Vận dụng tính chất của tứ diện vuông để giải lớp các bài toán tính khoảng cách trong hình học không gian lớp 11

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA TRƯỜNG THPT TRIỆU SƠN SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM VẬN DỤNG TÍNH CHẤT CỦA TỨ DIỆN VUÔNG ĐỂ GIẢI LỚP CÁC BÀI TOÁN TÍNH KHOẢNG CÁCH TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN LỚP 11 Người thực hiện: Nguyễn Thị An Chức vụ: Giáo viên SKKN thuộc lĩnh vực (môn): Toán MỤC THANH HÓALỤC NĂM 2017 Trang I MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Mục đích nghiên cứu 3 Đối tượng nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu II NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Cơ sở lý luận sáng kiến kinh nghiệm Thực trạng vấn đề Giải pháp tổ chức thực 3.1 Tóm tắt kiến thức 3.2 Các ví dụ mở đầu 3.3 Các toán tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng 3.4 Các toán tính khoảng cách hai đường thẳng chéo 3.5 Một số tập chọn lọc 15 19 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường 20 III KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Kết luận 21 Kiến nghị 22 TÀI LIỆU THAM KHẢO 23 I MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Hình học không gian (HHKG) nội dung quan trọng chương trình toán học phổ thông, đóng vai trò quan trọng việc hình thành phát triển lực tư cho học sinh Chính HHKG thường có mặt kỳ thi đánh giá lực học sinh đặc biệt kỳ thi THPT Quốc Gia HHKG nói chung toán tính khoảng cách nói riêng nội dung khó đa số học sinh nói chung đặc biệt em học sinh trường THPT Triệu Sơn nói riêng Tiếp nối SKKN năm học 2015 - 2016, sở đạt kết định năm học vừa qua với kinh nghiệm từ thực tiễn giảng dạy học hỏi đồng nghiệp mạnh dạn chọn tiếp tục phát huy đề tài "Vận dụng tính chất tứ diện vuông để giải lớp toán tính khoảng cách hình học không gian lớp 11" làm đề tài SKKN năm học 2016 2017 Điểm đề tài SKKN lần là: Đề xuất áp dụng tính chất tứ diện vuông để tính lớp toán khoảng cách, số kinh nghiệm xác định dựng tứ diện vuông cách đơn giản đặc biệt hệ thống ví dụ, tập có chọn lọc Với mục đích chia sẻ bớt khó khăn với học trò Rất mong nhận nhiều ý kiến đóng góp, sẻ chia thầy cô, bạn đồng nghiệp độc giả để đề tài áp dụng có hiệu việc dạy học toán khoảng cách HHKG lớp 11 Mục đích nghiên cứu Trong giới hạn sáng kiến kinh nghiệm xin đề xuất áp dụng tính chất tứ diện vuông để tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng, khoảng cách hai đường thẳng chéo nhau, trình bày số kinh nghiệm đúc kết trình giảng dạy cho học sinh việc xác định dựng tứ diện vuông đảm bảo tính đơn giản tư thuật giải dễ áp dụng tính toán Tôi tham vọng giúp học sinh giải tất toán tính khoảng cách mà mong muốn trang bị thêm cho em cách nhìn, phương pháp, hướng tư từ để em tự tin tiếp cận toán tính khoảng cách Hy vọng tài liệu hữu ích cho em học tập thầy cô tham khảo Đối tượng nghiên cứu Bài toán tính khoảng cách toán quan trọng chương trình hình học không gian lớp 11 Bản chất đa số toán tính khoảng cách lại toán tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng đề tài nghiên cứu tìm cách tính khoảng cách từ điểm đến mặt cách đơn giản nhẹ nhàng Đó cách chuyển toán khoảng cách áp dụng tính chất tứ diện vuông số kinh nghiệm, số cách xác định dựng tứ diện vuông cách đơn giản cho loại, dạng cụ thể Phương pháp nghiên cứu Xây dựng sở lý luận, tóm lược kiến thức bản, xây dựng hệ thống tập tổ chức triển khai thực Kiểm tra, đánh giá đúc rút kinh nghiệm thu từ thực tiễn giảng dạy, báo cáo chuyên môn tổ, tranh thủ ý kiến đóng góp tổ chuyên môn tổ chuyên môn đánh giá cao từ bổ sung để có sở lý luận hoàn thiện tổ chức triển khai áp dụng II NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Cơ sở lý luận Mục tiêu giáo dục phải lấy người học làm trung tâm, khơi dậy đam mê, hứng thú khát vọng học sinh Phải đào tạo người lao động tự chủ, sáng tạo, có lực giải vấn đề thường gặp Phải đổi phương pháp giáo dục, khắc phục lối truyền thụ chiều, rèn luyện nếp tư sáng tạo người học Trong mục tiêu môn Toán, mục tiêu phát triển lực tư đặt lên hàng đầu Để làm mục tiêu vai trò người thầy, người cô vô quan trọng Ở thầy cô phải không ngừng học hỏi để nâng cao trình độ chuyên môn, thực tận tụy tâm huyết với học trò không ngừng đổi phương pháp tìm tòi phương pháp mới, cách tiếp cận cho đơn giản, hiệu tạo tinh thần phấn khởi hứng thú người học Thực trạng vấn đề Hình học nói chung HHKG nói riêng đòi hỏi người học khả trừu tượng hóa, tư lôgic chặt chẽ HHKG nội dung khó em học sinh lớp 11 HHKG mà đặc biệt toán tính khoảng cách vấn đề khó học sinh, toán thường đòi hỏi khả trừu tượng hóa, khả nhạy bén, tư chặt chẽ khả tính toán xác Vì toán tính khoảng cách toán liên quan thường có mặt kỳ thi đặc biệt kỳ thi THPT Quốc Gia Là nội dung khó nên chương trình hình học lớp 11 có ba chương dành hai chương cuối cho nội dung Điều khẳng định vị trí hình học không gian chương trình hình học Tuy nhiên với lượng kiến thức nhiều nên với khoảng thời gian giáo viên cách tổng hợp, khái quát chất dạng toán lan man gây tượng " rối kiến thức " cho học sinh Thực tế đa số học sinh yếu trung bình thường sợ toán hình, đặc biệt hình học không gian đặc biệt toán tính khoảng cách Mặt khác không thầy cô dạy HHKG đặc biệt toán tính khoảng cách sử dụng phương pháp truyền thống tức thuyết trình, giảng giải mà quan tâm đến việc tìm tòi phương pháp ngắn gọn, dễ hiểu mối quan hệ toán Trong trình giảng dạy, qua tiết dự giờ, qua trao đổi chuyên môn thấy thầy cô vận dụng tính chất tứ diện vuông vào giải toán tính khoảng cách Rất nhiều toán HHKG lớp 11 giải phương pháp hình học tổng hợp tương đối phức tạp, gây nhiều khó khăn cho học sinh phải vẽ thêm đường có nhiều phép toán phức tạp Tuy nhiên vận dụng kết tứ diện vuông lời giải toán trở nên ngắn gọn, đẹp, tạo hứng thú cho học sinh đặc biệt phù hợp với tinh thần đổi thi Đặc biệt toán tính khoảng cách đề thi trung học phổ thông quốc gia áp dụng kết tứ diện vuông đơn giản dễ hiểu cho học sinh Giải pháp tổ chức thực 3.1 Tóm tắt kiến thức a) Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng - Trong không gian cho mặt phẳng (P) điểm M, gọi H hình chiếu vuông góc điểm M mặt phẳng (P) Khi khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P) độ dài đoạn MH [ 1] M - Ký hiệu: d(M,(P)) = MH H P b) Khoảng cách đường thẳng mặt phẳng song song - Trong không gian cho đường thẳng (d) mặt phẳng (P) song song với Khi khoảng cách đường thẳng (d) mặt phẳng (P) khoảng cách từ điểm đường thẳng (d) đến mặt phẳng (P) [ 1] - Ký hiệu: d((d),(P)) = d(M,(P)) (trong M điểm đường thẳng (d)) (d) M H P c) Khoảng cách hai đường thẳng chéo - Trong không gian cho hai đường thẳng chéo (d1) (d2) Gọi AB đoạn vuông góc chung hai đường thẳng Khi khoảng cách hai đường thẳng chéo (d1) (d2) độ dài đoạn AB Ký hiệu: d((d1),(d2)) = AB [ 1] - Để tính khoảng cách hai đường thẳng chéo ta có nhiều cách cách dùng nhiều là: +) Xác định tính độ dài đoạn vuông góc chung (dùng định nghĩa); +) Gọi mặt phẳng (P) mặt phẳng chứa đường thẳng (d 2) song song với đường thẳng (d1) Khi đó: d((d1),(d2))=d((d1),(P))=d(M,(P)) với M điểm đường thẳng (d1) [ 1] +) Gọi mặt phẳng (P) mặt phẳng (Q) hai mặt phẳng song song với chứa đường thẳng (d1) đường thẳng (d2) Khi đó: d((d1), (d2))=d((P),(Q))=d(M,(Q)) với M điểm mặt phẳng (P) [ 1] d) Tứ diện vuông: Cho tứ diện OABC có OA, OB OC đôi vuông vuông góc với O (tứ diện OABC gọi tứ diện vuông đỉnh O) Gọi H hình chiếu vuông góc O lên mặt phẳng (ABC), đó: a) d(O, (ABC)) = OH (*) b) 1 1 = + + (2*) [ 1] OH OA2 OB OC e) Tính chất: Cho mặt phẳng (P) hai điểm A, B Nếu I giao điểm d ( A, ( P ) ) AI A = đường thẳng AB mặt phẳng (P) Khi đó: d ( B, ( P ) ) BI Hay: d ( A,( P)) = AI d ( B,( P)) BI (3*) B I P 3.2 Các ví dụ mở đầu Ví dụ 1(Trích đề thi khối A khối A1 năm 2014) 3a , hình chiếu vuông góc S lên mặt phẳng (ABCD) trung điểm cạnh AB Tính theo a khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBD) [ 2] Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a, SD = S Cách giải (cách giải thông thường) - Gọi H trung điểm AB, suy SH ⊥ (ABCD) Do SH ⊥ HD - Ta có SH = SD − ( HA2 + AD ) = a - Gọi K hình chiếu vuông góc H BD E hình chiếu vuông góc H lên SK - Ta có BD ⊥ HK BD ⊥ SH, nên BD ⊥ (SHK) - Suy BD ⊥ HE mà HE ⊥ SK, doA đó: HE ⊥ (SBD) B E C K H D HS HK a a · = - Ta có HK = HB.sin KBH , suy HE = = HS + HK 2a [ 2] - Do đó: d(A, (SBD)) = 2d(H, (SBD)) = 2HE = Cách giải (Áp dụng tính chất tứ diện vuông) - Gọi H trung điểm AB, suy SH ⊥ (ABCD) Do SH ⊥ HD, Khi đó: SH = SD − ( HA2 + AD ) = a - Gọi O trung điểm BD, O tâm hình vuông ABCD Suy HB, HO, HS đôi vuông góc H nên tứ diện HSBO tứ diện vuông đỉnh H HB = HO = a S - Mà d(A, (SBD)) = 2d(H, (SBD)) = 2d - Mặt khác tứ diện HSBO vuông H, ta có: 1 1 a = + + = ⇒ d = d HS HB HO a 2a C O H - KL: d(A, (SBD)) = 2d(H, (SBD)) = 2d = B A D Ví dụ 2(Trích đề thi THPT Quốc Gia năm 2015) Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD), góc đường thẳng SC mặt phẳng (ABCD) 45 Tính theo a khoảng cách hai đường thẳng SB AC [ 2] S Cách giải (cách giải thông thường) · - Ta có: SCA = (·SC ,( ABCD ) ) = 450 Suy SA = AC = a - Kẻ đường thẳng (d) qua B song song với AC Gọi M hình chiếu vuông góc (d) A (d); H hình chiếu vuông góc M A SM - Ta có: MB ⊥ SA, MB ⊥ MA nên MB ⊥ (SAM) MB ⊥ AH H A B D C - Mặt khác AH ⊥ SM nên AH ⊥ (SMB) - Do AC//BM nên AC//(SBM) đó: d(AC,SB) = d(AC,(SBM)) = AH - Tam giác SAM vuông A, có đường cao AH, nên 1 a 10 = + = ⇒ AH = AH AS2 AM 2a - KL: d(AC,SB) = d(AC,(SBM)) = AH = a 10 [ 2] Cách giải (Áp dụng tính chất tứ diện vuông) · - Ta có: SCA = (·SC ,( ABCD ) ) = 450 Suy SA = AC = a - Gọi E điểm đối xứng với D qua A, AC//BE nên AC//(SBE) - Khi đó: d(AC,SB) = d(AC,(SBE)) = d(A,(SBE)) = d S - Do tứ diện ASBE tứ diện vuông đỉnh A nên: 1 1 a 10 = + + = ⇒ d = d AB AE AS2 2a E a 10 - KL: d(AC,SB) = A B D C Nhận xét: Vậy qua hai ví dụ đại diện cho hai dạng hai cách giải khác ta thấy 10) Đối với em học sinh có học lực trung bình yếu cách giải có số khó khăn sau: - Dựng thêm nhiều đường phụ chứng minh đường vuông góc với mặt để khẳng định khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Thao tác tốt em học sinh giỏi đa số học sinh thuộc diện trung bình yếu đặc biệt em học sinh trường THPT Triệu Sơn nơi công tác thao tác gây nhiều khó khăn - Tính toán nhiều bước, nhiều thao tác từ nhiều thao tác tư duy, học sinh dễ nhầm lẫn, khó tiếp thu…và gặp nhiều khó khăn giải tương tự - Từ khó khăn ban đầu mà nhiều em vấp ngã từ thao tác 20) Đối với cách giải có hai bước rõ rệt là: Xác định tạo tứ diện vuông (thông thường đỉnh tứ diện vuông hình chiếu đỉnh lên mặt đáy đỉnh góc vuông ) chuyển khoảng cách cần tính khoảng cách từ đỉnh tứ diện vuông tới mặt đối diện 30) Ta áp dụng cách giải cho nhiều toán tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng khoảng cách hai đường thẳng chéo Tư mạch lạc, hình vẽ đơn giản, kết quen thuộc dễ nhớ dễ vận dụng đặc biệt hiệu với hình thức thi trắc nghiệm điểm mạnh cách giải mà ta áp dụng SKKN Do khuôn khổ SKKN nên lựa chọn hai toán khoảng cách tiêu biểu cho phương pháp toán không nêu hai cách giải để so sánh mà dạng toán xây dựng hệ thống ví dụ từ đơn giản đến phức tạp để học sinh tự khám phá, phát phương pháp giải nhằm phát triển lực tư cho học sinh 3.3 Các toán tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng - Bài toán tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng toán quan trọng toán tính khoảng cách, em hiểu vận dụng làm tốt toán tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng sở để làm tốt toán tính khoảng cách khác - Các ví dụ minh họa sau xây dựng tăng dần mức độ đặc trưng cho loại hình thường gặp (tuy nhiên để thuận tiện cho trình tiếp thu ví dụ từ hình chóp đến lăng trụ) với mục đích để em tự nhận thấy phát đỉnh tứ diện vuông, từ áp dụng kết tứ diện vuông vào để tính Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi tâm O, cạnh a, 3a · = 60 , SO vuông góc với mặt phẳng (ABCD) SO = Tính theo a BAD a) d(O,(SBC)); b) d(A,(SBC)) GV: 10) Trong toán điểm O có đặc biệt? Tứ diện OBCS tứ diện gì, sao? 0) Để tính khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (SBC) ta cần tính yếu tố nào? 30) Tính khoảng cách cách áp dụng kết tứ diện vuông a) - Theo ta có tam giác ABD tam giác cạnh a nên: OB = BD a a = OC = OA = 2 - Do tứ diện OSBC vuông O, đặt: d(O,(SBC)) = d Khi đó: 1 1 = 64 3a ⇒d = = + + 2 2 d OB OC OS 9a - KL: d(O,(SBC)) = 3a b) Ta có: d ( A,( SBC )) = 2d (O , SBC ) = 3a GV: Ta thấy điểm O ví dụ điểm " đặc biệt" mà điểm khác Điểm O đỉnh nhiều tứ diện vuông, việc tính khoảng cách từ điểm O đến mặt bên không khó khăn Do để tính khoảng cách từ điểm tùy ý đến mặt toán ta thường chuyển khoảng cách từ điểm O mà điểm A toán ví dụ 10 Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD hình thang vuông A B, có BA = BC = a, AD = 2a Cạnh bên SA = a SA vuông góc với mặt đáy (ABCD) Gọi H hình chiếu vuông góc A SB Tính theo a a) d(A,(SBD)) b) d(A,(SCD)) c) d(H,(SCD)) [ 3] GV: 10) Trên hình vẽ từ điểm ta dựng tứ diện vuông cách đơn giản 20) Giải toán cách áp dụng kết tứ diện vuông a) - Xét tứ diện vuông ASBD đỉnh A, ta đặt: d(A,(SBD)) = d Khi đó: 1 1 2a = + + = ⇒ d = d AS2 AB AD 4a - Suy ra: d ( A,( SBD)) = 2a b)- Gọi M giao điểm AB với CD Khi tứ diện ASDM tứ diện vuông đỉnh A, ta đặt: d(A,(SCD)) = d Khi đó: 1 1 = + + = ⇒d =a d AS2 AM AD a - Suy ra: d ( A,( SCD)) = a c)- Gọi K giao điểm AH với SM, mà B trung điểm AM Mặt khác: BH BH BS BA2 = = = Suy BS BS BS H trọng tâm tam giác SAM 11 d ( H ,( SCD)) HK 1 a = = ⇒ d ( H ,( SCD)) = d ( A,( SCD)) = d ( A,( SCD)) AK 3 a - KL: d( H,(SCD)) = - Mà: GV: ) Trong toán ta thấy điểm A có vị trí quan trọng toán tính khoảng cách ) Nhiều toán tính khoảng cách từ điểm đến mặt ta thường đưa tính khoảng cách từ điểm A đến mặt ) Tương tự học sinh tự lấy điểm áp dụng tính khoảng cách ) Qua hai ví dụ điểm H ví dụ điểm A ví dụ hình chiếu vuông góc điểm S mặt đáy hai điểm H A "lộ" Trong ví dụ ta thấy điểm "đặc biệt" "dấu kín " Để rõ điều ta nghiên tiếp ví dụ sau Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh 2a, tam giác SAB tam giác vuông S nằm mặt phẳng vuông góc với mặt đáy (ABCD) Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBD) theo a, biết SA = a GV: ) Đỉnh ta dễ xây dựng tứ diện vuông? ) Hai mặt phẳng vuông góc với cho ta điều gì? ) Giải toán phương pháp áp dụng tính chất tứ diện vuông S - Gọi H hình chiếu vuông góc S cạnh AB Do mặt phẳng (SAB) A vuông góc với mặt đáy (ABCD) nên SH với mặt phẳng (ABCD) D K H 12 B C a 3a a 3a - Ta có: HA = , HB = , HS = , HK = 2 2 AB 4 d ( H ,( SBD ) ) = d ( H ,( SBD )) = d Mà d ( A,( SBD)) = HB 3 1 1 20 3a + + = ⇒d = Mặt khác = 2 d HS HB HK 9a 2a - Suy ra: d ( A,( SBD)) = d ( H ,( SBD)) = GV: Qua ví dụ cho phép ta "nghĩ tới" đỉnh tứ diện vuông "hầu như" hình chiếu đỉnh S mặt đáy Trong ví dụ vị trí hình chiếu thay đổi từ đỉnh đến điểm cạnh điểm tùy mặt đáy Để rõ ta nghiên cứu tiếp ví dụ sau Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có SA = SB = SD, đáy ABCD hình thoi · cạnh a, góc BAD = 600 tam giác SAC vuông S Tính theo a khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC) [ 3] GV: 10) Từ giả thiết SA = SB = SD cho ta điều gì? Hình chiếu đỉnh S lên mặt đáy (ABCD) nằm đâu? 20) Dựng tứ diện vuông nào? Áp dụng tính chất tứ diện vuông để tính khoảng cách S - Do SA = SB = SD nên hình chiếu vuông góc H đỉnh S lên mặt phẳng (ABCD) trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD Mà tam giác ABD tam giác nên H trọng tâm tam giác E ABD - Tam giác ABD cạnh a nên a 2a a AH = , HC = AO = 3 - Mà tam giác SAC vuông S nên A ta có: SH = HA.HC = B C O H D a 13 - Từ H dựng đường thẳng song song với BD, cắt BC E Khi tứ diện 2a 2a a HSCE tứ diện vuông đỉnh H HC = , SH = , HE = 3 - Mà: d(A,(SBC)) = Mặt khác ta có: 3 d ( H ,( SBC )) = d 2 1 1 a = + + = ⇒d = 2 2 d HC HE HS 2a Do đó: d(A,(SBC)) = a 2 GV: 10) Qua ví dụ lần khẳng định vị trí quan trọng hình chiếu vuông góc đỉnh lên mặt đáy vị trí hình chiếu hầu hết phản ánh độ khó toán vị trí hình chiếu từ vị trí quen thuộc đến vị trí 20) Cũng qua ta có số kinh nghiệm dựng tứ diện vuông áp dụng tính chất tứ diện vuông để đơn giản toán tính khoảng cách 30) Tương tự em tự đề kiểm nghiệm Chẳng hạn, tính d(D,(SBC)) hay d(O,(SBC)) yêu cầu em tính khoảng điểm lại 40) Phát triển toán qua toán liên quan đến lăng trụ Vậy cách xây dựng tứ diện vuông hình lăng trụ nào? Đỉnh tứ diện vuông nằm đâu? Chúng ta nghiên cứu qua ví dụ sau Ví dụ (Khối B năm 2014) Cho lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy tam giác cạnh a Hình chiếu vuông góc đỉnh A' lên mặt phẳng (ABC) trung điểm cạnh AB, góc đường thẳng A'C mặt đáy 60 Tính theo a khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (ACC'A') [ 2] GV: 10) Điểm đỉnh tứ diện vuông định xây dựng? 20) Vận dụng tính chất tứ diện vuông để tính d(B,(ACC'A')) - Gọi H trung điểm cạnh AB, suy A ' H ⊥ ( ABC ) ·A ' CH = 600 Do 3a đó: A ' H = CH tan ·A ' CH = - Do tam giác ABC cạnh a nên a a HA = , HC = 2 - Ta có: d(B,(AA'C'C)) = 2d(H,(A'AC)) = 2d A' C' B' A C H B 14 - Mà tứ diện vuông HACA' đỉnh H ta có: 1 1 3a 13 = + + ⇒d = 2 2 d HA HC HA ' 26 - Do đó: d(B,(AA'C'C)) = 2d(H,(A'AC)) = 2d = 3a 13 13 GV: Nâng tầm toán thay đổi vị trí hình chiếu mặt đáy Ta nghiên cứu tiếp ví dụ mà vị trí hình chiếu điểm nằm mặt đáy, tứ diện vuông dựng nào? Ví dụ (trích đề thi HSG Tỉnh Bắc Giang 2015) Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có đáy ABC tam giác tâm O Hình chiếu vuông góc đỉnh C' lên mặt phẳng (ABC) trùng với O Biết khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng CC' a, góc hai mặt phẳng (ACC'A') (BCC'B') 600 Tính theo a khoảng cách từ điểm B' đến mặt phẳng (ACC'A') [ 4] GV: 10) Áp dụng tính chất tứ diện vuông vào tính khoảng cách 20) Tứ diện vuông cần xây dựng có đỉnh điểm nào? - Gọi H hình chiếu vuông góc O lên CC' Khi OH = a - Qua O dựng đường thẳng song song với AB cắt AC CB E F Khi đó: B' C' A' H F C ( ACC ' A ') , ( BCC ' B ') ) = (·HE , HF ) = 600 (· O E B M A · Suy ra: EHF = 1200 , đó: OE = a 3, OC = 3a mà OH = a nên OC ' = 3a 2 - Ta có: d(B',(ACC'A')) = d(B,(ACC'A')) = 3d(O,(A'AC)) = 3d - Trong tứ diện vuông OC'CE đỉnh O ta có: 1 1 a = + + = ⇒d = 2 2 d OC ' OC OE 3a KL: d(B',(ACC'A')) = 3a GV: Qua ví dụ ta thấy đơn giản hình vẽ, tính gọn nhẹ biểu thức tính toán vận dụng tính chất tứ diện vuông vào số 15 toán tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Bên cạnh số kinh nghiệm dựng tứ diện vuông nét nỗi bật lời giải 3.4 Các toán tính khoảng cách hai đường thẳng chéo Các toán tính khoảng cách hai đường thẳng chéo toán thường gặp đề thi "thông thường" ta chuyển khoảng cách gữa hai đường thẳng chéo toán khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng(trong khuôn khổ SKKN ta quan tâm đến lớp toán tính khoảng cách hai đường thẳng chéo thông qua khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng) Chính toán khoảng cách hai đường thẳng chéo coi toán khoảng cách từ điểm đến mặt mức độ cao Để nhẹ nhàng cho trình tiếp cận số ví dụ sau khai thác từ ví dụ phần trước Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi tâm O, cạnh a, 3a · = 60 , SO vuông góc với mặt phẳng (ABCD) SO = Tính theo a BAD khoảng cách hai đường thẳng AD SC GV: 10) Dựng mặt phẳng chứa cạnh SC song song với cạnh AD Chuyển toán khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng 20) Áp dụng kết tứ diện vuông để tính - Do AD//BC nên AD//(SBC) - Khi đó: d(AD,SC) = d(AD,(SBC)) = d(A,(SBC)) = 2d(O,(SBC)) = 3a GV: 10) Đây ví dụ nhỏ để rõ việc chuyển khoảng cách hai đường chéo khoảng cách từ điểm đến mặt mà ta áp dụng cho toán sau Áp dụng cách làm cho cặp cạnh lại, yêu cầu học sinh tập đề tính 20) Tương tự vị trí hình chiếu có vai trò quan trọng mức độ khó dễ toán phụ thuộc lớn vào vị trí hình chiếu Để hiểu thêm em làm ví dụ sau Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có SA = SB = SD, đáy ABCD hình thoi · cạnh a, góc BAD = 600 tam giác SAC vuông S Tính theo a khoảng cách hai đường thẳng AD SC [ 3] 16 GV: Dựng mặt phẳng chứa cạnh SC song song với cạnh AD Tương tự chuyển toán quen thuộc giải S - Do SA = SB = SD nên hình chiếu vuông góc H đỉnh S lên mặt phẳng (ABCD) trùng với tâm tam giác ABD Mà tam giác ABD tam giác nên H trọng tâm tam giác ABD - Tam giác ABD cạnh a nên B E C a 2a a AH = , HC = AO = 3 O - Mà tam giác SAC vuông S nên ta a H có: SH = HA.HC = A D - Do AD//BC nên AD//(SBC), đó: 3 a d ( H ,( SBC )) = d = 2 (đã tính ví dụ phần khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng) d(AD,SC) = d(AD,(SBC)) = d(A,(SBC)) GV: 10) Qua hai ví dụ ta thấy mối liên hệ mật thiết hai toán khoảng cách vị trí hình chiếu đỉnh lên mặt đáy hình chóp 20) Vấn đề lại lăng trụ điểm "đặc biệt" điểm quan tâm đến ví dụ sau Ví dụ Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh a Tính d(AC,DC') theo a GV: Nói tới hình lập phương có nhiều điểm thuận lợi, dễ để ta xác định tứ diện vuông phù hợp Vậy tứ diện vuông tứ diện nào? - Do AC//( DA'C') nên d(AC,DC') = d(AC,(DA'C')) = d(A,(DA'C')) = d(D',(DA'C')) = d - Mặt khác tứ diện vuông D'A'C'D đỉnh D' ta có: 1 1 a = + + = ⇒ d = d D'D D ' A '2 D ' C '2 a - Do đó: d(AC,DC') = a 3 17 Ví dụ Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC tam giác vuông B, AB = BC = a cạnh bên AA'= a Gọi M trung điểm BC Tính d(AM,B'C) theo a [ 3] GV: Do lăng trụ cho lăng trụ đứng đáy tam giác vuông B nên đỉnh đỉnh tứ diện vuông? - Gọi E trung điểm cạnh BB' B'C// (AME) Do đó: d(AM,B'C) = d(B'C,(AME)) = d(B',(AME)) = d(B,(AME)) = d - Vì tứ diện BAME tứ diện vuông đỉnh B nên ta có: 1 1 a = + + = ⇒ d = d BA BM BE a a a - Suy ra: d(B,(AME)) = Vậy: d(AM,B'C) = 7 GV: 10) Qua ví dụ để tính khoảng cách hai đường thẳng chéo ta thực theo bước sau: Dựng mặt phẳng chứa đường song song với đường lại; chuyển khoảng cách từ điểm đến mặt; dựng tứ diện vuông áp dụng tính chất để tính 20) Các ví dụ sau phát triển theo hai hướng: Vị trí đỉnh tứ diện vuông cách dựng mặt phẳng chứa đường song song với đường lại Ví dụ Cho lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có tất cạnh a Gọi M, N trung điểm AA' BB' Tính d(B'M,CN) theo a [ 5] GV: Lăng trụ cho lăng trụ nên lăng trụ đứng đáy đa giác Do cạnh bên vuông góc với mặt đáy, nhiên đáy tam giác nên đỉnh đáy đỉnh tứ diện vuông Vậy đỉnh tứ diện vuông đỉnh nào? 18 - Gọi O O' trung điểm cạnh BC B'C' P giao điểm OO' với CN Do B'M// (CAN) nên: d(B'M,CN) = d(B'M,(CAN)) = d(B',(CAN)) = d(B,(CAN)) = 2d(O,(CAN)) =2d(O,(CAP)) = 2d - Tứ diện OACP tứ diện vuông O nên ta có: 1 1 64 a = + + = ⇒ d = d OA OC OP 3a a - Vậy: d(O,(CAP)) = a Do đó: d(B'M,CN) = Ví dụ Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh a Gọi K trung điểm cạnh DD' Tính d(CK,A'D) [ 6] GV: 10) Dựng mặt phẳng chứa A'D song song với KC 20) Xác định tứ diện vuông áp dụng tính chất để tính - Gọi M trung điểm cạnh BB', ta có A'M//KC nên : d(CK,A'D) = d(CK,(A'MD)) = d(K,(A'MD)) - Gọi N giao điểm AK với A'D P giao điểm AB với A'M d ( K ,( A' MD )) NK Khi đó: = = d ( A,( A' MD )) NA 19 Suy ra: d(CK,A'D) = d ( A,( A' MD )) = d ( A,( A' DP)) 2 - Tứ diện AA'DP tứ diện vuông đỉnh A nên ta có: 1 1 2a = + + = ⇒d = 2 2 d AA' AD AP 4a - Suy ra: d(A,(A'DP)) = Vậy: d(CK,A'D) = 2a a 3.5 Một số tập chọn lọc Bài Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông B BC = a, AB = a Gọi M trung điểm cạnh AC, tam giác SBM tam giác nằm mặt phẳng vuông góc với mặt đáy Tính theo a khoảng cách a) d(A,(SBC)) b) d(C,(SAB)) 2a 15 2a 39 [ ] ĐS: a) b) 13 Bài Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC tam giác vuông A Biết AA' = 1, BC = 2, AB = M trung điểm cạnh CC' Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (A'BM) 57 [ ] ĐS: 19 Bài Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C', có đáy ABC tam giác vuông cân B AB = a Hình chiếu vuông góc đỉnh A' lên mặt phẳng (ABC) trùng với trung điểm H cạnh AB diện tích mặt bên ABB'A' 3a2 Tính theo a khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (ACB') 2a [ 8] ĐS: Bài Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có đáy ABCD hình vuông cạnh 2a Hình chiếu vuông góc đỉnh B lên mặt phẳng (A'B'C'D') trung điểm H cạnh A'B' Tính theo a khoảng cách từ điểm C' đến mặt phẳng (A'BC), biết đường thẳng BC' tạo với mặt phẳng (A'B'C'D') góc 450 a 30 [ ] ĐS: Bài Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vuông cạnh a , tam giác SAC vuông S nằm mặt phẳng vuông góc với mặt đáy, SA = a Tính theo a khoảng cách hai đường thẳng SD BC 2a 21 [ ] ĐS: 20 Bài Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a, cạnh SA vuông góc với đáy SA = a a) Gọi M, N trung điểm AB CD Tính d(SM, BN) theo a b) Gọi G trọng tâm tam giác SAB Tính d(G,(SBD)) theo a a 10 a 22 [ ] ĐS: a) b) 15 11 Bài Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC tam giác vuông A, AB = a Góc đường thẳng A'B mặt phẳng (ABC) 30 Tính theo a khoảng cách hai đường thẳng A'B B'C', biết góc hai mặt phẳng (A'BC) (ABC) 450 a [ ] ĐS: Bài Cho hình lăng trụ ABCD.A'B'C'D' có đáy ABCD hình chữ nhật AB = a, AD = a Hình chiếu vuông góc đỉnh A' lên mặt phẳng (ABCD) trùng với giao điểm hai đường chéo AC BD Biết góc hai mặt phẳng (ADD'A') mặt phẳng (ABCD) 60 Tính khoảng cách hai đường thẳng B'D' A'D theo a a [ ] ĐS: Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường Qua thực tế giảng dạy học sinh lớp 11 12 trường THPT Triệu Sơn 6, thân áp dụng trực tiếp đề tài cho lớp 11C4 đạt hiệu khả quan: Các em nhận biết tứ diện vuông, nắm tính chất nó, biết vận dụng tính chất vào tư để tìm cách giải cho toán khoảng cách đặc biệt khả xác định đỉnh tứ diện vuông cách dựng tứ diện vuông Hơn qua theo dõi tiết học thấy em tự tin hơn, phấn khởi hứng thú từ em thích tiết học hình trước Đó kết bước đầu khả quan SKKN Đặc biệt năm học 2016 - 2017 qua kiểm tra mà cụ thể kiểm tra học kỳ vừa đề tổ tổ chức chấm cách khách quan kết môn Toán lớp 11C4 có kết tiến rõ rệt Đặc biệt ý tính khoảng cách hai đường thẳng chéo đa số học sinh lớp làm được, ý phân loại học sinh số lượng học sinh trường làm không nhiều Đề tài báo cáo dạng chuyên đề sinh hoạt chuyên môn tổ Toán trường THPT Triệu Sơn thầy cô góp ý đánh giá cao Đề tài dùng làm tài liệu chuyên môn tổ áp dụng vào giảng dạy 21 giảng dạy cho em học sinh lớp 11 trường ôn thi THPT Quốc Gia cho em học sinh khối 12 năm học 2017 - 2018 So sánh lớp học sinh có áp dụng không áp dụng đề tài để đánh giá hiệu SKKN Tôi chọn hai lớp 11 11C4 lớp thực nghiệm lớp 11C3 làm lớp đối chứng giảng dạy toán khoảng cách Sau thời gian ba buổi dạy bồi dưỡng, tổ chức kiểm tra đánh hai lớp với thời lượng 30 phút với nội dung sau: Cho hình chóp S.ABCD có SA = 2a SA vuông góc với mặt đáy (ABCD); đáy ABCD hình chữ nhật có AB = a AD = 2a Tính theo a 1) Khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (SBD); 2) Khoảng cách hai đường thẳng SB AC Lớp 11C3 11C4 Số học sinh làm kiểm tra 42 42 Khá giỏi SL TL% 14,28 17 40,48 Trung bình SL TL% 20 47,63 19 45,24 Yếu SL TL% 16 38,09 14,28 +) Qua bảng kết ta thấy việc áp dụng đề tài SKKN đem lại kết rõ rệt +) Qua theo dõi tinh thần học tập lớp thấy không khí học tập lớp 11C4 sôi nổi, tích cực hơn, em phấn khởi hứng thú học Học sinh dễ tiếp thu dễ vận dụng từ tự tin hơn, qua chấm thấy việc trình bày học sinh lớp 11C4 mạch lạc rõ ràng Như "Vận dụng tính chất tứ diện vuông để giải lớp toán tính khoảng cách hình học không gian 11" mang lại hiệu cao phương pháp thông thường III KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Kết luận Qua trình áp dụng vào thực tế giảng dạy trường THPT Triệu Sơn từ năm học 2016 - 2017, thân nhận thấy bước đầu có kết khả quan thể hiệu giúp học sinh giải đa số toán tính khoảng cách Tạo tự tin cho em học giải toán Đề tài tổ chuyên môn đánh giá cao định hướng áp dụng giải dạy cho học sinh khối 11 ôn tập lại cho em học sinh chuẩn bị tham dự kỳ thi THPT Quốc Gia 2017 năm Trong phạm vi SKKN nên quan tâm đến lớp toán tính khoảng cách hướng xây dựng ví dụ mang tính chất gợi mở, phân hóa theo trình tự từ dễ đến khó, từ đơn lẻ đến tổng quát, từ đơn giản đến phức tạp tạo điều kiện phát triển lực tư duy, khả sáng tạo phù hợp với nhiều đối 22 tượng học sinh Tôi thiết nghĩ với cách xây dựng thực ta mở rộng sang toán khác toán tính góc, toán tính thể tích Đó hướng mà nghiên cứu thời gian tới Trên kinh nghiệm thực tế qua trình giảng dạy nhiều năm rút cho thân bước đầu áp dụng có kết khả quan Do kinh nghiệm chưa nhiều nên đề tài không tránh hạn chế, tiếp tục bổ sung hoàn thiện dần năm học tới, mong nhận đóng góp ý kiến quý vị bạn đồng nghiệp để đề tài vào thực tiễn áp dụng nhiều đạt hiệu cao giảng dạy Kiến nghị a) Đối với sở GD&ĐT Thanh Hóa Cần hỗ trợ tạo điều kiện sở vật chất, tài liệu nghiên cứu thời gian làm việc… để thầy giáo, cô giáo yên tâm công tác có điều kiện trau chuyên môn nghiệp vụ, nâng cao trình độ từ góp phần đổi phương pháp nâng cao chất lượng giáo dục Tổ chức lớp chuyên đề tập huấn cho giáo viên để tìm tòi so sánh phương pháp giảng dạy, cách tiếp cận vấn đề từ giáo viên vân dụng cho phù hợp với đối tượng học sinh Cần tổng hợp sáng kiến có chất lượng, tổ chức triển khai kinh nghiệm hay để thầy cô học tập rút kinh nghiệm b) Đối với trường phổ thông Tạo điều kiện để thầy giáo, cô giáo có điều kiện tự học, tự bồi dưỡng để nâng cao lực chuyên môn, kiên trì tích cực đổi phương pháp giảng dạy nhằm phát huy tốt lực tự học trò dạy thầy XÁC NHẬN CỦA HIỆU TRƯỞNG Thanh Hóa, ngày 30 tháng năm 2017 Tôi xin cam đoan SKKN viết không chép nội dung người khác Nguyễn Thị An 23 TÀI LIỆU THAM KHẢO Sách giáo khoa Hình học lớp 11 chuẩn nâng cao Bộ giáo dục đào tạo Đề thi đại học, cao đẳng môn Toán Bộ giáo dục đào tạo Đề thi thử đại học số trường THPT toàn quốc năm hai năm 2014 - 2015 2015 - 2016 Đề thi HSG tỉnh Bắc Giang năm 2014 - 2015 Đề thi chọn đội tuyển học sinh giỏi số trường tỉnh, tỉnh năm 2015 – 2016 năm 2016 - 2017 Tạp chí toán học tuổi trẻ Bài tập chuyên đề trang web: www.vnmath.vn Bài tập chuyên đề trang web: www.violet.vn 24 ... cứu Bài toán tính khoảng cách toán quan trọng chương trình hình học không gian lớp 11 Bản chất đa số toán tính khoảng cách lại toán tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng đề tài nghiên cứu tìm cách. .. giải lớp toán tính khoảng cách hình học không gian lớp 11" làm đề tài SKKN năm học 2016 2017 Điểm đề tài SKKN lần là: Đề xuất áp dụng tính chất tứ diện vuông để tính lớp toán khoảng cách, số... tìm cách tính khoảng cách từ điểm đến mặt cách đơn giản nhẹ nhàng Đó cách chuyển toán khoảng cách áp dụng tính chất tứ diện vuông số kinh nghiệm, số cách xác định dựng tứ diện vuông cách đơn