Vận dụng phương pháp vectơ giải quyết các bài toán tính khoảng cách trong hình học không gian

MỤC LỤC I MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Trang Mục đích nghiên cứu Trang Đối tượng nghiên cứu Trang Phương pháp nghiên cứu Trang II NỘI DUNG Cơ sở lý luận 1.1 Kiến thức véc tơ Trang 1.2 Kiến thức hình học không gian Trang 2 Thực trạng Trang 3 Nội dung phương pháp vận dụng 3.1 Nội dung phương pháp Trang 3.2 Các toán Trang 3.2.1 Khoảng cách hai đường thẳng chéo Trang 3.2.2 Khoảng cách từ điểm tới mặt phẳng Trang 12 3.3 Bài tập đáp số 3.3.1 Bài tập tự luyện Trang 15 3.3.2 Đáp số Trang 16 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm Trang 16 III KẾT LUẬN VÀ ĐỀ XUẤT Trang 18 Kết luận …………………………………………………… Trang 18 Đề xuất……………………………………………………… Trang 18 I MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Bài toán tính thể tính khối đa diện tính khoảng cách từ điểm tới mặt phẳng khoảng cách hai đường thẳng chéo câu hỏi thường xuất đề thi THPT quốc gia Trong chương trình môn Toán THPT, phần hình học học không gian tập trung nhiều lớp 11 lớp 12 Từ hình thành cho học sinh hai phương pháp giải giải công cụ hình học túy giải phương pháp tọa độ không gian Tuy nhiên để giải phương pháp tọa độ học sinh phải phụ thuộc vào yếu tố toán Vì vậy, phần nhiều học sinh sử dụng phương pháp hình học không gian túy, phương pháp đòi hỏi học sinh có tư nhạy bén nắm yếu tố hình học, điều khó khăn học sinh có học lực mức trở xuống Bên cạnh đó, vectơ nội dung học từ lớp 10 để áp dụng học sinh lúng túng, kể sách tham khảo hướng dẫn nội dung công cụ hữu hiệu hình học Từ vấn đề thiết nghĩ áp dụng vectơ vào hình học hướng rõ ràng cho học sinh đặc biệt học sinh trở xuống Vì chọn đề tài: “ Vận dụng phương pháp vectơ giải toán tính khoảng cách hình học không gian” Mục đích nghiên cứu Nội dung sáng kiến nhằm mục đích hướng tới giải vấn đề sau: - Việc giải toán hình học không gian phương pháp vectơ giúp học sinh rèn luyện kĩ năng, tư sáng tạo lôgic phép toán vectơ - Giúp học sinh đặc biệt học sinh khá, trung bình có hướng rõ ràng việc giải toán khoảng cách 3.Đối tượng nghiên cứu Các toán khoảng cách hình học không gian lớp 11 lớp 12 4.Phương pháp nghiên cứu Để thực mục đích chọn đề tài, trình nghiên cứu sử dụng phương pháp sau: - Phương pháp quan sát ( quan sát hoạt động dạy học học sinh) - Phương pháp điều tra, khảo sát thực tế (khảo sát thực tế học sinh) - Phương pháp thực nghiệm II Nội dung sáng kiến Cơ sở lý luận sáng kiến kinh nghiệm Để sử dụng tốt phương pháp véc tơ vào việc giải toán khoảng cách học sinh cần nắm vững kiến thức vectơ lớp 10 kiến thức hình học không gian phần quan hệ vuông góc lớp 11 Cụ thể sau: 1.1 Kiến thức vectơ Trong chương trình lớp 10 học sinh học vectơ Qua đó, học sinh nắm yếu tố sau: Vectơ phương, vectơ hướng, hai vectơ nhau, vectơ không - Tổng hiệu véctơ, tích số với vectơ - Tính chất trung điểm đoạn thẳng, trọng tâm tam giác: uuuu r uuur uuu r + Nếu I trung điểm AB, M điểm : MA + MB = 2.MI +uuuurNếu G trọng tâm tam giác ABC, M điểm : uuur uuur uuuu r MA + MB + MC = 3MG uuur uuur - Điều kiện để A,B,C thẳng hàng : AB = kAC (k ≠ 0) - Phân tích vectơ qua hai vectơ không phương Đến chương trình lớp 11, học sinh học thêm tính chất vectơ mối quan hệ đường thẳng, mặt phẳng, góc không gian Khái niệm góc hai vectơ,mối quan hệ góc hai vectơ phương góc hai đường thẳng rr r r r r a.b = a b cos a;b - Tích vô hướng véctơ: - Điều kiện vectơ đồng phẳng r r r Định lý Trong không gian cho ba vectơ không đồng phẳng a; b;c Khi đó, r r r r r với vectơ x ta tìm ba số m, n, p cho : x = ma+ nb+ pc Ngoài số m, n, p 1.2 Kiến thức hình học không gian Học sinh cần nắm định nghĩa định lý, nội dung quan trọng hình học không gian : - Đường thẳng vuông góc đường thẳng, đường thẳng vuông góc mặt phẳng, góc đường thẳng mặt phẳng, hai mặt phẳng vuông góc, khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng, đường thẳng; khoảng cách đường thẳng với mặt phẳng song song; khoảng cách hai mặt phẳng song song; khoảng cách hai đường thẳng chéo nhau, Định nghĩa: a) Đường thẳng ∆ cắt hai đường thẳng chéo a, b vuông góc với đường thẳng gọi đường vuông góc chung a b b) Nếu đường vuông góc chung ∆ cắt hai đường thẳng chéo a, b M, N độ dài đoạn thẳng MN gọi khoảng cách hai đường thẳng chéo a b Tính chất: ( ) a) Khoảng cách từ đường thẳng a qua A song song với (P) b) Khoảng cách từ đường thẳng a qua A song song với (P) khoảng cách từ điểm A tới mặt phẳng (P) c) Khoảng cách hai đường thẳng chéo khoảng cách hai đường thẳng mặt phẳng song song với chứa đường thẳng lại uuuu rr MN.a = d) MN đường vuông góc chung a, b ⇔  uuuur r MN.b = Như vậy, với kiến thức vectơ lớp 10 kiến thức vectơ hình học không gian lớp 11 giáo viên có đủ sở để hướng dẫn học sinh giải toán khoảng cách dựa vào phương pháp vectơ Thực trạng vấn đề Trong năm học trước, trình dạy học sinh dùng phương pháp khảo sát thực tế từ học sinh quan sát công việc dạy học giáo viên học sinh nội dung hình học không gian mà cụ thể toán khoảng cách Tôi thấy nhiều học sinh lúng túng không để tìm khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng khoảng cách hai đường thẳng chéo phương pháp hình học túy Từ dẫn đến học sinh ngại học hình học không gian thường điểm câu hỏi Khi đó, hướng dẫn học sinh vận dụng phương pháp vectơ vào giải toán khoảng cách, nhiên học sinh gặp nhiều trở ngại sau: - Một số học sinh mơ hồ kiến thức vectơ - Chưa hình thành kỹ chọn hệ vectơ sở cho phù hợp toán - Chưa diễn dịch ngôn ngữ tổng hợp (hình học túy) thành ngôn ngữ vectơ - Chưa tự giác, tự nghiên cứu chưa làm nhiều tập theo phương pháp vectơ Từ vấn đề trên, áp dụng vào dạy học sinh năm học 2015 – 2016 có biện pháp khắc phục sau: - Rèn luyện kiến thức vectơ cách kĩ - Rèn luyện toán hình học không gian để học sinh nắm vững kiến thức không gian từ chuyển sang ngôn ngữ vectơ - Có hệ thống tập đầy đủ, từ hướng dẫn học sinh làm Nội dung phương pháp vận dụng 3.1 Nội dung phương pháp Để hướng dẫn học sinh giải toán khoảng cách dựa vào phương pháp vectơ, hướng dẫn học sinh thực theo bước sau: Bước Lựa chọn số véctơ mà ta gọi “ hệ véctơ sở’’; “phiên dịch” giả thiết, kết luận toán hình học không gian cho thành “ngôn ngữ” vectơ - Đây bước quan trọng toán, yêu cầu chọn vectơ sở ta phải chọn hệ gồm vectơ không đồng phẳng điều thuận lợi phương pháp vectơ không cần chung gốc - Các vectơ sở chọn phải tính tích vô hướng, chọn ưu tiên chọn cặp vectơ nhân vô hướng lại nhằm đơn giản toán - Phiên dịch xác ngôn ngữ hình học sang ngôn ngữ vectơ Bước Giả sử ta cần tìm khoảng cách hai đường chéo AB, CD - Gọi M, N điểm nằm đường thẳng chéo AB, CD Biểu biễn uuuu r uuur uuur vectơ MN; AB; CD qua hệ vectơ sở uuuu r uuur AM = xAB - M, N thuộc AB, CD ⇔  uuur uuur CN = yCD - Sử dụng tính chất tìm điều kiện để MN đoạn vuông góc chung AB, CD Từ tìm x, y Bước Chuyển kết luận vectơ sang tình chất hình học không gian tương ứng 3.2 Các toán 3.2.1 Khoảng cách hai đường thẳng chéo Ví dụ Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác cạnh a Hình chiếu vuông góc S măt phẳng (ABC) H thuộc cạnh AB cho HA = HB Góc đường thẳng SC mặt phẳng (ABC) 60 Tính thể tích khối chóp S.ABC tính khoảng cách hai đường thẳng SA BC theo a (Trích đề thi tuyển sinh Đại học môn toán khối A, A1 năm 2012.) Lời giải S *Tính thể tích hình chóp: Sử dụng định lí cosin tam giác AHC HC2 = AH2 + AC2 − 2.AH.AC.cos600 HC2 = M 4a 2a 7a + a2 − = 9 ⇒ HC = a C A Mặt khác HC hình chiếu SC lên mặt phẳng (ABC) nên góc SC mặt phẳng · (ABC) SHC = 600 H a 21 ⇒ SH = HC.tan60 = N B a 21 a2 a3 ⇒ VS.ABC = = 3 12 Cách Sử dụng phương pháp hình học không gian túy Kẻ Ax song song BC Goị N, K hình chiếu vuông góc H Ax, SN Ta có:  BC / / ( SAN )  ⇒ d( SA;BC) = d( B;(SAN)) = d H; ( SAN )   BA = HA  ( ) S Ta lại có:  Ax ⊥ ( SHN ) ⇒ Ax ⊥ HK ⇒ HK ⊥ ( SAN )  SN ⊥ HK   ( K C ) ⇒ d H; ( SAN ) = HK A N Trong tam giác SHN ta có: x H 2a a ;HN = AH.sin600 = ; 3 SH.HN a 42 HK = = 12 SH2 + HN2 AH = B Vậy khoảng cách SA BC : a 42 a 42 d( SA;BC ) = = 12 Cách ( Sử dụng phương pháp vectơ) *Tính khoảng cách SA BC r r uuur r uuur r uuu - Chọn hệ vectơ sở: BC = a;BA = b;SH = c r a 21 r r  a = b = a; c = Khi  r r r r rr a a.b = ;a.c = 0; c.b =  uuur r BC = a uuu r uuur  - Biểu diễn SA;BC qua hệ vectơ sở  uuur uuur uuur r r SA = SH + HA = b + c  u u u r u u u r r r  SM = xSA = x.b + x.c - Gọi M ∈ SA;N ∈ BC cho:  uuur uuur r BN = y.BC = y.a  uuuu r uuur uur uuur r r r 1r r r r r MN = MS + SB + BN = − x.b − x.c + c − b + y.a = y.a − ( 2x + 1) b + ( 1− x) c 3 ( 1) Để MN đoạn vuông góc chung SA BC thì: uuuu r uuu r MN.SA =  MN ⊥ SA ⇔  uuuu r uuur   MN ⊥ BC MN.BC = r2 r2  2y a2  2y r r 21a a.b − 2x + b + − x c = − 2x + a + − x ( ) ( ) ) ( ) =0   ( ⇔ r ⇔ rr 2 ya − ( 2x + 1) a.b = ya2 − 2x + a = ( )2   3  25 −19 x = 13/16  x+ y = ⇔3 ⇔ y = 7/16 −2x + 6y =  Thế vào (1) ta được: uuuu r r 7r r MN = a − b + c 16 16 uuuu r  r 7r r a 42 MN =  a − b + c÷ =  16 16  Vậy khoảng cách SA BC MN Nhận xét:Trong toán có câu thể tích, không khuyến khích dùng phương pháp vectơ đa số câu thể tích giải phương pháp hình học thông thường Nhưng nội dung khoảng cách hai đường thẳng chéo giải toán theo phương pháp hình học túy cần dựng thêm hình, việc khó khăn học sinh Khi đó, phương pháp vectơ giải hiệu quả, ta xác định xác vị trí điểm M, N Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vuông cạnh a, SA vuông góc với (ABCD), SC tạo với đáy góc 450 Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD khoảng cách hai đường thẳng AC SB.(Trích đề thi THPT quốc gia 2015) S Lời giải *Tính thể tích khối chóp Góc SC mặt phẳng (ABCD) là: · SCA = 450 ⇒ SA = AC = a H Vậy thể tích khối chóp : A D M C B 1 a3 V = B.h = a2.a = 3 *Tính khoảng cách AC SB Cách 1: Phương pháp hình học không gian túy Qua A kẻ đường thẳng d song song với AC Gọi M hình chiếu S d, H hình chiếu A SM  AM ⊥ BM ⇒ ( SAM ) ⊥ BM  Ta có: SA ⊥ BM ⇒ AH ⊥ BM Mặt khác: AH ⊥ SM ⇒ AH ⊥ ( SBM ) Ta có: d( AC;SB) = d( AC;( SMB) ) = d( A;( SMB) ) = AH · Trong tam giác ABM vuông M, ABM = 450 ⇒ AB = BM ⇒ AM = a 2 Áp dụng hệ thức lượng vào tam giác vuông ABM có: AH = + AM SA a 10 ⇒ AH = = 2 a + 2a2 Vậy khoảng cách AC SB a 10 S Cách Phương pháp vectơ uuur r uuur r uuu r r - Chọn hệ vectơ sở: AD = a;AB = b;SA = c rr rr rr a.b = b.c = c.a =  r Khi đó:  r r  a = b = a; c = a uur uuur - Biểu diễn SB;AC qua hệ vectơ sở: uur uuu r uuur r r SB = SA + AB = b + c   uuur uuur uuur r r C  AC = AB + AD = a + b  2 ( ) M A D N B Lấy điểm M thuộc SB; N thuộc AC cho: uuur uur r r r r SM = xSB = x b + c = x.b + x.c   uuur uuur r r  AN = y.AC = y.a + y.b  2 ( ) Ta có: uuuu r uuur uuu r uuur r r r  1r 1r  MN = MS + SA + AN = − x(b + c) + c + y  a + b÷  2 uuuu r r 1 r r MN = y.a +  y − x ÷b + ( 1− x) c 2  uuuu r uuur  MN.AC = MN đoạn vuông góc chung AC SB :  uuuur uur  MN.SB =  r2 1 1   r2  y.a + y − x  y − x =  ÷b =  y.a +  y − x ÷a = 2 4 2   2  ⇔ ⇔ ⇔ 1 r r  y − x b2 + 1− x c =  y − x  a2 + 1− x 2a2 =  y − 3x + = 2 ( ) ( )  ÷ ÷       x = 4/ ⇔ y = 4/ uuuu r r r 1r  r r 1r  a 10 ⇒ MN = a− b + c ⇒ MN =  a− b + c÷ = 5 5  5 Vậy khoảng cách hai đường thẳng AC SB MN = a 10 Nhận xét Đối với toán này, việc kẻ thêm đường thẳng qua A song song với AC không dễ dàng học sinh trở xuống Trong toán giả thiết phù hợp để ta lựa chọn phương pháp vectơ , với phương pháp học sinh dễ dàng giải toán Ví dụ Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ Cạnh đáy có độ dài a, biết góc đường thẳng AB’ BC’ 60 Tính khoảng cách đường thẳng AB’ BC’ theo a Lời giải uuur r uuur r uuuur r B C Chọn hệ vectơ sở là: AB = a;AC = b;AA ' = c rr rr r r a.b = 0; b.c = 0; a = b = a  Khi đó:  r r a2 a.b =  uuuu r uuuu r Biểu diễn AB'; BC ' qua hệ vectơ sở: uuuu r uuuur uuuuu r r r AB' = AA ' + A 'B' = a + c B' uuuu r uuuu r uuuuu r r r r BC' = BB' + B'C' = −a + b + c uuuu r uuuu r Dựa vào góc vectơ AB'; BC ' uuuu r uuuu r r r r r r r r r uu r a2 AB'.BC ' = a + c −a+ b + c = −a + a.b + c2 = − + c2 uuuu r 2 AB' = a + c ( uuuu r BC ' = ( )( ) A H K C' A' r r r rr −a+ b + c = a2 + b2 + c2 − 2a.b = a2 + c2 ) a2 uuuu r uuuu r c2 − AB'.BC' ⇒ uuuu = r uuuu r = 2 a + c AB' BC' uuuu r uuuu r ⇒ cos( AB';BC') = cos AB';BC' ( ) ⇔ c = a 2; c=0 (loai) r Vậy AA’ = a hay c = a *Tính khoảng cách AB’ BC’ uuur uuuu r r r  AH = xAB' = x a + c  r r r - Lấy điểm H ∈ AB';K ∈ BC ' cho :  uuur uuuur  BK = yBC ' = y −a + b + c  uuur uuur uuur uuur r r r r r r r r r HK = HA + AB + BK = −x a + c + a + y −a + b + c = − ( x + y − 1) a + yb + ( y − x) c ( 1) uuur uuuu r  HK AB' = Để HK đoạn vuông góc chung AB’ BC’ thì:  uuur uuuur  HK BC ' = r rr r  a2  − x + y − a2 + a.b.y + y − x c2 = − x + y − a + y + ( y − x) 2a2 = ( )  ( ) ( )   ⇔ ⇔ r2 r r2 rr  ( x + y − 1) a + yb + ( y − x) c − ( x + 2y − 1) a.b =  ( x + y − 1) a2 + ya2 + ( y − x) 2a2 − ( x + 2y − 1) a =    −3x + y = −1  x = 5/ ⇔ ⇔ y = 4/ − x + 3y =  2 ( ) ( ) ( ( ) ) Thay x, y vào (1) ta được: uuur r r HK = 4b − c ⇒ HK = 9 ( ) ( r r a 4b − c = 16b2 + c2 = ) Nhận xét: Ở hai ví dụ ta thấy việc chọn hệ vectơ sở sau giải góc hai đường thẳng phương pháp vectơ làm toán trở nên dễ dàng học sinh so với việc giải toán phương pháp hình học không gian Ví dụ Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy hình vuông cạnh a Gọi E điểm đối xứng với D qua trung điểm SA, M trung điểm AE, N trung điểm BC Chứng minh MN vuông góc với BD tính theo a khoảng cách hai đường thẳng MN AC.( Trích đề thi tuyển sinh đại học khối B năm 2007) Lời giải Gọi O tâm hình vuông ABCD ⇒ SO vuông góc với (ABCD) uuur r uuur r uuu r r *Chọn hệ vectơ sở: OC = a;OD = b;SO = c Khi đó: rr rr rr a.b = b.c = c.a =  r r r a a = b = c =  S E *Chứng minh MN vuông góc BD Vì K trung điểm SA nên SDAE hình bình hành r uuu r uuu r uuur r r  uuuu MA = SD = SO + OD = b + c  M ⇒  uuur u2uur uuu2 r uuur uuur uuur r r AN = AO + ON = AO + OB + OC = − b + c  2 uuuu r uuuu r uuur r r uuur r MN = MA + AN = a + c; BD = 2b 2 uuuu r uuur rr rr Vậy MN.BD = 3.a.b + b.c = ( ) ( ) ( ) K A Vậy MN vuông góc với BD *Tính khoảng cách MN AC Cách Phương pháp hình học không gian N B túy Ta có MNCK hình bình hành MK // CN MK = CN D O H C MN / /CK ⇒ ⇒ MN / / ( SAC ) CK ⊂ ( SAC) ( ) ( ) ⇒ d( MN;AC ) = d MN;( SAC ) = d N; ( SAC ) = ⇒ d( MN;AC ) = ( d B; ( SAC ) ) a Vậy khoảng cách hai đường thẳng MN AC a *Cách 2: Phương pháp vectơ Gọi I thuộc MN, H thuộc AC cho: uuu r uuuu r r x r uuur uuur r MI = xMN = xa + c;AH = yAC = 2ya 2 Khi đó: uur uuu r uuuu r uuur r r 1r r x r r r r IH = IM + MA + AH = − 3a + c + b + c + 2ya = ( −3x + 4y) a + b − ( x − 1) c 2 2 uur uuuu r  IH.MN = Để IH đoạn vuông góc chung AC MN :  uur uuur  IH.AC r2 r2 3 3 a2  ( −3x + 4y) a − ( x − 1) c =  ( −3x + 4y) − ( x − 1) a = x = ⇔ 4 ⇔ 4 ⇔ 4 y = 3/ −3x + 4y = −3x + 4y =   uuu r 1r ⇒ IM = b uuu r a ⇒ IM = IM = ( ) ( ) 10 Vậy khoảng cách hai đường thẳng chéo IM = Nhận xét Ta thấy x = nghĩa I ≡ N ; y = a nghĩa H trung điểm OC Dễ dàng thấy đoạn vuông góc chung AC MN HN Trong toán này, xuất yêu cầu chứng minh vuông góc với mục đích để học sinh thấy rõ lợi phương pháp vectơ Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh 2a, SA = a, SB = a ( SAB) ⊥ ( ABCD) Gọi M, N trung điểm AB, BC Tính côsin góc hai đường thẳng SM, DN khoảng cách SM DN Lời giải Ta có: SA + SB2 = AB2 ⇒ Tam giác SAB tam giác vuông S ÁP dụng hệ thức lượng tam giác SAB: AH = SA a = a ; AH = AB 11 *Tính côsin góc hai đường thẳng SM, DN - uChọn hệ vectơ sở: uuu r r uuur r uuu r r AM = a;CN = b;SH = c rr rr rr a.b = a.c = b.c =  r r a Khi đó:  r  a = a; b = a; c =  - Biểu diễn SM, DN qua hệ vectơ sở: r uuuu r r 1r  uuur uuu SM = SH + HM = c + a  uuur uuur uuur r 2r DN = DC + CN = 2a + b  uuur uuur SM.DN = a2 uuur uuur a2 a2 ⇒ cos SM,DN = = = SM.DN a.a 5 ( ) *Tính khoảng cách SM DN r uuur  uuuu  1r r  MK = xSM = x. a + c÷ 2  - Lấy I, K thuộc DN, SM cho  uur uuur r r DI = y.DN = y 2a+ b  ( Khi đó: ) uur uur uuuu r uuuu r r r r r r r IK = ID + DM + MK = −y 2a + b + 2b + a + xc + xa uur  r r r  IK =  −2y + 1+ x ÷a + ( − y) b + xc   ( ) uur uuur IK.SM = Để IK đoạn vuông góc chung SM DN thì:  uur uuur IK.DN =  1  1  r2 r2  3a − 2y + + x a + xc = − 2y + + x a + x =0     ÷ ÷    2  2 ⇔ ⇔ r r  −2y + 1+ x  2a2 + − y b2 =  −2y + 1+ x  2a2 + − y a2 = ( ) ( ) ÷ ÷       x − y = 1/ x = 3/ ⇔ ⇔ x − 5y = −4 y = 7/ uur r r 3r ⇒ IK = − a+ b+ c 16 8 uur  r r 3r  93a ⇒ IK =  − a+ b + c÷ = 8  16  16 Vậy khoảng cách đường thẳng SM DN IK = 93a 16 12 Nhận xét Với việc sử dụng phương pháp vectơ, toán giải cách đơn giản so với phương pháp hình học thông thường Ví dụ Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác cạnh a SC vuông góc với đáy SC a Gọi M, N trung điểm BC AB Tính góc khoảng cách đường thẳng CN SM Lời giải uuu r r uuu r r uur r S Ta chọn hệ vectơ sở : CA = a; CB = b; CS = c r r r  a = b = 2a 2; c = a Khi đó:  r r r r rr  a.b = b.c = 0; a.b = a P +Ta tìm góc ϕ SM CN B uuur uuuu r uuu r r r uuur r r SM = CM − CS = (b − 2c); CN = (a + b) Ta có: 2 uuur uuur SM CN cosϕ = uuur uuur = ⇒ ϕ = 450 Khi đó: SM CN M C +Tính khoảng cách SM CN? Q N A uur uuur PS = xSM Gọi P thuộc SM Q thuộc CN cho:  uuur uuur CQ = yCN uuur uuur uuur uuu r r r r Khi đó: PQ = xSM + yCN + SC =  ya + ( x + y ) b − ( x + ) c  Do PQ đoạn vuông góc chung SM CN nên: rr r2 r2 uuur uuur r 2  PQ.SM =  y.a.b + ( x + y ) b + ( x + ) c =  y.a + ( x + y ) 8a + ( x + ) a = ⇔  uuur uuur r ⇔  r rr r2 2 PQ CN =  ya + ( x + y ) a.b + ( x + y ) b =  8 ya + ( x + y ) a + ( x + y ) 8a =  x=−  3 x + y = −1  ⇔  x + y = y =  uuur r r r uuur ⇒ PQ = a − b − 2c ⇒ PQ = 6 ( ) r r r ( a − b − 2c ) = a Vậy khoảng cách đường thẳng chéo SM CN PQ = a 3.2.2 Tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Ngoài toán tính khoảng cách hai đường thẳng chéo nhau, gặp toán tính khoảng cách từ điểm tới mặt phẳng Để giải câu hỏi này, ta sử dụng tính chất khoảng cách, khôn khéo tìm đường thẳng thích hợp qua điểm song song với mặt phẳng chuyển tìm đoạn vuông góc chung hai đường chéo Đây cách 13 “ ngược” suy nghĩ lâu lại hoàn toàn làm có hiệu Ví dụ 7: Cho hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy hình vuông, tam giác A’AC cân A; A’C = a Tính thể tích khối tứ diện ABB’C’ khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (BCD’) theo a Lời giải B A *Tính thể tích Vì tam giác AA’C vuông cân H A nên AA’ = AC = Vì a a ; AB = 2 C D AB ⊥ BC   ⇒ AB ⊥ ( BCB') AB ⊥ BB' Suy ra: VABB'C' = AB.S∆BB'C' = a3 48 K A' *Tính khoảng cách D' Vì AD // (BCD’) nên để tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCD’) khoảng cách hai đường thẳng AD CD’ uuur r uuur r uuuur r - Chọn hệ vectơ sở: BA = a;AD = b;AA ' = c B' C' r a r a  a = b = ;c = - Khi theo giả thiết:  r r r r r r  a.b = b.c = c.a = uuur uuuu r - Biểu diễn AD;CD' qua hệ vectơ sở: uuuu r uuuu r uuuuur r r uuur r CD' = CC' + C'D' = a + c; AD = a uuur uuuu r r  AH = x.AD = x.a  r r -Gọi H ∈ AD;K ∈ CD' cho :  uuur uuuur CK = yCD' = y a +c  uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur r r r r r HK = HA + AC + AK = HA + BC − BA + AK = −xb + b − a + y a + c uuur r r r HK = y − a+ 1− x b + yc ( ( ) ( ) () ) ( ) Để HK đoạn vuông góc chung CD’ AD r  1− x b2 = 1− x = ) 1− x = x = (  ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ r r2 a2 a = 3y − 1= y = 1/ ( y − 1) a + yc = ( y − 1) + y   uuur uuur  HK.AD = r  uuur uuuu  HK.CD' = Thay x, y vào (1) ta uuur r 1r HK = − a + c 3  −2 r r  a ⇒ HK =  a+ c÷ =   14 Vậy khoảng cách hai đường thẳng CD’ AD HK = a Ví dụ Cho hình lăng trụ ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD hình chữ nhật, AB = a ; AD = a Hình chiếu vuông góc A’ lên mặt phẳng (ABCD) trung với giao điểm AC BD Góc hai mặt phẳng (ADD’A’) (ABCD) 600 Tính khoảng cách từ B’ đến mặt phẳng ( A’BD) theo a Lời giải uuur r uuuuu r r uuuur r Chọn hệ vectơ sở: OD = a;A 'B' = b;A 'O = c Khi đó: rr r r rr a.b == a.a.cos60 = a ;a.c = 0;b.c =0  r r r  a = b = a; c = a  B' A' C' D' Gọi O tâm hình chữ nhật ABCD M trung điểm AD Ta có: A 'O ⊥ (ABCD)  ⇒ A 'M ⊥ AD OM ⊥ AD  B A M Vậy góc hai mặt phẳng · ' MO = 600 (A’ADD’) (ABCD) : A O C D a ⇒ A 'O = OM.tan60 = r a ⇒ c= *Khoảng cách từ B’đến ( A’BD) Vì B’D’ // (A’BD) nên khoảng cách từ B’ đến (A’BD) khoảng cách B’D’ A’B uuuuur uuuur uuuuur r uuuur uuuur uuur r r Biểu diển B' D';A ' B qua hệ vectơ sở: B' D' = 2.a ; A ' B = A ' O + OB = −a+ c uuuur uuuuu r r  B'H = x.B'D' = 2x.a  uuuur r r Gọi điểm H ∈ B' D';K ∈ A ' B cho:  uuuur  A 'K = y.A 'B = y −a + c uuur uuuu r uuuuur uuuuu r r r r r r r r HK = HB' + B' A ' + A ' K = −2xa + b + y −a + c = ( −2x − y) a + b + yc ( 1) uuur uuuuu r  HK.B'D' = Để Hk đoạn vuông góc chung B’D’ A’B :  uuur uuuur  HK.A 'B = ( ) ( )  a2 r rr −2 2x + y a2 + 2a.b = −2( 2x + y) a + = )  (  ⇔ ⇔ r2 r r r2 2 ( 2x + y) a − a.b + yc =  2x + y a2 − a + y 3a = )  ( −2(2x + y) + 1= 4x + 2y = x = 1/   ⇔ ⇔ 3y 7y ⇔  = 2x + = y = 2x + y − +   2 15 Thay x, y vào (1) ta được: uuur uuur  1r r  1r r a HK = − a+ b ⇒ HK = HK =  − a+ b÷ = 2   HK = d [B’;(A’BD)= a Vậy khoảng cách B’D’ A’B (A’BD) a hay khoảng cách từ B’ đến a Nhận xét Từ kết ta thấy, H trung điểm B’O’; K trùng với A’ Như với việc giải phương pháp tảng định hướng cho học sinh phương pháp hình học không gian túy 3.3 Bài tập tự luyện đáp án 3.3.1.Đề Bài Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC vuông B, AB = BC = a, cạnh bên AA ' = a Gọi M trung điểm BC Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ khoảng cách đường thẳng AM B’C Bài Cho khối chóp S.ABCD có đáy hình thoi cạnh a , AC = 4a chiều cao hình chóp SO=2 2a, O giao điểm AC BD Gọi H trung điểm SC Tìm góc khoảng cách hai đường thẳng SA BM theo a Bài Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có mặt bên hình vuông cạnh a Gọi D, F trung điểm cạnh BC, B’C’ Tính khoảng cách hai đường thẳng A’B B’C’ Bài Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình chữ nhật tâm O Biết AB = a;BC = a , tam giác SAO cân S, mặt phẳng (SAD) vuông góc với đáy Góc SD đáy 600 Tính thể tích khối chóp S.ABCD khoảng cách SB, AC theo a Bài Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC tam giác vuông AB = BC =a, cạnh bên AA ' = a Gọi M trung điểm BC Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ khoảng cách AM, BC Bài Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác cạnh a, hình chiếu vuông góc S (ABC) điểm H thuộc AB cho HA = 2HB Góc đường thẳng SC mặt phẳng (ABC) 60 khoảng cách hai đường thẳng SA BC Bài Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông cân B, AB = BC = 2a; hai mặt phẳng (SAB) (SAC) vuông góc với mặt phẳng (ABC) 16 Gọi M trung điểm AB; mặt phẳng qua SM song song với BC, cắt AC N Biết góc hai mặt phẳng (SBC) (ABC) 60o Tính thể tích khối chóp S.BCNM khoảng cách hai đường thẳng AB SN theo a Bài Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác vuông A; AB = 3a; BC = · 5a; mặt phẳng (SBC) vuông góc với (ABC) SA= 3a;SAC = 300 Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC khoảng cách từ A đến (SBC) 3.3.2.Đáp số Bài 1.Đáp số: VABC.A 'B'C' = a3 a ;d( AM / B'C ) = 6a Bài 2.Đáp số: (·SA;BM ) = 300;d( SA;BM ) = Bài 3.Đáp số: d( A 'B;B'C') = Bài 4.Đáp số: d( SB;AC) = a 21 3a a3 a ;d( AM;B'C) = a3 17 a 42 Bài 6.Đáp số: V = ;d( SA;BC ) = 12 2a 39 Bài 7.Đáp số: d(AB;SN) = ; V = a3 13 a Bài 8.Đáp số: d  A;(SBC) = ;V = 3a3 Bài 5.Đáp số: VABC.A "B'C' = 2.4.Hiệu sáng kiến kinh nghiệm Tôi áp dụng Sáng kiến kinh nghiệm vào giảng dạy năm học 2015 – 2016 lớp 12A6 trường THPT Như Xuân Qua đó, so với năm học 2014 – 2015 giảng dạy lớp 12C3 chưa áp dụng Sáng kiến kinh nghiệm này, nhận thấy học sinh lớp 12A6 có hiệu tích cực không nhỏ, là: - Học sinh nắm vững bước làm toán khoảng cách, có định hướng toán cách rõ ràng - Học sinh nhanh nhạy việc xử lý yếu tố giả thiết phức tạp toán - Học sinh mạnh dạn, chủ động nhận xét làm bạn, tìm sai lầm sửa chữa để có lời giải Từ hình thành cho học sinh thói quen nghiên cứu lời giải, kiểm tra lại kết để phòng tránh, phát sửa chữa sai lầm Đối với thân, sử dụng Sáng kiến kinh nghiệm thấy hiệu tiết dạy tốt hơn, tạo tự tin hứng thú giảng Giúp truyền đạt cách cô đọng đầy đủ, xác trọn vẹn nội dung cần giảng dạy khoảng thời gian ngắn 17 Ngoài ra, Sáng kiến kinh nghiệm tổ chuyên đánh giá tốt, thiết thực đồng ý triển khai vận dụng cho năm học tới toàn trường nhằm góp phần nâng cao hiệu dạy học toán Nhà trường nói riêng địa phương nói chung Đồng thời, Sáng kiến kinh nghiệm tài liệu tham khảo hữu ích cho giáo viên học sinh 12 trình ôn thi, đặc biệt ôn thi THPT Quốc gia Như vậy, Sáng kiến kinh nghiệm mang lại hiệu tích cực thiết thực cho người học người dạy Đáp ứng đường đổi phương pháp dạy học, nâng cao hiệu giáo dục giai đoạn 18 III.KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ KẾT LUẬN Qua việc nghiên cứu, triển khai vận dụng Sáng kiến kinh nghiệm này, rút số học kinh nghiệm sau: - Trong giảng dạy cần phải thường xuyên tìm tòi, đúc rút kinh nghiệm để đưa giải pháp nâng cao hiệu dạy học Đặc biệt vấn đề khó, dễ nhầm lẫn học sinh chưa có hướng rõ ràng - Nội dung giảng dạy giáo viên cần viết dạng Sáng kiến kinh nghiệm tập hợp thành tài liệu cung cấp cho học sinh Qua đó, phát huy khả tự học học sinh - Những nội dung truyền tải cho học sinh, giáo viên cần phải nghiên cứu kỹ lưỡng, tìm phương pháp giảng dạy hợp lý, đảm bảo xúc tích, ngắn gọn đầy đủ, xác Những cách làm giúp tiết dạy đạt hiệu cao, người dạy người học hứng thú, tiết kiệm thời gian phát huy tính chủ động, sáng tạo, khả tự học học sinh Đó điều rút từ Sáng kiến kinh nghiệm Sáng kiến kinh nghiệm sử dụng để dạy học sinh khối 11 ôn thi cho học sinh lớp 12, đặc biệt với đối tượng học sinh ôn thi đại học, học sinh giỏi cho năm học trường THPT Như Xuân nói riêng trường THPT nói chung Có thể mở rộng, phát triển thêm nội dung Sáng kiến kinh nghiệm để trở thành tài liệu hoàn chỉnh sử dụng phương pháp vectơ vào toán hình học không gian bao gồm góc, khoảng cách, chứng minh song song, vuông góc ĐỀ XUẤT Đối với tổ chuyên môn đồng nghiệp: Đề nghị Tổ chuyên môn Toán nhanh chóng triển khai ứng dụng Sáng kiến kinh nghiệm giảng dạy Nhà trường năm học tới Đối với Sở GD&ĐT: Đề nghị Sở GD&ĐT đóng góp ý kiến tạo điều kiện để tiếp tục phát triển Sáng kiến kinh nghiệm tìm tòi Sáng kiến XÁC NHẬN CỦA Thanh Hóa, ngày 20 tháng năm 2016 THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Tôi xin cam đoan SKKN viết, không chép nội dung người khác HOÀNG THỊ THÚY 19 TÀI LIỆU THAM KHẢO Nguyễn Mộng Hy cộng (2011), Hình học lớp 11,lần xuất thứ 4, Nhà xuất giáo dục Việt Nam Vũ Thế Hựu cộng (2012), Bộ đề thi tốt nghiệp THPT, Tuyển sinh đại học, cao đẳng , lần xuất thứ 3, Nhà xuất đại học sư phạm , Hà Nội 3.Nguyễn Hữu Ngọc (2007), Các dạng toán phương pháp giải hình học 11 ,Nhà xuất giáo dục 20 ... thiết nghĩ áp dụng vectơ vào hình học hướng rõ ràng cho học sinh đặc biệt học sinh trở xuống Vì chọn đề tài: “ Vận dụng phương pháp vectơ giải toán tính khoảng cách hình học không gian Mục đích... hình học học không gian tập trung nhiều lớp 11 lớp 12 Từ hình thành cho học sinh hai phương pháp giải giải công cụ hình học túy giải phương pháp tọa độ không gian Tuy nhiên để giải phương pháp. .. việc giải toán khoảng cách 3.Đối tượng nghiên cứu Các toán khoảng cách hình học không gian lớp 11 lớp 12 4 .Phương pháp nghiên cứu Để thực mục đích chọn đề tài, trình nghiên cứu sử dụng phương pháp