Rèn luyện cho học sinh lớp 10 kỹ năng giải toán véctơ và sử dụng phương pháp véctơ để giải toán_SKKN TOÁN THPT

Lời nói đầu Trong chương trình Tốn học học giảng dạy trường phổ thơng, Hình học mơn học khó khăn học sinh Nắm kiến thức vấn đề khó, vận dụng kiến thức cách linh hoạt để giải tốn cịn việc khó khăn nhiều Tìm mối liên quan nội dung để có cách giải tốn hay, hiệu việc làm thiết thực Trên sở nội dung, chương trình làm việc cá nhân tổ nhóm chun mơn, thân tơi tìm vài hướng giải số vấn đề giảng nhằm nâng cao chất lượng giảng tạo hứng thú cho học sinh việc học tập nghiên cứu toán học Những vấn đề nghiên cứu được, tập hợp viết lại báo cáo sáng kiến kinh nghiệm nhằm giúp cho thân đồng nghiệp học sinh có thêm tài liệu tham khảo q trình giảng dạy học tập mơn tốn trường THPT Nội dung sáng kiến chưa thật đầy đủ so với nội dung vấn đề mà tơi lựa chọn thiết nghĩ, bổ sung vào hành trang người giáo viên công cụ có hiệu Tơi xin chân thành cám ơn thầy giáo Nguyễn Danh Du – Phó hiệu trưởng, thầy giáo Hồng Minh Hiển – Phó hiệu trưởng, thầy giáo Phạm Ngọc Bá – tổ trưởng chuyên môn thầy giáo, giáo tổ Tốn – Tin học trường THPT Bỉm Sơn đọc trước thảo đóng góp nhiều ý kiến sát thực tiễn để tơi hồn thành đề tài Bỉm sơn, tháng năm 2012 Người thực đề tài Trường THPT Bỉm Sơn – Thanh Hoá giáo viên: Vũ Quý Phương Vị Quý Phơng Sáng kiến - Kinh nghiệm dạy học, năm häc 2011-2012 Trang giáo viên: Vũ Quý Phương Trường THPT Bỉm Sơn – Thanh Hoá Phần I: MỞ ĐẦU I- Lý lựa chọn đề tài I.1 Tính lịch sử “Cùng với KHCN, giáo dục quốc sách hàng đầu” Chủ trương thể rõ quan điểm, đường lối Đảng nhà nước ta, khẳng định tầm quan trọng giáo dục phát triển đất nước, lẽ giáo dục đóng vai trò định việc đào tạo lực lượng sản xuất, đem đến thành công công xây dựng đất nước, xây dựng CNXH Ngành Giáo dục triển khai thực công tác đổi giáo dục phổ thông bao gồm: Đổi sở vật chất phục vụ cho dạy học, đổi chương trình sách giáo khoa, đổi công tác quản lý đạo, đổi phương pháp dạy học, đổi cách kiểm tra đánh giá v.v nhằm giúp học sinh phát triển cách toàn diện Năm học này, Bộ Giáo dục đào tạo đưa hiệu “Xây dựng trường học thân thiện học sinh tích cực” nhằm hướng học sinh đến phát triển tồn diện Trong hệ thống mơn học đưa vào đào tạo trường phổ thơng, mơn Tốn đóng vai trò quan trọng, lẽ qua học toán học sinh phát triển cách tốt tư sáng tạo, linh hoạt, dễ thích ứng với hoàn cảnh, phù hợp với xu phát triển đất nước ta Học tốt môn tốn giúp học sinh học tốt nhiều mơn học khác Xưa mơn học mà khơng học sinh phải ngại ngùng nhắc đến, việc học tốn nhiều học sinh ln điều khó khăn Trong phân mơn tốn học phổ thơng Hình học ln coi mơn học khó khăn Tất đánh giá xuất phát từ lý khách quan chủ quan như: Học sinh chưa nắm phương pháp học tập, giáo viên cịn ơm đồm kiến thức giảng dạy, khó khăn sở lý luận việc dạy học môn v.v Học tốn đồng nghĩa với giải tốn Muốn làm S¸ng kiến - Kinh nghiệm dạy học, năm học 2011-2012 Trang Trường THPT Bỉm Sơn – Thanh Hoá giáo viên: Vũ Quý Phương tập, ngồi việc phải có vốn kiến thức từ công thức, quy tắc, định nghĩa, khái niệm, định lý cịn cần có phương pháp suy luận đắn I.2 Tính cấp thiết Bằng việc trao đổi với đồng nghiệp kinh nghiệp dạy Hình học thân, tơi nhận thấy chất lượng dạy học hình học nói chung chưa cao: hầu hết học sinh ngại, sợ học Hình học, khơng biết cách giải tốn Hình học Mà việc giải tập Hình học khơng dựa vào việc có nắm kiến thức hay khơng mà cịn dựa nhiều vào việc nhận mối liên quan kiến thức vận dụng chúng vào toán I.3 Thực trạng Đối với học sinh trường THPT Bỉm Sơn thì: - Đa số học sinh nắm vững vận dụng tốt kiến thức hình học vào việc giải tập Tuy nhiên, cịn có vài lớp số học sinh rải rác lớp nắm vững vận dụng kiến thức hình học vào việc giải tập - Nhiều học sinh không nắm kiến thức học, học trước quên sau Kỹ vận dụng kiến thức vào hoạt động giải tốn cịn yếu Về mặt kiến thức: Khái niệm vec-tơ mẻ học sinh lớp 10 Qua khảo sát kiến thức kĩ số học sinh lớp 10 trường THPT Bỉm Sơn – Thanh Hóa, năm học 2011 – 2012 sau em học kiến thức vec-tơ tơi nhận thấy em cịn bỡ ngỡ gặp nhiều lúng túng Lấy ví dụ: Trong hai đề kiểm tra kiến thức vec-tơ lớp 10C4 10C7 có tốn sau: Đề 1: Cho hai hình bình hành ABCD AB'C'D' có chung đỉnh A Chứng minh rằng: uu uu uu ur ur u r a/ CC ′ = BB′ + DD′ b/ Hai tam giác BC'D B'CD' có cựng trng tõm Sáng kiến - Kinh nghiệm dạy học, năm học 2011-2012 Trang giaựo vieõn: Vuừ Quyự Phửụng Trường THPT Bỉm Sơn – Thanh Hoá ur r u r r u u Đề 2: Cho tam giác OAB Đặt OA = a , OB = b gọi C, D, E u u u r u u u r uu ur ur u ur u u r u điểm cho AC = AB, OD = OB, OE = OA uu uu uu ur ur ur r r a/ Hãy biểu thị vec-tơ OC, CD, DE qua vec-tơ a , b b/ Chứng minh ba điểm C, D, E thẳng hàng Qua khảo sát 98 học sinh lớp có kết sau: Số Đề Đề 42 46 Không làm Làm Chỉ làm Chỉ làm câu 25 (59,52%) 27 (58,70%) câu (21,43%) 11 (23,91%) câu a (16,67%) (13,04%) câu b (2,38%) (4,35%) Qua làm học sinh qua thực tế giảng dạy, nhận thấy bộc lộ nhược điểm học sinh sau: - Không nắm vững kiến thức vec-tơ, không hiểu rõ khơng phân uu uu ur ur biệt xác kí hiệu: AB, AB, | AB |, AB - Không nắm vững quy tắc cộng, trừ vec-tơ, nhân số với vec-tơ, tích vơ hướng hai vec-tơ Khi tính tốn số em tuỳ tiện bỏ kí hiệu vec-tơ, kĩ vận dụng kiến thức vec-tơ để giải tốn cịn yếu, tốn mà chưa viết rõ quan hệ vec-tơ - Thậm chí, với tốn “Cho nửa đường trịn tâm O có đường kính AB = 2R Gọi M, N hai điểm nửa đường trịn cho dây cung ur u u ur u r u ur u u AM BN cắt I Chứng minh: AI AM = AI AB ”, có học sinh ur u u ur u u u u u u u u r u ur u r ur ur u làm sau: AI.AM = AI.AB ⇔ AM = AB (chia hai vế cho AI ) suy đẳng thức không xảy Điều chứng tỏ học sinh chưa hiểu rõ khái niệm tích vơ hướng vec-tơ Trong nhiều nguyên nhân dẫn đến kết việc học sinh khơng tiếp thu tốt kiến thức vec-tơ, có nguyên nhân học sinh thực hành toán khái niệm vec-tơ Có lý thời S¸ng kiến - Kinh nghiệm dạy học, năm học 2011-2012 Trang Trường THPT Bỉm Sơn – Thanh Hoá giáo viên: Vũ Quý Phương lượng quy định cho học không đủ cho giáo viên học sinh làm việc Đặc biệt học sinh khơng thực mơn Tốn Chính lý trên, nhằm giúp em lĩnh hội tốt kiến thức vec-tơ, có kĩ giải tập vec-tơ sử dụng vec-tơ cơng cụ tốt để giải tốn tơi mạnh dạn lựa chọn nghiên cứu vấn đề: “Rèn luyện cho học sinh lớp 10 kỹ giải toán vec-tơ sử dụng phương pháp vec-tơ để giải tốn.” II Mục đích nghiên cứu Khơng có phương pháp tốt, khơng thể có kết cao Biết vận dụng kiến thức cách phù hợp có cách giải tập tốt Đặc biệt lớp 10, học sinh lần va chạm với kiến thức vec-tơ, mục đích đặt thông qua việc dạy cho học sinh vận dụng kiến thức vec-tơ để giúp học sinh thấy được: - Các ký hiệu, chất ký hiệu vec-tơ - Mối quan hệ vec-tơ với kiến thức khác hình học - Chuyển đổi tốn hình học thơng thường với toán vec-tơ - Các phương pháp suy nghĩ để tìm lời giải tốn hình học nhờ phương pháp vec-tơ Từ giúp học sinh vượt qua tâm lí ngại sợ học hình học, đặc biệt toán vec-tơ III Thời gian, địa điểm nghiên cứu Sáng kiến kinh nghiệm nghiên cứu, áp dụng thực năm học 2011 – 2012, hai lớp 10C4 10C7, trường THPT Bỉm Sơn, Thanh Hóa Đây hai lớp có điểm đầu vào bình quân thấp khối 10 Nội dung sáng kiến trình bày cho học sinh số học tự chọn mơn Tốn số buổi học bồi dưỡng (ngồi học khóa) Sáng kiến - Kinh nghiệm dạy học, năm học 2011-2012 Trang giáo viên: Vũ Quý Phương Trường THPT Bỉm Sơn – Thanh Hoá Phần II: NỘI DUNG I- Một số kiến thức cần ý I.1 Các định nghĩa vec-tơ, kí hiệu thường dùng Cho điểm A, B thì: - Ký hiệu AB độ dài đoạn thẳng AB Như ký hiệu AB BA uu ur uu ur uu ur - Ký hiệu AB vec-tơ AB Như ký hiệu AB BA , nói chung, hai vec-tơ khác uu ur uu ur uu ur - Ký hiệu | AB | độ dài vec-tơ AB Như | AB | = AB và, uu ur uu ur đó, | AB | = | BA | - Ký hiệu AB độ dài đại số vec-tơ AB I.2 Các phép toán vec-tơ I.2.1 Phép cộng vec-tơ uu u r uu ur u ur - Quy tắc ba điểm: Với điểm A, B, C thì: AB + BC = AC - Quy tắc hình bình hành: Với ABCD hình bình hành thì: uu u u uu ur ur ur AB + AD = AC - Tính chất trung điểm: Với I trung điểm đoạn thẳng AB thì: ur ur r u u + IA + IB = uu uu u r ur ur u + MA + MB = 2MI , với điểm M I.2.2 Phép trừ vec-tơ u u uu u u ur ur ur Với ba điểm O, A, B thì: OA − OB = BA I.2.3 Phép nhân vec-tơ với số r r - Cho vec-tơ u số k ∈  Vec-tơ ku xác định bởi: r r + ku hướng với vec-tơ u k ≥ ngược hướng với r vec-tơ u k < r r + | ku | = | k | | u | Sáng kiến - Kinh nghiệm dạy học, năm học 2011-2012 Trang giaựo vieõn: Vuừ Quyự Phửụng Trường THPT Bỉm Sơn – Thanh Hoá r r r r - Cho b ≠ a phương với b Khi đó, tồn số r r thực k cho: a = kb uu ur uu ur - Ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng AB AC vec-tơ phương I.2.4 Tích vơ hướng hai vec-tơ r r - Cho trước hai vec-tơ a, b Từ điểm O cố định, dựng vec-tơ u u r uu r ur u r r r · OA = a, OB = b Khi góc AOB góc hai vec-tơ a, b Ký hiệu: r r ·r r (a, b) (a, b) rr r r r r - Tích vơ hướng hai vec-tơ: a.b = | a | | b | cos(a, b) r r rr - a ⊥ b ⇔ a.b = rr r r - a.a = a = | a |2 I.3 Tọa độ vec-tơ điểm mặt phẳng Xét hệ tọa độ Oxy r r r r r - u(x; y) ⇔ u = (x; y) ⇔ u = x i + yj uu ur uu ur r r - M(x; y) ⇔ OM = (x; y) ⇔ OM = x i + yj r r - Với u(x; y), v(x ′; y′) , k ∈ : + + + + x = x′ r r u=v⇔  y = y′ r r u ± v = (x ± x′; y ± y′) r ku = (kx;ky) rr u.v = xx′ + yy′ r + | u | = x + y2 rr u.v r r r r + cos(u, v) = | u | | v | = Sáng kiến - Kinh nghiệm dạy học, năm häc 2011-2012 xx′ + yy′ x + y x′2 + y′2 Trang Trường THPT Bỉm Sơn – Thanh Hoá giáo viên: Vũ Quý Phương I.4 Học sinh cần rèn luyện kĩ tổng hợp nhiều vec-tơ thành vec-tơ ngược lại, cần biết phân tích vec-tơ thành nhiều vec-tơ khác (thường phân tích vec-tơ thành hai vec-tơ khác chung gốc khơng phương phân tích thành hiệu hai vec-tơ khác chung gốc) Ở tập nên phân tích có cách giải khác giúp học sinh có cách nhìn linh hoạt vec-tơ I.5 Cần rèn cho học sinh biết cách chuyển từ ngôn ngữ hình học thơng thường sang ngơn ngữ vec-tơ ngược lại Ví dụ: TT Kiến thức hình học tổng hợp Vec-tơ uu uu r u r ur 1) MA + MB = M trung điểm đoạn uu uu u r ur 2) AM = MB thẳng AB u u uu u u ur ur ur 3) OA + OB = 2OM , với điểm O u u uu uu r ur ur ur 1) GA + GB + GC = G trọng tâm ΔABC u u uu uu u u ur ur ur ur 2) OA + OB + OC = 3OG , với ∀O uu uu u u ur ur ur AM trung tuyến ΔABC AB + AC = 2AM uu ur uu ur Ba điểm A, B, C thẳng hàng AB = kAC (k ≠ 0) uu ur uu ur AB = kCD (∃k ≠ 0)  AB // CD ur uu ur u u AB ≠ mAC (∀m ∈ ¡ )   uuuu ur ur AB ⊥ CD AB.CD = uu uu ur ur ABCD hình bình hành AB = DC (A ∉ DC) I- Hướng dẫn học sinh giải toán vec-tơ I.1 Các toán xác định vec-tơ Làm cho học sinh nắm vững khái niệm vec-tơ hướng, vec-tơ Một nguyên nhân khiến học sinh không giải tốn vec-tơ khơng hiểu rõ khái niệm vec-tơ, cách xác định vec-tơ, không hiểu rõ hai vec-tơ nhau, nhầm lần vec-tơ với đoạn thẳng bàng S¸ng kiÕn - Kinh nghiệm dạy học, năm học 2011-2012 Trang Trường THPT Bỉm Sơn – Thanh Hoá giáo viên: Vũ Quý Phương Để giải điều này, tác giả cho học sinh làm lại phân tích kỹ lời giải học sinh qua hoạt động số (§1, chương I, SGK Hình học r 10 nâng cao): Cho trước vec-tơ a điểm O cố định Xác định điểm A ur r u cho OA = a Có điểm A uu r ur Tác giả vẽ lên bảng hình vẽ sau (tức vẽ cho AO = a ): Và yêu cầu học sinh xác định xem điểm A có thỏa mãn tốn khơng Sau phân tích cho học sinh thấy rõ rằng: Trong hình vẽ trên, vec-tơ uu ur uu ur r vec-tơ a có độ dài Tuy nhiên, vec-tơ OA có hướng từ OA r phải sang trái vec-tơ a có hướng từ trái sang phải Do hai vec-tơ không nên điểm A không thỏa mãn tốn Sau đó, tác giả u cầu học sinh xác định điểm A thỏa mãn toán: Đa số học sinh xác định điểm A hình vẽ sau: r Qua đó, tác giả nhấn mạnh cho học sinh rằng: vec-tơ a xác uu r ur định điểm đầu M điểm cuổi N OA = a tứ giác MNAO hình bình hành (cần ý chặt chẽ đến thứ tự đỉnh hình Sáng kiến - Kinh nghiệm dạy học, năm học 2011-2012 Trang 10 giáo viên: Vũ Quý Phương Trường THPT Bỉm Sơn – Thanh Hoá Cách 1: Gợi ý học sinh: uu u u ur ur - Trong toán này, có vec-tơ với vec-tơ AB, AO uu u r - Hãy sử dụng quy tắc ba điểm phép cộng để biểu diễn AE qua uu u u ur ur tổng hiệu vec-tơ phương với vec-tơ AB, AO (hoặc vec-tơ đó) Qua hướng dẫn, học sinh thực lời giải sau: uu u u uu u u uu r r r r u r ur u r ur ur AE = AO + OE = AO + AB = b + a = a + b 2 Cách 2: Gợi ý học sinh: Trong cách giải vận dụng quy tắc ba điểm bước biến đổi Hãy xem xét giả thiết toán để biến đổi cách khác Chú ý đến yếu tố: trung điểm, song song, đối xứng Qua hướng dẫn, học sinh thực lời giải sau: uu uu u u uu u u r u r ur ur ur ur r 1r r AE = AB + AC = AB + 2AO = (a + 2b) = a + b 2 2 ( ) ( ) Tiếp theo, cho học sinh thực hành việc biểu diễn vec-tơ qua vec-tơ khơng phương ví dụ: Ví dụ 3: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O có trực tâm H Đặt uu r r r ur u u r uu r uu r ur ur ur HA = a,HB = b, HC = c Chứng minh rằng: HO = (a + b + c) S¸ng kiÕn - Kinh nghiƯm dạy học, năm học 2011-2012 Trang 16 Trửụứng THPT Bổm Sơn – Thanh Hoá giáo viên: Vũ Quý Phương Giải: Cách 1: Gợi ý học sinh: - Trong toán này, có vec-tơ với vec-tơ u u uu uu ur ur ur HA, HB, HC Nếu chưa có cố gắng để tạo Có thể thơng qua vectơ, điểm có điểm đặc biệt liên quan đến giả thiết (Lựa chọn trung điểm cạnh) uu ur - Hãy sử dụng quy tắc ba điểm phép cộng để biểu diễn HO qua uu ur tổng hiệu vec-tơ, có vec-tơ phương với HA uu ur uu uu uu ur ur u r uu ur HB HC (Biểu diễn HO = HA′ + A′O ) - Bước tiếp theo, làm tương tự để biểu diễn vec-tơ tổng (hoặc u u uu uu ur ur ur u u uu uu ur ur ur hiệu đó) chưa phương với HA, HB, HC theo HA, HB, HC u u uu uu ur ur ur vec-tơ phương với HA, HB, HC r r r r - Chú ý đến tính chất: Nếu b ≠ a phương với b ln tồn r r r r r số k ∈  để a = kb Hơn nữa, với ba vec-tơ a, b, c khơng r phương cho trước vec-tơ u biểu diễn qua vecr r r tơ a, b, c Qua hướng dẫn, học sinh thực lời giải sau: uu uu uu ur ur ur Gọi A' trung điểm BC thì: HO = HA′ + A′O S¸ng kiến - Kinh nghiệm dạy học, năm học 2011-2012 Trang 17 giáo viên: Vũ Quý Phương Trường THPT Bỉm Sơn – Thanh Hoaù u u uu uu r r ur ur ur Mặt khác: theo tính chất trung điểm: HA′ = HB + HC = (b + c) 2 uu ur r Hơn OA' // AH nên A′O = ma Do đó, ta có: uu uu uu r r ur u r u r r r 1r 1r HO = HA′ + A′O = (b + c) + ma = ma + b + c (1) 2 ( ) Tương tự: Gọi B', C' trung điểm AC, AB thì: uu uu uu 1r ur u r u r r 1r HO = HB′ + B′O = a + nb + c (2) 2 uu uu uu 1r 1r ur u r u r r HO = HC′ + C′O = a + b + pc (3) 2 uu r r r ur Từ (1), (2), (3) suy ra: m = n = p = Vậy HO = (a + b + c) 2 Cách 2: Gợi ý học sinh: - Vì đường trịn có tính đối xứng nên xét điểm O vai trị trung điểm có cách suy nghĩ khác khơng? - Muốn thế, tìm cách tạo O trung điểm đoạn thẳng có u u uu uu ur ur ur gắn với vec-tơ HA, HB, HC Qua hướng dẫn, học sinh thực lời giải sau: · · Kẻ đường kính BD đường trịn Khi đó, ta có: BAD = BCD = 90o ⇒ CD // AH AD // HC u u uu u u ur ur ur Do tứ giác AHCD hình bình hành Vậy HA + HC = HD Sáng kiến - Kinh nghiệm dạy học, năm học 2011-2012 Trang 18 Trường THPT Bỉm Sơn – Thanh Hoá giáo viên: Vũ Quý Phương uu u u u u ur ur ur Mặt khác: HB + HD = 2HO uu r r r ur u u uu uu u u ur ur ur ur Suy ra: HA + HB + HC = 2HO hay HO = (a + b + c) I.2 Các độ dài vec-tơ Vấn đề mà học sinh lúng túng giải toán vec-tơ không phân biệt rõ ràng khái niệm vec-tơ với độ dài vec-tơ Chính thế, uu u r uu ur u ur nhiều học sinh cho AB + BC > AC (với ABC tam giác) Để khắc phục điều đó, trước hết, tác giả củng cố lại cho học sinh độ dài vec-tơ độ dài đoạn thẳng xác định vec-tơ (khoảng cách từ điểm đầu tới điểm cuối vec-tơ) cho học sinh thực hành ví dụ đơn giản sau: uu ur - Cho hai điểm phân biệt A B Hãy xác định độ dài vec-tơ: AB , uu r ur u r ur u u BA, (Phải phân tích để học sinh hiểu rõ AB = BA = AB ) uu ur - Cho ba điểm phân biệt A, B, C Hãy xác định độ dài vec-tơ: AB , uu u r r u r uu ur u u ur AC, BC, u = BC + AB (Phải phân tích, nhấn mạnh để học sinh hiểu rõ uu ur uu u r u r uu u u ur u u ur ur r nên |u | = AC = AC Hơn nữa, cần phân tích BC + AB = AB + BC = AC qua nhiều trường hợp hình vẽ khác nhau: Ba điểm A, B, C không thẳng hàng bất kỳ; tạo thành tam giác cân, tam giác đều; thẳng hàng bất kỳ, thẳng hàng cách ) Tiếp theo, học sinh nắm vững khái niệm độ dài vec-tơ, tác giả củng cố lại cho học sinh hai vec-tơ chúng có hướng độ dài, hai vec-tơ đối chúng ngược hướng có độ dài Đồng thời cho học sinh thực hành qua ví dụ sau: Ví dụ 4: Cho tứ giác lồi ABCD có hai đường chéo AC BD cắt O uu r u u r u u r u u r u r ur ur ur Đặt AB = a, BD = b, DC = c,CA = d Chứng minh rng: Sáng kiến - Kinh nghiệm dạy học, năm học 2011-2012 Trang 19 Trường THPT Bỉm Sơn – Thanh Hoá giáo viên: Vũ Quý Phương r r r r r r r r r r | a + d | +| b + d | +| c + d | < | a | +| b| +| c | +| d | Giải: Gợi ý học sinh: - Từ giả thiết quy tắc ba điểm phép cộng, đánh giá ba độ dài vế trái (Với hướng dẫn này, đa số học sinh đánh giá ba độ dài đưa đến kết không mong muốn, giáo viên phải hướng dẫn thêm) r r r r - Hãy xem xét đến đặc biệt vec-tơ xác định nên a, b, c, d để đánh giá tổng hai độ dài cịn lại Chú ý đến tính chất cạnh tam giác Qua hướng dẫn, học sinh thực lời giải sau: uu u u u u u u r ur ur ur ur r r r r r r r AB + BD + DC + CA = ⇔ a + b + c + d = ⇒ b + d r r r r r r r r a + c vec-tơ đối ⇒ | b + d | = | a + c | ≤ | a | + | c | (1) u u uu u r uu u u u u ur ur u ur ur ur Mặt khác: CA + AB = CB, DC + CA = DA ur u uu ur r r r r ⇒ | a + d | + | c + d | = | CB | + | DA | = CB + DA = BC + AD Ta có: Lại có: BC + AD < (OB + OC) + (OA + OD) = BD + AC r r r r r r ⇒ |a +d|+|c +d| r r Dấu (II) xảy ⇔ a = kb với k ≠ - Học sinh lớp 10 quen cơng thức tính diện tích tam giác sau: 1 S = absin C = bcsin A = acsin B 2 uu r uu r ur ur Nếu đặt AB = b, AC = c ta có cơng thức tính diện tích tam giác 1rr ABC sau: S = b.c.tan A 1 r r   | b | | c | sin A ÷ rr r r  = 2S Thật vậy: b.c = | b | | c | cos A =  sin A tan A cos A 1rr ⇒ S = b.c.tan A r r - Trong hệ trục tọa độ Oxy, u = (x; y), v = (x′; y′) thì: rr + u.v = xx′ + yy′ r + | u | = x + y2 S¸ng kiÕn - Kinh nghiƯm dạy học, năm học 2011-2012 Trang 22 giaựo vieõn: Vuừ Quý Phương Trường THPT Bỉm Sơn – Thanh Hoá Có thể hướng dẫn học sinh vận dụng kiến thức để làm tập sau: Ví dụ 6: Cho a, b, c, d số thực bất kỳ, chứng minh rằng: (ac + bd)2 ≤ (a2 + b2)(c2 + d2) Chỉ rõ dấu đẳng thức xảy Giải: Gợi ý học sinh: - Hãy xem xét (ac + bd)2, (a2 + b2), (c2 + d2) có liên quan đến khái niệm vec-tơ khơng? (Có vẻ biểu thức tọa độ tích vô hướng độ dài vec-tơ) - Từ nhận xét đó, tạo điều kiện để sử dụng kết nhận xét Qua hướng dẫn, học sinh thực lời giải sau: Trong hệ trục tọa độ Oxy, đặt r r u = (a;b), v = (c;d) Khi đó: r r | u | = a + b2 , | v | = c2 + d rr rr Hơn nữa: u.v = ac + bd ⇒ | u.v | = | ac + bd | rr r r Từ đó, theo (II) ta có: | u.v | ≤ | u | | v | ⇔ | ac + bd | ≤ a + b c + d Bình phương vế ta có: (ac + bd)2 ≤ (a2 + b2)(c2 + d2) r r Dấu xảy u = kv hay ad = bc Ví dụ 7: Giải phương trình: x + x + − x = + x (*) Giải: Gợi ý học sinh: - Nếu xem xét vế trái phương trình biểu thức tọa độ tích vơ hướng hai vec-tơ vec-tơ vó tọa độ nào? - Với nhận xét vế phải biểu diễn qua vec-tơ khơng? - Từ nhận xét đó, tạo điều kiện để sử dụng kết nhận xét Sáng kiến - Kinh nghiệm dạy học, năm học 2011-2012 Trang 23 giáo viên: Vũ Quý Phương Trường THPT Bỉm Sơn – Thanh Hoá Qua hướng dẫn, học sinh thực lời giải sau: Tập xác định: D = [–1; 3] r r Trong hệ trục tọa độ Oxy, đặt u = (x;1), v = ( + x; − x ) thì: rr r r | u | = + x , | v | = u.v = x + x + − x rr r r Khi đó: (*) ⇔ u.v = | u | | v | r r Điều xảy u = kv với k > ⇔ 1+ x 3−x với x > = x x = ⇔ + x = x2(3 – x) ⇔ (x – 1)(x2 – 2x – 1) = ⇔  x = ± Kết hợp điều kiện, phương trình có nghiệm là: x = x = ± Ví dụ 8: Tìm giá trị lớn hàm số: y = x + − x Giải: Gợi ý học sinh: - Trước hết, biến đổi thu gọn biểu thức xác định hàm số (Mong muốn phải đưa dạng: y = x + 2 − x ) - Với hàm số thế, đưa biểu thức tọa độ tích vơ hướng hai vec-tơ nào? - Từ nhận xét đó, tạo điều kiện để sử dụng kết nhận xét Qua hướng dẫn, học sinh thực lời giải sau: Tập xác định hàm số: D = [0; 2] Ta có: y = x + 2 − x r r Trong hệ trục tọa độ Oxy, đặt u = (1;2 2), v = ( x; − x ) rr rr ⇒ u.v = x + 2 − x ⇒ y = u.v r r Mặt khác: | u | = 3, | v | = Sáng kiến - Kinh nghiệm dạy học, năm học 2011-2012 Trang 24 giáo viên: Vũ Quý Phương Trường THPT Bỉm Sơn – Thanh Hoá r r Áp dụng (I) ta có: y ≤ Dấu xảy u = kv với k > 1 = k x  ⇔ 2 x = − x ⇔ x = ∈ D ⇔ 2 = k − x  Vậy, giá trị lớn hàm số x = Ví dụ 8: Với a, b số thực dương, tìm giá trị nhỏ hàm số: y = x − 2ax + 2a + x − 2bx + 2b Giải: Gợi ý học sinh: - Trước hết, biến đổi thu gọn biểu thức xác định hàm số (Mong muốn phải đưa dạng: y = ( a − x )2 + a + ( x − b )2 + b ) - Với hàm số thế, thấy chúng liên quan đến khái niệm vec-tơ? - Từ nhận xét đó, tạo điều kiện để sử dụng kết nhận xét Qua hướng dẫn, học sinh thực lời giải sau: Ta có: y = (a − x) + a + (x − b) + b Tập xác định hàm số: D =  r r Trong hệ trục tọa độ Oxy, đặt u = (a − x;a), v = (x − b;b) Khi đó: r r y = | u | + | v | Mặt khác, ta có: r r r u + v = (a − b;a + b), | u | = (a − x) + a , r r r | v | = (x − b) + b , | u + v | = 2(a + b ) r r r r r r Hơn theo (III): | u | + | v | ≥ | u + v | ⇒ y ≥ | u + v | = 2(a + b ) r r Dấu xảy u = kv vi k > Sáng kiến - Kinh nghiệm dạy học, năm học 2011-2012 Trang 25 giaựo vieõn: Vuừ Quyự Phương Trường THPT Bỉm Sơn – Thanh Hoá ⇔ a−x= a 2ab (x − b) ⇔ x = b a+b Vậy hàm số có giá trị nhỏ Sáng kiến - Kinh nghiệm dạy học, năm học 2011-2012 2(a + b ) , đạt x = 2ab a+b Trang 26 giáo viên: Vũ Quý Phương Trường THPT Bỉm Sơn – Thanh Hoá Phần III: KẾT QUẢ ÁP DỤNG SÁNG KIẾN Trong năm học 2011-2012, tác giả giao giảng dạy Toán lớp 10C4, 10C7 lớp có chất lượng đầu vào (điểm thi tuyển sinh vào lớp 10, mơn Tốn) thấp so với mặt chung nhà trường Sau học xong phần vec-tơ kết học sinh hai lớp nêu phần đầu Sáng kiến kinh nghiệm Tác giả sử dụng nội dung Sáng kiến để dạy cho lớp 10C4, lớp 10C7 dạy theo giáo án trước Sau thực xong nội dung giáo án, tác gải khảo sát lại chất lượng hai lớp với thời lượng 60 phút đề kiểm tra sau: Câu : Cho hai tam giác ABC A'B'C' có AA', BB', CC' đơi song song Gọi I, K trọng tâm hai tam giác O trung điểm IK ur u r u u u u u u u u r u u ur ur ur u r 1/ Chứng minh : OA + OB + OC + OA′ + OB′ + OC ′ = uu ur ur u 2/ Gọi M trung điểm A'B' G điểm thỏa mãn : C ′G = 3GI Chứng minh ba điểm O, M, G thẳng hàng r r Câu : Cho a , b hai vec-tơ không phương Chứng minh r r r r r r vec-tơ x = a + b y = 2a − 3b khơng phương Khi đó, phân r r r tích vec-tơ a theo hai vec-tơ x , y Câu : Chứng minh với số thực x, y, z ta có : x + xy + y + y + yz + z ≥ z + zx + x Kết thu sau : Không Lớp Số làm Làm Làm Chỉ Điểm câu câu câu cao 22 (48,89%) 14 (31,11%) (20,00%) 9,25 câu 10C4 45 S¸ng kiÕn - Kinh nghiƯm dạy học, năm học 2011-2012 Trang 27 giaựo vieõn: Vuừ Quý Phương Trường THPT Bỉm Sơn – Thanh Hoá 10C7 44 19 (43,18%) Sáng kiến - Kinh nghiệm dạy học, năm học 2011-2012 17 (38,64%) (18,18%) 9,0 Trang 28 giáo viên: Vũ Quý Phương Trường THPT Bỉm Sơn – Thanh Hoaù Phần IV: KẾT LUẬN VÀ ĐỀ XUẤT Trên số kinh nghiệm suy nghĩ cá nhân tơi q trình giảng dạy cơng tác năm học vừa qua Trong q trình giảng dạy nhận thấy với kinh nghiệm trên, học sinh bước đầu thành thạo giải toán vec-tơ sử dụng vec-tơ công cụ hữu hiệu để giải tốn đồng thời phát huy tính tích cực, sáng tạo học tập học sinh Thông qua số tốn tơi muốn hình thành cho học sinh tư đuy lơgic, q trình tập dượt sáng tạo tốn học Điều góp phần nâng cao chất lượng dạy học Tuy nhiên, ý kiến chưa phù hợp với tất đối tượng học sinh, đặc biệt học sinh giỏi Việc áp dụng nội dung sán kiến vào giảng dạy cần bố trí hợp lý mặt thời gian Nếu trường khơng bố trí học tự chọn khó khăn mặt thời gian để áp dụng Hơn nữa, cần đến kiên trì giáo viên đối tượng học sinh áp dụng sáng kiến học sinh có tố chất, tư tốn học chưa thật tốt, ngại học tốn, đặc biệt hình học Với kết thu được, mạnh dạn nêu lên nội dung sáng kiến mong đóng góp ý kiến đồng nghiệp để nội dung hoàn thiện ln chnh sa sau Sáng kiến - Kinh nghiệm dạy học, năm học 2011-2012 Trang 29 Trửụứng THPT Bổm Sụn – Thanh Hoá giáo viên: Vũ Quý Phương TÀI LI ỆU THAM KHẢO [1] Phan Huy Khải (chủ biên) – Bài tập Hình học 10 nâng cao - Nhà xuất Giáo dục Việt Nam - 2011 [2] Nguyễn Văn Lộc - Phương pháp vec-tơ giải tốn hình học phẳng - Nhà xuất Giáo dục - 2007 [3] Tạp chí Tốn học Tuổi trẻ [4] Nguyễn Hải Châu, Nguyễn Thế Thạch (đồng chủ biên) - Kiểm tra đánh giá thường xun định kỳ mơn Tốn lớp 10 - Nhà xuất Giáo dục 2008 S¸ng kiÕn - Kinh nghiệm dạy học, năm học 2011-2012 Trang 30 ... tập vec-tơ sử dụng vec-tơ cơng cụ tốt để giải tốn tơi mạnh dạn lựa chọn nghiên cứu vấn đề: ? ?Rèn luyện cho học sinh lớp 10 kỹ giải toán vec-tơ sử dụng phương pháp vec-tơ để giải toán. ” II Mục... để học sinh vận dụng vào giải toán khác Sau cho học sinh rèn luyện thêm tập để S¸ng kiÕn - Kinh nghiệm dạy học, năm học 2011-2012 Trang 20 Trửụứng THPT Bỉm Sơn – Thanh Hoá giáo viên: Vũ Quý Phương. .. hướng dẫn học sinh xem xét phát vec-tơ phương, hướng toán để sử dụng vào việc biểu diễn Để rèn luyện loại toán này, trước hết, tác giả cho học sinh thực hành qua tốn đơn giản sau Ví dụ 2: Cho hình