SKKN PHÂN LOẠI các DẠNG VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG mặt PHẲNG tọa độ (OXY)

HỌ VÀ TÊN: PHẠM THỊ THƯƠNG HIỂNMÔN TOÁN TRƯỜNG THPT NGUYỄN TRÃI TÊN ĐỀ TÀI: PHÂN LOẠI CÁC DẠNG VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ OXY... Viết phương trình đường thẳng l

HỌ VÀ TÊN: PHẠM THỊ THƯƠNG HIỂN

MÔN TOÁN TRƯỜNG THPT NGUYỄN TRÃI

TÊN ĐỀ TÀI:

PHÂN LOẠI CÁC DẠNG VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG

TRONG MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ (OXY).

I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI

1 Lý do chọn đề tài, sáng kiến, giải pháp.

Viết phương trình đường thẳng là phần toán hay và khó, là phần kiến thức quantrọng trong toán học nói chung và toán trong chương trình THPT nói riêng Qua thực tế giảng dạy nội dung này ở chương trình toán học trung học phổthông cụ thể là chương trình toán lớp 10, tôi nhận thấy đại đa số học sinh đều engại, thấy sợ phần kiến thức này, chỉ có một số rất ít học sinh học được và yêuthích phần hình học hệ trục tọa độ Nguyên nhân là nội dung của phần kiến thứcnày là rất nhiều, rất khó tuy nhiên trong chương trình toán THPT lại chỉ có 6tiết chính khóa và 4 tiết tự chọn nên không thể đòi hỏi các em các kỹ năng cao

về các phương pháp và phân loại các dạng viết phương trình đường thẳng trongmặt phẳng tọa độ Oxy Là một giáo viên dạy toán tôi luôn tâm huyết làm thế nào

đó để các em có thể tiếp cận cách viết phương trình đường thẳng một cách tựnhiên dể dàng, từ đó không ngừng sáng tạo đưa ra những cách giải quyết hayđộc đáo

Trên thị trường thực tế không thiếu các sách tham khảo hay viết về phần viếtphương trình đường thẳng tuy nhiên hầu hết đều chú trọng đến học sinh khágiỏi, người đọc đuợc, hiểu được đều phải có một trình độ nhất định, thường các

em học sinh đều hiểu một cách thụ động nên nhiều khi gặp các bài tập mới lạcác em thường không khả năng tự giải quyết

Trong quá trình giảng dạy, tôi nhận thấy các bài toán viết phương trình đườngthẳng trong mặt phẳng rất đa dạng, đó là những bài toán tương đối khó đối vớihọc sinh phổ thông Khi giải các bài toán này nếu áp dụng các phép biến đổithông thường học sinh gặp rất nhiều khó khăn trong việc giải toán và làm bài tậptrắc nghiệm Vì thế mà học sinh không làm được bài, hoặc rất dài dòng trong lờigiải, mất nhiều thời gian có thể dẫn đến kết quả sai hoặc bế tắc trong quá trìnhhoàn thành lời giải bài toán Khi đó việc phân biệt các phương pháp giải để giảiquyết các bài toán Đó là lí do tôi chọn đề tài này

Thông qua đề tài nghiên cứu: Phân loại các dạng viết phương trình đường

thẳng trong mặt phẳng tọa độ (Oxy), tôi mong muốn chia sẽ một số kinh

nghiệm cá nhân nhằm giúp học sinh khắc phục những khó khăn khi làm các bàitập về phương trình đường thẳng, tích cực chủ động hơn trong việc tiếp thu, lĩnhhội kiến thức

2 Điểm mới của đề tài, sáng kiến, giải pháp.

2.1 Điểm mới của đề tài.

Đã có nhiều tài liệu viết về cách viết phương trình đường thẳng trong mặtphẳng nhưng đại đa số lại viết cho đối tượng học sinh khá giỏi học sinh các lớpchuyên chọn Chưa nhìn thấy đuợc những khó khăn trong quá trình tiếp cận củahọc sinh Qua thực tế giảng dạy với phương pháp đặt học sinh làm trung tâm,qua quá trình trao đổi với người học tôi đi đến kết luận:

Người học yếu về viết phương trình đường thẳng do những nguyên nhân sau:Nguyên nhân khách quan:

- Do hệ thống kiến thức vừa dài lại vưa khó trong khi trong phân phối thời lượnglại quá ngắn

- Do chất lượng đầu vào còn thấp

- Chưa tìm ra phương pháp phù hợp

Nguyên nhân chủ quan:

- Khả năng tự học của học sinh còn thấp

- Đa số học sinh cho rằng đây là phần toán khó, chỉ có trong đề thi ở câu khóahay phân loại nên thường ít quan tâm

- Giáo viên dạy chưa tâm huyết với nội dung này

2.2 Sáng kiến của đề tài.

Sáng kiến kinh nghiệm này sẽ giúp học sinh biết cách viết phương trình tổng

quát của đường thẳng trong mặt phẳng Từ đó học sinh không còn áp lực với cácbài toán về phương trình đường thẳng trong mặt phẳng các em làm bài có hiệuquả hơn

2.3 Giải pháp của đề tài.

- Người giáo viên lên lớp phải có sự chuẩn bị chu đáo, công phu trong cáctình huống đã được lường trước Muốn làm được điều đó đòi hỏi chúng ta phảibắt tay giải các bài toán đó trước tránh cho chúng ta tính ỷ lại hay sao chép máymóc

- Học sinh được tiếp cận với vấn đề một cách tự nhiên, đặt ra các vấn đề cầngiải quyết qua từng ví dụ và định hướng suy luận của giáo viên Từ đó rèn luyện

kỹ năng quan sát phân tích, tìm tòi và nghiên cứu của các em

II NỘI DUNG

1 Thực trạng

1.1 Về phía giáo viên

Sử dụng tương đối tốt các kĩ năng về tình toán và phân dạng các cách viếtphương trình mặt phẳng

Tuy nhiên bài toán viết phương trìnhđường thẳng trong mặt phẳng nhiều nộidung nên việc giải các bài toán đó còn gặp nhiều khó khăn và chưa thật sáng tạo Tài liệu thư viện chưa đủ nhiều nên tài liệu tham khảo còn hạn chế

2 NỘI DUNG ĐỀ TÀI

2.1 Kiến thức cơ bản cần biết.

(2) được gọi là phương trình đường thẳng theo đoạn chắn

b Phương trình tham số của đường thẳng

 Cho t một giá trị cụ thể thì ta xác định được một điểm trên 

Liên hệ giữa vectơ chỉ phương và hệ số góc của đường thẳng

 Cho  có vectơ chỉ phương u( ; )u u1 2 với u

1  0 thì  có hệ số góc k =

2 1

u u

 Phương trình  đi qua M0(x0; y0) và có hệ số góc k: y – y0 = k(x – x0)

c Vị trí tương đối của 2 đường thẳng

Dạng 1: Viết phương trình đường thẳng d khi biết một vectơ pháp tuyến n

(A; B) và một điểm M(x 0 ; y 0) thuộc đường thẳng d.

Ví dụ 1: Phương trình của đường thẳng d có vectơ pháp tuyến n(1; -2) và một

điểm M( 3; -5) thuộc đường thẳng d là:

(x – 3) – 2(y + 5) = 0

 x – 2y – 13 = 0

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC có A(1; 2); B(3; 4); C(4; 1) Viết phương trình

đường cao AH của tam giác ABC

Dạng 2: Viết phương trình đường thẳng d khi biết một vectơ chỉ phương u

(a; b) và một điểm M(x 0 ; y 0) thuộc đường thẳng d.

Tìm tọa độ vectơ pháp tuyến n của d’

Do d song song d’ nên d nhận n làm vectơ pháp tuyến

d

N M

Khi đó ta viết phương trình đường thẳng d theo dạng 1

Cách 2: Vì d song song với d’ nên d có dạng: ax + by + m = 0.

M(x0; y0) thuộc d nên ta có: ax0 + by0 + m = 0, từ đó suy ra m

b Ví dụ:

Ví dụ 5: Viết phương trình của đường thẳng d đi qua M( -1; 5) và d song song

với d’: 3x + 2y – 17 = 0

Giải

Đường thẳng d’ có vectơ pháp tuyến n = (3; 2)

Do d song song d’ nên d nhận n= (3; 2) làm vectơ pháp tuyến

Phương trình đường thẳng d đi qua M( -1; 5) và có vectơ pháp tuyến n(3; 2) là:

3(x + 1) + 2(y – 5) = 0

 3x + 2y – 7 = 0

Ví dụ 6: Viết phương trình của đường thẳng d đi qua M( -1; 3) và d song song

với trục hoành Ox

Giải

Do d song song với Ox nên d có dạng: y + m = 0

Đường thẳng d đi qua M( -1; 3) nên ta có:

Cách 1: Tìm tọa độ vectơ pháp tuyến n của d’

Do d song song d’ nên d nhận n làm vectơ chỉ phương

Khi đó ta viết phương trình đường thẳng d theo dạng 2

Cách 2: Vì d song song với d’ nên d có dạng: bx – ay + m = 0.

M(x0; y0) thuộc d nên ta có: bx0 – ay0 + m = 0, từ đó suy ra m

Do d vuông gốc Oy nên d nhận n= (1; 0) làm vectơ chỉ phương suy ra d cóvectơ pháp tuyến n= (0; 1)

Phương trình đường thẳng d đi qua M( -1; 2) và có vectơ pháp tuyến n(0; 1) là:

0(x + 1) + 1(y – 2) = 0  y – 2 = 0

Ví dụ 8: Viết phương trình của đường thẳng d đi qua M( 3; 2) và d vuông gốc

với d’: 3x – 2y – 10 = 0

Giải

Do d vuông gốc với d’ nên d có dạng: 2x – 3y + m = 0

Đường thẳng d đi qua M( 3; 2) nên ta có:

d tạo với Ox một góc α = 300 nên d có hệ số góc k =

Xác định trung điểm I) có 1 nghiệm của đoạn thẳng AB.

Tìm tọa độ của vectơ AB

Vì d là trung trực của AB nên d vuông gốc với AB

Đến đây ta quy về dạng 1 với đường thẳng d qua I) có 1 nghiệm và nhận AB

làm vectơ pháptuyến

b Ví dụ:

Ví dụ 11: Cho đoạn thẳng AB với A(1; 2), B(3; 3) Viết phương trình đường

trung trực d của đoạn thẳng AB

Viết phương trình đường thẳng d’ qua M vuông gốc với d (dạng 2)

Hình chiếu H của M trên d là giao điểm của d và d’

d

M

d

H là hình chiếu vuông gốc của M trên d khi đó H là giao điểm của d và d’, tọa

độ của H là nghiệm của hệ phương trình sau:

Viết phương trình đường thẳng d’ qua M vuông gốc với d (dạng 2)

Hình chiếu H của M trên d là giao điểm của d và d’

Khi đó H là trung điểm của MM’

H là hình chiếu vuông gốc của M trên d khi đó H là giao điểm của d và d’, tọa

độ của H là nghiệm của hệ phương trình sau:

Vận dụng kiến thức hình học phẳng như tính chất quan hệ song song, quan hệ

vuông gốc, các kiến thức về vị trí tương đối của hai đường thẳng bất kì trongmặt phẳng…

b Ví dụ:

Ví dụ 14: Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC biết M(1;2); N(3;5);

P(-1; 0) lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC, AC



BC có phương trình: x – y + 2 = 0

Trong tam giác ABC có AC qua P và AC song song với MN (vì M, N lần lượt

là trung điểm của BA, BC) Do đó AC nhận MN (2;3)



làm vectơ chỉ phươngnên AC có một vectơ pháp tuyến là n  (3; 2)

B M

Ví dụ 15: Cho tam giác ABC biết A(1;2); B(3;4); C(6; 0) Lập phương trình các

đường: đường cao AH, đường trung tuyến BM, đường trung trực d của cạnh ABcủa tam giác ABC

1( ; 3)2

Trung trực d của AB có phương trình: 2(x 2) 2( y  3) 0  x y  5 0

Ví dụ 16: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho tam giác ABC có A(3; 2),

đường cao BH : x + y + 2 = 0, đường phân giác trong CN : x - 2y - 1 = 0 Lậpphương trình các cạnh của tam giác ABC

H N

Gọi A’ đối xứng với A qua CN khi đó A’ thuộc BC.

Gọi d qua A, d vuông gốc với CN nên d có phương trình: 2x + y – 8 = 0

Gọi I) có 1 nghiệm là giao điểm của d và CN khi đó tọa độ của I) có 1 nghiệm là nghiệm của hệ phương

5 5

nên BC có mộtvectơ pháp tuyến là n (1; 7)

Ví dụ 17: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho hình vuông ABCD có

A(3; 3), đường chéo BD : x + y - 4 = 0 Lập phương trình các cạnh của hìnhvuông ABCD

Giải

Trong hình vuông ABCD có cạnh A đối xứng với C qua BD

Đường chéo AC vuông góc với BD nên AC có dạng: x – y + m = 0

AC qua A nên ta có: 3 – 3 + m = 0  m = 0

Vậy AC: x – y = 0

Gọi I) có 1 nghiệm là giao điểm của AC và BD khi đó tọa độ của I) có 1 nghiệm là nghiệm của hệ phươngtrình:

+) Với B(1; 3), D đối xứng với B qua I) có 1 nghiệm nên D(3; 1)

Cạnh AB qua A(3; 3) nhận vectơ AB (2;0)

Cạnh AD qua A(3; 3) nhận vectơ AD (2;0)

Ví dụ 18: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD hai

đường chéo BD : 2x + 3y - 14 = 0 và AC: 2x – 3y + 4 = 0 Lập phương trình mộtcạnh d của hình chữ nhật ABCD biết cạnh đó qua M(3; 2)

+) Với b = 0 khi đó d có phương trình: x – 3 = 0

+) Với a = 0 khi đó d có phương trình: y – 2 = 0

3 BÀI TẬP THAM KHẢO

Bài 1: Tam giác cân ABC có đáy BC nằm trên đường thẳng: 2x – 3y + 1 = 0,

cạnh bên AB nằm trên đường thẳng : 3x – y – 13 = 0 Viết phương trình đườngthẳng AC biết rằng nó đi qua điểm (3;1)

Bài 2: Trong (Oxy) cho hình chữ nhật ABCD , biết phương trình chứa 2 đường

chéo là d1 : 7x – 4y  2  0 và d2 : 2x  5y – 7  0 Viết phương trình đườngthẳng chứa cạnh hình chữ nhật, biết đường thẳng đó đi qua điểm M(-3;5)

Bài 3:Cho tam giác ABC có trung điểm AB, AC lần lượt là I) có 1 nghiệm(1;3) và J(-3;1).

Điểm A thuộc Oy , và đường thẳng BC đi qua gốc tọa độ O Tìm tọa độ điểm

A, phương trình đường thẳng BC và đường cao vẽ từ B ?

Bài 4 (ĐHD09): Cho tam giác ABC có M(2; 0) là trung điểm AB Đường trung

tuyến, đường cao xuất phát từ đỉnh A lần lượt là: 7x – 2y – 3 = 0, 6x – y – 4 = 0.Viết phương trình đường thẳng AC

Bài 5: Lâp phương trình các cạnh của  ABC, biết đỉnh A(3 ; 1) và hai đường

trung tuyến xuất phát từ B, C có phương trình lần lượt là: 2x– y +1= 0, y – 3= 0

Bài 6: Trong mặt phẳng Oxy, cho ABC có trục tâm H(3; 2), phương trình các

đường thẳng AB và AC lần lượt là: 4x  y  3 = 0, x + y  7 = 0 Viết phươngtrình đường thẳng chứa cạnh BC

III.KẾT LUẬN

1 Ý nghĩa, phạm vi áp dụng của đề tài.

Việc phân loại các dạng viết phương trình đường thẳng trong mặt phẳng đã đemlại hiệu quả cao trong việc học tập và rèn luyện của học sinh

Học sinh đã nắm được các dạng cơ bản, rèn luyện nhiều các kĩ năng làm bài tập

và ứng dụng

Áp dụng trong hình học 10 phần phương trình

Qua điều tra tôi nhận thấy rằng: Sau khi áp dụng việc phân dạng viết phương

trình đường thẳng học sinh đã học tập tiến bộ Cụ thể:

Lớp TSH

S

Giỏi Khá TB Yếu Kém

SL TL SL TL SL TL SL TL SL TL10A1

Sau khi thực nghiệm đề tài này tôi xin đưa ra một số kiến nghị sau:

Cần phát huy tốt việc phân loại các dạng bài tập để học sinh học tập dễ dàng vàhứng thú hơn

Do khả năng và thời gian có hạn, kết quả của sáng kiến chỉ dừng lại ở bước đầu,nhiều vấn đề chưa được đi sâu, không tránh khỏi những thiếu sót, kính mongđược góp ý để hoàn thiện đề tài

IV Tài liệu tam khảo

[1] Giải toán hình tọa độ phẳngOxy Hứa Lâm Phong

[2] Tổng ôn tập đề thi THPT Quốc gia NXB ĐHQGHN

[3] Tạp chí toán học và tuổi trẻ NXB GD

2.2 Phân loại các dạng viết phương trình đường

ĐÁNH GIÁ NHẬN XÉT CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC NHÀ TRƯỜNG

THPT NGUYỄN TRÃI