t  10     3t  t t 2t  2t  3t   S ABC      AB; AC    2  6t   2   3t     3t  10  1 66 54t  108t  120  54  t  1  66  2 66 Dấu “=” xảy t = Vậy MinS ABC  C  3;5;4   Câu IV Đặt t   2ln x  t   2ln x  tdt    t  1 dx x 2  t3  10 11 Khi đó: I   tdt     t  dt   4t    2 t 1 3  1 Hàm số xác định  x   x  2  lg x lg x     2lg x 2lg x   2lg x      42lg x      x  x     9 2lg x   lg x  2  2 9  2  lg x     lg x   Văn Phú Quốc ♥ 0982 333 443 www.mathvn.com quocdhsptoan@gmail.com 93 www.MATHVN.com Bộ đề ôn thi Đại học Dành cho học sinh khối 12 ôn thi vào Đại học khối A, B, D x  x     x  100 lg x   x  100  Vậy miền xác định hàm số cho là: D  100;   Câu V 1 1 Ta có: x  y  z  ax  by  cz a b c 1 1 1 1  1  abc       ax  by  cz       2S      = a b c a b c  a b c  2R ab  bc  ca a  b2  c2 =  2R 2R (đpcm) Điều kiện: x > Đặt x  1212 y Phương trình cho thành: 3log 1  26 y  24 y   12 y  log 1  26 y  24 y   y   26 y  24 y  34 y y y y    64   16    64  16  81           (*)  81   81   81  Nhận xét: Phương trình (*) có nghiệm y  VT(*) tổng hàm nghịch biến nên hàm nghịch biến, VP(*) hàm Do y = nghiệm phương trình (*) Với y  ta suy x  4096 Vậy phương trình cho có nghiệm x  4096 y Văn Phú Quốc y y ♥ 0982 333 443 www.mathvn.com quocdhsptoan@gmail.com 94 www.MATHVN.com Bộ đề ôn thi Đại học Dành cho học sinh khối 12 ôn thi vào Đại học khối A, B, D ĐỀ 17 Câu I x3 (C) x 1 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số Tìm đường thẳng y  x  điểm kẻ tiếp tuyến đến (C) Câu II Cho hàm số: y   Giải phương trình: 2cos x  sin x cos x   sin x  cos x   x  x  x   y 1   Giải hệ phương trình:   x, y    y  y  y   x 1    Câu III Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn  C  : x  y  Tìm giá trị thực m để đường thẳng y  m tồn hai điểm mà từ kẻ tiếp tuyến với (C) cho góc hai tiếp tuyến 600 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng  P  có phương trình x3 y z 5 x  y  z   , đường thẳng d có phương trình   ba điểm A  4;0;3 , B  1; 1;3 , C  3;2;6  a) Viết phương trình mặt cầu (S) qua ba điểm A, B, C có tâm thuộc mặt phẳng (P) b) Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa đường thẳng d cắt mặt cầu (S) theo đường trịn có bán kính lớn Câu IV Trong mặt phẳng Oxy, tính diện tích hình phẳng giới hạn đường y  x2 , y =  x z2 Giải phương trình sau tập số phức C: z  z   z   Câu V Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi ; hai đường chéo AC = 3a , BD = 2a cắt O; hai mặt phẳng (SAC) (SBD) vng góc với mặt phẳng (ABCD) Biết khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (SAB) Văn Phú Quốc a Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a ♥ 0982 333 443 www.mathvn.com quocdhsptoan@gmail.com 95 www.MATHVN.com Bộ đề ôn thi Đại học Dành cho học sinh khối 12 ôn thi vào Đại học khối A, B, D Cho a, b, c  a  b  c  Tìm giá trị nhỏ biểu thức a3 b3 c3 P    b2  c2  a2 HƯỚNG DẪN GIẢI Câu I Học sinh tự giải + Lấy A  a;2a  1   C  + Đường thẳng  qua A với hệ số góc k có phương trình: y  k  x  a   2a  + Đường thẳng  tiếp xúc với A hệ sau có nghiệm: x 3 1  x   k  x  a   2a    4 k   2   x  1  Thay (2) vào (1), ta được: x3 4   x  a   2a  x   x  1 x     x  3 x  1  4  x  a    2a  1 x  1   x    ax   a   x  3a      + Nếu a  phương trình (3) thành 4 x    x   Do từ M  0;1 kẻ tiếp tuyến đến (C) + Nếu a  để kẻ tiếp tuyến đến (C) - Phương trình (3) có nghiệm kép khác    2    a  1   a    a  3a    2  a  a        a2 a  2   x  a  a   a    Do từ điểm M  1; 1 , M  2;5 kẻ đến (C) tiếp tuyến - Phương trình (3) có hai nghiệm phân biệt, có nghiệm x =1 Văn Phú Quốc ♥ 0982 333 443 www.mathvn.com quocdhsptoan@gmail.com 96 www.MATHVN.com Bộ đề ôn thi Đại học Dành cho học sinh khối 12 ôn thi vào Đại học khối A, B, D  2  a  a           a 1 a   a    3a   2a     Do từ M 1;3 kẻ tiếp tuyến đến (C) Vậy từ điểm M có toạ độ  1; 1 ,  0;1 , 1;3 ,  2;5 kẻ tiếp tuyến đến (C) Câu II Phương trình cho tương đương với   cos x  sin x  sin x  cos x  1  1  3    cos x  sin x    sin x  cos x  2 2  2            2cos  x    6cos  x     cos  x    3cos  x   3 6 3 6        cos  x           2cos  x    3cos  x      6 6      cos  x         Loại nghiệm cos  x    6     2  Ta có: cos  x     x    k  x   k  k    6  Đặt u  x  , v = y-1 u  u   5v  Hệ phương trình cho thành:  v  v   5u  Xét hàm số: f  t   t  t  f  t    t  t2 1  t t2 1 t2 1 Vậy f  t  đồng biến   t t t2 1  t Nếu u  v f  u   f  v   5v  5u  v  u Do u  v 1  5u  Hệ phương trình tương đương với  u  v  Văn Phú Quốc  ♥ 0982 333 443 www.mathvn.com u2   u  quocdhsptoan@gmail.com 97 www.MATHVN.com Bộ đề ôn thi Đại học Đặt g  u   5u  Dành cho học sinh khối 12 ôn thi vào Đại học khối A, B, D u2   u   u  u   u  5u   1  u 1     5u u   u  ln    u   u2 1   Vậy g  u  đồng biến  Ta có: g   u   5u ln     Từ g    ta suy 5u   u2   u   u  Suy u  v  hay x  y  Vậy x  y  nghiệm phương trình cho Câu III Đường trịn  C  có tâm O  0;0  , bán kính R  Giả sử đường thẳng y  m tồn hai điểm P, P từ điểm kẻ hai tiếp tuyến đến (C) Dễ thấy P P đối xứng qua trục Oy Gọi A, B tiếp điểm hai tiếp tuyến kẻ từ P tới (C) ta có   600   1200 APB APB 0 Nếu   60   30  OP  2OA  Vậy đường thẳng y  m APB APO phải cắt đường tròn  C1  tâm O  0;0  , bán kính R1  tức m phải thoả mãn điều kiện 2  m  (1) OA Nếu   1200   600  OP  APB APO   sin 60 3 Vậy đường thẳng y = m phải khơng cắt đường trịn  C2  tâm O, bán kính 2 tức m   (2) R2  m 3 Kết hợp (1) (2) ta tập hợp giá trị m cho cho đường thẳng y  m tồn hai điểm mà từ điểm kẻ hai tiếp tuyến đến đường trịn (C) với góc tiếp tuyến 600 là: 2 2  m     m  3 a) Gọi toạ độ tâm I  x; y; z  Vì mặt cầu (S) qua điểm A, B, C nên IA  IB  IC hay 2 2 2 2  x    y   z  3   x  1   y  1   z  3   x  3   y     z   5 x  y  Rút gọn ta thu hệ phương trình   x  y  z  19 Văn Phú Quốc ♥ 0982 333 443 www.mathvn.com quocdhsptoan@gmail.com 98 www.MATHVN.com Bộ đề ôn thi Đại học Dành cho học sinh khối 12 ôn thi vào Đại học khối A, B, D Vì I   P  nên x  y  z  1 5 x  y   Vậy x, y, z nghiệm hệ  x  y  z  19  x  y  z  1  Giải hệ phương trình ta x  , y = 2, z =   1 Bán kính mặt cầu R  IA  2        3  13 2 Phương trình mặt cầu (S) cần tìm là:  x  1   y     z    13 b) Giao tuyến (Q) (S) đường trịn có bán kính lớn (Q) chứa tâm I mặt cầu (S) (Q) lại chứa đường thẳng d nên vectơ pháp   tuyến n (Q) vuông góc với vectơ phương u đồng thời vng góc với     vectơ IM , M  3;0; 5   d , IM   2; 2; 8      IM ; u    70; 18;22    35; 9;11   Mặt phẳng (Q) chứa điểm I đường thẳng d nên có vectơ pháp tuyến  n   35; 9;11 Phương trình mặt phẳng (Q): 35  x  1   y    11 z  3   35 x  y  11z  50  Câu IV Phương trình đường cong y   x phương trình nửa đường trịn tâm O  0;0  bán kính R   y   Phương trình y  x phương trình Parabol có đỉnh O  0;0  Phương trình hồnh độ giao điểm chúng là:  x  x  x  1  y  Gọi S diện tích hình phẳng cần tìm Ta có: S   1  2  2  x  x dx    x dx   x dx    x dx  1 1 Đặt I    x dx Ta tính tích phân sau:   Đặt x  sin t , t  0;   4   I    2sin t cos tdt   cos tdt Văn Phú Quốc ♥ 0982 333 443 www.mathvn.com quocdhsptoan@gmail.com 99 www.MATHVN.com Bộ đề ôn thi Đại học Dành cho học sinh khối 12 ôn thi vào Đại học khối A, B, D    4    1  cos 2t  dt   t  sin 2t     0   Vậy S      3 Nhận xét z=0 khơng nghiệm phương trình cho Vậy z  1 )  ( z  )   (1) z z 1 Đặt t  z  Khi t  z    z   t  z z z Phương trình (1) có dạng : t2-t+  (2)     9  9i 2  3i  3i PT (2) có nghiệm t= ,t= 2  3i 1  3i + Với t= ta có z    z  (1  3i) z   (3) z Có   (1  3i )  16   6i   6i  i  (3  i) (1  3i )  (3  i) (1  3i )  (3  i ) i  PT(3) có nghiệm : z = 1 i , z =  4  3i 1  3i + Với t= ta có z    z  (1  3i ) z   (4) z Có   (1  3i)  16   6i   6i  i  (3  i) (1  3i)  (3  i ) (1  3i)  (3  i)  i  PT(4) có nghiệm : z =   i ,z=  4 i 1  i 1 Vậy PT cho có nghiệm : z = 1+i ; z =  i ; z = ; z= 2 Chia hai vế PT cho cho z2 ta : ( z  Câu V S I D A 3a O H C Văn Phú Quốc a K B ♥ 0982 333 443 www.mathvn.com quocdhsptoan@gmail.com 100 www.MATHVN.com Bộ đề ôn thi Đại học Dành cho học sinh khối 12 ôn thi vào Đại học khối A, B, D Từ giả thiết AC = 2a ; BD = 2a AC ,BD vng góc với trung điểm O đường chéo  Ta có tam giác ABO vng O AO = a ; BO = a , ABD  600 hay tam giác ABD Từ giả thiết hai mặt phẳng (SAC) (SBD) vng góc với mặt phẳng (ABCD)nên giao tuyến chúng SO  (ABCD) Do tam giác ABD nên với H trung điểm AB, K trung điểm HB ta có DH  AB DH = a ; OK // DH OK  DH  a  OK  AB  AB  (SOK) Gọi I hình chiếu O lên SK ta có OI  SK; AB  OI  OI  (SAB) , hay OI khoảng cách từ O đến mặt phẳng (SAB) Tam giác SOK vuông O, OI đường cao  1 a    SO  2 OI OK SO Diện tích đáy S ABCD  4S ABO  2.OA.OB  3a ; a đường cao hình chóp SO  Thể tích khối chóp S.ABCD: 3a VS ABC D  S ABCD SO  3 Ta có: P    P   b2 a3 1 b2 P  2  c2  b3  b2  a2  b2  c2   c2   b2  c3  a2 b3  c2   a2 b2  c2   c2 1 a2 a6 b6 c6  33  33  33 16 16 16 2 1 a2 1 a2 3  P  (a  b  c )  2 23 2  c3 a3 2   2  2  Để PMin a = b = c = Văn Phú Quốc ♥ 0982 333 443 www.mathvn.com quocdhsptoan@gmail.com 101 ... DẪN GIẢI Câu I Văn Phú Quốc ♥ 0982 333 443 www.mathvn.com quocdhsptoan@gmail.com 12 www.MATHVN.com Bộ đề ôn thi Đại học Dành cho học sinh khối 12 ôn thi vào Đại học khối A, B, D Bạn đọc tự giải. .. www.MATHVN.com Bộ đề ôn thi Đại học Dành cho học sinh khối 12 ôn thi vào Đại học khối A, B, D Câu II Giải phương trình:   x  x    2x   x  10x  34x  40  x2   x  y   Giải hệ phương... www.MATHVN.com Bộ đề ôn thi Đại học Dành cho học sinh khối 12 ôn thi vào Đại học khối A, B, D sin a  sin b  sin c  Dấu xảy   cosa  cos b  cos c  ĐỀ Câu I x 1 C x 1 Khảo sát biến thi? ?n vẽ