Sáng kiến kinh nghiệm SKKN rèn luyện tư duy cho học sinh trung học phổ thông trong việc giải một số bài toán đại số

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐỀ TÀI: "RÈN LUYỆN TƯ DUY CHO HỌC SINH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG TRONG VIỆC GIẢI MỘT SỐ BÀI TỐN ĐẠI SỐ" LỜI NĨI ĐẦU I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI 1.Cơ sở lý luận Trong nhà trường phổ thơng, nội dung kiến thức Tốn học trang bị cho học sinh không bao gồm khái niệm, định lí, qui tắc mà cịn kĩ phương pháp Vì vậy, hệ thống tri thức khơng có giảng lí thuyết mà cịn có tập tương ứng Dạy học giải tốn có vai trị đặc biệt dạy học tốn trường phổ thơng Các tốn phương tiện có hiệu khơng thể thay việc giúp học sinh nắm vững tri thức, phát triển tư duy, hình thành kỹ kỹ xảo Hoạt động giải toán điều kiện để thực tốt mục đích khác dạy học Tốn Cơ sở thực Tuy nhiên, thực tiễn dạy học Tốn trường phổ thơng cho thấy lực giải Tốn học sinh cịn hạn chế Ngun nhân chủ yếu là: Phương pháp dạy học chủ yếu dựa quan điểm giáo viên trung tâm trình dạy học, giáo viên truyền thụ kiến thức mang tính áp đặt, việc lĩnh hội tri thức học sinh mang tính thụ động cao Phương pháp thuyết trình giáo viên sử dụng nhiều dẫn đến trình trạng hạn chế hoạt động tích cực học sinh, việc sử dụng phương pháp dạy học phát huy tính tích cực, tự lực sáng tạo mức độ hạn chế, gắn nội dung dạy học với tình thực tiễn chưa trọng Những nguyên nhân dẫn đến thực trạng hệ trẻ đào tạo trường phổ thông mang tính thụ động cao, hạn chế khả sáng tạo lực vận dụng tri thức học để giải tình thực tiễn sống Rèn luyện thao tác tư cho học sinh dạy học giải Tốn có vai trị quan trọng việc phát triển khả tư học sinh, để từ có khả thích ứng đứng trước vấn đề cần giải Học sinh thấy lời giải toán trình suy luận, tư học sinh mà phương pháp giải không phụ thuộc vào đặc điểm Tốn mà cịn phụ thuộc tố chất tâm lý thân người giải Mối liên hệ, dấu hiệu Tốn phát thơng qua q trình phân tích, tổng hợp, khái qt hoá, so sánh, Rèn luyện thao tác tư dạy học giải Tốn có vai trị quan trọng trình phát triển tư học sinh Nhưng thực tế, chưa ưu tiên thích đáng xứng với vị trí Ngun nhân dẫn đến tình trạng phải giáo viên chưa ý tầm quan trọng chưa xây dựng biện pháp sư phạm thích hợp nhằm phát triển lực giải Toán cho học sinh Chương trình Đại số trường trung học phổ thơng có nhiều tiềm thuận lợi cho việc rèn luyện kỹ thực số thao tác tư Bài tập Đại số có nhiều nhiều dạng thuộc nhiều chủ đề kiến thức khác Khi giải tập Đại số đòi hỏi người học sinh phải biết định hướng, phải sử dụng cách tổng hợp kiến thức liên quan đến nhiều lĩnh vực khác Hệ thống tập Đại số phong phú chủng loại với mức độ khó khác phù hợp với đối tượng học sinh có trình độ nhận thức rèn luyên kỹ năng, phát triển tư bồi dưỡng lực giải tốn Vì số lĩnh vực khai thác để rèn luyện kĩ năng, phát triển tư cho học sinh trình dạy học Từ lý đây, định chọn đề tài: “Rèn luyện tư cho học sinh trung học phổ thông việc giải số toán Đại số” II PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU Phương pháp nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu tài liệu, sách báo Phương pháp điều tra thực tiễn: Dự giờ, quan sát việc dạy giáo viên việc học học sinh trình khai thác tập SGK Phương pháp thực nghiệm sư phạm Phương pháp thống kê III PHẠM VI NGHIÊN CỨU Nghiên cứu số vấn đề lý luận thực tiễn việc rèn luyện cho học sinh thao tác tư dạy học giải tập toán Đại số nhằm bồi dưỡng lực giải tốn cho học sinh, góp phần nâng cao chất lượng dạy học mơn Tốn trường phổ thơng IV ỨNG DỤNG Sáng kiến kinh nghiệm làm tài liệu tham khảo cho giáo viên việc dạy học Mặc dù cố gắng nhiều, vấn đề đưa nhiều cịn thiếu sót, hạn chế Mong góp ý quý thầy cô bạn đọc Xin trân trọng cảm ơn! Hoằng Hoá, tháng 05 năm 2013 Người viết NỘI DUNG I.CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN Thực tiễn sư phạm cho thấy, giáo viên thường chưa ý đến phát huy tác dụng giáo dục toán, mà thường trọng cho học sinh làm nhiều toán Trong trình dạy học, việc ý đến chức tập toán chưa đủ mà giáo viên cần quan tâm tới lời giải tập toán Lời giải tập toán phải đảm bảo u cầu sau: - Lời giải khơng có sai lầm Học sinh phạm sai lầm giải tập thường ba nguyên nhân sau: + Sai sót kiến thức toán học, tức hiểu sai định nghĩa khái niệm, giả thiết hay kết luận định lý, + Sai sót phương pháp suy luận + Sai sót tính sai, sử dụng ký hiệu, ngơn ngữ diễn đạt hay hình vẽ sai - Lời giải phải có sở lý luận - Lời giải phải đầy đủ - Lời giải đơn giản Giáo viên dạy học sinh phương pháp giải tập tốn - Huy động kiến thức có liên quan: * Em gặp toán hay dạng khác lần chưa Em có biết liên quan khơng? Một định lý dùng không? * Thử nhớ lại tốn quen thuộc có ẩn hay ẩn số tương tự? * Có thể sử dụng tốn mà em có lần giải sử dụng kết khơng? - Dự đốn kết phải tìm: * Em nghĩ tốn có liên quan mà dễ khơng? Một toán tổng quát hơn? Một trường hợp riêng? Một tốn tương tự? Em giải phần toán? * Em sử dụng kiện chưa? Đã sử dụng hết điều kiện chưa? Đã để ý đến khái niệm chủ yếu toán chưa? * Hãy giữ lại phần điều kiện, bỏ qua phần kia, ẩn xác định đến chừng mực biến đổi nào? - Sử dụng phép phân tích lên phép phân tích xuống để tìm kiếm hướng giải vấn đề Trong trình dạy học giáo viên khai thác triệt để gợi ý hình thành phát triển học sinh kỹ tìm lời giải cho tốn Tuy nhiên để đạt điều giáo viên phải thực kiên trì tất dạy Tốn đồng thời học sinh phải tự áp dụng vào hoạt động giải Tốn MỘT SỐ THAO TÁC TƯ DUY PHỔ BIẾN CỦA HỌC SINH THPT TOÁN TRONG GIẢI Vốn kiến thức Toán học, kĩ kinh nghiệm giải Tốn Nội dung hình thức tốn Định hướng tìm tịi lời giải tập Hướng Nhận thức đề→Phân tích 1→ chọn lựa bỏ Hướng Nhận thức đề→Phân tích 2→ chọn lựa bỏ Hướng thứ k Nhận thức đề→Phân tích k→ chọn lựa bỏ Chọn lựa hướng giải thích hợp Tiến LUYỆN hành phânTƯ tích,DUY tổng QUA hợp đểGIẢI đưa TOÁN II.GIẢI PHÁP RÈN lời giải tập 1.Phân tích tổng hợp Do việc rèn luyện thao tác tư cho học sinh qua việc giải tập thiết phải tiến hành thơng qua phân loại học sinh Khơng có cách “rèn luyện” phù hợp cho đối tượng, chí có q trình phân tích-tổng hợp giải tập kết học sinh lại “vô nghĩa” với học sinh khác Vì thế, tìm hiểu kĩ đối tượng, nghiên cứu kĩ tập định truyền đạt, tự thầy giáo phải phân tích kĩ tập trước hướng dẫn cho học sinh q trình phân tích-tổng hợp giải tập toán quan trọng Dưới số ví dụ minh họa Ví dụ CMR A, B, C góc tam giác thì: cosA + cosB + cosC ≤ (1) - Hoạt động phân tích: cosB + cosC = 2cos B+C cos B −C Sự phân tích diễn sở tổng hợp, liên hệ biểu thức cosB + cosC với công thức cosa + cosb = 2cos B+C π A =2−2 ⇒ cos B+C A a+b cos a −b A ; cosA = cos2 = - 2sin2 = sin A Hoạt động phân tích lại dựa sở tổng hợp, liên tưởng tới công thức cos2a = 12sin2a - Hoạt động tổng hợp, ta có lời giải: (1) ⇔ - 2sin2 ⇔ sin2 A - sin ⇔ (2 sin A - cos A + 2cos A cos B−C B+C B−C )2 + sin2 cos B−C ≤ 2 ≥ B−C ≥ +1 (2) Bất đẳng thức (2) đúng, nên (1) Ví dụ 2.(Bài tập 4- Trang 79 SGK Đại số 10) CMR: a3 + b3 > a2b +ab2 với a, b ∈ R+ a ≠ b Nếu dùng phép tổng hợp để giải, suy nghĩ để từ a + b3 suy lớn a2b + ab2 điều khơng dễ Do giáo viên hướng dẫn học sinh kết hợp với phép phân tích để tìm lời giải: a3 + b3 = (a+b)(a2 - ab +b2) Ta có: a2b +ab2 = ab(a + b) Do đó: a3 + b3 > a2b +ab2 ⇔ a2 - ab +b2> ab ⇔ (a –b)2 >0 (a ≠ b) Trên sở phân tích với phép tổng hợp ta có lời giải: Vì a, b ∈ R+ a ≠ b nên a + b >0, (a –b)2 >0 a3 + b3 = (a+b)(a2 - ab +b2) = (a+b)[(a - b)2 + ab] = (a+b)(a - b)2 + (a+b)ab> (a+b)ab = a2b +ab2 (ĐPCM) Khái quát hoá trừu tượng hố Khái qt hố Khái qt hóa từ riêng lẻ đến tổng quát Khái quát hoá từ tổng quát đến tổng quát Khái quát hoá tới tổng quát biết Khái quát hố tới tổng qt chưa biết Trở lại ví dụ 1, từ toán xuất phát: “CMR A, B, C góc tam giác thì: cosA + cosB + cosC ≤ ” Bây thay A, B, C số dương x, y, z cho: x+ y+ z= π cosx + cosy + cosz ≤ ? Từ đó, ta phát biểu tốn tổng qt: “CMR A, B, C góc tam giác thì: cos mA + nB m+n + cos mB + nC m+n + cos mC + nA ≤ ” m+n Việc chứng minh đơn giản, ta đặt với m, n số nguyên dương mA + nB mB + nC =x, m+n m+n =y, mC + nA =z m+n Thì x, y, z góc tam giác đó, suy điều phải chứng minh Ví dụ CMR ∀x ∈ R ta có: x x x  12   15   20  x x x  ÷ +  ÷ +  ÷ ≥3 + +       Phân tích : Giáo viên gợi cho hoc sinh nhận thấy 12 3.4 15 3.5 20 5.4 12.15 20.15 12.20 = ; = ; = = 3, = 5, =4 5 4 3 5.4 3.4 5.3 Như bất đẳng thức có dạng tương tự bất đẳng thức quen thuộc a2+ b2 +c2 ≥ ab+ bc+ ca Từ ta có lời giải sau: Áp dụng BĐT côsi cho số ta có:  12  x  15  x  ÷ +  ÷ ≥      x x  15   20   ÷ +  ÷ ≥      x x  20  +  12  ≥  ÷  ÷   5  x  12.15  x  ÷ = 2.3 ,  5.4  x  15.20  x  ÷ = 2.5 4.3   x  20.12  x  ÷ = 2.4  3.5  Cộng theo vế ba bất đẳng thức chiều với ta được: x x x  12   15   20  x x x  ÷ +  ÷ +  ÷ ≥3 + + , (∀ x ∈ R )  5  4   Đẳng thức xảy khi: x x x  12   15   20   ÷ =  ÷ =  ÷ ⇔ x =  5  4   Sau giải xong tốn, giáo viên cho học sinh khái quát hoá toán loại:“Cho a, b, c số dương tuỳ ý CMR ∀ x ∈ R , ta có: x x x  ab   bc   ca  x x x  ÷ + ÷ + ÷ ≥a +b + c ” c a b       Đặc biệt hoá Những dạng đặc biệt hố thường gặp mơn Tốn xuất phát từ việc xét dấu “=” bất đẳng thức, hay dựa vào tính chất biến số để dự đốn kết Chẳng hạn, ví dụ từ toán xuất phát: “CMR A, B, C góc tam giác thì: cosA + cosB + cosC cosA + cosB + cosC = ≤ ” Đặc biệt hoá A, B, C góc tam giác a, b, c > Ví dụ Cho a + b + c = Tìm giá trị lớn nhất: S = a + b + b + c + c + a  Giải Dưới sai lầm thường gặp học sinh:   a+b =     b+c =    c+a =  ⇒ ( a + b ) Côsi ( b + c ) Côsi ( c + a ) Côsi ≤ ≤ ≤ ( a + b) +1 ( b + c ) +1 ( c + a ) +1 a+b + b+c + c+a ≤ 2( a + b + c) + = 2 Nguyên nhân sai lầm Dấu “ = ” xảy ⇔ a + b = b + c = c + a = ⇒ a + b + c = trái với giả thiết Phân tích tìm tịi lời giải: Do vai trò a, b, c biểu thức điểm rơi BĐT a = b = c = , từ ta dự đốn Max S = ⇒ a + b = b + c = c + a = ⇒ số cần 3 nhân thêm , bước đặc biệt hoá toán Vậy lời giải là:    a+b =     b+c =     c+a =   Côsi ( a + b) ≤ 3 Côsi ( b + c) ≤ 3 Côsi ( c + a) ≤ 3 ( a + b) + 2 ( b + c) + 2 ( c + a) + 2 2 ( a + b + c ) + 3 = = ⇒ a+b + b+c + c+a ≤ 2 Vậy Max S = a = b = c = Bài toán cho đầu theo u cầu sau học sinh có định hướng tốt hơn: Cho a, b, c >  a + b + c = Chứng minh rằng: S = a + b + b + c + c + a ≤ Tuy nhiên biết đặc biệt hố tốn việc viết đầu theo hướng giải Quy lạ quen Ví dụ 5.(Dành cho lớp 10 - chương trình nâng cao) Tìm giá trị nhỏ hàm số: y= x x − 6x + 18 với x ∈ (3; + ∞) x −3 Khi tiếp nhận tập này, học sinh khá, giỏi lớp 10 khó “định hướng” việc phân tích để tìm lời giải toán Vấn đề học sinh phải huy động vốn kiến thức có để “định hướng” cho việc tìm lời giải Ta gợi cho em: +) Nếu sử dụng công cụ bất đẳng thức đích việc tìm số không đổi m cho y ≥ m, ∀x > phải x0>3 để y(x0)=m Với việc “gợi” học sinh nhận thấy việc áp dụng bất đẳng thức côsi cho hai số dương: x = a x −3 x − 6x + 18 = b theo kiểu a + b ≥ ab khơng gì! Quan sát biểu thức hàm số ta nhận thấy x-3 x2-6x+18 có “sự liên quan gần” vì: x2-6x+18=(x-3)2+9, từ ta gợi dần cho học sinh trình phân tích sau (với x>3): 1) x − 6x + 18 = (x − 3)2 + , áp dụng bất đẳng thức côsi cho hai số dương (x-3) được: (x − 3) + ≥ (x − 3)2 = 6(x − 3) 2) Ghép với biểu thức hàm số được:  x2 − +  x 6x y≥ 6(x − 3) ⇔ y ≥ = 6  x −3 x −3 x −   10   ⇔ y ≥ x − + + 6 x −3   Đến đây, giáo viên hỏi biểu thức cuối có quen thuộc khơng ? tương tự bất đẳng a thức a + ≥ lại áp dụng bất đẳng thức côsi cho hai số dương x − 3, ta được: x −3 y ≥ 72 , có dấu “=” x=6 Việc phân tích kết thúc, giáo viên hướng dẫn học sinh tổng hợp để có lời giải hồn chỉnh Ví dụ (Bài 25 ơn tập cuối năm-Đại số 10 nâng cao) Tìm số C β cho: sinα+cosα = Csin(α+β) với α Đây tập cuối (SGK-Đại số 10 nâng cao) xuất năm 2006 Bài tập khơng khó việc làm cho học sinh hiểu “rõ ràng, mạch lạc” lời giải toán lại không dễ Đa số học sinh giải tập này, thường giải sau: sinα+cosα = Csin(α+β) (1)   π Ta có: (1) ⇔ sin  α + ÷ = Csin(α + β) (2)  C =  (1) nghiệm ∀α (2) nghiệm ∀α Nhận thấy:  π (2) nghiệm β = + k2 π   C =  (*) ∀α nên kết cần tìm là:  π β = + k2 π ,k ∈ Z   Kết không sai, với C β rõ ràng (1) nghiệm với ∀α Để cho học sinh thấy kết tìm chưa đầy đủ, giáo viên gợi cho em: “khi β = − không?” 3π C = − liệu có biến đổi Csin(α+β) thành hướng dẫn em π  sin  α + ÷ hay 4  biến đổi: 11 ( ) 3π    3π   3π   − sin  α − ÷ = sin  − α ÷ = sin  π −  − α ÷ = sin α + π Đến học 4        sinh thấy (*) kết phải tìm Giáo viên phân tích cho em biết rằng: “trực giác” (2) em tìm thấy (*) điều kiện đủ C β để (1) nghiệm ∀α chưa tìm điều kiện cần đủ C β để (1) nghiệm ∀α Dựa vào (2), gợi cho học sinh phân tích để tìm lời giải tốn sau: 1) điều kiện cần: Nếu (2) nghiệm ∀α C β phải bao nhiêu? +) (2) nghiệm ∀α nên (2) nghiệm α = − α= π , tức ta có hệ: π đồng thời nghiệm π   β = + k2π,(k ∈ Z)   π   = Csin − + β  ÷  C =      ⇔   = Csin  π + β   β = π + (2k + 1)π,(k ∈ Z)  ÷    4    C = − (**) +) Như vậy: Nếu (2) nghiệm ∀α ta tìm (**) chưa đảm bảo là: Với C β thoả mãn (**) (2) có nghiệm ∀α ? cần phải kiểm tra xem với (**) (2) có nghiệm ∀α hay khơng 2) điều kiện đủ: Dễ dàng hướng dẫn học sinh chứng minh với (**) (2) nghiệm ∀α Việc giải tốn hồn thành Ví dụ CMR với a, b số không âm ta ln có: 3a3 + 7b3 ≥ 9ab2 (1) Giáo viên đưa cách giải: Đặt M = 3a3 + 7b3 , biến đổi M = 3a +3b3 + 4b3 áp dụng bất đẳng thức cô-si cho số dương ta có: M = 3a +3b3 + 4b3 ≥ 3 3a 33b3 4b3 = 33 36ab2 Do 36 > 27 ⇒ 33 36 > ⇒ M ≥ 9ab2 dấu “=” xảy a=b=0 12 Việc đưa lời giải cách đột ngột không tốt mặt sư phạm Học sinh không hiểu rằng, vào đâu mà thầy giáo lại áp dụng bất đẳng thức cô-si có nhiều bất đẳng thức khác? Tại lại phân tích 7b3 thành tổng số hạng? tách số hạng thứ thành số hạng? Vì vậy, tri thức mà học sinh lĩnh hội ghi nhớ cách máy móc Để dạy cho học sinh toán trên, giáo viên cần làm sáng tỏ thắc mắc học sinh hệ thống câu hỏi: Điều kiện a ≥ 0,b ≥ gợi cho ta biết nên dùng bất đẳng thức nào? (dùng bất đẳng thức cô-si) Dùng bất đẳng thức cơ-si theo chiều nào? sao? (căn vào chiều bất đẳng thức (1), VT ≥ VP chiều bất đẳng thức cô-si ta chọn chiều: TB cộng ≥ TB nhân; đặt M = 3a3 + 7b3 ) Chỉ rõ phương án áp dụng bất đẳng thức cô-si? Học sinh nghĩ đến việc áp dụng bất đẳng thức cô-si cho số không âm, nhiên kết thu không ta mong đợi Đến thầy hỏi tiếp: Có thể dùng phương án khác hay khơng? (có thể xem M tổng nhiều số hạng, mà trước hết ta xem M tổng số hạng khơng âm) Phân tích số hạng số hạng đó? (Xem M = m1+m2+m3, áp dụng bất đẳng thức cơ-si ta M ≥ 3 m1m 2m3 mà ta mong muốn 3 m1m 2m3 = 9ab2 Như vậy, bậc bắt buộc phải có biểu thức a3b6 mà a3b6 = a3b3b3; sở ta đến khẳng định: giữ nguyên 3a 3, tách 7b3 thành tổng số hạng) Có thể tách M thành tổng số hạng nào? (M = 3a3 + b3 + 6b3; M = 3a3 + 2b3 + 5b3 M = 3a3 +3 b3 + 4b3) Xét xem trường hợp trên, trường hợp dẫn ta đến kết quả? (Xét thấy: M1 = 3a3 + b3 + 6b3 ≥ 33 3a3b36b3 = 33 18ab2 < 9ab2 nên không thoả mãn; M2 ≥ 3a3.2.b3.5b3 = 33 30ab2 , thoả mãn 33 30 > 33 27 = ) Đến hướng giải roán mở Vấn đề lại tổng hợp trình bày lời giải Như vậy, trình giảng dạy giáo viên cần coi vai trò việc phân tích đặc điểm tốn để hình thành phương pháp giải 13 Ví dụ Tìm m để phương trình sau có nghiệm: 90 (1 − x)2 + m 90 − x + (m + )90 (1 + x)2 = (1) Hình thức toán dễ tạo “ngợp”, nên gây cho học sinh khó khăn việc phát mối quan hệ chất chứa toán Giáo viên gợi học sinh phân tích tìm mối liên hệ yếu tố tạo nên toán để tìm tịi lời giải Xác định điều kiện phương trình? (1 - x2 ≥ ⇔ -1 ≤ x ≤ 1) Quan sát toán em nhận mối liên hệ không?(1 - x2 = (1 + x)(1 - x)) Các hạng tử 90 (1 − x)2 , việc phân tích khơng? 90 − x2 , 90 (1 + x)2 , có mối liên hệ thông qua Mong muốn học sinh lập luận: với x thỏa mãn -1 ≤ x ≤ Ta có: 90 − x2 = 90 − x 90 + x ; 90 (1 − x)2 = (90 − x )2 ; 90 (1 + x)2 = (90 − x )2 (2) Em có nhận xét phương trình (2)? Hãy đề xuất phương pháp giải? Đặt 90 1− x = X ; 90 2 + x = Y , ta được: X + mX.Y + (m + )Y = Mong muốn học sinh trả lời: Đây phương trình đẳng cấp bậc Phương pháp giải kiểm tra Y = có nghiệm hay khơng? Rồi sau xét Y ≠ chia vế cho Y 2, đặt: t= X Y chuyển phương trình phương trình bậc hai: t2 + mt + (m + ) = Tổng hợp kết phân tích Em đề xuất phương pháp giải phương trình (1)? +) Kiểm tra 90 (1 + x)2 = ⇔ x = - có nghiệm hay khơng? +) Chia hai vế phương trình cho 90 (1 + x)2 , được: 1+ x 1+ x  90  − x ÷ + m 90 − x + (m + ) =   14 1+ x  Đặt t = 90  (t ≥ 0) Ta được: t + mt + m + = (3) ÷ 1− x  +) Để phương trình (1) có nghiệm (3) có nghiệm thỏa mãn t ≥ Sau hồn thành ví dụ trên, giáo viên khắc sâu cho học sinh việc nhận dạng phương trình dạng: aX2 + bXY + cY2 = Qua ví dụ ta thấy khơng phân tích, phát mối quan hệ đặc biệt tốn khó khăn; học sinh cảm thấy lúng túng Thực tế có nhiều tốn nên việc rèn luyện cho học sinh khả cần thiết Trong trình tiếp cận giải tốn đó, học sinh khơng nhìn tốn từ góc độ mà phải xem xét tốn theo quan điểm tồn diện, khơng chấp nhận cách giải quen thuộc Ví dụ Cho số x, y, z thoả mãn điều kiện: 0 ≤ x; y; z ≤ (1)   x + y + z = (2) Tìm giá trị nhỏ biểu thức: T= x2 + y2 + z2 (3) Giải: Cách giải 1(Cho lớp 10 chương trình nâng cao) Từ (2) ⇒ = (x + y + z) ⇒ = (1.x + 1.y + 1.z) ⇒ ≤ 3(x + y + z ) ⇒ T = , x=y=z=1 Cách giải 2(Cho lớp lớp 10) +) (2) (3) có tính chất: “x, y,z có vai trị nhau” gợi cho ta: “có khả T nhỏ x=y=z=1” ta thử khai thác theo hướng xem sao! +) Gắn giả thiết kết luận ta có: (x − 1) + (y − 1) + (z − 1) ≥ 0∀(x, y,z) ⇔ x + y + z − 2(x + y + z) + ≥ ⇔ T ≥ từ minT=3 Phân tích lời giải ta nhận thấy: Cách hay địi hỏi q trình phân tích phải cơng phu Cách 1là cách “tốt” để khái qt tốn Ví dụ 10 Chứng minh hàm số: f (x) = x − x + + x + x + có giá trị nhỏ x=0 15 Khai thác tính chất hàm số f(x) ta có lời giải 1: Lời giải 1: Do x + x + > ∀x; x - x + > ∀x nên f(x)>0 ∀x Vì f(x) f2(x) đồng thời đạt giá trị lớn nhất, nhỏ (nếu có) Ta xét hàm số f (x) = ( x + 1) + x + x + Do x2+1 ≥ ,x4+x2+1 ≥ ,dấu x=0 ⇒ f ( x) ≥ ,đẳng thức xảy x=0 Và minf(x)=f(0)=2 (ĐPCM) Sử dụng bất đẳng thức cổ điển ta có lời giải Lời giải 2: Phân tích biểu thức ta có: 3 x + x + = ( x + )2 + ≥ > ∀x 4 3 x − x + = ( x − )2 + ≥ > ∀x 4 f(x) tổng số dương, gợi ta nghĩ đến sử dụng bất đẳng thức cô-si: f ( x ) = x − x + + x + x + ≥ x + x + ≥ x2 + x +1 = x - x +1 ⇔x=0 Dấu đẳng thức xẩy khi:  x + x +1 = Suy f(x) ≥2 x=0 (đpcm) x2 + x + ; Liên tưởng biểu thức x2 − x + độ dài đoạn thẳng ta có lời giải Lời giải 3: Ta biết: AB = ( x −x 2 ) ( + y −y ) A(x1; y1), B(x2; y2) Định hướng cho ta phân tích: x2+x+1=[x-(- )]2+(0- )2 16 x2-x+1=(x- )2+(0- )2 Khi hàm số biến đổi dạng: 2 2   3 1  3   f ( x) =  x − (− )  +  − + x − + − ÷ ÷  ÷     2      Nếu đặt M(x; 0) A  − ;  3 ÷; ÷  1 B  ;  3 ÷ ÷  điểm nằm mặt phẳng tọa độ Oxy f(x) =MA+MB Chuyển hoá nội dung toán ta phát biểu sau: “CMR: MA+MB có giá trị nhỏ M trùng O” Từ hình vẽ, ta suy ra: y MA + MB = MA’ + MB ≥ A’B, dấu “=” xảy M ≡ O A B ⇔ x = Vậy, Min f(x) = A’B =2OB= x = M − 2 x A' III HIỆU QUẢ CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Tổ chức thực nghiệm Thực nghiệm sư phạm tiến hành trường THPT Hoằng Hoá +) Lớp thực nghiệm: 10A4 +) Lớp đối chứng: 10A2 Thời gian thực nghiệm tiến hành vào khoảng tháng 10/2012 đến tháng năm 2013 Giáo viên dạy lớp thực nghiệm: Thầy Nguyễn Văn Trường 17 Giáo viên dạy lớp đối chứng: Cô Nguyễn Lan Phương Được đồng ý Ban Giám hiệu, thầy dạy tốn hai lớp 10 A 10A2 Tơi tìm hiểu hai lớp 10A 10A2 lớp khối A trường, nên hầu hết học sinh lớp có học lực mơn Tốn trở lên tương đương Nội dung thực nghiệm Đề kiểm tra (thời gian 60 phút) Câu I: a) Tìm giá trị nhỏ biểu thức: y = x −1 + x − + x − b) Tìm điểm trục số cho tổng khoảng cách từ tới điểm A, B, C có toạ độ tương ứng 1,3,5 nhỏ Câu II: Cho phương trình: x3 + 1 = m(x + ) (1) x x Tìm m để phương trình có nghiệm? Câu III: a) Vẽ đồ thị hàm số y = x2 - 4x + Từ đó, xác định m để phương trình x2 - 4x + = m có nghiệm x ∈ [1; + ∞ ) b) Nêu phương pháp giải tốn: “Tìm m để phương trình ax2 + bx + c = m (m tham số; a, b, c số cho trước a ≠ ) có nghiệm x ∈ D” Việc đề hàm chứa dụng ý sư phạm, tất nhiên đề kiểm tra dành cho học sinh có học lực trở lên hai lớp thực nghiệm đối chứng Xin phân tích rõ điều đồng thời đánh giá sơ chất lượng làm học sinh Đề kiểm tra không khó khơng q dễ so với trình độ học sinh Có thể nói với mức độ đề phân hóa trình độ học sinh, đồng thời đưa cho giáo viên đánh giá xác mức độ nắm kiến thức học sinh Cả ba câu đề kiểm tra khơng nặng tính tốn, mà chủ yếu kiểm tra khả tư Đánh giá kết thực nghiệm Kết làm kiểm tra học sinh lớp thực nghiệm (TN) học sinh lớp đối chứng (ĐC) thể thông qua bảng sau: 18 Năm học 20122013 Điểm trở Điểm từ đến Điểm lên Lớp Tổng số TN 45 12 26,7% 27 60 % 13,3% ĐC 45 13,3 % 55,6% 14 31,1 % Số Tỷ lệ lượng Số Tỷ lệ lượng 25 Số Tỷ lệ lượng Căn vào kết kiểm tra, bước đầu thấy hiệu SKKN rèn luyện cho học sinh thao tác tư giải toán Đại số nói riêng giải tốn nói chung KẾT LUẬN 1.Kết nghiên cứu Sáng kiến kinh nghiệm Đã phần làm sáng tỏ thực trạng khả rèn luyện thao tác tư dạy học tốn trường phổ thơng Đã làm phần làm sáng tỏ số đường để tập luyện cho học sinh khả phân tích, khái quát hoá, đặc biệt hoá tương tự Đã thể định hướng sư phạm nhằm rèn luyện thao tác tư dạy học tập Đại số trường THPT Thiết kế cách thức dạy học số ví dụ, hoạt động theo hướng dạy học tích cực Đã tổ chức thực nghiệm sư phạm để minh học tính khả thi hiệu định hướng sư phạm đề xuất Như khẳng định rằng: Sáng kiến kinh nghiệm hồn thành mục đích nghiên cứu làm tài liệu tham khảo cho giáo viên 2.Kiến nghị đề xuất 1.Đối với tổ nhóm chun mơn nhà trường 19 Các tổ chun mơn nên tăng cường trình bày chun đề chương trình mơn 2.Đối với Sở giáo dục đào tạo Nên giới thiệu phổ biến trường phổ thông sáng kiến kinh nghiệm có chất lượng để trao đổi áp dụng thực tế 20