skkn rèn luyện kỹ năng giải toán bằng phương pháp vectơ trong chương trình hình học 10

SKKN: Rèn luyện kĩ giải toán phương pháp vectơ chương trình hình học 10 MỤC LỤC MỤC LỤC………………………………………………………………………………… CÁC CỤM TỪ VIẾT TẮT TRONG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM…………………… PHẦN I: LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI…………………………………………………………1 Lí chọn đề tài………………………………………………………………… Nhiệm vụ đề tài…………………………………………………………… .1 Phạm vi nghiên cứu……………………………………………………………… PHẦN II: NỘI DUNG…………………………………………………………………… Những vấn đề lý luận chung…… ……………………………………………… 2 Thực trạng vấn đề……….…………………………………………………… Các biện pháp tiến hành để giải vấn đề………………………………… Hiệu sáng kiến kinh nghiệm………………………………………………….12 PHẦN III: KẾT LUẬN………………………………………………………………… 13 TÀI LIỆU THAM KHẢO……………………………………………………………… 14 NHỮNG CỤM TỪ VIẾT TẮT TRONG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Văn Bùi Vũ_Trường THCS & THPT Hà Trung SKKN: Rèn luyện kĩ giải toán phương pháp vectơ chương trình hình học 10 Học sinh: Giáo viên: Hình học : Phương pháp vectơ: Sách giáo khoa: Sách tập: Trung học sở: Trung học phổ thông: Văn Bùi Vũ_Trường THCS & THPT Hà Trung HS GV HH PPVT SGK SBT THCS THPT SKKN: Rèn luyện kĩ giải toán phương pháp vectơ chương trình hình học 10 PHẦN I: LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Lý chọn đề tài Vectơ khái niệm tảng Toán học đại Không phạm vi toán học, vectơ sử dụng rộng rãi lĩnh vực vật lí kĩ thuật Trong chương trình hình học hành khái niệm vectơ đưa vào từ đầu năm học lớp 10 có vai trò quan trọng , vectơ vừa đối tượng nghiên cứu, vừa công cụ để nghiên cứu hình học đồng thời phục vụ cho việc học môn Vật lí Thực tế dạy học cho thấy, việc sử dụng phương pháp vectơ giúp học sinh có thêm công cụ để nghiên cứu ,diễn đạt, suy luận giải toán hình học, tránh ảnh hưởng lợi từ trực giác Tuy nhiên, sử dụng phương pháp vectơ học sinh gặp phải số khó khăn, không trình giải tập không tránh khỏi sai lầm giải toán hình học 10 Khó khăn thứ mà học sinh gặp phải lần làm quen với đối tượng vectơ, phép toán vectơ Học sinh khó khăn việc chiếm lĩnh hai đặc trưng độ dài định hướng vectơ,khó khăn việc hiểu chất kép đại số_hình học phép toán vectơ nên dễ ngộ nhận, mắc sai lầm sử dụng PPVT Khó khăn thứ hai sử dụng PPVT thoát khỏi hình ảnh trực quan, hình vẽ nên khó tưởng tượng, hiểu toán cách hình thức, không hiểu nghĩa hình học toán Học sinh thường gặp khó khăn chuyển toán từ ngôn ngữ hình học thông thường sang “ngôn ngữ vectơ” ngược lại Với lí trên, chọn đề tài nghiên cứu “Rèn luyện kỹ giải toán phương pháp vectơ chương trình hình học 10” nhằm giúp học sinh có cách nhìn rộng hơn, hình thành cho học sinh kỹ giải toán hình học PPVT Nhiệm vụ đề tài Nghiên cứu phương pháp giảng dạy giải tập toán theo hướng hình thành rèn luyện kỹ giải toán cho học sinh, nhằm nâng cao chất lượng giảng dạy môn Phạm vi nghiên cứu Bài tập hình học phẳng phương pháp vectơ chương I, chương II SGK, SBT hình học 10 theo chương trình nâng cao Kỹ giải toán hình học PPVT học sinh khối 10 trường THCS&THPT Hà Trung Văn Bùi Vũ_Trường THCS & THPT Hà Trung SKKN: Rèn luyện kĩ giải toán phương pháp vectơ chương trình hình học 10 PHẦN II: NỘI DUNG Những vấn đề lý luận chung Hình thành cho học sinh quy trình chung , phương pháp tìm lời giải cho toán theo quy trình bốn bước Pôlya Hình thành cho học sinh bước giải toán hình học phương pháp vectơ Xuất phát từ yêu cầu học sinh kiến thức kỹ chương I, II-SGK HH nâng cao là: - Về kiến thức bản: nắm khái niệm vectơ, hai vectơ nhau, hai vectơ đối nhau, vectơ không, quy tắc ba điểm, quy tắc hình bình hành, định nghĩa tính chất phép cộng, phép trừ, phép nhân vectơ với số thực, tích vô hướng hai vectơ, tính chất trung điểm đoạn thẳng, tính chất trọng tâm tam giác, điều kiện để hai vectơ phương - Về kỹ bản: Biết dựng vectơ vectơ cho trước, biết lập luận hai vectơ nhau, vận dụng quy tắc hình bình hành, quy tắc ba điểm để dựng vectơ tổng giải số toán, biết xác định số thực k hai vectơ phương r r r r a, b cho b = k a , vận dụng tính chất tích vô hướng hai vectơ, đặc biệt để xác định điều kiện cần đủ hai vectơ ( khác vectơ không) vuông góc với nhau, vận dụng tổng hợp kiến thức vectơ để nghiên cứu số quan hệ hình học như: tính thẳng hàng ba điểm, trung điểm đoạn thẳng, trọng tâm tam giác, giao điểm hai đường chéo hình bình hành… Thực trạng vấn đề Trong thực tế dạy học cho thấy PPVT có nhiều tiện lợi việc giải tập hình học Tuy vậy, học sinh thường gặp khó khăn vận dụng kiến thức vectơ vào giải tập cụ thể học sinh không nắm vững kiến thức khái niệm, định lý, quy tắc, không trở thành sở kỹ Khó khăn thứ mà học sinh gặp phải lần làm quen với đối tượng vectơ, phép toán vectơ Học sinh khó khăn việc chiếm lĩnh hai đặc trưng độ dài định hướng vectơ,khó khăn việc hiểu chất kép đại số_hình học phép toán vectơ nên dễ ngộ nhận, mắc sai lầm sử dụng PPVT Khó khăn thứ hai sử dụng PPVT thoát khỏi hình ảnh trực quan, hình vẽ nên khó tưởng tượng, hiểu toán cách hình thức, không hiểu nghĩa hình học toán Học sinh thường gặp khó khăn chuyển toán từ ngôn ngữ hình học thông thường sang “ngôn ngữ vectơ” ngược lại Các biện pháp tiến hành để giải vấn đề Trong trình dạy học giải tập toán nghĩa giáo viên cung cấp cho học sinh lời giải toán Biết lời giải toán không quan trọng làm để giải toán Để làm tăng hứng thú học tập học sinh, phát triển tư duy, thầy giáo phải hình thành cho học sinh môt quy trình chung, phương pháp tìm lời giải cho Văn Bùi Vũ_Trường THCS & THPT Hà Trung SKKN: Rèn luyện kĩ giải toán phương pháp vectơ chương trình hình học 10 toán.Theo Pôlya, phương pháp tìm lời giải cho môt toán thường tiến hành theo bước sau: Bước 1: Tìm hiểu nội dung toán Bước 2: Xây dựng chương trình giải Bước 3: Thực chương trình giải Bước 4: Kiểm tra nghiên cứu lời giải Sau ví dụ áp dụng quy trình bốn bước giải toán Polya để chứng minh: Ví dụ 1: Cho đường tròn tâm I, bán kính R điểm M Một đường thẳng qua M uuur uuur cắt đường tròn hai điểm A, B Chứng minh rằng: MA.MB = MI − R (*) Giải: Bước 1: Tìm hiểu toán - GV: Nhận xét vế đẳng thức (*) - HS: Vế trái chứa yếu tố tích vô hướng hai uuur uuur vectơ MA, MB Vế phải chứa yếu tố độ dài Bước 2: Xây dựng chương trình giải - GV: Để biến đổi vế trái thành vế phải, phải phân uuur uuur tích vectơ MA, MB theo vectơ để chuyểnuu từur yếu tố vectơ sang yếu rtố độ dài? uur uuuur uuu r uuu r uuuur uuuur uuur uuu - HS: MA = MB ' + B ' A , MB = MI + IB, MB ' = MI + IB ' uuur uuuur uur uuu r uuur uuuur uur uuu r - GV: Tìm mối liên hệ MB B ' A ; IB IB ' Hs: MB ⊥ B ' A, IB = − IB ' Bước 3: Trình bày lời giải uuur uuur uuur uuuur uuuur ( ) uuur uuuur ( uuu r uur uuu r uuu r )( ) uuu r uur2 Hs: MA.MB = MB MB ' + B ' A = MB.MB ' = MI + IB MI + IB ' = MI − IB = MI − R uuur uuuur uuur uuuur uuu r uur Do MB ⊥ B ' A nên MB.B ' A = , IB ' = − IB Bước 4: Kiểm tra nghiên cứu lời giải uuur uuur - GV: Tìm mối liên hệ MA.MB MT M nằm đường tròn? uuur uuur - HS: MA.MB = MT với MT tiếp tuyến kẻ từ M đến đường tròn (I) uuur uuur - GV: Giá trị không đổi MA.MB = MI − R toán gọi phương tích điểm M đường tròn (I) kí hiệu PM /( I ) Áp dụng quy trình bốn bước dạy giải tập toán hình học 10, giáo viên cần hình thành cho học sinh bước giải toán hình học phương pháp vectơ theo quy trình bốn bước sau: Bước 1: Chọn vectơ sở Bước 2: Dùng phương pháp phân tích vectơ phép toán vectơ để biểu diễn, chuyển từ ngôn ngữ hình học thông thường sang ngôn ngữ vectơ Bước 3: Giải toán vectơ Bước 4: Kết luận, đánh giá kết Văn Bùi Vũ_Trường THCS & THPT Hà Trung SKKN: Rèn luyện kĩ giải toán phương pháp vectơ chương trình hình học 10 Cụ thể minh họa quy trình bốn bước ví dụ sau: Ví dụ 2: Cho góc xOy hai điểm di chuyển hai cạnh góc M thuộc Ox, N thuộc Oy, thỏa mãn OM = 2ON Chứng minh trung điểm I MN thuộc đường thẳng cố định Hướng dẫn giải: uuu r uuur Bước 1: Lấy điểm A ∈ Ox, B ∈ Oy cho OA = OB, chọn hai vectơ OA, OB làm hai vectơ sở Mọi vectơ toán phân tích được( biểu thị được) qua hai vectơ uuur uuur uuuu r uuu r Bước 2: Giả thiết OM = 2ON, nên ON = kOB OM = 2kOA Điều phải chứng minh I thuộc đường thẳng cố định (dễ thấy đường thẳng qua O) tương r uur r đương với OI = lv , với v vectơ cố định Bước 3: Do I trung điểm MN nên ta có : uur uuuu r uuur uuu r uuur OI = OM + ON = k 2OA + OB 2 uuu r uuu r r Đặt k = l ,2OA + OB = v , ta điều phải chứng minh ( ) ( ) Bước 4: Nhận xét: uuur uuu r r uuur uuur Nếu lấy OA ' = 2OA v = OA ' + OB , suy đường thẳng cố định qua O trung điểm A’B Lưu ý học sinh: Ta tổng quát hóa toán theo hai cách: - Thay cho giả thiết OM = 2ON OM = m.ON (với m số) - Thay cho kết luận: Trung điểm I MN thuộc đường thẳng cố định kết luận: Mỗi điểm chia MN theo tỉ số IM p = (p, q số dương) thuộc đường thẳng IN q cố định Ví dụ 3: (Bài toán 3_tr 21_SGK HH 10-nâng cao) Cho tam giác ABC Gọi O, G, H tâm đường tròn ngoại tiếp, trọng tâm , trực tâm tam giác ABC Chứng minh O, G, H thẳng hàng Hướng dẫn giải Ngôn ngữ hình học Ngôn ngữ vectơ uuu r uuu r uuur uuur GT H trực tâm tam giác ABC OA + OB + OC = OH O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC uuu r uuu r uuur r G trọng tâm tam giác ABC GA + GB + GC = uuur uuur uuuu r uuuu r MA + MB + MC = 3MG (M tùy ý), ta chon M ≡ O Việc lựa chọn Văn Bùi Vũ_Trường THCS & THPT Hà Trung SKKN: Rèn luyện kĩ giải toán phương pháp vectơ chương trình hình học 10 KL dựa vào phân tích kết luận toán uuur uuur Tồn số thực k : OH = kOG O, H, G thẳng hàng uuu r uuu r uuur uuur uuur Chọn vectơ sở: OA, OB, OC Ta phân tích vectơ OH , OG qua ba vectơ uuur uuu r uuu r uuur Giải: Vì G trọng tâm tam giác ABC nên ta có: OG = OA + OB + OC uuur uur Gọi I trung điểm BC Dễ thấy AH = 2OI tam giác ABC vuông Nếu tam giác ABC không vuông, gọi D điểm đối xứng A qua O Khi đó: BH song song với DC BD song song với CH Suy BDCH hình bình hành, I trung điểm uuur uur HD Từ AH = 2OI uuu r uuur uur uuur Tacó: OB + OC = 2OI = AH nên uuu r uuur uuur uuu r uuur uuur OA + OB + OC = OA + AH = OH uuur uuur Vậy OH = 3OG suy O, H, G thẳng hàng ( ) Nhận xét: Đường thẳng qua ba điểm gọi đường thẳng Ơle tam giác ABC Để thực bốn bước giải toán PPVT giáo viên cần rèn luyện cho học sinh số kỹ sau trình giải toán: Kỹ thứ nhất: Diễn đạt quan hệ hình học ngôn ngữ vectơ Quan hệ hình học I trung điểm đoạn thẳng AB G trọng tâm tam giác ABC Ba điểm A,B, C thẳng hàng Hai điểm B, C trùng Ngôn ngữ vectơ uu r uur uur uur uuu r IA = − IB, AI = IB = AB uu r uur r IA + IB = Hình biểu diễn uuu r uuu r uuur r GA + GB + GC = uuur uuur uuuu r uuuu r MA + MB + MC = 3MG (M điểm tùy ý) uuu r uuur uuur uuur AB = k AC , AC = k BC , uuur uuu r uuu r OC = kOA + lOB Với O tùy ý k + l = uuur r uuu r uuur BC = 0, AB = AC Văn Bùi Vũ_Trường THCS & THPT Hà Trung SKKN: Rèn luyện kĩ giải toán phương pháp vectơ chương trình hình học 10 Hai đường thẳng song song AB // CD Điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số k ≠ AM trung tuyến tam giác ABC uuur uuur AB = kCD uuur uuur MA = k MB uuu r uuu r uuuu r OA − kOB OM = 1− k uuu r uuur uuuu r AB + AC = AM uuur uuur Hai đường thẳng vuông góc AB.CD = AB ⊥ CD Như vậy, việc chuyển toán sang ngôn ngữ vectơ điểm xuất phát việc sử dụng công cụ vectơ để giải toán Kỹ thứ hai: Phân tích vectơ thành tổ hợp vectơ Một khâu mấu chốt khác để giải toán hình học PPVT GV cần rèn luyện cho HS kỹ vận dụng quy tắc hình bình hành, quy tắc ba điểm để phân tích vectơ thành tổ hợp vectơ khác • Phương pháp 1: Vận dụng quy tắc hình bình hành Ví dụ 4: Cho tam giác ABC có cạnh BC = a, AC = b, AB = a Gọi I tâm đường uu r uur uur r tròn nội tiếp tam giác ABC Chứng minh rằng: a.IA + b.IB + c.IC = Hướng dẫn giải: uur uur uu r Phân tích IA theo hai véc tơ IB, IC quy tắc hình bình hành Dựng hình bình hành AC ' IB ' có AC '/ / IB', AB '/ / IC' uu r uuu r uuur Ta IA = IB ' + IC ' (1) uuur IC ' DA c uur = = , IC IC ' ngược hướng nên ta có: IC DC a uuu r IB ' EA b uur = = , IB IB ' ngược hướng nên ta có: IB EB a Văn Bùi Vũ_Trường THCS & THPT Hà Trung uuur c uur IC ' = − IC a uuu r b uur IB ' = − IB a (2) (3) SKKN: Rèn luyện kĩ giải toán phương pháp vectơ chương trình hình học 10 Thay (2), (3) vào (1) ta được: uu r uu r uur uur r b uur c uur IA = − IB − IC ⇔ a.IA + b.IB + c.IC = a a • Phương pháp 2: Phương pháp xen điểm (vận dụng quy tắc ba điểm) Ví dụ 5: uuu r uuur uuur uuur uuur uuur Cho bốn điểm A,B,C,D tùy ý Chứng minh rằng: AB.CD + AC.DB + AD.BC = (*) Hướng dẫn giải: Phân tích: Để tổng 0, ta chọn phép biến đổi làm xuất cặp giá trị đối uuur uuur uuur Chọn véc tơ AB, AC , AD làm vectơ sở Mọi vectơ xuất toán phân tích qua vectơ uuur uuur uuur uuur uuur uuur Ta có: AB.CD + AC.DB + AD.BC uuu r uuur uuur uuur uuu r uuur uuur uuur uuu r = AB AD − AC + AC AB − AD + AD AC − AB uuu r uuur uuur uuu r uuur uuu r uuu r uuur uuur uuur uuur uuur = AB AD − AD AB + AC AB − AB AC + AD AC − AC AD = Nhận xét: Đẳng thức vectơ (*) gọi hệ thức Ơle Có thể áp dụng hệ thức Ơle để chứng minh: “ Ba đường cao tam giác đồng quy” Thật vậy, giả sử đường cao kẻ từ B, C tam giác ABC cắt H Áp dụng uuur uuur uuur uuu r uuur uuur hệ thức Ơle cho bốn điểm H, A, B, C ta có: HA.BC + HB.CA + HC AB = uuur uuu r uuur uuu r uuur uuur Do HB ⊥ AC , HC ⊥ AB nên HB.CA = HC AB = từ HA.BC = tức HA ⊥ BC uuu r uuur uuur uuur uuur uuur Kết vừa chứng minh mở rộng đẳng thức AB.CD + AC.DB + AD.BC = A, B, C, D nằm đường thẳng Ví dụ 6: Cho tam giác ABC, lấy điểm M, N, P cho: uuur uuuu r r uuu r uuur r uuu r uuu r r MB − 2MC = 0, NA + NC = 0, PA + PB = Chứng minh rằng: M, N, P thẳng hàng ( ) ( ) ( ) Hướng dẫn giải: uuur uuur Chọn hai véc tơ AB, AC làm hai vectơ sở Mọi vectơ xuất toán phân tích qua hai vectơ uuuu r uuur - Chỉ số thực k cho: PM = k PN Văn Bùi Vũ_Trường THCS & THPT Hà Trung SKKN: Rèn luyện kĩ giải toán phương pháp vectơ chương trình hình học 10 uuuu r uuur uuu r - Với điểm O tỉ số thực t ta có: OM = tON + (1 − t )OP Ta có: uuuu r uuu r uuuu r uuur uuur PM = PB + BM = AB + 2BC r uuu r uuur uuu = AB + AB + BC r uuur r uuur  uuu  uuu = − AB + AC =  − AB + AC ÷   uuur uuu r uuur u u u r u u u r PN = PA + AN = − AB + AC uuuu r uuur Ta thấy PM = 3PN Vậy M, N, P thẳng hàng ( ) Kỹ thứ ba: Ghép số vectơ tổ hợp vectơ Ví dụ 7: Cho tứ giác ABCD Gọi M, N, I trung điểm AB, CD, MN uu r uur uur uur r Ta biết IA + IB + IC + ID = uu r uur uur uur r Đặt tổ hợp vectơ IA + IB + IC + ID = v r Nếu nhìn v dạng r uu r uur uur uur uur uur v = IA + ID + IB + IC = 2IE + 2IF ( ) ( ) (E, F trung điểm AD, BC ) ta E, I, F thẳng hàng r Nếu nhìn v dạng r uu r uur uur uur uur uur v = IA + IC + IB + ID = 2IP + IQ (P, Q ( ) ( ) trung điểm AC, BD) ta P, I, Q thẳng hàng r Nếu nhìn v dạng r uu r uur uur uur uur uur v = IA + IB + IC + ID = 3IG + ID với (G ( ) trọng tâm tam giác ABC) ta có G, I, D thẳng hàng Tương tự, dẫn đến đoạn nối đỉnh tứ giác ABCD trọng tâm tam giác tạo ba đỉnh lại đồng quy Rõ ràng nhìn tổ hợp vectơ theo nhóm ta có nhiều kết thú vị Ví dụ 8: ( Bài tập 8-tr17-SGK HH10-cơ bản) Văn Bùi Vũ_Trường THCS & THPT Hà Trung 10 SKKN: Rèn luyện kĩ giải toán phương pháp vectơ chương trình hình học 10 Cho lục giác ABCDEF Gọi M, N, P, Q, R, S trung điểm cạnh AB, BC, CD, DE, EF, FA Chứng minh hai tam giác MPR NQS có trọng tâm Giải: uuuu r uuur uuu r r Gọi G trọng tâm tam giác MNP, ta có: GM + GN + GP = uuuu r uuu r uuu r uuu r uuur uuur uuu r uuur uuur Mặt khác: 2GM = GA + GB, 2GP = GC + GD, 2GR = GE + GF uuu r uuu r uuur uuur uuur uuur uuuu r uuu r uuu r r Suy ra: GA + GB + GC + GD + GE + GF = 2(GM + GP + GR ) = uuu r uuur uuur uuur uuu r uuur r uuur uuur uuu r r Do đó: (GB + GC ) + (GD + GE ) + (GA + GF ) = ⇔ 2GN + 2GQ + 2GS = uuur uuur uuu r r ⇔ GN + GQ + GS = Vậy G trọng tâm tam giác NQS Tóm lại: ∆MPR ∆NQS có trọng tâm Kỹ thứ tư: Khái quát hóa số kết để vận dụng vào toán tổng quát Thông qua việc học sinh vận dụng kiến thức vectơ để chứng minh số tính chất hình học, giáo viên hướng dẫn cho học sinh khả phân tích, tổng hợp, khái quát hóa…chẳng hạn giúp học sinh khái quát hóa vấn đề sau: uuu r uuu r uuur uuur r O tâm hình bình hành ABCD: OA + OB + OC + OD = O trung điểm đoạn thẳng nối trung điểm hai đường chéo hai uuu r uuur uuur uuur r cạnh đối tứ giác ABCD: OA + OB + OC + OD = Ví dụ 9: Ta có toán: uuur uuur Cho tứ giác ABCD Chứng minh : AB + CD − BC − AD = AC BD (*) Từ toán ta thấy: uuur uuur Nếu tứ giác ABCD có AC ⊥ BD AC.BD = ,khi : AB + CD = BC + AD uuur uuuuuuur Nếu tứ giác ABCD có AB + CD = BC + AD từ (*) suy AC.BD = hay AC ⊥ BD Trong tứ giác ABCD: AC ⊥ BD ⇔ AB + CD = BC + AD Ví dụ 10: Ta có toán: Chứng minh G G’ trọng tâm tam uuur uuur uuuu r uuuur giác ABC A’B’C’ thì: AA ' + BB ' + CC ' = 3GG ' Từ toán , ta đặt toán “phủ định” là: Điều kiện cần đủ để hai tam giác ABC A’B’C’ có trọng tâm? uuur uuur uuuu r r Hai tam giác ABC A’B’C’ có trọng tâm: AA ' + BB ' + CC ' = Văn Bùi Vũ_Trường THCS & THPT Hà Trung 11 SKKN: Rèn luyện kĩ giải toán phương pháp vectơ chương trình hình học 10 Trong trình giải tập hình học lúc việc áp dụng qui trình bốn bước giải toán HH PPVT rõ ràng thuận lợi Vì vậy, trình giảng dạy, giáo viên hướng dẫn học sinh linh hoạt vận dụng phương pháp tìm lời giải toán theo bốn bước Polya hay sử dụng quy trình bốn bước giải toán HH PPVT Sau ví dụ minh họa cho điều này: Ví dụ 11: Cho hình vuông ABCD, E, F điểm xác định uuu r uuur uuur uuur BE = BC , CF = − CD , đường thẳng AE cắt BF I CMR: ·AIC = 900 Hướng dẫn giải: uuu r r uuur r Đặt AB = a, AD = b Chọn hai vectơ làm véc tơ sở Mọi vectơ toán phân tích qua hai vectơ rr Giả thiết ABCD hình vuông ta có AB ⊥ AD hay a.b = uur uuur -Giả sử BI = k BF Vì A, I, E thẳng hàng nên uuur uur uuur uur phương Biểu diễn AE , AI AE , AI theo hai r r vectơ sở a, b sau dùng điều kiện phương ta tìm k -Điều phải chứng minh ·AIC = 900 , tương đương uur uur uur uur AI CI = Với AI , CI phân tích qua rr r r a, b (để sử dụng giả thiết a.b = 0) uuu r r uuur r r r Đặt AB = a, AD = b, a = b = a (a độ dài cạnh hình vuông) uuur uuu r uuur uuu r uuur r r Ta có: AE = AB + AC = AB + AD = a + b 3 3 uur uuu r uur uuu r uuur  k  uuu r uuur  k  r r AI = AB + BI = AB + k BF = 1 + ÷AB + k AD = 1 + ÷a + kb  2  2 uuur uur k  k Vì AE , AI phương nên: 1 + ÷:1 = k : ⇒ + = 3k ⇒ k =  2 uur r r uur uur uuur r r AI = a + b CI = AI − AC = a − b Vậy: Mặt khác 5 5 uur uur  r r  r r  6 Ta có: AI CI =  a + b ÷ a − b ÷ = a − a = Suy AI ⊥ CI  5  25 25 5 Kết luận ·AIC = 900 Văn Bùi Vũ_Trường THCS & THPT Hà Trung 12 SKKN: Rèn luyện kĩ giải toán phương pháp vectơ chương trình hình học 10 PPVT có nhiều thuận lợi việc giải tập hình học Tuy vậy, trình thực tế đứng lớp giảng dạy sử dụng phương pháp học sinh gặp số khó khăn, không tránh khỏi sai lầm giải toán hình học lớp 10 Sau sai lầm học sinh trình giải tập: uuu r uuur uuur uuu r Ví dụ 1: Cho bốn điểm A, B, C, D Chứng minh rằng: AB + CD = AD + CB Với toán trên, nhiều học sinh hiểu toán sau: Cho bốn điểm A, B, C, D Chứng minh AB + CD = AD +CB Vì hiểu sai toán dẫn đến khó khăn trình tìm lời giải toán uuu r uuur Ví dụ 2: Cho tam giác ABC với AB = 3, AC = 5, BC = Tính AB AC , tính góc A, góc hai đường thẳng AB AC Có học sinh giải toán sau: Lời giải 1: uuu r uuur uuu r uuur AB AC µ Ta có : AB AC = 3.5 = 15 cos A = = nên số đo góc A 00 , suy góc AB AC hai đường thẳng AB, AC uuu r uuur 15 Lời giải 2: Ta có AB AC = ( AB + AC − BC ) = − 2 uuu r uuur AB AC cos µA = = − Suy góc A 1200 Vậy góc hai AB AC đường thẳng AB, AC 120 Bài học sinh giải sai chưa nắm vững kiến thức vectơ, độ dài vectơ tích vô hướng hai vectơ Đặc biệt có nhầm lẫn xác định góc hai vectơ góc hai đường thẳng Lời giải sau: uuu r uuur uuur uuur 15 AB AC 2 Ta có AB AC = ( AB + AC − BC ) = − , cos µA = = − Suy góc A 2 AB AC 1200 Vậy góc hai đường thẳng AB, AC 600 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm: Sáng kiến áp dụng trình giảng dạy chuyên đề hình học lớp mũi nhọn, bồi dưỡng học sinh giỏi trường THCS & THPT Hà Trung năm học 20112012 , 2014-2015 Qua thực tế giảng dạy với việc sử dụng phương pháp nghiên cứu thấy kỹ giải toán hình học phương pháp vectơ em nâng lên rõ rệt, góp phần nâng cao chất lượng giảng dạy môn Toán nói riêng chất lượng giáo dục nhà trường nói chung Điều minh chứng kết học tập học sinh lớp 10/1, 10/2 năm học 2011-2012 học sinh lớp 10/1 học kì I năm học 2014-2015 Kết học tập lớp áp dụng SKKN năm học 2011-2012 2014-2015: Văn Bùi Vũ_Trường THCS & THPT Hà Trung 13 SKKN: Rèn luyện kĩ giải toán phương pháp vectơ chương trình hình học 10 Yếu Trung bình Khá SL TL SL TL SL TL 2011-2012 10/1 31 0% 12,9% 15 48,4% 2014-2015 10/1 40 0% 12 30% 18 45% Kết học tập lớp không áp dụng SKKN năm học 2011-2012 Năm học Lớp 10/2 Lớp Sĩ số 40 Giỏi Sĩ số Yếu 11 27,5% Trung bình 17 42,5% Khá 22,5% SL 12 10 TL 38,7% 25% Giỏi 7,5% Tổng kết kinh nghiệm trình công tác thân, học tập tiếp thu kinh nghiệm đồng nghiệp, trao đổi trực tiếp với học sinh, giáo viên giảng dạy tìm khó khăn vướng mắc học sinh giải tập theo chủ đề vectơ để tìm phương pháp giúp hình thành kỹ giải toán hình học PPVT PHẦN III: KẾT LUẬN Văn Bùi Vũ_Trường THCS & THPT Hà Trung 14 SKKN: Rèn luyện kĩ giải toán phương pháp vectơ chương trình hình học 10 Qua vấn đề trình bày sáng kiến rút số kết luận sau: Trong nhiệm vụ môn toán trường THPT, với việc truyền thụ tri thức, rèn luyện kỹ nhiệm vụ quan trọng, sở để thực nhiệm vụ khác Để rèn luyện kỹ giải toán, góp phần bồi dưỡng lực giải toán cho học sinh cần đưa hệ thống tập đa dạng, hợp lí, xếp từ dễ đến khó nhằm giúp học sinh củng cố khiến thức, rèn luyện kỹ phát triển tư biết áp dụng toán học vào thực tiễn Sáng kiến hướng dẫn học sinh quy trình chung, phương pháp tìm lời giải toán theo bốn bước lược đồ Pôlya Sáng kiến đề xuất số biện pháp sư phạm phù hợp, thông qua hệ thống tập nhằm rèn luyện kỹ giải tập HH PPVT với nội dung phong phú đề cập tới hầu hết tình điển hình mà học sinh hay gặp giải toán HH PPVT Đáp ứng nhu cầu tự học, tự nghiên cứu học sinh, có tác dụng rèn luyện lực giải toán cho học sinh THPT Kết thu đươc qua thử nghiệm chứng tỏ tính khả thi hiệu biện pháp mà sáng kiến đề cập tới Sáng kiến góp phần việc nâng cao chất lượng dạy học trường THCS & THPT Hà Trung Với ý kiến trình bày hi vọng sáng kiến tài liệu tham khảo cho quý Thầy cô giáo, cho em học sinh góp phần nâng cao chất lượng giảng dạy nói chung môn toán nói riêng Với kinh nghiệm ỏi chắn sáng kiến thiếu sót mong đóng góp ý kiến độc giả để sáng kiến đầy đủ có ý nghĩa thiết thực Đồng thời vấn đề mở cần tiếp tục nghiên cứu mở rộng thêm TÀI LIỆU THAM KHẢO Văn Bùi Vũ_Trường THCS & THPT Hà Trung 15 SKKN: Rèn luyện kĩ giải toán phương pháp vectơ chương trình hình học 10 G.Polya – Sáng tạo toán học, NXB Giáo Dục-1997 Hà Văn Chương (2006), Tuyển chọn 400 toán Hình học 10, NXB Đại Học Quốc Gia Hà Nội PGS.TS Đậu Thế Cấp, Nguyễn Văn Quí, Nguyễn Việt Dũng (2011), Tuyển chọn 400 tập Toán 10 Hình học, NXB Đại Học Quốc Gia Thành Phố Hồ Chí Minh Lê Đức, Vương Ngọc (2010), Các dạng toán điển hình Hình học 10, NXB Đại Học Quốc Gia Hà Nội Hàn Liên Hải, Phan Huy Khải, Đào Ngọc Nam, Lê Thất Tôn, Đặng Quang Viễn (1996), Toán bồi dưỡng học sinh Hình học 10, NXB Hà Nội Lê Thị Thu Hà (2007), Rèn luyện kỹ giải toán cho học sinh phương pháp véctơ chương trình hình học 10, chương I + II nâng cao, Luận văn thạc sĩ Sách giáo khoa sách tập hình học 10 (cơ bản) , NXB Giáo Dục – 2006 Sách giáo khoa sách tập hình học 10 (nâng cao), NXB Giáo dục – 2006 Tài liệu chuẩn kiến thức kỹ môn Toán 10, NXB Giáo Dục – 2011 10 Các báo, tài liệu Internet, Tạp chí Toán học tuổi trẻ Văn Bùi Vũ_Trường THCS & THPT Hà Trung 16 [...]... 12 SKKN: Rèn luyện kĩ năng giải toán bằng phương pháp vectơ trong chương trình hình học 10 PPVT có nhiều thuận lợi trong việc giải các bài tập hình học Tuy vậy, trong quá trình thực tế đứng lớp giảng dạy khi sử dụng phương pháp này học sinh vẫn gặp một số khó khăn, và không tránh khỏi những sai lầm trong khi giải toán hình học lớp 10 Sau đây là những sai lầm cơ bản của học sinh trong quá trình giải. .. trao đổi trực tiếp với học sinh, giáo viên giảng dạy tìm ra những khó khăn vướng mắc của học sinh khi giải bài tập theo chủ đề vectơ để tìm ra phương pháp giúp hình thành kỹ năng giải toán hình học bằng PPVT PHẦN III: KẾT LUẬN Văn Bùi Vũ_Trường THCS & THPT Hà Trung 14 SKKN: Rèn luyện kĩ năng giải toán bằng phương pháp vectơ trong chương trình hình học 10 Qua những vấn đề trình bày trong sáng kiến này... dạng toán điển hình Hình học 10, NXB Đại Học Quốc Gia Hà Nội 5 Hàn Liên Hải, Phan Huy Khải, Đào Ngọc Nam, Lê Thất Tôn, Đặng Quang Viễn (1996), Toán bồi dưỡng học sinh Hình học 10, NXB Hà Nội 6 Lê Thị Thu Hà (2007), Rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh bằng phương pháp véctơ chương trình hình học 10, chương I + II nâng cao, Luận văn thạc sĩ 7 Sách giáo khoa và sách bài tập hình học 10 (cơ bản) ,... luyện kĩ năng giải toán bằng phương pháp vectơ trong chương trình hình học 10 1 G.Polya – Sáng tạo toán học, NXB Giáo Dục-1997 2 Hà Văn Chương (2006), Tuyển chọn 400 bài toán Hình học 10, NXB Đại Học Quốc Gia Hà Nội 3 PGS.TS Đậu Thế Cấp, Nguyễn Văn Quí, Nguyễn Việt Dũng (2011), Tuyển chọn 400 bài tập Toán 10 Hình học, NXB Đại Học Quốc Gia Thành Phố Hồ Chí Minh 4 Lê Đức, Vương Ngọc (2 010) , Các dạng toán. .. môn Toán nói riêng và chất lượng giáo dục của nhà trường nói chung Điều đó được minh chứng bởi kết quả học tập của học sinh lớp 10/ 1, 10/ 2 năm học 2011-2012 và học sinh lớp 10/ 1 trong học kì I năm học 2014-2015 Kết quả học tập ở lớp đã áp dụng SKKN trong năm học 2011-2012 và 2014-2015: Văn Bùi Vũ_Trường THCS & THPT Hà Trung 13 SKKN: Rèn luyện kĩ năng giải toán bằng phương pháp vectơ trong chương trình. .. CC ' = 3GG ' Từ bài toán trên , ta đặt bài toán “phủ định” là: Điều kiện cần và đủ để hai tam giác ABC và A’B’C’ có cùng trọng tâm? uuur uuur uuuu r r Hai tam giác ABC và A’B’C’ có cùng trọng tâm: AA ' + BB ' + CC ' = 0 Văn Bùi Vũ_Trường THCS & THPT Hà Trung 11 SKKN: Rèn luyện kĩ năng giải toán bằng phương pháp vectơ trong chương trình hình học 10 Trong quá trình giải bài tập hình học không phải lúc... kết luận sau: Trong các nhiệm vụ của môn toán ở trường THPT, cùng với việc truyền thụ tri thức, rèn luyện kỹ năng là một nhiệm vụ quan trọng, là cơ sở để thực hiện các nhiệm vụ khác Để rèn luyện kỹ năng giải toán, góp phần bồi dưỡng năng lực giải toán cho học sinh cần đưa ra một hệ thống bài tập đa dạng, hợp lí, được sắp xếp từ dễ đến khó nhằm giúp học sinh củng cố khiến thức, rèn luyện kỹ năng phát triển... dụng toán học vào thực tiễn Sáng kiến đã hướng dẫn học sinh quy trình chung, phương pháp tìm lời giải của bài toán theo bốn bước trong lược đồ của Pôlya Sáng kiến đã đề xuất được một số biện pháp sư phạm phù hợp, thông qua hệ thống bài tập nhằm rèn luyện kỹ năng giải bài tập HH bằng PPVT với nội dung phong phú đã đề cập được tới hầu hết các tình huống điển hình mà học sinh hay gặp khi giải toán HH bằng. .. góc A bằng 2 2 AB AC 2 1200 Vậy góc giữa hai đường thẳng AB, AC là 600 4 Hiệu quả sáng kiến kinh nghiệm: Sáng kiến này được áp dụng trong quá trình giảng dạy chuyên đề hình học ở các lớp mũi nhọn, bồi dưỡng học sinh giỏi tại trường THCS & THPT Hà Trung năm học 20112012 , 2014-2015 Qua thực tế giảng dạy với việc sử dụng phương pháp đã nghiên cứu tôi thấy kỹ năng giải toán hình học bằng phương pháp vectơ. . .SKKN: Rèn luyện kĩ năng giải toán bằng phương pháp vectơ trong chương trình hình học 10 Cho lục giác ABCDEF Gọi M, N, P, Q, R, S lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DE, EF, FA Chứng minh rằng hai tam giác MPR và NQS có cùng trọng tâm Giải: uuuu r uuur uuu r r Gọi G là trọng tâm tam giác MNP, ta có: GM + GN + GP ... Trung 11 SKKN: Rèn luyện kĩ giải toán phương pháp vectơ chương trình hình học 10 Trong trình giải tập hình học lúc việc áp dụng qui trình bốn bước giải toán HH PPVT rõ ràng thuận lợi Vì vậy, trình. .. phương pháp tìm lời giải cho Văn Bùi Vũ_Trường THCS & THPT Hà Trung SKKN: Rèn luyện kĩ giải toán phương pháp vectơ chương trình hình học 10 toán. Theo Pôlya, phương pháp tìm lời giải cho môt toán. . .SKKN: Rèn luyện kĩ giải toán phương pháp vectơ chương trình hình học 10 Học sinh: Giáo viên: Hình học : Phương pháp vectơ: Sách giáo khoa: Sách tập: Trung học sở: Trung học phổ thông: