rèn luyện tư duy cho học sinh trung học phổ thông trong việc giải một số bài toán đại số

1 LỜI NÓI ĐẦU I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI. 1.Cơ sở lý luận. Trong nhà trƣờng phổ thông, nội dung kiến thức Toán học trang bị cho học sinh không chỉ bao gồm các khái niệm, định lí, qui tắc mà còn cả các kĩ năng và phƣơng pháp. Vì vậy, hệ thống tri thức đó không chỉ có trong bài giảng lí thuyết mà còn có trong bài tập tƣơng ứng. Dạy học giải toán có vai trò đặc biệt trong dạy học toán ở trƣờng phổ thông. Các bài toán là phƣơng tiện có hiệu quả không thể thay thế đƣợc trong việc giúp học sinh nắm vững tri thức, phát triển tƣ duy, hình thành kỹ năng và kỹ xảo. Hoạt động giải toán là điều kiện để thực hiện tốt các mục đích khác của dạy học Toán. 2. Cơ sở thực tại. Tuy nhiên, thực tiễn dạy học Toán ở trƣờng phổ thông cho thấy năng lực giải Toán của học sinh còn hạn chế. Nguyên nhân chủ yếu đó là: Phƣơng pháp dạy học chủ yếu dựa trên quan điểm giáo viên là trung tâm của quá trình dạy học, trong đó giáo viên truyền thụ kiến thức mang tính áp đặt, việc lĩnh hội tri thức của học sinh mang tính thụ động cao. Phƣơng pháp thuyết trình của giáo viên đƣợc sử dụng quá nhiều dẫn đến trình trạng hạn chế hoạt động tích cực của học sinh, việc sử dụng các phƣơng pháp dạy học phát huy tính tích cực, tự lực và sáng tạo ở mức độ hạn chế, gắn nội dung dạy học với các tình huống thực tiễn chƣa đƣợc chú trọng. Những nguyên nhân trên dẫn đến thực trạng là thế hệ trẻ đƣợc đào tạo trong trƣờng phổ thông mang tính thụ động cao, hạn chế khả năng sáng tạo và năng lực vận dụng tri thức đã học để giải quyết các tình huống thực tiễn cuộc sống. Rèn luyện thao tác tƣ duy cho học sinh trong dạy học giải Toán có vai trò quan trọng trong việc phát triển khả năng tƣ duy của học sinh, để từ đó có khả năng thích ứng khi đứng trƣớc một vấn đề cần giải quyết. Học sinh cũng thấy đƣợc mỗi lời giải bài toán nhƣ là một quá trình suy luận, tƣ duy của học sinh mà 2 phƣơng pháp giải không chỉ phụ thuộc vào đặc điểm của bài Toán mà còn phụ thuộc tố chất tâm lý của bản thân ngƣời giải. Mối liên hệ, dấu hiệu trong bài Toán chỉ có thể đƣợc phát hiện thông qua quá trình phân tích, tổng hợp, khái quát hoá, so sánh, Rèn luyện thao tác tƣ duy trong dạy học giải Toán có vai trò quan trọng trong quá trình phát triển tƣ duy học sinh. Nhƣng trong thực tế, nó chƣa đƣợc ƣu tiên thích đáng xứng với vị trí của nó. Nguyên nhân dẫn đến tình trạng này phải chăng do giáo viên chƣa chú ý đƣợc tầm quan trọng của nó hoặc chƣa xây dựng đƣợc các biện pháp sƣ phạm thích hợp nhằm phát triển năng lực giải Toán cho học sinh. Chƣơng trình Đại số ở trƣờng trung học phổ thông có nhiều tiềm năng thuận lợi cho việc rèn luyện kỹ năng thực hiện một số thao tác tƣ duy. Bài tập Đại số có nhiều nhiều dạng thuộc về nhiều chủ đề kiến thức khác nhau. Khi giải các bài tập Đại số đòi hỏi ngƣời học sinh phải biết định hƣớng, phải sử dụng một cách tổng hợp kiến thức liên quan đến nhiều lĩnh vực khác nhau. Hệ thống bài tập Đại số khá phong phú về chủng loại với các mức độ khó khác nhau phù hợp với các đối tƣợng học sinh có trình độ nhận thức rèn luyên kỹ năng, phát triển tƣ duy và bồi dƣỡng năng lực giải toán. Vì vậy đây là một trong số lĩnh vực có thể khai thác để rèn luyện kĩ năng, phát triển tƣ duy cho học sinh trong quá trình dạy học. Từ những lý do trên đây, tôi quyết định chọn đề tài: “Rèn luyện tư duy cho học sinh trung học phổ thông trong việc giải một số bài toán Đại số”. 3 II. PHƢƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU 1. Phƣơng pháp nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu các tài liệu, sách báo. 2. Phƣơng pháp điều tra thực tiễn: Dự giờ, quan sát việc dạy của giáo viên và việc học của học sinh trong quá trình khai thác các bài tập SGK. 3. Phƣơng pháp thực nghiệm sƣ phạm 4. Phƣơng pháp thống kê III. PHẠM VI NGHIÊN CỨU Nghiên cứu một số vấn đề lý luận và thực tiễn việc rèn luyện cho học sinh các thao tác tƣ duy trong dạy học giải bài tập toán Đại số nhằm bồi dƣỡng năng lực giải toán cho học sinh, góp phần nâng cao chất lƣợng dạy học môn Toán ở trƣờng phổ thông. IV. ỨNG DỤNG Sáng kiến kinh nghiệm có thể làm tài liệu tham khảo cho giáo viên trong việc dạy học. Mặc dù đã cố gắng rất nhiều, nhƣng các vấn đề đƣa ra ít nhiều còn thiếu sót, hạn chế. Mong đƣợc sự góp ý của các quý thầy cô và bạn đọc. Xin trân trọng cảm ơn! Hoằng Hoá, tháng 05 năm 2013. Ngƣời viết Nguyễn Ngọc Đô 4 NỘI DUNG I.CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN. Thực tiễn sƣ phạm cho thấy, giáo viên thƣờng chƣa chú ý đến phát huy tác dụng giáo dục của bài toán, mà thƣờng chú trọng cho học sinh làm nhiều bài toán. Trong quá trình dạy học, việc chú ý đến chức năng của bài tập toán là chƣa đủ mà giáo viên cần quan tâm tới lời giải của bài tập toán. Lời giải của bài tập toán phải đảm bảo những yêu cầu sau: - Lời giải không có sai lầm. Học sinh phạm sai lầm trong khi giải bài tập thƣờng do ba nguyên nhân sau: + Sai sót về kiến thức toán học, tức là hiểu sai định nghĩa của khái niệm, giả thiết hay kết luận của định lý, + Sai sót về phương pháp suy luận. + Sai sót do tính sai, sử dụng ký hiệu, ngôn ngữ diễn đạt hay do hình vẽ sai. - Lời giải phải có cơ sở lý luận. - Lời giải phải đầy đủ. - Lời giải đơn giản nhất. Giáo viên dạy học sinh phƣơng pháp giải bài tập toán - Huy động kiến thức có liên quan: * Em đã gặp bài toán này hay bài này ở dạng hơi khác lần nào chưa. Em có biết một bài nào liên quan không? Một định lý có thể dùng được không?. * Thử nhớ lại một bài toán quen thuộc có cùng ẩn hay ẩn số tương tự?. * Có thể sử dụng một bài toán nào đó mà em đã có lần giải rồi hoặc sử dụng kết quả của nó không?. - Dự đoán kết quả phải tìm: * Em có thể nghĩ ra một bài toán có liên quan mà dễ hơn không?. Một bài toán tổng quát hơn?. Một trường hợp riêng?. Một bài toán tương tự? Em có thể giải một phần của bài toán?. * Em đã sử dụng mọi dữ kiện chưa? Đã sử dụng hết điều kiện chưa? Đã để ý đến mọi khái niệm chủ yếu trong bài toán chưa?. 5 * Hãy giữ lại một phần điều kiện, bỏ qua phần kia, khi đó ẩn được xác định đến chừng mực nào và biến đổi thế nào?. - Sử dụng phép phân tích đi lên và phép phân tích đi xuống để tìm kiếm hướng giải quyết vấn đề. Trong quá trình dạy học nếu giáo viên khai thác triệt để đƣợc những gợi ý trên thì sẽ hình thành và phát triển ở học sinh kỹ năng tìm lời giải cho các bài toán. Tuy nhiên để đạt đƣợc điều này thì giáo viên phải thực hiện kiên trì tất cả các giờ dạy Toán đồng thời học sinh phải đƣợc tự mình áp dụng vào hoạt động giải Toán của mình. MỘT SỐ THAO TÁC TƢ DUY PHỔ BIẾN CỦA HỌC SINH THPT TRONG GIẢI TOÁN Định hƣớng tìm tòi lời giải bài tập Nội dung và hình thức của bài toán Vốn kiến thức Toán học, kĩ năng và kinh nghiệm giải Toán Hƣớng 1 Nhận thức đềPhân tích 1 chọn lựa hoặc bỏ Hƣớng 2 Nhận thức đềPhân tích 2 chọn lựa hoặc bỏ Nhận thức đềPhân tích k chọn lựa hoặc bỏ Hƣớng thứ k Chọn lựa đƣợc hƣớng giải thích hợp Tiến hành phân tích, tổng hợp để đƣa ra lời giải của bài tập 6 II.GIẢI PHÁP RÈN LUYỆN TƢ DUY QUA GIẢI TOÁN. 1.Phân tích và tổng hợp. Do vậy việc rèn luyện các thao tác tƣ duy cho học sinh qua việc giải bài tập nhất thiết phải đƣợc tiến hành thông qua sự phân loại học sinh. Không có một cách “rèn luyện” nào phù hợp cho mọi đối tƣợng, thậm chí có những quá trình phân tích-tổng hợp khi giải một bài tập là rất kết quả đối với học sinh này nhƣng lại “vô nghĩa” với học sinh khác. Vì thế, tìm hiểu kĩ đối tƣợng, nghiên cứu kĩ bài tập định truyền đạt, tự thầy giáo phải phân tích kĩ một bài tập trƣớc khi hƣớng dẫn cho học sinh quá trình phân tích-tổng hợp khi giải bài tập toán là rất quan trọng. Dƣới đây là một số ví dụ minh họa. Ví dụ 1. CMR nếu A, B, C là 3 góc của một tam giác thì: cosA + cosB + cosC 2 3  (1) - Hoạt động phân tích: cosB + cosC = 2cos 2 BC cos 2 BC Sự phân tích này diễn ra trên cơ sở tổng hợp, liên hệ biểu thức cosB + cosC với công thức cosa + cosb = 2cos 2 ab cos 2 ab . 2 BC = 22 A    cos 2 BC = sin 2 A ; cosA = cos2 2 A = 1 - 2sin 2 2 A . Hoạt động phân tích này lại dựa trên cơ sở tổng hợp, liên tƣởng tới công thức cos2a = 1- 2sin 2 a. - Hoạt động tổng hợp, ta có lời giải: (1)  1 - 2sin 2 2 A + 2cos 2 BC cos 2 BC 3 2   4 sin 2 2 A - 4 sin 2 A cos 2 BC + 1  0  (2 sin 2 A - cos 2 BC ) 2 + sin 2 2 BC  0 (2) Bất đẳng thức (2) luôn đúng, nên (1) đúng. Ví dụ 2.(Bài tập 4- Trang 79 SGK Đại số 10) CMR: a 3 + b 3 > a 2 b +ab 2 với a, b  R + và a  b. 7 Nếu chỉ dùng phép tổng hợp để giải, suy nghĩ làm sao để từ a 3 + b 3 suy ra nó lớn hơn a 2 b + ab 2 là điều không dễ. Do đó giáo viên có thể hƣớng dẫn học sinh kết hợp với phép phân tích để tìm lời giải: Ta có: a 3 + b 3 = (a+b)(a 2 - ab +b 2 ) a 2 b +ab 2 = ab(a + b) Do đó: a 3 + b 3 > a 2 b +ab 2  a 2 - ab +b 2 > ab  (a –b) 2 >0 (a  b) Trên cơ sở phân tích cùng với phép tổng hợp ta có lời giải: Vì a, b  R+ và a  b nên a + b >0, (a –b) 2 >0. a 3 + b 3 = (a+b)(a 2 - ab +b 2 ) = (a+b)[(a - b) 2 + ab] = (a+b)(a - b) 2 + (a+b)ab> (a+b)ab = a 2 b +ab 2 . (ĐPCM) 2. Khái quát hoá và trừu tƣợng hoá. Trở lại ví dụ 1, từ bài toán xuất phát: “CMR nếu A, B, C là 3 góc của một tam giác thì: cosA + cosB + cosC 2 3  ”. Bây giờ nếu thay A, B, C bởi các số dƣơng x, y, z sao cho: x+ y+ z= π thì cosx + cosy + cosz ? . Từ đó, ta có thể phát biểu bài toán tổng quát: “CMR nếu A, B, C là 3 góc của một tam giác thì: cos mA nB mn   + cos mB nC mn   + cos mC nA mn   2 3  ” với m, n là các số nguyên dƣơng. Việc chứng minh hết sức đơn giản, ta đặt mA nB mn   =x, mB nC mn   =y, mC nA mn   =z Thì x, y, z cũng là 3 góc của tam giác nào đó, suy ra điều phải chứng minh. Khái quát hoá Khái quát hóa từ cái riêng lẻ đến cái tổng quát Khái quát hoá từ cái tổng quát đến cái tổng quát hơn Khái quát hoá tới cái tổng quát đã biết Khái quát hoá tới cái tổng quát chƣa biết 8 Ví dụ 3. CMR xR ta có: 12 15 20 3 4 5 5 4 3                        x x x x x x . Phân tích : Giáo viên có thể gợi cho hoc sinh nhận thấy rằng 3.4 3.5 5.4 ;; 4 4 3 3 12 15 20 55    và 12.15 20.15 12.20 3, 5, 4 5.4 3.4 5.3    Nhƣ vậy bất đẳng thức có dạng tƣơng tự bất đẳng thức quen thuộc a 2 + b 2 +c 2 ≥ ab+ bc+ ca. Từ đó ta có lời giải nhƣ sau: Áp dụng BĐT côsi cho 2 số ta có: 12 15 12.15 2 2.3 , 5 4 5.4 15 20 15.20 2 2.5 4 3 4.3 20 12 20.12 2 2.4 3 5 3.5 x x x x x x x x x x x x                                                                           Cộng theo từng vế của ba bất đẳng thức cùng chiều trên với nhau ta đƣợc: 12 15 20 3 4 5 5 4 3 x x x x x x                        , ( xR ) Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: 12 15 20 0. 5 4 3 x x x x                       Sau khi giải xong bài toán, giáo viên có thể cho học sinh khái quát hoá bài toán cùng loại:“Cho a, b, c là các số dƣơng tuỳ ý. CMR xR , ta có: x x x xxx ab bc ca a b c c a b                        ” 3. Đặc biệt hoá. Những dạng đặc biệt hoá thƣờng gặp trong môn Toán có thể đƣợc xuất phát từ việc xét dấu “=” của bất đẳng thức, hay dựa vào tính chất của các biến số để dự đoán kết quả. Chẳng hạn, ở ví dụ 1 từ bài toán xuất phát: “CMR nếu A, B, C 9 là 3 góc của một tam giác thì: cosA + cosB + cosC 2 3  ”. Đặc biệt hoá nếu A, B, C là 3 góc của một tam giác đều thì cosA + cosB + cosC 3 2  . Ví dụ 4. Cho , , 0 1 abc abc          Tìm giá trị lớn nhất: S a b b c c a      Giải. Dƣới đây là sai lầm thƣờng gặp của học sinh:             ôsi ôsi ôsi 2 2 2 1 .1 1 .1 1 .1 C C C ab a b a b bc b c b c ca c a c a                              23 5 22 abc a b b c c a           Nguyên nhân sai lầm Dấu “ = ” xảy ra  a + b = b + c = c + a = 1  a + b + c = 2 trái với giả thiết. Phân tích và tìm tòi lời giải: Do vai trò của a, b, c trong các biểu thức là nhƣ nhau do đó điểm rơi của BĐT sẽ là 1 3 abc   , từ đó ta dự đoán Max S = 6  a + b = b + c = c + a = 2 3  hằng số cần nhân thêm là 2 3 , đó chính là bƣớc đặc biệt hoá bài toán. Vậy lời giải đúng là:             ôsi ôsi ôsi . . . . . . 2 3 2 3 3 . 2 3 2 2 2 3 2 3 3 . 2 3 2 2 2 3 2 3 3 . 2 3 2 2 C C C ab a b a b bc b c b c ca c a c a                                  . 2 2 3. 33 3 .2 6 2 2 2 abc a b b c c a            . Vậy Max S = 6 khi 1 3 abc   . 10 Bài toán trên nếu cho đầu bài theo yêu cầu sau thì học sinh sẽ có định hƣớng tốt hơn: Cho , , 0 1 abc abc          Chứng minh rằng: 6S a b b c c a       . Tuy nhiên nếu biết đặc biệt hoá bài toán thì việc viết đầu bài theo hƣớng nào cũng có thể giải quyết đƣợc. 4. Quy lạ về quen. Ví dụ 5.(Dành cho lớp 10 - chương trình nâng cao) Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số: 2 x y x 6x 18 x3     với x (3; )   Khi tiếp nhận bài tập này, ngay cả những học sinh khá, giỏi ở lớp 10 cũng khó “định hướng” đƣợc việc phân tích để tìm lời giải của bài toán. Vấn đề là học sinh phải huy động vốn kiến thức đã có của mình nhƣ thế nào để “định hướng” cho việc tìm lời giải. Ta có thể gợi cho các em: +) Nếu sử dụng công cụ bất đẳng thức thì cái đích là việc tìm ra số không đổi m sao cho y m, x 3   và phải chỉ ra đƣợc x 0 >3 để y(x 0 )=m. Với việc “gợi” nhƣ vậy thì học sinh nhận thấy ngay rằng việc áp dụng bất đẳng thức côsi cho hai số dƣơng: x a x3   và 2 x 6x 18 b   theo kiểu a b 2 ab sẽ không đƣợc gì!. Quan sát biểu thức của hàm số ta nhận thấy x-3 và x 2 -6x+18 có “sự liên quan gần” bởi vì: x 2 -6x+18=(x-3) 2 +9, từ đây ta gợi dần cho học sinh quá trình phân tích nhƣ sau (với x>3): 1) 22 x 6x 18 (x 3) 9     , áp dụng bất đẳng thức côsi cho hai số dƣơng (x-3) 2 và 9 thì đƣợc: 22 (x 3) 9 2 (x 3) .9 6(x 3)      . 2) Ghép với biểu thức của hàm số thì đƣợc: 22 x 6x x 9 9 y 6(x 3) y 6 x 3 x 3 x 3              9 y 6 x 3 6 x3          [...]... biệt trên thì bài toán rất khó khăn; học sinh cảm thấy lúng túng Thực tế có rất nhiều bài toán nhƣ vậy nên việc rèn luyện cho học sinh khả năng này là rất cần thiết Trong quá trình tiếp cận và giải quyết bài toán nào đó, học sinh không chỉ nhìn bài toán từ một góc độ mà phải xem xét bài toán đó theo quan điểm toàn diện, không chấp nhận một cách giải quen thuộc hoặc duy nhất Ví dụ 9 Cho 3 số x, y, z thoả... có thể thấy hiệu quả của SKKN đã rèn luyện cho học sinh các thao tác tƣ duy trong giải toán Đại số nói riêng và giải toán nói chung 19 KẾT LUẬN 1.Kết quả nghiên cứu Sáng kiến kinh nghiệm 1 Đã phần nào làm sáng tỏ thực trạng về khả năng rèn luyện các thao tác tƣ duy trong dạy học toán ở trƣờng phổ thông 2 Đã làm phần nào làm sáng tỏ một số con đƣờng để tập luyện cho học sinh khả năng phân tích, khái quát... thức côsi cho hai số dƣơng x  3, 9 ta đƣợc: x 3 y  72 , có dấu “=” khi x=6 Việc phân tích kết thúc, giáo viên hƣớng dẫn học sinh tổng hợp để có lời giải hoàn chỉnh Ví dụ 6 (Bài 25 ôn tập cuối năm -Đại số 10 nâng cao) Tìm các số C và  sao cho: sin+cos = Csin(+) với mọi  Đây là bài tập cuối cùng của (SGK -Đại số 10 nâng cao) xuất bản năm 2006 Bài tập này không khó nhƣng việc làm cho học sinh hiểu... trình bày lời giải Nhƣ vậy, trong quá trình giảng dạy giáo viên cần coi trong vai trò của việc phân tích đặc điểm bài toán để hình thành phƣơng pháp giải Ví dụ 8 Tìm m để phƣơng trình sau có nghiệm: 90 5 (1  x)2  m90 1  x 2  (m  )90 (1  x)2  0 4 (1) Hình thức của bài toán dễ tạo ra những sự “ngợp”, nên gây cho học sinh khó khăn trong việc phát hiện ra mối quan hệ bản chất chứa trong bài toán Giáo... học sinh Cả ba câu trong đề kiểm tra đều không nặng về tính toán, mà chủ yếu là kiểm tra khả năng tƣ duy 3 Đánh giá kết quả thực nghiệm Kết quả làm bài kiểm tra của học sinh lớp thực nghiệm (TN) và học sinh lớp đối chứng (ĐC) đƣợc thể hiện thông qua bảng sau: Năm học Lớp Tổng số Điểm 8 trở lên Điểm từ 5 đến 7 Điểm dƣới 5 Số lƣợng Tỷ lệ Số lƣợng 2012- TN 45 12 26,7% 27 2013 ĐC 45 6 13,3 % 25 Tỷ lệ Số. .. a=b=0 Việc đƣa ra lời giải một cách đột ngột nhƣ vậy là không tốt về mặt sƣ phạm Học sinh không hiểu rằng, căn cứ vào đâu mà thầy giáo lại áp dụng bất đẳng thức cô-si trong khi đó có rất nhiều bất đẳng thức khác? Tại sao lại phân tích 7b3 thành tổng của 2 số hạng? có thể tách số hạng thứ nhất thành 2 số hạng? Vì vậy, tri thức mà học sinh lĩnh hội đƣợc sẽ là sự ghi nhớ một cách máy móc Để dạy cho học sinh. .. phạm nhằm rèn luyện các thao tác tƣ duy trong dạy học bài tập Đại số ở trƣờng THPT 4 Thiết kế cách thức dạy học một số ví dụ, hoạt động theo hƣớng dạy học tích cực 5 Đã tổ chức thực nghiệm sƣ phạm để minh học tính khả thi và hiệu quả của những định hƣớng sƣ phạm đƣợc đề xuất Nhƣ vậy có thể khẳng định rằng: Sáng kiến kinh nghiệm hoàn thành đƣợc mục đích nghiên cứu và có thể làm tài liệu tham khảo cho giáo... nhiên đề kiểm tra này dành cho học sinh có học lực khá trở lên ở hai lớp thực nghiệm và đối chứng Xin đƣợc phân tích rõ hơn về điều này và đồng thời đánh giá sơ bộ về chất lƣợng làm bài của học sinh Đề kiểm tra nhƣ trên là không quá khó và cũng không quá dễ so với trình độ học sinh Có thể nói với mức độ đề nhƣ trên thì sẽ phân hóa đƣợc trình độ của học sinh, đồng thời cũng đƣa ra cho giáo viên sự đánh giá... bài toán Giáo viên gợi học sinh phân tích tìm mối liên hệ giữa các yếu tố tạo nên bài toán để tìm tòi lời giải Xác định điều kiện của phương trình? (1 - x2  0  -1  x  1) Quan sát bài toán em nhận ra mối liên hệ nào không?(1 - x2 = (1 + x)(1 - x)) Các hạng tử 90 (1  x)2 , 90 1  x2 , 90 (1  x)2 , có thể có mối liên hệ nào thông qua việc phân tích đó không? Mong muốn học sinh lập luận: với x thỏa... án có thể áp dụng bất đẳng thức cô-si? Học sinh sẽ nghĩ đến việc áp dụng bất đẳng thức cô-si cho 2 số không âm, tuy nhiên kết quả thu đƣợc không nhƣ ta mong đợi Đến đây thầy có thể hỏi tiếp: Có thể dùng phương án khác hay không? (có thể xem M là tổng của nhiều hơn 2 số hạng, mà trƣớc hết ta hãy xem M là tổng của 3 số hạng không âm) Phân tích số hạng nào trong 2 số hạng đó? (Xem M = m1+m2+m3, khi đó . tƣ duy cho học sinh trong quá trình dạy học. Từ những lý do trên đây, tôi quyết định chọn đề tài: Rèn luyện tư duy cho học sinh trung học phổ thông trong việc giải một số bài toán Đại số năng lực giải Toán cho học sinh. Chƣơng trình Đại số ở trƣờng trung học phổ thông có nhiều tiềm năng thuận lợi cho việc rèn luyện kỹ năng thực hiện một số thao tác tƣ duy. Bài tập Đại số có. Nghiên cứu một số vấn đề lý luận và thực tiễn việc rèn luyện cho học sinh các thao tác tƣ duy trong dạy học giải bài tập toán Đại số nhằm bồi dƣỡng năng lực giải toán cho học sinh, góp phần