SKKN Rèn luyện tư duy cho học sinh trung học phổ thông trong việc giải một số bài toán Đại số

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐỀ TÀI: "RÈN LUYỆN TƯ DUY CHO HỌC SINH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG TRONG VIỆC GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN ĐẠI SỐ" 1 LỜI NÓI ĐẦU I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI. 1.Cơ sở lý luận. Trong nhà trường phổ thông, nội dung kiến thức Toán học trang bị cho học sinh không chỉ bao gồm các khái niệm, định lí, qui tắc mà còn cả các kĩ năng và phương pháp. Vì vậy, hệ thống tri thức đó không chỉ có trong bài giảng lí thuyết mà còn có trong bài tập tương ứng. Dạy học giải toán có vai trò đặc biệt trong dạy học toán ở trường phổ thông. Các bài toán là phương tiện có hiệu quả không thể thay thế được trong việc giúp học sinh nắm vững tri thức, phát triển tư duy, hình thành kỹ năng và kỹ xảo. Hoạt động giải toán là điều kiện để thực hiện tốt các mục đích khác của dạy học Toán. 2. Cơ sở thực tại. Tuy nhiên, thực tiễn dạy học Toán ở trường phổ thông cho thấy năng lực giải Toán của học sinh còn hạn chế. Nguyên nhân chủ yếu đó là: Phương pháp dạy học chủ yếu dựa trên quan điểm giáo viên là trung tâm của quá trình dạy học, trong đó giáo viên truyền thụ kiến thức mang tính áp đặt, việc lĩnh hội tri thức của học sinh mang tính thụ động cao. Phương pháp thuyết trình của giáo viên được sử dụng quá nhiều dẫn đến trình trạng hạn chế hoạt động tích cực của học sinh, việc sử dụng các phương pháp dạy học phát huy tính tích cực, tự lực và sáng tạo ở mức độ hạn chế, gắn nội dung dạy học với các tình huống thực tiễn chưa được chú trọng. Những nguyên nhân trên dẫn đến thực trạng là thế hệ trẻ được đào tạo trong trường phổ thông mang tính thụ động cao, hạn chế khả năng sáng tạo và năng lực vận dụng tri thức đã học để giải quyết các tình huống thực tiễn cuộc sống. 2 Rèn luyện thao tác tư duy cho học sinh trong dạy học giải Toán có vai trò quan trọng trong việc phát triển khả năng tư duy của học sinh, để từ đó có khả năng thích ứng khi đứng trước một vấn đề cần giải quyết. Học sinh cũng thấy được mỗi lời giải bài toán như là một quá trình suy luận, tư duy của học sinh mà phương pháp giải không chỉ phụ thuộc vào đặc điểm của bài Toán mà còn phụ thuộc tố chất tâm lý của bản thân người giải. Mối liên hệ, dấu hiệu trong bài Toán chỉ có thể được phát hiện thông qua quá trình phân tích, tổng hợp, khái quát hoá, so sánh, Rèn luyện thao tác tư duy trong dạy học giải Toán có vai trò quan trọng trong quá trình phát triển tư duy học sinh. Nhưng trong thực tế, nó chưa được ưu tiên thích đáng xứng với vị trí của nó. Nguyên nhân dẫn đến tình trạng này phải chăng do giáo viên chưa chú ý được tầm quan trọng của nó hoặc chưa xây dựng được các biện pháp sư phạm thích hợp nhằm phát triển năng lực giải Toán cho học sinh. Chương trình Đại số ở trường trung học phổ thông có nhiều tiềm năng thuận lợi cho việc rèn luyện kỹ năng thực hiện một số thao tác tư duy. Bài tập Đại số có nhiều nhiều dạng thuộc về nhiều chủ đề kiến thức khác nhau. Khi giải các bài tập Đại số đòi hỏi người học sinh phải biết định hướng, phải sử dụng một cách tổng hợp kiến thức liên quan đến nhiều lĩnh vực khác nhau. Hệ thống bài tập Đại số khá phong phú về chủng loại với các mức độ khó khác nhau phù hợp với các đối tượng học sinh có trình độ nhận thức rèn luyên kỹ năng, phát triển tư duy và bồi dưỡng năng lực giải toán. Vì vậy đây là một trong số lĩnh vực có thể khai thác để rèn luyện kĩ năng, phát triển tư duy cho học sinh trong quá trình dạy học. Từ những lý do trên đây, tôi quyết định chọn đề tài: “Rèn luyện tư duy cho học sinh trung học phổ thông trong việc giải một số bài toán Đại số”. II. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU 3 1. Phương pháp nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu các tài liệu, sách báo. 2. Phương pháp điều tra thực tiễn: Dự giờ, quan sát việc dạy của giáo viên và việc học của học sinh trong quá trình khai thác các bài tập SGK. 3. Phương pháp thực nghiệm sư phạm 4. Phương pháp thống kê III. PHẠM VI NGHIÊN CỨU Nghiên cứu một số vấn đề lý luận và thực tiễn việc rèn luyện cho học sinh các thao tác tư duy trong dạy học giải bài tập toán Đại số nhằm bồi dưỡng năng lực giải toán cho học sinh, góp phần nâng cao chất lượng dạy học môn Toán ở trường phổ thông. IV. ỨNG DỤNG Sáng kiến kinh nghiệm có thể làm tài liệu tham khảo cho giáo viên trong việc dạy học. Mặc dù đã cố gắng rất nhiều, nhưng các vấn đề đưa ra ít nhiều còn thiếu sót, hạn chế. Mong được sự góp ý của các quý thầy cô và bạn đọc. Xin trân trọng cảm ơn! Hoằng Hoá, tháng 05 năm 2013. Người viết NỘI DUNG 4 I.CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN. Thực tiễn sư phạm cho thấy, giáo viên thường chưa chú ý đến phát huy tác dụng giáo dục của bài toán, mà thường chú trọng cho học sinh làm nhiều bài toán. Trong quá trình dạy học, việc chú ý đến chức năng của bài tập toán là chưa đủ mà giáo viên cần quan tâm tới lời giải của bài tập toán. Lời giải của bài tập toán phải đảm bảo những yêu cầu sau: - Lời giải không có sai lầm. Học sinh phạm sai lầm trong khi giải bài tập thường do ba nguyên nhân sau: + Sai sót về kiến thức toán học, tức là hiểu sai định nghĩa của khái niệm, giả thiết hay kết luận của định lý, + Sai sót về phương pháp suy luận. + Sai sót do tính sai, sử dụng ký hiệu, ngôn ngữ diễn đạt hay do hình vẽ sai. - Lời giải phải có cơ sở lý luận. - Lời giải phải đầy đủ. - Lời giải đơn giản nhất. Giáo viên dạy học sinh phương pháp giải bài tập toán - Huy động kiến thức có liên quan: * Em đã gặp bài toán này hay bài này ở dạng hơi khác lần nào chưa. Em có biết một bài nào liên quan không? Một định lý có thể dùng được không?. * Thử nhớ lại một bài toán quen thuộc có cùng ẩn hay ẩn số tương tự?. * Có thể sử dụng một bài toán nào đó mà em đã có lần giải rồi hoặc sử dụng kết quả của nó không?. 5 - Dự đoán kết quả phải tìm: * Em có thể nghĩ ra một bài toán có liên quan mà dễ hơn không?. Một bài toán tổng quát hơn?. Một trường hợp riêng?. Một bài toán tương tự? Em có thể giải một phần của bài toán?. * Em đã sử dụng mọi dữ kiện chưa? Đã sử dụng hết điều kiện chưa? Đã để ý đến mọi khái niệm chủ yếu trong bài toán chưa?. * Hãy giữ lại một phần điều kiện, bỏ qua phần kia, khi đó ẩn được xác định đến chừng mực nào và biến đổi thế nào?. - Sử dụng phép phân tích đi lên và phép phân tích đi xuống để tìm kiếm hướng giải quyết vấn đề. Trong quá trình dạy học nếu giáo viên khai thác triệt để được những gợi ý trên thì sẽ hình thành và phát triển ở học sinh kỹ năng tìm lời giải cho các bài toán. Tuy nhiên để đạt được điều này thì giáo viên phải thực hiện kiên trì tất cả các giờ dạy Toán đồng thời học sinh phải được tự mình áp dụng vào hoạt động giải Toán của mình. MỘT SỐ THAO TÁC TƯ DUY PHỔ BIẾN CỦA HỌC SINH THPT TRONG GIẢI TOÁN 6 Định hướng tìm tòi lời giải bài tập Nội dung và hình thức của bài toán Vốn kiến thức Toán học, kĩ năng và kinh nghiệm giải Toán Hướng 1 Nhận thức đề→Phân tích 1→ chọn lựa hoặc bỏ Hướng 2 Nhận thức đề→Phân tích 2→ chọn lựa hoặc bỏ Nhận thức đề→Phân tích k→ chọn lựa hoặc bỏ Hướng thứ k Chọn lựa được hướng giải thích hợp Tiến hành phân tích, tổng hợp để đưa ra lời giải của bài tập II.GIẢI PHÁP RÈN LUYỆN TƯ DUY QUA GIẢI TOÁN. 1.Phân tích và tổng hợp. Do vậy việc rèn luyện các thao tác tư duy cho học sinh qua việc giải bài tập nhất thiết phải được tiến hành thông qua sự phân loại học sinh. Không có một cách “rèn luyện” nào phù hợp cho mọi đối tượng, thậm chí có những quá trình phân tích-tổng hợp khi giải một bài tập là rất kết quả đối với học sinh này nhưng lại “vô nghĩa” với học sinh khác. Vì thế, tìm hiểu kĩ đối tượng, nghiên cứu kĩ bài tập định truyền đạt, tự thầy giáo phải phân tích kĩ một bài tập trước khi hướng dẫn cho học sinh quá trình phân tích-tổng hợp khi giải bài tập toán là rất quan trọng. Dưới đây là một số ví dụ minh họa. 7 Ví dụ 1. CMR nếu A, B, C là 3 góc của một tam giác thì: cosA + cosB + cosC 2 3 ≤ (1) - Hoạt động phân tích: cosB + cosC = 2cos 2 B C+ cos 2 B C− Sự phân tích này diễn ra trên cơ sở tổng hợp, liên hệ biểu thức cosB + cosC với công thức cosa + cosb = 2cos 2 a b+ cos 2 a b− . 2 B C+ = 2 2 A π − ⇒ cos 2 B C+ = sin 2 A ; cosA = cos2 2 A = 1 - 2sin 2 2 A . Hoạt động phân tích này lại dựa trên cơ sở tổng hợp, liên tưởng tới công thức cos2a = 1- 2sin 2 a. - Hoạt động tổng hợp, ta có lời giải: (1) ⇔ 1 - 2sin 2 2 A + 2cos 2 B C+ cos 2 B C− 3 2 ≤ ⇔ 4 sin 2 2 A - 4 sin 2 A cos 2 B C− + 1 ≥ 0 ⇔ (2 sin 2 A - cos 2 B C− ) 2 + sin 2 2 B C− ≥ 0 (2) Bất đẳng thức (2) luôn đúng, nên (1) đúng. Ví dụ 2.(Bài tập 4- Trang 79 SGK Đại số 10) CMR: a 3 + b 3 > a 2 b +ab 2 với a, b ∈ R + và a ≠ b. Nếu chỉ dùng phép tổng hợp để giải, suy nghĩ làm sao để từ a 3 + b 3 suy ra nó lớn hơn a 2 b + ab 2 là điều không dễ. Do đó giáo viên có thể hướng dẫn học sinh kết hợp với phép phân tích để tìm lời giải: 8 Ta có: a 3 + b 3 = (a+b)(a 2 - ab +b 2 ) a 2 b +ab 2 = ab(a + b) Do đó: a 3 + b 3 > a 2 b +ab 2 ⇔ a 2 - ab +b 2 > ab ⇔ (a –b) 2 >0 (a ≠ b) Trên cơ sở phân tích cùng với phép tổng hợp ta có lời giải: Vì a, b ∈ R+ và a ≠ b nên a + b >0, (a –b) 2 >0. a 3 + b 3 = (a+b)(a 2 - ab +b 2 ) = (a+b)[(a - b) 2 + ab] = (a+b)(a - b) 2 + (a+b)ab> (a+b)ab = a 2 b +ab 2 . (ĐPCM) 2. Khái quát hoá và trừu tượng hoá. Trở lại ví dụ 1, từ bài toán xuất phát: “CMR nếu A, B, C là 3 góc của một tam giác thì: cosA + cosB + cosC 2 3 ≤ ”. Bây giờ nếu thay A, B, C bởi các số dương x, y, z sao cho: x+ y+ z= π thì cosx + cosy + cosz ?≤ . Từ đó, ta có thể phát biểu bài toán tổng quát: “CMR nếu A, B, C là 3 góc của một tam giác thì: 9 Khái quát hoá Khái quát hóa từ cái riêng lẻ đến cái tổng quát Khái quát hoá từ cái tổng quát đến cái tổng quát hơn Khái quát hoá tới cái tổng quát đã biết Khái quát hoá tới cái tổng quát chưa biết cos mA nB m n + + + cos mB nC m n + + + cos mC nA m n + + 2 3 ≤ ” với m, n là các số nguyên dương. Việc chứng minh hết sức đơn giản, ta đặt mA nB m n + + =x, mB nC m n + + =y, mC nA m n + + =z Thì x, y, z cũng là 3 góc của tam giác nào đó, suy ra điều phải chứng minh. Ví dụ 3. CMR x R∀ ∈ ta có: 12 15 20 3 4 5 5 4 3        ÷  ÷  ÷       + + ≥ + + x x x x x x . Phân tích : Giáo viên có thể gợi cho hoc sinh nhận thấy rằng 3.4 3.5 5.4 ; ; 4 4 3 3 12 15 20 5 5 = = = và 12.15 20.15 12.20 3, 5, 4 5.4 3.4 5.3 = = = Như vậy bất đẳng thức có dạng tương tự bất đẳng thức quen thuộc a 2 + b 2 +c 2 ≥ ab+ bc+ ca. Từ đó ta có lời giải như sau: Áp dụng BĐT côsi cho 2 số ta có: 12 15 12.15 2 2.3 , 5 4 5.4 15 20 15.20 2 2.5 4 3 4.3 20 12 20.12 2 2.4 3 5 3.5 x x x x x x x x x x x x         + ≥ =  ÷  ÷  ÷                + ≥ =   ÷  ÷  ÷                + ≥ =  ÷  ÷  ÷         Cộng theo từng vế của ba bất đẳng thức cùng chiều trên với nhau ta được: 12 15 20 3 4 5 5 4 3 x x x x x x       + + ≥ + +  ÷  ÷  ÷       , ( x R∀ ∈ ) 10 [...]... biệt trên thì bài toán rất khó khăn; học sinh cảm thấy lúng túng Thực tế có rất nhiều bài toán như vậy nên việc rèn luyện cho học sinh khả năng này là rất cần thiết Trong quá trình tiếp cận và giải quyết bài toán nào đó, học sinh không chỉ nhìn bài toán từ một góc độ mà phải xem xét bài toán đó theo quan điểm toàn diện, không chấp nhận một cách giải quen thuộc hoặc duy nhất Ví dụ 9 Cho 3 số x, y, z thoả... 55,6% Điểm dưới 5 Số lượng 6 14 Tỷ lệ 13,3% 31,1 % Căn cứ vào kết quả kiểm tra, bước đầu có thể thấy hiệu quả của SKKN đã rèn luyện cho học sinh các thao tác tư duy trong giải toán Đại số nói riêng và giải toán nói chung KẾT LUẬN 1.Kết quả nghiên cứu Sáng kiến kinh nghiệm 1 Đã phần nào làm sáng tỏ thực trạng về khả năng rèn luyện các thao tác tư duy trong dạy học toán ở trường phổ thông 2 Đã làm phần... x=6 Việc phân tích kết thúc, giáo viên hướng dẫn học sinh tổng hợp để có lời giải hoàn chỉnh Ví dụ 6 (Bài 25 ôn tập cuối năm -Đại số 10 nâng cao) Tìm các số C và β sao cho: sinα+cosα = Csin(α+β) với mọi α Đây là bài tập cuối cùng của (SGK -Đại số 10 nâng cao) xuất bản năm 2006 Bài tập này không khó nhưng việc làm cho học sinh hiểu “rõ ràng, mạch lạc” lời giải của bài toán lại là không dễ Đa số học sinh. .. Đã làm phần nào làm sáng tỏ một số con đường để tập luyện cho học sinh khả năng phân tích, khái quát hoá, đặc biệt hoá và tư ng tự 25 3 Đã thể hiện được các định hướng sư phạm nhằm rèn luyện các thao tác tư duy trong dạy học bài tập Đại số ở trường THPT 4 Thiết kế cách thức dạy học một số ví dụ, hoạt động theo hướng dạy học tích cực 5 Đã tổ chức thực nghiệm sư phạm để minh học tính khả thi và hiệu quả... bày lời giải Như vậy, trong quá trình giảng dạy giáo viên cần coi trong vai trò của việc phân tích đặc điểm bài toán để hình thành phương pháp giải Ví dụ 8 Tìm m để phương trình sau có nghiệm: 90 5 (1 − x)2 + m 90 1 − x 2 + (m + )90 (1 + x)2 = 0 4 (1) Hình thức của bài toán dễ tạo ra những sự “ngợp”, nên gây cho học sinh khó khăn trong việc phát hiện ra mối quan hệ bản chất chứa trong bài toán Giáo... (3; + ∞) x −3 Khi tiếp nhận bài tập này, ngay cả những học sinh khá, giỏi ở lớp 10 cũng khó “định hướng” được việc phân tích để tìm lời giải của bài toán Vấn đề là học sinh phải huy động vốn kiến thức đã có của mình như thế nào để “định hướng” cho việc tìm lời giải Ta có thể gợi cho các em: +) Nếu sử dụng công cụ bất đẳng thức thì cái đích là việc tìm ra số không đổi m sao cho y ≥ m, ∀x > 3 và phải chỉ... mức độ nắm kiến thức của học sinh Cả ba câu trong đề kiểm tra đều không nặng về tính toán, mà chủ yếu là kiểm tra khả năng tư duy 3 Đánh giá kết quả thực nghiệm 24 Kết quả làm bài kiểm tra của học sinh lớp thực nghiệm (TN) và học sinh lớp đối chứng (ĐC) được thể hiện thông qua bảng sau: Điểm 8 trở Điểm từ 5 đến Năm Lớp học Tổng lên số Số lượng 20122013 TN ĐC 45 45 12 6 7 Tỷ lệ Số lượng 26,7% 27 13,3... 16 Việc đưa ra lời giải một cách đột ngột như vậy là không tốt về mặt sư phạm Học sinh không hiểu rằng, căn cứ vào đâu mà thầy giáo lại áp dụng bất đẳng thức cô-si trong khi đó có rất nhiều bất đẳng thức khác? Tại sao lại phân tích 7b3 thành tổng của 2 số hạng? có thể tách số hạng thứ nhất thành 2 số hạng? Vì vậy, tri thức mà học sinh lĩnh hội được sẽ là sự ghi nhớ một cách máy móc Để dạy cho học sinh. ..  3  Sau khi giải xong bài toán, giáo viên có thể cho học sinh khái quát hoá bài toán cùng loại: Cho a, b, c là các số dương tuỳ ý CMR x x ∀x∈R , ta có: x  ab   bc   ca  x x x  ÷ + ÷ + ÷ ≥a +b + c ”  c   a   b  3 Đặc biệt hoá Những dạng đặc biệt hoá thường gặp trong môn Toán có thể được xuất phát từ việc xét dấu “=” của bất đẳng thức, hay dựa vào tính chất của các biến số để dự đoán... = b = c = 12 Bài toán trên nếu cho đầu bài theo yêu cầu sau thì học sinh sẽ có định hướng tốt hơn: Cho a, b, c > 0   a + b + c = 1  Chứng minh rằng: S = a + b + b + c + c + a ≤ 6 Tuy nhiên nếu biết đặc biệt hoá bài toán thì việc viết đầu bài theo hướng nào cũng có thể giải quyết được 4 Quy lạ về quen Ví dụ 5.(Dành cho lớp 10 - chương trình nâng cao) Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số: y= x x 2 − . triển tư duy cho học sinh trong quá trình dạy học. Từ những lý do trên đây, tôi quyết định chọn đề tài: Rèn luyện tư duy cho học sinh trung học phổ thông trong việc giải một số bài toán Đại số . II TÀI: "RÈN LUYỆN TƯ DUY CHO HỌC SINH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG TRONG VIỆC GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN ĐẠI SỐ" 1 LỜI NÓI ĐẦU I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI. 1.Cơ sở lý luận. Trong nhà trường phổ thông, nội. năng lực giải Toán cho học sinh. Chương trình Đại số ở trường trung học phổ thông có nhiều tiềm năng thuận lợi cho việc rèn luyện kỹ năng thực hiện một số thao tác tư duy. Bài tập Đại số có nhiều