Rèn luyện tư duy cho học sinh thông qua dạng toán tổng của một dãy số viết theo quy luật

Phòng giáo dục & đào tạo huyện Trờng trung häc c¬ së -***** - BÁO CÁO SÁNG KIẾN "RÈN LUYỆN TƯ DUY CHO HỌC SINH THÔNG QUA DẠNG TOÁN TỔNG CỦA MỘT DÃY SỐ VIẾT THEO QUY LUẬT" Tác giả: … Trình độ chun mơn: … Chức vụ: … Nơi cơng tác: … … THƠNG TIN CHUNG VỀ SÁNG KIẾN 1 Tên sáng kiến: "RÈN LUYỆN TƯ DUY CHO HỌC SINH THƠNG QUA DẠNG TỐN TỔNG CỦA MỘT DÃY SỐ VIẾT THEO QUY LUẬT" Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Áp dụng cho học sinh lớp Thời gian áp dụng sáng kiến: Tác giả: Họ tên: Năm sinh: Nơi thường trú: Trình độ chun mơn: Chức vụ cơng tác: Giáo viên Nơi làm việc: Điện thoại: Tỷ lệ đóng góp tạo sáng kiến: Đơn vị áp dụng sáng kiến: Tên đơn vị: Địa chỉ: Điện thoại: Email : I ĐIỀU KIỆN HOÀN CẢNH TẠO RA SÁNG KIẾN: Tốn học mơn khoa học bản, có liên quan đến nhiều ngành, nhiều lĩnh vực khác Các thành tựu toán học ln góp phần to lớn vào việc cải tạo tự nhiên, đem lại lợi ích phục vụ cho sống lồi người ngày tốt đẹp Chính việc mong muốn học học giỏi môn Toán nguyện vọng nhiều học sinh Các kiến thức phương pháp Tốn học cơng cụ thiết yếu giúp học sinh học tốt môn học khác, hoạt động có hiệu lĩnh vực Đồng thời mơn Tốn cịn giúp học sinh phát triển lực phẩm chất trí tuệ, rèn luyện cho học sinh khả tư tích cực, độc lập, sáng tạo, giáo dục cho học sinh tư tưởng đạo đức thẩm mỹ người công dân Là giáo viên trường THCS trực tiếp giảng dạy lớp có học sinh chủ yếu học sinh giỏi Tơi nhận thấy việc giải tốn chương trình THCS không đơn giản đảm bảo kiến thức sách giáo khoa, mà điều kiện cần chưa đủ Muốn học tốt toán cần phải luyện tập nhiều thông qua việc giải dạng toán đa dạng, giải toán tỉ mỉ khoa học, kiên nhẫn để tự tìm đáp số chúng Muốn giáo viên phải biết vận dụng linh hoạt kiến thức nhiều tình khác để tạo hứng thú học tập cho học sinh Phải cung cấp cho học sinh nắm kiến thức bản; sau cung cấp cho học sinh cách nhìn, cách vận dụng linh hoạt kiến thức đó; phân tích tìm hướng giải, đâu bắt đầu quan trọng để học sinh không sợ đứng trước tốn khó mà dần tạo tự tin, gây hứng thú say mê mơn tốn Từ tạo cho học sinh tác phong tự học, tự nghiên cứu Một tốn có nhiều cách giải, toán thường nằm dạng toán khác đòi hỏi phải biết vận dụng kiến thức nhiều lĩnh vực, nhiều mặt cách sáng tạo, học sinh phải biết sử dụng phương pháp cho phù hợp Trong chương trình Tốn THCS nói chung phần Số Học nói riêng có nhiều dạng toán hay Đặc biệt dạng toán “ Tổng dãy số viết theo quy luật” học sinh học tiểu học, hệ thống lại mở rộng chương trình tốn lớp Tơi thấy dạng tốn đa dạng, phong phú có nhiều dạng khác nhau; dạng quy luật dãy số tổng không giống Trong dạng tốn phần trọng tâm việc bồi dưỡng học sinh giỏi trường THCS thường xuất đề kiểm tra Phòng giáo dục Sở giáo dục Đối với em học sinh lớp để có điểm số tuyệt đối kiểm tra thì là một vấn đề quan trọng mà học sinh phải vượt qua Tuy nhiên sách giáo khoa sách tập dạng tốn cịn Mặt khác sách tham khảo có trình bày có tập phần đơn lẻ mà chưa liệt kê, hệ thống theo dạng bài; chưa đưa phương pháp giải cụ thể; đòi hỏi học sinh tự vận động kiến thức Do học sinh lúng túng giải tập thể loại kể em có lực học khá, giỏi Thường em chưa biết phát quy luật dãy số; khơng biết cách phân tích để tìm lời giải; chưa biết tự hệ thống lại để ôn luyện theo dạng khác nhau; biết hướng giải lại khơng biết trình bày lời giải trình bày thiếu cứ, lập luận khơng chặt chẽ Để giúp học sinh phần tháo gỡ khó khăn, vướng mắc q trình giải toán Đồng thời giúp em biết cách tự tìm tịi, phân tích, tổng hợp kiến thức liên quan cách có hệ thống để giải tốt dạng tốn Thơng qua rèn luyện khả tư cho em Chính tơi chọn đề tài: “ Rèn luyện tư cho học sinh thông qua dạng toán tổng dãy số viết theo quy luật” Qua sáng kiến, mong thân tìm hiểu sâu vấn đề này, phát nhanh quy luật dãy số tổng Biết hệ thống, phân loại nắm phương pháp giải cho dạng tập Từ có phương pháp truyền thụ kiến thức để học sinh dễ hiểu tự làm tốt toán dạng Qua nội dung hy vọng học sinh phát huy khả phân tích, tổng hợp, khái qt hố qua tập nhỏ Từ hình thành cho học sinh khả tư sáng tạo học tập II MƠ TẢ GIẢI PHÁP: Mơ tả giải pháp trước tạo sáng kiến: Khi tơi nhà trường phân cơng dạy Tốn lớp Đây lớp chủ yếu em có lực học khá, giỏi Trong q trình giảng dạy tơi nhận thấy em gặp tốn có dạng “ Tổng dãy số viết theo quy luật” em lúng túng giải Từ thực tế tơi cho em làm kiểm tra với dạng: Tính tổng A dãy số viết theo quy luật, chứng tỏ tổng A < m tổng A > m ( m số), chứng tỏ A số tự nhiên, so sánh tổng A tổng B Từ tơi đánh giá khả thực em với dạng toán Qua điều tra học sinh nhiều biện pháp kết điều tra 35 kiểm tra lớp 6A Trường THCS B Hải Minh trước áp dụng sáng kiến sau: Lớp Sĩ số 6A 35 Giỏi SL % Khá SL 5,714 TB % Sl % 32 15 42,857 Yếu- SL % 10 28,57 Sau kiểm tra thấy học sinh hiểu làm toán tổng dãy số viết theo quy luật mơ hồ, học cách máy móc thụ động Nhiều em chưa biết cách phát quy luật dãy số tổng có phát lại chưa nắm phương pháp giải, chưa phân biệt cách giải dạng với Khi em gặp tốn địi hỏi phải vận dụng có tư học sinh khơng xác định phương hướng để giải toán dẫn đến lời giải sai không làm Trước thực trạng trên, giáo viên trực tiếp giảng dạy mơn tốn thấy: Việc hệ thống, phân loại dạng cung cấp cho học sinh số phương pháp tổng quát, số kỹ để giải tốn nói chung tốn tổng dãy số viết theo quy luật giúp học sinh thông hiểu trình bày tốn trình tự, logic, không mắc sai lầm biến đổi điều cần thiết Vì tơi viết sáng kiến với mong muốn giúp học sinh biết cách hệ thống, phân loại vận dụng tốt phương pháp để giải dạng tổng dãy số viết theo quy luật Mô tả giải pháp sau tạo sáng kiến Đối với học sinh lớp việc tổng hợp kiến thức học chủ đề khó khăn Qua nghiên cứu thấy chủ đề tổng dãy số viết theo quy luật đa dạng có nhiều tốn địi hỏi có suy luận, có tư lơgic Có dạng có phương pháp giải chung có dạng phải qua việc phân tích tìm lời giải số tốn Trong dạng ta lại đúc rút tìm quy luật, phương pháp giải chung cho dạng tốn Do để học sinh học tập có hiệu cao với chủ đề theo giáo viên cần phải sưu tầm, hệ thống thành dạng xếp theo chuỗi lô gic dạng với nhau; phân làm dạng tốn từ đến nâng cao, từ đơn giản đến phức tạp để luyện tập cho học sinh Trong giảng dạy giáo viên cần tổng hợp kiến thức có liên quan; phân tích tìm lời giải cho dạng bài, hướng dẫn học sinh tìm cách giải khác Trong dạng cần ý khắc sâu cho học sinh phương pháp giải dạng Chỉ điểm nhấn thể đặc điểm chung dạng đặc điểm riêng dạng khác nhau, chỗ mà học sinh hay mắc sai lầm Đồng thời phải giúp cho em biết liên kết kiến thức dạng với dạng khác theo hệ thống Chính sáng kiến phân dạng Trong dạng chọn lọc số tốn, phân tích tìm hướng giải; đúc rút phương pháp giải có thể; khai thác, mở rộng thành tập có nội dung đề khác cuối đưa đến có phương pháp giải tương tự với tốn gốc Thơng qua giúp giáo viên rèn kỹ trình bày làm học sinh, giúp học sinh biết cách phân tích tìm lời giải làm tốn tương tự; biết cách vận dụng linh hoạt kiến thức học để giải tốt tình tốn cụ thể Qua hình thành tư lơgíc, sáng tạo cho em việc giải tốn Các dạng mà tơi phân cụ thể là: * Dạng : Tổng dãy cộng * Dạng 2: Tổng dãy số số nguyên viết theo quy luật có đan dấu cộng trừ * Dạng 3: Tổng dãy nhân số nguyên * Dạng 4: Tổng dãy số nguyên số có số với số mũ cách * Dạng 5: Tổng tích cặp số nguyên mà cặp số nguyên cách * Dạng 6: Tổng bình phương dãy số có số cách * Dạng 7: Tổng lập phương dãy số có số cách * Dạng 8: Tổng dãy nhân phân số * Dạng 9: Tổng dãy phân số có tử, mẫu tích cặp số nguyên cách * Dạng 10: Tổng dãy phân số có tử, mẫu bình phương mà số cách * Dạng 11: Tổng dãy phân số có tử, mẫu số tự nhiên liên tiếp Để giải dạng toán tổng dãy số viết theo quy luật học sinh cần nắm vững số kiến thức cụ thể sau: Một số cơng thức tính dãy số cách học tiểu học: Số số hạng = ( số hạng cuối – số hạng đầu) : khoảng cách + Tổng = ( số hạng đầu + số hạng cuối ) số số hạng : Số hạng thứ n = ( số số hạng – ) khoảng cách + số hạng đầu Một số công thức lũy thừa với số mũ tự nhiên: am an = am+n ; am: an = am-n ( a ≠ 0, m ≥ n); (a m ) n = a m.n Tính chất chia hết tổng: a m, b m c m ⇒ (a + b+c)  m Quy đồng mẫu số nhiều phân số: - Tìm mẫu số chung (tìm BCNN mẫu) - Tìm thừa số phụ mẫu - Nhân tử mẫu phân số với thừa số phụ tương ứng Các phép tính phân số: a Cộng, trừ phân số mẫu: A B A+B A B A−B + = − = (M ≠ 0); (M ≠ 0) M M M M M M b Cộng, trừ phân số không mẫu: - Quy đồng mẫu phân số - Cộng tử phân số quy đồng giữ nguyên mẫu chung c Nhân phân số: d Chia phân số: A C A.C × = B D B.D A C A.D : = B D B.C (B, D ≠ 0) (B, C, D ≠ 0) Tính chất phép cộng nhân phân số: a Tính chất giao hoán: - Phép cộng: a c c a + = + b d d b - Phép nhân: a c c a × = × b d d b (b, d ≠ 0) (b, d ≠ 0) b Tính chất kết hợp : a b c d - Phép cộng :  +  + m a c m = +  +  (b, d, n ≠ 0) n b d n  a c m a c m - Phộp nhõn: ì ữì = ì ì ÷ (b, d, n ≠ 0) b d n b d n  c Tính chất phân phối phép nhân phép cộng (trừ): a c m a m c m + ữì = ì + ì (b, d, n ≠ 0) b d n b n d n Bất đẳng thức: Bất đẳng thức có dạng a > b, a < b Tính chất: - Tính chất bắc cầu: Nếu a > b, b > c a > c - Tính chất đơn điệu phép cộng: Nếu a > b a + c > b + c - Tính chất đơn điệu phép nhân: Nếu a > b a c > b c (c > 0) - Cộng vế bất đẳng thức chiều: Nếu a > b, c > d a + c > b + d Công thức giai thừa: n ! = 1.2.3… n (n ∈ N*) Sau tơi xin trình bày cụ thể dạng tốn tổng dãy số viết theo quy luật mà hệ thống: 2.1 Dạng 1: Tổng dãy cộng Dãy cộng dãy số có số hạng ( kể từ số hạng thứ hai) lớn số hạng liền trước số đơn vị Dãy cộng dãy số cách Một số phương pháp giải: Phương pháp 1: +Tính số số hạng tổng theo công thức : Số số hạng = ( số hạng cuối – số hạng đầu) : khoảng cách + +Nhóm hai số hạng thành cặp cho giá trị cặp (Lưu ý nhóm vừa hết số hạng thành cặp số số hạng số chẵn thừa số hạng số số hạng số lẻ) Cách tính số hạng thứ n dãy là: Số hạng thứ n = ( số số hạng – ) khoảng cách + số hạng đầu + Tính tổng dựa vào giá trị cặp số cặp vừa nhóm Lưu ý tìm số cặp mà cịn dư số hạng tìm tổng ta phải cộng số hạng dư vào Phương pháp 2: Dựa vào công thức : Số số hạng = ( số hạng cuối – số hạng đầu) : khoảng cách + Tổng = ( số hạng đầu + số hạng cuối ) số số hạng : Phương pháp 3: Dựa vào toán Gau-xơ : Viết tổng A theo thứ tự ngược lại tính A + A Từ tính tổng A Phương pháp 4: Phương pháp khử liên tiếp: Tách số hạng thành hiệu số trừ hiệu trước số bị trừ hiệu sau: a1 = b1 – b2 , a2 = b2 – b3 , , an = bn – bn+ Khi ta có An = ( b1 – b2 ) + ( b2 – b3 ) + + ( bn – bn + ) = b1 – bn + Phương pháp 5: Phương pháp dự đốn quy nạp Bài tốn 1: Tính tổng A = + + + + … + 2019 Phân tích: Nhận thấy dãy số 1, 2, 3, 2019 dãy số tự nhiên cách Khoảng cách hai số hạng liền kề Để tính tổng A ta vận dụng bốn phương pháp đầu nêu cụ thể ta có cách giải sau: Hướng giải: Cách 1: Tổng A có số số hạng là: ( 2019 – ): + = 2019 Do ta chia A thành 1009 cặp dư 1số hạng chẳng hạn số 2019 A = + + + + … + 2019 A = (1 + + + + … + 2018) + 2019 A = (1+2018) + ( 2+2017) + + ( 1009+1010) + 2019 A = 2019 1009 + 2019 ⇒ A = 2019 1010 = 2039190 Vậy A = 2039190 Cách 2: Áp dụng cơng thức tính: Số số hạng = ( số hạng cuối – số hạng đầu) : khoảng cách + Tổng = ( số hạng đầu + số hạng cuối ) số số hạng : Ta có :Tổng A có số số hạng là: ( 2019 – ) : + = 2019 A =( 1+ 2019) 2019 : = 2019 1010 = 2039190 Cách 3: + A = +2 +3 + + 2018 + 2019 (có 2019 số hạng) A = 2019 + 2018 + 2017 + + +1 Do đó: 2A = 2020 + 2020 + 2020 + + 2020 + 2020 (có 2019 số hạng) ⇒ 2A = 2019.2020 ⇒ A = 2019 2020 : = 2019 1010 = 2039190 Cách 4: Dùng phương pháp khử liên tiếp: Trước hết ta tách số hạng A (là 1) thành hiệu có số hạng tích hai số hạng liên tiếp tổng A ( thừa số số hạng 1): 1= ( 1.2 – 0.1) Từ ta tách số hạng lại tổng A thành hạng tử mà tính tổng A hạng tử triệt tiêu hàng loạt: = 1 ( 2.3 – 1.2); = ( 3.4 – 2.3); ; 2018 = ( 2018 2019 – 2017.2018); 2 2019 = ( 2019 2020 – 2018.2019) Do A = ( 1.2 – 0.1 + 2.3 – 1.2 + 3.4 – 2.3+ + 2018 2019 – 2017.2018 + 2019 2020 – 2018.2019) Vậy A = ×2019 ×2020 = 2019 1010 = 2039190 Từ cách phân tích để có lời giải cách nghĩ đến trình bày tốn theo cách sau gọn hơn: Cách 5: A = + + + + … + 2019 2A = ( + + + + … + 2019) 2A = 1.2 + 2.2 + 2.3 + 2.4 + + 2019 2A = (2 – 0) + (3 – 1) + (4 – 2) + + 2019 (2020 – 2018) 2A = 1.2 + – 1.2 + – 2.3 + – 2018 2019 + 2019 2020 2A = 2019 2020 ⇒ A = 2019 2020 : = 2019 1010 = 2039190 Nhận xét : Ở cách dùng phương pháp khử liên tiếp Mỗi số hạng A (chỉ có thừa số ) khoảng cách hai số hạng ta nhân A với lần khoảng cách Cụ thể với cách làm ta xét thêm ví dụ sau: Tính: B = + + + 10 + … + 70 + 73 Dãy số 1, 4, 7, 10, , 70, 73 dãy số chia cho dư Mỗi số hạng B (chỉ có thừa số ) khoảng cách hai số hạng ta nhân B với lần khoảng cách tức nhân B với nghĩ đến cách tách tương tự Ta có lời giải sau: B = + + + 10 + … + 70 + 73 6B = 1.6 + 4.6 + 7.6 + 10.6 + + 70.6 + 73.6 6B = ( + ) + ( 7– 1) + ( 10 – 4) + +73 ( 76 – 70 ) 6B = 1.4 + 1.2 + 4.7 – 1.4 + 7.10 – 7.4 + + 73.76 – 73.70 6B = 2+ 73.76 ⇒ 6B = 5550 ⇒ B = 925 10 Ta có: 1 1 1 1 < < ; 2< ; 2< ;…; 2 3.7 7.11 13 11.15 409 407.411 B< 1 1 + + + 3.7 7.11 11.15 407.411 B< 4 4 ( + + + ) 3.7 7.11 11.15 407.411 B< 1 1 1 1 ( − + − + − + − ) 7 11 11 15 407 411 B< 1 1 ( − )⇒ B< 411 12 Khai thác : Khơng phải tốn từ đầu phân số có tử mà ta cần quan sát để đưa chúng tử Ta xét toán sau : 2.10.5 Bài toán 29: B = 24 48 200.202 + + + + Chøng minh: B > 99, 75 25 49 2012 Phân tích: Ta nhận thấy phân số tổng có mẫu lớn tử đơn vị ta nghĩ đến viết B = − + 24 48 200.202 −1+ − + + − + 100 để đưa phân số 25 49 2012 tử số Ta có hướng giải sau Hướng giải: Dãy số 3, 5, 7, , 201 có 100 số hạng nên tổng B có 100 số hạng B= 24 48 200.202 + + + + 25 49 2012 B= 24 48 200.202 −1+ −1+ − + + − + 100 25 49 2012 B = 100 −( 1 1 + + + + ) 2012 Tương tự với cách làm toán 25: 1 1 1 1 + + + + < + + + 2 201 2.4 4.6 6.8 200.202 1 1 1 1 1 1 + + + + < ( − + − + − + + − ) 2 201 2 4 6 200 202 1 1 1 1 1 25 + + + + < ( − ) ⇒ < + + + + < 2 201 2 202 201 101 Do B = 100 −( 1 1 25 + + + + ) 100 − 2 > 201 101 64 ⇒ B > 99,7 Bài tập luyện: Bài 1: Cho A = 11 18 27 1766 20 20 + + + + Chøng minh: 40 < A < 40 16 25 1764 43 21 Hướng giải: Dãy số 3, 4, , 42 có 40 số hạng Nên tổng A có 40 số hạng Ta nhận thấy phân số tổng có tử lớn mẫu đơn vị ta nghĩ đến cách làm sau để đưa phân số tử : A= 11 18 27 1766 −1+ −1+ − + + − + 40 16 25 1764 A = 40 + ( 1 1 + + + + ) 42 Dễ dàng ta chứng minh Vậy: 40 20 1 1 20 < 2.( + + + + ) < 43 42 21 20 20 < A < 40 43 21 2.11.Dạng11: Tổng dãy phân số có tử, mẫu số tự nhiên liên tiếp 2.11.1 Bài toán 28: Cho M = 1 1 + + + + Chứng tỏ < M = > ; ; ;…; 51 100 52 100 53 100 100 100 Nên M > 1 + + + ( có 50 số) 100 100 100 65 M > 50 Ta có 1 = 100 (1) 1 1 1 1 1 = ; < ; < ; ; < Nên M < + + + ( có 50 số) 51 51 52 51 53 51 100 51 51 51 51 M < 50 50 50 51 = < = Nên M 91 Do theo hướng toán chưa giải 100 66 Ta nghĩ đến chia A thành nhóm: Nhận thấy = 90 chia A thành nhóm: Nhóm có số hạng 1 + Do ta nghĩ đến 100 10 , nhóm gồm 90 số hạng cịn lại Ta có 10 hướng giải sau: Hướng giải: Dãy số 10, 11, 12, , 99, 100 có 91 số hạng nên tổng A có 91 số hạng A= 1 1 + ( + + + + ) 10 11 12 99 100 Ta có 1 1 1 1 1 1 > ; > ; ; > ; = > 90 = Nên + + + + 11 100 12 100 99 100 100 100 11 12 99 100 100 10 Do A = 1 1 + ( + + + + )> + = Vậy A > 10 11 12 99 100 10 10 Nhận xét: Để chia thành nhóm cho chứng minh A < m A > m ta cần phân tích tìm mối liên hệ m với dấu >, số số hạng số hạng nhỏ tổng ; m với dấu ; > ; > ; > ; > 10 15 11 15 12 15 13 15 14 15 Nên A > 3 3 3 + + + + = = 15 15 15 15 15 15 Từ (1) (2) ⇒ 1 ; > ; ; > Nên A > + + + ( Có 10 số ) 10 20 11 20 19 20 20 20 20 ⇒ A > 10 1 Vậy A > 20 Bài 3: Chứng tỏ M = 1 1 + + + + + < 16 17 Phân tích: +Nhận thấy tổng M có 13 số hạng Nếu khơng chia nhóm ta M < 13 = 13 + Để chứng tỏ M < ta cần chia A thành nhóm Nhận thấy = 1+1 Vì cần chứng tỏ M < nên ta quan tâm đến số hạng lớn tổng 1 Mặt khác = Do 5 ta nhóm số hạng đầu vào nhóm( + + ) cịn lại số hạng ( 1 1 + + + ) Lại có = 10 16 17 70 Vậy ta chia M thành nhóm: Nhóm gồm số hạng đầu, nhóm gồm số hạng cịn lại tốn giải xong Hướng giải: 1 1 + + ) 10 16 17 M = ( + + + + )+( +Ta có : 1 1 1 1 1 1 1 1 = ; < ; < ; < ; < Nên + + + + < = 5 5 + Ta có 1 1 1 1 1 1 = ; < ; < ; ; < Nên + + + < = (2) 10 11 12 17 10 11 17 (1) Từ (1) (2) ⇒ M < 1+1 =2 Vậy M < Bài 4: Cho S = 1 1 + + + + + Chứng tỏ S > 61 62 63 99 100 20 Phân tích: +Tổng S có 40 số hạng Nếu khơng chia nhóm ta chứng tỏ S > 40 2 = Mà < Nên toán chưa chứng tỏ 100 5 20 + Ta nghĩ đến phương pháp chia nhóm: Nhận thấy Do ta nhóm 20 số hạng cuối vào nhóm ( 20 số hạng ( 1 1 = + Mà 20 = 20 100 1 ) Khi cịn lại tổng + + 81 100 1 1 + + ) Lại có 20 = Vậy S chia thành nhóm: Nhóm 61 80 80 gồm 20 số hạng đầu nhóm gồm 20 số hạng cuối Ta có hướng giải sau: Hướng giải 1: Dãy số 61,62, ,100 gồm 40 số hạng Nên tổng S có 40 số hạng S= ( 1 1 1 + + + ) + ( + + + ) 61 62 80 81 99 100 Ta có: 1 1 1 1 1 1 > ; > ; ; = Nên + + + + > 20 = 61 80 62 80 80 80 61 62 79 80 80 Ta có: 1 1 1 1 1 1 > ; > ; ; = > 20 = Nên + + + + 81 100 82 100 100 100 81 82 99 100 100 Từ (1) (2) ⇒ S > (1) (2) 1 9 + = Vậy S > 20 20 Nhận xét: Ta có 25 1 1 = Do ta nhóm 25 số hạng cuối vào nhóm ( + + ) 100 76 100 71 Khi cịn lại tổng 15 số hạng đầu ( 1 1 + + ) Lại có 15 = Vậy ta 61 75 75 chia A thành nhóm: Nhóm gồm 15 số hạng đầu, nhóm gồm 25 số hạng cuối Ta có hướng giải sau: Hướng giải 2: Dãy số 61, 62, , 100 gồm 40 số hạng Nên tổng S có 40 số hạng S= ( 1 1 1 + + + ) + ( + + + ) 61 62 75 76 99 100 Ta có: 1 1 1 1 1 1 > ; > ; ; = Nên + + + + > 15 = 61 75 62 75 75 75 61 62 74 75 75 Ta có: 1 1 1 1 1 1 > ; > ; ; = > 25 = Nên + + + + 76 100 77 100 100 100 76 77 99 100 100 Từ (1) (2) ⇒ S > Bài 5: Cho P = (1) (2) 1 9 + = Vậy S > 20 20 1 1 + + + + + Chứng tỏ < P < 31 32 33 59 60 5 Phân tích: * Ta thấy P có 30 số hạng Nếu khơng tách nhóm ta chứng tỏ 30 < P < Bài 31 toán chưa chứng tỏ * Ta nghĩ đến phương pháp chia nhóm Tuy nhiên phân tích theo hướng tốn 28 toán chưa chứng tỏ * Ta thấy: 36 48 = ; = Vì toán yêu cầu chứng tỏ < P < Nên ta lại tìm 60 60 5 mối liên hệ với phân số nhỏ tổng P (là ) phân số lớn tổng P( 60 1 chọn ) 31 30 + Ta thấy 10 liên hệ với 1 1 = ; nên lại tìm mối liên hệ với ta thấy 10 = Do lại tìm mối 60 50 50 1 1 1 37 36 ta có 10 = Mặt khác ta thử thấy + + = > 40 40 60 60 72 Vậy ta chia P thành nhóm: Mỗi nhóm gồm 10 số hạng ta chứng tỏ P> 36 ⇒P> 60 + Ta thấy 10 liên hệ với 1 1 = ; nên lại tìm mối liên hệ với ta thấy 10 = Do lại tìm mối 30 40 40 1 1 1 47 48 ta có 10 = Mặt khác ta thử thấy + + = < 50 50 5 60 60 Vậy ta chia P thành nhóm: Mỗi nhóm gồm 10 số hạng ta chứng tỏ P< 48 ⇒P< 60 Như để chứng tỏ P > P < ta chia P thành nhóm ( nhóm 10 số hạng) 5 Hướng giải : Dãy số 31, 32, , 60 có 30 số hạng Nên tổng P có 30 số hạng P= ( 1 1 1 + + + ) + ( + + ) + ( + ) 31 32 40 41 50 51 60 Ta có: 1 1 1 1 1 > ; > ; ; = Nên + + + > 10 = 31 40 32 40 40 40 31 32 40 40 (1) Ta có: 1 1 1 1 1 > ; > ; ; = Nên + + + > 10 = 41 50 42 50 50 50 41 42 50 50 (2) Ta có: 1 1 1 1 1 > ; > ; ; = Nên + + + > 10 = 51 60 52 60 60 60 51 52 60 60 (3) Từ (1), (2) (3) ⇒ P > +Ta có : 1 37 37 36 3 + + = Mà > = Vậy P > (*) 60 60 60 5 1 1 1 1 1 < ; < ; ; < Nên + + + < 10 = 31 30 32 30 40 30 31 32 40 30 (4) Ta có : 1 1 1 1 1 < ; < ; ; < Nên + + + < 10 = 41 40 42 40 50 40 41 42 50 40 (5) Ta có : 1 1 1 1 1 < ; < ; ; < Nên + + + < 10 = 51 50 52 50 60 50 51 52 60 50 (6) Từ (4), (5) (6) ⇒ P < Từ (*) (**) ⇒ 1 47 47 48 4 + + = Mà < = Vậy P < (**) 60 60 60 5 63 64 73 Phân tích: *Ta thấy M có 64 số hạng Nếu khơng tách nhóm ta chứng tỏ M >1 Bài toán chưa chứng tỏ * Ta nghĩ đến phương pháp chia nhóm Đề yêu cầu chứng tỏ M > khơng chia nhóm ta chứng tỏ M >1 Do ta dự đốn chia M thành nhiều nhóm nhỏ Bằng kinh nghiệm ta thấy = + Nên ta chia M thành tổng nhóm: 1; 1 1 1 1 1 1 1 1 + + + ; + + + ; + ; + + + ; + + + ; 10 16 17 18 32 33 34 64 Hướng giải : Dãy số 1,2, ,64 có 64 số hạng Nên tổng M có 64 số hạng 1 M = + + ( + ) + ( + + ) + ( + + Ta có: 1 1 ) + ( + + ) + ( + + ) 16 17 32 33 64 1 1 1 1 1 1 + > = ; + + > = ; + + > = ; 4 8 16 16 1 1 1 1 + + > 16 = ; + + > 32 = 17 32 32 33 64 64 2 2 2 Do M > + + + + + + = Vậy M > Bài 7: So sánh A B biÕt r»ng A = 1 1 + + + + 200 B = 198 199 + + + + + 199 198 197 Hướng giải : Ta cã: B = 198 199 + + + + + 199 198 197 74 198 199 +1+ +1+ + + + +1+ − 198 199 198 197 200 200 200 200 = + + + + +1 199 198 197 200 200 200 200 200 = + + + + + 199 198 197 200 200 200 200 200 200 = + + + + + 200 199 198 197 1 1  = 200  + + + + ÷ 2  200 199 198  1 1 = 200  + + + + ÷ 200  2 = Vậy B = 200 A C HIỆU QUẢ DO SÁNG KIẾN ĐEM LẠI: Qua việc áp dụng kinh nghiệm vào giảng dạy cho học sinh thấy gặp tập tổng dãy số viết theo quy luật em lĩnh hội kiến thức cách vững chắc, em nắm toán cho thuộc dạng nào, vận dụng phương pháp giải dạng toán tốt Đặc biệt em tự tin giải trình bày lời giải tốn cách chặt chẽ, lơ gíc, có Kết kiểm tra sau áp dụng sáng kiến: Lớp 6A Sĩ số 35 Giỏi Bài KT Khá TB Yếu- SL % SL % Sl % SL % Bài số 17 48,57 12 34,29 17,14 0 Bài số 18 51,23 12 34,29 14,29 0 Bài số 22 62,86 10 28,57 8,57 0 Nhờ áp dụng kinh nghiệm trình bày chất lượng mơn tốn tơi giảng dạy nâng cao rõ rệt Kết chất lượng qua kì thi có nhiều em đạt điểm 10 xếp thứ cao Huyện Nhiều em yêu thích mơn tốn tơi dạy Từ kích thích nhiều học sinh vươn lên học khá, giỏi môn Do góp phần nâng cao hiệu giảng dạy giáo viên rèn cho học sinh khả tư toán, độ linh hoạt sáng tạo kỹ trình bày học sinh 75 Trên số dạng toán tổng dãy số viết theo quy luật với mục đích giúp học sinh có kĩ nhận dạng toán, biết rút phương pháp giải dạng có kĩ lập luận lơ gíc; thơng qua rèn luyện tư duy, trình bày lời giải tập tốn Trong chun đề này, tơi cố gắng phân loại dạng toán cách cụ thể Trong phần, dạng cố gắng khai thác cách giải khác xếp dạng theo chuỗi lo gic Tôi mong tài liệu góp phần nhỏ vào việc giúp học sinh học tốt dạng toán tổng dãy số viết theo quy luật, phát triển tư sáng tạo em qua dạng, cụ thể Mặc dù thân có nhiều cố gắng tìm tịi nghiên cứu chun đề Đồng thời trao đổi tham khảo, bàn bạc, xin ý kiến thầy cô trước thầy giáo dạy mơn tốn nhà trường Song vấn đề tổng dãy số viết theo quy luật mảng kiến thức rộng Bản thân tơi kính mong nhận đóng góp ý kiến Hội đồng khoa học, thầy có nhiều kinh nghiệm để nội dung sáng kiến phong phú, đầy đủ hoàn thiện Tơi xin chân thành cảm ơn! IV CAM KẾT KHƠNG SAO CHÉP HOẶC VI PHẠM BẢN QUYỀN Tôi xin cam đoan sáng kiến không chép CƠ QUAN ĐƠN VỊ ÁP DỤNG SÁNG KIẾN (xác nhận) TÁC GIẢ SÁNG KIẾN (Ký tên) (Ký tên, đóng dấu) 76 PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ( Xác nhận, đánh giá, xếp loại ) (LĐ phịng ký tên, đóng dấu) 77 TÀI LIỆU THAM KHẢO Sách giáo khoa Toán tập1, – NXB Giáo dục Sách tập Toán tập 1,2 – NXB Giáo dục Sách giáo viên Toán – NXB giáo dục Toán nâng cao phát triển tác giả: Vũ Hữu Bình - Nhà xuất Giáo Dục Toán nâng cao chuyên đề toán tác giả: Vũ Dương Thụy, Nguyễn Ngọc Đạm - Nhà xuất Giáo Dục Bài tập nâng cao số chuyên đề toán tác giả Bùi Văn Tuyển Website: http://google.com.vn http:/www.giaoan.violet.vn http:/www.tailieu.vn.com 78 ... dạng toán tổng dãy số viết theo quy luật mà hệ thống: 2.1 Dạng 1: Tổng dãy cộng Dãy cộng dãy số có số hạng ( kể từ số hạng thứ hai) lớn số hạng liền trước số đơn vị Dãy cộng dãy số cách Một số. .. phân số có tử, mẫu số tự nhiên liên tiếp Để giải dạng toán tổng dãy số viết theo quy luật học sinh cần nắm vững số kiến thức cụ thể sau: Một số cơng thức tính dãy số cách học tiểu học: Số số hạng...1 Tên sáng kiến: "RÈN LUYỆN TƯ DUY CHO HỌC SINH THƠNG QUA DẠNG TỐN TỔNG CỦA MỘT DÃY SỐ VIẾT THEO QUY LUẬT" Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Áp dụng cho học sinh lớp Thời gian áp dụng sáng