SKKN Toán 12 Phân loại bài toán viết phương trình đường thẳng trong không gian

LỜI NĨI ĐẦU Trong chương trình Hình học 12, tốn viết phương trình đường thẳng khơng gian tốn hay khơng q khó Để làm tốt tốn địi hỏi học sinh phải nắm vững kiến thức hình học khơng gian, mối quan hệ đường thẳng, mặt phẳng mặt cầu Là dạng toán chiếm tỷ lệ nhiều đề thi tốt nghiệp THPT thi vào Cao đẳng, Đại học nên yêu cầu học sinh phải làm tốt dạng toán cần thiết Trong trình giảng dạy, thấy em dễ nhầm lẫn giải tốn dạng với tốn viết phương trình mặt phẳng Nhằm giúp em giảm bớt khó khăn gặp dạng tốn tơi mạnh dạn đưa chuyên đề : “ Phân loại toán viết phương trình đường thẳng khơng gian” Trong chun đề, tơi đưa phân loại tập viết phương trình đường thẳng từ dễ đến khó để học sinh tiếp cận cách đơn giản, dễ nhớ bước giúp học sinh hình thành tư tự học, tự giải vấn đề Ngoài ra, giúp cho em làm tốt thi tốt nghiệp thi vào trường Cao đẳng Đại học Chuyên đề gồm phần: Phần I: Nhắc lại kiến thức có liên quan Phần II: Phương pháp chung để giải toán Phần III: Một số toán thường gặp Phần IV: Bài tập tự luyện – Đáp số Do thời gian có hạn điều kiện nghiên cứu cịn hạn chế nên chun đề khơng tránh khỏi thiếu sót Tơi mong quan tâm góp ý đồng nghiệp tổ Tốn toàn thể bạn quan tâm đến chuyên đề Tôi xin chân thành cám ơn Hải Dương, ngày 15 tháng 01 năm 2011 PHẦN I NHẮC LẠI KIẾN THỨC CƠ BẢN CÓ LIÊN QUAN Vectơ phương (VTCP) đường thẳng: r r r * u ≠ có giá song song trùng với đường thẳng d u vectơ phương đường thẳng d r r * u phương d k u phương d ( k ≠ ) Vectơ pháp tuyến (VTPT) mặt phẳng: r r r * n ≠ có giá vng góc với mặt phẳng ( α ) n VTPT ( α ) r r * n VTPT ( α ) k n VTPT ( α ) ( k ≠ ) Phương trình tổng quát mặt phẳng: * Phương trình tổng quát ( α ) có dạng Ax + By + Cz + D = ( A2 + B2 + C2 ≠ 0) r * Nếu ( α ) có phương trình Ax + By + Cz + D = VTPT ( α ) n ( A;B;C) r * Nếu ( α ) qua điểm M(x0;y0;z0) nhận n (A;B;C) VTPT phương trình ( α ) : A(x- x0) + B(y-y0) + C(z-z0) =  Ax + By + Cz + D = (D = -Ax0 - By0 Cz0) r * Nếu ( α ) chứa hay song song với giá hai vectơ không phương a r r r r =(a1;a2;a3), b (b1;b2;b3) VTPT ( α ) n = [ a , b ] = ( a2.b3 - a3.b2 ; a3.b1-a1.b3 ; a1.b2 a2.b1) * Nếu ( α ) cắt trục Ox, Oy, Oz A(a;0;0 ), B (0;b;0), C(0;0;c) ( α ) có phương trình : x y z + + = (điều kiện a.b.c ≠ ) a b c ( phương trình gọi phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn ) Phương trình đường thẳng : r Nếu điểm M(x0 ; y0 ; z0) ∈ d VTCP d u (a; b ; c ) :  x = x0 + at  * Phương trình tham số đường thẳng d :  y = y0 + bt  z = z + ct  * Phương trình tắc d : x − x0 y − y0 z − z0 = = a b c ( t tham số) (a.b.c ≠ ) Các kiến thức khác: * Cho A(xA;yA;zA) điểm B(xB; y B ; zB) uuu r - Vectơ AB = (xB-xA ; yB-yA ; zB-zA ) x A + xB y A + y B z A + z B ; ; ) 2 r r r r * Tích có hướng a b vectơ ký hiệu [ a , b ] r r r r Nếu a = (a1;a2;a3) b = (b1;b2;b3) [ a , b ] = ( a2.b3 - a3.b2 ; a3.b1-a1.b3 ; a1.b2 - - Toạ độ trung điểm I AB I = ( a2.b1) Chú ý: r r r r r r +) [ a , b ] ⊥ a [ a , b ] ⊥ b r r r r r +) a b phương [ a , b ]= PHẦN II PHƯƠNG PHÁP CHUNG ĐỂ GIẢI TỐN Trong tốn viết phương trình đường thẳng d phương pháp chung xác định vectơ phương đường thẳng toạ độ điểm thuộc đường thẳng sau dựa vào cơng thức định nghĩa ( trang 83 SGK Hình học 12) để viết phương trình đường thẳng Một số trường hợp để xác định toạ độ VTCP đường thẳng :  x = x0 + at r  TH1: Nếu đường thẳng cho dạng tham số (d):  y = y0 + bt VTCP u  z = z + ct  (a;b;c) TH2: Nếu đường thẳng d cho dạng tắc x − x0 y − y0 z − z0 = = (a.b.c ≠ a b c r ) VTCP u (a;b;c) uuu r TH3: Nếu đường thẳng d qua điểm phân biệt A, B d có 1VTCP AB r Ví dụ: Xác định toạ độ vectơ phương u đường thẳng d trường hợp sau:  x = − 2t  a/ d :  y = t  z = −2 + 5t  ( t tham số) b/ d: Lời giải r a/ Ta có VTCP d u =(- 2; 1; 5) r b/ Ta có VTCP d u =(- 4; 5; 3) x+2 y−3 z = = −4 PHẦN III MỘT SỐ BÀI TOÁN THƯỜNG GẶP Dạng : Viết phương trình tham số phương trình tắc đường thẳng d r biết d qua điểm M(x0;y0;z0) có phương u = (a; b; c) Hướng dẫn:  x = x0 + at  * Phương trình tham số đường thẳng d :  y = y0 + bt ( t tham số)  z = z + ct  x − x0 y − y0 z − z0 = = * Phương trình tắc đường thẳng d : ( điều kiện a.b.c a b c ≠0) Ví dụ : Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz , viết phương trình tham số phương trình tắc d trường hợp sau: a/ d qua điểm M(-2; 1; -4) có phương u =(-3; 2; -1) b/ d qua điểm M(-1;3;4) có phương u =(1;-4;0) Lời giải a/ Ta có  x = −2 − 3t  phương trình tham số d :  y = + 2t ( t tham số )  z = −4 − t  phương trình tắc d là: x + y −1 z + = = −3 −1  x = −1 + t  b/ Phương trình tham số d là:  y = − 4t ( t tham số ) z =  Khơng có phương trình tắc Dạng 2: Viết phương trình tham số đường thẳng d biết d qua hai điểm A, B cho trước uuu r Hướng dẫn: - VTCP d AB - Chọn điểm qua A B - Đưa tốn dạng Ví dụ : Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình tham số d trường hợp sau: a/ d qua A(1; 2; -3) B(-2; 2; ) b/ d qua M(-2; 1; 3) N (1; 1; -1) c/ d qua C(-1; 2; 3) gốc toạ độ Lời r giải uuu a/ Do d qua A B nên VTCP d AB = (-3; 0; 3)  x = − 3t  => phương trình tham số d  y = ( t tham số )  z = −3 + 3t  uuuu r b/ Do d qua M N nên VTCP d MN =(3; 0; -4)  x = −2 + 3t   phương trình tham số d là:  y = ( t tham số )  z = − 4t  uuu r c/ Do d qua C O nên VTCP d OC =(-1; 2; 3)  x = −1 − t   phương trình tham số d là:  y = + 2t ( t tham số )  z = + 3t  Dạng : Viết phương trình đường thẳng d qua điểm M vng góc với mặt phẳng ( α ) Hướng dẫn: -VTPT mặt phẳng ( α ) VTCP đường thẳng d ⇒ đưa tốn dạng Ví dụ : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , viết phương trình tham số d trường hợp sau : a/ d qua A(-2; 4; 3) vuông góc với ( α ):2x - 3y – 6z + 19 = b/ d qua B(1;-1;0) vuông góc với mặt phẳng (Oxy) c/ d qua B(1;-1;0) vng góc với mặt phẳng (Oxz) d/ d qua B(1;-1;0) vng góc với mặt phẳng (Oyz) Lời giải r r a/VTPT ( α ) n (2;-3;-6) Do d ⊥ ( α ) nên d nhận n VTCP  x = −2 + 2t  ⇒ phương trình tham số d  y = − 3t ( t tham số)  z = − 6t  uu r b/ Do d ⊥ (Oxy) nên VTCP d k =(0; 0; 1) x =  ⇒ phương trình tham số d  y = −1 ( t tham số) z = t  ur u d/ Do d ⊥ (Oxz) nên VTCP d j =(0; 1; 0) x =  ⇒ phương trình tham số d  y = −1 + t z =  e/ Do d ⊥ (Oyz) nên VTCP d ( t tham số) u r i = (1; 0; 0) x = + t  ⇒ phương trình tham số d  y = −1 z =  ( t tham số) Dạng 4: Viết phương trình đường thẳng d qua điểm M song song với đường thẳng d’ Hướng dẫn: - VTCP d’ VTCP d ⇒ đưa tốn dạng Ví dụ : Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz , viết phương trình tham số đường thẳng d trường hợp sau: x = + t  a/ d qua điểm A(2; -5; 3) song song với d’  y = + 2t ( t tham số)  z = − 3t  b/ d qua điểm B(4;-2;2) song song với d’: x+2 y −5 z −2 = = c/ d qua điểm M(0; 2; 1) song song với đường thẳng AB A(5;3;2), B(2;1;-2) d/ d qua điểm P(2; 3; 4) song song với trục Ox Lời giải r a/ Do d // d’ ⇒ vectơ phương d u = (1; 2; -3) x = + t  ⇒ phương trình tham số d là:  y = −5 + 2t ( t tham số)  z = − 3t  r b/ Do d // d’ ⇒ Vectơ phương d u = (4; 2; 3)  x = + 4t  ⇒ phương trình tham số d là:  y = −2 + 2t ( t tham số)  z = + 3t  uuu r c/ AB ( −3; −2; −4 ) VTCP đường thẳng d  x = −3t  => phương trình tham số d là:  y = − 2t ( t tham số)  z = − 4t  u r d/ Do d // trục Ox ⇒ Vectơ phương d i = (1; 0; 0) x = + t  ⇒ phương trình tham số d là:  y = ( t tham số) z =  Dạng : Đường thẳng d qua điểm M song song với mặt phẳng cắt (P) (Q) r r r r r Hướng dẫn : - VTCP d u = [ n P, n Q] ( n P ; n Q VTPT hai mp (P) (Q)) - Đưa toán dạng Ví dụ 1: Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz , viết phương trình tham số d biết d qua điểm M(3; 1; 5) song song với hai mặt phẳng (P): 2x + 3y - 2z +1 = (Q): x – 3y + z -2 = Lời giải r r Ta có n P = (2; 3; -2); n Q=(1; -3; 1) lầnrlượtrlà VTPT hai mp (P) (Q) Do d // r (P) d//(Q) nên vectơ phương d u = [ n P, n Q] = (-3; - 4; -9)  x = − 3t  ⇒ Phương trình tham số d là:  y = − 4t ( t tham số)  z = − 9t  Ví dụ 2: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình tham số d biết d qua điểm M(-2; 1; 5) song song với hai mặt phẳng (P): 3x + 2y - 4z +1 = mặt phẳng (Oxy) Lời giải r r Ta có VTPT (P) : n P = (3; 2; -4) VTPT (Oxy) k =(0; 0; 1) r r r Do d //(P) d//(Oxy) nên VTCP d u = [ n P, k ] = (2; -3; 0)  x = −2 + 2t  ⇒ Phương trình tham số d là:  y = − 3t z =  ( t tham số) Dạng 6: Viết phương trình đường thẳng d qua điểm M, song song với mặt phẳng (P) vng góc với đường thẳng d’ ( d’ khơng vng góc với (P)) r r Hướng dẫn : - Xác định VTPT (P) VTCP d’ n P u ’ r r r - VTCP d u = [ n P, k ]=>Đưa toán dạng Ví dụ: Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz , viết phương trình tham số đường thẳng d trường hợp sau: a/ d qua điểm M(2; 3; 0), song song (P): 3x – 2y +z+1 = vng góc với d’: x −1 y +1 z + = = b/ d qua điểm M(-2; 1; 3), song song với mặt phẳng (Oxz) vng góc với d’:  x = + 3t   y = − t (t tham số)  z = + 2t  Lời giải r a/ Ta có : - VTPT (P) n P = (3; -2; 1) u r - VTCP đường thẳng d’ u ' = (2; 3; ) r r r u Do d//(P) d ⊥ d’ ⇒ VTCP đường thẳng d u = [ n P, u ' ] = (-11; -10; 13)  x = − 11t '  ⇒ phương trình tham số d là:  y = − 10t '  z = 13t '  ( t’ tham số) ur u b/ Ta có : - VTPT (Oxz) j = (0; 1; 0) u r - VTCP d’ u ' = (3; -1; ) ur u u r r Do d//(Oxz) d ⊥ d’ ⇒ VTCP d u = [ j , u ' ] = (2; 0; -3)  x = −2 + 2t '  ⇒ Phương trình tham số d là:  y =  z = − 3t '  ( t’ tham số) Dạng : Viết phương trình đường thẳng d qua điểm M vng góc với hai đường thẳng d1 d2 (d1 d2 hai đường thẳng chéo nhau) ur uu r Hướng dẫn : - Xác định VTCP d1 d2 u1 u2 ) ur uu r r - VTCP d u = [ u1 , u2 ] => Đưa tốn dạng Ví dụ: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , viết phương trình tham số  x = − 3t  đường thẳng d biết d qua điểm M(2; -3; 4), vng góc với d1:  y = + t ( t tham  z = −1 + 2t  số ) d2: x +1 y z + = = Lời giải ur uu r Ta có : VTCP d1 u1 = (-3; 1; 2) VTCP d2 u2 = (2; 5; ) ur uu r r Do d ⊥ d1 d ⊥ d2 ⇒ VTCP d u = [ u1 , u2 ]= (-7; 13; -17)  x = − 7t  ⇒ Phương trình tham số d là:  y = −3 + 13t ( t tham số)  z = − 17t  Dạng : Viết phương trình đường thẳng d qua điểm M đồng thời cắt hai đường thẳng d1 d2 Hướng dẫn : Cách - Viết pt mp(P) thoả mãn qua M chứa d1 - Xác định giao điểm C d2 mp(P) + Nếu khơng tồn giao điểm kết luận tốn vơ nghiệm + Nếu có vơ số giao điểm kết luận tốn có vơ số nghiệm chùm đường thẳng mp(P) qua M + Nếu có nghiệm chuyển sang bước uuur u - Viết pt đường thẳng d thoả mãn qua M nhận MC VTCP Chứng tỏ d khơng song song với d1 Khi d đường thẳng cần tìm Cách - Chuyển pt d1 d2 dạng tham số ( theo tham số t t’) - Giả sử d cắt d1 d2 theo thứ tự B C Khi suy toạ độ B C theo thứ tự thoả mãn pt tham số d1 d2 - Từ điều kiện M, B, C thẳng hàng ta xác định toạ độ B C - Đường thẳng d đường thẳng qua điểm A B Ví dụ: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình tham số đường x = 1+ t  thẳng d biết d qua điểm A(1; 1; 0) cắt đường thẳng (d1) :  y = −t (d2) : z =  x =   y = (t, s tham số ) z = + s  Lời giải r r Cách Gọi (P) mp chứa A d1 Khi (P) qua A nhận n VTPT với n = uuu ur r  AB, u1    ur r (trong B(1;0;0); u1 (1;-1;0) VTCP d1) => n (0;0;1) => Phương trình mp(P) z = Gọi C giao điểm (P) d2 => C(0;0;0) uur u CA ( 1;1;0 ) VTCP Gọi d đường thẳng qua A C => d qua A nhận x = t '  => d có phương trình:  y = t ' ( t’ tham số) z =  ur uuu r Dễ thấy CA u1 không phương => d đường thẳng cần dựng Cách Giả sử d đường thẳng cần dựng d cắt d1 d2 theo thứ tự B C Khi đó: 10 B ∈ d1 => B(1+t ; -t ; 0); C ∈ d => C(0 ; ; 2+s) uuu r uuu r AB ( t ; −t − 1;0 ) ; AC ( −1; −1;2 + s ) =>   s = −2 t = k (−1)    Ba điểm A, B, C thẳng hàng  −t − = k (−1) ⇔ t = − 0 = k (2 + s )    k=   Vậy d đường thẳng qua qua A(1;1;0) C(0;0;0) => d có phương trình : x = t '  y = t ' z =  ( t’ tham số) Dạng : Viết phương trình đường thẳng d qua điểm A, vng góc với đường thẳng d1 cắt đường thẳng d2 Hướng dẫn : - Chuyển phương trình d2 dạng tham số - Giả r d cắt d2 B, tìm toạ độ B thoả mãn pt tham số d2 => toạ sử uuu độ AB uuu ur r - Vì d ⊥ d1 ⇔ AB.u1 = => giá trị tham số => toạ độ điểm B uuu r - Viết phương trình đường thẳng d thỏa mãn qua A nhận AB VTCP Ví dụ: Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng d qua A(0;1;1), vng góc với đường thẳng d1 cắt đường thẳng d2 cho bởi: (d1): x = 1− t  x = 2u   (d2) :  y = + u y = t  z = −1 z = u   (t, u tham số) Lời giải uuu r Giả sử ur đường thẳng cần dựngur cắt d2 B, B(2u ;1+u ; u) => AB (2u ; d u ; u-1) Gọi u1 VTCP d1 ta có u1 (-1;1;0) uuu ur r uuu r Vì d ⊥ d1 ⇔ AB.u1 = u = => AB (0;0;-1) x =  Vậy phương trình đường thẳng d :  y = ( t tham số) z = 1− t  Dạng 10 : Viết phương trình đường thẳng d qua điểm A, vng góc với đường thẳng d1 cắt đường thẳng d1 Hướng dẫn : - Gọi H hình chiếu vng góc A d1 => toạ độ H theo tham số t 11 uuur ur ur - Do AH ⊥ d1 ⇔ AH u1 = ( u1 VTCP d1) => giá trị tham số t => toạ độ H - Vậy d đường thẳng qua điểm A H Ví dụ: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng d x = t  qua A(1;2;-2), vng góc với d’ cắt d’ d’ có phương trình  y = − t ( t  z = 2t  tham số) Lời giải uuur Gọi H hình chiếu vng góc A d’ => H(t ; - t ; 2t) => AH (t – ; -t – ; 2t +ur 2) u1 (1; -1; 2) VTCP d’ uuur ur uuur  2 Do AH ⊥ d’ ⇔ AH u1 =  6t + = t = − => AH  − ; − ; ÷ 3    x = 1− u   Vậy phương trình d :  y = − u ( u tham số)    z = −2 + u  Dạng 11 : Viết phương trình đường thẳng d nằm mp(P) đồng thời cắt hai đường thẳng d1 d2 Hướng dẫn : - Nhận xét giao điểm d1 d2 với d giao điểm d1 d2 với mp(P) - Xác định A B giao điểm d1 d2 với (P) - Đường thẳng d cần tìm đường thẳng qua điểm A B Ví dụ: Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz , viết phương trình đường thẳng d x = 1− t  nằm mp(P) : y + 2z = đồng thời cắt đường thẳng d1:  y = t d2 :  z = 4t  x = − t '   y = + 2t ' z =  ( t t’ tham số) 12 Lời giải Gọi A B giao điểm d1 d2 với (P) => A(1;0;0) B(5;-2;1) uuu r Khi đường thẳng d cần tìm đường thẳng qua A nhận AB (4;-2;1) VTCP =>  x = + 4t  Phương trình d là:  y = −2t ( t tham số) z = t  Dạng 12 : Viết phương trình đường thẳng d song song với d’ đồng thời cắt hai đường thẳng d1 d2 Hướng dẫn: - Chuyển pt hai đường thẳng d1 d2 dạng tham số (giả sử theo tham số t t’) - Giả sử A B giao điểm d với d1 d2 => Toạ độ A B theo tham số t t’ r - Xác định u VTCP d’ r uuu r - Do d//d’ nên u AB phương => giá trị tham số t t’ => toạ độ điểm A B uuu r - Đường thẳng d đường thẳng qua A nhận AB VTCP Ví dụ: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng d biết d song song với d’ : x - = x = t  d1 :  y = −1 + 2t z = t  y −1 z −1 = d2 : x = −2 y −7 z −3 = đồng thời cắt hai đường thẳng d1 d2 với −2 Lời giải x = t ' r  d’ có VTCP u (1;4;-2), d2 có pt tham số  y = − 2t '  z = + 3t '  Giả sử A B giao điểm d với d1 d2 => A(t ; -1 + 2t ; t) B(t’;1- 2t’;1 + 3t’) uuu r => AB (t’-t;2-2t’-2t;1+3t’-t) r uuu r Do d // d’ nên u AB phương  A(2;3;2) 13 t ' = t '− t − 2t '− 2t + 3t '− t = =  => −2 t = x = + u r  Vậy d đường thẳng qua A nhận u VTCP => d có pt là:  y = + 4u ( u :  z = − 2u  tham số) Dạng 13 : Viết phương trình đường thẳng d song song cách hai đường thẳng song song d1 d2 đồng thời d nằm mặt phẳng chứa d1 d2 Hướng dẫn : r - VTCP u d VTCP d1 d2 - Xác định toạ độ điểm M ∈ d1, N ∈ d2 ⇒ toạ độ trung điểm I MN thuộc d r - Vậy đường thẳng d cần tìm đường thẳng qua I nhận u VTCP Ví dụ: Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng  x = + 3t  x − y +1 z = = d1:  y = −3 + t ( t tham số ) d2: −2  z = − 2t  Viết phương trình tham số đường thẳng d nằm mặt phẳng chứa d1 d2 đồng thời cách hai đường thẳng Lời giải r ∈d Do d1//d2 d cách d1, d2 ⇒ phương d u = (3; 1; -2) Lấy M(2; -3; 4) ∈ d1 , N(4; -1; 0) ∈ d2 ⇒ toạ độ trung điểm I MN I(3; -2; 2)  x = + 3t  ⇒ phương trình tham số d  y = −2 + t  z = − 2t  ( t tham số ) Dạng 14 : Viết phương trình đường thẳng d đường vng góc chung hai đường thẳng d1 d2 chéo Hướng dẫn : Cách - Gọi AB đoạn vng góc chung d1 d2( A∈ d1 B∈ d2) Khi toạ độ A uuu r B thoả mãn phương trình tham số d1 d2 =>Toạ độ AB - Từ điều kiện AB ⊥ d1 AB ⊥ d2 =>Toạ độ A B - Đường thẳng d cần tìm đường thẳng qua điểm A B Cách 14 r u r r - Xác định vectơ u u ' VTCP hai đường thẳng d1 d2 Gọi v r r r u' u , u  VTCP đường thẳng d => v =   - Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d d1 - Xác định A giao điểm d2 mp(P) r - Đường thẳng d cần tìm đường thẳng qua A nhận v VTCP Ví dụ: Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz cho hai đường thẳng chéo d1:  x = + 2t   y = + t  z = −3 + 3t  x = + u  d2 :  y = −3 + 2u Viết phương trình đường vng góc chung d1 d2?  z = + 3u  Lời giải ur uu r ur uu r Gọi u1 u2 theo thứ tự VTCP d1 d2 => u1 (2;1;3) u2 (1;2;3) Gọi AB đoạn vng góc chung d1 d2( A ∈ d1 B ∈ d2) => A(1+2t;2+t:3+3t) uuu r B(2+u;-3+2u;1+3u) => AB (u-2t+1;2u-t-5;3u-3t+4) Từ điều kiện AB ⊥ d1 AB ⊥ d2   29 ur t =  u1 =  ( u − 2t + 1) + 2u − t − + ( 3u − 3t + ) =  ⇔ ⇔ uu r u − 2t + + ( 2u − t − ) + ( 3u − 3t + ) =  u = 25 u2 =    r  67 47 20  uuu  24 24 24  => A  ; ; ÷; AB  − ; − ; ÷ 9   9   r u ( 1;1; −1) Vậy đường thẳng vuông góc chung d đường qua A nhận uuu r  AB   uuu r  AB  67  x = + t '  47  VTCP => d có phương trình là:  y = + t ' ( t’ : tham số)  20  z = − t '  Dạng 15 : Viết phương trình tham số đường thẳng d hình chiếu d’ mặt phẳng (P) Hướng dẫn : - Xác định điểm chung d’ mp(P) + Nếu d’ ⊂ ( P) hình chiếu d’ d’ 15 + Nếu d’//(P) *Xác định A ∈ d ' *Xác định B hình chiếu vng góc A (P) *d đường thẳng qua B //d’ + Nếu d '∩ ( P) = M thì: *Xác định A ∈ d ' ( A không trùng với M) *Xác định B hình chiếu vng góc A (P) *d đường thẳng qua điểm M B Ví dụ : Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình tham số  x = + 3t  đường thẳng d hình chiếu d’ :  y = − t mặt phẳng (P): 2x- 3y + z +1 = z = + t  Lời giải 2 Gọi M = d '∩ ( P) => M( ; ; ) Ta có A(2 ; ; ) ∈ d’  x = + 2u  Gọi d1 đường thẳng qua A vng góc với (P) => d1 có pt là:  y = − 3u (*) z = + u  Gọi B hình chiếu vng góc A (P) => B = (P) ∩ d1 Thay (*) vào phương trình mp (P) ta được: 2(2+2u) – 3(1-3u) + 3+u +1 = 14u 14 uuu  11  r  29 37  => B  ; ; ÷ => MB  ; ; ÷  14 14 14   14 14  = -  u= − ur Đường thẳng d cần tìm đường qua C nhận u1 (11;8;2) VTCP   x = + 11t  29  ⇒ Phương trình tham số d :  y = + 8t 14  37   z = 14 + 2t  16 ( t tham số ) PHẦN IV BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(0; 2; 1) B(1; -1; 3) Viết phương trình tham số đường thẳng AB ( Đề thi tốt nghiệp BTTHPT lần năm 2007) Bài 2: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm M(3; 4; 1), N(2; 3; 4) Viết phương trình tắc đường thẳng MN ( Đề thi tốt nghiệp BTTHPT lần năm 2007) Bài 3: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm M(1; 0; 2) N(3; 1; 5) Viết phương trình tham số đường thẳng qua M N ( Đề thi tốt nghiệp THPT phân ban lần năm 2007) Bài 4: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm M(-1; 2; 3) mặt phẳng ( α ): x – 2y + 2z +5 = Viết phương trình đường thẳng qua M vng góc với ( α ) ( Đề thi tốt nghiệp BTTHPT năm 2008) Bài 5: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm M(1; 2; 3) mặt phẳng ( α ) : 2x – 3y + 6z +35 = Viết phương trình đường thẳng qua M vng góc với ( α ) ( TNTHPT không phân ban năm 2008) Bài 6: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(3; -2; -2) mặt phẳng ( α ): 2x – 2y + z - = Viết phương trình đường thẳng qua A vng góc với ( α ) ( Đề thi TN THPT phân ban năm 2008) Bài 7: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(1; 4; 2), B(-1; 2; 4) Viết phương trình đường thẳng d qua trọng tâm G tam giác OAB vng góc với mặt phẳng (OAB) ( Đề thi tuyển sinh đại học khối D năm 2007) Bài 8: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (P): 2x +3y – 4z +5 =0 (Q): 3x + y – z +4 = Viết phương trình tham số đường thẳng d giao tuyến (P) (Q) Bài 9: Lập phương trình đường vng góc chung hai đường thẳng x−3 y −3 z −3 = = d1: x = − t  d2:  y = 2t z = + t  17  x = −4 − t  Bài 10: Viết phương trình hình chiếu vng góc đường thẳng d:  y = −1 + 8t  z = −3t  mặt phẳng (P): 3x + 2y +z – = Bài 11: Viết phương trình đường thẳng d vng góc với mặt phẳng Oxy cắt hai đường thẳng x = + t  d1:  y = + 5t (t ∈ R);  z = −1 + 4t  x = − t'  d2:  y = + 2t ' (t’ ∈ R ) z = + t '  Bài 12: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1: x y −1 z + = = −1  x = −1 + 2t  d2:  y = + t (t ∈ R) Viết phương trình đường thẳng d vng góc với mặt z =  phẳng (P): 7x + y – 4z =0 cắt hai đường thẳng d1 d2 ( Đề thi tuyển sinh đại học khối A năm 2007) Bài 13: Trong không gian hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng d song song với với hai mặt phẳng (P): 3x + 12y – 3z -20 = 0, (Q): 3x - 4y + 9z + = cắt hai đường thẳng d1 d2 Biết d1 : x + y − z +1 x−4 y z−2 = = = = , d2: −3 −2 Bài 14: Lập phương trình đường thẳng d qua điểm A(2; 3; ), vng góc với đường  x = −3 x +1 y + z +  = = thẳng d1: cắt đường thẳng d2:  y = − t 1 z = − t  (t ∈ R) Bài 15: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(1; 2; 3) hai đường thẳng d1: x−2 y +2 z −3 = = , −1 d2: x −1 y −1 z +1 = = Viết phương trình đường thẳng d qua A −1 vng góc với d1 cắt d2 ( Đề thi tuyển sinh đại học khối D năm 2006) 18 Bài 16: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(-4; -2; 4) đường thẳng d:  x = −3 + 2t  y = 1− t  z = −1 + 4t  , viết phương trình đường thẳng d’ qua điểm A, cắt vuông góc với đường thẳng d ( Đề thi tuyển sinh đại học khối B năm 2004) Bài 17: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng ∆ : x+2 y−2 z = = 1 −1 mặt phẳng (P): x + 2y – 3z + = Viết phương trình đường thẳng d nằm (P) cho d cắt vng góc với đường thẳng ∆ ( Đề thi tuyển sinh đại học khối D năm 2009) Bài 18: Viết phương trình đường thẳng d song song, cách d1, d2 thuộc mặt phẳng chứa hai đường thẳng d1, d2 d1: x+2 y −5 z −9 = = ; −1 d2 : x y+3 z+7 = = −1 Bài 19: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình tham số đường thẳng d biết d vng góc với mặt phẳng (P): x + 2y +z + = đồng thời cắt hai x = + t  đường thẳng d1:  y = + 3t d2:  z = − 2t  x = − t'   y = + t'  z = + 2t '  ( t t’ tham số ) Bài 20: Viết phương trình tham số d biết d song song với hai mặt phẳng (P): x + 2y – z +1 = (Q): - x – y + 2z -2 = đồng thời cắt hai đường thẳng x = + t x = − t'   d1:  y = − t , d2:  y = + 2t '  z = + 2t z = − t'   Bài 21: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho tam giác ABC có A(1;1;0), B(0;2;1) trọng tâm G(0;2;-1) Viết phương trình đường thẳng d qua điểm C vng góc với mặt phẳng (ABC) ( Đề thi tuyển sinh cao đẳng khối A, B năm 2009) Bài 22: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng d: mặt phẳng (P): x + 2y – z + = 19 x+3 = y + = z − a Tính góc đường thẳng d mặt phẳng (P) b Viết phương trình đường thẳng d’ nằm mặt phẳng (P), qua giao điểm A đường thẳng d với mặt phẳng (P) tạo với đường thẳng d góc lớn ĐÁP SỐ x = t  Bài :  y = − 3t  z = + 2t   x = + 2t  Bài :  y = t  z = + 3t   x = + 2t  Bài :  y = − 3t  z = + 6t  (tham số t ∈ R) Bài : x − y − z −1 = = −1 −1 (tham số t ∈ R)  x = −1 + t  Bài :  y = − 2t  z = + 2t  (tham số t ∈ R)  x = + 2t  Bài :  y = −2 − 2t (tham số t ∈ R)  z = −2 + t  (tham số t ∈ R) x y−2 z−2 = Bài : = −1  x = −1 + t  Bài :  y = −1 − 10t  z = −7t  (tham số t ∈ R) x = + t  Bài :  y = −2 − 2t  z = + 5t  (tham số t ∈ R) 34   x = − 13 + 13 t  167 40  − t Bài 10:  y = − 13 13  z = t   (tham số t ∈ R) x =  Bài 11:  y =  z = −1 + t  (tham số t ∈ R) Bài 12: x − y z +1 = = −4 Bài 14 : x−2 y −3 z −3 = = −5  x = −2 + 8t  Bài 13 :  y = −3t  z = − 4t  (tham số t ∈ R) 20 Bài 15 : x −1 y − z − = = −3 −5 Bài 16 : x+4 y+2 z−4 = = −1 x + y −1 z −1 = = Bài 17 : −1  x = −1 + 3t  Bài 18 :  y = − t  z = + 4t  (tham số t ∈ R) 11  x = + t   Bài 19 :  y = + 2t (tham số t ∈ R)   z = + t    x = + 3t  13  Bài 20:  y = − t   z = + t  (tham số t ∈ R)  x = −1 + t  Bài 21:  y = + t  z = −4  Bài 22: (tham số t ∈ R) 21 x +1 y z − = = −1 −1 KẾT LUẬN Bài tốn viết phương trình đường thẳng khơng gian tốn mà học sinh hay gặp kì thi tốt nghiệp THPT kì thi vào trường Đại học Cao đẳng Việc phân loại tốn theo mức độ từ dễ đến khó giảm bớt khó khăn học sinh gặp tốn Tuy nhiên khn khổ chuyên đề này, tác giả chưa trình bày hết tốn viết phương trình đường thẳng mà dừng lại toán hay gặp Các tốn mức độ khó hơn, cách giải khác chưa đề cập tới Hy vọng với góp ý bạn đồng nghiệp chuyên đề nghiên cứu khai thác sâu 22 MỤC LỤC Nội dung Lời nói đầu Phần I Nhắc lại kiến thức có liên quan Phần II Phương pháp chung để giải toán Phần III Một số toán thường gặp Phần IV Bài tập tự luyện Kết luận 23 Trang 17 22 ... - Viết phương trình đường thẳng d thỏa mãn qua A nhận AB VTCP Ví dụ: Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng d qua A(0;1;1), vng góc với đường thẳng d1 cắt đường thẳng. .. r +) a b phương [ a , b ]= PHẦN II PHƯƠNG PHÁP CHUNG ĐỂ GIẢI TỐN Trong tốn viết phương trình đường thẳng d phương pháp chung xác định vectơ phương đường thẳng toạ độ điểm thuộc đường thẳng sau... với (P) - Đường thẳng d cần tìm đường thẳng qua điểm A B Ví dụ: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , viết phương trình đường thẳng d x = 1− t  nằm mp(P) : y + 2z = đồng thời cắt đường thẳng d1: