Kinh nghiệm dạy học các bài toán tính khoảng cách trong hình học không gian nhằm nâng cao hiệu quả học tập môn toán cho học sinh trường THPT thạch thành 4

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG THPT THẠCH THÀNH SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM KINH NGHIỆM DẠY HỌC CÁC BÀI TỐN TÍNH KHOẢNG CÁCH TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN NHẰM NÂNG CAO HIỆU QUẢ HỌC TẬP MÔN TOÁN CHO HỌC SINH TRƯỜNG THPT THẠCH THÀNH Người thực hiện: Đỗ Thị Diệp Chức vụ: Giáo viên SKKN thuộc lĩnh vực (mơn): Tốn THANH HỐ, NĂM 2016 MỤC LỤC PHẦN MỞ ĐẦU .1 NỘI DUNG .2 2.1 Cơ sở lí luận 2.2 Thực trạng vấn đề 2.3 giải pháp tổ chức, thực 2.3.1 Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng .5 2.3.2 Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng 2.3.3 Khoảng cách từ đường thẳng đến mặt phẳng song song: 13 2.3.4 Khoảng cách hai mặt phẳng song song: 14 2.3.5 Khoảng cách hai đường thẳng chéo nhau: 15 2.4 Kết kiểm nghiệm 18 KẾT LUẬN VÀ ĐỀ XUẤT 19 3.1 Kết luận 19 3.2 Kiến nghị đề xuất 19 TÀI LIỆU THAM KHẢO 21 Kinh nghiệm dạy học tốn tính khoảng cách hình học khơng gian nhằm nâng cao hiệu học tập mơn tốn cho học sinh Trường THPT Thạch Thành PHẦN MỞ ĐẦU Toán học môn khoa học tự nhiên lâu đời, xem tảng tư duy, môn sở để phát triển hệ thống kiến thức mới, việc học tốt mơn tốn góp phần phát triển trí tuệ cho học sinh cách tốt nhất, mở nhiều hội cho em kì thi việc lựa chọn định hướng nghề nghiệp sau Tuy nhiên, để học tốt mơn tốn dễ dàng, với đa phần học sinh mơn tốn mơn học khó, khơ khan làm cho em cảm thấy chán nản, mệt mỏi Đặc biệt, phần coi khó nhằn mơn tốn phần hình học khơng gian, phần xuất hầu hết kì thi bậc học THPT đặc biệt kì thi Tốt nghiệp THPT quốc gia Nội dung thi phần hình học khơng gian thường rơi vào hai phần tính thể tích tính khoảng cách, thời lượng có hạn nên SKKN tơi trình bày kinh nghiệm tơi có dạy học toán khoảng cách Mặc dù tập phần đánh giá tương đối khó với học sinh sách giáo khoa Hình học 11, nâng cao “Khoảng cách” viết đơn giản Thực tế dạy học cho thấy, đứng trước tốn tính khoảng cách học sinh thường đâu, dùng đến phương pháp nào, lại nghĩ đến vẽ đường này, kẻ đường kia… Một số học sinh mày mị tìm cách giải, có khi khơng Bài làm rời rạc thường tốn nhiều thời gian nên học em cảm thấy hoang mang, lo lắng Nhiều em thấy khó q cịn xác định khơng học phần Là giáo viên dạy tốn tơi phải trăn trở suy nghĩ nhiều tơi định viết SKKN với nội dung “Kinh nghiệm dạy học tốn tính khoảng cách hình học khơng gian nhằm nâng cao hiệu học tập mơn tốn cho học sinh Trường THPT Thạch Thành 4” thông qua việc nghiên cứu tài liệu việc đúc rút từ kiến thức, kinh nghiệm mà tơi có q trình dạy học cách có hệ thống để chia sẻ với bạn bè đồng nghiệp quan trọng làm tư liệu dạy học cho thân Nhằm giúp HS giải Đỗ Thị Diệp – THPT Thạch Thành Kinh nghiệm dạy học tốn tính khoảng cách hình học không gian nhằm nâng cao hiệu học tập môn toán cho học sinh Trường THPT Thạch Thành toán tính khoảng cách làm cho em học tốt hơn, cảm thấy hứng thú tự tin học phần hình học khơng gian nói riêng mơn tốn nói chung NỘI DUNG 2.1 Cơ sở lí luận Trong học mơn tốn, việc tìm quy luật phương pháp chung để giải tốn việc vơ quan trọng giúp ta có định hướng để tìm lời giải cho lớp toán tương tự Trong dạy học giáo viên có vai trị cần thiết điều khiển cho HS thực luyện tập hoạt động tương thích với nội dung dạy học điều kiện gợi động cơ, có hướng đích, có kiến thức phương pháp tiến hành có trải nghiệm thành cơng Do trang bị phương pháp cho HS nhiệm vụ quan trọng người giáo viên Thấy điều nên dạy học đến phần tính khoảng cách tơi hướng dẫn em tìm phương pháp làm cho dạng tập, để em vận dụng phương pháp vào việc giải tập Khi làm SKKN phần sử dụng kiến thức tảng nội dung “ Khoảng Cách” SGK hình học 11 mà chủ yếu khái niệm * Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng Cho điểm O đường thẳng a Gọi H hình chiếu vng góc O a Khi khoảng cách hai điểm O H gọi khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng a Kí hiệu d(O, a) * Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Cho điểm O mặt (α) Gọi H hình chiếu vng góc O (α) Khi khoảng cách hai điểm O H gọi khoảng cách từ điểm O đến Mặt phẳng (α) Kí hiệu d(O, (α)) * Khoảng cách từ đường thẳng đến mặt phẳng song song: Đỗ Thị Diệp – THPT Thạch Thành Kinh nghiệm dạy học tốn tính khoảng cách hình học khơng gian nhằm nâng cao hiệu học tập mơn tốn cho học sinh Trường THPT Thạch Thành Cho đường thẳng ∆ song song với mặt phẳng (α) Khoảng cách đường thẳng ∆ mặt phẳng (α) khoảng cách từ điểm ∆ đến mặt phẳng (α) Kí hiệu d(∆,(α)) * Khoảng cách hai mặt phẳng song song: Khoảng cách hai mặt phẳng song song khoảng cách từ điểm mặt phẳng đến mặt phẳng Kí hiệu d((α),(β)) * Khoảng cách hai đường thẳng chéo nhau: Cho hai đường thẳng chéo a b Đường thẳng ∆ cắt a b đồng thời vuông góc với a b gọi đường vng góc chung a b Đường vng góc chung ∆ cắt a M cắt b N độ dài đoạn thẳng MN gọi khoảng cách hai đường thẳng chéo a b Kí hiệu d(a,b) Trong sáng kiến tơi đưa dạng tập tính khoảng cách phương pháp chung để giải tập 2.2 Thực trạng vấn đề Trường THPT Thạch Thành trường thuộc huyện miền núi Thạch Thành tỉnh Thanh Hóa Trường thành lập năm 2007, trường non trẻ, sở vật chất nhiều thiếu thốn, mối quan tâm chất lượng học tập học sinh ưu tiên hàng đầu nhà trường Vùng tuyển sinh trường gồm xã huyện Thạch Thành, có xã xã đặc biệt khó khăn Do đó, điều kiện kinh tế, sở vật chất lại cịn gặp nhiều khó khăn, trình độ dân trí thấp, bậc phụ huynh chưa thật quan tâm đến việc học tập em mình, dẫn đến em cịn lười học, ngại học, học cịn học cách đối phó, hời hợt… Những lí ảnh hưởng khơng nhỏ đến chất lượng dạy học nhà trường Mặt khác, thân mơn tốn đánh giá mơn học khó với học sinh nói chung, cịn khó Đỗ Thị Diệp – THPT Thạch Thành Kinh nghiệm dạy học tốn tính khoảng cách hình học khơng gian nhằm nâng cao hiệu học tập mơn tốn cho học sinh Trường THPT Thạch Thành học sinh miền núi, vùng sâu vùng xa nói riêng Năm học 2015-2016 tơi phân cơng dạy lớp 12A3, 12A4, 12A5 có may mắn theo sát em từ năm lớp 10 nhận thấy dạy đến phần hình học khơng gian đa phần em HS cho phần khó, khơng làm tập, dẫn đến em có tư tưởng ngại học, chán học, số HS cịn bỏ, khơng học phần liên quan đến hình học khơng gian Lên lớp 12 tiến hành ơn luyện để chuẩn bị cho kì thi học kì thi tốt nghiệp THPT Quốc gia tới, tơi có dành thời gian ơn tập cho em phần tính khoảng cách tính thể tích thấy thực trạng học HS học phần đáng báo động, học lớp 11 em khơng học được, có số làm Tơi có khảo sát chất lượng em cách cho làm kiểm tra với nội dung sau: Đề Bài: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có AB = cm, BC = cm, AA’ = cm a Tính khoảng cách từ B đến mp ( ACC’A’) b Tính khoảng cách hai đường thẳng BB’ AC’ Kết thu sau chấm kiểm tra HS: Làm ý Làm a ý 12A3 (39 HS) 12 (30,8 %) 12A4 (37 HS) 12A5 (39 HS) Lớp Làm sai Không làm (17,9 %) 27 (69,2%) (0 %) 10 (27 %) (13,5 %) 26 (70,3 %) (2,7 %) (20,5 %) (12,8 %) 30 (76,9 %) (2,6 %) Qua bảng thấy số lượng HS làm ý a) hay làm ý thấp, lại số HS làm sai chiếm tỉ lệ cao (69,2% - 76,9%) Trong trình làm em cịn phần vẽ hình trình bày, khơng nhiều em làm ý a), ý b) em lại lúng túng việc xác định đường vng góc chung hai đường thẳng chéo dẫn đến khơng giải tốn Rõ ràng thấy thực trạng nhiều HS xác định “bỏ rơi” phần hình học khơng gian, số cịn lại học chưa thật tốt Vậy nên, Đỗ Thị Diệp – THPT Thạch Thành 4 Kinh nghiệm dạy học tốn tính khoảng cách hình học khơng gian nhằm nâng cao hiệu học tập mơn tốn cho học sinh Trường THPT Thạch Thành làm để giúp em học tốt phần nhiệm vụ cấp thiết đặt cần phải thực ngay, động thơi thúc tơi thực SKKN 2.3 giải pháp tổ chức, thực 2.3.1 Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng Quy trình: Quy trình tính khoảng cách từ điểm O tới đường thẳng ∆ : Bước 1: Xác định mp (α ) qua O vng góc với đường thẳng ∆ (Hoặc xác định đường thẳng d qua O , đồng phẳng vng góc với đường thẳng ∆) Bước 2: Xác định giao điểm H mp (α ) đường thẳng ∆ (Hoặc xác định giao điểm H hai đường thẳng d ∆ ) Suy d(O, ∆) = OH Bước 3: Tính độ dài đoạn OH (dựa vào hệ thức lượng tam giác…) Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi tâm O , cạnh · 2a , ABC = 600 ; SA = 2a SA ⊥ ( ABCD ) a Tính khoảng cách từ O tới đường thẳng SC b Tính khoảng cách từ O tới đường thẳng SB Giải: a Tính khoảng cách từ O tới SC Bước 1: Trong mp (SAC) , kẻ đường thẳng d qua O vng góc với đường thẳng SC Bước 2: Xác định giao điểm I đường thẳng d SC Ta có d(O, SC) = OI Đỗ Thị Diệp – THPT Thạch Thành Kinh nghiệm dạy học tốn tính khoảng cách hình học khơng gian nhằm nâng cao hiệu học tập mơn tốn cho học sinh Trường THPT Thạch Thành Bước 3: Tính độ dài đoạn OI : Do ∆SAC vuông cân A ( SA = AC = 2a ) nên ∆OIC vuông cân I Vậy OI = OC a a = hay d ( O, SC ) = 2 b Tính khoảng cách từ O tới đường thẳng SB Bước 1: Xác định mp (α ) qua O vng góc với SB : - Trong mp ( ABCD ) kẻ OJ ⊥ AB Vì SA ⊥ OJ nên OJ ⊥ ( SAB ) hay OJ ⊥ SB - Trong mp (SAB) kẻ JH ⊥ SB Khi ta có SB ⊥ ( OJH ) hay mp (OJH) mp (α ) cần xác định Bước 2: Xác định giao điểm mp (α ) cạnh SB : dễ thấy H = ( OJH ) ∩ SB nên d ( O, SB ) = OH Bước 3: Tính độ dài đoạn OH : Trong mp ( ABCD ) kẻ CK ⊥ AB Ta có: 2a 3a 1 2a a ; JH = BJ = OJ = CK = = = 2 2 2 3a 9a 15a Xét ∆OJH vng J có OH = OJ + JH = + = 8 Vậy d ( O, SB ) = OH = 2 a 30 Bài tập tự luyện: Bài 1: Cho hình chóp SABCD có đáy hình vng ABCD tâm O cạnh a Cạnh SA vng góc với mặt phẳng (ABCD) SA = a Gọi I trung điểm SC M trung điểm đoạn AB Tính khoảng cách từ I đến đường thẳng CM Đỗ Thị Diệp – THPT Thạch Thành Kinh nghiệm dạy học tốn tính khoảng cách hình học khơng gian nhằm nâng cao hiệu học tập mơn tốn cho học sinh Trường THPT Thạch Thành Bài Cho hai tia chéo Ax By hợp với góc 600, nhận AB = a làm đoạn vng góc chung Trên By lấy điểm C cho BC = a Tính khoảng cách từ C đến đường thẳng Ax 2.3.2 Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Quy trình: Quy trình tính khoảng cách từ điểm A đến mp (α) Bước 1: Xác định mp (β) qua A vng góc với mp (α ) Bước 2: Xác định đường thẳng AH kẻ từ A vng góc với giao tuyến ∆ hai mặt phẳng (α) (β) , H ∈ ∆ Suy d(A, (a)) = AH Bước 3: Tính độ dài đoạn AH (dựa vào hệ thức lượng tam giác…) Ví dụ Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh a Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( A’BD ) Giải: Bước 1: Xác định mặt phẳng qua A vng góc với mp ( A’BD ) : mp ( OAA’) - Gọi O giao AC BD - Vì AA’ ⊥ ( ABCD ) nên AA’ ⊥ BD Mặt khác, AO ⊥ BD suy DB ⊥ ( OAA’) hay ( A’BD ) ⊥ ( OAA’) Bước 2: Xác định đường thẳng kẻ từ A vuông góc với giao tuyến OA’ hai mặt phẳng ( A’BD ) ( OAA’) đường thẳng AH - Trong mp ( OAA’) kẻ AH ⊥ OA’ - Khi AH ⊥ ( A’BD ) hay d ( A, ( A’BD ) ) = AH Bước 3: Tính độ dài đoạn AH Đỗ Thị Diệp – THPT Thạch Thành Kinh nghiệm dạy học tốn tính khoảng cách hình học khơng gian nhằm nâng cao hiệu học tập mơn tốn cho học sinh Trường THPT Thạch Thành - Xét ∆OAA’ vng A có: 1 = + = 2+ = 2 2 AH AO AA ' a a a Vậy d ( A, ( A’BD ) ) = a 3 Ví dụ Cho tứ diện D.ABC có đáy ABC tam giác vuông cân B , AC = 2a Mặt bên (DAC) tam giác vng góc với mặt đáy (ABC) Gọi O trung điểm cạnh AC a Tính khoảng cách từ điểm D đến mp (ABC) b Tính khoảng cách từ điểm O đến mp (DBC) Giải: a Tính khoảng cách từ điểm D đến mp (ABC) Bước 1: Xác định mặt phẳng qua D vuông góc với mp (ABC) mp (DAC) Bước 2: Xác định đường thẳng DO kẻ từ D vuông góc với giao tuyến AC hai mặt phẳng ( ABC ) ( DAC ) , O ∈ AC Suy d ( D, ( ABC ) ) = DO Bước 3: Tính độ dài đoạn DO : Vì ∆DAC cạnh 2a, đường cao DO nên DO = a Vậy d ( D, ( ABC ) ) = a b Tính khoảng cách từ O đến mp ( DBC ) Bước 1: Xác định mặt phẳng qua O vng góc với mp ( DBC ) : mp ( DOI ) với I trung điểm cạnh BC Bước 2: Xác định đường thẳng OH kẻ từ O vng góc với giao tuyến DI hai mặt phẳng ( DBC ) ( ODI ) , H ∈ DI Suy d ( O, ( DBC ) ) = OH Đỗ Thị Diệp – THPT Thạch Thành Kinh nghiệm dạy học toán tính khoảng cách hình học khơng gian nhằm nâng cao hiệu học tập mơn tốn cho học sinh Trường THPT Thạch Thành Bước 3: Tính độ dài đoạn OH : Xét ∆ODI vng O ta có: 1 1 = + 2= = + a 3a 3a OH OD OI 2 Vậy d ( O, ( DBC ) ) = a 21 Bài tập tự luyện: Bài 1: Cho mặt phẳng (P) (Q) vng góc với cắt theo giao tuyến ∆ Lấy A, B thuộc ∆ , AB = a Lấy C, D thuộc mặt phẳng (P) (Q) cho AC, BD vng góc với ∆ AC = BD = a Tính khoảng cách từ A đến (BCD) Bài 2: Cho hình chóp SABC có đáy ABC tam giác vng B, AB = 3a , BC = 4a , mặt phẳng (SBC) vng góc với (ABC); SB = 2a , Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SAC) theo a Chú ý: Ta sử dụng cách khác để tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng sau: Cách Sử dụng công thức thể tích 3V Thể tích khối chóp V = S.h ⇔ h = Theo cách này, để tính khoảng cách S từ đỉnh hình chóp đến mặt đáy, ta tính V S Ví dụ 1: Ta giải tốn ví dụ phần khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng dựa vào cơng thức thể tích sau: 1 Ta có: VA.A’BD = SABD AA’ = SA’BD d ( A, ( A’BD ) ) 3 Đỗ Thị Diệp – THPT Thạch Thành Kinh nghiệm dạy học tốn tính khoảng cách hình học không gian nhằm nâng cao hiệu học tập mơn tốn cho học sinh Trường THPT Thạch Thành a a SABD AA’ a = Suy d ( A, ( A’BD ) ) = = SA ' BD (a 2) Ví dụ 2: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có AB = a, SA = a Gọi M, N, P trung điểm cạnh SA, SB, CD Tính khoảng cách từ P đến mặt phẳng (AMN) S Giải: Gọi O tâm hình vng ABCD, SO M ⊥ (ABCD) N D P Do M, N trung điểm SA SB C A nên SAMN O 1 a2 = SANS = SABS = 16 B Ta có: PC / /(AMN) ⇒ d ( (P,(AMN)) ) = d ( (C,(AMN)) ) 1 Vậy: VP.AMN = SAMN d ( (P,(AMN)) ) = SABS.d ( (C,(AMN)) ) 3 1 1 = VC.ABS = VS.ABC = SABC SO 4 a Với SABC = a ,SO = SA − AO2 = 2 ⇒ VAMNP = 3V 1 a a3 ⇒ d ( (P,(AMN)) ) = PAMN = a a = SAMN 12 2 48 Vậy d ( (P,(AMN)) ) = a 42 Cách Sử dụng phép trượt đỉnh Đỗ Thị Diệp – THPT Thạch Thành 10 Kinh nghiệm dạy học tốn tính khoảng cách hình học khơng gian nhằm nâng cao hiệu học tập mơn tốn cho học sinh Trường THPT Thạch Thành - Ý tưởng phương pháp là: cách trượt đỉnh O đường thẳng đến vị trí thuận lợi O' , ta quy việc tính d(O,(α)) việc tính d(O',(α)) Ta thường sử dụng kết sau: Kết 1: Nếu đường thẳng ∆ song song với mặt phẳng (α) M, N ∈ ∆ d(M;(α)) = d(N;( α)) Kết 2: Nếu đường thẳng ∆ cắt mặt phẳng (α) điểm I M, N ∈ ∆ (M, N khác I) d(M;(α)) MI = d(N;(α)) NI Đặc biệt, M trung điểm NI d(M;(α)) = d(N;(α)) I trung điểm MN d(M;(α)) = d(N;(α)) - Ta thường sử dụng phép trượt đỉnh điểm chân đường cao Ví dụ: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình vng tâm O có cạnh a, SA = a vng góc với mặt phẳng (ABCD) a) Tính khoảng cách từ O đến (SBC) S b) Tính khoảng cách từ trọng tâm tam giác SAB đến (SAC) Nhận xét: Do OA ∩ ( SBC ) = C , nên thay việc tính d ( O, ( SBC ) ) ta tính d ( A, ( SBC ) ) , A D F E tương tự ta quy việc tính d ( G, ( SAC ) ) thơng qua việc tính d ( E, ( SAC ) ) G H B O C hay d ( B, ( SAC ) ) Giải: a) Ta có: OA ∩ ( SBC ) = C nên: Đỗ Thị Diệp – THPT Thạch Thành 11 Kinh nghiệm dạy học tốn tính khoảng cách hình học khơng gian nhằm nâng cao hiệu học tập mơn tốn cho học sinh Trường THPT Thạch Thành d ( O, ( SBC ) ) d ( A, ( SBC ) ) = OC = AC ⇔ d ( O, ( SBC ) ) = d ( A, ( SBC ) ) * Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) AH ⊥ SB ⇒ AH ⊥ ( SBC ) Bước 1, 2: Gọi H hình chiếu A SB ta có:  AH ⊥ BC  Bước 3: Tính AH : Trong tam giác vng SAB có: 1 a = + = ⇔ AH = 2 AH SA AB 3a 1 a Vậy d ( O, ( SBC ) ) = d ( A, ( SBC ) ) = AH = 2 b) Gọi E trung điểm AB, G trọng tâm tam giác SAB Do EG ∩ ( SAB ) = S nên: d ( G, ( SAC ) ) d ( E, ( SAC ) ) = GS 2 = ⇔ d ( G, ( SAC ) ) = d ( E, ( SAC ) ) ES 3 Mà BE ∩ ( SAC ) = A nên: d ( E, ( SAC ) ) d ( B, ( SAC ) ) = EA 1 = ⇒ d ( E, ( SAC ) ) = d ( B, ( SAC ) ) BA 2 BO ⊥ AC ⇒ BO ⊥ ( SAC ) nên d(B, (SAC)) = BO = a Mà  BO ⊥ SA a a Vậy d ( G, ( SAC ) ) = × = Bài tập tự luyện: Đỗ Thị Diệp – THPT Thạch Thành 12 Kinh nghiệm dạy học tốn tính khoảng cách hình học khơng gian nhằm nâng cao hiệu học tập mơn tốn cho học sinh Trường THPT Thạch Thành Bài 1: Cho hình chóp SABC có đáy ABC tam giác vng B, AB = 3a, BC= 4a, (SBC) ⊥ (ABC), SB=2a , Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SAC) Bài 2: Cho hình chóp SABC, góc tạo mặt phẳng (ABC) (SBC) 600 Hai tam giác ABC SBC cạnh a Tính thể tích hình chóp SABC khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SAC) 2.3.3 Khoảng cách từ đường thẳng đến mặt phẳng song song: Ta có: + ∀M ∈ ∆, N ∈ (α ),MN ≥ d(∆,(α)) + Việc tính khoảng cách từ đường thẳng ∆ đến mặt phẳng (α) quy việc tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Ví dụ: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình thoi tâm O, cạnh a, góc · BAD = 600 , có SO vng góc mặt phẳng (ABCD) SO = a Tính khoảng cách từ O đến mặt phẳng (SBC) Tính khoảng cách từ đường thẳng AD đến mặt phẳng (SBC) Giải: a) Hạ OK ⊥ BC ⇒ BC ⊥ ( SOK ) Trong (SOK) kẻ OH ⊥ SK ⇒ OH ⊥ ( SBC ) ⇒ d ( O, ( SBC ) ) = OH Ta có ∆ABD ⇒ BD = a ⇒ BO = S a ; AC = a Trong tam giác vng OBC có: H A 1 13 a 39 = + = ⇔ OK = OK OB OC 3a 13 E B D Đỗ Thị Diệp – THPT Thạch Thành F B D K O C 13 Kinh nghiệm dạy học tốn tính khoảng cách hình học khơng gian nhằm nâng cao hiệu học tập mơn tốn cho học sinh Trường THPT Thạch Thành Trong tam giác vng SOK có: 1 16 a = + = ⇔ OH = 2 OH OS OK 3a Vậy d ( O, ( SBC ) ) = OH = a b) Ta có AD / / BC ⇒ AD / / ( SBC ) ⇒ d ( AD, ( SBC ) ) = d ( E , ( SBC ) ) Kẻ EF / / OH ( F ∈ SK ) Do OH ⊥ ( SBC ) ⇒ EF ⊥ ( SBC ) ⇒ d ( AD, ( SBC ) ) = d ( E , ( SBC ) ) = EF = 2OH = a 2.3.4 Khoảng cách hai mặt phẳng song song: * Nhận xét: ∀M ∈ (α), N ∈ (β),MN ≥ d((α);(β)) Việc tính khoảng cách hai mặt phẳng song song quy việc tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Ví dụ: Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có tất cạnh a Góc tạo cạnh bên mặt đáy 30 Hình chiếu H điểm A mặt phẳng (A’B’C’) thuộc đường thẳng B’C’ Tính khoảng cách hai mặt đáy Giải: Vì H hình chiếu vng góc A mặt phẳng (A’B’C’) H trung điểm B’C’ Do (ABC) // (A’B’C’) nên d((ABC), (A’B’C’)) = d(A, Đỗ Thị Diệp – THPT Thạch Thành 14 Kinh nghiệm dạy học tốn tính khoảng cách hình học khơng gian nhằm nâng cao hiệu học tập mơn tốn cho học sinh Trường THPT Thạch Thành (A’B’C’)) mà AH ⊥ (A’B’C’) nên d(A, (A’B’C’)) = AH Vì AA’ tạo với đáy góc 300 nên ∆AHA’ có AH = AA' a = 2 a Vậy d((ABC), (A’B’C’)) = Bài tập tự luyện: Cho hình lập phương ABCDA’B’C’D’ cạnh Một mặt phẳng ( α ) qua đường chéo B’D Tính khoảng cách hai mặt phẳng (ACD’) (A’BC’) 2.3.5 Khoảng cách hai đường thẳng chéo nhau: Quy trình: Quy trình tính khoảng cách hai đường thẳng chéo a b Bước 1: Xác định mp (α) chứa đường thẳng b song song với đường thẳng a Suy d ( a, b ) = d(a, (α)) Bước 2: Tính khoảng cách từ điểm M đường thẳng a tới mp (α) : Tính d(M, (α)) Bước 3: Kết luận d ( a, b ) = d(M, (α)) Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a ; SA vng góc với đáy SA = a Tính khoảng cách hai đường thẳng AC SD Giải: Bước 1: Xác định mặt phẳng chứa đường thẳng SD song song với đường thẳng AC : Trong mp ( ABCD ) kẻ đường thẳng Dx // AC AC // ( S, Dx ) đó: d ( SD, AC ) = d ( AC, ( S, Dx ) ) = d ( A, ( S, Dx ) ) Đỗ Thị Diệp – THPT Thạch Thành 15 Kinh nghiệm dạy học toán tính khoảng cách hình học khơng gian nhằm nâng cao hiệu học tập mơn tốn cho học sinh Trường THPT Thạch Thành Bước 2: Tính khoảng cách từ điểm đường thẳng AC tới mp ( S, Dx ) : Tính d ( A, ( S, Dx ) ) Bước 2.1: Xác định mặt phẳng qua A vng góc với mp (S,Dx) : mp (SAI) Trong mp ( ABCD ) kẻ AI vng góc với Dx I Vì SA ⊥ Dx nên Dx ⊥ ( SAI ) Bước 2.2: Xác định đường thẳng AH kẻ từ A vuông góc với giao tuyến SI hai mặt phẳng ( S,Dx ) ( SAI ) , H ∈ SI Trong mp (SAI) kẻ vng AH góc với SI H d ( A, ( S, Dx ) ) = d ( A, ( SDI ) ) = AH Bước 2.3: Tính độ dài đoạn AH: Ta có AIDO hình bình hành nên AI = DO = nên có 1 = + 2 AH SA AI Suy AH = = a 2  ÷   + a Và ∆SAI vuông A = a2 a2 a a Bước 3: Kết luận d ( AC, SD ) = d ( A, ( S, Dx ) ) = Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có ABCD hình vng cạnh a SA = SB = SC = SD = a Tính khoảng cách hai đường thẳng AD SB Đỗ Thị Diệp – THPT Thạch Thành 16 Kinh nghiệm dạy học tốn tính khoảng cách hình học khơng gian nhằm nâng cao hiệu học tập mơn tốn cho học sinh Trường THPT Thạch Thành Giải: Bước 1: Xác định mặt phẳng chứa cạnh SB song song với cạnh AD : mp ( SBC ) Suy d(AD, SB) = d ( AD, ( SBC ) ) Bước 2: Tính khoảng cách từ điểm đường thẳng AD tới mp (SBC) : Tính d(I, ( SBC ) ) , với I trung điểm cạnh AD Bước 2.1: Xác định mặt phẳng qua I vng góc với mp (SBC) : mp (SIJ) , với J trung điểm cạnh BC Bước 2.2: Xác định đường thẳng IH kẻ từ I vng góc với giao tuyến SJ hai mặt phẳng ( SBC ) ( SIJ ) , H ∈ SJ Suy d ( I, ( SBC ) ) = IH Bước 2.3: Tính độ dài đoạn IH : 2a a Vì ∆SOC vuông O nên SO = SO − OC = 2a − = 2 2 Xét ∆SOJ có OK đường cao Ta có: 1 = + 2 OK SO OJ = a 6  ÷   Mà IH = 2OK nên IH = + a  ÷  2 = 14 3a hay OK = a 14 a 42 Bước 3: Kết luận d ( AD, SB ) = d ( I, ( SBC ) ) = a 42 Bài tập tự luyện: Bài 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông cân B,AB=BC=2a, hai mặt phẳng (SAB) (SAC) vng góc với mặt phẳng Đỗ Thị Diệp – THPT Thạch Thành 17 Kinh nghiệm dạy học tốn tính khoảng cách hình học khơng gian nhằm nâng cao hiệu học tập mơn tốn cho học sinh Trường THPT Thạch Thành (ABC) Gọi M trung điểm AB, mặt phẳng qua SM song song với BC, cắt AC N Biết góc hai mặt phẳng (SBC) (ABC) 600 Tính thể tích khối chóp S.BCNM khoảng cách hai đường thẳng AB SN theo a Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a Gọi M N trung điểm cạnh AB AD; H giao điểm CN với DM Biết SH vng góc với mặt phẳng (ABCD) SH = a Tính khoảng cách hai đường thẳng DM SC theo a 2.4 Kết kiểm nghiệm Sau dạy xong chuyên đề nhận thấy em học hiểu hơn, nhiều em tự làm tập tự luyện Sau tơi có cho em làm bài kiểm tra thời lượng 45 phút với nội dung: Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh đáy 3a, cạnh bên 2a Gọi G trọng tâm tam giác đáy ABC a) Tính khoảng cách từ S tới mặt phẳng đáy (ABC) b) Tính khoảng cách hai đường thẳng AB SG Kết thu sau: Làm ý Làm a ý 12A3 (39 HS) 22 (56,4 %) 12A4 (37 HS) 12A5 (39 HS) Lớp Làm sai Không làm 18 (46,2 %) 17 (43,6%) (0 %) 19 (51,4 %) 15(40,5 %) 18 (48,6 %) (0 %) 17 (43,6 %) 12 (30,8 %) 21 (53,8 %) (2,6 %) Từ kết thu ta nhận thấy số lượng học sinh làm ý a) làm ý tăng lên rõ rệt (cao lớp 12A3 làm ý a) chiếm 56,4%, làm ý chiếm 46,2%, lớp 12A5 làm ý a) chiếm 43,6%, làm ý chiếm 30,8%) Số lượng học sinh làm sai giảm giảm đáng kể Qua chấm nhận thấy nhiều em biết cách tính khoảng cách từ điểm Đỗ Thị Diệp – THPT Thạch Thành 18 Kinh nghiệm dạy học tốn tính khoảng cách hình học không gian nhằm nâng cao hiệu học tập mơn tốn cho học sinh Trường THPT Thạch Thành đến mặt phẳng, khoảng cách hai đường thẳng chéo nhau, biết vận dụng kiến thức học vào làm Nhưng số học sinh q trình tính tốn mắc sai sót dẫn đến việc em biết cách làm tính sai kết Điều cố gắng khắc phục cho em trình dạy học tiếp sau Tuy nhiên với kết đạt nhiều em tỏ hứng thú học tập, bớt phần tâm lí lo sợ học đến phần hình học khơng gian Đây coi dấu hiệu đáng mừng động lực thúc đẩy để tơi nhiệt tình công tác giảng dạy, nghiên cứu để cho việc dạy học đạt hiệu cao KẾT LUẬN VÀ ĐỀ XUẤT 3.1 Kết luận Sau dạy xong chuyên đề nhận thấy dạy học cho học sinh nên hướng dẫn em tìm phương pháp, cách giải cho dạng toán, nắm phương pháp em tự giải dạng tập quen thuộc, qua cịn tìm phương pháp giải, cách giải cho dạng tập khác Ngoài ra, dạy học giáo viên nên rèn luyện thêm cho học sinh khả tính tốn để hạn chế trường hợp em biết cách làm làm sai tính tốn sai Trong q trình thực hiện, nghiên cứu đề tài cịn nhiều thiếu sót, mong nhận đóng góp ý kiến để đề tài ngày hồn thiện 3.2 Kiến nghị đề xuất Thông qua đề tài tơi có vài kiến nghị sau: - Đối với tổ môn: Tổ chức thêm buổi sinh hoạt chuyên môn theo hướng nghiên cứu học viết chuyên đề ôn thi tốt nghiệp, ôn thi đại học để làm tài liệu dùng chung cho tổ - Đối với nhà trường: Tăng cường thêm chủng loại tài liệu tham khảo, tổ chức thêm hoạt động ngoại khóa cho học sinh giúp em có hội giao Đỗ Thị Diệp – THPT Thạch Thành 19 Kinh nghiệm dạy học toán tính khoảng cách hình học khơng gian nhằm nâng cao hiệu học tập mơn tốn cho học sinh Trường THPT Thạch Thành lưu, học hỏi lẫn XÁC NHẬN CỦA THỦ Thanh Hóa, ngày 20 tháng năm 2016 TRƯỞNG ĐƠN VỊ Tôi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác Đỗ Thị Diệp Đỗ Thị Diệp – THPT Thạch Thành 20 Kinh nghiệm dạy học tốn tính khoảng cách hình học khơng gian nhằm nâng cao hiệu học tập mơn tốn cho học sinh Trường THPT Thạch Thành TÀI LIỆU THAM KHẢO Sách giáo khoa hình học 11 nâng cao Sách tập hình học 11 Nguyễn Đức Đồng (2001), Tuyển tập 500 toán hình khơng gian, NXB Thanh Hố Phương pháp dạy học mơn tốn, tác giả: Nguyễn Bá Kim (chủ biên), Đinh Nho Chương, Nguyễn Mạnh Cảng, Vũ Dương Thụy, Nguyễn Văn Thường; Nhà xuất Giáo Dục Các trang web: http://violet.vn http://diendantoanhoc.net http://luyenthidaminh.vn Đỗ Thị Diệp – THPT Thạch Thành 21 ... biết cách tính khoảng cách từ điểm Đỗ Thị Diệp – THPT Thạch Thành 18 Kinh nghiệm dạy học tốn tính khoảng cách hình học khơng gian nhằm nâng cao hiệu học tập mơn tốn cho học sinh Trường THPT Thạch. .. × = Bài tập tự luyện: Đỗ Thị Diệp – THPT Thạch Thành 12 Kinh nghiệm dạy học tốn tính khoảng cách hình học khơng gian nhằm nâng cao hiệu học tập mơn tốn cho học sinh Trường THPT Thạch Thành Bài. .. C nên: Đỗ Thị Diệp – THPT Thạch Thành 11 Kinh nghiệm dạy học tốn tính khoảng cách hình học không gian nhằm nâng cao hiệu học tập môn toán cho học sinh Trường THPT Thạch Thành d ( O, ( SBC ) )