skkn PHƯƠNG PHÁP TIẾP cận các bài TOÁN TÍNH KHOẢNG CÁCH TRONG HÌNH học KHÔNG GIAN lớp 12

LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI Trong hình học không gian của lớp 12, bài toán tính khoảng cách thường là những bài toán khó đối với đa số học sinh, vì vậy học sinh thường rất ngại những bài toán này

PHƯƠNG PHÁP TIẾP CẬN CÁC BÀI TOÁN TÍNH KHOẢNG

CÁCH TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN LỚP 12

I LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Trong hình học không gian của lớp 12, bài toán tính khoảng cách thường là những bài toán khó đối với đa số học sinh, vì vậy học sinh thường rất ngại những bài toán này Có những em chỉ làm ý dễ còn khi gặp ý tìm khoảng cách thì bỏ, mà trên thực tế trong các đề thi tốt nghiệp hay thi đại học cao đẳng thì phần tìm khoảng cách rất thường gặp trong câu hình học không gian, nó chiếm nửa số điểm của câu này Học sinh một phần do ý nghĩ phần hình khó nên bỏ qua phần này để dồn sức cho những câu khác, một phần nhiều học sinh gặp khó khăn về phương pháp, không biết bắt đầu từ đâu Những câu hỏi thường đặt

ra với các em: tại sao lại nghĩ đến kẻ đường này, vẽ đường kia,… Với đặc điểm đó tôi muốn đem đến cho học sinh cái nhìn thân thiện, gần gũi và hứng thú với hình học không gian, đặc biệt là phần tính khoảng cách Trong đợt thi trung học phổ thông quốc gia sắp tới tôi muốn trình bày một số cách tiếp cận bài toán dạng này

II CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN

Bài toán tính khoảng cách trong hình học không gian lớp 12 thường xuất hiện trong các

đề thi, nhất là trong các đề thi tuyển sinh và thường nằm ở ý khó của bài toán hình học không gian Vì thế rất nhiều học sinh xác định đây là phần khó nên không chú tâm lắm đến phần này và thường bỏ để làm phần khác Trong các sách về hình học không gian các tác giả trình bày tốt các phương pháp, tuy vậy trong các ví dụ cụ thể thì các tác giải chỉ trình bày lời giải mà không nêu hướng tiếp cận bài toán, làm cho người đọc phân vân và thường đặt câu hỏi “ Làm sao tác giả dùng phương pháp đó? Xuất phát điểm từ đâu? ” Nói chung trong các ví dụ đó thường nghiêng về trình bày kĩ thuật giải nhiều hơn, chưa nói được những dấu hiệu để có được điểm xuất phát và từ đó có được hướng tiếp cận bài toán Trước các thực trạng đó tôi đưa ra một số cách tiếp cận bài toán hình học không gian của lớp 12

III TỔ CHỨC THỰC HIỆN CÁC GIẢI PHÁP

Một số giải pháp được trình bày trong đề tài:

 Giải pháp 1: Phương pháp tiếp cận bài toán tính khoảng cách từ một điểm đến một

 Giải pháp 4: Phương pháp tiếp cận bài toán tính khoảng cách trong hình học giải

tích trong không gian.

GIẢI PHÁP 1: PHƯƠNG PHÁP TIẾP CẬN BÀI TOÁN TÍNH KHOẢNG CÁCH

TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT ĐƯỜNG THẲNG

- Với bài toán có câu hỏi: Tính khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng có vẻ “dễ thở”

nhất trong các phần tính khoảng cách còn lại Chỉ lưu ý với học sinh: muốn tính khoảng cách từ A đến đường thẳng d thì ta chỉ cần gọi H là hình chiếu của điểm A trên d rồi ta xemđoạn AH là đường cao trong tam giác ABC nào đó, và ta xem tam giác ABC đó là tam giác

gì Nếu tam giác vuông tại A thì độ dài được tính như thế nào? Tam giác đều thì tính làm sao?

- Một số học sinh biết hướng làm nhưng lại quên mất các hệ thức lượng trong tam giác vuông, công thức tính diện tích tam giác Một số kiến thức và một số kết quả thường dùng:

Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật tâm O, cạnh

, cạnh AB6 ,a BC8a Góc giữa SC và mặt phẳng đáy bằng 30 0 a) Tính khoảng cách từ điểm A đến cạnh SC.

b) Tính khoảng cách từ O đến cạnh SC.

Lời giải:

K H

a) Gọi H là hình chiếu của A trên SC, khi đó AH là đường cao của tam giác vuông SAC

BC



- Nếu là tam giác đều thì AH bằng tích của cạnh tam giác với

32

Hướng giải quyết:

- Cứ gọi H là hình chiếu của A

trên SC, khi đó AH chính là

đường cao của tam giác vuông

SAC.

- Để tính AH ta đi tính độ dài

hai hạnh góc vuông của tam

giác SAC rồi sẽ tính được AH.

Mà trong tam giác vuông ABC:    

Hình chiếu của SC trên (ABCD) là AC, suy ra góc SCA  600

Trong tam giác SAC: SA AC tan 600 10a 3

b) Gọi K là hình chiếu của O trên SC, khi đó OK//AH Trong tam giác AHC ta suy ra OK

là đường trung bình nên

Ví dụ 2: Cho tứ diện ABCD có tam giác DAB và DAC là hai tam giác đều cạnh 2a,

tam giác ABC vuông ở A Gọi M là trung điểm của AD, hãy tính khoảng cách

từ diện tích tam giác MBC và khoảng cách từ B đến CM.

K M

vào tam giác BCM Vậy ta phải

nhận dạng được tam giác BCM

là tam giác gì Để nhận dạng

tam giác thì ta đi tính các cạnh

của tam giác

Vậy tam giác MBC là tam giác cân ở M Gọi K là trung điểm của BC

BC

Ta có MK là đường cao của tam giác ABC, ta cần đi tính MK

Trong tam AMK vuông ở K (vì ADMBC ADMK )

MBC MBC

Giả sử không có ý tính diện tích tam giác MBC thì chúng ta cũng phải đi xác định các

yếu tố của tam giác MBC để xem nó là tam giác gì Bài giải trên là một cách tính khoảng cách dựa vào công thức tính diện tích tam giác.

Câu b) d D SB ,  2d O SB , , đi tính d O SB ,  Gọi H là hình chiếu của O trên SB, khi đó d O SB , OH với tam giác

3 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SAABCD SA a,  . Gọi

E là trung điểm của cạnh CD Tính theo a khoảng cách từ S đến đường thẳng BE

( Gợi ý: Kẻ AHBE tại H, chứng minh BESH  d S BE ,  SH

Kéo dài BE cắt AD tại M  AM 2a Xét ABM tính được AH

Dựa vào tam giác SAH để tính SH)

GIẢI PHÁP 2: PHƯƠNG PHÁP TIẾP CẬN BÀI TOÁN TÍNH KHOẢNG CÁCH

TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT MẶT PHẲNG

Tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng có thể xem là phần quan trọng nhất trong bài toán tính khoảng cách bởi vì không những được hỏi trực tiếp mà còn dùng để tínhcác loại khoảng cách khác

Những khó khăn của đa số học sinh:

- Lúng túng không biết hình chiếu của M nằm trên đường nào trong mặt phẳng (P)

- Lúng túng trong suy nghĩ: có thể tính được khoảng cách từ M đến (P) mà không cần dựnghình chiếu của M trên (P) hay không?

 Để giải quyết một bài toán thì cần có kết kợp của nhiều yếu tố như: đọc và hiểu đề, vẽ hình, chọn phương pháp giải Vì vậy để giải quyết một phần sự lúng túng của học sinh, tôi trình hai phương pháp giải những bài toán này: tính khoảng cách trực tiếp, tính khoảng cách gián tiếp, để học sinh có hướng tiếp cận bài toán một cách nhanh chóng

I TÍNH KHOẢNG CÁCH TRỰC TIẾP

- Là ta phải dựng được khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng, sau đó mới đi tính toán

- Cơ sở để dựng được hình chiếu của một điểm trên mặt phẳng là: hai mặt phẳng vuông gócvới nhau theo giao tuyến d, trong mặt này kẻ đường thẳng a vuông góc với d thì a vuông góc với mặt phẳng kia Cho học sinh ghi nhớ các bước xác định khoảng cách từ điểm M

- Bước làm khó nhất là tìm mặt phẳng (Q) đi qua M và vuông góc với (P) Thường nếu ta thấy trong hình chóp có SM   ( với   P ) thì (Q) là mặt phẳng chứa SM và vuông góc với 

Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SAABC

và góc giữa SB và mặt (ABC) bằng 60 0 Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC).

Hướng giải quyết

- Xác định được mặt phẳng chứa điểm A và vuông góc với mặt phẳng (SBC).

- Xác định được giao tuyến của mặt phẳng đó với (SBC).

- Kẻ đường vuông góc hạ từ A xuống giao tuyến.

Từ dấu hiệu BCSA nên ta dựng mặt phẳng chứa SA và vuông góc với BC

Lời giải:

60 0

H

I A

B

C S

Gọi I là trung điểm của cạnh BC, khi đó AI BC và

32

Giao tuyến của mặt phẳng (SBC) và (SAI) là SI Vậy trong (SAI) ta kẻ AH vuông góc với

SI tại H, suy ra AH là khoảng cách từ A đến (SBC)

— Tìm mặt phẳng (Q) đi qua M và vuông góc với (P)

— Tìm giao tuyến  của (Q) và (P)

— Trong (Q), kẻ MH vuông góc với  Khi đó d(M,(P))= MH

Trong tam giác vuông SAI ta có: 2 2 2

AS

AH   AI (2)

Hình chiếu của SB trên mặt phẳng (ABC) là AB, suy ra góc SBA  600

Trong tam giác SAB ta có : SA AB .tan 600 a 3 (3)

Thay (1) và (3) vào (2) ta được :

 2 2

333

a

 Nhận xét: Trong lời giải trên mặt phẳng (SAI) đóng vai trò là mặt phẳng (Q)

Ví dụ 2 : Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, SAABC

Mặt phẳng chứa SA và vuông góc với (SBC) là (SAI).

Giao tuyến của (SAI) và (SBC) là SI Kẻ AH vuông góc với SI tại H =>d A SBC ,   AH

Trong tam giác SAI ta có : 2 2 2

Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O, cạnh a, đường

chéo AC a SAB là tam giác cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy; góc giữa SC và mặt phẳng (ABCD) bằng 60 0 Gọi I là trung điểm của

AB Hãy tính khoảng cách từ I đến mặt phẳng (SBC) theo a

Phân tích

Đầu tiên ta xem SI có vuông góc với mặt phẳng (ABCD) hay không, nếu vuông góc thì

SI sẽ vuông góc với một đường nằm trong (SBC) Khi đó ta dựng được mặt phẳng chứa SI

và vuông góc với mặt phẳng (SBC) như ví dụ 1 và ví dụ 2

S

F H

Ta có SI AB SAB,   ABCD SI ABCD

Gọi E là trung điểm của BC, F là trung điểm của BE, ta có / /

Nhận xét: Với giả thiết đã cho nếu để ý một chút ta có thấy tam giác ABC là tam giác đều

nên CI AB Có thể không cần dựng chính xác điểm F, ta dựng IFBC và tính

II TÍNH KHOẢNG CÁCH GIÁN TIẾP

Khi tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P) thì không phải lúc nào ta cũng

dễ dàng dựng được đoạn vuông góc từ M đến (P), hoặc khi dựng được thì việc tính toánphức tạp, trong trường hợp đó ta có thể tính khoảng cách từ M đến (P) bằng một trong các cách sau:

Phương pháp:

1) Dựa vào công thức .    

1 ,3

d A P IA

IB

d B P 

1 Dựa vào công thức .    

1 ,3

- Chúng ta thường dùng cách này khi đa giác đối diện của đỉnh A là một đa giác đặc biệt

mà ta có khả năng tính ngay được diện tích của đa giác đó

Ví dụ 1:

Cho khối chóp S.ABC có có tam giác ABC vuông cân tại A và tam giác SBC là tam giác đều cạnh a 2 và SAABC Tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC)

a 2

A

B

C S

Nhận xét: Tam giác SBC là tam giác đều nên diện tích của tam giác SBC ta có thể tính dễ

dàng Vậy để tính d A SBC ,   ta hướng tới sử dụng công thức     3 .

Tam giác SBC là tam giác đều cạnh a 2 nên suy ra SB a 2

Tam giác vuông cân tại A nên AB=AC và AC2AB2 BC2 Suy ra

2AB2 BC2 2a2  AB a

Xét tam giác SAB vuông ở A ta có: SA SB2 AB2  a 22 a2 a

Suy ra diện tích tam giác ABC bằng:

21

* Từ công thức tính thể tích .    

1 ,3

2

a a

d A SBC

a

 Nhận xét: Cách tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng dựa vào thể tích của

khối chóp là một cách làm hay và thường được sử dụng Vì vậy để thực hiện được phương pháp này người làm toán cần phải nhận xét được đa giác đối diện của điểm đó có gì đặc biệt ( chẳng hạn tam giác vuông, tam giác đều hay hình vuông….) để ta đi tìm dữ kiện tính diện tích của đa giác Để thành thạo với cách làm này học sinh cần thực hành với nhiều bài tập nhằm làm quen với cách nhận diện đa giác tính diện tích đa giác đó

Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại A, ABC 300, SBC là tam

giác đều cạnh a và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy Tính theo akhoảng cách từ C đến mặt phẳng (SAB) (2013-Khối A)

Hướng giải quyết:

- Nhận dạng tam giác SAB.

- Tính thể tích khối S.ABC và diện tích tam giác SAB.

Lời giải:

K

H A

C

B S

Gọi H là trung điểm của BC, ta có SH BC SBC,   ABC Suy ra SH ABC.

Tam giác SBC đều, cạnh a nên

32

(2013-khối B)

K

I

C B

a

Do SAB  ABCD theo giao tuyến AB nên SI ABCD

Hướng giải quyết:

- Tính thể tích khối chóp S.ABCD

- Nhận dạng tam giác SCD

- Tính thể tích khối chóp S.ACD, diện tích

tam giác SCD

Suy ra

3 2

Nhận xét: SICSID SC SD  SCD cân tại S

Gọi K là trung điểm CD Khi đó SK là đường cao của tam giác SCD

2

33

,

7 7

4

A SCD SCD

Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SCD)

(2013-khối B)

— Nếu a/ / P và A B a,  thì d A P ,   d B P ,  

— Nếu  P / / Q và A B,  Q thì d A P ,   d B P ,  

I

C B

a

Do SAB  ABCD theo giao tuyến AB nên SI ABCD

Suy ra

3 2

Nhận thấy AI//(SCD) nên d A SCD ,   d I SCD ,  

Gọi K là trung điểm của CD, H là hình chiếu của I trên SK Ta có:

Ví dụ 2: Cho hình lăng trụ đứng ABC A B C ' ' ' có đáy là tam giác cân ABAC a ,

 1200

BAC  Mặt phẳng AB C' ' tạo với đáy góc 60 0 Tính thể tích khối lăng

Hướng giải quyết

trụ ABC A B C ' ' ' và khoảng cách từ đường thẳng BC đến mặt phẳng AB C' 'theo a.

Hướng giải quyết:

Gọi K là trung điểm của BC, khi đó d BC AB C , ' '  d K AB C , ' ' 

Gọi H là hình chiếu của K trên AI

Ví dụ 1: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a Gọi G là trọng tâm

của tam giác SAC và khoảng cách từ G đến mặt bên (SCD) bằng

36

a

Tính khoảng cách từ tâm O của đáy đến mặt bên (SCD) theo a.

H

I O

D

B

C A

AG

Ba điểm A,G,O thẳng hàng Trong tam giác SAC ta có:

32

I là trung điểm của đoạn AD, hai mặt phẳng (SBI) và (SCI) cùng vuông góc với (ABCD) Tính theo a khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC)

Trong mặt phẳng (ABCD), gọi EADBC thì EAISBC

Trong tam giác ABE: DC//AB và

12

nên DC là đường trung bình, suy ra C là

Nhận xét: Sử dụng tỉ số khoảng cách ta có thể tính khoảng cách từ một điểm đến một

mặt phẳng thông qua điểm khác, quan trọng là biết cách xuất phát từ điểm nào trước Từ dấu hiệu SI ABCD, ta chọn khoảng cách từ điểm I đến (SBC) bằng phương pháp trực tiếp trước Sau đó dựa vào tỉ số khoảng cách để suy ra khoảng cách cần tìm

2 Cho S.ABC là một tứ diện có ABC là một tam giác vuông cân tại đỉnh B và AC2a, cạnh SAABC và SA=a.

a) Tính khoảng cách từ A đến (SBC)

b) Gọi O là trung điểm của AC Tính khoảng cách từ O đến (SBC)

(Gợi ý: tính được cạnh BA=BC= a 2 Chứng minh tam giác SBC vuông Tính được

( Hướng dẫn: vẽ AI BC tại I, vẽ AHSI , chứng minh AH SBC

a

Tính khoảng cách từ trung điểm I của SH đến (SBC)

( Gợi ý: HI cắt (SBC) tại S, d(I,(SBC))=1  ,  

2d H SBC Tính d H SBC ,  )

5 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy Gọi M là trung điểm của SA Tínhtheo a thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (SCD)

( Hd: Gọi I là trung điểm của AB, khi đó:  ,   1  ,   1  ,  

(Hd: AD/ /SBC  d D SBC ,   d A SBC ,  

Tính V A SBC. ,S SBC  d A SBC ,  

Đáp số d D SBC ,  a 3

)

GIẢI PHÁP 3: PHƯƠNG PHÁP TIẾP CẬN BÀI TOÁN TÍNH KHOẢNG CÁCH

GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU

Bài toán tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau luôn là bài toán khó với phần lớn học sinh Để giải quyết được bài toán này học sinh cần nắm được các kiến thức cơbản sau:

1 Cách tìm đường thẳng vuông góc đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau a và b

- Cho hai đường thẳng chéo nhau a và b Khi đó có duy nhất một mặt phẳng (P) chứa b và song song với a Gọi (Q) là mặt phẳng chứa a và vuông góc với (P) Mặt phẳng (Q) cắt b tại M và cắt (P) theo giao tuyến a’ Gọi  là đường thẳng đi qua M và vuông góc với (P) , khi đó  nằm trong mặt phẳng (Q) và cắt a tại N Đường thẳng  cùng vuông góc với hai đường thẳng a và b nên  chính là đường vuông góc chung của a và b, còn độ dài đoạn thẳng MN là khoảng cách giữa hai đường chéo nhau đó

 Trường hợp ab

- Gọi (P) là mặt phẳng chứa b và vuông góc

với a tại A

- Trong (P) dựng ABb tại B Khi đó độ

dài đoạn thẳng AB là khoảng cách giữa hai

b B a

P

A