SKKN rèn LUYỆN kỹ NĂNG GIẢI TOÁN CHO học SINH THÔNG QUA GIẢI bài tập về véc tơ TRONG HÌNH học 10

CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập – Tự – Hạnh phúc TÊN ĐỀ TÀI, SÁNG KIẾN, GIẢI PHÁP: “RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI TOÁN CHO HỌC SINH THÔNG QUA GIẢI BÀI TẬP VỀ VÉC TƠ TRONG HÌNH HỌC 10” Quảng Bình, tháng năm 2019 CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập – Tự – Hạnh phúc TÊN ĐỀ TÀI, SÁNG KIẾN, GIẢI PHÁP: “RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI TOÁN CHO HỌC SINH THÔNG QUA GIẢI BÀI TẬP VỀ VÉC TƠ TRONG HÌNH HỌC 10” Họ tên: Nguyễn Thị Hạnh Chức vụ: Giáo viên Đơn vị công tác: Trường THPT Hồng Hoa Thám Quảng Bình, tháng năm 2019 A MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Một mục đích dạy tốn trường phổ thơng là: Phát triển học sinh lực phẩm chất trí tuệ, giúp học sinh biến tri thức khoa học nhân loại tiếp thu thành kiến thức thân, thành công cụ để nhận thức hành động đắn lĩnh vực hoạt động học tập sau Trong đường lối đổi giáo dục khẳng định: “Phải đổi phương pháp giáo dục đào tạo, khắc phục lối truyền thụ chiều, rèn luyện thành nếp tư sáng tạo người học Từng bước áp dụng phương pháp tiên tiến phương tiện đại vào trình dạy học, đảm bảo điều kiện thời gian tự học, tự nghiên cứu cho học sinh” Như vậy, quan điểm chung đổi phương pháp dạy học khẳng định, cốt lõi việc đổi phương pháp dạy học mơn tốn trường THPT làm cho học sinh học tập tích cực, chủ động, chống lại thói quen học tập thụ động Làm cho học sinh nắm cách xác, vững có hệ thống kiến thức kỹ tốn học phổ thơng bản, đại, phù hợp với thực tiễn có lực vận dụng tri thức vào tình cụ thể, vào đời sống, vào lao động sản xuất, vào việc học tập môn khoa học khác Việc giải tập tốn hình thức tốt để củng cố, hệ thống hóa kiến thức rèn luyện kỹ năng, hình thức vận dụng kiến thức học vào vấn đề cụ thể, vào thực tế, vào vấn đề mới, hình thức tốt để giáo viên kiểm tra lực, mức độ tiếp thu khả vận dụng kiến thức học Việc giải tập tốn có tác dụng lớn việc gây hứng thú học tập cho học sinh nhằm phát triển trí tuệ góp phần giáo dục, rèn luyện người học sinh nhiều mặt Việc giải tốn cụ thể khơng nhằm dụng ý đơn mà thường bao hàm ý nghĩa nhiều mặt học sinh dùng phương pháp để giải vấn đề tốn cao vấn đề ngồi thực tế mang tính lơgic tốn Thực tiễn dạy học cho thấy: Việc sử dụng phương pháp véctơ nghiên cứu hình học, học sinh có thêm cơng cụ để diễn đạt, suy luận để giải toán, tránh ảnh hưởng khơng có lợi trực giác, từ cho thấy vấn đề xem xét giả quan điểm khoa học, với cách tiệm cận vấn đề khác đưa phương pháp khác đắn Đây dịp tốt để học sinh làm quen với ngơn ngữ tốn học cao cấp, từ giáo dục học sinh cách nhìn cởi mở khoa học môn học liên quan Thế việc sử dụng không thành thạo phương pháp trên, cụ thể lúng túng giải sai tập làm học sinh gặp nhiều khó khăn, hạn chế tới kết học tập phạm vi chuyên đề sử dụng “phương pháp véc tơ” để giải tốn hình học Với lí trên, tơi chọn đề tài nghiên cứu “Rèn luyện kỹ giải toán cho học sinh thông qua giải tập VÉC TƠ hình học 10” Điểm đề tài - Nghiên cứu phương pháp giảng dạy giải tập toán theo hướng hình thành rèn luyện kỹ giải toán cho học sinh Khơi gợi cho học sinh hứng thú giải tốn, kích thích trí tò mò học sinh giúp em hiểu toán cách tổng qt Sau phân tích tốn: đâu giả thiết, đâu kết luận Tiếp theo giúp học sinh chuyển tốn sang ngơn ngữ véctơ - Hướng cho học sinh làm quen sử dụng thành thạo “Quy trình bốn bước giải tốn hình học PPVT” Bước 1: Chọn véctơ sở Bước 2: Dùng phương pháp phân tích véctơ phép tốn véctơ để biểu diễn, chuyển ngơn ngữ từ hình học thông thường sang ngôn ngữ véctơ Bước 3: Giải toán véctơ Bước 4: Kết luận, đánh giá kết - Dựa theo chuẩn kiến thức kỹ hình học 10 Bộ GD-ĐT xuất phát từ thực tiễn giảng dạy nghiên cứu phương pháp dạy học tập hình học 10 qua phương pháp dùng véc tơ, nhằm rèn luyện kỹ giải toán cho học sinh Đối tượng nghiên cứu 3.1 Phương pháp giải tập hình học phẳng phương pháp véc tơ 3.2 Các tập hình học phẳng phương pháp véc tơ hình học lớp 10 Phạm vi nghiên cứu Bài tập hình học phẳng phương pháp véc tơ chương I+II SGK hình học 10 theo chương trình nâng cao B NỘI DUNG Cơ sở lý luận Theo phương pháp dạy học toán tập toán đặt thời điểm q trình dạy học chứa đựng cách tường minh hay ẩn tàng chức khác Các chức là: - Chức dạy học - Chức giáo dục - Chức phát triển - Chức kiểm tra Các chức hướng tới việc thực mục đích dạy học: - Chức dạy học: Bài tập toán nhằm hình thành củng cố cho học sinh tri thức, kĩ năng, kĩ xảo giai đoạn khác trình dạy học - Chức giáo dục: Bài tập tốn nhằm hình thành cho học sinh giới quan vật biện chứng, hứng thú học tập, sáng tạo, có niềm tin phẩm chất đạo đức người lao động - Chức phát triển: Bài tập toán nhằm phát triển lực tư cho học sinh, đặc biệt rèn luyện thao tác trí tụê hình thành phẩm chất tư khoa học - Chức kiểm tra: Bài tập toán nhằm đánh giá mức độ kết dạy học, đánh giá khả độc lập học toán, khả tiếp thu, vận dụng kiến thức trình độ phát triển học sinh Hiệu việc dạy toán phần lớn phụ thuộc vào việc khai thác thực cách đầy đủ chức có tác giả viết sách giáo khoa có dụng ý đưa vào chương trình Người giáo viên phải có nhiệm vụ khám phá thực dụng ý tác giả lực sư phạm Trong tốn có nhiều tốn chưa có khơng có thuật giải khơng có thuật giải tổng quát để giải tất tốn Chúng ta thơng qua việc dạy học giải số toán cụ thể mà truyền thụ cho học sinh cách thức, kinh nghiệm việc suy nghĩ, tìm tòi lời giải cho toán Dạy học giải tập tốn khơng có nghĩa giáo viên cung cấp cho học sinh lời giải toán Biết lời giải tốn khơng quan trọng làm để giải toán Để làm tăng hứng thú học tập học sinh, phát triển tư duy, thầy giáo phải hình thành cho học sinh quy trình chung, phương pháp tìm lời giải cho tốn Theo Pơlya, phương pháp tìm lời giải cho tốn thường tiến hành theo bước sau: Bước 1: Tìm hiểu nội dung tốn Để giải tốn, trước hết phải hiểu tốn có hứng thú với việc giải tốn Vì người giáo viên phải ý gợi động cơ, kích thích trí tò mò, hứng thú cho học sinh giúp em tìm hiểu tốn cách tổng qt Tiếp theo phải phân tích tốn cho: - Đâu ẩn số, đâu kiện -Vẽ hình, sử dụng kí hiệu thích hợp (nếu cần) -Phân biệt thành phần khác điều kiện, diễn đạt điều kiện dạng cơng thức tốn học khơng? Bước 2: Xây dựng chương trình giải Phải phân tích tốn cho thành nhiều toán đơn giản Phải huy động kiến thức học (định nghĩa, định lí, quy tắc ) có liên quan đến điều kiện, quan hệ đề toán lựa chọn số kiến thức gần gũi với kiện tốn mò mẫm, dự đốn kết Xét vài khả xảy ra, kể trường hợp đặc biệt Sau đó, xét tốn tương tự khái qt hóa tốn cho Bước Thực chương trình giải Bước 4: Kiểm tra nghiên cứu lời giải - Kiểm tra lại kết quả, xem lại lập luận q trình giải - Nhìn lại tồn bước giải, rút tri thức phương pháp để giải loại tốn - Tìm thêm cách giải khác (nếu có thể) - Khai thác kết có tốn - Đề xuất toán tương tự, toán đặc biệt khái qt hóa tốn Cơng việc kiểm tra lời giải tốn có ý nghĩa quan trọng Trong nhiều trường hợp, kết thúc toán lại mở đầu cho tốn khác Vì "Cần phải luyện tập cho học sinh có thói quen kiểm tra lại tốn, xét xem có sai lầm hay thiếu sót khơng, tốn có đặt điều kiện tốn đòi hỏi phải biện luận Việc kiểm tra lại lời giải yêu cầu học sinh thực cách thường xuyên” Cơ sở khoa học Xuất phát từ yêu cầu học sinh kiến thức kỹ chương I, II- SGK HH nâng cao là: - Về kiến thức bản: nắm khái niệm véctơ, hai véctơ nhau, hai véctơ đối nhau, véctơ không, quy tắc ba điểm, quy tắc hình bình hành, quy tắc trung điểm, định nghĩa tính chất phép cộng, phép trừ, phép nhân véctơ với số thực, tích vơ hướng hai véctơ - Về kĩ bản: biết dựng véctơ véctơ cho trước, biết lập luận hai véctơ nhau, vận dụng quy tắc hình bình hành, quy tắc ba điểm để dựng véctơ tổng giải số toán, biết xác định số thực k hai véc tơ r r r r phương a,b cho b = ka , vận dụng tính chất tích vơ hướng, đặc biệt để xác định điều kiện cần đủ hai véctơ (khác véctơ-khơng) vng góc với nhau, vận dụng tổng hợp kiến thức véctơ để nghiên cứu số quan hệ hình học như: tính thẳng hàng ba điểm, trung điểm đoạn thẳng, trọng tâm tam giác, giao điểm hai đường chéo hình bình hành… Thực trạng Trong thực tế dạy học cho thấy, học sinh thường gặp khó khăn vận dụng kiến thức vào giải tập cụ thể do: học sinh không nắm vững kiến thức khái niệm, định lí, qui tắc, khơng trở thành sở kỹ Muốn hình thành kỹ năng, đặc biệt kỹ giải toán cho học sinh, người thầy giáo cần phải tổ chức cho học sinh học toán hoạt động hoạt động tự giác, tích cực, sáng tạo để học sinh nắm vững tri thức, có kỹ sẵn sàng vận dụng vào thực tiễn Góp phần thực nguyên lý nhà trường phổ thông là: “Học đôi với hành, giáo dục kết hợp với lao động sản xuất, nhà trường gắn liền với xã hội” Trong chương trình hình học lớp 10 học sinh học véctơ, phép tốn véctơ, tính chất tích vơ hướng ứng dụng chúng, đặc biệt hệ thức quan trọng tam giác: Định lý Côsin, định lý Sin, công thức trung tuyến, cơng thức tính diện tích tam giác học sinh phải biết tận dụng kiến thức nói để giải số tốn hình học tốn thực tế PPVT có nhiều tiện lợi việc giải tập hình học Tuy vậy, sử dụng phương pháp học sinh gặp phải số khó khăn, khơng tránh khỏi sai lầm giải tốn hình học lớp 10 Khó khăn thứ mà học sinh gặp phải lần làm quen với đối tượng véctơ, phép toán véctơ Các phép tốn véctơ lại có số tính chất tương tự số mà học sinh học trước đó, học sinh chưa hiểu rõ chất khái niệm phép toán nên dễ ngộ nhận, mắc sai lầm sử dụng PPVT Khó khăn thứ hai sử dụng PPVT ly khỏi hình ảnh trực quan, hình vẽ nên khó tưởng tượng, hiểu tốn cách hình thức, khơng hiểu nghĩa hình học tốn Vì học sinh có thói quen giải tốn hình học phải vẽ hình nên sử dụng PPVT để giải số tập khơng sử dụng hình vẽ, học sinh gặp nhiều khó khăn Học sinh thường gặp khó khăn chuyển tốn từ ngơn ngữ hình học thơng thường sang “ngơn ngữ véctơ” ngược lại Vì cần rèn luyện cho học sinh kỹ chuyển tương đương quan hệ hình học từ cách nói thơng thường sang dạng véctơ để vận dụng cơng cụ véctơ giải toán Áp dụng thực tế dạy học Ở lớp 10 học sinh (học theo chương trình nâng cao) học sinh học véc tơ, phép toán véctơ (phép cộng, phép trừ, phép nhân véc tơ với số thực, tích vơ hướng hai véctơ), sau trục, hệ trục toạ độ, toạ độ điểm, toạ độ véc tơ vài ứng dụng đơn giản phương pháp toạ độ Tuy học sinh học hai phương pháp: Véctơ toạ độ, phương pháp chủ yếu phương pháp véctơ Bởi hệ thức lượng tam giác đường tròn xây dựng nhờ véctơ phép toán, đặc biệt tích vơ hướng hai véctơ định nghĩa theo đẳng thức véctơ Để giúp học sinh sử dụng thành thạo PPVT để giải toán, học sinh lớp 10 giảng dạy GV cần lưu ý vấn đề sau: 4.1 Áp dụng quy trình bước dạy giải tập tốn GV cần hình thành cho học sinh bước giải tốn hình học phương pháp véc tơ theo bước sau: Trước hết giáo viên cần rèn luyện cho học sinh nắm vững quy trình bốn bước giải tốn PPVT Quy trình bốn bước giải tốn hình học PPVT Bước 1: Chọn véctơ sở Bước 2: Dùng phương pháp phân tích véctơ phép tốn véctơ để biểu diễn, chuyển ngơn ngữ từ hình học thơng thường sang ngơn ngữ véctơ Bước 3: Giải toán véctơ Bước 4: Kết luận, đánh giá kết Giáo viên cần tận dụng hội để rèn luyện cho học sinh khả thực bốn bước giải tốn hình học PPVT thơng qua tập, minh hoạ quy trình bốn bước ví dụ sau: Bài tốn: Cho góc xOy hai điểm di chuyển hai cạnh góc M thuộc Ox, N thuộc Oy, luôn thoả mãn OM = 2ON Chứng minh trung điểm I MN thuộc đường thẳng cố định Hướng dẫn giải: Bước 1: Lấy điểm A ∈ Ox, B ∈Oy cho OA = OB, chọn hai véc tơ uuu r uuur OA, OB làm hai véc tơ sở Mọi véctơ toán phân tích (hoặc biểu thị được) qua hai véc tơ uuur uuur uuuu r uuu r Bước 2: Giả thiết cho OM = 2ON, nên ON = kOB , OM = 2kOA Điều phải chứng minh I uthuộc đường thẳng cố định (dễ thấy đường thẳng ur r r qua O) tương đương OI = pv , với v véc tơ cố định Bước 3: Do I trung điểm MN, nên ta có uur uuuu r uuur uuu r uuuu r OI = (OM + ON ) = k (2OA + OB ) 2 uuu r uuu r r Đặt k = p, 2OA + OB = v , ta điều phải chứng minh A A' x Bước 4: Nhận xét: uuur uuu r I Nếu lấy OA' = 2OA O r uuur uuur v = OA' + OB ⇒ đường thẳng cố B định qua trung điểm A’B N y * Có thể tổng quát hoá toán theo hai cách: - Thay cho giả thiết OM = 2ON OM = m.ON (m số) - Thay cho kết luận: Trung điểm I MN thuộc đường thẳng cố định IM p kết luận: Mỗi điểm chia MN theo tỷ số IN = q (p, q số dương) thuộc đường thẳng cố định Trong trình hướng dẫn học sinh giải tốn PPVT, giáo viên cần ý đến tri thức phương pháp: Ở bước 1: Nên chọn véctơ sở cho véctơ tốn phân tích theo chúng thuận lợi Qua toán học sinh thấy việc chọn véctơ sở Ở bước 2: Cần rèn luyện cho học sinh chuyển đổi ngôn ngữ cách thành thạo Cách chuyển đổi ta thấy qua nhóm tốn trình bày Ở bước 3: Cần nắm vững phép toán véc tơ Đồng thời, thông qua tập cụ thể, giáo viên cần làm cho học sinh hiểu rõ tính ưu việt PPVT Đặc biệt tập tìm tập hợp điểm, tập chứng minh điểm thẳng hàng, chứng minh hai đường thẳng song song, hai đường thẳng vng góc, dạng tốn có nhiều hội để làm rõ vấn đề 4.2 Trước giải tập theo hệ thống GV cần nhấn mạnh cho học sinh kiến thức tập sau (vì tri thức phương pháp để giải tập sau này) A - Điều kiện cần đủ để hai véctơ khơng phương r r Bài tốn 1: Chứng minh hai véctơ a rvà br phương r có cặp rsố m,r n không đồng thời cho ma + mb = Suy điều kiện cần r r r đủ để a b phương có cặp số m, n khơng thời cho ma + mb = B-Tính chất trung điểm uuur uuur r Bài toán 2: M trung điểm đoạn thẳng AB MA + MB = uuur uuur uuu r Hoặc với điểm M ta có MA + MB = 2MI C-Tính chất trọng tâm tam giác Bài tốn 3: Cho tam giác ABC CMR điểm G trọng tâm tamuuugiác uuu r uuur uuur r uuu r uuur uuur u r GA + GB + GC = với điểm M ta có GA + GB + GC = 3MG D-Điều kiện cần đủ để ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng Bài toán Ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng thoả mãn điều kiện sau: uuur uuur Tồn số k khác cho AB = k AC uu r uur uur Cho điểm I số t cho IA = t IB + (1 − t ) IC điều kiện cần đủ để ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng E-Công thức điểm chia Bài toán 5: Cho đoạn thẳng AB, số thực k khác Ta nói điểm M chia uuur uuur đoạn AB theo tỉ số k MA = k MB CMR với điểm C ta có: uuuu r r r uuu k uuu CM = CA − CB (*) Ta gọi (*) công thức điểm chia 1− k 1− k F-Công thức hình chiếu uuur uuur Bài tốn 6: Cho hai véc tơ OA, OB Gọi B’ hình chiếu B đường uuu r uuu r uuu r uuur thẳng OA đó: OA.OB = OA.OB ' uuur uuu r Véc tơ OB ' gọi hình chiếu OA đường thẳng OA; Công thức uuu r uuu r uuu r uuur' OA.OB = OA.OB gọi cơng thức hình chiếu 4.3 Hệ thống tập Trong thực tế giảng dạy học tập, lúc giải tập làm theo bước trên, khơng phải lúc phân tích véctơ theo hai véctơ sở cho trước, mà giải toán cách linh hoạt Việc rèn luyện cho học sinh thông qua hệ thống tập phân loại đem lại hiệu cao dạy học Việc đưa hệ thống tập phân loại nhằm giúp học sinh có kinh nghiệm giải tốn rèn luyện kỹ năng: - Chuyển tốn sang ngơn ngữ véctơ - Phân tích véctơ thành tổ hợp véctơ - Kỹ biết cách ghép số véc tơ tổ hợp véctơ - Biết khái quát hoá số kết để vận dụng vào toán tổng quát Đặc biệt biết vận dụng quy trình bốn bước giải tốn hình học PPVT vào giải tập hình học * Giáo viên sử dụng hệ thống tập phân dạng tình dạy học khác như: Làm tập nhà, tập phân hoá, dùng để bồi dưỡng HS giỏi, dùng để kiểm tra, kiểm tra trắc nghiệm góp phần bồi dưỡng lực giải toán cho học sinh (chủ yếu bồi dưỡng học sinh giỏi) Dạng 1: Chứng minh ba điểm thẳng hàng Đối với dạng toán ta dùng điều kiện phương hai véctơ để giải toán r r r Véc tơ b phương với véc tơ a(a ≠ 0) có số k cho r r b = ka * Từ ứng dụng vào dạng tốn: Cho điểm A, B, C thoả mãn điều kiện xác định Chứng minh A, B, C thẳng hàng Phương pháp: uuur uuur - Hãy xác định véc tơ AB, AC - Chỉuuura hai véc tơ phương, nghĩa số thực k uuur r cho AB = k AC Ví dụ: Cho tam giác ABC Các điểm M, N, P chia đoạn thẳng AB, BC, CA theo tỷ số m, n, p (đều khác 1) Chứng minh rằng: M, N, P thẳng hàng mnp = (Định lý Mênêlauýt) Hướng dẫn giải: (Theo quy trình bước giải toán HH PPVT) Bước 1: GV chọn véctơ cơrsở uuu r uuu HS: Chọn hai véc tơ CA, CB làm hai véctơ sở Mọi véc tơ xuất A tốn phân tích theo hai véctơ Bước 2: P GV: Các điểm M, N, P chia đoạn thẳng AB, BC, CA theo tỷ số M m, n, p (đều khác 1) tương đương với đẳnguuu thức vécutơ nào? uuur uuur r uuur uur uuur HS: MA = mMB; NB = nNC ; PC = pPA N C B GV: Điều phải chứng minh M, N, P thẳng hàng tương đương với đẳng thức véctơ phải xảy ra? uuur uuuu r HS: - Chỉ số thực k cho MP = k MN hoặcuuuur uuur uuu r - Với điểm O số thực ta có OM = tON + (1 − t )OP Bước 3: Lấyuđiểm O đó, ta có uuur uuur uuu r uu r uuu r uuur uuuu r OA − mOB uuur OB − nOC uuu r OC − pOA OM = ; ON = ; OP = 1− m 1− n 1− p Để đơnuuurgiảnutính tốn,uutaur chọn điểm O trùng với điểm C ta có: uu r uuu r uuuu r CA − mCB uuur CB uuu r pCA CM = ; CN = ; CP = (1) 1− m 1− n 1− p Từ hai đẳng thức cuối (1) ta có: uuu r uuur uuu r p − uuu r CB = (1 − n)CN ; CA = CP Và thay vào đẳng thức đầu (1) ta được: p uuuu r u u u r p −1 m(1 − n) uuur CM = CP − CN p (1 − m) 1− m Từ Bài toán 9: Điều kiện cần đủ để điểm M, N, P thẳng hàng là: p −1 m(1 − n) − = ⇔ p − − pm(1 − n) = p (1 − m) ⇔ mnp = p (1 − m) 1− n Bước 4: Vậy cho tam giác ABC Các điểm M, N, P chia đoạn thẳng AB, BC, CA theo tỷ số m, n, p M, N, P thẳng hàng khi: mnp =1 Lưu ý: Học sinh vận dụng cách chứng minh toán vào giải tốn sau: Bài 1: Cho tam giác ABC có trực tâm H tâm đường tròn ngoại tiếp O Chứnguuminh rằng: u r uuur uuur uuur a/ OA + OB + OC = OH uuur uuur uuur uuur b/ HA + HB + HC = 2OH Bài 2: Cho dây cung song song AA1, BB1, CC1 hình tròn (O) Chứng minh trực tâm tam giác ABC 1, BCA1 ACB1 nằm đường thẳng Bài 3: Cho tam giác ABC đường tròn tâm I nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với cạnh BC D Gọi M, N trung điểm AD BC Chứng minh điểm M, N, I thẳng hàng Chứng minh có sử dụng kết tập sau: Bài 4: Cho tam giác ABC với cạnh AB = c, BC = a, CA = b Gọi I tâm uu r uur uur r đường tròn nội tiếp tam giác ABC Chứng minh rằng: aIA + bIB + cIC = * Hệ thống tập Bài 1: Cho điểm O cố định đường thẳng d qua hai điêm A, B cố định Chứng minh rằnguuđiểm M thuộc đường thẳng d có số α cho: uuuu r uuu r u r OM = α OA + (1 − α )OB Với điều kiện α M thuộc đoạn thẳng AB Bài 2:uuTrên cạnh tam giác ABC,uulấy uđiểm M, N, P cho: uuur uuur ur uuur uuur uuu r r ur uuu r uuur MA + 3MB = NB − NC = PC + PA = Hãy biểu thị AN qua AM AP , từ suy M, N, P thẳng hàng Bài 3: Cho tam giác ABC, gọi D, I, N điểm xác định hệ thức: uuur uuur r uuur uuur uur uuur 3DB − DC = 0, AN = NB, CI = 2CN Chứng minh A, I, D thẳng hàng Bài 4: Bài 20a-tr8-SBT HH10-nâng cao Cho tam giác ABC điểm A1, B1, C1 nằm đường thẳng BC, CA, AB Gọi A2, B2, C2 điểm đối xứng với A 1, B1, C1 qua trung điểm của BC, CA, AB Chứng minh rằng: a) Nếu điểm A1, B1, C1 thẳng hàng điểm A2, B2, C2 b) Trọng tâm tam giác ABC, A1B1C1, A2B2C2 thẳng hàng Bài 5: Cho tam giác ABC đều, tâm O M tam giác ABC có hình chiếu xuống cạnh BC, CA, AB tương ứng P, Q, R Gọi K trọng tâm tam giác PQR a) Chứng minh: M, O, K thẳng hàng b) Cho N điểm tùy ý BC Hạ NE, NF tương ứng vng góc với AC, AB Chứng minh N, J, O thẳng hàng, với J trung điểm EF Dạng 2: Chứng minh hai đường thẳng vuông góc Vận dụng kiến thức PPVT để giải tốn quan hệ vng góc cho lời giải rõ ràng, ngắn gọn Thông thường với dạng tốn trên, ta quy tốn chứng minh hai đường thẳng rvng góc, hay từ định nghĩa tích vơ hướng hai véc tơ ta r r r r suy ra: Nếu a, b hai véc tơ khác với a nằm đường thẳng a, b nằm rr đường thẳng b a ⊥ b ⇔ a.b = Vậy tốn chứng minh hai đường thẳng vng góc quy tốn chứng minh tích vơ hướng hai véc tơ Ví dụ 1: Cho tam giác ABC cân A; M trung điểm BC, H hình chiếu M AC, E trung điểm MH Chứng minh AE ⊥ BH Hướng dẫn giải: Bước 1: Tìm hiểu nội dung toán Trước hết học sinh phải tìm hiểu tốn cách tổng thể: Đây dạng tốn chứng minh hai đường thẳng vng góc Tiếp theo phải phân tích tốn cho - Bài tốn cho biết gì? (Cho tam giác ABC cân A, H hình chiếu M AC, E trung điểm MH) - Bài tốn hỏi gì? (Chứng minh AE ⊥ BH) - Tìm mối liên hệ phải tìm với cho Bước 2: Xây dựng chương trình giải: Để chứng minh AE ⊥ BH, ta phải chứng minh ? (phải chứng minh uuur uuur đẳng thức véc tơ AE.BH = ) A uuuu r uuur Để sử dụng giả thiết AM ⊥ BC (Hay AM BC = ) uuuur uuur MH ⊥ AC (Hay MH AC = ) ta phải phân tích uuur uuur véc tơ AE , BH theo véc tơ nào? uuur uuur Khi AE.BH = ? H Bước 3: Thựcr chương trình giải uuur uuur uuuu uuur uuuu r uuur AE.BH = ( AM + AH )( BM + BH ) uuuu ruuuur uuuruuuu r B = uAM MH + AH BM uuu ruuuur uuuu r uuuur uuuu r uuuu ruuuur uuuuruuuu r = AM MH + ( AM + MH ) BM = AM MH + MH MC uuuuruuuur uuuuruuuur uuuur uuuur = HM MH + MH MH = MH + MH = ⇒ AE ⊥ BH E M C Bước 4: - Kiểm tra nghiên cứu lời giải - Kiểm tra lại bước giải toán * Hệ thống tập Bài 1: Chứng minh điều kiện cần đủ để tam giác ABC vuông A uuu ruuur BABC = AB Bài 2: Tam giác MNP có MN=4, MP=8, M = 600 Lấy điểm E tia MP đặt uuur uuur ME = k MP Tìm k để NE vng góc với trung tuyến MF tam giác MNP Bài 3: Cho tam giác ABC Gọi M trung điểm đoạn thẳng BC H uuur uuuur 2 điểm nằm đường thẳng BC Chứng minh AB − AC = BC MH điều kiện cần đủ để AH ⊥ BC Bài 4: Các đường AM, BE, CF trung tuyến tam giác ABC a) Chứng minh BE + CF2 = 5AM điều kiện cần đủ để BAC = 900 b) Chứng minh AB2 + AC2 = 5BC2 điều kiện cần đủ để BE ⊥ CF Bài 5: Cho tam giác ABC vuông cân đỉnh A, cạnh AB, BC, CA ta lấy điểm M, N, E cho AM BN CE = = Chứng minh rằng: AN ⊥ ME MB NC EA Dạng 3: Chứng minh đẳng thức véc tơ Đẳng thức véctơ đẳng thức mà hai vế biểu thức véctơ Mỗi biểu thức chứa hạng tử véctơ chúng nối với dấu r phép toán véctơ hai vế đẳng thức 10 Để chứng minh tập dạng này, chủ yếu ta sử dụng quy tắc điểm, quy tắc hình bình hành để dựng véctơ cho hai vế đẳng thức, sử dụng công thức trọng tâm tam giác, trung điểm đoạn thẳng, tính chất phép tốn, tính chất tích vô hướng hai véctơ để rút gọn hai vế Ví dụ: uChứng minh với điểm A, B, C, D ta có uur uuur uuur uuur uuur uuur AB.CD + AC.DB + AB.BC = (*) Hướng dẫn giải: uuur uuur uuur Bước 1: Chọn véctơ AB, AC , AD làm véctơ sở Mọi véctơ xuất tốn phân tích qua véctơ Bước 2: Bài toán cho dạng ngôn ngữ véctơ uuur uuur uuur uuur uuur uuur Bước 3: AB.CD + AC.DB + AB.BC = uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur = AB( AD − AC ) + AC ( AB − AD) + AD( AC − AB ) uuur uuur uuur uuur uuur uuu r uuur uuur uuur uuur uuur uuu r = AB AD − AB AC + AC AB − AC AD + AD AC − AD AB uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur = ( AB AD − AD AB ) + ( AC AB − AB AC ) + ( AD AC − AC.AD ) = Bước 4: Nhận xét: Đẳng thức véctơ (*) gọi hệ thức Ơle Có thể dùng hệ thức Ơle để chứng minh: Trong tam giác đường cao đồng quy Thật vậy, giả sử đường cao kẻ từ B, C tam giác ABC cắt H Áp dụng hệ thức Ơler cho điểm H, A, B, C ta có: uuur uuur uuur uuu uuur uuur HA.BC + HB.CA + HC AB = uuur uuu r uuur uuu r uuur uuur HB ⊥ CA, HC ⊥ AB nên HB.CA = HC AB = từ HA.BC = tức HA ⊥ BC Do Kết vừa chứng minh mở rộng đẳng thức uuur uuur uuur uuur uuur uuur AB.CD + AC.DB + AD.BC = A, B, C, D nằm đường thẳng * Hệ thống tập Bàiuu1: Cho tam rgiác ABC, G trọng tâm Chứng minh ur uuur uuur uuu uuuu r uuur MA.BC + MB.CA + MC AB = MA + MB2 + MC2 = 3MG + GA + GB2 + GC2 GA + GB2 + GC2 = a + b2 + c , với a, b, c độ dài cạnh tam giác ABC Nếu tam giác ABC nội tiếp (O; R) OG = R − (a + b2 + c2 ) r Nếu trọng tâm G tam giác ABC thoả mãn điều kiện uuu r uuu uuur r aGA + bGB + cGC = tam giác ABC Bài 2: Cho tam giác ABC, gọi H trực tâm, I tâm đường tròn nội tiếp Chứng minh: uu r uur uur r aIA +ubIB + cIC = (a, b, c độ dài cạnh tam giác ABC) uur uuur uuur r tan uAHA + tan BHB + tan C HC = uur uuur uuuu r r Sa MA + Sb MB + Sc MC = , trongđó M điểm nằm tam giác ABC, Sa, Sb, Sc theo thứ tự diện tích tam giác MBC, MCA, MAB a.IA + b.IB2 + c.IC2 = abc Bài 3: cho tam giác ABC tâm O, M điểm tam giác Hạ MD, ME, MF vng góc với cạnh BC, CA, AB Chứng minh rằng: uuuu r uuur uuur uuuu r MD + ME + MF = MO Bài 4: Cho tứ giác ABCD, gọi I, J theo thứ tự trung điểm AC, BD Chứng minh rằng: AB2 + BC2 + CD2 + DA = AC2 + BD2 + 4IJ 11 Bài 5: Cho tứ giác ABCD số k ≠ 0; k ≠ Trên đường thẳng AB, BC, CD, DA ta lấy điểm tương ứng A’, B’, C’, D’ cho: Hệ thống tập với kỹ giải toán cần thiết như: Chuyển tốn sang ngơn ngữ véctơ, phân tích véctơ thành tổ hợp véctơ, kỹ biết cách ghép số véctơ tổ hợp véctơ giúp học sinh dễ nhận dạng tìm cách giải cho toán cụ thể, giúp học sinh có hứng thú học tập mơn tốn, góp phần phát triển lực giải toán Sự phân dạng tập tạo điều kiện cho học sinh tuỳ theo lực, trình độ chủ động, sáng tạo học tập, nghiên cứu chủ đề véctơ chương trình HH 10 (Cả sách nâng cao) 4.4 Chỉ khó khăn sai lầm học sinh gặp phải giải tốn hình học phẳng PPVT PPVT có nhiều tiện lợi việc giải tập hình học Tuy vậy, sử dụng phương pháp học sinh gặp phải số khó khăn, khơng tránh khỏi sai lầm giải tốn hình học lớp 10 Khó khăn thứ mà học sinh gặp phải lần làm quen với đối tượng véctơ, phép toán véctơ Các phép tốn véctơ lại có nhiều tính chất tương tự số mà học sinh học trước đó, học sinh chưa hiểu rõ chất khái niệm phép toán nên dễ ngộ nhận, mắc sai lầm sử dụng PPVT uuur uuur uuur uuur Ví dụ 1: Cho bốn điểm A, B, C, D Chứng minh rằng: AB + CD = AD + CB Với toán trên, nhiều học sinh bị học sinh hiểu toán sau: Cho bốn điểm A, B, C, D Chứng minh rằng: AB + CD = AD + CB Vì hiểu sai tốn, dẫn đến khó khăn q trình tìm lời giải tốn uuur uuur Ví dụ 2: Cho tam giác ABC với AB =  3, AC =  5, BC =  7 Tính AB AC , tính góc A, góc hai đường thẳnguAB AC Có học sinh giải tốn sau: Ta có uu r uuur uuu r uuur AB AC = nên số đo góc A 00 , góc hai đường AB.CD = 3.5 = 15 ⇒ cos A = AB AC thẳng AB, AC −15 uuu r uuur −15 2 Lời giải 2:Ta có AB AC  =  2 ( AB    +  AC     −  BC   ) =   nên cos A = = − 15 Do : góc A có số đo 120 độ Góc đường thẳng AB, AC 120 độ Bài học sinh giải sai chưa nắm vững kiến thức véc tơ, có nhầm lẫn véctơ với đoạn thẳng, đặc biệt việc xác định góc hai véctơ với góc hai đường thẳng (khơng hiểu, khơng học kỹ định nghĩa) Lời giải sau: −15 cos A = = − Góc 15 0 α = 180 − 120 = 600 Ta có uuu r uuur −15 AB AC  =   ( AB  2  +  AC  2   −  BC  2 ) =   2 nên ur A = 1200 , góc hai đường thẳng AB, AC Khó khăn thứ hai sử dụng véc tơ để giải toán hình học lớp 10 học sinh phải gần ly khỏi hình ảnh trực quan, hình vẽ, (ít vẽ hình minh họa khơng cần thiết), nên khó tưởng tượng, hiểu tốn cách hình thức, khơng hiểu nghĩa hình học tốn Vì học sinh có thói quen giải tốn hình học phải vẽ hình nên sử dụng PPVT để giải số tập khơng sử dụng 12 hình vẽ, học sinh gặp nhiều khó khănulúng túng ur r uuu r r Ví dụ 3: Cho tam giác ABC Đặt CA = a, CB = b Lấy điểm A’, B’ cho uuur r uuur r uur CA ' = ma , CB ' = nb Gọi I giao điểm A’B B’A Hãy biểu thị véc tơ CI r r theo hai véc tơ a, b uuur r uuur r Học sinh giải tốn sau: ta có CA ' = ma, CB ' = nb nên CA ' =m CA CA '+ A ' A CA ' m Tương tự: BB ' = − n Gọi I chia đoạn AB’ theo = ⇒ = CA ' m A' A − m CB tỷ số x , B, I, A’ thẳng hàng nên áp dụng định l Menêlẳyt ta có uur m − uuur CA − CB ' uu r r uur m − m AI m − uuu m(1 − n ) (1 + n ) x =1⇔ x = IA = IB ' ⇒ CI = hay m −1 1− m m(1 − n ) IB ' m(1 − n ) 1− m(1 − n ) u u r u u u r m( n − 1) n(1 − m) = CA + CB ' − mn − mn ⇒ Nhìn kết trình làm lơgic hồn hảo Phân tích sai lầm: Trong q trình giải, ly khỏi hình vẽ nên HS xác định “nhầm” vị trí điểm I: điểm I nằm tam giác ABC.Mặc dù kết cuối đúng, lời giải chưa xác, “thu hẹp” điều kiện m, n là: m > 0, n > Mặt khác, HS xác “định” nhầm: từ tỉ số BB ' = − n , suy điểm B chia đoạn thẳng B’C theo tỷ số − n , BC làm tương tự với điểm A’ -Lời giải utốn sau: Vì I thuộc A’B AB’ nên có rcác số x uur uuur uu r uur uuur r r ur y : CI = x.CA ' + (1 − x ).CB = y.CA + (1 − y )CB ' hay xma  +  (1 −  x )b =  ya  +  (1 −  y )nb  mx = y 1− n ⇒x= kết − mn 1 − x = (1 − y )n r r Vì hai véc tơ a, b không phương nên :  uur biết CI = m( n − 1) uur n(1 − m) uuur CA + CB ' − mn − mn Học sinh thường gặp khó khăn chuyển tốn từ ngơn ngữ hình học thơng thường sang ngơn ngữ hình học véctơ ngược lại Vì cần rèn luyện cho học sinh kỹ chuyển tương đương quan hệ hình học từ cách nói thơng thường sang dạng véctơ để vận dụng cơng cụ véctơ giải tốn Phương pháp dùng véc tơ để giải tốn hình học lớp 10 có nhiều tiện lợi việc giải tập Tuy vậy, sử dụng phương pháp học sinh gặp phải số khó khăn, khơng tránh khỏi sai lầm giải toán: lần làm quen với đối tượng véctơ, phép toán véctơ Các phép toán véctơ lại có nhiều tính chất tương tự số mà học sinh học trước đó, học sinh chưa hiểu rõ chất khái niệm phép toán nên dễ ngộ nhận, mắc sai lầm sử dụng PPVT 13 C HIỆU QUẢ CỦA SÁNG KIẾN Sáng kiến áp dụng trình giảng dạy chuyên đề hình học lớp 10F, 10H, năm học 2017 – 2018 Qua thực tế giảng dạy với việc sử dụng phương pháp nghiên cứu thấy kỹ giải tốn hình học phương pháp véc tơ em nâng lên rõ rệt, góp hần nâng cao chất lượng giảng dạy mơn Tốn nói riêng chất lượng giáo dục nói chung Điều chứng minh kết học tập học sinh lớp 10F, 10H năm học 2017 – 2018 sau: Giỏi Khá Trung bình Yếu - Kém Lớp Đầu năm Cuối năm Đầu năm Cuối năm Đầu năm Cuối năm Đầu năm Cuối năm 10F 4% 8% 32% 45% 54% 43% 10% 4% 10H 5% 9% 33% 46% 51% 42% 11% 3% 14 KẾT LUẬN Qua vấn đề trình bày s n g k i ế n n y rút số kết luận sau: 1.Trong nhiệm vụ mơn tốn trường THPT, với việc truyền thụ tri thức, rèn luyện kỹ nhiệm vụ quan trọng, sở để thực nhiệm vụ khác Để rèn luyện kỹ giải tốn, góp phần bồi dưỡng lực giải toán cho học sinh cần đưa hệ thống tập đa dạng, hợp lí, xếp từ dễ đến khó nhằm giúp học sinh củng cố kiến thức, rèn luyện kỹ phát triển tư biết áp dụng toán học vào thực tiễn S n g k i ế n hướng dẫn cho học sinh phương pháp tìm lời giải toán theo bốn bước lược đồ Pôlya S n g k i ế n đề xuất số biện pháp sư phạm phù hợp, thông qua hệ thống tập nhằm rèn luyện kỹ giải tập HH PPVT với nội dung phong phú đề cập tới hầu hết tình điển hình mà học sinh hay gặp giải toán HH phẳng PPVT Đáp ứng nhu cầu tự học, tự nghiên cứu học sinh, điều có tác dụng rèn luyện lực giải toán cho học sinh THPT Kết thu qua thử nghiệm chứng tỏ cho tính khả thi hiệu biện pháp mà sáng ki ến đề cập tới Sáng ki ến góp phần việc nâng cao chất lượng dạy học trường THPT Với ý kiến trình bày hi vọng tài liệu tham khảo cho Thầy cô giáo, đặc biệt thầy giáo chưa có nhiều kinh nghiệm giảng dạy, góp phần nâng cao giảng dạy nói chung mơn tốn nói riêng Với kinh nghiệm ỏi chắn sáng kiến nhiều thiếu sót mong đóng góp ý kiến độc giả để sáng kiến đầy đủ có ý nghĩa thiết thực Đồng thời vấn đề mở cần tiếp tục nghiên cứu mở rộng thêm 15 ... kết học tập phạm vi chuyên đề sử dụng “phương pháp véc tơ để giải tốn hình học Với lí trên, tơi chọn đề tài nghiên cứu Rèn luyện kỹ giải toán cho học sinh thông qua giải tập VÉC TƠ hình học 10 ... dạy học tập hình học 10 qua phương pháp dùng véc tơ, nhằm rèn luyện kỹ giải toán cho học sinh Đối tượng nghiên cứu 3.1 Phương pháp giải tập hình học phẳng phương pháp véc tơ 3.2 Các tập hình học. .. Độc lập – Tự – Hạnh phúc TÊN ĐỀ TÀI, SÁNG KIẾN, GIẢI PHÁP: “RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI TOÁN CHO HỌC SINH THÔNG QUA GIẢI BÀI TẬP VỀ VÉC TƠ TRONG HÌNH HỌC 10 Họ tên: Nguyễn Thị Hạnh Chức vụ: Giáo viên