SKKN Rèn luyện cho học sinh lớp 10 kỹ năng giải toán véctơ và sử dụng phương pháp véctơ để giải toán

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐỀ TÀI: "RÈN LUYỆN CHO HỌC SINH LỚP 10 KỸ NĂNG GIẢI TOÁN VÉCTƠ VÀ SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP VÉCTƠ ĐỂ GIẢI TOÁN" Phần I: MỞ ĐẦU I- Lý do lựa chọn đề tài. I.1. Tính lịch sử. “Cùng với KHCN, giáo dục là quốc sách hàng đầu”. Chủ trương đó đã thể hiện rõ quan điểm, đường lối của Đảng và nhà nước ta, khẳng định tầm quan trọng của giáo dục đối với sự phát triển của đất nước, bởi lẽ giáo dục đóng vai trò quyết định trong việc đào tạo lực lượng sản xuất, đem đến sự thành công của công cuộc xây dựng đất nước, xây dựng CNXH. Ngành Giáo dục đã triển khai thực hiện công tác đổi mới giáo dục phổ thông bao gồm: Đổi mới cơ sở vật chất phục vụ cho dạy học, đổi mới chương trình sách giáo khoa, đổi mới công tác quản lý chỉ đạo, đổi mới phương pháp dạy học, đổi mới cách kiểm tra đánh giá v.v nhằm giúp học sinh phát triển một cách toàn diện. Năm học này, Bộ Giáo dục và đào tạo đưa ra khẩu hiệu “Xây dựng trường học thân thiện và học sinh tích cực” cũng chính là nhằm hướng học sinh đến sự phát triển toàn diện. Trong hệ thống các môn học được đưa vào đào tạo ở trường phổ thông, môn Toán đóng vai trò hết sức quan trọng, bởi lẽ qua học toán học sinh sẽ được phát triển một cách tốt nhất tư duy sáng tạo, linh hoạt, dễ thích ứng với mọi hoàn cảnh, phù hợp với xu thế phát triển của đất nước ta hiện nay. Học tốt môn toán sẽ giúp học sinh học tốt nhiều môn học khác. Xưa nay đây là môn học mà không ít học sinh phải ngại ngùng khi nhắc đến, việc học toán đối với nhiều học sinh luôn là một điều khó khăn. Trong các phân môn của toán học phổ thông thì Hình học luôn được coi là môn học khó khăn hơn cả. Tất cả những đánh giá trên có thể xuất phát từ những lý do khách quan và chủ quan như: Học sinh chưa nắm được phương pháp học tập, giáo viên còn ôm đồm kiến thức trong giảng dạy, khó khăn về một cơ sở lý luận trong việc dạy học bộ môn v.v Học toán đồng nghĩa với giải toán. Muốn làm được bài tập, ngoài việc phải có vốn kiến thức từ các công thức, quy tắc, định nghĩa, khái niệm, định lý còn cần có một phương pháp suy luận đúng đắn. I.2. Tính cấp thiết. Bằng việc trao đổi với đồng nghiệp và kinh nghiệp dạy Hình học của bản thân, tôi nhận thấy chất lượng dạy và học hình học nói chung chưa cao: hầu hết học sinh đều ngại, sợ học Hình học, không biết cách giải một bài toán Hình học. Mà việc giải một bài tập Hình học không chỉ dựa vào việc có nắm được các kiến thức cơ bản hay không mà còn dựa rất nhiều vào việc nhận ra được mối liên quan giữa các kiến thức đó và vận dụng chúng như thế nào vào bài toán. I.3. Thực trạng. Đối với học sinh trường THPT Bỉm Sơn thì: - Đa số học sinh nắm vững và vận dụng tốt các kiến thức hình học cơ bản vào việc giải các bài tập. Tuy nhiên, còn có một vài lớp và một số học sinh rải rác ở các lớp vẫn không thể nắm vững và vận dụng được các kiến thức cơ bản của hình học vào việc giải các bài tập. - Nhiều học sinh không nắm được các kiến thức đã học, học trước quên sau. Kỹ năng vận dụng kiến thức cơ bản vào các hoạt động giải toán còn yếu. Về mặt kiến thức: Khái niệm vec-tơ là rất mới mẻ đối với học sinh lớp 10. Qua khảo sát kiến thức và kĩ năng của một số học sinh lớp 10 trường THPT Bỉm Sơn – Thanh Hóa, năm học 2011 – 2012 sau khi các em đã được học các kiến thức về vec-tơ tôi nhận thấy các em còn bỡ ngỡ và gặp nhiều lúng túng. Lấy ví dụ: Trong hai đề kiểm tra kiến thức về vec-tơ ở 2 lớp 10C4 và 10C7 có các bài toán như sau: Đề 1: Cho hai hình bình hành ABCD và AB'C'D' có chung đỉnh A. Chứng minh rằng: a/ ′ ′ ′ = +CC BB DD uuur uuur uuur . b/ Hai tam giác BC'D và B'CD' có cùng trọng tâm. Đề 2: Cho tam giác OAB. Đặt = =OA a, OB b uur uur r r và gọi C, D, E là các điểm sao cho = = = 1 1 AC 2AB, OD OB,OE OA 2 3 uuur uur uuur uur uuur uur . a/ Hãy biểu thị các vec-tơ OC, CD, DE uuur uuur uuur qua các vec-tơ a, b r r . b/ Chứng minh rằng ba điểm C, D, E thẳng hàng. Qua khảo sát 98 học sinh của 2 lớp có được kết quả như sau: Số bài Không làm được câu nào Làm được cả 2 câu Chỉ làm được câu a Chỉ làm được câu b Đề 1 42 25 (59,52%) 9 (21,43%) 7 (16,67%) 1 (2,38%) Đề 2 46 27 (58,70%) 11 (23,91%) 6 (13,04%) 2 (4,35%) Qua bài làm của học sinh và qua thực tế giảng dạy, tôi nhận thấy bộc lộ những nhược điểm chính ở học sinh như sau: - Không nắm vững kiến thức vec-tơ, không hiểu rõ và cũng không phân biệt chính xác các kí hiệu: AB, AB, | AB|, AB uuur uuur . - Không nắm vững các quy tắc cộng, trừ các vec-tơ, nhân một số với một vec-tơ, tích vô hướng của hai vec-tơ. Khi tính toán một số em tuỳ tiện bỏ kí hiệu vec-tơ, kĩ năng vận dụng kiến thức vec-tơ để giải toán còn yếu, nhất là các bài toán mà trong đó chưa viết rõ các quan hệ vec-tơ. - Thậm chí, với bài toán “Cho nửa đường tròn tâm O có đường kính AB = 2R. Gọi M, N là hai điểm trên nửa đường tròn đó sao cho 2 dây cung AM và BN cắt nhau tại I. Chứng minh: =AI.AM AI.AB uur uuur uur uur .”, có học sinh đã làm như sau: AI.AM AI.AB AM AB= ⇔ = uur uuur uur uuur uuur uuur (chia cả hai vế cho AI uur ) rồi suy ra đẳng thức không xảy ra. Điều đó chứng tỏ học sinh chưa hiểu rõ khái niệm về tích vô hướng của các vec-tơ. Trong rất nhiều nguyên nhân dẫn đến kết việc học sinh không tiếp thu tốt các kiến thức về vec-tơ, có một nguyên nhân là học sinh ít được thực hành các bài toán cơ bản về các khái niệm về vec-tơ. Có một lý do ở đây là thời lượng quy định cho mỗi bài học không đủ cho giáo viên và học sinh làm được việc này. Đặc biệt là đối với các học sinh không thực sự khá về môn Toán. Chính vì những lý do trên, nhằm giúp các em lĩnh hội tốt hơn về kiến thức vec-tơ, có kĩ năng giải bài tập về vec-tơ cũng như sử dụng vec-tơ như một công cụ tốt để giải toán tôi mạnh dạn lựa chọn và nghiên cứu vấn đề: “Rèn luyện cho học sinh lớp 10 kỹ năng giải toán vec-tơ và sử dụng phương pháp vec-tơ để giải toán.” II. Mục đích nghiên cứu. Không có phương pháp tốt, không thể có kết quả cao. Biết vận dụng các kiến thức cơ bản một cách phù hợp sẽ có được cách giải bài tập tốt hơn. Đặc biệt ở lớp 10, học sinh lần đầu tiên được va chạm với các kiến thức về vec-tơ, vì vậy mục đích đặt ra là thông qua việc dạy cho học sinh các vận dụng các kiến thức cơ bản về vec-tơ để giúp học sinh thấy được: - Các ký hiệu, bản chất các ký hiệu về vec-tơ. - Mối quan hệ giữa vec-tơ với các kiến thức khác trong hình học. - Chuyển đổi giữa các bài toán hình học thông thường với một bài toán vec-tơ. - Các phương pháp suy nghĩ để tìm lời giải một bài toán hình học nhờ phương pháp vec-tơ. Từ đó giúp học sinh vượt qua tâm lí ngại và sợ học hình học, đặc biệt là các bài toán về vec-tơ. III. Thời gian, địa điểm nghiên cứu. Sáng kiến kinh nghiệm này được nghiên cứu, áp dụng thực hiện trong năm học 2011 – 2012, tại hai lớp 10C4 và 10C7, trường THPT Bỉm Sơn, Thanh Hóa. Đây là hai lớp có điểm đầu vào bình quân thấp nhất khối 10. Nội dung sáng kiến được trình bày cho học sinh trong một số giờ học tự chọn của bộ môn Toán và một số buổi học bồi dưỡng (ngoài giờ học chính khóa). Phần II: NỘI DUNG I- Một số kiến thức cơ bản cần chú ý. I.1. Các định nghĩa về vec-tơ, các kí hiệu thường dùng. Cho 2 điểm A, B thì: - Ký hiệu AB chỉ độ dài đoạn thẳng AB. Như vậy ký hiệu AB và BA là như nhau. - Ký hiệu AB uuur chỉ vec-tơ AB. Như vậy ký hiệu AB uuur và BA uuur , nói chung, là hai vec-tơ khác nhau. - Ký hiệu | AB| uuur chỉ độ dài của vec-tơ AB uuur . Như vậy | AB| AB= uuur và, do đó, | AB| | BA |= uuur uuur . - Ký hiệu AB chỉ độ dài đại số của vec-tơ AB. I.2. Các phép toán về vec-tơ. I.2.1. Phép cộng các vec-tơ. - Quy tắc ba điểm: Với 3 điểm A, B, C thì: AB BC AC+ = uuur uur uuur . - Quy tắc hình bình hành: Với ABCD là một hình bình hành thì: AB AD AC+ = uuur uuur uuur . - Tính chất trung điểm: Với I là trung điểm của đoạn thẳng AB thì: + IA IB 0+ = uur uur r . + MA MB 2MI+ = uuur uuur uur , với điểm M bất kỳ. I.2.2. Phép trừ các vec-tơ. Với ba điểm O, A, B thì: OA OB BA− = uuur uuur uuur . I.2.3. Phép nhân vec-tơ với một số. - Cho vec-tơ u r và số k ∈ Ρ. Vec-tơ ku r được xác định bởi: + ku r cùng hướng với vec-tơ u r nếu k ≥ 0 và ngược hướng với vec-tơ u r nếu k < 0. + | ku | | k |.| u | = r r . - Cho b 0 ≠ r r và a r cùng phương với b r . Khi đó, tồn tại duy nhất một số thực k sao cho: a kb = r r . - Ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi AB uuur và AC uuur là các vec-tơ cùng phương. I.2.4. Tích vô hướng của hai vec-tơ. - Cho trước hai vec-tơ a, b r r . Từ một điểm O cố định, dựng các vec-tơ OA a, OB b = = uuur uuur r r . Khi đó góc · AOB là góc giữa hai vec-tơ a, b r r . Ký hiệu: · (a, b) r r hoặc (a, b) r r . - Tích vô hướng của hai vec-tơ: a.b | a |.| b |.cos(a, b) = r r r r r r . - a b a.b 0 ⊥ ⇔ = r r r r . - 2 2 a.a a | a | = = r r r r . I.3. Tọa độ của vec-tơ và của điểm trong mặt phẳng. Xét hệ tọa độ Oxy. - u(x;y) u (x;y) u xi yj ⇔ = ⇔ = + r r r r r . - M(x; y) ⇔ OM (x;y) OM xi yj = ⇔ = + uuur uuur r r . - Với u(x;y), v(x ;y ) ′ ′ r r , k ∈ Ρ: + x x u v y y ′ =  = ⇔  ′ =  r r + u v (x x ;y y ) ′ ′ ± = ± ± r r . + ku (kx;ky) = r . + u.v xx yy ′ ′ = + r r . + 2 2 | u | x y = + r . + 2 2 2 2 u.v xx yy cos(u,v) | u |.| v | x y . x y ′ ′ + = = ′ ′ + + r r r r r r . I.4. Học sinh cần được rèn luyện kĩ năng tổng hợp nhiều vec-tơ thành một vec-tơ và ngược lại, cần biết phân tích một vec-tơ thành nhiều vec-tơ khác (thường là phân tích một vec-tơ thành hai vec-tơ khác chung gốc nhưng không cùng phương hoặc phân tích thành hiệu hai vec-tơ khác chung gốc). Ở mỗi bài tập nên phân tích có những cách giải khác nhau giúp học sinh có những cách nhìn linh hoạt hơn về vec-tơ. I.5. Cần rèn cho học sinh biết cách chuyển từ ngôn ngữ hình học thông thường sang ngôn ngữ vec-tơ và ngược lại. Ví dụ: TT Kiến thức hình học tổng hợp Vec-tơ 1 M là trung điểm của đoạn 1) MA MB 0+ = uuur uuur r thẳng AB 2) AM MB= uuur uuur 3) OA OB 2OM+ = uuur uuur uuur , với mọi điểm O 2 G là trọng tâm ΔABC 1) GA GB GC 0+ + = uuur uuur uuur r 2) OA OB OC 3OG+ + = uuur uuur uuur uuur , với ∀O 3 AM là trung tuyến của ΔABC AB AC 2AM+ = uuur uuur uuur 4 Ba điểm A, B, C thẳng hàng AB kAC= uuur uuur (k ≠ 0) 5 AB // CD AB kCD ( k 0) AB mAC ( m )  = ∃ ≠   ≠ ∀ ∈   uuur uuur uuur uuur ¡ 6 AB ⊥ CD AB.CD 0= uuur uuur 7 ABCD là hình bình hành AB DC= uuur uuur (A ∉ DC) I- Hướng dẫn học sinh giải các bài toán về vec-tơ. I.1. Các bài toán xác định vec-tơ. 1. Làm cho học sinh nắm vững hơn khái niệm vec-tơ cùng hướng, vec-tơ bằng nhau. Một trong những nguyên nhân khiến học sinh không giải được các bài toán về vec- tơ là không hiểu rõ khái niệm vec-tơ, không biết cách xác định một vec-tơ, không hiểu rõ hai vec-tơ bằng nhau, nhầm lần vec-tơ bằng nhau với đoạn thẳng bàng nhau Để giải quyết được điều này, tác giả đã cho học sinh làm lại và phân tích kỹ lời giải của học sinh qua hoạt động số 2 (§1, chương I, SGK Hình học 10 nâng cao): Cho trước [...]... r r r Từ (1) và (2) ta có: | a + d | + | b + d | + | c + d | < | a | + | b | + | c | + | d | * Với kiến thức về độ dìa vec-tơ, có thể hướng dẫn để học sinh vận dụng vào giải các bài toán khác Sau khi cho học sinh rèn luyện thêm các bài tập để khắc sâu khía niệm vec-tơ, tác giả đã cho học sinh vận dụng kiến thức độ dài vec-tơ vào bài toán sau và học sinh đã thực hiện hiệu quả Ví dụ 5: Cho tứ giác lồi... thấy với những kinh nghiệm trên, học sinh đã bước đầu thành thạo trong giải toán vec-tơ và sử dụng vec-tơ là một công cụ hữu hiệu để giải toán đồng thời phát huy tính tích cực, sáng tạo trong học tập của học sinh Thông qua một số bài toán tôi muốn hình thành cho học sinh tư đuy lôgic, quá trình tập dượt sáng tạo toán học Điều đó góp phần nâng cao chất lượng dạy và học Tuy nhiên, những ý kiến này chưa... dẫn học sinh xem xét phát hiện các vec-tơ cùng phương, cùng hướng trong bài toán để sử dụng vào việc biểu diễn Để rèn luyện loại toán này, trước hết, tác giả đã cho học sinh thực hành qua một bài toán khá đơn giản sau đây Ví dụ 2: Cho hình bình hành ABCD tâm O Gọi E là trung điểm của BC Đặt uuu r uuu r r r uuu r r r AB = a, AO = b Hãy biểu diễn vec-tơ AE theo các vec-tơ a và b Giải: Cách 1: Gợi ý học. .. hình vẽ như sau: Sau khi học sinh đã nắm được các khái niệm về vec-tơ một cách tương đối chắc chắn, tác giả tiến hành cho học sinh rèn luyện khả năng vận dụng kiến thức vec-tơ vào giải toán thông qua một số ví dụ, bài toán cụ thể Hơn nữa, với mỗi ví dụ, bài toán, tác giả luôn cố gắng hướng dẫn học sinh tìm nhiều cách giải khác nhau, qua đó vận dụng được nhiều kiến thức cơ bản và hiểu rõ thêm về bản chất... tượng học sinh, đặc biệt là các học sinh khá giỏi Việc áp dụng nội dung sán kiến này vào giảng dạy cần được bố trí hợp lý về mặt thời gian Nếu trường nào không bố trí giờ học tự chọn thì khá khó khăn về mặt thời gian để có thể áp dụng được Hơn nữa, rất cần đến sự kiên trì của giáo viên vì đối tượng học sinh áp dụng trong sáng kiến này là những học sinh có tố chất, tư duy toán học chưa thật tốt, ngại học. .. Vận dụng các kiến thức về vec-tơ để giải các bài toán Đối với các em học sinh khá giỏi có thể hướng dẫn các em khai thác sâu hơn kiến thức vec-tơ, coi đó là một công cụ hữu hiệu để giải các bài toán khác Chẳng hạn: Chứng minh bất đẳng thức, giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình, tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số, nhận dạng tam giác … Điều này sẽ giúp các em học sinh học. .. xảy ra khi và chỉ khi u = kv với k > 0 a 2ab ⇔ a − x = (x − b) ⇔ x = b a+b Vậy hàm số có giá trị nhỏ nhất là 2(a 2 + b 2 ) , đạt được tại x = 2ab a+b Phần III: KẾT QUẢ ÁP DỤNG SÁNG KIẾN Trong năm học 2011-2012, tác giả được giao giảng dạy Toán ở các lớp 10C4, 10C7 là các lớp có chất lượng đầu vào (điểm thi tuyển sinh vào lớp 10, môn Toán) là thấp so với mặt bằng chung của nhà trường Sau khi học xong... quả của học sinh ở hai lớp đã được nêu trong phần đầu của bản Sáng kiến kinh nghiệm này Tác giả đã sử dụng nội dung Sáng kiến để dạy cho lớp 10C4, còn lớp 10C7 vẫn dạy theo giáo án trước đây Sau khi thực hiện xong nội dung giáo án, tác gải đã khảo sát lại chất lượng của hai lớp với thời lượng 60 phút bằng đề kiểm tra sau: Câu 1 : Cho hai tam giác ABC và A'B'C' có AA', BB', CC' đôi một song song và bằng... tắc ba điểm và cách dựng vec-tơ tổng của hai vec-tơ, tác giả cho học sinh làm lại nội dung của hoạt động 4 (§2, chương I, SGK Hình học 10 nâng cao) Trước hết, tác giả vẽ lên bảng hình vẽ như sau: Yêu cầu học sinh: uuu r uuu r uur r r r - Xác định các điểm A, B, C sao cho: OA = a, AB = b, BC = c r r r r - Dựng các vec-tơ a + b, b + c Sau khi học sinh thực hiện yêu cầu và giáo viên chỉnh sửa những sai... kỳ, thẳng hàng cách đều nhau ) Tiếp theo, khi học sinh đã nắm vững khái niệm độ dài vec-tơ, tác giả củng cố lại cho học sinh rằng hai vec-tơ bằng nhau khi và chỉ khi chúng có cùng hướng và cùng độ dài, hai vec-tơ đối nhau nếu chúng ngược hướng và có cùng độ dài Đồng thời cho học sinh thực hành qua ví dụ sau: Ví dụ 4: Cho tứ giác lồi ABCD có hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O Đặt uuu r uuu r uuu r . NGHIỆM ĐỀ TÀI: "RÈN LUYỆN CHO HỌC SINH LỚP 10 KỸ NĂNG GIẢI TOÁN VÉCTƠ VÀ SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP VÉCTƠ ĐỂ GIẢI TOÁN" Phần I: MỞ ĐẦU I- Lý do lựa chọn đề tài. I.1. Tính lịch sử. “Cùng với KHCN,. năng giải bài tập về vec-tơ cũng như sử dụng vec-tơ như một công cụ tốt để giải toán tôi mạnh dạn lựa chọn và nghiên cứu vấn đề: Rèn luyện cho học sinh lớp 10 kỹ năng giải toán vec-tơ và sử. cần hướng dẫn học sinh xem xét phát hiện các vec-tơ cùng phương, cùng hướng trong bài toán để sử dụng vào việc biểu diễn. Để rèn luyện loại toán này, trước hết, tác giả đã cho học sinh thực hành