Phương pháp xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện

BÀI TẬP : XÁC ĐỊNH TÂM VÀ TÍNH BÁN KÍNH CỦA MẶT CẦU NGOẠI TIẾP HÌNH ĐA DIỆN: I.KiẾN THỨC CẦN NHỚ: Mặt cầu S ngoại tiếp hình đa diện H khi các đỉnh của H nằm trên mặt cầu -Môt hình chó

BÀI TẬP : XÁC ĐỊNH TÂM VÀ TÍNH BÁN KÍNH CỦA MẶT CẦU NGOẠI TIẾP HÌNH ĐA

DIỆN:

I.KiẾN THỨC CẦN NHỚ:

Mặt cầu (S) ngoại tiếp hình đa diện (H) khi các đỉnh của (H) nằm trên mặt cầu

-Môt hình chóp nội tiếp trong mặt cầu (S) khi và chỉ khi đáy của hình chóp là một đa giác nội tiếp được -Môt hình lăng trụ đưng nội tiếp trong mặt cầu (S) khi và chỉ khi đáy của hình lăng trụ là các đa giác nội tiếp được

-Hình tứ diện ,Lăng trụ đều , hình chóp đều và các khối đa diện đều đều nội tiếp được :

Chú ý :

–Trong không gian tập hợp của những điểm các đều các đỉnh của một đa giác là một đường thẳng

vuông góc với mặt phẳng chứa đa giác tại tâm của đa giác đó

–Trong không gian tập họp những điểm cách đều 2 điểm A và B là mặt phẳng trung trực của AB

Dạng 1: HÌNH ĐA DIÊN CÓ CÁC MẶT LÀ NHỮNG TAM GIÁC VUÔNG CÓ CHUNG CẠNH

HUYỀN:

Phương pháp:

Gọi I là trung điểm của cạnh huyền chung

Tâm của mặt cầu là I và bán kính là nửa cạnh huyền đó

Thí dụ :

Cho hình chop S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B và SA vuông góc với đáy Gọi H và K là

hình chiếu vuông góc của A lên SB và SC.Chứng minh hình đa diện AHKBC nội tiếp được trong mặt cầu (S) , tìm tâm và bán kính của (S) theo a ,Với SA=AB= a

BBài tập:

1.Cho hình chop S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , Hai mặt bên SAB và SAD vuông góc với đáy , hai mặt bên còn lại tạo với đáy góc 600

BÀI GIẢI

SA (ABC)=>SA BC

BC AB=>BC (SAB)

=>(SAB) (SBC)

AHSB=>AH(SBC)=>AH CH

=>AHC vuông tại H

AKC vuông tại K

ABC vuông tại B

=>Hình đa diện AKCBH nội tiếp trong mặt cầu

đường kính AC , tâm I là trung điểm của AC và bán

kính R=

2

2

a

a.Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chop S.ABCD

b.Gọi B’ ; C’ là hình chiếu của A lên SB và SDClà ;D’ là giao điểm của DS và mp(AB’C’) Xác định tâm

và tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình đa diện ABCDB’C’D’ hoctoancapba.com

2.Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối bát diện đều cạnh a

3.Cho 2 đường thẳng chéo nhau (d) và (d’) cĩ đoạn vuơng gĩc chung là AA’ (A thuộc (d) và A’ thuộc (d’) Gọi (P) là mp qua AA’ và vuơng gĩ với (d’) Cho biết AA’=a Một đường thẳng (l) song song với (P) cắt (d)

và (d’) tại M và M’ Hình chiếu vuơng gĩc của M lên (P) là là N.Xác định tâm I của mặt cầu đi qua 5 điểm

A ;A’ ; M ; M’ ; N biết b=A’M’ và  =(d;d’)

ĐS:

2 2 2

2

2 2 2

1

2

1

b cos a cos M ' A cos

b

AM

mà

AM A

A' M A' N tại vuông

MN

'

A

b ' M ' A MN và AMN

) P ( với góc vuông Cùng ( d

//(

MN

:

HD

b cos a cos r

kính

bán

M A' điểm trung là O tâm có

(S)

cầu

Mặt

2











































Dạng 2: Hình chĩp S.A 1 A 2 …A n

Gọi O là tâm của đa giác đáy , và I là tâm của

mặt cầu (S)

Dựng (d) (A 1 A 2 …An)

=>IA 1 =IA 2 =….=IA n => I thuộc (d)

IA 1 =IS => I thuộc mặt phẳng trung trực của

SA 1 Vậy I là giao điểm của mp trung trực của

SA 1 và (d)

Thí dụ 1:

Cho hình chĩp tam giác đều cĩ cạnh đáy là a và

cạnh bên tạo với đáy các gĩc 600 Tìm tâm và

bán kính của mặt cầu (S) ngoại tiếp hình chĩp

trên





































(2) AS

AI

(1) CI BI

AI

(S) cầu mặt của

tâm

là

I

Gọi

SCO SBO

SAO (ABC)

SO

BC

của điểm

trung

là

M

ABC của

tâm trọng là O ABC của tâm

là

O

Gọi

60

hoctoancapba.com

R

a a

a SI

a cos

a SA và a tan

a

SO

a AM OA

mà cos

OA SA

và OAtan

SO SAO

và O tại vuông

SAO

SO

SA SI SO

SK SA

SI dạng đồng SOA

;

SKI

SA IK SA của điểm trung

là

K

Gọi

SO (d)

I

mp(SAO) trong

SA của trực trung (d)là với ) d ( I ) ( SO

I

)

(



































































3

2 18

12 3

3 2 60 3

3 60

3

3

3

3 3

2 60

60

2

2 1

2 0

0

0 0

2

Thí dụ 2:

Cho hình chĩp S.ABC cĩ đáy ABC là tam giác đều cạnh b và SA =a vuơng gĩc với đáy Xác định tâm và

tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chĩp trên

12 9

4 9 3 3

3 2

3 3

2 3

2

2

2

1

2 2

2 2 2 2

2

b a

IA

R

a b OA IO

IA O tại vuông

IOM

b b

AM

OA

a 2

SA IO nhật chữ hình là OIJA

giác

Tứ

SA IJ SA của điểm trung

là

J

Gọi

mp trong ) (d'

(d)

I

mp

trong

SA của ) (d' trực trung đường về

thuộc

I

(

)

d

(

I

)

(

(2) SI

AI

(1) CI BI

AI

ABC S tiếp ngoại cầu mặt

tâm

là

I

Gọi

d) mp(SA, mp

(d)//SA O

tại

(ABC)

với

góc vuông (d)

dựng , ABC giác tam của tâm

là

O

Gọi











































































Thí dụ 3:

Cho hình chĩp O.ABC biết AOB=900 ;BOC=600 và COA=1200 và OA =OB =OC =a

a.Chứng minh tam giác ABC vuơng

b.Tìm tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chĩp O.ABC

GIẢI

ABC giác tam của

tâm

là

H

AC của điểm trung Hlà Gọi B tại vuông ABC a

CA

; a BC

;

a

AB











a OI R

a

OH

OH

OA OI OH

OJ

OA

OI

dạng đồng OAH

;

OIJ

OA IJ OA của điểm trung

là

J

Gọi

(d) OH

I

Vậy

mp(OAH)

trong

OA

của (d) trực trung Đường I

) (

; OH

I

)

(

) ( IO

IA

) ( IC IB

IA

) S ( cầu mặt tâm

là

I

Gọi

) ABC ( OH OC

OB

OA





























































2

2

2 1

2 1

2

Dạng 3: Xác định tâm và tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ đứng

Phương pháp:

–Gọi O và O’ là 2 tâm của 2 đáy

-Nối OO’ =>OO’  hai đáy

–Gọi I là tâm mặt cầu ngoại tiếp lặng trụ đứng

=>



















) ( I

'

A

I

A

) ( I ' A

I ' A I ' A I A

I A

I

2

1

1

1

2 1

2

1

(1)=>IOO’ (2)=>I(d) (với (d) là đường trung trục của AA 1 ’ trong mp (AA’ 1 ;OO’)

=> I là giao điểm của (d) và OO’=>I là trung điểm của OO’,

Thí dụ : Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ cĩ đáy ABC là tam giác vuơng tại A và AC = b , C=600

.Đường chéo BC’ của mặt bên BB’C’C tạo với mp (AA’C’C) gĩc 300

a.Tính thể tích của khối lăng trụ b Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu (S) ngoại tiếp hình lăng trụ GIẢI:

b cos

b BC

và b

'

BC

b ACtan60 AB

A tại vuông

ABC

AB sin30

AB BC'

A tại vuông

'

BAC

30

B

A'

C) C' mp(AA' lên

BC' của chiếu hình

là

AC'

C) C' (AA' BA

AA' BA

;

AC

BA

) C' B' (A' OO' và (ABC) OO'

//AA'

OO'

C'

B' A' và ABC của tâm

là

O'

;

O

C' B' và BC của điểm trung là lượt lần O'

và

O

1.Gọi

0 0 0

2 60 3

2

3 2

0 



















































2 2 8 4

12b2 b2 b2 b

'

CC   

3 2

3

2

6 2

b

BC' R và BC' của điểm trung

là

I

Tâm

BC' kính đường cầu

mặt trong tiếp nội C' B' ABC.A'

trụ

Lăng

A' tại vuông C'

BA' ; A tại vuông BAC'

; C tại vuông

BCC'

:

khác

Cách

b 2

BC' IB R OO' của điểm

trung

là

I

O) O' mp(AA' trong

AA' của trực trung đường là

(d) (với ) d ( ' OO I I

A'

AI

I C' I

B'

I

A'

CI BI

AI

trụ lăng tiếp ngoại S cầu mặt tâm

là

I

Gọi

b ' CC AC AB '

CC

dtABC

V



























































BÀI TẬP:

1.Cho hình chop tam giác đều cĩ đáy ABC là tam giác cân tại A với AB =AC =a BAC =  SA = a3 và

SA vuơng gĩc với đáy.Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chop trên

2.Cho hình chop tứ giác đều S,ABCD cĩ chiều cao SO =2a , gĩc giữa cạnh bên và đáy là  Xác định tân

và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chop S,ABCD

3.Cho hình chĩp S.ABC cĩ đáy ABC là tam giác đều cạnh 2a , mặt bên SAB à tam giác vuơng cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuơng gĩc với (ABC).Xác định tâm và tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chop trên

4.Cho tứ diện OABC cĩ 3 cạnh OA ; OB; OC đơi một vuơng gĩc và OA = a ; OB = b ;OC =c Xác định tâm và tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình tứ diện trên

5.Cho hình vuơng ABCD cạnh a Trên đường vuơng gĩc với (ABCD) dựng từ tâm O của hình vuơng lấy một điểm S sao cho OS = a/2 Xác định tâm và tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chop S.ABCD 6.Cho hình chp S.ABC cĩ đáy là tam giác ABC biết AB =5a ; BC =4a và CA = 3a Trên đương vuơng gĩc với (ABC) dựng từ A lấy một điểm S sao cho (SBC) tạo với đáy gĩc 450 Xác định tâm và tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chop trên

7.Cho tứ diện SABC cĩ SBC và ABC là 2 tam giác đều cạnh a và SA= a2

a.Tìm tâm và bán kính của mặt cầu (S) ngoại tiếp tứ diện SABC

b.Gọi O là trung điểm của BC Trên tia đối của tia AO lấy điểm D sao cho OD=OA.Tính các cạnh của tứ diện S,BCD