30 đề luyện thi đại học môn toán - giới thiệu các đề thi thử và dự bị -part1

Trang 3

a “tAU TRUC CUA MOT DE THI TUYEN SINH

: : DAI HOC, CAO DANG

Theo phương thức mới thì để thi của Bơ GID & ĐT cĩ cấu trúc:

1 DE thi gom 70 kiến thức thuộc lớp 12 và 30% kiến thức thuộc lớp 10 và

lớp 11

2 Mỗi đế thị thơng thường cĩ 1U câu, mỗi câu được | điểm và được phân phối

nhu sau:

Các đé thi từ nâm 2006 — 2008 cĩ cấu trúc

Cau I (2 điểm): ' Hàm số và các bài tốn liền quản, cụ thể:

| (l điểm): Khảo sát sự biển thiên và về đĩ thị hàm so

3 (1 điểm): Hài tốn liên quan tới hàm xổ

Cau Il (2 điểm): Đai số và lương giác

| (l1 điểm): Giải phương trình hoặc hè lương giác

3 (1 điểm): Giải phương trình hoặc hệ đại sơ Cau lHI (2 điểm): Phương pháp toa độ trong khơng giản

Câu ÏV (2 điểm)

I (1 điểm): Các bài tốn liên quan đến nguyên hàm và tích phân

3 (1 điểm): Các bài tốn về bất đẳng thức, giá trì lớn nhất và nhỏ

nhất của hàm xổ

Câu V (2 điểm):

Theo chương trình THPT khĩng phản ban

\ (1 điểm): Phương pháp toa đơ trong mắt phẳng

2 (1điểm): Tơ hợp và xác suất

Theo chương trình THPT phan ban

I (1 điểm): Phương trình, bắt phương trình, hệ mũ và lơgarit

3 (1 điểm): llinh hockhơng gian Cac dé thi tit nam 2009 cĩ câu trúc

Câu | (2 điểm): Hầm xổ và các bài tốn liên quan, cu thé:

z 1 (1 diém): Khao sát sự biển thiên và vẽ đĩ thị hàm số

3 (1 điểm): Hài tốn liên quan tới hàm số

Cau Il (2 điểm): Đai số và lượng giác

Trang 4

Caw III (l điểm): Cúc bài tốn liên quan đến nguyên hàm và tích phân

a CaulV (1 điểm): Hình hoc khơng gian (thuộc kiến thức lớp 12)

v _Câu V (1 điểm): Các bài tốn vé bất đảng thức, giá trị lớn nhất và nhỏ

si nhật của hàm số

Theo chương trình THPT chuẩn

Cau VI (2 điểm)

| (1 điểm): Phương pháp toạ độ trong mật phẳng

2 (1 điểm): Phương pháp toạ độ trong khơng giản Cau VII (1 diém): SO phic

Theo chuong trinh THPT nang cao Cau VI (2 diém)

| (1 điểm): Phương pháp toa đơ trong mat phang 2 (l1 điểm): Phương pháp toa độ trong khơng gian

Câu VHỊ (1 điểm): Các bài tốn chỉ cĩ trong chương trình nâng cao

Để thực hiện tốt bài thị của bản thân các em học sinh cĩ thể tham khảo kinh nghiém sau:

| Đọc để thị thật kỹ, tối thiếu ba lắn (dành từ 10 đến 25 phút):

Lán đọc thứ nhất: Đọc chậm từ trên xuống với mục dich gắng ghi nhớ tồn bộ nội dung của đề thị

Lan doc tit hat: Doe cham từ trên xuống, và:

a Khi gap bdi tốn chắc chấn giải được, hãy khẳng định nĩ thuộc dạng tốn gì

và các bước để thực hiện nĩ (ghi ra nháp) Thí dụ với câu “Kháo sát sự biển

N,

+ * - 4 * * , x =

thiên và về đĩ thị hàm sở ý = : ” các em học sinh sẽ nhận thay ngay

rằng nĩ thuộc đạng tốn “Khao sat sit bién thién va vé dé thi ham sé bac hai

trên bác nhát” và để cĩ lời giải đúng cắn thực hiện theo các bước sau:

Bước I: Miến xác định D= 3NO|

Bước 2: ‘Vinh dao ham y', rối kết luân về tính đơn điêu và cưc trị (nếu cĩ) của đĩ thị hàm số

Bước 3: Xác dịnh tiệm cận dimg và tiêm cận xiên (bảng phép chia da thức TS cho MS) của đồ thị

Bước 4: Làp bảng biến thiên

Bước 5: Vẻ dĩ,thị hàm số dưa trên lý VỆ kh tổng kết (cĩ thể cần lấy thêm

WV Se {i eS eee PI th vé ng

Trang 5

« * «

si b_ KĨu gáp bái tốn chưa chắc chắn giải được, cho đù đã định hình được nĩ

* thước mời dạng tốn lứa nào đĩ thì hãy nhìn nhân lại đấu bài rĩi thực hiện một vài phép thử ra nháp để đưa ra lời kết |uí dụ với bài tốn:

" =

[a0 “Lim cae ngluém thuoc (0; 22) cua phương trình:

cos 3x + sin tx —_— - ) = COX2X +3 ` ” 3sin 3X

S(sinx +

các em học sinh sé nhan thay ngay rang can thuc hien theo các bude:

Bước Ì: - tật điều kien cĩ nghĩa cho phương trình

Bước 2: { ưa chọn phép biến đối lưng giác phù hợp để chuyển phương trình bạn đầu về dạng phương trình lượng giác cơ bản, từ đĩ nhân

được nghiếm cho phương trình theo ke 2

Bước 3: _'[luêi lập diều kiện cho nghiệm xe |Ú, 3| => giá trị k => nghiện)

Tuy nhiền, việc thực luên bước 2 là khơng chắc chân, do đĩ cấn một vài

phép biến đối ra nhấp theo bà định hướng sau:

® - Chuyển đồi phân sơ, với nhân xét:

COXÄX + sind x = 4cos'X — 3cosx + 3sinx ~ dSin`X

= 4(CON X — SH X) — Ÿ(COSX ~= SHIX) = (CONN ~= wnX)[-(Í + cosx.nx) — 3| = (COSX = SI1XX Ì + 2sH12X) cos 3x + sin ŸXx › = COSY — SIX 1+ Jem 2x

Khi đĩ, phương trình được chuyển về đang:

Š(sIIX + COSX — SINX) = COS2X + 3 <> Jeos’x -— Scosx + 2 = 0,

Tới dây, các em học sinh đừng lại vì đã chân chắc thực hiện được tiếp © Thue hiện phép quy đống cuc bo, cu the:

costx #sin ty sink = (cos x - cos x) + cos 3x + + sin ix SINX + —= - ————— 1+ 2sin 2x 1 + 2sin2x sin & + COS% + sin ỀX 2sin 2% COSX + COSX = 2 = CX, l+2sin 2x 1+ 2sin 2x Khi đĩ, phương trình được chuyên về đang:

Scosx = cos?x + 3 © 2cos”/x - 5cosx + 2= 0

Ton day, cue em hoe sinh dừng lạt vì đã chân chắc thực hiện được tiếp

s Thực hiện phép quy đĩng tồn bộ đẻ khử mâu

Trang 6

“ Lan doé slut ba: Doe cham tir trén xudng, va kiém tra lai tính đúng đắn cho những bài tốn 1ã chắc chân giải đướœ, cơng việc này sẽ giúp các em học sinh loại bỏ

ỨŒ những suy nghĩ chủ quan hộc thiếu sĩt khơng g đáng cĩ Với bài tốn chưa agit định tướng được cách giải trong lấn doe thir har, rated thé ten Min doe nay ede em

về phat hien ra được ý tưởng để thực hiện nĩ, nêu dược như vậy thi hay ghi ngay ra nhấp, cịn khơng lại tiếp tục bị quá

2 Ghi lời giải chỉ tiết các bài tốn đã chắc chan giải được vào gidy thi, Trong thời gian này cde em hoe sinh cAn Mp trung cao do và đừng bản khoản vé những bài

tốn chưa giải được Tuy nhiền, do đã phì nhận được nội dung của các bài tốn

chưa giải được vào não bố và phương thức hoạt dong da nhiệm của nĩ nên hồn

tồn cĩ thể xảy ra trường hợp các em chợt nhân thay rang bai todn đĩ thuộc mơi dạng đã gâp hoặc cĩ được một phương pháp dể tháo gỡ vướng mắc sau lấn dọc

thứ ba nếu như vậy hãy ghi nhắn tắt cả ra nhấp rồi tiếp tục quay lại với bài thì 3 Sau khi đảm bảo được tính dung dan cho lời giải trong giấy thị thì mới quay lại

nháp cho những bài tốn chưa giải được

4 Cấn loại bỏ suy nghĩ phải giát được đến cùng mới phí vào bài thị, bởi cho dù mỗi câu hỏi được Ì điểm nhưng vì nĩ được chấm theo thang điểm 0.25, tức là làm đúng đến đâu các em sẽ nhân được điểm đến đĩ, do vậy hãy cứ phí nhân chúng vào bài

làm của mình

Thí du với càu:

“Mic dinh wm để hàm số ý = X' = 3mX” + 3m + mì cĩ các điểm cực đại, cực

tiến lập thành mot tam giác đếu”,

khi nhân thấy nĩ thuộc dang tốn ”J huộc tính của các điểm cức trị” và sẽ phải thuc hien theo cde bude:

Buéc il: Mién xacdinh D= =

Bude 2: (Lim diéu kiện đẻ hàm vo cĩ ba cức 1) ‘Vinh dao ham VÌ, thiết

lắp phương trình v' = Ơ), (1)

Để hàm số cĩ bạ cực trị điều Kiến là phương trình (1) cĩ ) ha

nghicn plain biết, `

Bude 3: (Lim dieu kien dé ba cue trì lập thành tơi tam giác đếu) Cua sự

chưa hiết cách làm

Các cm cũng gìn nhận lời piát của bước 1, bude 2 vio bai thi, cu the:

Trang 7

a⁄/ ee eee ee ee eer ee

bao giờ, trong trường hợp này đừng vội kết luận inình khơng giải được mà hãy nghĩ ; phường pháp phân tích để chia nhỏ bài tốn thành những bài tốn con (bài tốn

wee 0.25-diém) va trong s6 chiing rat cĩ thể các emn biết cách giải quyết#)6 chính là bí quyết để nhận được điểm tối da từ mơt bài tốn lớn khơng giải được

Thí du với câu:

"Tinh tich phan l= | jy

1X +

rất nhiều học sinh sẻ thấy lúng túng bởi:

s8 - Nĩ khơng thuộc dạng nguyên hàm cơ bản

® - Khơng thể sử dung phương pháp đổi biến

® Khong thé st dung phương pháp tích phân từng phần

Và việc vân dụng phương pháp phân tích vào dây sẽ giúp các em cĩ đượœ một phần

điểm hoặc nhận được điểm tối da vì đã tùm ra được lời giải hồn chỉnh của nĩ Cụ thể: s8 - Chia nhĩ Ì thành hai tích phân Ï, và Ï; như sau: dx ) sin x.dx [= f : + f : k ix° +1 ,;x° +i —_—_—_— so" —_—_—_ l, lạ

® - Tới đây hấu hết các em đếu cĩ thể tính được l, bằng phép đổi biến x = tant

(đã được học trong sgk), như vậy sẽ nhận được (0.5 điểm

® - Với tích phân Ï, nĩ thuộc dạng cơ bản “Vinh tích phản [f(xxix với f(x) tà

hàm số le" ta sử dụng phép đổi biến x = - t

6 Cuối cùng, các em học sinh cần biết rằng:

® Do khong nhất thiết phải thực hiện đề thị theo thứ tự nên bài tốn nào chắc

chân giải được các em nẻn thực hiện trước

® Mỗi bài tốn được châm theo thang điểm tối thiểu là Ơ.25 điểm nên khi hiểu tới đâu thì các em cứ trình bày vào bài thị

Xin chúc các em thành cong!

NHĨM CỰ MƠN - LÊ HỒNG ĐỨC

CỨNG TẬP THỂ GIÁO VIÊN TRƯỜNG QUỐC TẾ NEWTON - HA NOI

Trang 8

Di LUYỆN THỊ MƠN TỐN — đố 1

PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH

Câu I: (2 điểm): Cho hài

1 Khao sat sự biến thiên

In sO:

- 3 2

y=4x `- Đx + l re)

và vẽ đồ thị hàm số (1)

2 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1), biết rằng tiếp tuyến

đĩ đi qua điểm M(-l;

CâuHI: (2 điểm) -9)

1 Tìm các nghiệm thuộệ [0; 2z] của phương trình:

5(sinx + Ÿ S5 ESInSS ) = cos2x + 3 1+2sin2x 2 Giai hé phuong trinh: | {x-y shjx~y x+y=dx+y+2 Câu IH: a điểm): Tính điện tích hình phẳng giới hạn bởi: ys |x?~ Câu IV: (1 điểm): Cho thứ tự là trùng điểm SB, (AMN) và (SBC) vuơng g CâuV: (1 điểm): Chứng x(x + y + z) = 3yz, ta cĩ: (x+y)+

PHAN RIENG (3.0 diém)

Thi sinh duoc A Theo chuong trinh hà Câu VỊ a (2 điểm) 1 Cho hình chữ nhật A x —2y+2=0 va AB cĩ hồnh độ âm Trong khơng gian Q mặt phẳng: 2

(P,): x - hx +3| va y=x+3 h chĩp đều SABC, cạnh đáy bằng a Gọi M, N theo

C Tính diện tích AAMN theo a biết hai mặt phẳng

c với nhau

minh rằng với mọi số thực dương x, y, z thoả mãn

x#+Z`+3x + y)(x + 2(y + 2) <5(y + 2 m một trong hai phần (phần A hoặc B)

uẩn

BCD cĩ tâm I(1/2; 0), cạnh AB cĩ phương trình = 2AD Xác định toạ độ các đỉnh A, B, C, D biết A

yz, cho đường thẳng (A,) là giao tuyến của hai

+Z~—4=0 và Œ;): x + 2y - 2z + 4=0

Trang 9

và đường thẳng (A;) cĩ phương trình:

x=l*+t

(A):4y=2+t,teR

z=l+2t

Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa (A,) và song song với (A;) Câu VII.a (1 điểm): Cho khai triển:

x-l x xa x-l X

2? #2?) Q2)" + C2292 3)+ + CR(2 3)"

Biết rằng C} =5C) và số hạng thứ tư bằng 20n Xác định n, x

B Theo chương trình Nâng cao

Câu VI b (2 điểm)

1 Trong mặt phẳng Oxy, cho AABC vuơng tại A, biết phương trình cạnh BClà V3x- y- V3 =0,diém A, B thuộc trục hồnh Xác định toạ độ

trọng tâm G của AABC, biết rằng bán kính đường trịn nội tiếp AABC bằng 2 2 Trong khơng gian Oxyz, cho điểm M2; I; 4) và đường thẳng (A) cĩ phương trình: x=l+t (A):;y=2+t,te R z=l+2t

Tìm toạ độ điểm H thuộc (A) sao cho độ dài MH ngắn nhất

Câu VII.b (1 điểm): Giải phương trình: log; x + Vlog;x+1 -5=0 DANH GIA VA DINH HUONG THUC HIEN Cau I 1 Với hàm gố: y = f(x) = ax` + bx? + cx + d, với a0 ta lần lượt cĩ: a Tập xác định D = lR

b Sự biến thiên của hàm số:

" Giới hạn của hàm số tại vơ cực:

limy= lim ax + 2 4% 4 ya] te Khta> 0

Bee ee ax ax” ax" —œ khi a<0

Trang 10

= Bang bién thién:

y'=3ax?+2bx+c, y'=0 <> 3ax’+ 2bx+c=0 Lap bang bién thién: X_|-0 +00 y y Dựa vào bảng biến thiên đưa ra kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến và cực trị của hàm số " Điểm uốn: y" = 6ax + 2b, y" = 0 6ax42b=05x=-2 3a Vì y" đổi dấu khi x qua điểm ¬ nên đồ thị hàm số cĩ một điểm a uốn (-2: K2) , 3a 3a

c Đồ thị: Do cĩ bốn trường hợp khác nhau về chiều biến thiên nên đồ

thị của hàm bậc ba cĩ bốn dạng sau đây:

Với a>0 Với a <0

Trang 11

Tinh chat 3: Tính chất 4: Tính chất 5: Tính chất 6: 12 Hàm số cĩ cực đại, cực tiểu ©A'=bỶ- 3ac >0

Để tìm giá trị cực trị của hàm số tại điểm xụ trong trường hợp

xu là số lẻ, thực hiện phép chia đa thức y cho y' ta được:

= y'.g(x) + h(x)

Suy ra:

Yo = ¥Ko) = Y' Ko) (Xo) + MCX) = HE)

Khi đĩ, "Phương trình đường thẳng đi qua cực đại và cực tiểu

của đồ thị hàm số cĩ dạng y= h(x)”

Đồ thị nhận điểm uốn U làm tâm đối xứng

That vậy, dời trục bằng phép tịnh tiến về gdc U(X, yo), trong do: b Xạọ=——— ja Y) =ax) + bx, +cx, +d theo cơng thức dời trục là: we =X+X, xSY+y Thay x, y vao phương trình hàm số ta được: Y+y,=aQ@X + xụ)` + bX + xu)” + c(X + xụ) + d <> Y =aX' + 9(x,)X

Ham số này là hàm lẻ nên đồ thị nhận U làm tâm đối xứng

Tiếp tuyến tại điểm uốn của đồ thị hàm số cĩ hệ số gĩc nhỏ nhất nếu a >0 và hệ số gĩc lớn nhất nếu a < 0 trong các tiếp tuyến của đồ thị Thật vậy, ta cĩ: y'= 3ax” + 2bx + C, suy ra hệ số gĩc của tiếp tuyến tại x = xụ là: ? 3 k=y@)= 3axi+ 2bxy +c = 4a( +2) „ 3ac b ; 3a 3a 2 s@ Với SOc = 2 3a Brakes i ge 8 2

Mà y"= 6ax + 2b niên xụ= — = chính là hồnh độ điểm uốn, a

từ đĩ suy ra điều phải chứng minh

Nếu đồ thị cắt trục hồnh tại ba điểm cách đều nhau thì điểm

uốn nằm trên trục hồnh

Trang 12

Thật vậy, hồnh độ giao điểm của đồ thị hàm số với Ox là

nghiệm của phương trình:

f(x) = ax + bx”+cx+d =0 qd)

= D6 thi ham s6 cat Ox tại ba điểm A, B, C cách déu nhau

© (1) cĩ ba nghiệm phân biệt x, < x; < x; thoả mãn X, +X; 2 =x 2 EXKPF x, = 2x) (2) " Mặt khác theo định lí Vị - ét ta cĩ: b Xi+Xạ+Xạ= —T— (3) a = Tir (2) va (3) suy ra % arb và vì f(x;¿) = 0 © Py =0 3a 3a = Taco: y' = 3ax’ + 2bx; b y"=6ax+2b,y"=0€©x= - —, 3a đĩ là hồnh độ điểm uốn U của đồ thị hàm số, mà CC) =0, a b suy ra U( - —, 0)€Ox 3a

Chú ý: Kết quả trên cho ta điều kiện cần để đồ thị hàm bậc ba cắt trục hồnh tại ba điểm cách đều nhau (hoặc “đồ thị hàm số cắt trục hồnh tại ba điển phân biệt với hồnh độ lập thành cấp số cộng ") Khi áp dụng điều kiện cần đã nêu trên, ta cần thử lại để cĩ điều kiện cần và đủ

Tính chất 7: Với phương trình bậc ba:

ax)+bx?+cx+d=0, với a#0 (1)

a Du dodn nghiém va phan tích thành nhân tử

= Néua+b+c+d=0 thi (1) c6 nghiém x = 1 = Néua—b+c-—d=Othi (1) c6 nghiém x =-1

* Néua, b,c, d nguyén va (1) c6 nghiém hiu ty © thi p,

q q theo thứ tự là ước của d va a

= Nếu (1) cĩ nghiệm x,, thi

()© (x- x¿j)\(ax” + bịx + c) =0

b Các phương pháp xác định điều kiện của tham số để

phương trình bậc ba cĩ k nghiệm phân biệt

13

Trang 13

14

Phuong phap 1: Dai so

Đốn nghiệm xạ của (1) Phân tích (1) thành: XE ẤN (x~ x¿)(ax” + b,x + c)=0<© g(x) =ax”+bix+c¡ =0 2) ý l Vậy, ta thấy: = (1) cĩ nghiệm duy nhất (khi đĩ, đồ thị hàm số cắt Ox tại một điểm) A,<0 (2)vơnghiệm 3 © |A,=0 (2)cĩ nghiệm kép xụ | 2 gŒ,)=0

" (1) cĩ đúng hai nghiệm phân biệt (khi đĩ, đồ thị hàm số tiếp xúc với Ox) (2)cĩ nghiệm kép khác xụ (2) cĩ hai nghiệm và một nghiệm là xạ \* =0 øŒX,) #0 ee : te >0 g g(x.) =0

* (1) cé ba nghiém phan biét (khi đĩ, đồ thị hàm số cắt

Ox tai ba diém phan biét)

< (2) c6 hai nghiém phan biét khac x, A, >0 -© ý zs ø(x,) #0 Phương pháp 2: Hàm số dạng Biến đổi (1) về dạng: g(x) = h(n)

Lập bảng biến thiên của hàm số y = g(x)

Trang 14

Hàm số luơn đơn điệu e Hàm số cĩ CĐ,CT thoả mãn y¿p.Yc; > 9 A,<0 ©||Ay,>0 wae >0

"_ (1) cĩ đúng hai nghiệm phân biệt

(©) cat Ox tai hai điểm ((C) tiếp xúc với Ox © Hàm số cĩ cực đại, cực tiểu và yco.Ycr = 0

y'=0c62nghiém x,,x, phan biét

1e1sttjt :

"_ (1) cĩ ba nghiệm phân biệt

ôâ Hm s c cực đại, cực tiểu và yco.Ycr <0

y'=0cĩ hai nghiệm x,, x; phân biệt

(seo :

2 Với yêu cầu "Lập phương trình tiếp tuyến với đơ thi ham số (C): y = f(x)

di qua điển A(Xu, yạ) ", ta cĩ thể lựa chọn một trong hai cách:

Cách 1: Thực hiện theo các bước:

Bước I: Giả sử hồnh độ tiếp điểm là x = xạ, khi đĩ phương trình tiếp tuyến cĩ dạng:

(đ): y =y°(/)(X~ Xu) + YG,) Œ)

Bước 2: Điểm A(x„; yA)€(đ)

> Yq = Y’(Ko)(Kq — Xo) + y(Xụ) = Xo = tiếp tuyến

Cách 2: Thực hiện theo các bước:

Bước I: Phương trình (d) đi qua A(x,; y,) c6 dang:

(d): y =k(K — Xa) + Ya-

Bước 2: (d) tiép xtic voi dé thi hàm số khi hệ sau cĩ nghiệm:

ie =kŒ—XA)+Ya f{x)=k = k= tiếp tuyến lếp tuyến

Câu II

1 Dạng tốn lượng giác kiểu này được thực hiện thơng qua các bước sau:

Bước I: Đặt điều kiện cĩ nghĩa cho phương trình

15

Trang 15

Bước 2: Lựa chọn phép biến đổi lượng giác phù hợp để chuyển phương

trình ban đầu về dạng phương trình lượng giác cơ bản, từ đĩ nhận được nghiệm cho phương trình theo k € Z

Cụ thể, với phương trình này chúng ta cân khử mẫu số và cơng

việc này thường được thực hiện theo hai hướng: (x) Hướng 1: (Khử trực tiếp): Túc với dạng tổng quát , ta cĨ biến đổi: P@&) _ P.90) Q(x) Qu)

Để cĩ được định hướng này chỉ cân khẳng định nghiệm của

phương trình Q(x) = 0 cũng là nghiệm của phương trình P(x) = 0

Và với phương trình đã cho, ta nhận thấy: 1+ 2sin2x =0 © sin2x=—3 = P(x) 2x==7+2kn x=—.~+kx = 6 © 12 „keZ Tn Tn 2x =—+2kn x=—+km 6 12 Cả hai nghiệm trên đều thoả mãn cos3x + sin3x = 0, do đĩ ta luơn cĩ: cos3x sin 3x _ P(x) 1+2sin2x Tuy nhiên, để làm được việc này các em học sinh cần biết hai cơng thức:

cos3x = 4cos*x — 3cosx,

sin3x = 3sinx — 4sin‘x

để từ đĩ cĩ phép biến đổi:

cos3x + sin3x = 4cos`x — 3cosx + 3sinx — 4sin`x = 4(cos*x — sin`x) — 3(cosx — sinx)

= (cosx — sinx)[4(1 + cosx.sinx) — 3]

= (cosx — sinx)(1 + 2sin2x)

Hướng 2: (Quy đơng cục bộ): Ta chỉ biến đổi:

Trang 16

_ cosx+(sinx+sin3x) _ cosx+2sin2x.cosx

= COSX

1+2sin2x 1+2sin2x

Bước 3: Thiết lập điều kiện cho nghiệm x e [0; 2z] => giá trị k > nghiệm

2 Đây là hệ phương trình cĩ chứa căn nên trước tiên cần đặt điều kiện cĩ nghĩa cho hệ

Tiếp theo, từ phương trình thứ nhất trong hệ ta cĩ ngay: x-y=0 SN y=x l

x-y=l y=x-l

Lần lượt thực hiện thế với y = x và y = x —.1 vào phương trình thứ hai

trong hệ ta nhận được phương trình chứa căn dạng:

_ g(x)>0

a ene (rage

Câu II Bài tốn " Tinh dién tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai

ham s6 y = f(x), y = s(x)", ta thực hiện theo các bước sau: Bước I: Xét phương trình: f(x) - g(x) = 0 => nghiệm x; < x; < < Xị Bước 2: Gọi S là diện tích cần xác định, ta cĩ: S= J f(x)~g(x) | dx = fro g6)+ ÏTGĨ- ø(x)dx + + [te- g()jdx Xe

Câu IV Đây là bài tốn thuộc kiến thức hình học khơng gian, tuy nhiên với

giả thiết S.ABC là hình chĩp đều và yêu cầu tính diện tích thiết diện vuơng gĩc do đĩ chúng ta cĩ thể lựa chọn một trong hai cách giải sau:

Cách 1: Sử dụng phương pháp toạ độ hố để chuyển bài tốn về hình

học giải tích trong khơng gian

Cách 2: Sử dụng kiến thức về hình học khơng gian (lớp L1) với:

"ˆ Diện tích tam giác được tính theo đáy và đường cao

" Diện tích thiết diện được tính thơng qua thể tích

Câu V Trước tiên, các em học sinh hãy nhìn vào bất đẳng thức cân chứng minh để khẳng định rằng nĩ được xây dựng dựa trên ba hạng tử là:

X+y,X+ZVàYy+zZ,

Như vậy, để giảm độ phức tạp của bất đẳng thức cần chứng minh chúng

ta nghĩ ngay tới việc sử dụng ba ẩn phụ:

17

Trang 17

a=x+y

b=x+z (*)

c=y+z

và khi đĩ bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:

ai + b + 3abe < 5c` © (a + b)(a? + bể — ab) + 3abc < 5cÌ (1)

Tới đây, chúng ta cần chuyển biểu thức điều kiện theo a, b, c, thì bằng

việc giải hệ (*), chúng ta sẽ nhận được: x=.(a=b+©) y=2@+b=),Z=2a+b+©) Khi đĩ, điều kiện x(x + y + Z) = 3y2 trở thành: c°=a?+bÊ—ab (2) Cơng việc cịn lại chỉ là tận dụng triệt để (2) để chứng minh (1) Câu VI.a

1 Trước tiên các em học sinh hãy vẽ hình và bắt đầu định hướng như sau:

a A, B thuộc đường thẳng (AB), chúng ta cân chỉ thêm ra A, B thuộc

một đường khác

b Vi ABCD 1a hinh chit nhat cĩ tam I nén A, B, C, D thuộc đường trịn

(I, IA), din téi việc cần tính được độ dài IA, vấn đề sẽ được giải quyết bằng việc sử dụng tam giác vuơng [HA với H là trung điểm

AB, trong đĩ:

IH =d(, (AB) => AD =2IH và AB=2AD

=AH= ° —IA = VAH? +I?

c Tới đây chúng ta cĩ thể xây dựng được các bước thực hiện bài tốn

như sau:

Bước I: Gọi H là trung điểm AB, rồi đi tinh IA

Bước 2: Nhận xétrằng ABCD nội tiếp trong đường trịn (1, IA), lập

phương trình đường tron (I, IA)

Bước 3: Vì (D O (AB) = {A, BỊ, do đĩ toạ độ A, B là nghiệm của

hệ phương trình tạo bởi Œ) và (AB), suy ra được toạ độ của

A, B Œới lưu ý đỉnh A cĩ hồnh độ âm) Bước 4: Tới đây, ta sử dụng nhận xét:

" _ VìC đối xứng với A qua I, suy ra toa độ của C

» _ Vì D đối xứng với B qua I, suy ra toạ độ của D

2 Từ giả thiết:

= Mat phang (P) chứa đường thẳng (A,) nên thuộc chùm tạo bởi (A,) = (P/(Aj)<© n, La, © ng a, =0 = giá trị tham số = phương

trình (P)

18

Trang 18

Cau VI.b

1 Ta cĩ thể lựa chọn một trong hai cách sau:

Cách 1: Đề He(A;): MH,¡„ © H là hình chiếu vuơng gĩc của M lên (A;) Đường thẳng (A;) cĩ vtcp 4, (1; 1; 2) Vì H e (A,) nên: H( +t;2+t; +20 => MHŒ- l1; 1 +t;2t— 3), MH 1 (A,) <> MH a, © MH.ä,=0 © L(t-1)+ 1.1 +t) + 2.2t-3)=0 ot=1 > HQ; 3; 3) Cách 2: Dé He(A,): MU vin <> Ha hinh chiếu vuơng gĩc của M lên (A;) © H = (Q)^(A;) trong đĩ: Iua M(2;1;4 {i MQ: Rr" 2 Qi xsys HB 690, (@)+(A,) vtpt a, (1;1;2) Bằng cách thay x, y, z từ (A;) vào (Q), ta được: t=1 => H(2; 3; 3)

Câu VỊI.b Đây là dạng phương trình lơgarit cĩ chứa căn, do đĩ nĩ được giải thơng qua các bước sau:

Bước I: Đặt điều kiện cĩ nghĩa cho phương trình

Buéc 2: Sử dụng ẩn phụ chuyển phương trình về dạng phương trình đa

thức (cần thiết lập điều kiện cho ẩn phụ)

Buéc 3: Giải phương trình với ẩn phụ, từ đĩ suy ra nghiệm của phương trình ban đầu LỒI CIẢI CHI TIẾT Câu I 1 Ta lần lượt cĩ: a Hàm số xác định trên D = ®

b Sự biến thiên của hàm số:

Trang 19

_X | =00 0 J +œ Vy] +_ Uu»z si: Đ + y 1 CHE <2 +00 —œ a co -1 ant "_ Điểm uốn: y" = 24x - 12, y"=0 @ 24x- 12-0 x= 1/2 Vì y" đổi dấu khi x qua diém 1/2 nén đồ thị hàm số cĩ một điểm uốn là I(1/2;0) c Dé thi cia hàm số

2 Ta cĩ thể trình bày theo các cách sau:

Cách 1 Giả sử hồnh độ tiếp điểm là x = xụ, khi đĩ phương trình tiếp tuyến cĩ dạng: (d): y= yŒo)(& ~ Xu) + ƠKo) â (d): y = (12 x3 — 12K, )(K — Xo) + 4x5 — 6x3 +1 @) Điểm M(-1; -9)e(d), suy raz —9 = (12 x3 — 12X,)(H1 = Xo) # 4x9 — 6x5 +1 © 6+ 4x,— 5)=0 © rn ° Wee x, =5/4 Ta lan luot:

“ Với x=—l, thay vào (1) ta được tiếp tuyén (d,): y = 24x + 15

* Voi xy = 3 „ thay vào (1) ta được tiếp tuyến (d,): y = ex us 2

Vậy, tồn tại hai tiếp tuyến (đ,), (d;) của đồ thị thoả mãn điều kiện

Cách 2: Phương trình đường thang (d) qua M(-1; -9) voi hệ số gĩc k, cĩ dang: y=k(x+1)-9 : (1) Đường thang (d) tiếp xúc với đồ thị hàm số khi hệ sau cĩ nghiệm: l ~6x?+I=k(x+l)—9 es eee 12x? -12x =k 12x? -12x =k xat 5 k=24 2h) aa x=— > 18 7 |[12x? -12x =k Ta lan lượt:

= V6ik = 24, thay vao (1) ta duge tiếp tuyến (d,): y = 24x + 15 " Vớik= m thay vào (1) ta được tiếp tuyến (đ;): y = ex - a

Vậy, tơn tại hai tiếp tuyến (đ,), (d;) của đồ thị thoả mãn điều kiện

20

Trang 20

Câu II

1 Ta cĩ thể trình bày theo các cách sau:

Cách !: Với điều kiện sin2x -5 , taco:

cos3x + sin3x = 4cos*x — 3cosx + 3sinx — 4sin*x

= 4(cos*x — sin*x) — 3(cosx — sinx)

= (cosx — sinx)[4(1 + cosx.sinx) — 3] = (cosx — sinx)(1 + 2sin2x) Khi đĩ, phượng trình cĩ dạng: 5(sinx + cosx — sinx) = 2cos’x — l + 3 & 2cos’x — 5cosx + 2 =0 cosx =2 (loại) ° 1 ox=t2 4 2kn, ke Z cos x = 5 3 > Sn vax=— Khi đĩ, các nghiệm thuộc [0; 2x] của họ x = a + 2kr là x= x z

Vậy, với x = Ễ va x= = thoả mãn điều kiện đầu bài Cách 2: Với điều kiện sin2x -5 „ ta CĨ:

cos3x+sin3x _ (1+2sin2x) sin x +cos3x +sin3x 1+2sin2x 1+2sin2x _ Sỉn x + 2sin 2x.sin x + cos3x + sin3x sinx+ 1+2sin2x _ sinx +cosx ~cos3x + cos3x +sin3x R 1+2sin2x _ cosx+(sinx+sin3x) _ cosx + 2sin 2x.cosx et 1+2sin2x — ]I+2sin2x Khi đĩ, phương trình cĩ dạng: 5cosx = cos2x + 3 © 5cosx = 2cos”x ~ Í + 3 cosx =2 (loại) <= 2cos’x — 5cosx +2 =0 © 1 ©x=+” +2kn,ke Z eka 3 = COSX

Khi đĩ, cdc nghiém thudc [0; 27] cla ho x = = + 2k7 là x= g vax = x §

Vậy, với x= Š và x= = thoả mãn điều kiện đâu bài

21

Trang 21

Cách 3: Với điều kiện sin2x # =5 „ ta biến đổi phương trình về dạng:

5[(1 + 2sin2x)sinx + cos3X + sin3x] = (cos2x + 3)(1 + 2sin2x)

& 5cosx = cos2x + 3 > Scosx = 2cos”x — | + 3

cos x = 2 (loại)

©2cos2x — Scosx +2=0 cosx => 1 ©x=‡+} +2kn,ke Z 3

i L ng x 2 H § T Sn

Khi dé, cdc nghiém thudc [0; 2x] của họ x=+~ + 2kr là x= Š vàx= a

3k We 57 5 cm msiểt gang Suy n TỰ Vậy, voix = = 3 va x= ` thoả mãn điều kiện đầu bài

2 Trước hết ta cần cĩ điều kiện: x-y20 x+y+220 Từ phương trình thứ nhất (bằng cách lấy mũ 6 hai vế) ta được: 3 x-y=0 œ~yŸ=(@œ~y)`© &~ yŸ[I= & = y)]=0 Sla-ysŸ Ta lần lượt: “_ Với x = y, thay vào phương trình thứ hải, ta được: x20 V2x+2 =2x@ 3 ©x=l=y=l 4x’ -2x-2=0 = V6ix—y = 1, thay vào phương trình thứ hai, ta được: 2x-120 V2x+1 =2x-1@ 3 Sx ayn 4x’ -6x =0 2 2

Trang 22

Khi đĩ: s S= f(x+3-[x? 4x +3))dx 0 1 2 5 = ÍCx”+5x)dx + Joe -3x + 6)dx + Í(-x” +5x)dx = 2 (dvdt) 0 1 3 S

Cau IV Ta cĩ thể lựa chọn một trong hai cách sau:

Cách 1: (Sử dụng kiến thức hình học khơng gian): Ta cĩ: SABC 1a hình chĩp đều AAMN cân tại A

Gọi E là trung điểm BC và F = SEMN

= F 1a trung điểm của SE và MN và AF.LMN Với nhận xét: (AMN) L (SBC) (AMN)n (BC) =MN => AF.LSE © ASAE cân tại A (AMN) > AF 1 MN Ta cĩ: SAawn = 5 MN.AF trong đĩ: MN= LBC= Ê, 2 2 AF = AE’- EF’= AE’ - a SE? = AE’ - asc - CE’) 1 5a? ax10 = AE?- LŒ-~ 1 C?)= —— => AF= 4 4 8 4 1a a/10 _ a’Vi0

Vậy, ta được: SAawn = >a 16

Cách 2: (Sử dụng phương pháp toạ độ hố) — Bạn đọc tham khảo cuốn "Các phương pháp giải hình học khơng gian bằng phương pháp toạ độ hố” — Lê

Trang 23

Khi đĩ, diéu kién x(x + y + z) = 3yz tro thanh:

¢ =a’ +b’ —ab qd)

ec? = (a+b) - 3ab >(a+bÿ ~ (+) =.(a+bỷ

Satbs2c (2)

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:

a? +b’ + 3abe < 5c & (a + b)(a’ + b — ab) + 3abc < 5c` a © (a+b)c” + 3abc < 5c` © (a + b)c + 3ab < ĐG (3) Từ (2), ta cĩ: (a + b)c $ 2c’ (4) Mặt khác: ab < sa +b)’ < £(26)? =c? © 3ab<3c? (5) Cộng theo vế (4) va (5) ta được bất đẳng thức cần chứng minh (3) ?=a?+b2—ab Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi: [ ae Mex y=z a=b=c Cau VI.a

Cách 1: (Sử dụng kiến thức hình học khơng gian): Ta lần lượt cĩ:

Gọi H là hình chiếu vuơng gĩc của I lên AB, suy ra H là trung điểm AB

Và ta CĨ:

TH = d(I, AB) = Bs

Tir gia thiét AB= 2AD AH = 2IH = V5

Nhận xét rằng ABCD nội tiếp trong đường trịn (C) cé tam I va ban kinh R = JA, suy ra:

R= 1A?=IH? + AH?= = & (C): &-2ÿ+y=

Ta cĩ (C) (AB) = {A, B}, do đĩ toạ độ của A, B là nghiệm của hệ:

2 2

(K1/2) +y" = 2514 | sae0 , W(-9,0) & B(2, 2) x-2y+2=0

Vì C đối xứng với A qua I, do đĩ C(3, 0) và D đối xứng với B qua I, do

đĩ D(-1, -2)

Vậy, ta được A(-2, 0), B(2, 2), C(3, 0), D(-1, ~2) 24

Trang 24

2 (P) chứa (A,) © (P) thuộc chùm tạo bởi (A,), cĩ dạng: (P): A&~ 2y +z~ 4) + B(x + 2y — 2z + 4) =0 < (P): (B+ A)x + 2(B— A)y + (A - 2B)z- 4A + 4B=0 => vipt n, (B+ A, 2B—2A, A - 2B) Gọi a, là vicp của (A,), ta được: a, (1, 1, 2) Vi (P)//(A,) nén: n, La, <n, a, =0 @1(B+A)+12(B-A)+2(A-2B)=0B=A Vậy, ta được (P): 2x — z = 0 Câu VỊI:a.Từ giả thiết ta cĩ hệ phương trình: CẺ =5CI a) x-1\03 x\ Cc [2 *] [2] =20n (2) Ti (1), ta duge: son nel =7 nQn=DM=2) 123 _ sy on? 3n-28=0 |" n=-4 (1) Với n= 7 và (2), ta được: [CO CHIẾN C2 2 “=20neœ252=4œx=4 Vậy, ta được x = 4 và n = 7 Câu VỊ,b 1 Ta cĩ toạ độ các điểm: 2a+l-a-l LH đo A@; 0), B(1; 0), Cía; a3 — V3) va G( Với nhận xét:

SAanc = š AB.AC = p.r © AB.AC= 2(AB + AC + BC)

Trang 25

7443 2423/3 "_ Với a=3+24/3, ta được G ; ` P 3 4 -1- 499 f3 "“ IS; 225),

Vậy, tồn tại hai trong tâm G (của 2 AABC) thoả mãn điều kiện đầu bài

Cách 1: Đề He(A): MH,„ © H là hình chiếu vuơng gĩc của M lên (A) Đường thẳng (A) cĩ vtcp 4 (1; 1; 2) Vì H e (A) nên: H{( +t;2+t1+20= MH(Œ-—1;1+t;2t—3), MH I (A)© MH L ä © MH.ä =0 © 1(—1)+ 1.1 +0 +2:2t-3)=0 ©t= 1 > HQ; 3; 3)

Cách 2: Đề He(A) sao cho MH,„„ điều kiện là:

H là hình chiếu vuơng gĩc của M lên (A) H=(Q)(A) trong đĩ:

Si “Ho La)? {G18 MỐI "vat Bae’ 9 hy) xeya+2z—11 <6 PY a

Bằng cách thay x, y, z tit (A) vào (Q), ta được: t=ll— H2 3; 3)

Câu VIỊI.b Điều kiện x > 0

Trang 26

ĐỀ LUYỆN THI MON TOAN — 86 2

PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7.0 điểm)

Câu I: (2 điểm): Cho hàm số:

y=2x!— 4X? qd)

1 (1 diém): Khao sat su bién thién va vẽ đồ thị (C) của hàm số (1)

2 (1 điểm): Với giá trị nào của m phương trình x°|x? ~ 2|= m cĩ đúng 6

nghiệm phân biệt

Câu II: (2 điểm)

1 (1 điểm): Giải phương trình:

sin x +cosx.sin 2x + V3 cos3x = 2(cos 4x + sin’ x)

2 (1 điểm): Giải hệ phương trình: xy+x+l=7y tee +xy+l=lây? 3 Câu IHI: (1 điểm): Tính tích phân 1= Í“—Š i (x+1) 34Inx 4

Câu IV: (1 điểm): Cho hình lăng trụ tam gidéc ABC.A’B’C’ cé BB’ = a, gĩc

giữa đường thẳng BB' và mặt phẳng (ABC) bằng 60”, AABC vuơng tại C và

BAC =60° Hình chiếu vuơng gĩc của điểm B° trên mặt phẳng (ABC) trùng

với trọng tâm của AABC Tính thể tích khối ttt dién A’ ABC theo a

CâuV: (1 điểm): Cho các số thực x, y thay đổi thoả mãn (x + y)` + 4xy > 2

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

A=3@œ!+ y!+x?y?) - 2(x? + y?) + l PHAN RIENG (3.0 điểm)

Thí sinh được làm một trong hai phần (phần A hoặc B)

A Theo chương trình Chuẩn

Câu VỊ a (2 điểm)

1 (1 điểm): Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường trịn (C) và hai

đường thẳng (A,), (A;) cĩ phương trình:

4

(C):(x=2)?+y? 5? (A,): x — y = 0, (Ay): xX -— Ty =0

Xác định toạ độ tâm K và bán kính của đường trịn (C,), biết đường trịn (C,) tiếp xúc với các đường thẳng (A,), (A;) và tâm K thuộc đường trịn (C)

27

Trang 27

2 (1 diém): Trong khong gian v6i hé toa do Oxyz, cho tứ điện ABCD cĩ các

đỉnh AQ; 2; 1), B(—2; l; 3), C(2; -1; 1) va DO; 3; 1) Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A, B sao cho khoảng cách từ C tới (P) bằng khoảng cách từ

Ditới (P)

Câu VI.a (1 điểm): Tìm số phức thoả mãn:

ko

zz=25

B Theo chương trình Nâng cao

Câu VI b (2 điểm)

I (1 điểm): Trong mật phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho AABC cân tại A cĩ

đỉnh A(-1; 4) và các đỉnh B, C thuộc đường thẳng (A): x— y—4=Ơ Xác

định toạ độ điểm B và C, biết diện tích AABC bằng 18

2, (1 điểm): Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(-3; 0;

1), B(1; —1; 3) và mặt phẳng (P) phương trình:

(P): x—2y+2z-5=0

Trong các đường thang di qua A va song song với (P), hãy viết phương

trình đường thẳng mà khoảng cách từ B đến đường thẳng đĩ là nhỏ nhất

Cau VILb (1 điểm): Tìm giá trị của tham số m để đường thang y =-x +m cắt đồ thị hàm số y = x tai hai diém phan biét A, B sao cho AB = 4 x DANH CIA VA DINH HƯỚNG THUC HIEN caul 1 Với hàm số: y = f(x) = ax* + bx” + c, với a # ta lần lượt cĩ: Miền xác định D = ï Đạo hàm:

“ Đạo ham cap mot: y' = 4ax* + 2bx = 2x(2ax? + b)

Phương trình y' = 0 hoặc cĩ một nghiệm (a.b > 0) hoặc cĩ ba nghiệm

Trang 28

Bảng biến thiên: Dấu của y' phụ thuộc vào dấu của a (a > 0 hay a < 0) và

dấu của a.b, do đĩ ta cĩ bốn trường hợp biến thiên khác nhau

Đồ thị của hàm số: Do cĩ bốn trường hợp khác nhau về chiều biến thiên nên đồ thị của hàm trùng phương cĩ bốn dạng sau đây: Với a >0 Với a <0 Cĩ một cực trị | Cĩ ba cực trị Cĩ một cực trị Cĩ ba cực trị ¥ Y X Y WALZ ID : MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA HÀM TRÙNG PHƯƠNG Tính chất I: Tính chất 2: Tính chất 3: Tính chất 4: Tính chất 5: Tính chất 6: Tính chất 7: Tính chất 8: Hàm số cĩ cực trị với mọi giá trị của tham số sao cho a # 0 Hàm số cĩ cực đại, cực tiểu ‘ b

©y' =0 cĩ ba nghiệm phân biệt © » <0 a Hàm số cĩ hai cực đại và một cực tiểu a<0 © : b>0 Hàm số cĩ một cực đại và hai cực tiểu a>0 © › b<0

Hàm số cĩ hai điểm uốn

Hàm số khơng cĩ điểm uốn

Trang 29

= Néu (2) cĩ nghiệm tụ> 0 thì (1) cĩ nghiệm x = +t, : = (1) cĩ nghiệm duy nhất © (2) c6 nghiém t,< 0 = t = (1) c6 hai nghiém phan biét © (2) c6 nghiém t, < 0 <t, hoac 0<t, = t = (1) c6 banghiém phân biệt <= (2) c6 nghiém 0 = t, < t "_ (1) cĩ bốn nghiệm phân biệt <= (2) cĩ nghiệm 0 < tị < tạ = (1) cĩ bốn nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng © (2) cĩ nghiệm 0 = tị <1; và t; = 9t Tính chất 9: Phương pháp tìm điều kiện của tham số để đồ thị hàm số: y= ax*+bx’ +e tiếp xúc với Ox tại hai điểm phân biệt Phương pháp I: Đại số

Điều kiện là (1) cĩ hai nghiệm kép phân biệt

Sử dụng phương pháp hằng số bất định ta xác định được giá trị của tham số Phương pháp 2: Hàm số Miền xác định D = ® Đạo hàm: y' = 4ax” + 2bx = 2x(2ax” + b), y'=0 © 2x(2ax? + b) =0 4) b "¬ 7a ab <0 Điều kiện là 5 © tach? <0" ac—b? = y(4,|->-) =0 2a 2 Dễ thấy phương trình được viết lại dưới dạng: |2x*—4x?Ì =2m

từ đĩ, phương trình cĩ đúng 6 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi đường thẳng y

= 2m cắt đồ thị hàm số y= |2x* — 4x? | = |f(x) | tại 6 điểm phân biệt

Từ đồ thị hàm số y = f(x) dé suy ra đồ thị hàm số y = |f(%)|, ta cĩ nhận xét:

hare lề: khi £60) 2 0,

—f(x) khi f(x) <0

Do đĩ đồ thị y = |f(x)| gồm:

1 Phần từ trục hồnh trở lên của đồ thị y = f(x)

2 Đối xứng phần đồ thị phía dưới trục hồnh của y = f(x) qua trục hồnh

30

Trang 30

Cau II

1 Dễ nhận thấy phương trình được cho dưới dạng hỗn tạp, tức chúng ta can

các phép biến đổi dần, với các định hướng là:

" Chuyển phương trình về dạng chỉ chứa sinx (bởi trong phương trình cĩ

chứa sin`x), hướng này khơng khả thi bởi sẽ rất phức tạp với cos4x

= Nhu vay, cdn ha bac sinx và vì chúng ta khơng được cung cấp cơng

thức hạ bậc bậc ba nên cần ghép nĩ với một tốn tử tương ứng, ta cĩ:

(sin x—2sin* x) +cosx.sin 2x + V3 cos3x = 2cos 4x

= (I —2sin? x)sin X+cosx.sin 2x + x/3 cos3x = 2cos4x

"_ Bằng việc sử dụng cơng thức gĩc nhân đơi, ta biến đổi được:

cos 2x.sin x + cos x.sin2x + V3 cos3x = 2cos 4x = Tiép theo, bằng việc sử dụng cơng thức cộng, ta được:

sin 3x + V3 cos3x =2cos4x

* Tdi đây, chúng ta gặp một dạng phương trình cơ bản được tổng quát:

a.sinx +bcosx = Va’ +b’ coskx

hoặc a.sinx+bcosx = va” + b sinkx

và phương pháp giải nĩ tương tự cách 1 để giải phương trình:

a.sinx + b.cosx = c Cụ thể, ta biến đổi tiếp:

2 Đây là hệ phương trình khơng mẫu mực, do vậy để giải nĩ chúng ta cần

cĩ những đánh giá như sau:

" Phương trình thứ nhất của hệ cĩ bậc 2 và VP là bậc nhất của y

" Phương trình thứ hai của hệ cĩ bậc 4 và VP là bậc hai của y” Và ở đây dễ nhận thấy y = 0 khơng phải là nghiệm của hệ

Trang 31

2

Tới đây, bằng nhận định x’ tử ¬ 225 và hai tốn tử x+-L, % 3: Y &

tồn tại trong phương trình thứ nhất của hệ, nên ta sử dụng ẩn phụ: u=x+ Đ và vets Ỳ y Hệ phương trình sẽ được chuyển về dạng: u+v=7 uˆ—v=13

Như vậy, chỉ cần sử dụng phương pháp thế chúng ta sẽ giải được hệ trên b

Cau III Day là tích phân được mở rộng từ dạng Ï= fe (x).In" xdx phương pháp được lựa chọn là "Phương pháp tích phân từng phần" với cách lựa chọn: u=3+Inx ave dx (x41)? Cau IV Day là bài tốn về hình học khơng gian cĩ yêu cầu về kiến thức ở lớp 11, cụ thể:

~_ Gĩc giữa đường thing BB’ va mat phẳng (ABC) bằng 60°, tuy nhiên vì cĩ giả thiết "Hình chiếu vuơng gĩc của điểm B` trên mặt phẳng

(ABC) mrùng với trọng tâm của AABC", nên ta cĩ ngay:

B'BG =60°, với G là là trọng tâm AABC

z_ Để tính thể tích khối tứ diện A"ABC theo a, ta cĩ đánh giá:

Lg

Vạ-apc = Vp:Anc =38 GS ase

Câu V Thơng thường, với yêu cầu "Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức A thoả mãn tính chất K", trong đĩ K là một bất đẳng thức, các em

học sinh cần định hướng rằng:

z Cần biến đổi A về dạng f(Ð

z Từ K suy ra điều kiện cho biến t

z_ Từ đĩ, xét hàm số f(t) ứng với điều kiện của t vừa tìm được

Trang 32

Dat t= x? +’, taco:

A xu ~2t+1=f()

Từ đĩ, dẫn tới việc cần tìm điều kiện cho biến t từ giả thiết (x + y)Ì + 4xy > 2,

và để thực hiện cơng việc này chúng ta chỉ cần kết hợp nĩ với bất đẳng thức: (x+y) 2 4xy Bằng cách cộng theo vế, chúng ta sẽ nhận được: (x+y) + 4xy +(X+y)°>2+4xy ©(x+y)`+(x+y>2€x+y>I Khi đĩ: x+y? >J(@+yÿ Se = tet oD, 2 i09 Cơng việc cịn lại chỉ là xét hàm số f(t) với t> s: Câu VI.a

1 Với yêu cầu "Từm điểm M thuộc đường trịn (C): (x — ay + (y ~ b)? = R?

thoả mãn điêu kiện K", ta lựa chọn một trong hai cách sau: Cách 1: Ta thực hiện theo các bước:

Bước I: Lấy điểm M(x„; yu)e(C), suy ra: (xạ — a)” + (yạ — b)? = RẺ

Bước 2: _ Dựa vào điều kiện K cĩ thêm được điều kiện cho Xy, Yo Cách 2: Sử dụng phương trình tham số của đường trịn, như sau:

Bước 1: - Chuyển phương trình đường trịn về dạng tham số:

x=a+Rsint

Bước 2: Điểm Me(C) => M(a + Rsint; b + Rcost)

Bước 3: _ Sử dụng điều kiện K để xác định cost, sint Từ đĩ tìm được toạ

độ của M dựa trên đẳng thức sin?t + cos’t = 1

'Và trong bài tốn này chúng ta sẽ sử dụng cách I, cụ thể:

" _ Vì Kía; b) thuộc (C) nên: (a—2)” + bỶ -2 ()

= Vi(C)) tiép xtic véi các đường thẳng (A,), (A;) nên: dŒ, (A,)) = dŒ, (A;)) (2) Giải hệ tạo bởi (1) và (2) chúng ta nhận được a, b (tức toạ độ của K), khi đĩ bán kính đường trịn (C,) là R, = d, (A,)) 2 Với các em học sinh chỉ biết đánh giá tuần tự: " Mặt phẳng (P) đi qua A, B

" Khoảng cách từ C tới (P) bằng khoảng cách từ D tới (P)

chắc chắn sẽ thực hiện bài tốn này theo các bước:

33

Trang 33

Bước I: Gia sit phuong trinh mat phẳng (P) cĩ dạng:

: (); Ax + By +Cz+D=0,A° +B +C>0

Bước2: Vì A, Bthuộc (P) nên:

A+2B+C+D=0 @)

2A +B+3C+D=0 (2)

Bước 3: Để khoảng cách từ C tới (P) bằng khoảng cách từ D ti (P),

điêu kiên lẻ |@A-B+C+D| liều kiện là: — = |äB+C+ DỊ (3)

Aap +c: VA?+B +C”

Bước 4: Giải hệ phương trình tạo bởi (1), (2), (3) để tìm cách biểu diễn ba

trong bốn ẩn số A, B, C, D theo một ẩn cịn lại Từ đĩ, suy ra phương trình mặt phẳng (P) cần tìm

Cách giải trên khơng sai và luơn là phương pháp được lựa chọn trong

trường hợp tổng quát d(C, (P)) = k.d(Ð, (P))

Tuy nhiên, vì d(C, (P)) = d(D, (P)) chúng ta sử dụng đánh giá:

Để mặt phẳng (P) cách đều hai điểm C, D chỉ cĩ thể xảy ra hai trường hợp:

= (P) song song với CD

= (P) di qua trung điểm của CD 'Từ nhận xét trên, ta lần lượt: = (P) song song véi CD, suy ra: Qua A Qua A (Pye Cap vtcp AB và CD - vipt n=[ AB, CB] .ˆ = (P) di qua trung điểm I(1; 1; 1) cla CD, suy ra: Qua A Qua A (PA, „ 3 a & (P): - r—^-

Cặp vtep ABvà AI Vtptn =[AB All

Cau VIIa, Với yêu cầu này chúng ta chỉ cần giả sử số phức z = a + bi, rổi

sử dụng cơng thức tính mơđun Khi đĩ chúng ta nhận được hệ phương trình:

la+bi~@+Ð|= M10

a?+b” =25

Câu VỊ.b

1 - Với yêu cầu của bài tốn, chúng ta sẽ đi khai thác dần giả thiết:

s5 VìA và đường thẳng chứa B, C là (A) đã cho nên ta cĩ ngay d(A; (A))

Trang 34

" Từ đĩ, với giả thiết AABC cân tại A, ta được: B AB=AC=,|AH?+ Si, Khi đĩ, toạ độ của B, C thoả mãn hệ phương trình: (A) AB=l

2 Với yêu cầu của bài tốn, chúng ta sẽ đi khai thác dần giả thiết:

"_ (d) song song với (P) nên nằm trong mặt phẳng (Q) qua A va song song với (P), suy ra: {Qua A eu one = GoiK, H theo thif tu 1a hinh chiéu vudng géc ctia B trên (d) và (Q), ta cĩ: BK > BH => AH 1a đường thẳng cần tìm Từ đĩ, cần tìm toạ độ điểm H Khi đĩ, phương trình đường thang (d) được cho bởi: A (4): fe Ty vtep AH

Cau VILb V6i yéu cau " Tim điều kiện của tham số để hai đồ thị ham sé (C,): y = f(x) va (C,): y = g(x) cắt nhau tại k giao điểm (phân biệt) thoả mãn tính chất K”, ta thực hiện theo các bước sau:

Bước I: ` Thiết lập phương trình hồnh độ giao điểm:

: f(x) = g(x) x qd)

Bước 2: ĐỀ xét tính chất của các giao điểm chúng ta khéo léo đưa về

1 Định lí Vị - ét cho phương trình đa thức:

Trang 35

LỒI GIẢI CHỊ TIẾT

Cau I

1 ‘Ta lan lượt cĩ:

a Hàm số xác định trên D= R b Sự biến thiên của hàm số:

+ Giới hạn của hàm số tại vơ cực: lim y= lim [2x — 2)]=+e DU ape x "_ Bảng biến thiên: y' = 8x" - 8x, y =0e28'-8x=06| 1 II #„© † x x XK, | -00 -1 0 1 y - 0 + 0 - 0 + CT CĐ CP y le a ee ite ee aK + Điểm uốn:y"=24x?~8, V'=021Ẻ~ 8=0 K=# TT 1 Vì y" đổi dấu khi x qua các điểm te nên đồ thị hàm số cĩ hai 2 Bs ass 1 101 1 10

điểm uốn là uf ct 5) và ($i 5 )

c Đồ thị của hàm số: Ta tìm thêm vài điểm trên đồ thi A(-2; 0), B(2; 0)

2 Viết lại phương trình dưới dạng:

|2x'—4x?| =2m

phương trình cĩ đúng 6 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi đường thẳng y = 2m cat

đồ thị hàm số y = |2x* — 4x? | tại 6 điểm phân biệt

D6 thi y = |2x*—4x?| gom:

4 Phan tir truc hoanh trở lên của đồ thị (C): y = 2x!— 4x”

Trang 36

Câu II

Li Bién d6i phuong trinh vé dang:

(sinx —2sin’ x)+cos x.sin2x+ 3 cos3x =2cos4x

o (1 —2sin? x)sin x +cosx.sin 2x + V3 cos3x = 2cos 4x

4x=3x—”+2km X=~C +2km

4x=-3x+Z+2k# [x= 4k 6 Q `7

Vậy, phương trình cĩ hai họ nghiệm

Trang 37

" Voius4vav=3 thi: x+L=4 y if = 3y+—=4 y 7 1 ee 2e £ 0 Pans y= 8 x=3y S hư =3y y x=3 &y= © x=1& y=1/3 1 Vậy, hệ phương trình cĩ hai cap nghiệm (3; 1) và ( 1) Câu IH Đặt: u=3+lnx a dx > dv= vợ yaa x x+ Khi đĩ: 3 3 3 pap 3tinx +f dx aT dx / w xtl | jxKx+) 4 a jx@&+D Với Ï, ta cĩ: 1 A, B _(A+B)x+A A+B=0 A=l x(x+l) x xl x(x +1) A=l B=-L Từ đĩ, tích phân I' được viết lại dưới dạng: W1 3 x f 3

Trang 38

VụsApc = Vụ: Apc 3 B'GS,apc = 208"

Trang 39

Khi đĩ, ta lần lượt: = Với 5(a— b)=a— 7b thì ta cĩ hệ phương trình: =-2a b=-2a 2 2 ? 2 2 (a-2) +bˆ 24 (a-2} +(-2a)ˆ c2 & 5 =-2a eo 16 , vơ nghiệm 5a”—4a+——=0 5 = Với 5(a~ b) = -a + 7b thì ta cĩ hệ phương trình: a=2b a=2b 2 :z 8® 2 2 (a-2) HT (2b-2)+b = nls a=2b gob" | ans a 5 i ef ge} > =«(%4) sb?.deb+ e207” |b=— 5 5 bs 4 375 5 ja—b| ao

Và từ đĩ, bán kính đường trịn (C,) được cho bởi R, =

Vậy, đường trịn (C,) cĩ tâm kể: 4) va ban kinh R, = a

2 Để mặt phẳng (P) cách đều hai điểm C, D chỉ cĩ thể xảy ra hai trường hợp:

= _ (P) song song véi CD

Trang 40

= (P) di qua trung điểm I(1; 1; 1) cla CD, suy raz Qua A(;2:1) đ): {a A ơ | —_ ©£): sa Cap vicp ABva Al vipt n=[ AB, AI ]= (2; 0; 3) © (P): 2x +3z-5=0

Định dạng
Số trang	182
Dung lượng	49,56 MB