góp phần phát triển năng lực giải quyết vấn đề cho học sinh trung học phổ thông trong dạy học toán

Mặt khác trong dạy học Toán, mà cụ thể là: dạy học khái niệm, dạy họcđịnh lí, và dạy học giải bài tập Toán, mỗi cái có một vai trò quan trọng riêng, mộtý nghĩa nhất định trong việc góp p

Mở đầu1 Lí DO CHọN Đề TàI

1.1 Trớc những biến đổi to lớn của thế giới trong thời đại ngày nay, đòi hỏi

nhà trờng phải đào tạo ra những con ngời có năng lực giải quyết vấn đề trong họctập và trong thực tiễn cuộc sống Hình thành và bồi dỡng năng lực giải quyết vấnđề sẽ trở thành yêu cầu cấp bách của tất cả các quốc gia, các tổ chức giáo dục vàcác doanh nghiệp

Trong đổi mới giáo dục, ở hầu khắp các nớc trên thế giới, ngời ta rất quantâm đến bồi dỡng năng lực giải quyết vấn đề cho học sinh thông qua các môn học,thể hiện đặc biệt rõ nét ở trong quan điểm trình bày kiến thức và phơng pháp dạyhọc thông qua chơng trình, sách giáo khoa

Raja Roy Singh trong cuốn “Nền giáo dục cho thế kỉ XXI - Những triểnvọng của Châu á - Thái Bình Dơng” đã khẳng định: “Để đáp ứng đợc những đòihỏi mới đợc đặt ra do sự bùng nổ kiến thức và sáng tạo ra kiến thức mới, cần thiếtphải phát triển năng lực t duy, năng lực giải quyết vấn đề sáng tạo Các năng lựcnày có thể quy gọn là “năng lực giải quyết vấn đề””

Hội nghị giữa Hội đồng giáo dục Australia và các Bộ trởng Bộ Giáo dục Đào tạo - Việc làm các bang của Australia (9/1992) đã đa ra kiến nghị coi pháthiện và giải quyết vấn đề là một trong bảy năng lực then chốt (Key competencies)

-ở Việt Nam, các Nghị quyết Hội nghị lần thứ t khoá VII (1993), lần thứ haikhoá VIII (1997) của Ban chấp hành Trung ơng Đảng cộng sản Việt nam và LuậtGiáo dục (1998) đã chỉ rõ: “Cuộc cách mạng về phơng pháp giáo dục hớng vàongời học, rèn luyện và phát triển khả năng suy nghĩ, khả năng giải quyết vấn đềmột cách năng động, độc lập, sáng tạo ngay trong quá trình học tập ở nhà trờngphổ thông áp dụng những phơng pháp giáo dục hiện đại để bồi dỡng năng lực tduy sáng tạo, năng lực giải quyết vấn đề” Năng lực đầu tiên trong bốn năng lựccơ bản mà “mẫu ngời” tơng lai cần có chính là “năng lực phát hiện và giải quyếtvấn đề nảy sinh trong cuộc sống, khoa học công nghệ, ” Thái Duy Tuyên khibàn về mục tiêu và phơng pháp bồi dỡng con ngời Việt Nam trong điều kiện mớiđã chỉ ra: “Giáo dục không chỉ đào tạo con ngời có năng lực tuân thủ, mà chủ yếulà những con ngời có năng lực sáng tạo, , biết cách đặt vấn đề, nghiên cứu và giảiquyết vấn đề ” Các dự án phát triển Giáo dục tiểu học, Trung học cơ sở và Trunghọc phổ thông ở nớc ta hiện nay đang thực hiện đổi mới Giáo dục theo định hớngtrên

1.2 ở trờng phổ thông, có thể xem học Toán là học phát hiện và giải quyết

các vấn đề Toán học (tìm tòi ở mức độ học tập các tri thức Toán học theo con

đ-ờng tìm tòi suy lí và khái quát hóa) và dạy Toán là dạy hoạt động Toán học Hơnnữa, môn Toán là môn học có tính khái quát cao, mang đặc thù riêng của khoahọc Toán học nên chứa đựng nhiều tiềm năng để bồi dỡng năng lực giải quyết vấnđề

Mặt khác trong dạy học Toán, mà cụ thể là: dạy học khái niệm, dạy họcđịnh lí, và dạy học giải bài tập Toán, mỗi cái có một vai trò quan trọng riêng, mộtý nghĩa nhất định trong việc góp phần phát triển năng lực giải quyết vấn đề, pháttriển trí tuệ cho học sinh

1.3 Đã có một số tác giả quan tâm nghiên cứu phát triển một số loại năng

lực cụ thể trong dạy học môn Toán Về năng lực học Toán học nói chung có A.N.Kôlmôgôrôv, V.A Cruchetxki; ở trung học cơ sở về năng lực t duy sáng tạo cóTôn Thân; về năng lực Toán học trong lĩnh vực số học có Trần Đình Châu; vềnăng lực sáng tạo trong lĩnh vực hình học có Trần Luận; ở trung học phổ thông vềnăng lực giải Toán có Lê Thống Nhất; Nguyễn Thị Hơng Trang; Các nghiêncứu này đã tạo nên bức tranh nhiều màu sắc về năng lực nói chung và năng lựcToán học nói riêng Tuy nhiên căn cứ vào thực trạng dạy học Toán ở trung họcphổ thông hiện nay, có thể nói vấn đề bồi dỡng năng lực giải quyết vấn đề cha đợcquan tâm và phát triển một cách đầy đủ Cụ thể cha có công trình nào nghiên cứuvề vấn đề bồi dỡng năng lực giải quyết vấn đề cho học sinh trong dạy học Toán

1.4 Chủ đề “dạy học Toán ở trờng trung học phổ thông” đợc chúng tôi

chọn làm minh họa cho đề tài vì lí do sau đây:

Trong đổi mới nội dung, đổi mới chơng trình đang thực hiện ở nhà trờngphổ thông, có rất nhiều vấn đề phát sinh, những đòi hỏi mới trong những hoàncảnh mới Những nội dung kiến thức, bài tập của hôm nay, ngày mai sẽ có thểkhông phù hợp nữa Hơn nữa, xét thực trạng dạy học ở trờng trung học phổ thônghiện nay, các nhà Toán học Hoàng Tụy và Nguyễn Cảnh Toàn viết: “ Kiến thức,t duy, tính cách con ngời chính là mục tiêu của giáo dục Thế nhng, hiện nay trongnhà trờng, t duy, tính cách bị chìm đi trong kiến thức ”, “ Ta còn chuộng cáchnhồi nhét, luyện trí nhớ, dạy mẹo vặt để giải những bài toán oái oăm, giả tạo,chẳng giúp ích gì mấy cho việc phát triển trí tuệ mà còn làm cho học sinh xa rờithực tế, mệt mỏi và chán nản ” Khối lợng kiến thức thì phong phú, nội dung, ch-ơng trình liên tục thay đổi, làm sao có thể nhồi nhét hết vào trong đầu học sinhđang ở tuổi có nhiều mối quan tâm khác! Do đó, thay vì việc dạy nhồi nhét, luyệnnhớ, chúng ta hãy góp phần phát triển cho học sinh cách phát hiện và giải quyếtvấn đề, dạy cho họ cách học Mà dạy học Toán vừa tạo ra cơ hội thuận lợi, vừa đòi

hỏi phát triển những biện pháp s phạm thích hợp để hình thành và phát triển nănglực giải quyết vấn đề cho học sinh.

Những cơ sở lý luận và thực tiễn nói trên đã đặt ra yêu cầu và tạo điều kiệncho việc nghiên cứu năng lực giải quyết vấn đề trên bình diện đề xuất các biệnpháp s phạm để bồi dỡng các năng lực này trong dạy học Toán ở trung học phổthông, góp phần nâng cao chất lợng dạy học môn Toán ở trờng trung học phổthông nói riêng, qua đó phát triển khả năng giải quyết vấn đề nói chung Vì tất cả

các lí do trên chúng tôi đã chọn vấn đề “Góp phần phát triển năng lực giải quyết

vấn đề cho học sinh trung học phổ thông trong dạy học Toán" làm đề tài

3 giả thuyết khoa học

Nếu xác định đợc một số thành tố của NLGQVĐ và xây dựng đợc các

BPSP phù hợp thì có thể góp phần phát triển năng lực này cho HS trong dạy học

4.3 Điều tra thực tiễn và xin ý kiến chuyên gia:

- Phỏng vấn, sử dụng phiếu điều tra GV và HS về:+ Thực trạng tình hình DHT ở trờng THPT;

+ Thực trạng vấn đề bồi dỡng NLGQVĐ cho học sinh thông qua DH Toánở trờng PTTH (nhận thức của GV, kết quả).

- Tổ chức xin ý kiến chuyên gia giáo dục về vấn đề nghiên cứu

4.4 Thực nghiệm s phạm:

Tổ chức nghiệm s phạm để kiểm chứng tính khả thi và hiệu quả của đề tài

5 nhiệm vụ nghiên cứu

5.1 Nghiên cứu cơ sở lí luận và thực tiễn của đề tài:

Hệ thống hoá, làm rõ những vấn đề về cơ sở lí luận và thực tiễn, phơngpháp luận có liên quan đến NLGQVĐ trong dạy học Toán

5.2 Đề xuất các BPSP bồi dỡng NLGQVĐ cho HS trong DH Toán ở THPT.

Trên cơ sở đó, xác định một số qui tắc tựa thuật giải thích hợp, hớng dẫn vận dụngcác BPSP trong quá trình dạy học Toán

5.3 Tổ chức thực nghiệm s phạm xem xét tính khả thi của phơng án đề

xuất; tìm hiểu khả năng triển khai trong thực tiễn

6 những đóng góp của luận văn và ý nghĩa của đề tài

6.1 Về mặt lí luận: Góp phần làm rõ các thành tố của NLGQVĐ của HS

trong dạy học Toán

6.2 Về mặt thực tiễn: Xây dựng hệ thống các BPSP bồi dỡng cho HS

NLGQVĐ trong dạy học Toán

7 những vấn đề đa ra bảo vệ

7.1 Một số thành tố của NLGQVĐ (đây là các thành tố thực sự cần thiết và

có thể bồi dỡng cho HS trong dạy học Toán ở trờng THPT)

7.2 Hệ thống các BPSP đã đề xuất là thiết thực và có tính khả thi để bồi

d-ỡng NLGQVĐ cho học sinh THPT trong DH Toán

7.3 Một số qui tắc tựa thuật giải cùng với việc sử dụng các BPSP mà luận

văn đã đề xuất là cách thức cụ thể để góp phần phát triển NLGQVĐ cho HS

8 cấu trúc của luận văn

Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo và phụ lục, nội dung chínhcủa luận văn đợc trình bày trong ba chơng:

Chơng 1: Cơ sở lí luận và thực tiễn

1.1 Quá trình nhận thức.1.2 Năng lực giải quyết vấn đề trong Toán học.1.3 Vấn đề phát triển năng lực giải quyết vấn đề cho học sinh trong dạyhọc Toán

1.4 Các năng lực thành tố của năng lực giải quyết vấn đề của học sinhtrong dạy học Toán ở THPT

1.5 Các biểu hiện và cấp độ của năng lực giải quyết vấn đề

Chơng 2: Các biện pháp s phạm góp phần phát triển năng giải quyết

vấn đề cho học sinh THPT trong dạy học Toán

2.1 Định hớng xây dựng và thực hiện các biện pháp.2.2 Một số biện pháp s phạm nhằm góp phần phát triển năng lực giải quyếtvấn đề cho học sinh trong học Toán

2.3 Kết luận

Chơng 3: Thực nghiệm s phạm

3.1 Mục đích thực nghiệm.3.2 Tổ chức và nội dung thực nghiệm.3.3 Đánh giá kết quả thực nghiệm.3.4 Kết luận

Chơng I Cơ sở lí luận và thực tiễn1.1 Quá trình nhận thức

Trong dạy học nói chung, dạy học Toán nói riêng cần chú ý đến cơ chếcũng nh những điều kiện ảnh hởng đến sự phát triển của nhận thức của ngời học,

bởi điều đó có vai trò quyết định đến khả năng lĩnh hội tri thức- tạo tiền đề choviệc phát triển trí tuệ, phát triển NLGQVĐ của họ

Ngời ta có thể xem xét khoa học các đối tợng nghiên cứu tâm lí học theonhiều góc độ khác nhau Và đối với sự phát triển của nhận thức cũng không nằmngoài qui luật đó

Các nghiên cứu cho thấy có thể chia quá trình nhận thức thành hai cấp độ:nhận thức cảm tính và nhận thức lí tính

Nhận thức cảm tính (cảm giác, tri giác, …) có vai trò quan trọng trong đời) có vai trò quan trọng trong đờisống tâm lí của con ngời, nó cung cấp vật liệu cho các hoạt động tâm lí cao hơn.Tuy nhiên, thực tế cuộc sống luôn đặt ra VĐ mà bằng nhận thức cảm tính, con ng-ời không thể nhận thức và giải quyết đợc Muốn nhận thức và giải quyết đợcnhững vấn đề nh vậy, con ngời phải đạt tới mức độ nhận thức cao hơn, đó là nhậnthức lí tính (còn gọi là t duy)

Trong tâm lí học, một trong những nghiên cứu đầy đủ nhất về t duy đã đợctrình bày trong các công trình của X L Rubinstein Những công trình này đã thúcđẩy mạnh mẽ việc giải quyết hàng loạt các vấn đề cơ bản liên quan đến nghiêncứu hình thức hoạt động tâm lí phức tạp Theo cách hiểu của X L Rubinstein: “Tduy - đó là sự khôi phục trong ý nghĩ của chủ thể về khách thể với mức độ đầy đủhơn, toàn diện hơn so với các t liệu cảm tính xuất hiện do tác động của khách thể”[21, tr 264]

Có thể chỉ ra một số định nghĩa khác về t duy, chẳng hạn: “T duy là quátrình nhận thức phản ánh những thuộc tính bản chất, những mối quan hệ có tínhqui luật của sự vật hiện tợng trong hiện thực khách quan” [24, tr 117], hoặc: “Tduy là một quá trình tâm lí liên quan chặt chẽ với ngôn ngữ - quá trình tìm tòi vàsáng tạo cái chính yếu, quá trình phản ánh một cách hay từng phần hay khái quátthực thế trong khi phân tích và tổng hợp nó T duy sinh ra trên cơ sở hoạt độngthực tiễn, từ nhận thức cảm tính và vợt xa giới hạn của nó” [80]

T duy con ngời mang bản chất xã hội, sáng tạo và có cá tính ngôn ngữ.Trong quá trình phát triển, t duy con ngời không dừng lại ở trình độ thao tác bằngchân tay, bằng hình tợng mà con ngời còn đạt tới trình độ t duy bằng ngôn ngữ, tduy trừu tợng, t duy khái quát - hình thức t duy đặc biệt của con ngời [24, tr 119].Trong quá trình t duy, con ngời sử dụng phơng tiện ngôn ngữ - sản phẩm có tínhxã hội cao, để nhận thức tình huống có vấn đề, để từ đó tiến hành các thao tác tduy: phân tích, tổng hợp, so sánh, trừu tợng hoá, khái quát hoá nhằm đi đến nhữngkhái niệm, phán đoán, suy lí, những qui luật - những sản phẩm khái quát của tduy

T duy có đặc điểm mới về chất so với cảm giác và tri giác T duy có nhữngđặc điểm cơ bản sau [24, tr 119-125]:

*) T duy chỉ nảy sinh khi gặp hoàn cảnh có vấn đề;*) T duy có tính khái quát;

*) T duy có tính gián tiếp;*) T duy của con ngời có quan hệ mật thiết với ngôn ngữ: t duy và ngônngữ có quan hệ chặt chẽ với nhau, không tách rời nhau nhng cũng không đồngnhất với nhau Sự thống nhất giữa t duy và ngôn ngữ thể hiện ở khâu biểu đạt kếtquả của quá trình t duy

*) T duy có quan hệ mật thiết với nhận thức cảm tính: t duy thờng bắt đầutừ nhận thức cảm tính, dù t duy có tính khái quát và tính trừu tợng đến đâu thì nộidung của t duy vẫn chứa đựng những thành phần cảm tính (cảm giác, tri giác, hìnhtợng trực quan, ) X L Rubinstein khẳng định rằng: “Nội dung cảm tính baogiờ cũng có trong t duy trừu tợng, tựa hồ nh làm thành chỗ dựa cho t duy” [24, tr.122]

*) T duy là một quá trình: t duy đợc xét nh một quá trình, nghĩa là t duy cónảy sinh, diễn biến và kết thúc Quá trình t duy bao gồm nhiều giai đoạn kế tiếp

nhau đơc minh hoạ bởi sơ đồ Hình 1.1 (do K K Plantônôv đa ra):

Xuất hiện các liên t ởng

Sàng lọc các liên t ởng và hình thành giả thuyết

Kiểm tra giả thuyếtNhận thức vấn đề

Giải quyết vấn đề

Hoạt động t duy mới

Hình 1.1 (Dẫn theo Nguyễn Văn Thuận [80])

*) Quá trình t duy là một hành động trí tuệ: quá trình t duy đợc diễn ra bằngcách hành những thao tác trí tuệ nhất định Có rất nhiều thao tác trí tuệ tham giavào một quá trình t duy cụ thể với t cách một hành động trí tuệ: phân tích, tổnghợp, so sánh, trừu tợng hoá, khái quát hoá,

Có thể tìm thấy sự đầy đủ, sâu sắc hơn ở nghiên cứu về t duy trong luận ántiến sĩ của Nguyễn Văn Thuận [80] và các tài liệu chuyên khảo khác Cái cốt lõi làchúng ta phải thấy đợc tác dụng của t duy trong đời sống xã hội, bởi con ngời dựavào t duy để “nhận thức những qui luật khách quan của tự nhiên, xã hội và lợidụng những qui luật đó trong hoạt động thực tiễn của mình” [80]

1.2 Năng lực giải quyết vấn đề trong Toán học

Theo phân tích trên thì chúng ta cần có những quan tâm đúng mực đến sựphát sinh và cơ chế của quá trình nhận thức để áp dụng vào dạy học có hiểu quả.Bởi đó là điều kiện tiên quyết để GQVĐ đợc tốt hơn, góp phần phát triển năng lựcGQVĐ của ngời học nói chung, và trong dạy học Toán nói riêng

tr-Các nhà tâm lí học Mác xit nhìn nhận và nghiên cứu vấn đề NL theo cáchkhác Họ không tuyệt đối hoá vai trò của yếu tố bẩm sinh di truyền đối với NL mànhấn mạnh đến yếu tố hoạt động và HT trong việc hình thành NL

C Mác chỉ rõ: “Sự khác nhau về tài năng tự nhiên của các cá nhân khôngphải là nguyên nhân mà là kết quả của sự phân công lao động” [48, tr 167] Ph.Ăng ghen thì cho rằng: “Lao động đã sáng tạo ra con ngời” [2, tr 641]

Trờng phái tâm lí học Xôviết với A G Côvaliov [13, tr 84-127], N X.Lâytex, …và tiêu biểu là B M Chieplôv đã có nhiều công trình nghiên cứu về NLtrí tuệ B.M Chieplôv coi NL là những đặc điểm tâm lí cá nhân có liên quan với

kết quả tốt đẹp với việc hoàn thành một hoạt động nào đó Theo ông có hai yếu tốcơ bản liên quan đến khái niệm NL:

Thứ nhất, NL là những đặc điểm tâm lí mang tính cá nhân Mỗi cá thể khác

nhau có NL khác nhau về cùng một lĩnh vực Không thể nói rằng: Mọi ngời đềucó năng lực nh nhau!

Thứ hai, khi nói đến NL, không chỉ nói tới các đặc điểm tâm lí chung mà

NL còn phải gắn với một hoạt động nào đó và đợc hoàn thành có kết quả tốt (tínhhớng đích)

Cũng theo quan điểm trên, X L Rubinstein chú trọng đến tính có ích củahoạt động, ông coi NL là điều kiện cho hoạt động có ích của con ng ời: “Năng lựclà toàn bộ những thuộc tính tâm lí làm cho con ngời thích hợp với một hoạt độngcó ích lợi cho xã hội nhất định” [87, tr.250]

ở Việt Nam, nhấn mạnh đến tính mục đích và nhân cách của NL, Phạm TấtDong và Phạm Minh Hạc đa ra nhận định nghĩa: “Năng lực chính là một tổ hợpcác đặc điểm tâm lí của một con ngời (còn gọi là tổ hợp thuộc tính tâm lí của mộtnhân cách), tổ hợp đặc điểm này vận hành theo một mục đích nhất định tạo ra kếtquả của một hoạt động nào đấy” [24, tr.45]

b) Kĩ năng, kĩ xảo và mối quan hệ với năng lực

M A Đanilôp và M.N Xcatkin [20, tr 26]: "Kĩ năng bao giờ cũng xuất pháttừ kiến thức, kĩ năng chính là kiến thức trong hành động Kĩ năng là khả năng củacon ngời biết sử dụng một cách có mục đích và sáng tạo những kiến thức"

Theo X.Roegiers [74, tr 79] thì cho rằng: "Kĩ năng là khả năng thực hiệnmột cái gì đó Đó là một hoạt động đợc thực hiện"

Meirieu cho rằng: "Kỹ năng là một hoạt động trí tuệ ổn định và có thể táihiện trong những trờng kiến thức khác nhau Không một kĩ năng nào tồn tại ởdạng thuần khiết và mọi khả năng đều biểu hiện qua những nội dung"

Nh vậy, qua tổng hợp các nghiên cứu chúng tôi cho rằng: Kĩ năng là ở phơngthức hành động dựa trên cơ sở của tri thức, luôn đợc biểu hiện qua các nội dungcụ thể Kĩ năng có thể đợc hình thành theo con đờng luyện tập Kĩ năng là một bộphận cấu thành năng lực

Những nghiên cứu về hoạt động cho thấy: Kết quả của việc hoàn thành mộthoạt động nào đó phụ thuộc vào kĩ năng thực hiện những hành động thành phầncủa nó Đồng thời, thể hiện mức độ tinh vi, thành thục khi thực hiện các kĩ năngđó chính là kĩ xảo Nh vậy, NL và kĩ năng, kĩ xảo có mối liên hệ khăng khít, gắnbó, NL thờng bao gồm một tổ hợp các kĩ năng thành phần có quan hệ chặt chẽ vớinhau, giúp con ngời hoạt động có kết quả

Nhìn nhận vấn đề NL dới góc độ gắn với các kĩ năng, xét từ phơng diện tìmcách phát triển những NL cho HS trong HT, X Rogiers đã mô hình hoá khái niệmNL thành các kĩ năng hành động trên những nội dung cụ thể trong một loại tìnhhuống hoạt động: “Năng lực chính là sự tích hợp các kĩ năng tác động một cách tựnhiên lên các nội dung trong một loạt các tình huống cho trớc để giải quyết nhữngvấn đề do tình huống này đặt ra” [74, tr.90].

Tóm lại, NL và kĩ năng là những vấn đề (VĐ) khá trừu tợng trong tâm líhọc Tuy còn có những cách hiểu và diễn đạt khác nhau, song về cơ bản các nhàtâm lí học đều thống nhất rằng:

*) NL tồn tại và phát triển thông qua hoạt động; để có NL cần phải cónhững phẩm chất của cá nhân đáp ứng yêu cầu của một loại hoạt động nhất định,đảm bảo cho hoạt động ấy đạt hiệu quả cao

*) Ngời có năng lực về một hoạt động nào đó cần phải: + Có tri thức về hoạt động đó;

+ Tiến hành thạo động theo đúng các yêu cầu của nó một cách có hiệu quả; + Đạt đợc kết quả phù hợp với mục đích đề ra;

+ Biết tiến hành có kết quả trong những điều kiện khác nhau

c) Trên cơ sở tìm hiểu những quan điểm về NL, xét từ phơng diện giáo dục,

chúng tôi tổng hợp lại nh sau: *) NL thể hiện đặc thù tâm lí, sinh lí khác biệt của cá nhân, chịu ảnh h ởngcủa yếu tố bẩm sinh di truyền về mặt sinh học, đợc phát triển hay hạn chế còn donhững điều kiện khác của môi trờng sống

*) Những yếu tố bẩm sinh của NL cần có môi trờng điều kiện xã hội (ở đâyta sẽ giới hạn trong môi trờng giáo dục) thuận lợi mới phát triển đợc, nếu khôngsẽ bị thui chột Do vậy NL không chỉ là yếu tố bẩm sinh, mà còn phát triển tronghoạt động, chỉ tồn tại và thể hiện trong mỗi hoạt động cụ thể

*) Nói đến NL là nói đến NL trong một loại hoạt động cụ thể của con ngời *) Cấu trúc của NL bao gồm một tổ hợp nhiều kĩ năng thực hiện nhữnghành động thành phần và có liên quan chặt chẽ với nhau Đồng thời NL còn liênquan đến khả năng phán đoán, nhận thức, hứng thú và tình cảm

*) Hình thành và phát triển những NL cơ bản của HS trong HT và đời sốnglà nhiệm vụ quan trọng của các nhà trờng s phạm

1.2.1.2 Năng lực toán học và một số thành phần đặc trng của t duytoán học ảnh hởng đến năng lực toán học

a) Năng lực toán học

Đã có nhiều công trình nghiên cứu về NL toán học từ những phơng diệnkhác nhau Trong các bài viết của Viện sĩ B V Gơnhedencô viết về giáo dục họcở trờng phổ thông, ông đa ra các yêu cầu đối với t duy toán học của học sinh là:

1) Năng lực nhìn thấy sự không rõ ràng của quá trình suy luận, thấy đợcsự thiếu sót của những điều cần thiết trong chứng minh;

2) Sự cô đọng;3) Sự chính xác của các kí hiệu;4) Phân chia rõ tiến trình suy luận;5) Thói quen lí lẽ đầy đủ về logic [80].

Theo A Ia Khinsin, những nét độc đáo của t duy toán học là:

1) Suy luận theo sơ đồ lôgic chiếm u thế;2) Khuynh hớng đi tìm con đờng ngắn nhất đi đến mục đích;3) Phân chia rành mạch các bớc suy luận;

4) Sử dụng chính xác các kí hiệu (mỗi kí hiệu toán học có một ý nghĩa xácđịnh chặt chẽ);

5) Tính có căn cứ đầy đủ của lập luận [80]

*) A N Kôlmôgôrôv xem xét NL toán học trên cơ sở 3 thành tố liên cóliên quan đến khả năng biến đổi biểu thức chữ, tởng tợng và suy luận lôgic:

1) NL biến đổi thành thạo các biểu thức chữ phức tạp, NL tìm kiếm cácphơng pháp xa lạ với các qui tắc thông thờng để giải phơng trình;

2) Trí tởng tợng hình học hay trực giác hình học ;“ ”

3) Nghệ thuật suy luận lôgíc đợc phân nhỏ hợp lí, tuần tự.

*) V A Cruchetxki [28, tr 168] nhìn nhận dới góc độ thu nhận và xử líthông tin đã phân chia NL toán học bao gồm 4 thành tố cơ bản là:

1) Thu nhận thông tin toán học;2) Chế biến thông tin toán học;3) Lu trữ thông tin toán học;4) Thành phần tổng hợp chung là khuynh hớng toán học của trí tuệ.

*) Trong [91], UNESCO đã công bố 10 tiêu chí NL toán học cơ bản nh sau:

1) NL phát biểu và tái hiện những định nghĩa, kí hiệu, các phép toán, cácKN;

2) NL tính nhanh và tính cẩn thận, sử dụng đúng các kí hiệu;3) NL dịch chuyển các dữ liệu thành kí hiệu;

4) NL biểu diễn các dữ kiện, ẩn, các điều kiện ràng buộc giữa chúng thànhkí hiệu;

5) NL theo dõi một hớng suy luận hay chứng minh;6) NL xây dựng một chứng minh;

7) NL giải một bài toán đã toán học hoá;8) NL giải một bài toán có lời văn (cha toán học hóa);9) NL phân tích bài toán và xác định phép toán có thể áp dụng; 10) NL khái quát hoá.

Theo A A Stoliar, dạy Toán có thể xem nh dạy cho học sinh hoạt độngtoán học, mà đi liền với mỗi hoạt động sẽ có những NL tơng ứng Học toán baogồm các hoạt động liên quan đến Số học, Đại số, Giải tích, Hình học, … nên ta cóthể phân chia NL thành thành các NL học Số học, NL học Đại số, NL học Giảitích, NL học Hình học… Mặt khác, toán học có tính trừu tợng cao và tính lôgicchặt chẽ nên hoạt động học toán liên quan chặt chẽ với t duy toán học Do đó, NLtoán học có thể đợc nghiên cứu từ những góc độ riêng Có những tác giả đã cụ thểhoá và vận dụng NL này vào DH Toán theo các khía cạnh, phạm vi và chủ đềkhác nhau

E L Thorndike trong cuốn các vấn đề giảng dạy Đại số, 1920 [88, tr 27]đã xác định bảy thành tố của NL Đại số gồm:

1) Hiểu và thiết lập các công thức;2) Biểu diễn các tơng quan số lợng thành hình dạng công thức;3) Biến đổi các công thức;

4) Thiết lập các phơng trình biểu diễn các quan hệ số lợng đã cho;5) Giải các phơng trình;

6) Thực hiện các phép biến đổi đại số đồng nhất;7) Biểu diễn bằng đồ thị sự phụ thuộc hàm của hai đại lợng.

Tiếp cận từ góc độ bồi dỡng t duy sáng tạo, Tôn Thân đã tập trung nghiêncứu ba trong năm thành phần cơ bản của t duy sáng tạo là “tính mền dẻo, tínhnhuần nhuyễn, và tính độc đáo” [79, tr 12-13]

Theo hớng bồi dỡng NL toán học cho HS THCS, Trần Đình Châu tập trungvào bốn yếu tố của nó trong DH Số học [8, tr 38-39]

Từ khía cạnh rèn luyện NL t duy trong NL toán học, Nguyễn Thái Hoè đara các yêu cầu rèn luyện t duy qua giải bài tập toán [29, tr 4]; Nguyễn Văn Thuậntìm hiểu các đặc trng của t duy lôgic và sử dụng chính xác ngôn ngữ toán học choHS ở đầu cấp THPT [80]

Nghiên cứu rèn luyện NL giải toán, Lê Thống Nhất đã đi theo hớng tìmhiểu, phân loại các sai lầm và biện pháp sửa chữa cho HS THPT [52] Còn NguyễnThị Hơng Trang thì tiếp cận NL này từ quan điểm “phát hiện và GQVĐ một cáchsáng tạo” [82], …

Trên cơ sở nghiên cứu những lí luận và thực tiễn, có thể thấy:

*) NL toán học là những đặc điểm tâm lí về hoạt động trí tuệ của học sinh,giúp họ nắm vững và vận dụng tơng đối nhanh, dễ dàng, sâu sắc, những kiến thức,kĩ năng, kĩ xảo trong môn Toán.

*) NL toán học đợc hình thành, phát triển, thể hiện thông qua (và gắn liềnvới) các hoạt động của HS nhằm giải quyết những nhiệm vụ HT trong môn Toán:xây dựng và vận dụng khái niệm, chứng minh và vận dụng định lí, giải bài toán,…

b) Một số thành phần đặc trng của t duy toán học ảnh hởng đến nănglực toán học

Để thuận lợi cho việc nghiên cứu những vấn đề liên quan đến NLGQVĐnh đề xuất các NL thành tố và các BPSP ở các phần sau của luận văn, chúng tôithấy cần thiết phải phân tích, làm rõ một số loại t duy dới đây

a) T duy trực giác

Khái niệm trực giác đợc đề cập từ lâu và có những cách hiểu khác nhau,điều đó chứng tỏ vai trò quan trọng trong quá trình nhận thức và sáng tạo khoahọc Theo đại bách khoa toàn th Xôviết thì trực giác là năng lực nhận thức chân líbằng cách xét đoán trực tiếp mà không có sự biện giải bằng chứng minh TheoCruchetxki thì nhiều trờng hợp, sự bừng sáng đột ngột của học sinh có năng lực cóthể giải thích bởi ảnh hởng vô thức bởi kinh nghiệm quá khứ mà cơ sở của chúnglà năng lực khái quát hóa các đối tợng, các quan hệ, các phép toán toán học vànăng lực t duy bằng cấu trúc rút gọn

Các tài liệu khác nhau, hiểu trực giác toán học theo nhiều nghĩa khác nhauvà trong thực tế cũng tồn tại nhiều dạng khác nhau; nó có thể coi là sự bừng sángđột ngột, cha nhận thức đợc, có thể là trực quan cảm tính và cũng có thể là kết quảcủa sự vận động không có ý thức các cách thức hoạt động khái quát và các cấutrúc rút gọn

J Bruner đã viết: “Thông thờng t duy trực giác dựa trên cơ sở quen biết vớinhững kiến thức cơ bản trong lĩnh vực đang xét với cơ cấu của lĩnh vực này Điềuđó cho phép thực hiện t duy trực giác dới những dạng biến đổi đột ngột, việcchuyển nhanh từ chỗ này sang chỗ kia, bỏ qua những khâu của vấn đề, …) có vai trò quan trọng trong đời”

Và cũng cần chú ý rằng không phải tất cả các phát minh (phát minh vĩ đại)đều là trực giác, nhng có rất nhiều phát minh bắt đầu từ trực giác Newton chỉ vớiquả táo rơi trên cây xuống mà đã đi tới định lí vạn vật hấp dẫn Có thể hệ thốngcác tiên đề của hình học Ơclit khi ông nêu ra có lẽ phần lớn cũng xuất phát từtrực giác chăng?

Ví dụ 1.1 Vào năm Gauss 7 tuổi, thầy giáo đã ra cho cả lớp bài tập: “Hãy

tính tổng của một 100 số tự nhiên từ 1 đến 100” và Gauss đã đa ra cách trả lời

chính xác chỉ sau một lát suy nghĩ Làm thế nào ở độ tuổi đó, ông đã có thể tínhđợc phép tính phức tạp này?

Phải chăng xuất phát từ trực giác, Ông đã nghĩ: “Dù thay đổi trật tự của consố trong phép tính thì kết quả vẫn không thay đổi, vì thế mình có thể nhóm 1 với100, 2 với 99, 3 với 98, …) có vai trò quan trọng trong đời để tạo thành các cặp có tổng bằng nhau, và mình có 50cặp số nh vậy (?)”, suy luận đa ra đáp án là 101.50 = 5050

Suy nghĩ này đợc thể hiện qua sơ đồ sau:

Không rõ thời điểm đó Ông thực sự đã suy nghĩ nh thế nào, nhng có lẽ bằngtrực giác toán học khi ghép đôi các cặp với nhau nh trên? (Dẫn theo [87, tr 5])

Qua những ví dụ trên, cho thấy cần phải có những quan tâm hợp lí đối với tduy trực giác bởi nó cũng những ý nghĩa rất lớn trong học tập cũng nh trong cuộcsống

b) T duy lôgíc

T duy lôgic đợc hiểu là: “T duy thay thế các hành động với các sự vật cóthực bằng sự vận dụng các khái niệm theo qui tắc của Lôgíc học” [68] T duylôgíc là thứ t duy chặt chẽ, không mâu thuẫn, nó không chỉ là thực hiện giải quyếtvấn đề, mà còn là phơng hớng GQ Ta sẽ thấy rằng, nếu hiểu một cách đầy đủ thìt duy lôgíc đóng vai trò quan trọng trong việc PH và GQVĐ, nó chứng đựng cảnhững thao tác tiền lôgíc, nh mò mẫn, dự đoán, bác bỏ, khẳng định, đặt giả thuyết.Theo các tác giả Koliagin, Oganhexian, Lukankin, Xanhixki là: “T duy lôgíc đợcđặc trng bởi kĩ năng đa hệ quả từ những tiền đề, kĩ năng phân chia ra trờng hợpriêng và phối hợp chúng lại để khảo sát một cách toàn diện vấn đề đang xét, kĩnăng dự đoán về mặt lí thuyết một kết quả cụ thể nào đó” [80]

Theo quan điểm trên, t duy lôgíc chứa đựng ba thành phần cơ bản đó là: suydiễn, dự đoán, chia trờng hợp riêng Tuy nhiên, mức độ của từng thành phần ấy thìkhông đợc định chuẩn một cách rõ ràng, bởi nh đối với dự đoán chẳng hạn, cũngcó nhiều mức độ, đối với suy diễn thì cũng có những cái trực tiếp và gián tiếp

Vấn đề dự đoán trong t duy lôgíc thờng gặp nhiều trong DH toán ở trờngPT, nh các bài toán quĩ tích hình học phẳng, tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của cáchàm số khi cha có công cụ đạo hàm, đặc biệt là những dự đoán về phơng hớng GQbài toán Chẳng hạn đối với rất nhiều phơng trình, hệ phơng trình, nếu đi theo conđờng truyền thống nh: đặt ẩn phụ, biến đổi tơng đơng, phơng pháp thế, …) có vai trò quan trọng trong đời thì

1 +2 +3 + ………… + 98 + 99 +100

101

không thể giải đợc, nhng nếu đoán ra yếu tố then chốt là bài toán sẽ đợc giải theophơng pháp không mẫu mực (đánh giá hai vế chẳng hạn); thì sẽ thành công.

Xét ví dụ dới đây, mô tả lại quá trình mày mò, suy luận để tìm lời giải củamột HS có NL toán học

Ví dụ 1.2: Giải phơng trình:

xx

2cos2  ĐKXĐ: x0

HS đó nhận thấy phơng trình đã cho có chứa những yếu tố siêu việt (mũ, ợng giác), hơn nữa có vẻ nh, các biểu thức ở hai vế đã cho dới dạng mà khó có thểlàm “gọn hơn” đợc nữa, lại dễ thấy x = 1 là một nghiệm của phơng trình Nghĩ tớibài toán có thể đợc giải theo một cách khác, khi mà các phép biển đổi thông thờngkhông khả thi, đó là đánh giá hai vế

l-Nhận thấy đợc: x ĐKXĐ thì luôn có:02cos22



Tiếp tục đi đánh giá VP với hi vọng tìm thấy có sự có sự trái chiều.Các biểu thức:

xx, 1 là các biểu thức cùng dấu với tích không đổi, có xuấthiện dáng dấp của BĐT Cauchy, Nhng BĐT này lại chỉ áp dụng cho các số khôngâm; nên dẫn tới đánh giá nh sau:

Khi x0 thì VT

xxVP1 0 nên phơng trình vô nghiệm

Khi x0 thì theo BĐT Cauchy VT

xxVP12 , nên phơng trình tơng đ-ơng với hệ điều kiện:

12

122cos2









xx

xVPVT x

.Vậy phơng trình có nghiệm duy nhất là x 1.Nhiều HS khi giải không tránh khỏi sai lầm khi áp dụng BĐT Cauchy ngaycho vế phải và cũng dẫn tới đáp số đúng, sai lầm này thuộc kiểu sai lầm khôngnắm rõ nội dung định lí với các điều kiện của nó

Cũng cần nói thêm rằng nhiều bài toán thuộc kiểu không mẫu mực trên, màyếu tố mấu chốt lại nằm ở chỗ hạn chế đợc miền chứa nghiệm của bài toán, rồigiải bài toán trên miền chứa nghiệm của nó thì dờng nh đơn giản hơn Nh ví dụtrên khi x0 thì phơng trình vô nghiệm, nên nếu phơng trình có nghiệm thìnghiệm phải thuộc khoảng0;, do đó dẫn tới cách giải trên

Bài toán vừa xét chỉ có thể dạy cho HS ở lớp 12 trong chơng trình phân banmới, khi mà họ đã học xong khái niệm lũy thừa của một số thực, phơng trình mũ.Nhng không có nghĩa là đến bây giờ mới có những bài toán mà HS giải theo cách

này, mà ngay từ các lớp THCS các em cũng đã làm quen với kiểu bài nh trên,

chẳng hạn: giải hệ phơng trình:







22

22

23

23

xyy

yxx

;Không chỉ THCS, bài toán trên thực sự là một thách thức lớn đối với nhiềuHS THPT nếu nh ngay từ đầu không hạn chế đợc miền chứa nghiệm của bài toánlà cả x và y đều thuộc 0; và giải hệ trên miền chứa nghiệm đó

Các tác giả Koliagin, Oganhexian, cho rằng: phát triển t duy lôgíc của HSlà một trong những nhiệm vụ quan trọng bậc nhất của GV dạy Toán, của nhữngngời biên soạn chơng trình SGK và cả những ngời nghiên cứu về giáo dục toánhọc Theo các tác giả, đối với mọi cấp học, cần phải thờng xuyên quan tâm tớiviệc phát triển t duy lôgíc của HS, và cần chú ý ngay từ lớp nhỏ (dẫn theo [80])

c) T duy sáng tạo

Theo Từ điển tiếng Việt, “sáng tạo” là tìm ra cái mới, cách giải quyết vấnđề mới không bị gò bó và phụ thuộc vào cái đã có Nội dung của sáng tạo gồm haiý chính có tính mới (khác cái cũ, cái đã biết) và có lợi ích (giá trị hơn cái cũ) Nhvậy sự sáng tạo cần thiết cho bất kì hoạt động nào của xã hội loài ngời Sáng tạothờng đợc nghiên cứu trên nhiều phơng diện nh là một quá trình phát sinh cái mớitrên nền tảng cái cũ, nh một kiểu t duy, nh là một năng lực của con ngời

Các nhà nghiên cứu đa ra nhiều quan điểm khác nhau về t duy sáng tạo.Theo Nguyễn Bá Kim: "Tính linh hoạt, tính độc lập và tính phê phán là nhữngđiều kiện cần thiết của t duy sáng tạo, là những đặc điểm về những mặt khác nhaucủa t duy sáng tạo Tính sáng tạo của t duy thể hiện rõ nét ở khả năng tạo ra cáimới, phát hiện vấn đề mới, tìm ra hớng đi mới, tạo ra kết quả mới Nhấn mạnh cáimới không có nghĩa là coi nhẹ cái cũ" [37]

Theo Tôn Thân: "T duy sáng tạo là một dạng t duy độc lập tạo ra ý tởngmới, độc đáo, và có hiệu quả giải quyết vấn đề cao" Và theo tác giả "T duy sángtạo là t duy độc lập và nó không bị gò bó phụ thuộc vào cái đã có Tính độc lậpcủa nó bộc lộ vừa trong việc đặt mục đích vừa trong việc tìm giải pháp Mỗi sảnphẩm của t duy sáng tạo đều mang rất đậm dấu ấn của mỗi cá nhân đã tạo ra nó”[79]

Trong cuốn: "Sáng tạo Toán học", G Polya cho rằng: "Một t duy gọi là cóhiệu quả nếu t duy đó dẫn đến lời giải một bài toán cụ thể nào đó Có thể coi làsáng tạo nếu t duy đó tạo ra những t liệu, phơng tiện giải các bài toán sau này Cácbài toán vận dụng những t liệu phơng tiện này có số lợng càng lớn, có dạng muônmàu muôn vẻ, thì mức độ sáng tạo của t duy càng cao, thí dụ: lúc những cố gắng

của ngời giải vạch ra đợc các phơng thức giải áp dụng cho những bài toán khác.Việc làm của ngời giải có thể là sáng tạo một cách gián tiếp, chẳng hạn lúc ta đểlại một bài toán tuy không giải đợc nhng tốt vì đã gợi ra cho ngời khác những suynghĩ có hiệu quả".

Chẳng hạn “con gà đẻ trứng vàng” của Fermat: “Phơng trình xn + yn = zn

không có nghiệm nguyên dơng với số tự nhiên n >2” ở lề của cuốn sách

“Arithmetica” của Diophantus, Pierre de Fermat viết: “Khi n = 4 biểu thức trên có

nghĩa, và với số n đồng dạng cũng vậy Tôi có một phơng pháp rất hay để chứngminh cho định lí này nhng không thể viết ra đây vì lề cuốn sách quá hẹp”” [87, tr.

35] Tuy không đa ra đợc lời giải cho bài toán nhng các kết quả toán học có đợckhi đi tìm lời giải bài toán của các nhà toán học nhiều thế hệ, đã cho những líthuyết toán học mới với những ý nghĩa to lớn, (cũng nói thêm rằng, việc chứngminh định lí đó cũng chỉ mới đợc Andrew Wiles công bố vào 1994 với độ dày 200trang, và lí thuyết chứng minh hết sức phức tạp vợt qua kiến thức mà nhân loại cóđợc thời Fermat sống, có dựa vào một phần của “Giả thuyết Taniyama - Shimura”(dẫn theo [87, tr 36])

Tác giả Trần Thúc Trình đã cụ thể hóa sự sáng tạo với ngời học Toán: "Đối vớingời học Toán, có thể quan niệm sự sáng tạo đối với họ, nếu họ đơng đầu với nhữngvấn đề đó, để tự mình thu nhận đợc cái mới mà họ cha từng biết Nh vậy, một bài tậpcũng đợc xem nh là mang yếu tố sáng tạo nếu các thao tác giải nó không bị nhữngmệnh lệnh nào đó chi phối (từng phần hay hoàn toàn), tức là nếu ngời giải cha biết trớcthuật toán để giải và phải tiến hành tìm hiểu những bớc đi cha biết trớc Nhà trờng phổthông có thể chuẩn bị cho học sinh sẵn sàng hoạt động sáng tạo theo nội dung vừatrình bày

Theo định nghĩa thông thờng và phổ biến nhất của t duy sáng tạo thì đó làt duy để tạo ra cái mới Lene trong [44], đã chỉ ra các thuộc tính của t duy sángtạo là:

- Có sự tự lực chuyển các tri thức và kĩ năng sang một tình huống sáng tạo;- Nhìn thấy những vấn đề mới trong điều kiện quen biết "đúng qui cách";- Nhìn thấy chức năng mới của đối tợng quen biết;

- Nhìn thấy cấu tạo của đối tợng đang nghiên cứu;- Kĩ năng nhìn thấy nhiều lời giải, nhiều cách nhìn đối với việc tìm hiểu lờigiải (khả năng xem xét đối tợng ở những phơng thức đã biết thành một phơng thứcmới);

- Kĩ năng sáng tạo một phơng pháp giải độc đáo tuy đã biết nhng phơngthức khác

T duy sáng tạo là t duy tích cực và t duy độc lập nhng không phải trong tduy tích cực đều là t duy độc lập và không phải trong t duy độc lập đều là t duysáng tạo và có thể biểu hiện mối quan hệ giữa các khái niệm dới dạng vòng trongđồng tâm.

T duy tích cực T duy độc lập

T duy sáng tạo

Hình 1.2

Có thể nói đến t duy sáng tạo khi học sinh tự khám phá, tự tìm cách chứng minhmà học sinh đó cha biết đến Bắt đầu từ tình huống gợi vấn đề, t duy sáng tạo giảiquyết mâu thuẫn tồn tại trong tình huống đó với hiệu quả cao, thể hiện ở tính hợp lý,tiết kiệm, tính khả thi và cả ở vẻ đẹp của giải pháp

Nói chung t duy sáng tạo là một dạng t duy độc lập, tạo ra ý tởng mới độcđáo và có hiệu quả giải quyết vấn đề cao

Ví dụ 1.3: Xét ví dụ mà qua đó thể hiện những cách nhìn khác nhau trong

việc chứng minh một định lí toán học của những HS có NL toán học nhất định, vàở góc độ nào đó cũng có thể coi là sáng tạo trong giải

“Chứng minh rằng trong mọi tam giác ABC ta luôn có:

23coscos

,2cos2coscosxyxyxy   ; (1) dấu “=” xảy ra khi x = y

Họ dễ suy ra kết quả tơng tự:

3cos3coscos

cosx y z xyz , 

2;2,

x ; (2) dấu bằng xảy ra khi x = y = z

Sự di chuyển nhanh của t duy khi áp dụng vào tam giác ABC, ta đợc:

233

cos3coscos

CB

các góc A, B, C tuy không thỏa mãn điều kiện (2.1) nhng do bị hạn chế bởi góctrong tam giác giác nên vẫn có kết quả tơng tự)

Cách 2: Hớng suy nghĩ xuất trong đầu những HS có kiến thức khá phong

phú, khi thấy đợc sự xuất hiện các giá trị cosin của góc trong tam giác, gợi ý đếndùng tích vô hớng của các vectơ đợc xây dựng trên cơ sở các cạnh của tam giác có

giá là các đờng chứa cạnh (theo chúng tôi cách giải này có những nét độc đáonhất định khi nghĩ đợc nh vậy) Dẫn tới cách giải sau:

Chọn ba vectơ ijksao cho: i  j k 1(đvđd) nh Hình 1.3.

Khi đó ta có: ijk2 0 i2 j2k22( j jkki)0

1112(ij cosB jk cosCkicosA)0 (4)

23coscos

((4) dễ có, chẳng hạn: j ijcos(i, j)cos( B)cosB).Dấu “=” xảy ra khi:

i jk 0 tam giác ABC đều (xem Hình 1.4).

Cách 3: HS vận dụng linh hoạt bất đẳng thức quen thuộc (bất đẳng thức

Cauchy) khi đoán đợc dấu “=”, theo chúng tôi cách giải này có nhiều nét độc đáo.Ta có:

cosAcosBcosCcosAcosBcosAcosBsinAsinB

232

sincos

2sincos

21

cos2

sinsin

2

)cos1(cos

cossin

sin)cos1(cos

22

22

22

22

















BB

AA

BB

AB

A

BB

AB

A

Dấu “=” xảy ra khi tam giác ABC đều.

Cách giải trên, mấu chốt là dự đoán đợc dấu “=” và trên cơ sở đó mà nhóm thích hợp, và vận dụng linh hoạt bất đẳng thức đã học

Ngoài ra đối với những HS ở mức độ vừa phải hơn, việc giải đợc nh cách 4, cách 5 cũng có thể coi là mới mẻ trong giải bài toán

Cách 4: Với lối suy nghĩ mộc mạc, khi biến đổi để đa về tổng của những

biểu thức không âm (khi muốn đánh giá biểu thức không âm) hay đa về tổng của những biểu thức không dơng (khi muốn đánh giá không dơng)

Ta có:

23coscos

cosA B C

232sin212cos2cos

212sin2cos22sin

2sin412

cos212

2







(I) đợc chứng minh; dấu “=” xảy ra khi tam giác ABC đều.

Cách 5: HS biết huy động kết quả của định lí về dấu của tam thức bậc hai,

vận dụng vào giải bài toán, thực hiện biến đổi để xem là biểu thức đa ra đợc nh làtam thức bậc hai của một biến nào đó mà việc xét dấu có thể thực hiện đợc thôngqua biệt số đenta

Sử dụng biến đổi tơng đơng kết hợp với kết quả của định lí về dấu của tamthức bậc hai Ta có:

 

 32

1212sin2cos22sin2

232sin212cos2cos2

23coscoscos

2

2













CBAC

CB

ABA

IC

BA

Để (I) đúng thì điều kiện cần và đủ là (3) đúng.Để chứng minh (3) đúng, thấy dáng dấp của tam thức bậc hai ẩn “

2sinC ”,nghĩ tới việc đi xét biệt số đenta, khi đó:

BAB

AB

A

,,02sin1

2





> 0, suy ra (3) đúng, suy ra (I) đúng, dấu “=” xảy ra khi tam giác ABC đều.

Cũng cần hiểu rằng t duy sáng tạo cũng có nhiều cấp độ khác nhau, đối vớiHS khi cha có PP để giải bài toán nào đó, mà HS đó có thể mò mẫm, dự đoán, rồiđi đến cách giải (chẳng hạn, HS cấp THCS khi cha có cách giải phơng trình bậchai dạng chuẩn, thì việc biến đổi để đa về dạng bình phơng đúng dạng X2 = k) thìcũng có thể coi đó là một nỗ lực đáng ghi nhận, có thể coi là sự sáng tạo trong nỗlực GQVĐ

Khi HS có những cách giải mà thể hiện suy nghĩ, cách giải không giống nhcách thờng giải (bởi trong trờng hợp này có ý nghĩa của những con số mà nếu thayđổi đi một chút thì không thể giải đợc theo cách đó); tuy có thể không đầy đủ, cha

chặt chẽ nhng ngời giáo viên cần có những động viên, khuyến khích kịp thời, cổvũ cho họ và hãy lấy đó là những tín hiệu tốt bởi ít ra việc dạy học của mình đã cónhững hiệu quả đáng ghi nhận.

1.2.2 Năng lực giải quyết vấn đề trong Toán học1.2.2.1 Vai trò của hoạt động giải quyết vấn đề trong học Toán

Mỗi nội dung kiến thức trong Toán học dạy cho học sinh đều liên hệ mậtthiết với những hoạt động nhất định Đó là những hoạt động đợc tiến hành trongquá trình hình thành và vận dụng kiến thức đó Theo Nguyễn Bá Kim [38, tr 13],việc phát hiện đợc những hoạt hoạt động tiềm tàng trong một nội dung đã vạch đ-ợc một con đờng để ngời học chiếm lĩnh nội dung đó, đồng thời giúp họ cụ thểhoá đợc mục đích DH có đạt đợc hay không và đạt đến mức độ nào

Đối với HS, trong hoạt động Toán học, mỗi vấn đề đợc biểu thị thành cáccâu hỏi, yêu cầu bài toán cha có sẵn lời giải hoặc cách thực hiện [18, tr 116] ĐểGQ đợc nhiêm vụ học toán, HS cần phải tiến hành những hoạt động phát hiện(PH) và giải quyết (GQ) những tình huống liên quan đến môn Toán: Chẳng hạn,xây dựng khái niệm (KN), hình thành qui tắc, công thức, chứng minh định lí (ĐL)và giải bài tập toán Mỗi nhiệm vụ nhận thức trong tình huống đó (dù ở cấp độnào) cũng có cấu trúc nh một bài toán - do đó có thể coi là một bài toán Vì vậy,có thể nói rằng: vấn đề trong học toán là bài toán (theo nghĩa rộng) mà HS chabiết đờng lời giải

Quá trình nhận thức theo hớng QGVĐ (cũng giống nh quá trình GQ bàitoán, nhiệm vụ) có thể chia thành các bớc: Tìm hiểu vấn đề (dự đoán vấn đề liênquan, làm rõ và giới hạn vấn đề); thực hiện việc GQVĐ; tự kiểm tra các kết quả vàquá trình Trong đó, ở bớc đầu và cuối, hoạt động nhận thức của HS diễn ra thờngđợc bắt đầu bởi t duy trực giác, trong tình hình đòi hỏi cách t duy phê phán, cáchtiếp cận sáng tạo để đạt kết quả tìm tòi, xác minh VĐ, mặt khác ở bớc GQVĐ thìhoạt động nhận thức lại diễn ra trong tình hình mà ở đó VĐ đòi hỏi cách t duylôgic, chặt chẽ Nh vậy, hoạt động GQVĐ vừa cần t duy lôgic lại vừa cần t duysáng tạo và càng không thể thiếu t duy trực giác

1.2.2.2 Nội dung của hoạt động GQVĐ trong dạy học Toán

Giải quyết các vấn đề đợc nhận định theo nghĩa thông thờng là thiết lậpnhững phơng pháp thích ứng để giải quyết các khó khăn, trở ngại Với những vấnđề có độ khó cao hơn, các phơng pháp giải quyết cần phải tiến bộ hơn khi giảipháp thông thờng không thể đáp ứng với hoàn cảnh khỏ khăn này Một số nhà tâm

lí học nhận định rằng hầu hết các kiến thức học hỏi liên quan đến việc giải quyếtcác vấn đề nói chung và vấn đề khó khăn nói riêng.

Bransford trong nghiên cứu “the IDEAL problem Solver – Con ngời lí ởng giải quyết các vấn đề khó khăn” xuất bản 1984 đã đề nghị năm thành phầntrong việc GQVĐ là:

t-1) Nhận diện vấn đề;2) Tìm hiểu cặn kẽ vấn đề khó khăn;3) Đa ra một giải pháp;

4) Thực hiện giải pháp;5) Đánh giá hiệu quả việc thực hiện.

Từ cách hiểu vấn đề và GQVĐ ở trên, trong học toán, chúng tôi quan niệmhoạt động GQVĐ liên quan đến: các hoạt động của HS nhằm nhận ra trong tìnhhuống - bài toán những yếu tố toán học cùng các mối quan hệ giữa chúng; tìmthấy hớng giải quyết bài toán - vấn đề là kiến thức và kĩ năng đã có để tiến hànhthực hiện các hoạt động toán học (tính toán, biến đổi, suy luận, …) để đi đến lờigiải bài toán, thực hiện đợc yêu cầu của VĐ Nh vậy, hoạt động giải quyết vấn đềtrong dạy học toán bao gồm:

+) Phát hiện, huy động kiến thức và phơng pháp đã biết liên quan tới nộidung những vấn đề cụ thể trong học toán;

+) Phát hiện hớng giải quyết và tiến hành GQ những VĐ toán học một cáchcó kết quả;

+) Vận dụng trong những tình huống học toán tơng tự, đặc biệt và kháiquát

Dới góc nhìn để thấy rõ hơn trong thành phần hoạt động học toán thì có thểxem hoạt động GQVĐ trong toán học gồm hai hoạt động chính:

*) Phát hiện vấn đề trong toán học;+) Phát hiện các vấn đề trong tình huống học toán (xây dựng KN, quy tắc,công thức, xác định tính chất; chứng minh định lí; giải bài toán);

+) Phát hiện cấu trúc của bài toán, vấn đề: điều gì đã có, đợc sử dụng; điềugì càn phải tìm, phải xác định;

+) Phát hiện đờng lối của bài toán, vấn đề;+) Phát hiện sai lầm nhợc điểm trong lời giải;*) Giải quyết vấn đề trong học toán;

+) Định nghĩa khái niệm; phát biểu định lí;+) Tiến hành các phép tính toán, suy luận chứng minh;+) Trình bày lời giải bài toán;

+) Sửa chữa sai lầm, chính xác hoá cách giải quyết Đồng thời, có thể thấy rằng, ranh giới giữa hoạt động phát hiện và giảiquyết vấn đề trong hoạt động nhận thức chỉ là tơng đối: trong phát hiện lại cóGQVĐ, để giải quyết vấn đề lại cần phát hiện, cứ tiếp tục phát triển nh vậy vànâng cao hơn nữa hoạt động nhận thức Song ở mỗi bớc thì bao giờ cũng phát hiệntrớc rồi mới giải quyết sau và hoạt động toán học của HS là sự tổng hoà giữa hoạtđộng phát hiện và hoạt động giải quyết, chúng luôn đan xen và tác động tơng hỗlẫn nhau trong quá trình tìm tòi và xác minh kiến thức, hình thành kĩ năng và ph -ơng pháp toán học.

1.2.2.3 Năng lực giải quyết vấn đề trong học Toán và mối quan hệ vớicác năng lực khác

ở góc độ coi GQVĐ nh một phơng thức DH, đã có nhiều công trình nghiêncứu ở Việt Nam (Nguyễn Bá Kim - Vũ Dơng Thuỵ [35], Nguyễn Hữu Châu [5],… và trên thế giới (V Ôkôn [53], I Ia Lecne [44], …)

Tuy nhiên, GQVĐ không chỉ đợc xem nh một cách tiếp cận DH mà còn ợc coi nh một mục tiêu, một NL cần đạt đến trong DH: Trần Kiều [33, tr 20], VũVăn Tảo và Trần Văn Hà [77], [78], …

đ-ở bình diện vận dụng cụ thể trong DH toán, đã có một số tác giả xem xétPH và GQVĐ từ các khía cạnh khác nhau: Nguyễn Lan Phơng nghiên cứu về kĩthuật thực hiện PH và GQVĐ trong DH toán (thể hiện qua DH quan hệ vuông góctrong không gian ở hình học lớp 11) [55], Nguyễn Thị Hơng Trang tiếp cận PH vàGQVĐ theo góc độ một xu hớng sáng tạo khi rèn luyện NL giảo toán cho họcsinh (thể hiện qua DH giải phơng trình, bất phơng trình ở THPT) [82], …

Tập trung xem xét GQVĐ dới góc độ một NL cần phát triển cho HS để làmcăn cứ cho việc nghiên cứu bản chất và thành phần của NLGQVĐ của HS trongquá trình dạy học toán THPT đợc chúng tôi trình bày ở phần sau của luận văn

Từ những nghiên cứu về NL và hoạt động GQVĐ, vận dụng vào thực tiễnDH toán ở trờng THPT, chúng tôi quan niệm: NLGQVĐ của HS trong học toán làmột tổ hợp các NL thể hiện ở các kĩ năng (thao tác t duy và hành động) trong hoạtđộng HT nhằm giải quyết những nhiệm vụ của môn toán

a) Năng lực giải quyết vấn đề trong học Toán

Từ quan điểm về NLGQVĐ có hai hoạt động thành phần là hoạt động PHvà GQ trong học toán, có thể xem NLGQVĐ theo hai nhóm năng lực phát hiệnvấn đề (NLPHVĐ) và năng lực giải quyết vấn đề (NLGQVĐ) trong học toán nhsau:

a) Nhóm năng lực phát hiện vấn đề trong học toán

+) NL phát hiện mâu thuẫn, có vấn đề trong tình huống: nhận ra biểu tợng,dấu hiệu bản chất, tính chất chung, mối quan hệ về mặt toán học của một loạt sựvật hiện tợng;

+) NL giới hạn vấn đề;+) NL toán học hoá tình huống bằng ngôn ngữ kí hiệu toán học, xác địnhgiải thiết, kết luận của định lí, bài toán

+) NL phát hiện định hớng GQVĐ dới dạng cấu trúc giả thiết và kết luậncủa bài toán;

+) NL phát hiện những mối liên hệ giữa các yếu tố của giả thiết và kết luận,các liên tởng với các VĐ đã biết để tìm ra đờng lối GQ: phát hiện đợc quan hệbằng nhau, lớn hơn, nhỏ hơn, song song, vuông góc, giữa các đối tợng toán học;

+) NL phát hiện sai lầm, nhợc điểm trong cách giải bài toán, trong quá trìnhtìm hiểu giới hạn cách GQVĐ;

+) NL PH đợc những ứng dụng trong thực tiễn của kiến thức toán học

b) Nhóm năng lực GQVĐ trong học toán

+) NL sử dụng ngôn ngữ, kí hiệu, vẽ hình, “đọc” hình vẽ;+) NL tính toán, NL suy luận và chứng minh;

+) NL hệ thống hoá vấn đề;+) NL qui kết quả giải quyết vấn đề về đúng tình huống, đúng giới hạn VĐ;+) NL sửa chữa sai lầm

b) Mối quan hệ giữa năng lực GQVĐ với một số năng lực khác

Từ những công trình nghiên cứu có liên qua tới vấn đề NL trong học Toánmà chúng tôi đợc tiếp cận, đối chiếu với quan niệm về NLGQVĐ, có thể thấyrằng: trong thực tiễn, tuỳ theo quan niệm về “vấn đề” ở trong phạm vi mà ta cónhững mối quan hệ khác nhau giữa NLGQVĐ với NL học toán, NL giải toán, …,chúng đan xen, tơng hỗ, gắn bó với nhau trong quá trình nhận thức nhiều mặt củaHS:

+) Nếu hiểu mỗi VĐ trong học toán của HS theo nghĩa hẹp (là khái niệm,định lí, bài toán, …, thì NLGQVĐ là một trong những thành phần quan trọng hìnhthành nên NL học toán Trong học toán, NLGQVĐ có thể xem xét, nghiên cứutheo đặc thù từng phân môn: Đại số, Hình học, … Chúng có những biểu hiệnriêng gắn với tính chất các hoạt động tơng ứng ở mỗi phân môn, đồng thời có mốiliên hệ chặt chẽ tơng hỗ lẫn nhau, tạo nên NLGQVĐ và NL học toán thông quaquá trình DH toán (yếu tố GD) Mặt khác, nếu xét theo các tình huống DH điểnhình của môn Toán thì có thể nói đến NL học khái niệm, NL suy luận chứng minh

định lí, NL giải toán, … trong NL học toán nói chung Trong đó NLGQVĐ đềucó mặt và đóng vai trò quan trọng ở mỗi NL thành phần (nhất là NL giải toán bởitính VĐ trong bài toán và hoạt động giải toán tự nó đã thể hiện rõ đặc thùGQVĐ).

+) Nếu xét ở phạm vi của thực tiễn cuộc sống, mỗi HS luôn phải nhận biếtvà GQ những VĐ xảy ra đối với bản thân (trong đó có những VĐ của việc họctoán) thì NLGQVĐ có cấu trúc phức tạp hơn, bao gồm nhiều thành phần và có vaitrò rộng hơn NL HT (nói riêng là NL học toán) Nhng nếu xét riêng ở phạm vi họctoán, hay hẹp hơn nữa là trong hoạt động giải toán thì mỗi bài toán có thể chứađựng nhiều vấn đề Khi đó, NLGQVĐ lại là một bộ phận trong NL giải toán, NLhọc toán, …

+) NL t duy sáng tạo đòi hỏi sự phát triển của NLGQVĐ ở mức độ cao.+) NL học toán là một thành phần (cùng với năng khiếu bẩm sinh tơng đốicao) để hình thành nên NL toán học

+) ở các nhà toán học nổi tiếng, NL sáng tạo toán học là sự phát triển NLtoán học, NLGQVĐ ở mức độ cao dựa trên cơ sở rất quan trọng là tài năng đặcbiệt (yếu tố bẩm sinh)

1.3 Vấn đề phát triển năng lực cho học sinh trong dạy học Toán

*) Về mặt triết học, từ các qui luật “mâu thuẫn” và “lợng chất”, có thể thấy:mâu thuẫn giữa kiến thức, kĩ năng toán học đã có ở HS với yêu cầu xây dựng vàsử dụng KT mới đã tạo ra nhu cầu, động lực để các em tiến hành hoạt độngGQVĐ trong dạy học toán Do đó, nếu HS thờng xuyên đợc tập luyện hoạt độngGQVĐ (mặt số lợng hoạt động) sẽ tạo ra sự phát triển NLGQVĐ (mặt chất lợnghoạt động)

*) Từ quan điểm trong hoạt động GD, chúng tôi thấy rằng: NL và kĩ năngthờng gắn với một loại hoạt động cụ thể NL chỉ đợc hình thành, phát triển, thểhiện thông qua hoạt động đó Do đó, chỉ có thể đo đợc sự phát triển NL thông quaxác định mức độ thành thạo của các thao tác, kĩ năng tiến hành những hoạt độngthành phần

Tuy nhiên điều cốt yếu và cũng không dễ dàng là tìm ra những thao thác ơng ứng để thông qua đó đánh giá đợc mức độ phát triển của NL A V Pêtrôpxkiđã chỉ rõ: “Trong quá trình t duy giải quyết các VĐ, tính chất của các thao táchoạt động phụ thuộc và mục đích mà các thao tác nói trên hớng tới và vào nộidung của vấn đề cần giải quyết” [54, tr 153] Để thuận lợi cho việc “thao tác hoá”NL trong hoạt động học tập, chúng ta có thể tham khảo cách tiếp cận của X.Roegiers: NL học tập đợc cụ thể hoá thành những “hoạt động của học sinh trên

t-nời dung tri thực trong mờt loỈt tỨnh huộng s phỈm cọ ý nghịa vợi cÌc em” [74, tr.90].

Do Ẽọ, Ẽể kiểm tra ẼÌnh giÌ NL cũa HS trong HT toÌn, chụng ta cọ thể (vẾcần phải) tỈo ra cho HS mờt tỨnh huộng toÌn hồc củng loỈi (khẬng giộng y nh tỨnhhuộng Ẽ· hồc mẾ chì tÈng tỳ về bản chất, còn khÌc nhau về hỨnh thực)

*) Tử gọc Ẽờ tẪm lÝ hồc, Ẽể NL GQVư Ẽùc phÌt triển thuận lùi (dợi tÌcẼờng cũa giÌo dừc chự khẬng phải tỳ phÌt), cần chụ ý Ẽảm bảo nhứng Ẽiều kiệnsau trong dỈy hồc toÌn:

+) HS cọ Ẽờng cÈ, thÌi Ẽờ hồc tập tột: GV gẪy hựng thụ vẾ kÝch thÝch HStÝch cỳc tham gia hoỈt Ẽờng tỨm tòi sÌng tỈo trong hồc toÌn

+) HS Ẽùc chuẩn bÞ tột về kiến thực, kị nẨng:ưặc biệt lẾ cần cho HS n¾m nhứng phÈng thực cÈ bản Ẽể phÌt hiện vẾ giảiquyết nhứng vấn Ẽề trong hồc toÌn mờt cÌch sÌng tỈo X L Rubinstein cho rÍng:

NL cọ quan hệ qua lỈi vợi kiàn thực, kị nẨng vẾ kị xảo NL lẾ Ẽiều kiện Ẽể n¾mch¾c cÌc kiến thực, kị nẨng vẾ kị xảo; mặt khÌc chÝnh trong quÌ trỨnh n¾m vứngchụng thỨ nẨng lỳc cúng Ẽùc hỨnh thẾnh Con ngởi muộn hỨnh thẾnh nẨng lỳc phảidỳa tràn mờt hệ thộng kiến thực nhất ẼÞnh lẾm cÈ sỡ cho khÌi quÌt, lịnh hời vẾhỨnh thẾnh cÌc kị nẨng (Ẽổng thởi cúng hỨnh thẾnh nhứng NL nhất ẼÞnh) [84].

+) GV tỗ chực cho HS Ẽùc tham gia nhiều vẾo hoỈt Ẽờng phÌt hiện tỨnhhuộng vẾ xẪy dỳng cÌc nời dung hồc tập, giải quyết cÌc vấn Ẽề thỳc tiễn TỈo Ẽiềukiện cho HS thể hiện khả nẨng hoỈt Ẽờng tÝch cỳc vẾ Ẽờc lập trong việc phÌt hiệnvẾ giải quyết cÌc niệm vừ trong quÌ trỨnh hồc toÌn

*)Tử Ẽặc Ẽiểm về tẪm lÝ lựa tuỗi, NL t duy vẾ nhận thực cũa HS THPTHS THPT ỡ lựa tuỗi 16 - 18 Ẽang ỡ giai ẼoỈn phÌt triển cả về thể chất vẾtẪm hổn cọ khả nẨng tỳ Ẽiều chình trong hoỈt Ẽờng HT; tri giÌc cọ chũ ẼÞnh chiếma thế, NL ghi nhợ tẨng làn ró rệt, sỳ tập trung chụ ý cao hÈn vẾ cọ khả nẨng dichuyển: hoỈt Ẽờng HT dần dần hợng vẾo thõa m·n nhu cầu nhận thực, … MặtkhÌc, do tiếp xục vợi nhiều mẬn hồc, nhiều thầy, cẬ giÌo, nhiều PPDH, … nàn Ẽòihõi cÌc em phải cọ nhứng biến chuyển lợn về NL quan sÌt, ghi nhợ, t duy lẬgic,tÝnh Ẽờc lập, kiàn trỨ, … (J Piaget [56, tr 232-243], Trần Trồng Thuỹ, …) NhứngẼặc Ẽiểm nẾy tỈo Ẽiều kiện thuận lùi cho việc hỨnh thẾnh vẾ phÌt triển NLGQVưỡ HS

*) Tử cÈ sỡ khoa hồc cũa lÝ thuyết tỨnh huộng ([2]), cũa DH GQVư (14, tr.127], [44], [53], …), cọ thể thấy việc Ẽa HS vẾo tỨnh huộng gùi vấn Ẽề trong hồc

tập toán làm cho các em thấy cần thiết và có khả năng, từ đó chủ động, tích cựctiến hành hoạt động GQVĐ có kết quả, thông qua đó mà nâng cao NLGQVĐ.

*) Từ quan điểm đổi mới mục tiêu, nội dung và PPDH theo hớng chú trọngphát huy tính tích cực HT và phát triển NL tự học cho HS, nên quan tâm hìnhthành và phát triển NLGQVĐ chính là một hớng thiết thực phục vụ cho những yêucầu trên

*) Từ thực tiễn trong dạy học Toán ở THPT, việc chú ý đến NLGQVĐ củaHS không đợc quan tâm một cách đầy đủ, nhất là việc vận dụng toán học vào thựctiễn Điều này cũng có một lí do là những bài toán có nội dung thực tiễn trongSGK cải cách năm 2000 không nhiều, vấn đề này tác giả Trần Thúc Trình (1998)có ý kiến cho rằng: "Đáng tiếc là hiện nay trong các sách giáo khoa và bài tậpcòn quá ít các bài toán thực tế Điều này cần đợc nhanh chóng khắc phục" [83,tr 37] Trong các sách giáo khoa môn Toán và các tài liệu tham khảo về Toán th -ờng chỉ chú ý tập trung làm rõ những vấn đề, những bài toán trong nội bộ Toánhọc nhng cũng cha đáp ứng đợc so với yêu cầu; số lợng các vấn đề lí thuyết, các vídụ, bài tập Toán có nội dung liên môn và thực tế trong các sách giáo khoa Hìnhhọc, Đại số và Giải tích ở bậc THPT để học sinh học và rèn luyện còn rất ít Nhậnra đợc hạn chế trên, SGK phân ban hiện hành đã có hàm lợng những bài toán thựctế nhiều hơn, phong phú hơn và thực tiễn hơn Trở lại nhận xét trên, nhiều giáoviên toán thờng không quan tâm đến những bài toán có nội dung thực tiễn, cácthầy cô luyện cho HS nhiều dạng toán, nhng chỉ là những dạng mang màu sắctoán học một cách thuần túy

Nhiều công trình nghiên cứu đã chỉ ra rằng: Giảng dạy Toán học ở PTkhông nên xa rời với thực tiễn “Loại bỏ ứng dụng ra khỏi toán học cũng có nghĩalà đi tìm một thực thể sống chỉ còn bộ xơng, không có tí thịt, dây thần kinh hoặcmạch máu nào” [80]

Tăng cờng và làm rõ mạch toán ứng dụng Toán học là góp phần thực hiện líluận liên hệ thực tiễn, học đi đôi với hành, nhà trờng gắn liền với đời sống [80]

Tác giả Ngô Hữu Dũng đã cho rằng: ứng dụng toán học vào thực tế là mộttrong những năng lực toán học cơ bản, cần phải rèn luyện cho HS [18]

Nói về những yêu cầu đối với toán học nhà trờng PT nhằm phát triển vănhóa toán học, tác giả Trần Kiều cho rằng: “Học toán trong nhà trờng phổ thôngkhông phải chỉ tiếp nhận hàng loạt các công thức, định lí, phơng pháp thuần túymang tính lí thuyết …) có vai trò quan trọng trong đời, cái đầu tiên và cái cuối cùng của quá trình học Toán phảiđạt tới là hiểu đợc nguồn gốc thực tiễn của Toán học và nâng cao khả năng ứngdụng, hình thành thói quen vận dụng toán học vào cuộc sống” [35, tr 4]

V V Firsôv khẳng định: “Việc giảng dạy Toán ở trờng PT không thểkhông chú ý đến sự cần thiết phải phản ánh khía cạnh ứng dụng khoa học Toánhọc, điều đó phải thực hiện bằng việc dạy cho HS ứng dụng Toán học để giảiquyết các bài toán có nội dung thực tế” [80].

Việc giải các bài toán có nội dung thực tế thờng đợc tiến hành qua các bớc:

Bớc 1: Chuyển bài toán thực tế về dạng ngôn ngữ thích hợp với lí thuyếttoán học dùng để giải (lập mô hình toán học của bài toán);

Bớc 2: Giải bài toán trong khuôn khổ của lí thuyết toán học;Bớc 3: Chuyển kết quả lời giải toán học về ngôn ngữ của lĩnh vực thực tế

[27, tr 248]

Trong ba bớc trên, bớc 1 thờng là bớc quan trọng nhất Để tiến hành bớc

này, điều quan trọng là tập luyện cho HS biết xác định những đại lợng trong mốiliên quan về đại lợng với nhau, phát hiện ra những mối liên quan về lợng củachúng để trên cơ sở đó có thể biểu thị đợc đại lợng này thông qua đại lợng khác vàcũng trên cơ sở đó mà lập phơng trình, hệ phơng trình

Mặt khác, cũng cần tập luyện cho HS biểu thị những tình huống thực tếbằng những biểu thức có chứa những biến đại diện cho những đại lợng cha biết

ở bậc THCS học sinh đã quen với giải bài toán bằng cách lập phơng trìnhhoặc hệ phơng trình Trong Đại số 10, HS đợc trang bị một cách khá đầy đủ vềphơng trình và hệ phơng trình Do đó, Đại số 10 có nhiều tiềm năng để rèn luyệncho HS năng lực toán học hóa tình huống thực tiễn, đặc biệt nên quan tâm đến cácbài toán Qui hoạch tuyến tính và các bài toán tìm phơng án tối u

Xét ví dụ sau, mà lí thuyết và cách giải của bài tơng tự đã đợc viết khá cơbản ở bài đọc thêm ở sách Đại số 10:

Ví dụ 1.4: Ngời ta dự định dùng hai loại nguyên liệu để chiết xuất ít nhất

140 kg chất A và 9 kg chất B Từ mỗi tấn nguyên liệu loại I giá 4 triệu đồng, cóthể chiết xuất đợc 20 kg chất A và 0,6 kg chất B Từ mỗi tấn nguyên liệu loại IIgiá 3 triệu, có thể chiết xuất đợc 10 kg chất A và 1,5 kg chất B Hỏi phải dùng baonhiêu tấn nguyên liệu mỗi loại để chi phí mua nguyên liệu là thấp nhất, biết rằngcơ sở cung cấp nguyên liệu chỉ có thể cung cấp không quá 10 tấn nguyên liệu loạiI và không quá 9 tấn nguyên liệu loại 2

Phân tích bài toán trên, nếu sử dụng x tấn nguyên liệu loại I và y tấnnguyên liệu loại II thì theo giả thiết, có thể chiết xuất đợc (20x + 10y) kg chất Avà ((0,6x + 1,5y) kg chất B Theo giả thiết x và y phải thỏa mãn các điều kiện sau

100x và 0y9;

14010

20x y  , hay 2xy14;

95,16,0 x y , hay 2x5y9.Tổng số tiền mua nhiên liệu là Tx;y 4x3y.Bài toán đã cho trở thành: Tìm có số x và y thỏa mãn hệ điều kiện











,3 05

2

1 42

90

100

yx

yx

yII

sao cho T Tx;y4x3y có giá trị nhỏ nhất.Bài toán này dẫn đến hai bài toán nhỏ sau:

Bài toán 1 Xác định tập hợp (S) các điểm có tọa độ (x; y) thỏa mãn hệ (II).Bài toán 2 Trong tất cả các điểm thuộc (S), tìm điểm (x;y) sao cho T(x;y)

1234567891011121314151

23456789101112131415

xy

ADC

B

y = 92x + y = 14x = 10

O

BC

2x + y = 14

Hình 1.5

EF

xy

9

4

Vậy để chi phí nguyên liệu là ít nhất, cần sử dụng 5 tấn nguyên liệu loại Ivà 4 tấn nguyên liệu loại II (khi đó tổng chi phí là 32 triệu).

Với việc rèn luyện kĩ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn; tác động đếntình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập, góp phần phát triển NLGQVĐ choHS

*) Theo tổng kết của các nhà toán học trên thế giới, việc học tập nhà tr ờngđặc biệt có hiểu quả:

- Nếu ngời học có động cơ;- Nếu những yêu cầu về trí tuệ của giờ học phù hợp với những khả năng thểchất và trí tuệ của ngời học;

- Nếu ngời học có cơ hội, xây dựng những mối quan hệ có ý nghĩa giữa cácthành phần của nhiệm vụ học tập và mục tiêu học tập;

- Nếu ngời học, dựa vào các tiêu chuẩn hay thông tin, phản hồi, có thể xácđịnh đợc ngời học có tiến bộ hay không và có tiến bộ gì;

- Và nếu quá trình học diễn ra dới những điều kiện làm cho ngời học dễdàng thích nghi nói chung với hoàn cảnh.

Thực tiễn dạy học cho thấy, nếu HS nắm đợc phơng pháp, qui tắc thuật giảithì khối lợng VĐ liên quan mà họ GQ đợc tơng đối nhiều Song vấn đề đặt ra là,số lợng, qui tắc thuật giải không nhiều, mà đối với những VĐ có độ phức tạp caohơn thì hầu nh không có Điều này cũng dễ lí giải bởi Toán học là một môn khoahọc nên đòi hỏi độ chính xác và có tính lôgic cao Nhng thiết nghĩ đối với nhữngvấn đề khó, nh: tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức khi cha có công cụ đạohàm, hay các bài toán quĩ tích hình học,…) có vai trò quan trọng trong đời nếu có thể, GV nên đa ra những địnhhớng, vạch ra cho họ một “chiến lợc t duy” thì cũng đã giúp cho việc GQVĐ trởnên đơn giản đi rất nhiều

Trên cơ sở phân tích đặc điểm tâm sinh lí của HS THPT cũng nh SGK, sáchtham khảo, chúng tôi thiết nghĩ, nếu chúng ta dạy cho HS những qui tắc có nhữngđiểm chung với qui tắc thuật giải, chúng tôi gọi đó là các qui tắc “tựa thuật giải”thì NL GQVĐ của HS sẽ đợc nâng lên rõ rệt Phần này chúng tôi sẽ đề cập kĩ hơnở phần sau của luận văn

1.4 Các năng lực thành tố của năng lực giải quyết vấn đề trong họcToán của học sinh THPT

Trên cơ sở phân tích các kết quả của nhà khoa học, chúng tôi thấy rằng,mỗi năng lực đều có cấu riêng gồm nhiều thuộc tính, trong đó các thuộc tínhkhông chỉ tồn tại bên cạnh nhau một cách đơn giản, mà chúng liên hệ với nhaumột cách hữu cơ, chúng tác động lẫn nhau trong một hệ thống nhất định Đặc biệt

điều có ý nghĩa quyết định đối với mỗi NL không phải bản thân từng thuộc tínhriêng lẻ mà sự kết hợp chúng theo một cấu trúc nhất định, và chúng tôi đa ra vàphân tích 7 NL thành tố của NLGQVĐ của HS trong học Toán nh sau:

1.4.1 NLTT 1: Phát hiện mâu thuẫn trong tình huống, thấy đợc nhu cầu

cần giải quyết vấn đề trong tình huống, từ đó huy động, tái hiện những kiến thức,kĩ năng đã học có liên quan để khai thác tình huống, tiếp cận, nhận biết tìnhhuống có vấn đề

Theo Nguyễn Bá Kim [35], Phạm Gia Đức [22, tr 134-135] và HoàngChúng [11] thì hoạt động nhận thức một vấn đề toán học nói chung bao gồm hai

giai đoạn chính: hình thành, xây dựng và củng cố, vận dụng Mặt tâm lí của

NLGQVĐ trong hoạt động này là hứng thú tìm tòi, lòng ham hiểu biết nên nếu sựhứng thú không đợc hình thành thì bản thân sự lĩnh hội kiến thức sẽ diễn ra thấphơn nhiều so với tiềm năng sẵn có của HS

Mâu thuẫn giữa nhiệm vụ nhận thức vấn đề bởi sự phát triển trí tuệ của HSđã là hạt nhân của tình huống có vấn đề và là động lực của hoạt động tìm tòi trongHT (M A Đanilôp 1980)

Động cơ đúng đắn và phù hợp phải gắn liền với nội dung toán học, động cơnày lại đợc cụ thể hoá thành từng nhiệm vụ HT - là từng đơn vị (tế bào) của hoạtđộng GQVĐ Để GQ nhiệm vụ đó, nhất thiết HS phải tiến hành một loạt các hànhđộng nh huy động và tổ chức kiến thức có liên quan đến tình huống chứa VĐ;tách biệt và kết hợp các kiến thức; dự đoán và kiểm tra điều dự đoán;…) có vai trò quan trọng trong đời với cácthao tác tơng ứng nh: nhận biết, nhớ lại ( ở đây đóng vai trò NL huy động, tái hiệnkiến thức), bổ sung, phân nhóm,…) có vai trò quan trọng trong đời

Nh vậy HS cần phải hoà nhập vào tình huống có vấn đề, tức là nhận thấy cósự mâu thuẫn giữa tình huống mới với vốn tri thức kĩ năng của bản thân Từ đónảy sinh nhu cầu tìm hiểu xem có điều gì mới chứa đựng bên trong tình huống.Đồng thời từ việc nắm vững các dữ kiện qui gọn, tránh đuợc tình trạng lan mankhông định hớng

Để hình thành, xây dựng nhu cầu GQVĐ từ tình huống đã có, HS cần huyđộng các kiến thức, kĩ năng có liên quan đến các dữ kiện trong tình huống đó.Trên cơ sở xác định mối liên hệ giữa các kiến thức, kĩ năng đã có với VĐ đangcần giải quyết, từ đó HS sẽ hình thành, xây dựng đợc nhu cầu cầu giải quyết vấnđề trong tình huống nêu ra

Ví dụ 1.5: Khi dạy khái niệm tiếp tuyến của đồ thị hàm số cho HS lớp 11.

Giáo viên cần để HS tham gia vào tình huống có vấn đề để hình thành mộtkhái niệm mới một cách tích cực tránh lối truyền thụ một chiều

GV: “Đã có biết đến khái niệm tiếp tuyến của một đồ thị hàm số, hay củamột hình nào đó trớc cha”

Câu trả lời mong đợi: “Tiếp tuyến của đờng tròn, khi đờng thẳng có mộtđiểm chung với đờng tròn”

GV đa các hình vẽ mà ở đó có đờng thẳng có một điểm chung với đồ thị(hoặc một hình nào đó) và yêu cầu HS: “Trong các hình sau (Hình b và c) trờnghợp nào có thể coi đờng thẳng là tiếp tuyến, trờng hợp nào thì không?”

-9-7-6-4-212468910

-6-4-22468

xy

HS bằng trực quan hình học, phát biểu đợc đờng thẳng a không là tiếp tuyến của (C) và đờng thẳng b “hình nh” là tiếp tuyến của (C)

Nh vậy, nhờ có huy động kiến thức cũ: tiếp tuyến của đờng tròn, đồ thị hàmsố và sự tơng giao của của các đồ thị, HS thấy có “vấn đề”:

- Điều kiện đờng thẳng có một điểm chung với một đờng cong nào đókhông đảm bảo nó là tiếp tuyến của đờng cong đó (nó chỉ là điều kiện cần màkhông đủ)

- Dẫn tới nhu cầu phải chính xác hoá, định nghĩa đầy đủ về tiếp tuyến củamột đờng cong

Từ đó, GV dẫn dắt HS đi đến khái niệm tiếp tuyến của đồ thị hàm số tạimột điểm M0 thuộc đồ thị hàm số thông qua giới hạn của cát tuyến của đồ thị hàmsố.

1.4.2 NLTT 2: Phát hiện, nhận biết biểu tợng trực quan liên quan tới vấn

đề

Lênin đã viết: “Từ trực quan sinh động đến t duy trừu tợng, và từ đó về thựctiễn - đó là con đờng biện chứng của nhận thức hiện thực khách quan” [80], Còn I.Cant thì coi trực giác thần tuý là nguồn gốc của mọi suy luận tổng hợp tiênnghiệm của toán học Con đờng nhận thức nói chung và giải quyết vấn đề nóiriêng nếu đi từ trực giác (bằng quan sát, t duy trên đối tợng cụ thể) đến kết luậnlôgic (bằng suy diễn, t duy trừu tợng) có những phù hợp nhất định đối với đặcđiểm tâm lí, sinh lí và nhận thức ở lứa tuổi HS THPT

Nhà s phạm - tâm lí ngời Mĩ J Bruner đã viết rằng: “Cũng có thể là, ví dụkì lạ nhất về phơng diện này là sự trình bày khởi đầu và hình học Ơclit cho họcsinh cấp 2 dới dạng tiên đề và định lí không dựa vào một thực nghiệm, xem xétmột hình thái hình học đơn giản nào Nếu nh đứa trẻ đã nắm đợc khái niệm và ph-ơng pháp tính toán dễ hiểu dới dạng hình học trực giác thì nó cũng có thể nắm đợcý nghĩa sâu sắc của các định lí và các tiên đề xuất hiện sau này”

Ba cá nhân có lẽ có ảnh hởng lớn nhất đến tới t tởng của thế kỉ XX - AlbertEinstien, Charles Darwin và Sigmund Freud họ đã dùng hình ảnh trực quan nh làmột công cụ để làm ra những công trình lớn trong suốt cả cuộc đời Những ghichép của Darwin phản ánh niềm đam mê không biết mệt mỏi của ông với nhữnghình ảnh cây cối Biểu tởng này có vẻ rất quan trọng trong việc giúp ông hình tợnghóa thuyết tiến hóa, Ông viết: “Sự hiện diện có tổ chức của các sinh vật đợc sắpxếp giống nh một cái cây, chia cành nhánh bất thờng, giống nh cây khô, đâm chồirồi chết đi trong khi chồi non sinh ra” Tơng tự vậy, ở độ tuổi 16, Albert Einstienđã nhận đợc một trong những cảm hứng chủ yếu cho thuyết tơng đối của ông, khiÔng tởng tởng tợng ra một thứ có vẻ nh là đờng đi của những tia sáng CònSigmund Freud đã chứng minh những học thuyết của bản thân ông một phần lànhờ vào hình ảnh của một hòn đảo nhô lên từ mặt biển - nh một phép ẩn dụ củamối quan hệ giữa cái tôi và cái tiềm thức (dẫn theo [87])

Mô tả cho NLTT này trong dạy học Toán, chúng tôi xét ví dụ sau:

Ví dụ 1.6: Xét cách hình thành định lí về dấu của tam thức bậc 2 cho học

sinh lớp 10

Cho tam thức bậc hai:   2  0



xf

- Hãy cho biết dạng của đồ thị hàm số bậc hai   2  0



sẽ tởng tợng ra, khi đó thầy giáo cùng HS để có tổng kết nh Hình 1.7).

- Với mỗi trờng hợp của  có nhận xét gì về quan hệ của hệ số a và giá trịcủa hàm số f(x) ứng với mỗi giá trị x?

HS sẽ dự đoán đúng sự phụ thuộc, mà đó chính là là nội dung của định lí vềdấu mong muốn, thầy giáo sẽ chính xác lại các nhận xét, dự đoán của HS để phátbiểu nội dung định lí

Vì vậy một trong những kĩ năng cần thiết để HS GQVĐ nói chung và trongToán học nói riêng chính là khả năng nhận ra đợc những biểu tợng trực quan củaVĐ

1.4.3 NLTT 3: Phát hiện những thuộc tính chung, bản chất tạo nên nội

hàm của vấn đề thông qua các hoạt động trí tuệ nh so sánh, tơng tự, khái quáthoá đặc biệt hoá, trừu tợng hoá, cụ thể hoá,…

a>0

0

y

yy

yy

x

yx

x

xx

xO

O

Oa>0

Hình 1.7

Để GQVĐ, không chỉ dừng lại ở mức độ nhận biết những thuộc tính bênngoài của nó, bởi nó chỉ là giai đoạn nhận thức cảm tính, cần phải chuyển qua mộtgiai đoạn nhận thức lí tính, tức là cần phải tìm hiểu bản chất của vấn đề.

Từ những ví dụ cụ thể riêng lẻ, giáo viên cần hớng dẫn HS sử dụng các thaotác t duy thông dụng trong toán học để thiết lập và biểu diễn mối liên hệ giữa cáctình huống đã cho và những kết quả mới Từ đó khái quát hoá rút ra những điểmchung, cốt lõi của vấn đề

Đồng thời với việc rút ra những cái chung từ những cái riêng, cần phải choHS thấy, bên cạnh cái chung cho những lớp đối tợng cùng loại, đối với những đốitợng cụ thể, còn có thể có những hớng giải quyết khác biệt nữa, mà nếu thay đổiđi một dữ kiện nào đó thì hớng giải khác biệt đó không thực hiện đợc

Trong quá trình học tập môn Toán ở trờng PT, học sinh có rất nhiều cơ hộiđể thể hiện NL xem xét các sự vật, hiện tợng một cách đầy đủ, trong tất cả cácmặt, các mối quan hệ (bên trong và bên ngoài, trực tiếp và gián tiếp) trong tổngthể những mối quan hệ phong phú, phức tạp và muôn vẻ của nó với các sự vậtkhác, đồng thời cũng tránh đợc những sai lầm của cách xem xét chủ quan, phiếndiện Qua đó thể hiện suy nghĩ một cách sáng tạo trong học Toán, tìm đợc nhiềuhớng hay để giải quyết một vấn đề, tìm đợc cách chứng minh tối u cho một định líhay mệnh đề Toán học, hay phát triển kết quả lên một nấc thang mới, điều mà xãhội luôn mong muốn

Ví dụ 1.7: Xét cho học sinh lớp 10, học phần hình học vectơ lớp 10, họ đã

đợc học bài toán về tính chất của trọng tâm của tam giác ABC, vấn đề ở chỗ nếutừ bài toán này, nếu từ những cái riêng, nếu nhìn theo những góc độ khác nhau sẽdẫn đến các kết quả đẹp khác, mà ở đó tạo điều kiện cho sự phát triển trí tuệ vàNLGQVĐ của HS Đồng thời tạo nên những cộng hởng tích cực cho HS, tạo thóiquen cho họ trong học tập cũng nh trong cuộc sống, không thoả mãn khi nhiệm vụtrớc mắt đợc hoàn thành; mà vẫn thờng trực những câu hỏi để mở rộng vấn đề, bài

toán Định lí về trọng tâm tam giác: ”G là trọng tâm tam giác ABC khi và chỉ khi

0GCGB

Để đa ra định lí về trọng tâm G của tam giác ABC ở trên thì ta có thể đi từcái đã biết bằng cách xem đoạn thẳng là một tam giác đặc biệt có ba đỉnh thẳnghàng chẳng hạn với C là trung điểm của AB khi đó điểm M sẽ là trọng tâm của tamgiác đặc biệt đó Nh vậy khi MAMB0 tức là định lí trên đúng trong trờng hợpđặc biệt này Bây giờ ta chứng minh cho tam giác bất kì.

Điều cần chứng minh: G là trọng tâm tam giác ABC tơng đơng với đẳngthức GAGBGC0

* Nếu xem vectơ 0 dới khía cạnh là tổng của hai véctơ đối nhau ta có hớngchứng minh nh sau:

Ta biến đổi biểu thức GAGBGC thành tổng của hai véctơ đối nhaubằng cách dựa vào tính chất của trọng tâm

Dựng hình bình hành GBDC ta có M làtrung điểm của GD

Và suy ra G là trung điểm của AD và ta có GAGD (1)

Vậy G là trọng tâm tam giác ABC khi và chỉ khi

GDGA (1), mà theo quy tắc hình bình hành ta có: GDGBGC

Nên (1) GAGBGCGAGBGC0.* Nếu ta xem xét vectơ 0 dới khía cạnh là tích vô hớng của vectơ 0 vớimọi vectơ đều bằng 0, thì ta có cách chứng minh nh sau:

+ Để chứng minh GAGBGC0 ta chứng minh rằng tích vô hớng củaGC

GBGA với hai vectơ không cùng phơng là GA;GB đều bằng 0, tức tachứng minh hai đẳng thức sau đây:

(GAGBGC)GA0  2

 30

GB)GCGBGA

+ Hoặc để chứng minh GAGBGC0 ta chứng minh rằng

0)GCGBGA

Nếu đối tợng học sinh là học sinh khá giỏi giáo viên có thể hớng học sinh suynghĩ mở rộng định lí tổng quát hơn, và thông qua đó góp phần tạo niềm hứng thú thíchtìm tòi, khám phá kết quả mới từ những tiền đề có trớc, tạo thói quen không dừng lạikhi giải xong một bài toán - bởi nhiều khi đó mới là bắt đầu cho những kết quả đẹphơn.

Theo t duy biện chứng thì cái chung tồn tại trong cái riêng, thông qua cáiriêng để biểu thị sự tồn tại của mình, nên có thể tìm cái chung trong cái riêng.Vì vậy nếu xem định lí trên chỉ là một trờng hợp riêng của một trờng hợp tổngquát, có thể tìm xem cái chung, tổng quát hơn đợc không? (đây có thể là nhữngbình luận của thầy giáo khi nói với HS, nhng một điều chắc chắn rằng trình độcủa ngời thầy cần phải đạt đợc nh vậy)

Hớng phát triển thứ nhất: Nếu xem trọng tâm G là một điểm đặc biệt nằm

trong tam giác thỏa mãn GBC GAC GAB SABC

31S

31GAS

31

ABCABC



Ta để ý rằng tổng các hệ số của biểu thức vế trái của (4) bằng SABC Từ đó

ta xem xét một kết quả tổng quát hơn nh sau: "O là điểm bất kì nằm trong tam

giác ABC Đặt S 1= SOBC, S2= SOCA, S3= SOAB; Ta có SOASOBSOC0

32

Nếu điểm O nằm ngoài tam giác, chẳng hạn ta xét điểm O nằm trong miềngóc tạo bởi hai tia CA và CB khi đó ta có SOBC+ SOCA- SOAB= SABC

Chúng ta sẽ có tính chất tổng quát nh sau:

"Nếu O là điểm nằm ngoài tam giác và thuộc miền góc tạo bởi hai tia CA vàCB thì đó ta có SOASOBSOC0

32

1 ", với S 1= SOBC, S2= SOCA, S3= SOAB.

Để cũng cố các định lí vừa đợc chứng minh chúng ta cho học sinh thực hiêncác hoạt động nhận dạng và thể hiện định lí bằng cách xem xét các trờng hợpriêng đặc biệt của định lí; chẳng hạn:

Ta sẽ có kết quả nh thế nào nếu ta xem điểm O là trực tâm tam giác? Tâmđờng tròn nội tiếp tam giác? Tâm đờng tròn ngoại tiêp tam giác? Tâm đờng trònbàng tiếp góc C?

Học sinh có thể tự tìm ra kết quả là:+ Nếu O là trực tâm tam giác ABC thì tanAOAtanBOBtanCOC0.+ Nếu O là tâm đờng tròn nội tiếp tam giác ABC thì

0OCcOBbOA

+ Nếu O là tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác thì

0OCsin2C.OB

sin2B.OA

+ Nếu O là tâm đờng tròn bàng tiếp góc C thì aOAbOBcOC0

Hớng suy nghĩ thứ hai là: Nhìn theo phơng diện khác:

G là trọng tâm ABC  GAGBGC

Khi đó tơng tự GCGBGA, GAGCGB

Hay các vectơ GA,GB,GC đôi một khác phơng và tổng hai vectơ bất kỳtrong ba vectơ trên cộng tuyến với vectơ còn lại Khi đó GAGBGC0

Khi đó chúng ta có bài toán tổng quát sau: “cho n vectơ đôi một khác phơng

và tổng của n - 1 vectơ bất kỳ trong n vectơ trên cộng tuyến với vectơ còn lại.Chứng minh: Tổng n vectơ cho ở trên bằng vectơ - không”

1.4.4 NLTT 4: NL hình thành và diễn đạt các các sự kiện, vấn đề toán học

theo các hớng khác nhau, thông qua hoạt động sử dụng ngôn ngữ kí hiệu và cácqui tắc toán học, đặc biệt là biết cách hớng tới cách diễn đạt có lợi cho vấn đềđang cần giải quyết, hoặc cách diễn đạt mà nhờ đó sẽ cho phép nhận thức vấn đềmột cách chính xác hơn, nhằm tránh những sai lầm, thiếu sót trong suy luận vàtính toán

Khả năng sử dụng ngôn ngữ, kí hiệu toán học chính xác đợc Nguyễn VănThuận phát triển thành một NL cần thiết đối với HS trong luận án Tiến sĩ năm2004 Để mô tả về NL này, có thể xem xét ví dụ sau:

Ví dụ 1.8: “Tìm hai số thực a, b sao cho biểu thức

122



xbaxy có giá trị nhỏ nhất là -1 và giá trị lớn nhất là 2

Một phơng pháp rất “mạnh” để giải bài toán này là dùng công cụ đạo hàm.Tuy nhiên, việc áp dụng phơng pháp đó vào bài này không dễ, bởi vì còn phảibiện luận về phơng trình y’ = 0 (đây là phơng trình có hai tham số), hơn nữa cònbị hạn chế là chỉ có HS lớp 12 mới có thể nghĩ tới Nhng nếu biết cách diễn đạt

bài toán đã cho dới dạng











2,

1:

,

2121

21

21

2

xyx

yxx

xbaxy

(1) thì vấn đề sẽ trở nên đơn giản

hơn nhiều, bởi vì lúc này chỉ cần tìm a, b sao cho các biệt số của các tam thức

12

;2





x ; đều bằng 0 (giải ra đáp số: a23,

21

b ).ở ví dụ trên chúng tôi đã dùng các thuật ngữ, kí hiệu của lôgic toán để diễnđạt bài toán đợc xúc tích hơn Cần nói thêm rằng, vấn đề sử dụng thuật ngữ, kíhiệu của lôgic toán để diễn đạt nội dung toán học nói chung và mệnh đề toán họcnói riêng của HS hiện nay không đạt kết quả mong muốn Phần này chúng tôi sẽ

trình bày đầy đủ hơn ở 2.2.6.

1.4.5 NLTT 5: NL toán học hoá các tình huống thực tế, vận dụng t duy

toán học trong cuộc sống

Đối với NLTT này, chúng tôi đã trình bày ở phần 1.3 ở đây chúng tôi

muốn nhấn mạnh rằng: Kĩ năng toán học hóa các tình huống thực tiễn đợc chotrong bài toán hoặc nảy sinh từ đời sống thực tế nhằm tạo điều kiện cho họcsinh biết vận dụng những kiến thức Toán học trong nhà tr ờng vào cuộc sống,góp phần gây hứng thú học tập, giúp học sinh nắm đợc thực chất vấn đề vàtránh hiểu các sự kiện toán học một cách hình thức

Học sinh nếu có NL toán học hóa các tình huống thực tiễn, thì th ờng chúý tới các bài toán có nội dung thực tế của khoa học, kỹ thuật, của các môn họckhác và nhất là thực tế đời sống hàng ngày quen thuộc với họ Đồng thời, nhiềukhi còn phát biểu một số bài toán không phải thuần túy dới dạng toán học màdới dạng một vấn đề thực tế cần phải giải quyết

Ví dụ 1.9: Bài toán: "Cho đờng thẳng d và hai điểm A, B cùng nằm trên

một mặt phẳng có bờ là d Hãy tìm trên đờng thẳng d một điểm M sao cho tổngkhoảng cách MA + MB nhỏ nhất", có thể đợc hiểu dới dạng "Hàng ngày bạn Anphải đi từ nhà đến bờ sông xách nớc để tới cây cho ruộng rau ở cùng một phía

với bờ sông Hỏi bạn An phải chọn vị trí nơi lấy nớc tại bờ sông ở chỗ nào đểquãng đờng đi từ nhà đến ruộng rau là ngắn nhất?".

Các bài toán qui hoạch tuyến tính, trong Đại số 10, các bài toán hình họctrong Hình học 11, …) có vai trò quan trọng trong đời cần tận dụng những khả năng có thể để rèn luyện cho HSnăng lực toán học hóa thực tiễn Một cơ hội rất tối đó là khi dạy các bài toán vềbất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân (TBC-TBN) Trong SGKĐại số 10, sau khi đã phát biểu bất đẳng thức TBC-TBN cho hai số không âm,đã nhấn mạnh đến ý nghĩa hình học có liên quan đến chu vi và diện tích củahình vuông và hình chữ nhật Mặt khác, SGK Đại số 10 cũng phát biểu bấtđẳng thức cho 3 số không âm Tận dụng cơ hội này, có thể ra cho HS bài toán:

Ví dụ 1.10: Ta có một miếng tôn phẳng hình vuông với kích thớc a cm, ta

muốn cắt đi ở 4 góc 4 hình vuông để uốn thành một hình hộp chữ nhật không cónắp Phải cắt nh thế nào để hình hộp có thể tích lớn nhất?

Nh vậy, việc lồng ghép, thay thế bài toán có nội dung thực tiễn vào Chủ đềBất đẳng thức góp phần giúp học sinh lĩnh hội kiến thức cũng nh ứng dụng kiếnthức Toán học để giải các bài toán có nội dung thực tiễn

Trong hoàn cảnh cha học đạo hàm, HS vẫn có thể suy nghĩ, liên hệ, về việc

tìm giá trị lớn nhất của biểu thức a2xa2xx trên khoảng 



2;0 a , với việc vậndụng bất đẳng thức TBC-TBN cho ba số dơng (trong trờng hợp này, các em phảibiết nhân vào biểu thức một số dơng thích hợp nhằm tạo ra ba số có tổng khôngđổi là nhân 4 vào thừa số x để tạo ra: a2x; a2x,4x có tổng không đổi)

Nh vậy, trong khi dạy học, nếu thầy giáo biết cách khai thác một cách hợplí qua các chủ đề nh: hệ bất phơng trình bậc nhất hai ẩn, bất đẳng thức và ứngdụng, các bài toán hình học, …) có vai trò quan trọng trong đời thì có thể rèn luyện cho học sinh năng lực toánhọc hóa hình huống thực tiễn đồng thời góp phần rèn luyện cho HS khả năng linhhoạt, sáng tạo trong khi làm việc với các bất đẳng thức

1.4.6 NLTT 6: NL phát hiện và sửa chữa sai lầm trong lời giải

Trong dạy học Toán, có thể coi học toán là học các hoạt động toán học, đốivới học sinh thì có thể xem là giải toán (giải quyết vấn đề trong toán học) là hình

xa - 2x

Hình 1.10