skkn vận dụng tính chất của hình tứ giác vào bài toán “tìm tọa độ điểm viết phương trình đường thẳng trong mặt phẳng

I.MỞ ĐẦU

1.1 Lý do chọn đề tài

Định hướng đổi mới phương pháp dạy và học đã được xác định trongNghị quyết Trung ương 4 khóa VII (1/1993), Nghị quyết Trung ương 2 khóaVIII (12/1996), được thể chế hóa trong Luật Giáo dục (12/1998), được cụ thểhóa trong các chỉ thị của Bộ Giáo dục và Đào tạo, đặc biệt là Chỉ thị số 15(4/1999) Điều 24.2 của Luật Giáo dục đã ghi: “Phương pháp giáo dục phổthông phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo của học sinh; phùhợp với đặc điểm của từng lớp học, môn học; bồi dưỡng phương pháp tự học,rèn luyện kĩ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn; tác động đến tình cảm, đemlại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh” Qua đây ta có thể thấy đượcphương pháp dạy học tích cực là cần phải phát huy tính được tính tích cực, chủđộng, sáng tạo của người học

Trong hoạt động dạy và học Toán nói chung, đối với bộ môn hình học nóiriêng thì vấn đề khai thác, nhìn nhận một bài toán cơ bản dưới nhiều góc độkhác nhau nhiều khi cho ta những kết quả khá thú vị Ta biết rằng ở trường phổthông, việc dạy toán học cho học sinh thực chất là việc dạy các hoạt động toánhọc cho họ Cụ thể như khi truyền thụ cho học sinh một đơn vị kiến thức thìngoài việc cho học sinh tiếp cận, nắm vững đơn vị kiến thức đó thì một việckhông kém phần quan trọng là vận dụng đơn vị kiến thức đã học vào thực tếtrong giải toán Đây là một hoạt động mà theo tôi, thông qua đó dạy cho họcsinh phương pháp tự học, tự nghiên cứu - Một nhiệm vụ quan trọng của ngườigiáo viên đứng lớp Xuất phát từ quan điểm trên, vấn đề giáo viên khai thác vàcùng học sinh khai thác các tính chất cơ bản đã biết để từ đó xây dựng được mộthệ thống bài tập từ cơ bản đến nâng cao là một hoạt động không thể thiếu đốivới người giáo viên Việc khai thác một số bài toán hình học phẳng cơ bảnkhông những góp phần rèn luyện tư duy cho học sinh mà còn tạo chất lượng,phù hợp với giờ học, gây hứng thú cho học sinh ở nhiều đối tượng khác nhau,hình thành phong cách tự học, tự nghiên cứu ở mỗi học sinh.

Với các lý do trên, tôi chọn đề tài: Vận dụng tính chất của hình tứ giácvào bài toán “Tìm tọa độ điểm Viết phương trình đường thẳng trong mặtphẳng” nhằm mục đích vận dụng các tính chất, các bài toán quen thuộc trong

hình học phẳng để giải các bài toán về phương pháp tọa độ trong mặt phẳng,đồng thời kích thích, phát triển tư duy của học sinh

 Phân tích một số ưu điểm của việc khai thác tính chất từ hình vẽ so với việcgiải thuần túy đại số.

 Định hướng khai thác, mở rộng hoặc tạo ra bài toán mới.

1.3 Đối tượng nghiên cứu

 Các tính chất hình học phẳng, các bài toán hình học phẳng liên quan đến tứgiác.

 Mối liên hệ giữa hình học phẳng và phương pháp tọa độ trong mặt phẳng. Các dạng toán đã có trong chương trình về loại bài tập này.

1.4 Phương pháp nghiên cứu

 Phương pháp nghiên cứu lí luận: Nghiên cứu sách giáo khoa, sách tham khảo,các tài liệu liên quan khác, khai thác trên mạng, các đề thi đại học …

 Nghiên cứu về thực tế giảng dạy môn toán hiện nay ở trường THPT HoằngHóa 2, khảo sát học sinh, học hỏi và tiếp thu các ý kiến đóng góp của đồngnghiệp qua các tiết dự giờ.

II NỘI DUNG CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM2.1 Cơ sở lí luận

Với bài toán phương pháp tọa độ trong mặt phẳng, ta có thể thực hiệntheo quy trình sau:

Bước 1 Phân tích giả thiết Ở bước này, thông thường ta vẽ phác họa hình vẽ.

Xác định xem bài toán cho cái gì? Cần xác định cái gì? Trước khi giải bài toán,ta cần phân loại xem đây là loại toán nào Với bài toán phương pháp tọa độ hiệnnay, ta thường bắt gặp một số bài toán điển hình như:

- Bài toán tìm điểm Khi tìm tọa độ của 1 điểm, ta có thể có các

hướng nghĩ sau:

+ Hướng 1: Điểm đó là giao điểm của 2 đường nào? Có lập phương trình của

2 đường đó hay không? Từ đó giải hệ phương trình tìm được tọa độ điểm.

+ Hướng 2: Gọi dạng tọa độ điểm Các làm này thường dùng nếu bài toán

liên quan đến các công thức về tọa độ.

- Bài toán lập phương trình đường thẳng Để lập phương trình

một đường thẳng nào đó, ta có thể:

+ Hướng 1: Xác định 1 điểm và 1 vectơ pháp tuyến (VTPT) hoặc vectơ chỉ

phương (VTCP) Một số bài toán lập phương trình đường thẳng, ta cũnghay đi tìm tọa độ 2 điểm thuộc nó, từ đó mới xác định được VTCP,VTPT.

+ Hướng 2: Gọi dạng phương trình đường thẳng Đặc biệt bài toán nào liên

quan đến góc và khoảng cách Một số cách gọi dạng phương trình đườngthẳng như: Cho đường thẳng d có phương trình ax + by + c = 0

i Nếu // d thì phương trình  có dạng ax + by + m = 0,m  c.

ii Nếu  d thì phương trình  có dạng bx – ay + n =0

iii Nếu  có hệ số góc k thì phương trình  có dạng y = kx+ p.

Bước 2 Tìm ra tính chất nào liên quan đến bài toán, xác định các điều kiệncủa bài toán Đây là bước có thể nói là mấu chốt để tìm ra lời giải cho bài toán.

Và đây cũng là nội dung mà đề tài thảo luận.

Bước 3 Giải bài toán Vận dụng các tính chất thu được để giải bài toán Cần

kiểm tra một số điều kiện của nghiệm.

2.2 Thực trạng của vấn đề

 Khả năng tự học, tự nghiên cứu của học sinh hiện nay còn yếu Học sinhchưa có hứng thú trong công tác tự học, tự nghiên cứu Việc khai thác các kiếnthức đã học vận dụng vào thực tế giải toán chưa được phát huy.

 Trong quá trình giảng dạy, ta thường nhận thấy, đại đa số học sinh họcbộ môn Đại số tốt hơn khi học Hình học Hầu như, khi đứng trước các bài toánvề hình học, học sinh thường giải theo hướng “đại số” thì nhiều, việc giải nhờcác tính chất hình học còn ít.

 Một thực trạng nữa là hiện nay, số lượng bài tập ngày càng phong phú.Bởi vậy, học sinh không thể nhớ hết các dạng toán để giải Cần rèn luyện chohọc sinh biết cách nhìn nhận bài toán, biết cách vận dụng các tính chất, các bàitoán đã biết vào giải toán.

Với các lý do trên, tôi đã trăn trở, tự đặt cho mình câu hỏi là làm thế nàođể học sinh có thể tiếp cận được với các bài toán phương pháp tọa độ trong mặtphẳng một cách hợp lý, làm sao để vận dụng được những kiến thức, tính chất đãhọc vào giải toán nhằm gây hứng thú học tập cũng như tạo ra sự gắn kết trongchương trình dạy học Và từ đó tôi xây dựng đề tài “Khai thác các tính chất hìnhhọc phẳng để giải bài toán tọa độ trong mặt phẳng nhằm phát triển tư duy chohọc sinh”.

2.3 Giải pháp thực hiện

Trong bài toán phương pháp tọa độ trong mặt phẳng, chúng ta cũngthường gặp một số dạng toán liên quan đến tứ giác Chẳng hạn như hình bìnhhành, hình thoi, hình thang, hình chữ nhật, hình vuông, tứ giác nội tiếp, …

Khi giải về các dạng toán này, chúng ta thường phải khai thác các tính

chất liên quan của mỗi hình, để từ đó tìm ra lời giải cho mỗi bài toán Có nhữngtính chất có sẵn, nhưng cũng có những bài toán với thao tác vẽ hình minh họa vàtìm ra một số tính chất từ hình vẽ, từ đó tìm ra lời giải cho mỗi bài toán.

2.3.1 Khai thác các tính chất của hình thang cân a) Kiến thức

Cho ABCD là hình thang cân ( AB // CD) Khi đóAD = BC.

Lời giải 1: Khai thác tính chất trục đối xứng của hình thang

Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AB, CD Khi đó EF là trục đối xứngcủa hình thang

Phương trình đường thẳng CD là x + 2y = 0.E là trung điểm của AB nên E(0;25 )

Phương trình đường thẳng EF là 2x – y + 25 = 0.

F là giao điểm của hai đường thẳng EF và CD nên F(-1;21 ) Suy ra D(-4; 2).

F

Thử lại: AB(2;-1), CD(6;-3) nên D(-4;2) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Lời giải 2: Khai thác tính chất hai cạnh bên của hình thang bằng nhau

Phương trình đường thẳng CD là x + 2y = 0.Lấy D(2a;a)CD

Ta có ADBC(2a1)2(a3)2105a210a0 a0 hoặc a 2.

Với a = 0 thì D(0; 0) Khi đó AC = 5, BD = 5 nên D(0; 0) loại

Với a = 2 thì D(-4; 2) Khi đó AC = BD = 5 nên D(-4; 2) thỏa mãn yêu cầu bàitoán.

Vậy D(-4;2)

Bài 2 Cho hình thang cân ABCD với hai đáy AB, CD, phương trình cạnh AB,

BD lần lượt là x y40,7x3y160 Diện tích tam giác ABD bằng 4.

ACM )

( Tìm tọa độ các đỉnh của hình thang biết D có hoành độ âm.

Lời giải:

Giả sử nAC ( ; ),a b a2 b2 0 là VTPT của đường thẳng AC

Phương trình đường thẳng AC là ( 16) 07

ax b y   Vì ABCD là hình thang cân nên

 

+ Với 73

a b: Chọn a = 7, b = -3 (loại vì AC // BD).

+ Với 37

a b: Chọn a = 3, b = -7  AC có phương trình 3x 7y16 0

M

B = BD  AB  B(-1; 3) A = AC  AB  A(-3; 1).

2(3 1;7 3)

Liên quan tới hình bình hành, chúng ta thường khai thác một số tính chấtnhư song song, vectơ bằng nhau, giao điểm 2 đường chéo là trung điểm mỗiđường, một số tính chất về góc như góc bằng nhau, góc bù nhau.

Một điều đáng lưu ý về hình bình hành là 2 đường chéo chia hình thành 4tam giác có diện tích bằng nhau.

Ngoài ra giao điểm 2 đường chéo cách đều cặp cạnh đối diện Đó cũngchính là tâm đối xứng của hình bình hành.

Lời giải:

B = AB  BC  B(-2;3) Do I là trung điểm BD nên D(2;0).

Đường thẳng AD đi qua D và song song với BC, có phương trình x6y 2 0

A= AD  AB  A(-4;1).

Do I là trung điểm AC nên C(4;2).Vậy A(-4;1), B(-2;3), C(4;2), D(2;0).

Bài 4 Cho 2 điểm A(2;1), B(-1;-3) Xác định tọa độ 2 đỉnh C,D lần lượt thuộc 2

đường thẳng d x y1:   3 0;d2:x 5y 16 0 sao cho ABCD là hình bình

Lời giải:

Gọi C(a;-3-a), D(5b+16;b).

ABCD là hình bình hành  AD BCAC k ABk

              

Nhận xét: Khai thác tính chất giao điểm của 2 đường chéo là tâm đối xứng, ta

có bài toán sau:

Bài 5 Cho hình bình hành ABCD phương trình cạnh AB: x 6y 5 0, giao

điểm 2 đường chéo là I(3;0), đường thẳng AD đi qua M(-3;-5), đường thẳng BCđi qua N(3;-4) Lập phương trình 3 cạnh còn lại của hình bình hành.

N

Bài 6 Trong hệ tọa độ Oxy cho hình bình hành ABCD, có diện tích bằng 4 Biết

A(1; 0), B(2; 0) và giao điểm I của 2 đường chéo AC và BD nằm trên đườngthẳng y = x Tìm tọa độ C và D.

   

Với I(2;2)  C(3;4), D(2;4).Với I(-2;-2)  C(-5;-4), D(-6;-4).

2.3.3 Khai thác các tính chất của hình thoia) Kiến thức

Khi giải các bài toán liên quan đến hình thoi ABCD, ta thường khai thác mộtsố tính chất như:

Hình thoi có các tính chất của hình bình hành.

AC  BD Nói cách khác, giao điểm 2 đường chéo nhìn mỗi cạnh dưới mộtgóc vuông Điều này giúp chúng ta có các hệ thức lượng liên quan đến tam giácvuông.

AC, BD là các trục của hình thoi AB = BC = CD = DA.

I là tâm đối xứng của hình thoi

d(AB; CD) = d(AD;BC) = 2d(I; AB) = 2d(I; BC) = 2d(I; CD) = 2d(I; DA)

b) Bài tập

Bài 7 Cho hình thoi ABCD có A(1;0), B(4;4) Giao điểm 2 đường chéo thuộc

đường thẳng x y  3 0 Tìm tọa độ 2 đỉnh còn lại

)))

  

Với a=5: I(5;2) Do I là trung điểm AC, BD nên C(9;4), (6;0).D

a  : I(5/2;-1/2) Do I là trung điểm AC, BD nên (4; 1), (1; 5)C  D  Vậy C(9;4), (6;0)D hoặc (4; 1), (1; 5)C  D 

Bài 8 Cho hình thoi ABCD có AC = 2BD, giao điểm 2 đường chéo là I(3;3) Hai

đường thẳng AB, CD lần lượt đi qua 2;4 , 3;13

N  

  và N’  AB.

Đường thẳng AB đi qua M và N’nên phương trình AB: x 3y 2 0

Gọi H là hình chiếu của I lên AB  ( ; ) 4

IH d I AB 

Đặt IB = a>0 Do AC =2BD nên IA= 2IB = 2a.

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:

( )5

 

 B(4;2) Đường thẳng BD đi qua B và I có phương trình x y  6 0.



Bài 9 Cho hình thoi ABCD có phương trình cạnh AB là 2x – 3y +7 = 0, phương

trình cạnh CD là 2x – 3y - 5 = 0 Viết phương trình hai cạnh còn lại của hình

a x b y  Lấy P(1; -1)  CD.

Ta có:

d(AB; CD) = d(AD;BC)  d(P; AB) = d(M; AD)

 

+ Với 469

a b: Chọn a = 46, b = 9  AD có phương trình 46x9y 133 0

Phương trình cạnh BC là 46x9y23 0

+ Với 23

a b: Chọn a = 2, b = 3  AD có phương trình 2x3y 11 0

Phương trình cạnh BC là 2x3y 1 0.

2.3.4 Khai thác các tính chất của hình chữ nhậta) Kiến thức

Khi giải các bài toán liên quan đến hình chữ nhật ABCD, ta thường khai thácmột số tính chất như:

B

I là trung điểm của EF ABD BAC

d(I; AB) = d(I; CD); d(I; AD) = d(I; BC) d1 ,d2 là các trục đối xứng của hình chữ nhật.

b) Bài tập

Với mức độ nâng cao dần về việc vận dụng các tính chất hình học củahình chữ nhật, ta có thể xây dựng một lớp các bài toán sau Bài toán sau đượcxây dựng nhờ tính chất song song, vuông góc của các cạnh hình chữ nhật.

Bài 10 Cho hình chữ nhật ABCD có A(3;0), C có hoành độ 2, phương trình CD

là x+2y8=0 Lập phương trình các cạnh còn lại.Lời giải:

Đường thẳng AB đi qua A và song song với CD có phương trình x+2y3=0.Đường thẳng AD đi qua A và vuông góc với CD có phương trình 2xy6=0.Ta có C(2;5).

Đường thẳng BC đi qua C và vuông góc với CD có phương trình 2xy+9=0.

Bài toán sau được xây dựng từ tính chất của tâm hình chữ nhật.

Bài 11 Cho hình chữ nhật ABCD có A(5;5), B(1;3) Tâm của hình chữ nhật

nằm trên : xy+ 5=0 Xác định tọa độ 2 đỉnh C, D.Lời giải:

Gọi tâm của hình chữ nhật là I(a;a+5).

Do I là trung điểm AC, BD nên C(0;0), D(6;2).

Bài toán sau đây thấy được sự khác nhau giữa việc khai thác các tính chấtcủa hình.

Bài 12 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có A(1;3), đỉnh

C thuộc đường thẳng d1: xy1=0 Phương trình đường thẳng đi qua D và trung

Lời giải:

Lời bình 1: Xuất phát từ một bài toán quen thuộc về hình chữ nhật: “Trong hìnhchữ nhật ABCD, 2 đường thẳng BN, DM chia đoạn AC thành 3 phần bằng nhau(M, N lần lượt là trung điểm AB, CD)” Từ đây ta có thể dễ dàng thu được tínhchất d(C;DM)=2d(A;DM) Từ đây ta có lời giải sau.

Lời giải 1:

Gọi M, N là trung điểm AB, CD

Gọi E, F lần lượt là giao điểm của ACvới DM, BN Dễ dàng chứng minhđược E là trung điểm AF, F là trungđiểm CE  AE = EF = FC

 d(C; DM)=d(A; DM).

Gọi C(a; a1) Ta có

2( 1) 1 12( ; ) 2 ( ; )

  

 D(3;1) Sử dụng AB DC 

 B(5;0).Vậy B(5;0), C(3;4), D(3;1).

Lời bình 2: Ngoài ra, nếu chúng ta chỉ dừng lại ở việc sử dụng các tính chất của

đỉnh, trung điểm, ta cũng có thể giải được bài toán Ta có lời giải sau.

 

a b  D 

  : Loại+ Với 3, 3 3; 1

a b  D  : Thỏa mãn Khi đó B(5;0), C(3;4).Vậy B(5;0), C(3;4), D(3;1).

Bài 13 Cho hình chữ nhật ABCD có phương trình cạnh AB là x2y+1=0, phương

trình cạnh BD là x7y+14=0, đường thẳng AC đi qua M(2;1) Xác định tọa độ

các đỉnh hình chữ nhật.

Lời giải:Lời giải 1:

B = AB  BD  (21 13;).5 5

Đường thẳng AC đi qua M có dạng a x(  2)b y(  1) 0, a2b2  0

Ta có cos(AB AC, ) cos AB BD,  nên

 

+ Với 17

a b: Chọn a =1, b = -7AC có phương trình x 7y 5 0: Loại.

+ Với a = b: Chọn a=1, b= -1:  AC có phương trình x y  1 0

mQ

A = AC  AB  A(3;2) Gọi I = AC  BD  ( ; )7 52 2

B ,C(4; 3), (14 12;)5 5

Lời giải 2:

Đường thẳng d đi qua M và song song với AB có phương trình là x – 2y = 0.

28 14(;).

B Do đó (14 12;)5 5

Phương trình cạnh AD là 2x + y – 8 =0.A= AB  AD  A(3; 2). Do đó C(4; 3).

Vậy A(3;2), (21 13;)5 5

B ,C(4; 3), (14 12;)5 5

+ Hai đường chéo vuông góc.

+ Hình vuông có 4 trục đối xứng và I là tâm đối xứng.

+ 2 đỉnh đối diện đối xứng nhau qua đường chéo còn lại.

+ Một số tính chất khác nữa nhờ phân tích hình vẽ mà có được.

b) Bài tập

Khai thác các tính chất của tâm và đường chéo của hình vuông:

Bài 14 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hình vuông ABCD có B, D

thuộc trục hoành, 2 đỉnh A, C lần lượt nằm trên các đường thẳng

1: 0; 2: 2 1 0

d x y  dx y   Xác định tọa độ A, B, C, D.Lời giải:

Gọi ( ; ), ( ;1 2 ).A a a C b  b Gọi I là tâm hình vuông  ; 2 1

a bb a

Vậy A(1;1), B(0;0), C(1;1), D(2;0) hoặc A(1;1), B(2;0), C(1;1), D(0;0).

Tiếp tục với cách khai thác tính chất của tâm hình vuông, ta xét bài toánsau:

Bài 15 Trong hệ tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD tâm I(1;1), 2 cạnh AB, CD

lần lượt đi qua M(2;2), N(2;2) Xác định tọa độ A và B.Lời giải:

Gọi E đối xứng với N qua I  E(0;4)  AB.Đường thẳng AB đi qua M, E

