SKKN rèn luyện tư duy cho học sinh thông qua giải bài tập về véc tơ trong hình học 10

MỤC LỤC MỞ ĐẦU…………………………………………………………… 1.1 Lý chọn đề tài……………………………………………… 1.2 Nhiệm vụ đề tài……………………………………………… 1.3 Đối tượng nghiên cứu…………………………………………… 1.4 Phạm vi nghiên cứu……………………………………………… NỘI DUNG………………………………………………………… 2.1 Cơ sở lý luận…………………………………………………… 2.2 Thực trạng……………………………………………………… 2.3 Áp dụng thực tế giảng dạy……………………………… 2.3.1 Áp dụng quy trình bước dạyhọc………………… 2.3.2 Các kiến thức tập bản…………………………… 2.3.3 Hệ thống tập…………………………………………… 2.3.4 Khó khăn sai lầm học sinh giải toán véc tơ 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm…………………………… KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ…………………………………… TÀI LIỆU THAM KHẢO…………………………………………… 2 3 4 5 15 17 18 19 1 MỞ ĐẦU 1.1 Lý chọn đề tài Tình hình giáo dục cho thấy nhiều năm qua Tốn học mơn học khác góp phần tích cực vào việc nâng cao chất lượng giáo dục toàn diện trường TTGDTX.Tuy nhiên số trường, với mơn tốn học chất lượng nắm vững kiến thức học sinh chưa cao, hiệu dạy học chưa đáp ứng yêu cầu giáo dục Một số thầy sử dụng phương pháp dạy học chủ đạo phương pháp truyền thống , điều khiến học sinh trở thành nhân vật thụ động tiếp thu kiến thức Vì việc phát huy tính tích cực ,tự lực học sinh ,việc rèn luyện bồi dưỡng lực nhận thức ,giải vấn đề ,năng lực tư khả tư em chưa ý mức Việc giải tập toán có tác dụng lớn việc gây hứng thú học tập cho học sinh nhằm phát triển trí tuệ góp phần giáo dục, rèn luyện người học sinh nhiều mặt Thực tiễn dạy học cho thấy: Việc sử dụng phương pháp véctơ nghiên cứu hình học, học sinh có thêm cơng cụ để diễn đạt, suy luận để giải toán, tránh ảnh hưởng khơng có lợi trực giác, từ cho thấy vấn đề xem xét giải quan điểm khoa học, với cách tiếp cận vấn đề khác đưa phương pháp khác đắn Thế việc sử dụng không thành thạo phương pháp trên, cụ thể lúng túng giải sai tập làm học sinh gặp nhiều khó khăn, hạn chế tới kết học tập phạm vi chuyên đề sử dụng “phương pháp véc tơ” để giải tốn hình học Từ vấn đề nêu trên, với mong muốn làm tốt nhiệm vụ người giáo viên giai đoạn đất nước, mong muốn góp phần nhỏ bé vào nghiệp giáo dục nhà trường, góp phần nâng cao chất lượng giáo dục, đổi phương pháp dạy học để phát triển tư cho học sinh, giúp em tự lực tìm tri thức, tạo tiền đề cho việc phát triển tính tích cực, khả tư em cấp học cao đời sống sau này, mạnh dạn chọn đề tài nghiên cứu “Rèn luyện tư cho học sinh thông qua việc giải tập VÉC TƠ hình học 10” 1.2 Nhiệm vụ đề tài 1.2.1 Nghiên cứu phương pháp giảng dạy giải tập toán theo hướng hình thành rèn luyện tư cho học sinh 1.2.2.Dựa theo chuẩn kiến thức kỹ hình học 10 Bộ GD-ĐT xuất phát từ thực tiễn giảng dạy phương pháp dạy học tập hình học 10 qua phương pháp dùng véc tơ, nhằm rèn luyện tư cho học sinh 1.3 Đối tượng nghiên cứu 1.3.1 Phương pháp giải tập hình học phẳng phương pháp véc tơ 1.3.2 Các tập hình học phẳng phương pháp véc tơ hình học 10 1.4 Phương pháp nghiên cứu 1.4.1.Phương pháp nghiên cứu xây dựng sở lý thuyết 1.4.2.Phương pháp điều tra khảo sát thực tế NỘI DUNG 2.1 Cơ sở lý luận Theo phương pháp dạy học toán tập tốn đặt thời điểm trình dạy học chứa đựng cách tường minh hay ẩn tàng 4chức khác hướng tới việc thực mục đích dạy học: - Chức dạy học - Chức giáo dục - Chức phát triển - Chức kiểm tra Hiệu việc dạy toán phần lớn phụ thuộc vào việc khai thác thực cách đầy đủ chức có tác giả viết sách giáo khoa có dụng ý đưa vào chương trình Người giáo viên phải có nhiệm vụ khám phá thực dụng ý tác giả lực sư phạm Trong tốn , có nhiều tốn chưa có khơng có thuật giải khơng có thuật giải tổng quát để giải tất toán Chúng ta thơng qua việc dạy học giải số toán cụ thể mà truyền thụ cho học sinh cách thức, kinh nghiệm việc suy nghĩ, tìm tòi lời giải cho toán Để làm tăng hứng thú học tập học sinh, phát triển tư duy, thầy giáo phải hình thành cho học sinh quy trình chung, phương pháp tìm lời giải cho tốn Theo G.Pơlya, phương pháp tìm lời giải cho tốn thường tiến hành theo bước sau: Bước 1: Tìm hiểu nội dung toán Để giải toán, trước hết phải hiểu tốn có hứng thú với việc giải tốn Vì người giáo viên phải ý gợi động cơ, kích thích trí tò mò, hứng thú cho học sinh giúp em tìm hiểu tốn cách tổng qt Tiếp theo phải phân tích tốn cho: - Đâu ẩn số, đâu kiện -Vẽ hình, sử dụng kí hiệu thích hợp (nếu cần) -Phân biệt thành phần khác điều kiện, diễn đạt điều kiện dạng cơng thức tốn học khơng? Bước 2: Xây dựng chương trình giải Phải phân tích tốn cho thành nhiều toán đơn giản Phải huy động kiến thức học (định nghĩa, định lí, quy tắc ) có liên quan đến điều kiện, quan hệ đề tốn lựa chọn số kiến thức gần gũi với kiện tốn mò mẫm, dự đốn kết Xét vài khả xảy ra, kể trường hợp đặc biệt Sau đó, xét tốn tương tự khái qt hóa tốn cho Bước 3:Thực chương trình giải Bước 4: Kiểm tra nghiên cứu lời giải - Kiểm tra lại kết quả, xem lại lập luận trình giải - Nhìn lại tồn bước giải, rút tri thức phương pháp để giải loại toán - Tìm thêm cách giải khác (nếu có thể) - Khai thác kết có toán - Đề xuất toán tương tự, tốn đặc biệt khái qt hóa tốn Cơng việc kiểm tra lời giải tốn có ý nghĩa quan trọng Trong nhiều trường hợp, kết thúc toán lại mở đầu cho tốn khác Vì "Cần phải luyện tập cho học sinh có thói quen kiểm tra lại tốn, xét xem có sai lầm hay thiếu sót khơng, tốn có đặt điều kiện tốn đòi hỏi phải biện luận Việc kiểm tra lại lời giải yêu cầu học sinh thực cách thường xuyên” 2.Thực trạng: Trong thực tế dạy học cho thấy, học sinh thường gặp khó khăn vận dụng kiến thức vào giải tập cụ thể do: học sinh không nắm vững kiến thức khái niệm, định lí, qui tắc, khơng trở thành sở kỹ Muốn hình thành kỹ năng, đặc biệt kỹ giải toán cho học sinh, người thầy giáo cần phải tổ chức cho học sinh học toán hoạt động hoạt động tự giác, tích cực, sáng tạo để học sinh nắm vững tri thức, có kỹ sẵn sàng vận dụng vào thực tiễn Trong chương trình hình học lớp 10 học sinh học véctơ, phép tốn véctơ, tính chất tích vơ hướng ứng dụng chúng, đặc biệt hệ thức quan trọng tam giác: Định lý Côsin, định lý Sin,công thức trung tuyến, cơng thức tính diện tích tam giác học sinh phải biết tận dụng kiến thức nói để giải số tốn hình học PPVTcó nhiều tiện lợi việc giải tập hình học.Tuy vậy, sử dụng phương pháp học sinh gặp phải số khó khăn khơng tránh khỏi sai lầm giải tốn hình học 10 Khó khăn thứ nhất: Lần học sinhlàm quen với đối tượng véctơ, phép toán véctơ.Các phép toán véctơ lại có số tính chất tương tự số mà học sinh học trước đó, học sinh chưa hiểu rõ chất khái niệm phép toán nên dễ ngộ nhận, mắc sai lầm sử dụng PPVT Khó khăn thứ hai: Khi sử dụng PPVT thoát ly khỏi hình ảnh trực quan,hình vẽ nên khó tưởng tượng, hiểu tốn cách hình thức, khơng hiểu nghĩa hình học tốn.Vì học sinh có thói quen giải tốn hình học phải vẽ hình nên sử dụng PPVT để giải số tập khơng sử dụng hình vẽ, học sinh gặp nhiều khó khăn Học sinh thường gặp khó khăn chuyển tốn từ ngơn ngữ hình học thơng thường sang “ngơn ngữ véctơ” ngược lại Vì cần rèn luyện cho học sinh kỹ chuyển tương đương quan hệ hình học từ cách nói thơng thường sang dạng véctơ để vận dụng cơng cụ véctơ giải tốn 2.3 Áp dụng thực tế dạy học Ở lớp 10 học sinh học véc tơ, phép toán véc tơ sau trục, hệ trục toạ độ, toạ độ điểm, toạ độ véc tơ vài ứng dụng đơn giản phương pháp toạ độ Tuy học sinh học hai phương pháp: Véc tơ toạ độ phương pháp chủ yếu phương pháp véc tơ Bởi vì, hệ thức lượng tam giác đường tròn xây dựng nhờ véc tơ phép toán, đặc biệt tích vơ hướng hai véc tơ định nghĩa theo đẳng thức véc tơ Để giúp học sinh sử dụng thành thạo PPVT để giải toán, học sinh lớp 10 giảng dạy GV cần lưu ý vấn đề sau: 2.3.1 Áp dụng quy trình bước dạy giải tập tốn : GV cần hình thành cho học sinh bước giải tốn hình học phương pháp véc tơ theo bước sau: Trước hết giáo viên cần rèn luyện cho học sinh nắm vững quy trình bốn bước giải tốn PPVT Quy trình bốn bước giải tốn hình học PPVT Bước 1: Chọn véc tơ sở Bước 2: Dùng phương pháp phân tích véc tơ phép tốn véc tơ để biểu diễn, chuyển ngơn ngữ từ hình học thông thường sang ngôn ngữ véc tơ Bước 3: Giải toán véc tơ Bước 4: Kết luận, đánh giá kết Giáo viên cần tận dụng hội để rèn luyện cho học sinh khả thực bốn bước giải tốn hình học PPVT thơng qua tập, minh hoạ quy trình bốn bước ví dụ sau: Bài tốn: Cho góc xOy hai điểm di chuyển hai cạnh góc M thuộc Ox, N thuộc Oy, ln thoả mãn OM = 2ON Chứng minh trung điểm I MN thuộc đường thẳng cố định Hướng dẫn giải: Bước 1: Lấy điểm A ∈ Ox, B ∈Oy cho OA = OB, chọn hai véc tơ uuu r uuur OA, OB làm hai véc tơ sở Mọi véc tơ toán phân tích (hoặc biểu thị được) qua hai véc tơ uuur uuur uuuu r uuu r Bước 2: Giả thiết cho OM = 2ON, nên ON = kOB , OM = 2kOA Điều phải chứng minh I thuộc đường thẳng cố định (dễ thấy đường thẳng uur r r x qua O) tương đương OI = pv , với v véc tơ cố định A' Bước 3: Do I trung điểm MN, nên ta có A uur uuuu r uuur uuu r uuuu r OI = (OM + ON ) = k (2OA + OB) 2 Đặt I O uuu r uuu r r k = p, 2OA + OB = v , ta điều phải chứng minh B N y Bước 4: Nhận xét: uuur uuu r r uuur uuur ' Nếu lấy OA = 2OA v = OA' + OB ⇒ đường thẳng cố định qua trung điểm A’B * Có thể tổng quát hoá toán theo hai cách: - Thay cho giả thiết OM = 2ON OM = m.ON (m số) - Thay cho kết luận: Trung điểm I MN thuộc đường thẳng cố định IM p kết luận: Mỗi điểm chia MN theo tỷ số IN = q (p, q số dương) thuộc đường thẳng cố định Trong trình hướng dẫn học sinh giải tốn PPVT, giáo viên cần ý đến tri thức phương pháp: Ở bước 1: Nên chọn véc tơ sở cho véc tơ tốn phân tích theo chúng thuận lợi Qua toán học sinh thấy việc chọn véc tơ sở Ở bước 2: Cần rèn luyện cho học sinh chuyển đổi ngôn ngữ cách thành thạo Ở bước 3: Cần nắm vững phép toán véc tơ Đồng thời, thông qua tập cụ thể, giáo viên cần làm cho học sinh hiểu rõ tính ưu việt PPVT Đặc biệt tập tìm tập hợp điểm, tập chứng minh điểm thẳng hàng, chứng minh hai đường thẳng song song, hai đường thẳng vng góc, dạng tốn có nhiều hội để làm rõ vấn đề 2.3.2.Các kiến thức tập Trước giải tập theo hệ thống GV cần nhấn mạnh cho học sinh kiến thức tập sau (vì tri thức phương pháp để giải tập sau này) A - Điều kiện cần đủ để hai véc tơ khơng phương r r Bài tốn 1: Chứng minh hai véc tơ a rb phương có r r cặp số m, n không đồng thời cho ma + mb = Suy điều kiện cần r r đủr để rvà b phương có cặp số m, n khơng thời cho ma + mb = B-Tâm tỉ cự hệ điểm {A1, A2, .An} ứng với hệ số { α1 , α , α n } (n ≥ 2) Bài toán 2: Cho hai điểm A, B phân biệt hai số α , β không đồng thời không Chứng minh rằng: uuur uuur r a) Nếu α + β = khơng tồn điểm M cho α MA + β MB = uuur uuur r b) Nếu α + β ≠ tồn điểm M cho α MA + β MB = Bài toán 3:r Chouuhai điểm A, B hai số thực α , β Chứng minh: Nếu α + β = ur uuur véc tơ v = α MA + β MB không đổi, không phụ thuộc vào vị trí điểm M Bằng phương pháp quy nạp ta chứng minh kết tổng quát: - Cho n điểm A1, A2, An n số thực α1 , α , α n cho α1 + α + + α n ≠ Khi tồn điểm I cho: uur uuu r uuu r r α1 IA1 + α IA2 + + α n IAn = (1) Điểm I gọi tâm tỉ cự hệ điểm {A1, A2, .An} ứng với hệ số { α1 , α , α n } (n ≥ 2) Từuu(1), vớiuuđiểm M tùy ý ta có: uu r uur uuuur uuu r α1 MA1 + α MA2 + + α n MAn = (α1 + α + + α n ) MI Công thức thường xuyên sử dụng tốn có liên quan tới tâm tỉ cự Ta gọi cơng thức thu gọn Với n = α1 = α = α = , ta thấy tính chất trọng tâm tam giác trình bày Bài tốn 4: Cho tam giác ABC số α , β , γ không đồng thời Chứng minh rằng: uu r uur uur r a Nếu α + β + γ ≠ tồn điểm I cho α IA + β IB + γ IC = uuur uuur uuuu r r b Nếu α + β + γ = không tồn điểm M cho α MA + β MB + γ MC = C-Tính chất trung điểm uuur uuur r Bài toán 5: M trung điểm đoạn thẳng AB MA + MB = uuur uuur uuu r Hoặc với điểm M ta có MA + MB = 2MI D-Tính chất trọng tâm tam giác Bài toán 6: Cho tam giác ABC CMR điểm G làutrọng tâm tam giác uuu r uuur uuur r uu r uuur uuur uuuu r GA + GB + GC = với điểm M ta có GA + GB + GC = 3MG E-Điều kiện cần đủ để ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng Bài toán 7: Ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng thoả mãn điều kiện sau: uuur uuur Tồn số k khác cho AB = k AC uu r uur uur Cho điểm I số t cho IA = t IB + (1 − t ) IC điều kiện cần đủ để ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng F-Công thức điểm chia Bài toán 8: Cho đoạn uthẳng AB, số thực k khác Ta nói điểm M chia uur uuur đoạn AB theo tỉ số k MA = k MB CMR với điểm C ta có: uuuu r r r uuu k uuu CM = CA − CB (*) Ta gọi (*) công thức điểm chia 1− k 1− k G-Cơng thức hình chiếu uuu r uuur Cho hai véc tơ OA, OB Gọi B’ hình chiếu B đường thẳng OA uuu r uuu r uuu r uuur đó: OA.OB = OA.OB ' uuur uuu r Véc tơ OB ' gọi hình chiếu OA đường thẳng OA; Công thức uuu r uuu r uuu r uuur OA.OB = OA.OB ' gọi cơng thức hình chiếu 2.3.3 Hệ thống tập Trong thực tế giảng dạy học tập, lúc giải tập làm theo bước trên, khơng phải lúc phân tích véc tơ theo hai véc tơ sở cho trước, mà giải tốn cách linh hoạt Việc rèn luyện cho học sinh thông qua hệ thống tập phân loại đem lại hiệu cao dạy học Việc đưa hệ thống tập phân loại giúp học sinh có kinh nghiệm giải tốn rèn luyện kỹ năng: - Chuyển tốn sang ngơn ngữ véc tơ - Phân tích véc tơ thành tổ hợp véc tơ - Kỹ biết cách ghép số véc tơ tổ hợp véc tơ - Biết khái quát hoá số kết để vận dụng vào toán tổng quát Đặc biệt biết vận dụng quy trình bốn bước giải tốn hình học PPVT vào giải tập hình học • Giáo viên sử dụng hệ thống tập phân dạng tình dạy học khác như: Làm tập nhà, tập phân hoá, dùng để bồi dưỡng HS giỏi, dùng để kiểm tra, kiểm tra trắc nghiệm góp phần bồi dưỡng lực tư cho học sinh Dạng 1: Chứng minh ba điểm thẳng hàng Đối với dạng tốn ta dùng điều kiện phương hai véc tơ để giải toán r r r r Véc tơ b phương với véc tơ a (a ≠ 0) có số k cho r r b = ka * Từ ứng dụng vào dạng tốn: Cho điểm A, B, C thoả mãn điều kiện xác định Chứng minh A, B, C thẳng hàng Phương pháp: uuur uuur - Hãy xác định véc tơ AB, AC - Chỉuura hai véc tơ phương, nghĩa số thực k uuur ur cho AB = k AC Ví dụ 1: Cho tam giác ABC Các điểm M, N, P chia đoạn thẳng AB, BC, CA theo tỷ số m, n, p (đều khác 1) Chứng minh rằng: M, N, P thẳng hàng mnp = (Định lý Mênêlauýt) Hướng dẫn giải: (Theo quy trình bước giải tốn HH PPVT) Bước 1: GV chọn véc tơ sở uuu r uuu r HS: Chọn hai véc tơ CA, CB làm hai véc tơ sở Mọi véc tơ xuất A tốn phân tích theo hai véc tơ P Bước 2: GV: Các điểm M, N, P chia M đoạn thẳng AB, BC, CA theo tỷ số m, n, p (đều khác 1) tương đươnguuu với đẳng thức véc tơ nào? r uuur uuur uuur uuur uuu r N HS: MA = mMB; NB = nNC ; PC = pPA C B GV: Điều phải chứng minh M, N, P thẳng hàng tương đương với đẳng thức véc tơ phải xảy ra? uuur uuuu r HS: - Chỉ số thực k cho MP = k MN hoặcuuuur uuur uuu r - Với điểm O số thực ta có OM = tON + (1 − t )OP Bước 3: Lấy uđiểm O đó,uu taur có uuur uu r uuu r uuur uuu r uuuu r OA − mOB uuur OB − nOC uuu r OC − pOA OM = ; ON = ; OP = 1− m 1− n 1− p Để đơn giản tính toán, ta chọn điểm O trùng với điểm C ta có: uuu r uuu r uuu r uuu r uuuu r CA − mCB uuur CB uuu r pCA CM = ; CN = ; CP = (1) 1− m 1− n 1− p Từ hai đẳng thức cuối (1) ta có: uuu r uuur uuu r p − uuu r CB = (1 − n)CN ; CA = CP Và thay vào đẳng thức đầu (1) ta được: p uuuu r r m(1 − n) uuur p − uuu CM = CP − CN p (1 − m) 1− m Từ Bài toán 9: Điều kiện cần đủ để điểm M, N, P thẳng hàng là: p −1 m(1 − n) − = ⇔ p − − pm(1 − n) = p(1 − m) ⇔ mnp = p (1 − m) 1− n Bước 4: Cho tam giác ABC Các điểm M, N, P chia đoạn thẳng AB, BC, CA theo tỷ số m, n, p M, N, P thẳng hàng khi: mnp =1 Lưu ý: Học sinh vận dụng cách chứng minh toán vào giải tốn sau: 1/ Cho tam giác ABC có trực tâm H tâm đường tròn ngoại tiếp O Chứng minh rằng: uuu r uuu r uuur uuur a/ OA + OB + OC = OH uuur uuur uuur uuur b/ HA + HB + HC = 2OH 2/Bài 1.30(-Tr32-SBT-HH10 –cơ bản):Cho tam giác ABC Điểm I cạnh AC uuu r uuur uuur cho CI= CA J điểm mà BJ = AC − AB uuur uuur a,Hãy biểu thị véc tơ BI qua véc tơ AC AB b.Chứng minh điểm B,I,J thẳng hàng *.Bài tập đề xuất : Bài 1/ Cho tam giác ABC với cạnh AB = c, BC =uu a, CA = b Gọi I tâm r uur uur r đường tròn nội tiếp tam giác ABC Chứng minh rằng: aIA + bIB + cIC = Bài 2/ Cho điểm O cố định đường thẳng d qua hai điêm A, B cố định Chứng minh rằnguu điểm M thuộc đường thẳng d có số α cho: uuuu r uuu r u r OM = α OA + (1 − α )OB Với điều kiện α M thuộc đoạn thẳng AB Bài 3: Cho tam giác ABC, ugọi D, I, N điểm xác định hệ thức: uuur uuur r uuur uuur uur uur 3DB − DC = 0, AN = NB, CI = 2CN Chứng minh A, I, D thẳng hàng Dạng 2: Chứng minh hai đường thẳng vng góc Vận dụng kiến thức PPVT để giải toán quan hệ vng góc cho lời giải rõ ràng, ngắn gọn.Xuất phát từ định nghĩa tích vơ r r r r hướng hai véc tơ ta suy ra: Nếu a, b hai véc tơ khác với a nằm r rr đường thẳng a, b nằm đường thẳng b a ⊥ b ⇔ a.b = Vậy toán chứng minh hai đường thẳng vng góc quy tốn chứng minh tích vơ hướng hai véc tơ Ví dụ 1: Cho tam giác ABC cân A; M trung điểm BC, H hình chiếu M AC, E trung điểm MH Chứng minh AE ⊥ BH 10 Hướng dẫn giải: Bước 1: Tìm hiểu nội dung tốn Trước hết học sinh phải tìm hiểu tốn cách tổng thể: Đây dạng toán chứng minh hai đường thẳng vng góc Tiếp theo phải phân tích tốn cho - Bài tốn cho biết gì? (Cho tam giác ABC cân A, H hình chiếu M AC, E trung điểm MH) - Bài tốn hỏi gì? (Chứng minh AE ⊥ BH) - Tìm mối liên hệ phải tìm với cho Bước 2: Xây dựng chương trình giải: Để chứng minh AE ⊥ BH, ta phải chứng minh ? (phải chứng uuur uuur A minh đẳng thức véc tơ AE.BH = ) uuuur uuur Để sử dụng giả thiết AM ⊥ BC (Hay AM BC = ) uuuur uuur MH ⊥ AC (Hay MH AC = ) ta phải phân tích uuur uuur véc tơ AE, BH theo véc tơ nào? uuur uuur Khi AE.BH = ? E Bước 3: Thực chương trình giải B AE.BH = ( AM + AH )( BM + MH ) uuuu ruuuur uuuruuuu r = AM MH + AH BM uuuu ruuuur uuuu r uuuur uuuu r uuuu ruuuur uuuuruuuu r = AM MH + ( AM + MH ) BM = AM MH + MH MC M = HM MH + MH MH = ⇒ AE ⊥ BH Bước 4: - Kiểm tra nghiên cứu lời giải - Kiểm tra lại bước giải toán *.Bài tập đề xuất Bài 1: (Bài 8-tr5-SGK-HH10- nâng cao) Chứng minh điều kiện cần đủ để tam giác ABC vuông A uuu ruuur BABC = AB Bài 2: Cho tam giác ABC Gọi M trung điểm đoạn thẳnguuBC H ur uuuur 2 điểm nằm đường thẳng BC Chứng minh AB − AC = BC.MH điều kiện cần đủ để AH ⊥ BC Bài 3: Tam giác ABC cân A nội tiếp đường tròn (O), D trung điểm AB, E trọng tâm tam giác ADC Chứng minh OE ⊥ CD Dạng 3:Viết phương trình tiếp tuyến với đường tròn điểm Đối với dạng toán ta dựa vào quan hệ vng góc véc tơ pháp tuyến véc tơ phương đường thẳng cho ta lời giải rõ ràng, ngắn gọn Vậy toán viết phương trình tiếp tuyến đường tròn quy tốn tính tích vơ hướng hai véc tơ Ví dụ 1: Viết phương trình tiếp tuyến(d) với đường tròn : ( x − 1) + ( y + 2) = 25 điểm A(4;2) thuộc đường tròn Hướng dẫn giải: Bước 1: Tìm hiểu nội dung toán: 11 H C Trước hết học sinh phải tìm hiểu tốn cách tổng thể: Đây dạng tốn tính tích vơ hướng véc tơ tọa độ Tiếp theo phải phân tích tốn cho - Bài tốn cho biết gì? (Cho biết tọa độ tâm I(1;-2) đường tròn, A(4;2) tiếp điểm đường tròn với d) - Bài tốn hỏi gì? (Viết phương trình tiếp tuyến (d) với đường tròn điểm A) - Tìm mối liên hệ phải tìm với cho Bước 2: Xây dựng chương trình giải: Để viết phương trình tiếp tuyến (d) với đường tròn, ta phải xác định → → véc tơ pháp tuyến d : n = AI → → Để sử dụng giả thiết ta gọi M (x,y) ∈ d AM AI = (Ta phải thiết lập đẳng thức tương ứng) Bước 3: Thực chương trình giải: → → AM AI = ⇔ ( x − ).( − 1) + ( y − 2).( + ) = ⇔ 3x + y − 20 = Vậy phương trình tiếp tuyến (d) với đường tròn là: 3x+4y-20=0 Bước 4: - Kiểm tra nghiên cứu lời giải *.Bài tập đề xuất Bài 1.(Trang 84-SGK-Hình Học 10-Cơ bản):Viết phương trình tiếp tuyến d với đường tròn: 2 x + y − x + y − = điểm A(-1;0) thuộc đường tròn Dạng 4: Chứng minh đẳng thức véc tơ Để chứng minh tập dạng này, chủ yếu ta sử dụng quy tắc điểm, quy tắc hình bình hành để dựng véc tơ cho hai vế đẳng thức, sử dụng công thức trọng tâm tam giác, trung điểm đoạn thẳng, tính chất phép tốn, tính chất tích vơ hướng hai véc tơ để rút gọn hai vế Ví dụ: Chứng minh với điểm A, B, C, D ta có uuur uuur uuur uuur uuur uuur AB.CD + AC.DB + AB.BC = (*) Hướng dẫn giải: uuur uuur uuur Bước 1: Chọn véc tơ AB, AC , AD làm véc tơ sở Mọi véc tơ xuất tốn phân tích qua véc tơ Bước 2: Bài tốn cho dạng ngơn ngữ véc tơ uuur uuur uuur uuur uuur uuur Bước 3: uuur uuAB CD + AC.DB + AB.BC = ur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur = AB( AD − AC ) + AC ( AB − AD) + AD( AC − AB ) uuur uuur uuur uuur uuur uuu r uuur uuur uuur uuur uuur uuu r = AB AD − AB AC + AC AB − AC AD + AD AC − AD AB uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur = ( AB AD − AD AB ) + ( AC AB − AB AC ) + ( AD AC − AC.AD ) = Bước 4: Nhận xét: 12 Đẳng thức véc tơ (*)được gọi hệ thức Ơle Có thể dùng hệ thức Ơle để chứng minh: Trong tam giác đường cao đồng quy Thật vậy, giả sử đường cao kẻ từ B, C tam giác ABC cắt H Áp dụng hệ thức rƠleuucho điểm H, A, B, C ta có: uuur uuur uuur uuu ur uuur HA.BC + HB.CA + HC AB = uuur uuu r uuur uuu r uuur uuur Do HB ⊥ CA, HC ⊥ AB nên HB.CA = HC AB = từ HA.BC = tức HA ⊥ BC Kết vừa chứng minh mở rộng đẳng thức uuur uuur uuur uuur uuur uuur AB.CD + AC.DB + AD.BC = A, B, C, D nằm đường thẳng *.Bài tập đề xuất Bài 1: Cho tam giác ABC, G trọng tâm Chứng minh uuur uuur uuur uuu r uuuu r uuur MA.BC + MB.CA + MC AB = MA + MB2 + MC2 = 3MG + GA + GB2 + GC2 GA + GB2 + GC2 = a + b2 + c , với a, b, c độ dài cạnh tam giác ABC Nếu tam giác ABC nội tiếp (O; R) OG = R − (a + b2 + c2 ) Nếu trọng tâm G tam giác ABC thoả mãn điều kiện uuu r uuu r uuur r aGA + bGB + cGC = tam giác ABC Bài 2: Cho tam giác ABC, gọi H trực tâm, I tâm đường tròn nội tiếp Chứng minh: uu r uur uur r aIA + bIB + cIC = (a, b, c độ dài cạnh tam giác ABC) ^ ^ ^ tan AHA +tan BHB + tan CHC =0 uuur uuur uuuu r r Sa MA + Sb MB + Sc MC = , trongđó M điểm nằm tam giác ABC, Sa, Sb, Sc theo thứ tự diện tích tam giác MBC, MCA, MAB a.IA + b.IB2 + c.IC2 = abc Bài 3: cho tam giác ABC tâm O, M điểm tam giác Hạ MD, ME, MF vng góc với cạnh BC, CA, AB Chứng minh rằng: uuuu r uuur uuur uuuu r MD + ME + MF = MO Dạng 5: Các tốn tìm tập hợp điểm Trong hình học phẳng thường đề cập đến tốn quỹ tích điểm M chuyển động mặt phẳng thoả mãn điều kiện Bằng phương pháp tổng hợp nghiên cứu toán quỹ tích tốn quỹ tích Bằng phương pháp véc tơ nghiên cứu quỹ tích điểm M chuyển động mặt phẳng thoả mãn điều kiện (ta gọi tính chất α ) theo ngun tắc chung phải thiết lập tính tương ứng tính chất α với điều kiện véc tơ có liên quan đến điểm M từ mơ tả hình H = {(M/M có tính chất α )} Do phạm vi nghiên cứu mở rộng nhiều cho lời giải dễ dàng Ví dụ 1: Cho tam giác ABC Tìm tập hợp điểm M cho uuur uuur a) MA.MB = k (k ∈ R) uuur uuuu r b) MB + MB.MC = a (a độ dài cạnh BC) Hướng dẫn giải: 13 uuur uuur uuu r uu r uuu r uu r a.) MA.MB = k ⇔ (MI + IA)(MI − IA) = k ⇔ IM − IA = k ⇔ IM = * Nếu kính * Nếu * Nếu AB +k AB AB +k >0⇔ k >− Tập hợp điểm M đường tròn tâm I, bán 4 AB +k AB k =− ⇒ IM = ⇔ Tập hợp M điểm I AB AB +k