skkn rèn luyện kĩ năng giải toán về phương trình đường thẳng trong không gian

I THÔNG TIN CHUNG Tên sáng kiến: Rèn luyện kĩ giải toán phương trình đường thẳng không gian Đồng tác giả: Họ tên Năm sinh Nơi thường trú Trần Thị Thơm 27/05/1984 Tổ 26 –P Đông Phong – Tp Lai Châu Trình độ chuyên môn Thạc sỹ Chức vụ công tác Tổ trưởng tổ Toán - Lí Nơi làm việc Trường THPT Thành Phố Điện thoại 01274282543 Tỷ lệ đóng góp tạo 50% Hoàng Xuân Thức 08/10/1984 Tổ 26 –P Đông Phong – Tp Lai Châu Thạc sỹ Thư ký hội đồng Trường THPT Thành Phố 0972112255 50% sáng kiến Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Phương pháp dạy học Môn Toán Thời gian áp dụng sáng kiến: Từ ngày 17 tháng 02 năm 2014 đến ngày 28 tháng 03 năm 2015 Đơn vị áp dụng sáng kiến: Tên đơn vị: Trường THPT Thành Phố Địa chỉ: Tổ 26 – Phường Đông Phong – TP Lai Châu Điện thoại: 02313.791.496 II NỘI DUNG SÁNG KIẾN Sự cần thiết, mục đích việc thực sáng kiến: 1.1 Sự cần thiết việc thực sáng kiến: Xã hội không ngừng phát triển, đất nước ta không cần người giỏi tri thức mà phải có kĩ sống tốt, kĩ giải công việc nhanh nhẹn hiệu quả…Luật Giáo dục số 38/2005/QH11, Điều 28 quy định: “Phương pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động sáng tạo học sinh, phù hợp với đặc điểm lớp học, môn học, bồi dưỡng phương pháp tự học, rèn luyện kĩ vận dụng kiến thức vào thực tiễn, tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh.” Nghị Hội nghị Trung ương khoá XI đổi bản, toàn diện giáo dục đào tạo khẳng định: “Tiếp tục đổi mạnh mẽ phương pháp dạy học theo hướng đại; phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo vận dụng kiến thức, kỹ người học; khắc phục lối truyền thụ áp đặt chiều, ghi nhớ máy móc Tập trung dạy cách học, cách nghĩ, khuyến khích tự học, tạo sở để người học tự cập nhật đổi tri thức, kỹ năng, phát triển lực…” Những quan điểm, định hướng nêu phản ánh nhu cầu đổi giáo dục, đồng thời tạo tiền đề, sở môi trường pháp lí thuận lợi cho việc đổi giáo dục phổ thông nói chung, đổi đồng phương pháp dạy học nói riêng Do môn Toán nói chung môn Toán trường THPT nói riêng đứng trước yêu cầu cấp bách, đổi nội dung, mục tiêu phương pháp dạy học Trong môn Toán tập toán học có vai trò quan trọng Thông qua giải tập, học sinh phải thực hoạt động định bao gồm nhận dạng thể định nghĩa, định lý, quy tắc, phương pháp, hoạt động toán học phức hợp, hoạt động trí tuệ phổ biến toán học, hoạt động trí tuệ chung hoạt động ngôn ngữ Vì vậy, rèn luyện kĩ giải toán cho học sinh vấn đề quan trọng dạy học, mục tiêu dạy học môn Toán, cần phải tiến hành có kế hoạch, thường xuyên, hệ thống, bền bỉ, liên tục Thông qua rèn luyện kĩ năng, học sinh biết vận dụng kiến thức học vào luyện tập, qua giúp học sinh hiểu sâu, nắm vững kiến thức, đồng thời góp phần phát triển lực trí tuệ, kĩ cần thiết cho sống Trong chương trình toán phổ thông, phương pháp tọa độ không gian nói chung, phương trình đường thẳng không gian nói riêng nội dung quan trọng Để làm tốt toán đòi hỏi học sinh phải nắm vững kiến thức hình học không gian, mối quan hệ đường thẳng, mặt phẳng mặt cầu Là dạng toán có tỷ lệ xuất phổ biến đề thi tốt nghiệp trung học phổ thông thi vào Cao đẳng, Đại học nên yêu cầu học sinh phải làm tốt dạng toán cần thiết Tuy nhiên thực tế trình dạy học cho thấy kĩ giải toán phương trình đường thẳng không gian học sinh yếu Học sinh gặp nhiều khó khăn dễ mắc sai lầm giải toán Các em dễ nhầm lẫn giải toán dạng với toán viết phương trình mặt phẳng, nhẫm lẫn với phương trình đường thẳng mặt phẳng Hơn học Phương trình đường thẳng không gian sách giáo khoa Hình học lớp 12 đưa cách chung chung chưa phân dạng cụ thể tường minh Vì việc hệ thống hóa phân dạng dạng tập số đông học sinh tiếp thu tốt phương trình đường thẳng việc làm cần thiết Xuất phát từ lí mà chọn đề tài nghiên cứu là: “ Rèn luyện kĩ giải toán phương trình đường thẳng không gian” 1.2 Mục đích việc thực sáng kiến: Xây dựng hệ thống toán đưa số biện pháp nhằm rèn luyện kĩ giải toán cho học sinh lớp 12 dạy học nội dung phương trình đường thẳng không gian đạt kết cao Phạm vi triển khai thực hiện: Học sinh lớp 12 trường THPT Thành Phố Mô tả sáng kiến: a Mô tả giải pháp trước tạo sáng kiến: Trường THPT thành phố thành lập năm 2007 Từ thành lập đến đội ngũ cán bộ, giáo viên nhà trường, quy mô trường lớp chất lượng hai mặt giáo dục không ngừng lớn mạnh phát triển Tỷ lệ đỗ tốt nghiệp lớp 12 hàng năm nhà trường trì ổn định, số lượng học sinh thi đỗ đại học, cao đẳng tăng Tuy nhiên chất lượng thi đỗ vào trường đại học khối A, B thấp Điểm thi môn Toán chưa cao Năm học 2014- 2015 nhà trường có nhóm giáo viên dạy môn toán đồng chí sinh hoạt tổ chuyên môn Toán – Lí với lớp 12 với tổng số 168 học sinh, có giáo viên trực tiếp giảng dạy 12 Tuy nhiên lực đội ngũ giáo viên chưa đồng đều, kinh nghiệm giảng dạy xử lý tình sư phạm có mặt hạn chế Việc đổi phương pháp dạy học chưa thật đồng hiệu Thông qua khảo sát thực tiễn tình hình học tập HS trao đổi trực tiếp với thầy cô giảng dạy môn toán lớp 12, nhận thấy việc giảng dạy nội dung phương trình đường thẳng không gian – Hình học 12 có số vấn đề cần quan tâm sau: - Các đối tượng hình học phương pháp tổng hợp trừu tượng có chỗ dựa trực quan, phát triển từ phương pháp tổng hợp sang phương pháp tọa độ đối tượng hình học tọa độ hóa nên mức độ trừu tượng cao hơn, HS khó thấy ý nghĩa, chất đối tượng hình học - Sự mở rộng từ phương trình đường thẳng mặt phẳng (lớp 10) sang phương trình đường thẳng không gian (lớp 12) gây khó khăn định cho HS Ví dụ cho phương trình 2x + y – = xét hệ trục Oxy phương trình đường thẳng xét hệ trục Oxyz phương trình mặt phẳng, đường thẳng không gian vectơ pháp tuyến mặt phẳng… - Việc nhận thức khái niệm tính chất gây khó khăn cho HS giải toán Nếu HS hiểu PTTS đường thẳng tất tham số ký hiệu t gây nhầm lẫn tìm giao điểm hai đường thẳng - Học sinh thường có biểu ngộ nhận mắc phải sai lầm như: + Hai đường thẳng vuông góc HS thừa nhận vuông góc tức cắt + Trong không gian, hai đường thẳng vuông góc với đường thẳng song song với + Hai đường thẳng thuộc hai mp vuông góc với vuông góc với + Nhầm lẫn góc hai đường thẳng góc hai VTCP - Quan hệ đối tượng hình học (như tính góc, khoảng cách, xét vị trí tương đối) mô tả công thức, có công thức phức tạp công thức tính khoảng cách hai đường thẳng (Chương trình nâng cao), ban lại đưa tính độ dài đoạn vuông góc chung Điều gây cho học sinh khó nhớ dễ nhầm tính toán - Khó khăn bộc lộ định hướng giải, cách giải toán không gian: Khó tìm cách giải, xem lời giải thấy dễ hiểu (Để tháo gỡ vấn đề này, giáo viên tiến hành cách xây dựng quy trình phương pháp thực giải toán) - Vấn đề dạng khác đáp số: Học sinh thường lúng túng viết phương trình đường thẳng, mặt phẳng cách khác có kết khác Cần làm cho học sinh nhớ lại khái niệm tương đương hai phương trình (hoặc hai hệ phương trình) Bằng cách dùng phép biến đổi tương đương ta đưa hệ phương trình hệ khác, tương đương, nghĩa tập nghiệm hai hệ (Cần lưu ý thêm cho HS ta chọn nhiều điểm khác đường thẳng ∆ làm điểm M cho trước nhiều VTCP (tỉ lệ với nhau) nên đường thẳng ∆ có nhiều PTTS khác nhau) - Vấn đề giải hệ phương trình: Hều hết toán chương liên quan đến việc giải hệ phương trình nhiều ẩn số, HS lúng túng cách giải sau giải hệ xong vội kết luận quan hệ hình học mà quên phải xét thêm yếu tố khác Ví dụ để tìm vị trí tương đối hai đường thẳng d d’ cho phương trình tham số, ta giải hệ sáu phương trình để tìm số nghiệm hệ Nếu hệ vô nghiệm ta kết luận hai đường thẳng song song chéo mà Cần phải xét thêm vectơ phương d d’ đến kết luận cuối - Nói chung nội dung phương trình đường thẳng không gian, cho phù hợp với khả nhận thức đa số HS, hầu hết HS làm tập dạng vận dụng trực tiếp Tuy nhiên tập dạng mở rộng, cần sử dụng kết hợp kiến thức kĩ học từ trước HS có lực học khá, giỏi làm theo hướng dẫn GV - Do đặc thù vùng miền nên khả nhận thức môn hình học đa số HS chậm yếu, nên HS lười học dành thời gian tự học cho việc ôn tập nắm vững nội dung rèn luyện kĩ môn, dẫn tới HS không nắm vững kiến thức bản, yếu kĩ thực hành, vận dụng * Về phía GV: - GV có nhiều cố gắng việc tìm hiểu để nắm vững chuẩn, kiến thức, kĩ phương trình đường thẳng không gian Tuy nhiên trình giảng dạy, phải đảm bảo thời lượng chương trình nên nhiều kĩ GV chưa thể rèn luyện khắc sâu cho HS, đặc biệt kĩ có liên quan học từ trước - Sau dạy xong lý thuyết phương trình đường thẳng không gian giáo viên thường hướng dẫn, giao tập sách giáo khoa, sách tập, chưa phân dạng toán tường minh cách có hệ thống, bản, chưa xếp hệ thống tập từ dễ đến khó với điểm nhấn kiến thức phương pháp cần ý Mặt khác, số dạng toán viết phương trình đường thẳng không gian không đề cập tường minh sách giáo khoa nên GV thường dạy lướt qua chưa ý cung cấp đầy đủ kiến thức, chưa hướng dẫn đưa tập phong phú nhằm rèn luyện cho HS kĩ giải phương trình dạng Hạn chế: Học sinh tiếp thu kiến thức thụ động, chưa có phương pháp học tích cực, hạn chế phương pháp tự học, kĩ giải tập yếu, thường làm số dạng tập tức thời theo hướng dẫn giáo viên, mà chưa có nhìn tổng quan số dạng tập viết phương trình đường thẳng không gian, chưa nắm chất, dấu hiệu, cách làm cách kĩ dạng toán nên gặp dạng toán thường hay lúng túng, khó định hướng cách giải Do kết kiểm tra thấp b Mô tả giải pháp sau có sáng kiến Nhằm khắc phục thiếu sót nêu trên, thực giải pháp sau đây: Giải pháp 1: + Hệ thống hóa dạng toán theo chủ đề (7 dạng toán – Phụ lục 1) Sắp xếp cách có hệ thống, theo hướng từ dễ đến khó, lồng ghép điểm nhấn kiến thức phương pháp cần ý Ngoài tác giả quan tâm đến việc đưa số giải pháp để học sinh nắm chất, tính chất hình học cách kết hợp đại số hình học giải toán + Nội dung xây dựng xếp theo thứ tự: Kiến thức bản, lưu ý giảng dạy, ví dụ minh họa, phương pháp giải, tập tương tự rèn luyện cho dạng cụ thể Giải pháp 2: Xây dựng số biện pháp rèn luyện cho HS kĩ để giải lớp toán PTĐT không gian Về phương pháp dạy học: Phân tích toán mẫu để hình thành thuật giải, luyện tập giải tập dạng, lồng ghép củng cố kiến thức cách thức rèn kỹ giải toán cho học sinh đề xuất minh họa, xây dựng sáng kiến nhằm giúp HS nhận dạng tập xác định phương pháp giải dễ dàng Đồng thời sáng kiến đề xuất số hình thức tổ chức hoạt động học tập cho HS cách ghi nhớ số nội dung kiến thức theo“sơ đồ tư duy” để HS chủ động lĩnh hội kiến thức Ưu điểm: Giúp GV có tài liệu giảng dạy phù hợp với nhiều đối tượng HS, phù hợp với mục đích ôn thi tốt nghiệp hay ôn thi cao đẳng - đại học Rút ngắn thời gian ôn luyện Dễ dàng thực việc giảng dạy theo đối tượng vùng miền rèn kĩ giải toán cho HS + HS thuộc nhóm đối tượng có hệ thống tập phù hợp với đối tượng Giúp HS không thấy sợ môn Toán, đặc biệt toán hình Từ chất lượng học tập nâng cao + Giúp HS bổ sung kiến thức, kĩ yếu thiếu Cách ghi nhớ số nội dung kiến thức theo“sơ đồ tư duy” giúp HS ghi nhớ cách khoa học, logic, dễ hiểu Đồng thời khắc phục sai lầm HS trình giải toán + HS tiếp thu kiến thức cách chủ động, không công ghi nhớ máy móc toán mà GV giảng dạy Do không lúng túng trước dạng toán có thay đổi dự kiện, giúp HS có khả tự học Để rèn luyện kĩ giải tập toán học cho HS ta cần xác định kĩ cụ thể dạng tập mức độ yêu cầu tương ứng Một kĩ gồm nhiều kĩ riêng lẻ Việc hình thành kĩ riêng lẻ chia thành bước sau: + Bước 1: Giải tập mẫu để HS nắm thao tác (có thể GV trình bày gợi ý để HS làm) + Bước 2: Luyện tập giải số tập toán học tương tự tập mẫu, nhằm giúp HS thành thạo thao tác Việc luyện tập tiến hành học, rải rác số tập nhà + Bước 3: Luyện tập số tập tổng hợp, nhằm rèn luyện cho HS vận dụng phối hợp, linh hoạt thao tác giải toán Các tập dạng thường xếp từ đơn giản đến phức tạp, từ dễ đến khó, giúp HS hình thành phát triển kĩ ngày tốt Ví dụ: Để hình thành kĩ xét vị trí tương đối hai đường thẳng không gian, ta cho HS giải toán sau, dựa theo bước trên: Bài 1: Xét vị trí tương đối cặp đường thẳng d d’ cho phương trình x = + t'  x = −1 + t  '  ' sau d:  y = − t với d :  y = − 2t  z = + 4t '  z = 3t   (Với HS cần giải toán theo mẫu) Bài 2: Xét vị trí tương đối đường thẳng d : thẳng d ' : x −1 y − z − = = với đường x − y +1 z + = = −2 (Bài HS cần giải tương tự mẫu)  x = 2t x y z  Bài 3: Cho hai đường thẳng: d : = = ; d ' :  y = m − t Tìm m để d cắt d’  z = + mt  (Bài đòi hỏi HS phải biết vận dụng linh hoạt kiến thức phương pháp giải) Thực quy trình rèn luyện kĩ giải toán theo bốn bước sau: Bước 1: Trước dạng toán cần tóm tắt kiến thức cần nhớ (khái niệm, tính chất, định lý…) Bước 2: Hình thành rèn luyện cho HS phương pháp giải toán (tri thức phương pháp) cách: GV minh họa qua ví dụ, rõ bước thực hiện, từ rút phương pháp làm với dạng toán đó, với điểm nhấn kiến thức lưu ý cần thiết để tránh sai lầm Bước 3: Cho HS luyện tập qua hệ thống toán tương tự, nâng dần kiến thức, từ dễ đến khó, đủ dạng, ý sửa sai lầm HS mắc phải Bước 4: Luyện tập số tập tổng hợp, nhằm rèn luyện cho HS vận dụng phối hợp, linh hoạt thao tác giải Toán Quy trình rèn luyện, hình thành kĩ giải toán vận dụng vào nội dung, đơn vị kiến thức thể qua hệ thống ví dụ sau: - Nhóm ví dụ thứ nhất: GV vừa giảng dạy, vừa phân tích giúp HS tái kiến thức, kĩ cũ, đồng thời tiếp cận kiến thức, kĩ - Nhóm ví dụ thứ hai: Là ví dụ tương tự, học viên trình bày giải mình, GV HS phát hiện, bổ sung sửa chữa thiếu sót (nếu có) làm HS - Nhóm ví dụ thứ 3: HS làm việc độc lập theo nhóm, GV theo dõi nắm bắt tình hình nhận thức HS từ có điều chỉnh kịp thời - Nhóm ví dụ thứ 4: Là tập tương đối khó, đòi hỏi mức độ tư cao dành cho đối tượng HS khá, giỏi Lưu ý: Tùy theo đối tượng HS mà GV lựa chọn nhóm ví dụ cho phù hợp Trong đề tài để rèn luyện kĩ giải toán phương trình đường thẳng không gian quan tâm đến việc phân chia số dạng toán phương trình đường thẳng không gian số dạng sau đây: (Phụ lục 1) Rèn luyện kĩ giải toán xét vị trí tương đối hai đường thẳng không gian 1.1 Kiến thức bản: Tích có hướng tính chất tích có hướng: r r Cho a = ( x1 ; y1; z1 ) , b = ( x2 ; y2 ; z2 ) r r y z z x x y  a, b  =  1 ; 1 ; 1   Khi đó:  y2 z2 z2 x2 x2 y2 r r • Hai vectơ a , b phương r r  ÷  r r r ⇔  a, b  = r r r • Hai vectơ a , b không phương ⇔  a, b  ≠ r r r r rr   ⇔ a • Ba vectơ a, b,c đồng phẳng  , b  c = r r r r rr • Ba vectơ a, b,c không đồng phẳng ⇔  a, b  c ≠ Chứng minh hai vectơ phương • • Cách 1: • Cách 2: • • • Các • h 3: r r r r r r a b phương ⇔ a = k b b ≠ ( ) x1 y1 z1 r r = = (với x2 , y2 , z2 ≠ ) a b phương ⇔ x2 y2 z2 x2 y2 z2 r r = = (với x1 , y1 , z1 ≠ ) a b phương ⇔ x1 y1 z1 r r r r r   ⇔ a , b = a b phương   Các vị trí tương đối hai đường thẳng không gian (Phụ lục 2) 1.2 Những lưu ý giảng dạy: Giáo viên cần xác định số kĩ học sinh cần rèn luyện: - Kĩ xác định VTCP đường thẳng, kĩ lấy điểm thuộc đường thẳng - Kĩ tính toán (tính tích vô hướng, tích có hướng hai vectơ) - Kĩ xét phương hai vectơ Kĩ xét đồng phẳng ba vectơ - Kĩ giải hệ PT Giáo viên thiết kế soạn nội dung cách xét vị trí tương đối hai 10   x = − 11 + 2t  39   39 29  t = ⇒ M − ; ; ⇒ ∆ : +t y = Với 11  ÷ 11  11 11 11   29   z = 11 − 2t  Nhận xét: Trong toán viết PTĐT liên quan đến góc hay khoảng cách cụ thể, để tìm tọa độ VTCP ta ý điều sau: r - Từ tọa độ VTCP u = ( a; b; c ) ta cho ba thành phần tọa độ trước, tìm hai thành phần tọa độ lại Do đề nói chung có điều kiện hình học cho ta thiết lập phương trình đại số - Trong toán viết PTĐT, ta thường gặp giả thiết sau: + Đường thẳng nằm mặt phẳng song song với mặt phẳng cho trước (Giả thiết tương đương với PT đại số) + Đường thẳng d tạo với ∆ cho trước góc α cho trước (Giả thiết tương đương với PT đại số) (1) + Đường thẳng d tạo với mp ( P ) cho trước góc α cho trước (Giả thiết tương đương với PT đại số) (2) - Để xử lí giả thiết (1), (2) (tức giải PT đại số tương ứng với giả thiết đó) trước hết ta cần tìm PT mối quan hệ ba thành phần tọa độ a, b, c VTCP Từ PT giả thiết (1), (2) hai ẩn ta cho ẩn giá trị phù hợp tìm hai ẩn lại BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho A ( 2; 4; − 1) , B ( −5; 2; ) đường thẳng d có phương trình x −1 y + z = = −1 uuur uuur Viết phương trình đường thẳng ∆ qua M song song với d, biết MA = −2MB Bài 2: Trong không gian tọa độ Oxyz cho điểm A(-1;1;2), B(0;1;1), C(1;0;4) Chứng minh tam giác ABC vuông Viết phương trình tham số đường thẳng AB (Đề thi tốt nghiệp 2006) Bài 3: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm M(1; 0; 2) N(3; 1; 5) Viết phương trình tham số đường thẳng qua M N 86 ( Đề thi tốt nghiệp THPT phân ban lần năm 2007) Bài 4: Trong không gian tọa độ Oxyz, cho điểm E(1; 2; 3) mặt phẳng (α ) có phương trình x + 2y – 2z + = Viết phương trình tham số đường thẳng ( ∆ ) qua điểm E vuông góc mặt phẳng (α ) (Đề thi tốt nghiệp 2007 Lần 1) Bài 5: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm M(-1; 2; 3) mặt phẳng ( α ): x – 2y + 2z +5 = Viết phương trình đường thẳng qua M vuông góc với ( α ) ( Đề thi tốt nghiệp BTTHPT năm 2008) Bài 6: Trong không gian tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) mặt phẳng (P) có phương trình: (S): ( x − 1) + ( y − ) + ( z − ) = 36 (P): x + 2y + 2z +18 = 2 Xác định tọa độ tâm T bán kính mặt cầu (S) Tính khoảng cách từ T đến mặt phẳng (P) Viết phương trình tham số đường thẳng d qua T vuông góc với (P) Tìm tọa độ giao điểm d (P) (Đề thi tốt nghiệp 2009) Bài 7: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(1; 4; 2), B(-1; 2; 4) Viết phương trình đường thẳng d qua trọng tâm G tam giác OAB vuông góc với mặt phẳng (OAB) ( Đề thi tuyển sinh đại học khối D năm 2007) Bài 8: Cho ( α ) : x + y + z + 17 = đường thẳng (d) giao tuyến hai mặt phẳng 3x – y + 4z – 27 = 6x + 3y – z + = 1/ Tìm giao điểm A (d) ( α ) 2/ Viết PTĐT ( ∆ ) qua A, vuông góc với (d) nằm mp ( α ) Bài 9: Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng (α) : 2x + y + z – = đường thẳng  x = −2 + 4t  ∆ :  y = + t ( t tham số)  z = 3t  Tìm giao điểm I ∆ (α) Viết phương trình đường thẳng d qua I vuông góc với (α) Bài 10: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (P): 2x +3y – 4z +5 =0 (Q): 3x + y – z +4 = Viết phương trình tham số 87 đường thẳng d giao tuyến (P) (Q) Bài 11: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ∆ABC có A(1;-2;1), B(4;0;2), C(2;-1;-4) a) Chứng minh ∆ABC vuông b) Viết phương trình trục đường tròn ngoại tiếp ∆ABC Bài 12: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ∆ABC có A(4; -1; 2), B(1; 2; 2), C(1;-1;5) a) Chứng minh ∆ABC b) Viết phương trình trục đường tròn ngoại tiếp ∆ABC Bài 13: Viết PTĐT d qua điểm E (−1; 2; 4) vuông góc với hai đường thẳng d1 , d có PT sau: d1 : x+3 y−2 z +4 x z +1 = = , d2 : = y − = 2 Bài 14: (Đề thi ĐH – CĐ khối D – 2009): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng ∆ : x+2 y−2 z = = mặt phẳng ( P) : x + y − 3z + = Viết 1 −1 PTĐT d nằm mp ( P ) cho d cắt vuông góc với đường thẳng ∆ Bài 15 Trong không gian với hệ trục Oxyz cho điểm M ( 1;2; −1) hai đường  x = − 2t '  x = −1 + 2t   ' thẳng d1 d2 có phương trình: d1 :  y = − t , d :  y = + t Viết phương trình z = + t' z = t   đường thẳng d qua M , đồng thời cắt hai đường thẳng cho Bài 16: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho A ( 2;0;0 ) , B ( 0;4;0 ) , C ( 2;4;6 ) x = − t  đường thẳng d :  y = Viết PTĐT ∆ song song với Oz cắt đường  z = 3t  thẳng AB, OC Bài 17: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho ba mặt phẳng 88 ( P ) : x − y + z + = 0, ( Q ) : x − y + z + = 0, ( R ) : x + y − 3z + = đường  x = − 2t  thẳng ∆1 :  y = −1 + t Gọi ∆ giao tuyến hai mp ( P ) ( Q ) Viết PTĐT d  z = 3t  vuông góc với mặt phẳng ( R ) cắt hai đường thẳng ∆1 , ∆ Bài 18: (Đề thi ĐH – CĐ khối B – 2004): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,  x = −3 + 2t  cho điểm A ( −4; −2;4 ) đường thẳng d :  y = − t Viết phương trình đường  z = −1 + 4t  thẳng ∆ qua A , cắt vuông góc với đường thẳng d Bài 19: (Đề thi dự bị khối D – 2006): Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng d nằm mp(P) : x − y + 11z − 26 = , đồng thời  x = −t x = + t '   cắt đường thẳng d1:  y = + 2t d2 :  y = t '  z = −1 + 3t  z = + 2t '   Bài 20: (Đề thi ĐH – CĐ khối A – 2007): Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz,  x = −1 + 2t x y −1 z +  = cho hai đường thẳng d1: = d2 :  y = + t −1 z =  Viết phương trình đường thẳng d vuông góc với mp(P) : x + y − z = cắt hai đường thẳng d1 , d x x−2 d1 , d có phương trình sau: d1 : = Bài 21: Viết PTĐT d song song với ∆ : = y z −1 = cắt hai đường thẳng y z +3 x+3 z−2 = , d2 : = y−2= −1 Bài 22: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (P): 3x + 12 y − 3z − = (Q): 3x − y + z + = hai đường thẳng có 89  x = − 2t x + y − z +1  = = phương trình d1: d2:  y = −1 + 3t −4  z = + 4t  Viết phương trình đường thẳng d song song với hai mp ( P ) , ( Q ) cắt hai đường thẳng d1, d2 Bài 23: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x − y + z + = d2 : hai đường thẳng d1 : x −1 y + z − = = , x +1 y −1 z − = = Viết phương trình đường thẳng ∆ song song với (P), vuông góc với d1 cắt d điểm có hoành độ Bài 24: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho tam giác ABC có A ( 1; 2; ) hai trung tuyến có phương trình x − y − z −1 x − y − z − = = = = ; −2 1 −4 Viết phương trình cạnh tam giác Bài 25: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hình bình hành ABCD có hai   đỉnh C ( −2; 3; -5 ) , D ( 0; 4; -7 ) giao điểm hai đường chéo M 1; 2; - ÷ Viết 2  phương trình cạnh hình bình hành Bài 26: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ∆ABC vuông cân A Trọng tâm tam giác G ( 3; 6; 1) trung điểm BC M ( 4; 8; -1) Đường thẳng BC nằm mp ( α ) : x + y + z − 14 = Viết phương trình đường thẳng chứa cạnh ∆ABC Bài 27: Viết phương trình đường thẳng d´ hình chiếu vuông d: x −1 y + z − = = mặt phẳng tọa độ Bài 28: Lập phương trình đường vuông góc chung hai đường thẳng 90 góc x −3 y −3 z −3 = = d1: x = − t  d2:  y = 2t z = + t   x = −4 − t  Bài 29: Viết phương trình hình chiếu vuông góc đường thẳng d:  y = −1 + 8t  z = −3t  mặt phẳng (P): 3x + 2y +z – = Bài 30: Lập phương trình đường thẳng d qua điểm A(2; 3; ), vuông góc với  x = −3 x +1 y + z +  = = đường thẳng d1: cắt đường thẳng d2:  y = − t 1 z = − t  Bài 31: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(1; 2; 3) hai đường thẳng d1: x−2 y + z −3 = = , −1 d 2: x −1 y −1 z +1 = = Viết PTĐT d qua A −1 vuông góc với d1 cắt d2 ( Đề thi tuyển sinh ĐH khối D năm 2006) Bài 32: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(-4; -2; 4) đường  x = −3 + 2t  thẳng d:  y = − t , viết phương trình đường thẳng d’ qua điểm A, cắt  z = −1 + 4t  vuông góc với đường thẳng d ( Đề thi tuyển sinh đại học khối B năm 2004) Bài 33: Viết PTĐT d song song, cách d1, d2 thuộc mặt phẳng chứa hai đường thẳng d1, d2 d1: x+ y −5 z −9 x y+3 z +7 = = = ; d2: = −1 −1 Bài 34 :Cho hai đường thẳng (d): x +1 y −1 z − = = (d’): x−2 y+2 z = = −2 a) Chứng tỏ (d) (d’ ) chéo Tính khoảng cách chúng b)Viết phương trình đường vuông góc chung chúng c)Tính góc (d1) (d2) 91 Bài 35: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình tham số đường thẳng d biết d vuông góc với mặt phẳng (P): x + 2y +z + = đồng thời x = + t  cắt hai đường thẳng d1:  y = + 3t d2:  z = − 2t  x = − t '   y = + t ' ( t t’ tham số )  z = + 2t '  Bài 36: Viết phương trình tham số d biết d song song với hai mặt phẳng (P): x + 2y – z +1 = (Q): - x – y + 2z -2 = đồng thời cắt hai đường thẳng x = 1+ t x = − t '   d1:  y = − t , d2:  y = + 2t '  z = + 2t z = − t '   Bài 37: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho tam giác ABC có A(1;1;0), B(0;2;1) trọng tâm G(0;2;-1) Viết phương trình đường thẳng d qua điểm C vuông góc với mặt phẳng (ABC) ( Đề thi tuyển sinh cao đẳng khối A, B năm 2009) - Cách thức thực hiện: Các dạng toán phương pháp giải tương ứng, xếp từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp Ở số dạng toán có lồng ghép điểm cần ý, tri thức phương pháp dạy học vào Những biện pháp đề xuất nhằm củng cố kiến thức phương trình đường thẳng không gian Đồng thời rèn kĩ giải toán cho học sinh thông qua hệ thống tập vận dụng Trước dạng toán tổ chức hoạt động để trình bày kiến thức bản, cần nhớ để giải toán phương pháp giải dạng toán, với dấu hiệu đặc trưng tập vận dụng, tập để học sinh tự rèn luyện kĩ Ở số tập giải theo nhiều cách khác nhau, giúp học sinh linh hoạt việc lựa chọn phương pháp giải Qua học sinh vừa trang bị tri thức, phương pháp, vừa rèn luyện kĩ toán học Ngoài ra, giúp cho em làm tốt thi tốt nghiệp thi vào trường Cao đẳng Đại học - Trong trình thực giáo viên cần có tác động điều chỉnh trình hoạt động học sinh Ví dụ giúp học sinh vượt qua khó khăn, phân tích toán thành toán đơn giản hơn, đưa câu hỏi giúp học sinh định hướng 92 giải toán cung cấp cho học sinh tri thức phương pháp giải toán + Đối với toán có thuật giải Giáo viên cần vào yêu cầu chung chương trình tình hình thực tế để thông báo tường minh thuật giải thông báo tri thức phương pháp trình hoạt động + Đối với toán chưa có thuật giải: Giáo viên cần hướng HS suy nghĩ, tìm tòi lời giải Qua trang bị cho HS số tri thức phương pháp giải toán Thông qua dạy học sinh giải số toán điển hình để học sinh nắm cách thức, kinh nghiệm tiến tới có kĩ giải lớp toán - Giáo viên giúp học sinh xác nhận tri thức đạt trình hoạt động đưa bình luận cần thiết để học sinh hiểu tri thức cách đầy đủ Một số yêu cầu nội dung dạy học PTĐT không gian - Trước tiên cần phải trang bị hệ thống kiến thức lý thuyết đầy đủ Phần phương pháp tọa độ không gian phần củng cố tiếp tục phát triển nội dung quen thuộc mà học sinh học lớp 10, đồng thời cần có lưu ý cần thiết để thấy phát triển phương pháp không gian Trong phần này, khái niệm điểm, vectơ thực tương tự thực mặt phẳng với ý tọa độ điểm hay tọa độ vectơ không gian ba số - Việc trang bị thêm cho học sinh lớp 12 công cụ phương pháp tọa độ không gian để nghiên cứu hình học việc làm cần thiết giúp học sinh suy luận, khái quát, tập tư trừu tượng, đồng thời có thêm công cụ để làm toán tư lĩnh vực mẻ ngành khoa học Tuy nhiên cần tập cho học sinh hiểu rõ chất khái niệm, tập suy luận cách xác, tránh thói quen tư cách hình thức, máy móc, không khoa học thiếu trách nhiệm - Khi dạy phương pháp tọa độ không gian nói chung, phương trình đường thẳng không gian nói riêng cần thường xuyên ôn lại kiến thức có liên quan đến phương pháp tọa độ mặt phẳng Tuy nhiên, cần hết 93 sức tránh gây hiểu lầm không đáng có Ví dụ phương trình Ax + By + C = mặt phẳng Oxy phương trình đường thẳng, không gian Oxyz, phương trình biểu thị mặt phẳng song song với trục Oz (hoặc chứa Oz); - Công thức tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng công thức quan trọng Trong tập cần tính khoảng cách hai mặt phẳng song song tính khoảng cách từ đường thẳng đến mặt phẳng song song với đường thẳng đó, cần phải dùng đến công thức Khi học công thức này, GV cần giúp HS nhớ lại công thức tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng hình học phẳng Việc làm giúp HS thấy tương tự hai công thức tính khoảng cách mặt phẳng không gian - Chú trọng hai kĩ “đọc” “viết” phương trình đường thẳng Chẳng hạn phương trình x y z = = cho ta đường thẳng qua gốc tọa độ có −1 r VTCP u = (−1;5;3) + Khi biết yếu tố xác định đường thẳng đó, ta viết PT đường thẳng Khi cho biết yếu tố xác định điểm đó, viết tọa độ điểm Chẳng hạn cho điểm M thuộc đường thẳng x = t  d :  y = − 4t học sinh phải viết tọa độ điểm M(t; - 4t; -3-3t)  z = −3 − 3t  + Kĩ viết PT đường thẳng thể kĩ chuyển đổi dạng PT: PTTS phương trình tắc - Trong chương trình hình học không gian, không đề cập đến dựng hình không gian, diễn đạt nên tránh từ “dựng” Chẳng hạn, tránh nói rằng: “dựng AH vuông góc với BC”, ta nói: “Gọi H hình chiếu A BC” - Vấn đề giải hệ phương trình: Hều hết toán chương liên quan đến việc giải hệ phương trình nhiều ẩn số Học sinh cần thành thạo cách 94 giải, dùng máy tính Tuy nên ý hai tình huống: + Cách giải hệ phương trình có ẩn số nhiều số phương trình + Kết luận số nghiệm hệ chưa đủ để kết luận quan hệ hình học Ví dụ để tìm vị trí tương đối hai đường thẳng d d’ cho PTTS, ta giải hệ gồm sáu phương trình để tìm số nghiệm hệ Nếu hệ vô nghiệm ta kết luận hai đường thẳng song song chéo mà Cần phải xét thêm VTCP d d’ đến kết luận cuối - Vấn đề trực quan giảng dạy: + Nên ý mức tới yếu tố trực quan: hình vẽ, bảng biểu,… Về nguyên tắc, giải toán hình học phương pháp tọa độ ta không cần tới hình vẽ Nhưng nhiều hình vẽ giúp cho HS đưa phương pháp giải hợp lí + Để làm ví dụ, ta xét toán “Viết phương trình đường thẳng d qua điểm M0 có tọa độ cho, cắt hai đường thẳng d1, d2 có phương trình cho” Ta làm cho học sinh thấy đường thẳng d (nếu có) phải giao tuyến hai mặt phẳng: mp(d1,M) mp(d2,M) Hơn qua hình vẽ HS thấy phải kiểm tra điều kiện giao tuyến phải cắt d1, d2 trước đưa đáp số toán (Tất nhiên toán giải cách khác) - Để HS ôn tập tốt, GV nên cho HS làm tóm tắt, tổng kết theo vấn đề, lập thành bảng biểu, sơ đồ tư cho dễ nhớ Cần hệ thống hóa dạng toán phương pháp giải tương ứng, nhằm rèn luyện kĩ năng, Ví dụ: tóm tắt vị trí tương đối hai đường thẳng, dạng toán viết PTĐT,… - Giáo viên cần tạo điều kiện thuận lợi cho HS tăng cường, thảo luận lớp: Qua trao đổi, thảo luận em hiểu chất vấn đề hơn, học thầy, bạn cách suy nghĩ, giải vấn đề, thấy đúng, sai cách nghĩ, cách làm - Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến: Trong dạy học toán, người ta thường sử dụng số biện pháp sau để rèn luyện kĩ giải toán cho HS: + Biện pháp 1: Trang bị cho HS đầy đủ tri thức (khái niệm, tính chất, định 95 lý…) xác môn Toán + Biện pháp 2: Hình thành rèn luyện cho HS phương pháp giải toán (tri thức phương pháp) + Biện pháp 3: Xác định số kĩ cần thiết giải toán (đi kèm với hoạt động dạng toán) + Biện pháp 4: Lựa chọn số tập có chủ định (ý đồ sư phạm, phân tích dẫn dắt hoạt động) số tập luyện tập để tổ chức, hướng dẫn HS tiến hành bước giải toán, thông qua rèn luyện cho HS kĩ giải toán cần thiết phát triển tư thuật giải Qua trình thực tế giảng dạy, tác giả nhận thấy: Với học sinh, nhu cầu củng cố, bồi dưỡng, nâng cao kiến thức, rèn luyện kĩ giải toán tất yếu Muốn thỏa mãn nhu cầu em phải vận dụng nhiều, phải tích cực tham gia hoạt động luyện tập, đào sâu, hệ thống hóa ôn tập Trên thực tế, đa số học sinh giỏi có khả tự đúc kết tri thức tri thức phương pháp thông qua đường kinh nghiệm (thông qua giải hệ thống toán) Khi xây dựng hệ thống tập nên phân bậc hoạt động, chia hệ thống tập thành hai nhóm: Nhóm 1: Những tập trung bình củng cố kiến thức Nhóm 2: Những tập nâng cao nhằm rèn luyện kỹ giải toán, phát triển lực tư thuật toán cho học sinh Để giúp học sinh có kĩ giải toán trước tiên cần phải trang bị hệ thống kiến thức lý thuyết đầy đủ Trên sở lý thuyết trang bị, HS cần học cách vận dụng lý thuyết vào giải tập cụ thể GV cần phân loại tập cách có hệ thống Từ việc phân dạng tập, xác định kỹ bản, GV xây dựng cho HS quy trình giải dạng toán, từ giúp HS tích lũy kinh nghiệm thông qua trinh giải dạng toán cụ thể Vì đề tài này, tác giả đặc biệt quan tâm đến việc xây dựng hệ thống tập theo chủ đề, xếp hệ thống tập từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp Hiệu sáng kiến đem lại: 96 * Về phía GV: Sáng kiến hệ thống hóa dạng toán (07 dạng) phương pháp giải tương ứng theo chủ đề phương trình đường thẳng không gian, phân tích mẫu luyện tập giải hệ thống tập dạng (được lựa chọn xếp nâng dần độ khó) có lồng ghép điểm nhấn kiến thức phương pháp cần ý Việc hệ thống tập phân chia dạng rõ ràng, phân mức độ từ dễ đến khó tạo điều kiện thuận lợi giảng dạy lớp GV tự học nhà HS Hệ thống tập đa dạng, phong phú, chia phù hợp với nhận thức nhóm đối tượng nên thuận tiện cho việc rèn luyện kĩ giải toán cho đối tượng HS + Việc xếp, thiết kế lại nội dung chương trình dạy học cho chủ đề giúp GV dễ hướng dẫn HS nhận dạng, phân loại dễ giao việc vừa sức với nhóm đối tượng HS (Đối tượng giao nhiệm vụ nấy) Đồng thời, việc phân loại cụ thể, lại có gợi ý cách nhớ, cách làm, hiểu chất vấn đề nên GV dễ tập trung rèn luyện kĩ dứt điểm dạng tập thông qua hệ thống VD từ dễ đến khó, song song với hệ thống tập tương tự nhằm rèn luyện kĩ Tuy nhiên, kĩ cần rèn luyện cho HS đa dạng phong phú, GV cần xây dựng hệ thống tập chương trình giảng dạy (số tiết khóa, bổ trợ) hợp lí cho dạng tập để đạt yêu cầu giảng dạy lớp, đồng thời hướng dẫn cho HS phương pháp tự học lên lớp phù hợp hiệu * Về phía HS: - Sau thực giải pháp tinh thần học tập ý thức thái độ HS có nhiều tiến rõ rệt HS không cảm thấy sợ học “Hình học” tự tin nhiều hoạt động học tập mà GV giao cho - Việc xây dựng hệ thống tập từ dễ đến khó, từ vận dụng đơn giản trực tiếp đến phức tạp đòi hỏi kết hợp nhiều kiến thức liên quan với cách nhớ theo đồ tư làm cho học trở nên nhẹ nhàng hơn, lôi hơn, phù hợp với đặc điểm nhận thức HS - Thông qua rèn luyện kĩ giải toán PT đường thẳng không gian 97 giúp học sinh nắm vững PT đường thẳng không gian vận dụng việc giải số dạng toán Trước dạng toán tổ chức hoạt động để trình bày kiến thức bản, cần nhớ để giải toán phương pháp giải dạng toán, với dấu hiệu đặc trưng tập vận dụng, tập để HS tự rèn luyện kĩ Ở số tập giải theo nhiều cách khác nhau, giúp HS linh hoạt việc lựa chọn phương pháp giải Qua học sinh vừa trang bị tri thức, phương pháp, vừa rèn luyện kĩ toán học Ngoài ra, giúp cho em làm tốt thi tốt nghiệp thi vào trường Cao đẳng Đại học Từ góp phần nâng cao chất lượng dạy học môn toán hình học giải tích lớp 12 trường THPT Kết đối chứng: Điểm số khảo sát chất lượng đầu năm kết học tập cuối học kì I thống kê bảng sau: STT Tên lớp 12A3 12A4 Tổng số Kết học lực Trung bình Yếu Khá HS 34 35 23 24 Kém 10 11 (Hai lớp 12A3 lớp 12A4 có sĩ số tương đương nhau, kết học lực đồng Lớp đối chứng lớp 12A3) Sau tiến hành dạy số tiết tập để rèn luyện kĩ giải toán phương trình đường thẳng không gian kiểm tra tiết để đánh giá kết lớp đối chứng lớp thực nghiệm (Đề kiểm tra với nội dung, khoảng thời gian nhau) Kết cho thấy sau: Lớp Thực nghiệm 12A4 Đối chứng 12A3 Số HS 35 Yếu SL % 25,7 Nhóm điểm Trung bình Khá SL % SL % 20 57,1 17,2 Giỏi SL % 0 34 13 16 38,2 47,1 11,8 2,9 Sáng kiến kinh nghiệm tiếp tục triển khai áp dụng toàn trường cho học sinh lớp 12, từ học kỳ II năm học 2014 – 2015 đạt hiệu 98 rõ nét Cụ thể kết thi học kỳ II năm học 2014 – 2015 môn Toán theo đề chung Sở, số học sinh có kết trung bình trở lên chiếm 49,4% vượt mặt chung toàn tỉnh (Mặt chung toàn tỉnh: 44,4%) Đánh giá phạm vi ảnh hưởng sáng kiến: - Không riêng chuyên đề PTĐT không gian mà nhiều chuyên đề khác GV xây dựng nội dung giảng dạy với mức độ, phù hợp với nhóm đối tượng HS - Sử dụng biện pháp phân loại tập phương trình đường thẳng không gian theo dạng để luyện tập cho học sinh có tác dụng rèn luyện kĩ giải toán nội dung cho học sinh tốt hơn, đồng thời phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo học sinh, qua nâng cao chất lượng dạy học trường phổ thông - Đây nguồn tài liệu cho GV trường nghiên cứu, áp dụng dạy học cho năm sau - SKKN áp dụng tất đơn vị trường có điều kiện trường THPT Thành phố Các thông tin cần bảo mật: Không Kiến nghị, đề xuất: Đề nghị sở GD&ĐT triển khai áp dụng SKKN cho trường phổ thông toàn tỉnh Tài liệu kèm: Không Trên nội dung, hiệu nhóm tác giả thực không chép vi phạm quyền./ XÁC NHẬN CỦA CƠ QUAN ĐƠN VỊ ÁP DỤNG SÁNG KIẾN 99 TÁC GIẢ SÁNG KIẾN 100