SKKN RÈN LUYÊN TƯ DUY CHO HỌC SINH THÔNG QUA VIỆC SÁNG TÁC MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH TỪ CÁC ĐẲNG THỨC ĐIỂN HÌNH

Sáng kiến kinh nghiệm THÔNG TIN CHUNG VỀ SÁNG KIẾN ********** Tên sáng kiến: RÈN LUYÊN TƯ DUY CHO HỌC SINH THÔNG QUA VIỆC SÁNG TÁC MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH TỪ CÁC ĐẲNG THỨC ĐIỂN HÌNH Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: - Chương trình Toán lớp 10 THPT, 11 THPT - Chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia Thời gian áp dụng sáng kiến: Từ - 2015 đến - 2016 Tác giả: Họ tên: Bùi Văn Toan Năm sinh: 1985 Nơi thường trú: Thái học, Trực Cường, Trực Ninh, Nam Định Trình độ chuyên môn: Thạc sĩ Chức vụ công tác: Giáo viên Nơi làm việc: Trường THPT chuyên Lê Hồng Phong – Nam Định Địa liên hệ: Trường THPT chuyên Lê Hồng Phong – Nam Định Điện thoại: 0977.012.356 Đơn vị áp dụng sáng kiến Tên đơn vị: Trường THPT chuyên Lê Hồng Phong – Nam Định Địa chỉ: 76 đường Vị Xuyên, TP Nam Định Điện thoại: 03503.640297 Bùi Văn Toan – THPT Chuyên Lê Hồng Phong Sáng kiến kinh nghiệm ĐIỀU KIỆN, HOÀN CẢNH TẠO RA SÁNG KIẾN Trong kỳ thi Đại học, Cao đẳng, THPT Quốc gia thi học sinh giỏi thường bắt gặp dạng toán liên quan tới phương trình, hệ phương trình Bài toán liên quan tới phương trình, hệ phương trình có nhiều dạng có nhiều cách giải khác Đó dạng toán khó học sinh, hệ thống tập phong phú Tuy nhiên việc nắm vững dạng phương trình tìm cách giải cần tự xây dựng cho hệ thống tập liên quan tới phương trinh, hệ phương trình Hơn trình xây dựng hệ thống tập, ta rút phương pháp giải toán theo cách tự nhiên nhất, lại giải toán thế, từ rèn luyện tư kích thích trí tò mò học sinh.Vì vậy, xin lựa chọn đề tài : “Rèn luyện tư cho học sinh thông qua việc sáng tác số phương trình, hệ phương trình từ đẳng thức điển hình” Chương trình giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động sáng tạo học sinh phù hợp với đặc trưng môn học, đặc điểm đối tượng học sinh, điều kiện lớp học; Bồi dưỡng học sinh phương pháp tự học, khả hợp tác; Rèn luyện kỹ vận dụng kiến thức vào thực tiễn; Tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú trách nhiệm học tập cho học sinh Quá trình dạy học với nhiệm vụ hình thành tri thức, rèn luyện kỹ hoạt động nhận thức, hình thành thái độ tích cực xây dựng trình hoạt động thống thầy trò, trò trò, tính tự giác, tích cực tổ chức, tự điều khiển hoạt động học nhằm thực tốt nhiệm vụ đề Qua thực tiễn học tập giảng dạy, nhận thấy giải toán liên quan đến phương trình hệ phương trình học sinh thường không mạnh dạn, tự tin, thường lúng túng phương pháp tính toán, đặc biệt không nắm tính chất hình học phẳng cấp học THCS Phương trình, hệ phương trình học sinh bắt đầu làm quen chương trình THCS, đến cấp THPT học sinh tiếp xúc với nhiều toán dạng này, học sinh không nhận diện dạng toán chưa hướng dẫn cách hệ thống phương pháp để giải toán trọn vẹn Số lượng toán thuộc dạng toán nêu xuất ngày nhiều đề thi tuyển sinh vào Đại học, Cao đẳng học sinh giỏi năm gần đây.Tài liệu tham khảo nhiều Bùi Văn Toan – THPT Chuyên Lê Hồng Phong Sáng kiến kinh nghiệm học sinh tiếp cận cách thụ động chấp nhận lời giải cách không tự nhiên, không hiểu toán lại giải theo hướng Giúp học sinh nhận dạng toán có phương pháp mang lại hiệu rõ nét Bồi dưỡng cho học sinh phương pháp, kỹ giải toán, khả sáng tạo tự sáng tác phương trình, hệ phương trình Qua học sinh nâng cao khả tư duy, sáng tạo Nâng cao khả tự học, tự bồi dưỡng khả giải toán kỳ thi THPT Quốc gia môn Toán 2016 Điểm kết nghiên cứu: Hệ thống dạng toán có liên quan đến phương trình hệ phương trình gắn vào toán tổng quát, xây dựng hệ thống tập cho riêng mình, áp dụng vào giảng dạy thực tế học sinh khá, giỏi lớp 11A1, 10A2, 10L, 10A2 trường THPT Chuyên Lê Hồng Phong đợt ôn thi học kì học sinh ôn thi THPT Quốc gia năm 2016 Bùi Văn Toan – THPT Chuyên Lê Hồng Phong Sáng kiến kinh nghiệm NỘI DUNG SÁNG KIẾN A CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH I PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ Bước 1: Tìm điều kiện cho biến x, y hệ phương trình (nếu có) Bước 2: Biến đổi phương trình hệ dạng phương trình tích số để hệ thức đơn giản chứa x,y Các kỹ thuật thường sử dụng: + Nhóm nhân tử chung + Phân tích tam thức bậc hai thành nhân tử + Nhẩm nghiệm + nhân liên hợp Bước 3: Thay hệ thức đơn giản tìm vào phương trình lại hệ để phương trình ẩn Bước 4: Giải phương trình ẩn (cần ôn tập tốt phương pháp giải phương trình ẩn) Ví dụ Giải hệ phương trình 2 x + y − xy + x − y + =  2 4 x − y + x + = x + y + x + y Bài giải +) Điều kiện: 2 x + y ≥  x + y ≥ (*) Bùi Văn Toan – THPT Chuyên Lê Hồng Phong (1) (2) Sáng kiến kinh nghiệm +) Biến đổi phương trình (1) dạng tích số Xem (1) phương trình bậc hai theo ẩn y, phân tích tam thức bậc hai thành nhân tử Ta  y = x +1 (1) ⇔ y − ( 3x + ) y + x + 3x + = ⇔  y − ( x + 1)   y − ( x + 1)  = ⇔   y = 2x + y = x +1 +) Thế , thay vào (2) ta phương trình ẩn: 3x − x + = 3x + + x + Do phương trình (3) có hai nghiệm dạng (x − x) f ( x) = ⇔ Với x=0 x =1 ( 3) ⇔ ( x − x ) + ( x + − nên ta định hướng phân tích (3) thành ) (   − x)  + + ÷= x + + x + x + + x + 1 4 4 44 4 4 4 43  >0 x = ⇒ y =1 +) Thế y = 2x +1 [thỏa (*)] ; Với ⇔ x =1⇒ y = [thỏa (*)] (4) Do phương trình (4) có hai nghiệm , x = ⇔ x = ⇔ x2 − x = , thay vào (2) ta phương trình ẩn: − 3x = x + + x + x f ( x ) = ) 3x + + x + − 5x + = x2 − x x2 − x + =0 x + + 3x + x + + x + 3( x2 − x ) + (x , (3) ( ) ⇔ 3x + ( x=0 ) ( 4x +1 −1 + nên ta định hướng phân tích (4) thành dạng ) 9x + − = Bùi Văn Toan – THPT Chuyên Lê Hồng Phong Sáng kiến kinh nghiệm ⇔ 3x + Với 4x 9x + =0 4x + + 9x + + ⇔ x = ⇒ y =1   x3+ + ÷= x + + x + + 1 4 4 4 4 4 3 >0 ⇔ x=0 [thỏa (*)] Vậy hệ phương trình có hai nghiệm Ví dụ Giải hệ phương trình ( x; y ) ( 0;1) ( 1;2 ) ( − y ) x − y + x = + ( x − y − 1) y  2 y − 3x + y + = x − y − x − y − (1) (2) Bài giải +) Điều kiện : y ≥  x ≥ y 4 x ≥ y +  (*) +) Biến đổi phương trình (1) dạng tích số Do phân tích theo nhân tử ( 1) ⇔ ( − y ) ( y −1 ) 1− y y =1 thỏa (1) nên định hướng Ta được: ( ) x − y − + ( x − y − 1) − y =  1  ⇔ ( − y ) ( x − y − 1)  + =0 y =1  x − y +1 1+ y ÷ ÷ 1 4 4 4 3 ⇔  y = x −1 >0 Thế y =1 , thay vào (2) ta phương trình ẩn: thay vào (2) ta phương trình ẩn: Bùi Văn Toan – THPT Chuyên Lê Hồng Phong − 3x = ⇔ x = x2 − x − = − x (3) Thế y = x −1 , Sáng kiến kinh nghiệm Điều kiện: 1≤ x ≤ , Khi đó: (3) 2 x − x − ≥ ⇔ 2 ( x − x − 3) = − x   x ≤ −1 ∨ x ≥   1± ⇔  x =     x ≤ −1 ∨ x ≥  x ≤ −1 ∨ x ≥ ⇔  ⇔ 2  x = ± ( x − x − 1) ( x − ) = 4 x − x − 11x + x + =     1+ x = ⇔  x = −  x= So với điều kiện (*) ta nhận 1+ −1 + ⇒y= 2 [thỏa (*)]  + −1 +  ;  ÷  ( x; y ) ( 3;1)  Vậy hệ phương trình có hai nghiệm BÀI TẬP TƯƠNG TỰ Giải hệ phương trình 1) 3)  y = ( x + ) ( − x )  2  y − x − xy + 16 x − y + 16 =  x − x = y − y −  ( x + y ) x − x + = ( − x ) 2)  xy + x − =  2 2 x − x y + x + y − xy − y = ( x + y) +1 Bùi Văn Toan – THPT Chuyên Lê Hồng Phong 4)  x3 + 18 x − y + ( y + 19 ) =   x + x + y − xy = 12 Sáng kiến kinh nghiệm 5)  x − y) (  2x + + y + =  ( x + y ) ( x + y ) + x + y =  6) 2   x + y = x y + xy  3  2 x − y − + y − 14 = x − II PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI Bước 1: Tìm điều kiện cho biến x, y hệ phương trình (nếu có) Bước 2: Tìm hệ thức liên hệ đơn giản x y phương pháp hàm số + Biến đổi phương trình hệ dạng f(u) = f(v) (u, v biểu thức chứa x,y) + Xét hàm đặc trưng f(t), chứng minh f(t) đơn điệu, suy ra: u = v (đây hệ thức đơn giản chứa x, y) Bước 3: Thay hệ thức đơn giản tìm vào phương trình lại hệ để phương trình ẩn Bước 4: Giải phương trình ẩn Với phương trình ẩn, f(x) đồng biến nghịch biến D phương trình f ( x) = có tối đa nghiệm D Ví dụ Giải hệ phương trình 8 x3 − y + y − x − y + =  2 4 x + − x − ( y − 1) ( − y ) + = (1) (2) Bài giải +) Điều kiện +) Khi đó: − +) Do 1 − ≤ x ≤ ,1≤ y ≤ 2 (1) ⇔ x3 − x = y − y + y − ⇔ (2 x)3 − 3(2 x) = ( y − 2)3 − 3( y − 2) 1 ≤x≤ 2 nên −1 ≤ x ≤ 1≤ y ≤ Bùi Văn Toan – THPT Chuyên Lê Hồng Phong nên −1 ≤ y − ≤ (a) Sáng kiến kinh nghiệm f (t ) = t − 3t Xét hàm đặc trưng t ∈ [ −1;1] Suy ( a) ⇔ f ( t) , với t ∈ [ −1;1] nghịch biến đoạn Ta có [ −1;1] f '(t ) = 3t − = 3(t − 1) ≤ , với f (2 x) = f ( y − 2) ⇔ x = y − ⇔ y = x + Do đó: y = 2x + Thay vào phương trình (2) ta phương trình: x − − x + = ⇔ x + = − x ⇔ 16 x + 24 x − = ⇔ x = ± −3 Vậy nghiệm hệ phương trình là:  −3    3−3 ; + − ÷; ( x; y ) =  − ; − −3÷ ÷  ÷ 2     ( x; y ) =  Ví dụ Giải hệ phương trình  x − x y = x − x + y +  3  x − y + ( x − y ) − 15 = x + (1) (2) Bài giải Ta có: ( 1) ⇔ x3 − x y = x − x + y + ⇔ x ( x − y ) + ( x − y ) = x + ⇔ ( x − y ) ( x + 1) = x + ⇔ x − y −1 = Thay y = x −1 (vì x + > 0, ∀x ) vào phương trình (2) ta phương trình x − x + x − = 3 x + ⇔ ( x − 1) + ( x − 1) = ( x + ) + 3 x + Xét hàm đặc trưng f ( t) f (t ) = t + 3t đồng biến ¡ , với t ∈¡ Bùi Văn Toan – THPT Chuyên Lê Hồng Phong Ta có f '(t ) = 3t + > , với ( a) t ∈¡ Suy Sáng kiến kinh nghiệm Do đó: ( a) ⇔ f ( x − 1) = f ( x + 2) ⇔ x − = x + ⇔ x3 − x + x − = ⇔ ( x + 1) = ( x − 1) ⇔ x + = ( x − 1) ⇔ x = 2 +1 −1 x= Với +1 ⇒ y = 3 −1 −1  +1  ;3 ÷ − −1   ( x; y ) =  Vậy nghiệm hệ phương trình Ví dụ Giải hệ phương trình ( x + 1) x + ( y − 3) − y = ( 1)  2 ( 2) 4 x + y + − x = Bài giải +) Điều kiện +) Khi đó: x≤ ,y≤ (1) ⇔ ( x + 1) x = ( − y + 1) − y Xét hàm đặc trưng t∈¡ Suy f ( t) f (t ) = ( t + 1) t = t + t đồng biến ¡ , với t ∈¡ ( a) Ta có Do đó: x ≥ ( a ) ⇔ f (2 x) = f ( − y ) ⇔ x = − y ⇔  − x y =  Thay − 4x2 y= f '(t ) = 3t + > vào phương trình (2) ta phương trình: 5  4x +  − 2x2 ÷ + − 4x − = 2  • Nhận thấy x=0 x= (b) không nghiệm phương trình (b) Bùi Văn Toan – THPT Chuyên Lê Hồng Phong 10 , với Sáng kiến kinh nghiệm 35 36  x 3 x2 +  ÷ + x = y y  y   2 x − x + + x = xy − y +  x + y + = xy   2  x − xy = x y (9 xy − 8) + ( ĐS : x =  y =1 x− y ) Bài 15 Giải hệ phương trình sau :   x =  y =  1  2  x +  x − y ÷− y = 10 y +     x − x ( y + 1) − 3x = y + y + )  ( ĐS : x = 3x − 24 y + (2 y − x )(9 x + 18 y − 11) =    y= x + y −1  + 2 y + = x +   38 ĐS : 2  ( x + y )(2 x − y ) − x + y = − y x =   2  y =1 ( x + y ) + x − y = x − y + 39 ĐS: Bài 16 Giải hệ phương trình sau : 37 40 41  x + y + ( 3x + y − ) y + − ( y + x − ) x + =  2  x + y + xy − x − y + 14 =  ( x + y ) ( − xy )  =  2  ( 1+ x ) (1+ y )  2   x − x + x + y − y + xy − x − x y = −1  x  y 1 + ÷ + 1 + ÷ = 32 y  x   2 x + y + x y + 2x + y + = ĐS: ĐS: x = x = ;  y =  y = 42 Bùi Văn Toan – THPT Chuyên Lê Hồng Phong 51 ĐS:  x =  x =  ;  y = y =   x = −2   y = −2 Sáng kiến kinh nghiệm 43 ( x − y ) ( x + y + 15 + xy ) − ( x + y ) = x − y − 15 y + 94  4 x + y + x + y − xy − = ĐS: x =   y = −3 Bài 17 Giải hệ phương trình sau : 44 45 46  x + x3 − x + y − x − 11 =  y2 − −  x + x = y2 −  ( x − 1) = − y  2 ( x + y ) = xy (1 + x) ĐS: ĐS: x = x = ;  y = y =1 ( x − 1)3 − ( y + 1)3 − 12( x − y ) + 24 =   2 x + y − x + y =  Bài 18 Giải hệ phương trình sau : 47  x − + y =   x + 10 + y − = 5 y − x − x =  2 ( x + y ) − x − y = 48  1±  x = −1  x = x = ;    y = ± 11  y = ± 11   y = ±4 ĐS: ĐS: ĐS: −3    x =  x = ;   y =  y = −3    x = 26  y =  x =  x = 24 ;   y = −1  y = 11 Bài 19 Giải hệ phương trình sau : 49 50  3  y − 3y + 5y − − x + x = 36  2 3 x + y − x − y + =     ĐS: Hệ vô nghiệm x − y +x x +x y = y y + y x −x+ y x =  3x + = x + y − y = ĐS: Bùi Văn Toan – THPT Chuyên Lê Hồng Phong 52 Sáng kiến kinh nghiệm 51   x xy  x2 − 1÷ = y +  xy ( x + y ) + x  ÷ y   y   2x x  y2 − y =  ĐS: x =   y =  Bài 20 Giải hệ phương trình sau : ) ( 52  y + 8x2 = − + 3 y − − x2   4 − 3 ( y − 1) − y − = 12 x + y − − x  ĐS: ( y − 1) = ( x + 1)( x + y ) −  2  x − ( x + y )( x + x) + = ( x + y ) ( x − y + 3)  x = ±1   y = ±2 53 ĐS:  x =  x = −2 ;  y =1 y =1 Bài 21 Giải hệ phương trình sau : 54 55 56 2  x + y + xy + 4( x − y ) = 12  2 3x + 21y + 17 xy + 10 x + 16 y = 11   x = 4−5 x = 4+5   x = x =  11  11 ; ; ;   y = −1  y = −3  y = − − y = −   11 11 ĐS:  x + y + x + + ( x + 1)( y + 1) + = y +   y +1  x + + y +1 −1 = x + + x +1  ( x + 1)3 + 5( y + 1) = 6( y + 1)3  3 ( x + 1) + ( xy + 3)( x + y ) + xy + = 3( y + 1) ĐS: Hệvô nghiệm ĐS:  x =  x = −2 ;   y =  y = −2 Bài 22 Giải hệ phương trình sau : 57 (2 x + y )(4 x − y + 1) + x y − xy − x3 + y = x   x − y + x + y = xy − x y 4( xy − 1) + + y ( y − x + 1) = ( y + 2)  3 2  y ( x − y ) ( x − y + 3) + 3xy − y + = ( xy − 2) + ( y + 2) 58 ĐS: x = x = ;   y =  y = −1 Bài 23 Giải hệ phương trình sau : Bùi Văn Toan – THPT Chuyên Lê Hồng Phong 53 ĐS:Hệvô nghiệm Sáng kiến kinh nghiệm  x − y − x y + xy − xy − x + y =   x − y = x − x + y + x = x = ;   y = −1  y = 2  10 x + y − xy − 38 x − y + 41 =  3   x + xy + y − y + x − = x =  y =1 ĐS:  17 −  − 17 − x = x =   4 ;  y − x + xy =   y = 17 +  y = − 17  3   2 4 x + y + 24 x − y + 45 x + 20 = 60 ĐS: 17 17  2 x − y = x − y  −3 x − x + y =  61 ĐS: Hệvô nghiệm Bài 24 Giải hệ phương trình sau : 59 62 63 64  x2 y2 3( x4 + y ) + 2x y   y2 + x2 =  ( x2 + y )  2   x y + y + 4x = ĐS: ĐS:  x3 − y + 3x + x − y + =   1  y + −x + y + −x = + 2  ĐS: x = x = ;  y =   y = −1   x = −  y =  Bài 25 Giải hệ phương trình sau : 65 66  ( x + 1) x + ( y − 3) − y =  2  ( x + 3) x + xy − − x + 11 =  x − y + x + y =  2  y − + x − y − x + =  x − y − x + y + y =  2  x − y − x + y + = 67 ĐS: x =  y =1 2 ĐS: ĐS:  x =  x = − ;  y =   y = − x = x = ;   y = −1  y = Bài 26 Giải hệ phương trình sau : Bùi Văn Toan – THPT Chuyên Lê Hồng Phong 54 Sáng kiến kinh nghiệm 68 69 ( y + 1) − x + =   18 ( x + 1) − ( y + 1) = ( y + 1) ( y + y − x ) −20 y − y + 3xy + x − y =  2  x + y − y = ĐS : ĐS: Hệvô nghiệm −3   x = x =  ;     y =  y = −1       x 1 + ÷=   x− y   y 1 −  = 12   x − y ÷   ĐS: Hệvô nghiệm Bài 27 Giải hệ phương trình sau : 70 ( 71 72 )  x y x y + + x − y x( y + 2) + − y x + = − x ( ) ( )    x − x − y + y = ĐS: x =  y =1 156 208  2 x xy − y xy = 18 x + 32 y + 52 xy − 5  7 x + y =   1      −9 −8   ; − 1; − ; ; ÷;  ÷ ÷ ÷;    193 193   193 193      ( x; y ) ∈ 1; ĐS: 3 x + x − = − y − y −  3 − x − y + − x − x = x =   y = −1 ĐS: Bài 28 Giải hệ phương trình sau : 73 74 75 ( x + y + 1)( x + y + + xy ) = 12 xy  2  y x − x − + x + y − y + xy − = 7 x − 15 x y + xy − y = 14 y + xy + 11y −  2 3 x + xy − 11 y − x + = Bùi Văn Toan – THPT Chuyên Lê Hồng Phong 55 ĐS: ĐS: x =  y =1 −13  x=   x = −1  ;   y = −1  y = −8  Sáng kiến kinh nghiệm 76  x + 2( y − 1)( x − y ) + xy = y   x(2 x + y − 5) + y ( y − 3) + = ĐS:  x =  x =  ;  y =1 y =  Bài 29 Giải hệ phương trình sau : 77 78 −3 y 3 2 2  x y − ( x y + y ) y − x y + 3x y = x   x − ( x + x ) y − x = −1  2 x + y = 9  x − y = y−6x )( y + xy + x ) ( x + y + xy + 59) ĐS:  x + 3x − 36 x + xy + 12 x y = − x + xy − xy + 24 xy − 115 x   x + 2x2 3x − x = x − xy +  y y  ( 79 ( 2 ) Bài 30 Giải hệ phương trình sau :  x2 − y y − =2 ) ( x −1 + y −1   2 2 ( x + y ) x − + = x − 1 + ( x − 1)( y − 1) ( 80 ( 82 )( ) ) 3 x − xy + y − x − y − x + y =    x − y y +6 x −2 y =0  ( 81 ĐS: Hệ vô nghiệm   x =  y =  ) ( ) ( x − 5) x − y + x + = y    x + y = ( ) x2 − y + ĐS: ĐS: ĐS: ĐS:  x = 10  x = − 10 ;   y =  y = x =  y =  x =  x = − ;  y =   y = Bài 31 Giải hệ phương trình sau :  x3 + y + x y − x y + xy =   3 x x − y y = ( 83 ) Bùi Văn Toan – THPT Chuyên Lê Hồng Phong 56 ĐS: x =  y = x =  y = Sáng kiến kinh nghiệm 84 2 y ( x + y ) = x   2  x ( x − y ) = y ĐS:  x =  x = −2  x = ; ;   y =  y = −1  y = Bài 32 Giải hệ phương trình sau : 85 ( x + y + ) = xy + 12 y +  2 x ( x − 1) ( x + ) + x + = y ( x − ) ( x + 1) + y − y ( x + y ) ( x + y − xy + 3) = 24 y − 12 y +   ( y + 1) ( x − y + 3) = x + 3 y − 2 ( 86 ) ĐS:   x y − + y x − = 24( x + y + 4)  2  11x − xy + y = 12 x − y 87 ĐS: Bài 33 Giải hệ phương trình sau : 88 89 ( x + ) + ( y − 1) = xy + 13    x − xy − y 2 + x+ y =  x− y x − y2   ( 90 ĐS: )  x2 + y2 − y + y − x =   x− y ( x3 − y ) x − y +1 x − = +  y x2 + y2 x2 + y2  ĐS: ĐS: Bài 34 Giải hệ phương trình sau : 91 4 x + y − x + y − =  3 2  x − y − x + y + 10 x − 17 y + 20 =  x = −1  x = ;   y =  y = −1 x =  y =1 x =  y = x =  y =1  x − y + 4( x + y ) − 3( x + 1) =  2 ( x + 1) + ( y − 1) = ĐS:  x = −   y = x =  y =1 ĐS: Hệvô nghiệm 4 ( x − y ) ( x + y ) − xy  + 24 x − 47 y + 28 − 272 y =     2 2 x + y − y + x − = 92 Bùi Văn Toan – THPT Chuyên Lê Hồng Phong 57 ĐS: Hệvô nghiệm Sáng kiến kinh nghiệm   x = x =  ;     y = −1  y = −7   ( x + y ) (2 x − 2) + x + y =  2 3x + y − x + y + = ĐS: Bài 35 Giải hệ phương trình sau : 93 94 95  x2 ( x − y ) = ( x − y )2 + x − y  y    x − y + xy = y ĐS: x =  y =1 2 2 8 x + 20 x + 18 x + x y + 16 xy = y + y + y − xy  3 5 y + 16 x = ĐS:  x =   y = −1  2  x − 3x + y + y =   x + y = x + x + y − 20  ĐS: Hệvô nghiệm Bài 36 Giải hệ phương trình sau : 96  x5 + x y − x y − x3 y + y =  4 x − y − x y = ĐS : Bài 37 Giải hệ phương trình sau : 97 x =  y =  x + 3xy − 3( x − y ) =  2  x + y( x + y) − 5x = 98 99 ĐS : x = x =  ;  y = y =  1  + = x+ y+   x + 2013 y − 2010 2  x + y + 2012( x − y + 2012) + xy = ( x + y )( x − y + 4024)    ( x; y ) ∈ ( −2012;2012 ) ,   11 − 2012; 2012 −  ĐS : Bài 38 Giải hệ phương trình sau : Bùi Văn Toan – THPT Chuyên Lê Hồng Phong 58 11   11   ÷,  − 11 − 2012; 2012 + ÷     Sáng kiến kinh nghiệm 100 3   x + x − y + y + 3(2 x − y ) = −9  2  x + 1− x + − y + 6y − = ĐS :  2x 367 x − y3 + + = y2 − x2 + y  18   y + x + xy − x = y − 14   x =  x = −1 ;  y = y = 101 102 103   47 47   47 47   ; , ; − ÷ ÷ 10 10   10 10     ĐS : 2   y + xy − − xy − ( x − y )( x + y ) = ( x + y ) − y  3   x + x y + xy + y = Bài 39 Giải hệ phương trình sau : 105 106 100  3 2  x − y + ( x + y ) + x − xy + 13 x = 3  2  x + y + xy − x − y + =  ĐS: Hệvô nghiệm   x =  y =  ĐS:  (11y + x − 9) − 14 xy − x = (2 x y − y y )(2 + x )   11 3x + y+x = 2 x+2  x =  y = ĐS:  x3 2 y + xy xy − + x + y − xy − x − y = y − + xy − y − y − xy ( ) ( )  2   x − 3x + = y − y + xy  ( 107 7 ÷ 3  ĐS : −1  x =  87  3 = y − x + 16 x + y 4 x − y −    y = −3 2 x + y − x + y =  ĐS :   x + 3xy − y + 4( x + xy − y ) = 3x − xy − y  2  3x + 10 xy + 34 y = 47 ( x; y ) = ( 1;1) , ( −1; −1) ,  −6 104 ( x ; y ) =  2; )( ) ĐS: Hệvô nghiệm Bài 40 Giải hệ phương trình sau: Bùi Văn Toan – THPT Chuyên Lê Hồng Phong 59 ( ) Sáng kiến kinh nghiệm 108 109 110 4( x + 1)( x + y + 5) + (4 y + 3)( y + 2) + =  4( x + 1) − ( y + 1) + ( x + 1)( x + y + 5) + 2(3 y + y + 4) − 6( x + 2) = ĐS:Hệ vô nghiệm  x + xy + y =   xy + (1 − x) y + x + y = ĐS: 3 2  ( x − y )( x + y ) + y = x (3 x − 4) − 28 y + 32  x4 + + y + =   Bài 41:Giải phương trình sau:  2 x + y + = y   3 x + y + =  +   ÷   y x ĐS: 111 114 115 116 x =  y =1 ĐS:  x + y + 3xy ( x + y + 2) = −2 y + 51x + 59 y − 114  2  x + y + x − y = 3 113 ĐS:  ±2  x =  y =   x = −1 ± x =  ;  −2 ± y = y =   x − y = x + y   xy( y − x) + x = ( y + 1) 112 x = x =  ;  −1 y = y =  ( x − y )(6 x + y + 1) = xy +  ( x + y )(6 y − x + 1) + xy + 11 = ĐS: −3  x =  x =  ;   y =  y = −2  ĐS: ( x + y + 3) xy + y = (8 y + x + 9) y   − x + x − 24 y + 417 = ( y + 3) y − + y + 17 3x + xy + x + y − 91 =  2 y + xy + x + y − 61 = ĐS: ĐS: x =  y = x =  y =1 −68  x =  x =  13  x = 61 ; ;  y = − 41   y = −92 y =  13 Bài 42 : Giải phương trình sau: Bùi Văn Toan – THPT Chuyên Lê Hồng Phong 60 Sáng kiến kinh nghiệm  x+ y +3 y −7 x =    y − − y xy = (2 x − 1) − x xy  ( 117 118 119 )  + =  y +1 + xy  x +1  x + y + − xy =  ( )( ) ĐS:  x + x2 + y + y + =    − x2 + − y =  x = x = ;  y =  y = ĐS:  x=  x =  ;  y =1 y =  ĐS:  x =  x = −1 ;   y = −1  y = Bài 43: Giải hệ phương trình sau: (2 x + y ) + ( x + y )3 =   2 (2 x + y ) + ( x + y ) + 22 x + 45 y = x + y +  120 ĐS:Hệ vô nghiệm  x ( x − y ) (1 − y ) − ( x + y ) + y (2 x + 1) ( x + y ) + =3 x− y    4x 3 = + +  y y xy x  121 122 123 124 125 2 2 2 2   x − xy + y = 3(5 y − xy ) + x − xy + 10 y  2  (3 x + y ) + (5 x + y ) − 27 x = 509 x =  y =1 ĐS:  5 x ( x − 1)(10 x − 15 y − 15 xy + 1) + 27 x − y − =  x =   1  + = y =  50 x − 35 x + 2(2 x − y ) + x − y   15 ĐS: (4 x − 11) x − + (3 − y ) y − = x =   2 x + y − + y − x + = y + y − 10 y = ĐS: 2 x   3x  x  x x =  ( x − 4)  + ( x + 4)  +  + ÷ = x =  y y y y      ;  12 y ≠ y =    x − 15 xy = 15  ĐS: Bùi Văn Toan – THPT Chuyên Lê Hồng Phong 61 Sáng kiến kinh nghiệm 126   x+ + x+ y −3 = x   2  x (2 x + xy + 2) + x  y − 27  = −1  ÷  x + xy +    x − y = 189  4 x( x − 4) + y ( y + 5) = 127 ĐS: x =  y = ĐS: x = x = ;   y = −4  y = −5 (2 x − y ) + (4 x − y + 5) x + y = 11x + y +    x − y − + (2 x − y ) x + y + = 2 128 129 130 131 ĐS: xy  2 x + y + =1  x + y  4 x − 12 y + 26 + x + y = 14 x + 12 y + x + y   3− x + y =   x2 − y + + 4x2 y − x2 − y = ) ( ĐS:  3x + + − y =     ( x − y ) − y =0    x − 2y − y ÷ ÷     y + y − x = x + x +   y ( x − 11) + 62 = x (2 x − 1) 3   x − y + xy − y =   4x + 5x − y2 + =  y y ĐS: −2   x = x =   ;   y = −1  y =   ĐS: Hệ vô nghiệm  x =   y = ± ĐS: Bài 44: Giải hệ phương trình sau: C HIỆU QUẢ CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 133 I KẾT QUẢ Bùi Văn Toan – THPT Chuyên Lê Hồng Phong 62 ĐS: −3   x =  y =  x =   3− y =  132 x =  y =1 Sáng kiến kinh nghiệm Qua trình giảng dạy thấy việc phân loại dạng toán học sinh nắm bài, hiểu sâu kiến thức Từ học sinh rèn kĩ giải toán Số học sinh đam mê, yêu thích môn toán ngày nhiều Đối với kiểm tra em trình bày chặt chẽ, lôgic với kết sau: Năm học 2015 - 2016 Lớp Sĩ số 11A1 Số học sinh đạt điểm Dưới 5-6 10 40 16 11 11U 30 18 10L 34 10 18 10A2 40 16 II BÀI HỌC TỔNG KẾT Qua trình vận dụng đề tài giảng dạy, nhận thấy giáo viên hướng dẫn học sinh giải toán cách phân loại dạng, đặt vấn đề để học sinh tự xây dựng hệ thống tập, trao đổi với học sinh nâng cao khả tư tính sáng tạo giải toán Đề tài nêu phương pháp chung cho dạng minh họa toán cụ thể, đồng thời đưa cho dạng số tập với mức độ khác III ĐIỀU KIỆN ĐỂ ÁP DỤNG ĐỀ TÀI SKKN áp dụng cho học sinh đại trà, khá, giỏi; học sinh trung bình nắm phương pháp giải để vận dụng giải toán đơn giản Học sinh khá, giỏi áp dụng vào toán phức tạp từ nâng cao khả tư tính sáng tạo học sinh Mỗi toán kỳ thi tuyển sinh Đại học, THPT Quốc gia tới kiến thức quan trọng, Để giúp học sinh học tập, thầy cô giáo cần giúp em học sinh có nhìn hệ thống, tổng quan vấn đề đồng thời hướng em đến suy luận lôgic Từ việc giải toán nhỏ, dễ đến toán khó học sinh có nhìn tự tin lạc quan hơn, yêu mến hứng thú với môn học Kết rèn luyện, học tập em chắn đạt thành tích cao IV KHẢ NĂNG ỨNG DỤNG, TRIỂN KHAI Bùi Văn Toan – THPT Chuyên Lê Hồng Phong 63 Sáng kiến kinh nghiệm Đề tài có khả ứng dụng, triển khai rộng rãi trường Đề tài đưa vào buổi sinh hoạt Tổ chuyên môn, giảng dạy ôn thi tốt nghiệp THPT, thi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng trước kì thi THPT Quốc gia tới, đặc biệt việc ôn thi chọn học sinh giỏi cấp V HƯỚNG TIẾP TỤC NGHIÊN CỨU, MỞ RỘNG ĐỀ TÀI, KIẾN NGHỊ Để nâng cao chất lượng học tập học sinh, tiếp tục vận dụng mở rộng đề tài cho toán tổng hợp đáp ứng nhu cầu học sinh giỏi Chuyên đề hoàn thành với tổng hợp, tham khảo tài liệu đúc rút, tổng kết kinh nghiệm từ thực tế giảng dạy, chuyên đề đạt mục tiêu đề Nhưng để chuyên đề có tính ứng dụng cao sát thực tiễn kính mong thầy cô, đặc biệt thầy cô tổ Toán – tin, trường THPT Chuyên Lê Hồng Phong, tiếp tục đọc kỹ thảo, thảo luận để đóng góp, bổ sung cho chuyên đề Hi vọng chuyên đề coi tài liệu để đồng nghiệp tham khảo nhằm rèn luyện cho học sinh tư linh hoạt tiếp cận giải toán liên quan tới phương trình, hệ phương trình Rất mong nhận đóng góp ý kiến bạn đồng nghiệp để đề tài phong phú có hiệu VI Cam kết không chép vi phạm quyền: Tôi xin cam kết kết sáng kiến kết nghiên cứu qua trình giảng dạy bồi dưỡng học sinh giỏi cấp tỉnh Tôi không chép vi phạm quyền tác giả Đánh giá, xếp loại Tổ chuyên môn Tác giả sáng kiến Bùi Văn Toan CƠ QUAN ĐƠN VỊ ÁP DỤNG SÁNG KIẾN (xác nhận, đánh giá, xếp loại) Bùi Văn Toan – THPT Chuyên Lê Hồng Phong 64 Sáng kiến kinh nghiệm SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO (xác nhận, đánh giá, xếp loại) TÀI LIỆU THAM KHẢO Đại số Bài tập Đại số lớp 10 ( Nâng cao Cơ bản) Nguyễn Tài Chung, sáng tạo giải phương trình, hệ phương trình, bất phương trình Tuyển tập 30 năm tạp chí Toán học Tuổi trẻ Tuyển tập năm Tạp chí Toán học Tuổi trẻ ‘ Đề thi đáp án thi tuyển sinh vào Đại học môn Toán khối A, B, D từ năm 2002 đến năm 2012 Đề thi thử vào Đại học môn Toán khối A, B, D năm 2013 đến 2016 đề thi thử THPT Quốc gia trường nước Đề thi HSG môn Toán quốc gia, tỉnh nước Tài liệu tham khảo internet : diendantoanhoc.net, baigiangtoanhoc.net, mathscope.com, vnmath.com, hoctoancapba.com Bùi Văn Toan – THPT Chuyên Lê Hồng Phong 65 ... trí tò mò học sinh. Vì vậy, xin lựa chọn đề tài : Rèn luyện tư cho học sinh thông qua việc sáng tác số phương trình, hệ phương trình từ đẳng thức điển hình Chương trình giáo dục phổ thông phải... nét Bồi dưỡng cho học sinh phương pháp, kỹ giải toán, khả sáng tạo tự sáng tác phương trình, hệ phương trình Qua học sinh nâng cao khả tư duy, sáng tạo Nâng cao khả tự học, tự bồi dưỡng khả giải... phương trình hệ phương trình học sinh thường không mạnh dạn, tự tin, thường lúng túng phương pháp tính toán, đặc biệt không nắm tính chất hình học phẳng cấp học THCS Phương trình, hệ phương trình