skkn PHƯƠNG PHÁP TIẾP cận các bài TOÁN TÍNH KHOẢNG CÁCH TRONG HÌNH học KHÔNG GIAN lớp 12

PHƯƠNG PHÁP TIẾP CẬN CÁC BÀI TOÁN TÍNH KHOẢNG CÁCH TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN LỚP 12 I LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI Trong hình học không gian lớp 12, toán tính khoảng cách thường toán khó đa số học sinh, học sinh thường ngại toán Có em làm ý dễ gặp ý tìm khoảng cách bỏ, mà thực tế đề thi tốt nghiệp hay thi đại học cao đẳng phần tìm khoảng cách thường gặp câu hình học không gian, chiếm nửa số điểm câu Học sinh phần ý nghĩ phần hình khó nên bỏ qua phần để dồn sức cho câu khác, phần nhiều học sinh gặp khó khăn phương pháp, không Những câu hỏi thường đặt với em: lại nghĩ đến kẻ đường này, vẽ đường kia,… Với đặc điểm muốn đem đến cho học sinh nhìn thân thiện, gần gũi hứng thú với hình học không gian, đặc biệt phần tính khoảng cách Trong đợt thi trung học phổ thông quốc gia tới muốn trình bày số cách tiếp cận toán dạng II CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN Bài toán tính khoảng cách hình học không gian lớp 12 thường xuất đề thi, đề thi tuyển sinh thường nằm ý khó toán hình học không gian Vì nhiều học sinh xác định phần khó nên không tâm đến phần thường bỏ để làm phần khác Trong sách hình học không gian tác giả trình bày tốt phương pháp, ví dụ cụ thể tác giải trình bày lời giải mà không nêu hướng tiếp cận toán, làm cho người đọc phân vân thường đặt câu hỏi “ Làm tác giả dùng phương pháp đó? Xuất phát điểm từ đâu? ” Nói chung ví dụ thường nghiêng trình bày kĩ thuật giải nhiều hơn, chưa nói dấu hiệu để có điểm xuất phát từ có hướng tiếp cận toán Trước thực trạng đưa số cách tiếp cận toán hình học không gian lớp 12 III TỔ CHỨC THỰC HIỆN CÁC GIẢI PHÁP Một số giải pháp trình bày đề tài:  Giải pháp 1: Phương pháp tiếp cận toán tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng  Giải pháp 2: Phương pháp tiếp cận toán tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng  Giải pháp 3: Phương pháp tiếp cận toán tính khoảng cách hai đường thẳng chéo  Giải pháp 4: Phương pháp tiếp cận toán tính khoảng cách hình học giải tích không gian Trang GIẢI PHÁP 1: PHƯƠNG PHÁP TIẾP CẬN BÀI TOÁN TÍNH KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT ĐƯỜNG THẲNG - Với toán có câu hỏi: Tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng “dễ thở” phần tính khoảng cách lại Chỉ lưu ý với học sinh: muốn tính khoảng cách từ A đến đường thẳng d ta cần gọi H hình chiếu điểm A d ta xem đoạn AH đường cao tam giác ABC đó, ta xem tam giác ABC tam giác Nếu tam giác vuông A độ dài tính nào? Tam giác tính làm sao? - Một số học sinh biết hướng làm lại quên hệ thức lượng tam giác vuông, công thức tính diện tích tam giác Một số kiến thức số kết thường dùng: - - 1 = + 2 AB AC Trong tam giác ABC vuông A có đường cao AH thì: AH AH = Trong tam giác thường ABC, ta tính diện tích ∆ABC , từ đó: S ABC BC tam giác đềucóthìđáy AHABCD tích cạnh tam giác Ví dụ- 1: Nếu Cho hình chóp S.ABCD hình chữ nhật tâmvới O, cạnh SA ⊥ ( ABCD ) , cạnh AB = 6a, BC = 8a Góc SC mặt phẳng đáy 300 a) Tính khoảng cách từ điểm A đến cạnh SC b) Tính khoảng cách từ O đến cạnh SC Lời giải: S Hướng giải quyết: - Cứ gọi H hình chiếu A SC, AH đường cao tam giác vuông SAC - Để tính AH ta tính độ dài hai hạnh góc vuông tam giác SAC tính AH H A D K O B C a) Gọi H hình chiếu A SC, AH đường cao tam giác vuông SAC 1 = + 2 AC AS2 Ta có AH Trang AC = BA2 + BC = ( 6a ) + ( 8a ) = 100a ⇒ AC = 10a Mà tam giác vuông ABC: · Hình chiếu SC (ABCD) AC, suy góc SCA = 60 Trong tam giác SAC: SA = AC tan 60 = 10a Từ suy ra: 1 1 = + = + 2 2 AH AC AS ( 10a ) 10a ( ) = = 300a 75a Suy AH = 75a ⇒ AH = 5a b) Gọi K hình chiếu O SC, OK//AH Trong tam giác AHC ta suy OK 2 đường trung bình nên OK = 5a AH = 2  Nhận xét: - Giả sử câu hỏi câu a mà có câu hỏi câu b để tính khoảng cách từ O đến SC ta tính khoảng cách từ A đến SC trước từ suy khoảng từ O đến SC - Học sinh tính OK cách áp dụng vào tam giác vuông OKC có cạnh OC = 5a 5a OK = OC.sin 600 = 5a = µC = 600 2 có góc suy Ví dụ 2: Cho tứ diện ABCD có tam giác DAB DAC hai tam giác cạnh 2a , tam giác ABC vuông A Gọi M trung điểm AD, tính khoảng cách từ diện tích tam giác MBC khoảng cách từ B đến CM D Phân tích: Để tính khoảng cách từ B đến MC ta dựa trực tiếp vào tam giác BCM Vậy ta phải nhận dạng tam giác BCM tam giác Để nhận dạng tam giác ta tính cạnh tam giác M C A K B Lời giải: Tam giác DAB DAC hai tam giác cạnh 2a nên BM = CM = a Tam giác ABC tam giác vuông A có cạnh góc vuông 2a nên BC = 2a Trang Vậy tam giác MBC tam giác cân M Gọi K trung điểm BC ⇒ AK = BC =a 2 Ta có MK đường cao tam giác ABC, ta cần tính MK Trong tam AMK vuông K AD ⊥ ( MBC ) ⇒ AD ⊥ MK (vì ) MK = AK − AM = a  Vậy diện tích tam giác MBC S MBC = 1 MK BC = a.2a = a 2 2 2S 2a 2 2a S MBC = CM d ( B, CM ) ⇒ d ( B, CM ) = MBC = = CM a  Ta có  Nhận xét: Giả sử ý tính diện tích tam giác MBC phải xác định yếu tố tam giác MBC để xem tam giác Bài giải cách tính khoảng cách dựa vào công thức tính diện tích tam giác Bài tập áp dụng Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a , tâm O SA = a vuông góc với mặt phẳng (ABCD) Gọi I,M theo thứ tự trung điểm SC,AB a) Chứng minh rằng: OI ⊥ ( ABCD ) b) Tính khoảng cách từ I đến đường thẳng CM, từ suy khoảng cách S đến CM ( Gợi ý: Gọi H hình chiếu O CM, tính OH, suy IH d ( S , CM ) SC = = ⇒ d ( S , CM ) = 2d ( I , CM ) = IH d ( I , CM ) IC ) · Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi tâm O, SA=SB= 2a , ABC = 60 SA ⊥ ( ABCD ) a) Chứng minh BD ⊥ SC , suy b) Tính d ( O, SB ) ( Gợi ý: Câu a) d ( D, SB ) d ( O, SC ) = d ( O, SC ) d ( A, SC ) d A, SC ) , tính ( Trang Câu b) d ( D, SB ) = 2d ( O, SB ) , tính d ( O, SB ) Gọi H hình chiếu O SB, SBO vuông O, SO = d ( O, SB ) = OH với tam giác a a , OB = 2 ) SA ⊥ ( ABCD ) , SA = a Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a , Gọi E trung điểm cạnh CD Tính theo a khoảng cách từ S đến đường thẳng BE ⇒ d ( S , BE ) = SH ( Gợi ý: Kẻ AH ⊥ BE H, chứng minh BE ⊥ SH Kéo dài BE cắt AD M ⇒ AM = 2a Xét ∆ABM tính AH Dựa vào tam giác SAH để tính SH) GIẢI PHÁP 2: PHƯƠNG PHÁP TIẾP CẬN BÀI TOÁN TÍNH KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT MẶT PHẲNG Tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng xem phần quan trọng toán tính khoảng cách hỏi trực tiếp mà dùng để tính loại khoảng cách khác Những khó khăn đa số học sinh: - Lúng túng hình chiếu M nằm đường mặt phẳng (P) - Lúng túng suy nghĩ: tính khoảng cách từ M đến (P) mà không cần dựng hình chiếu M (P) hay không?  Để giải toán cần có kết kợp nhiều yếu tố như: đọc hiểu đề, vẽ hình, chọn phương pháp giải Vì để giải phần lúng túng học sinh, trình hai phương pháp giải toán này: tính khoảng cách trực tiếp, tính khoảng cách gián tiếp, để học sinh có hướng tiếp cận toán cách nhanh chóng I TÍNH KHOẢNG CÁCH TRỰC TIẾP - Là ta phải dựng khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng, sau tính toán - Cơ sở để dựng hình chiếu điểm mặt phẳng là: hai mặt phẳng vuông góc với theo giao tuyến d, mặt kẻ đường thẳng a vuông góc với d a vuông góc với mặt phẳng Cho học sinh ghi nhớ bước xác định khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P) Trang — Tìm mặt phẳng (Q) qua M vuông góc với (P) — Tìm giao tuyến  (Q) (P) — Trong (Q), kẻ MH vuông góc với  Khi d(M,(P))= MH - Bước làm khó tìm mặt phẳng (Q) qua M vuông góc với (P) Thường ta ∆ ⊂ ( P) thấy hình chóp có SM ⊥ ∆ ( với ) (Q) mặt phẳng chứa SM vuông góc với ∆ SA ⊥ ( ABC ) Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh a , góc SB mặt (ABC) 600 Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) Hướng giải - Xác định mặt phẳng chứa điểm A vuông góc với mặt phẳng (SBC) - Xác định giao tuyến mặt phẳng với (SBC) - Kẻ đường vuông góc hạ từ A xuống giao tuyến Từ dấu hiệu BC ⊥ SA nên ta dựng mặt phẳng chứa SA vuông góc với BC Lời giải: S H C A 60 I B Gọi I trung điểm cạnh BC, AI ⊥ BC AI = a (1)  BC ⊥ AI ⇒ BC ⊥ ( SAI )  SBC ) ⊥ ( SAI ) Ta có:  BC ⊥ SA suy ( Giao tuyến mặt phẳng (SBC) (SAI) SI Vậy (SAI) ta kẻ AH vuông góc với SI H, suy AH khoảng cách từ A đến (SBC) Trang 1 = + 2 AS AI Trong tam giác vuông SAI ta có: AH (2) · Hình chiếu SB mặt phẳng (ABC) AB, suy góc SBA = 60 Trong tam giác SAB ta có : SA = AB.tan 60 = a 1 = AH a ( Thay (1) (3) vào (2) ta : Suy AH = ) + (3) a 3  ÷   = 3a 3a ⇒ AH = a 5 Vậy khoảng cách từ A đến (SBC) a  Nhận xét: Trong lời giải mặt phẳng (SAI) đóng vai trò mặt phẳng (Q) Ví dụ : Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông A, SA ⊥ ( ABC ) Biết rằng: AC = 4, BC = SB = Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) Phân tích: Nhận thấy dấu hiệu SA ⊥ BC nên ta dựng mặt phẳng chứa SA vuông góc với (SBC) Lời giải Trong tam giác ABC kẻ AI vuông góc với BC Ta có  BC ⊥ AI ⇒ BC ⊥ ( SAI ) ⇒ ( SBC ) ⊥ ( SAI )   BC ⊥ SA Trang S H C A I B Mặt phẳng chứa SA vuông góc với (SBC) (SAI) Giao tuyến (SAI) (SBC) SI Kẻ AH vuông góc với SI H => d ( A, ( SBC ) ) = AH 1 = + 2 AS AI Trong tam giác SAI ta có : AH 2 2 Trong tam giác ABC : AB = BC − AC = − = , suy : 1 1 25 = + = + = 2 AI AB AC 16 144 2 Trong tam giác SAB : SA = SB − AB = 1 1 25 34 = + + = 2 AS AI = 144 144 Vậy AH => AH = 12 12 d ( A, ( SBC ) ) = 34 => 34 Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi tâm O, cạnh a , đường chéo AC = a SAB tam giác cân S nằm mặt phẳng vuông góc với đáy; góc SC mặt phẳng (ABCD) 600 Gọi I trung điểm AB Hãy tính khoảng cách từ I đến mặt phẳng (SBC) theo a Phân tích Trang Đầu tiên ta xem SI có vuông góc với mặt phẳng (ABCD) hay không, vuông góc SI vuông góc với đường nằm (SBC) Khi ta dựng mặt phẳng chứa SI vuông góc với mặt phẳng (SBC) ví dụ ví dụ Lời giải: S H D A I B Ta có O F C E SI ⊥ AB, ( SAB ) ⊥ ( ABCD ) ⇒ SI ⊥ ( ABCD )  BC ⊥ AE ⇒ IF ⊥ BC  Gọi E trung điểm BC, F trung điểm BE, ta có  IF / / AE  BC ⊥ IF ⇒ BC ⊥ ( SIF )  BC ⊥ SI  Ta có: Trong mặt phẳng (SIF), dựng IH ⊥ SF với H ∈ SF  IH ⊥ SF ⇒ IH ⊥ ( ABC ) ⇒ d ( I , ( SBC ) ) = IH  IH ⊥ BC  Ta có: a 3a · ·SCI ·SCI = 600 CI = ⇒ SI = CI tan SCI = Góc SC (ABCD) nên , AE = a AE a ⇒ IF = = 2 1 16 52 = 2+ = 2+ 2= 2 IS IF 9a 3a 9a Từ đó: IH Trang Do d ( I , ( SBC ) ) = IH = 3a 13 26 Nhận xét: Với giả thiết cho để ý chút ta có thấy tam giác ABC tam giác nên CI ⊥ AB Có thể không cần dựng xác điểm F, ta dựng IF ⊥ BC tính 1 1 1 = 2+ = 2+ 2+ 2 IB IC , từ suy IF IS IB IC IF theo công thức IF II TÍNH KHOẢNG CÁCH GIÁN TIẾP Khi tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P) lúc ta dễ dàng dựng đoạn vuông góc từ M đến (P), dựng việc tính toán phức tạp, trường hợp ta tính khoảng cách từ M đến (P) cách sau: Phương pháp: 3V d ( A, ( SBC ) ) = A.SBC VA.SBC = S SBC d ( A, ( SBC ) ) S SBC 1) Dựa vào công thức để suy 2) Các trường hợp đặc biệt: d A, P = d ( B, ( P ) ) ∀A, B ∈ a ( ( ) ) — Nếu a / / ( P) — Nếu ( P ) / / ( Q ) ∀A, B ∈ ( Q ) d ( A, ( P ) ) = d ( B, ( P ) ) 3) Sử dụng tỉ số khoảng cách: cho hai điểm A,B mặt phẳng (P) Gọi d ( A, ( P ) ) , đó: d ( A, ( P ) ) d ( B, ( P ) ) d ( B, ( AP ) ) IA IB B IA = IB A' P = B' I Trang 10 Mà CD ⊂ ( SCD ) nên ( SCD ) ⊥ ( SMN ) b) Ta có AB//CD nên AB//(SCD) ⇒ d ( AB, SC ) = d ( AB, ( SCD ) ) = d ( M , ( SCD ) ) tam giác SMN kẻ MH ⊥ SN Do CD ⊥ ( SMN ) ⇒ CD ⊥ MH  MH ⊥ SN ⇒ MH ⊥ ( SCD ) ⇒ d ( M , ( SCD ) ) = MH  MH ⊥ CD  Ta có : Gọi O tâm hình vuông ABCD Vì S.ABCD hình chóp nên SO chiều cao hình chóp, suy SO = a Trong tam giác SMN ta có : MH.SN=SO.MN ⇒ MH = Vậy d ( AB, SC ) = SO.MN = SN SO.MN SO + ON = a2 2a = a 2a 5 Nhận xét : —Mặt phẳng (SCD) mặt phẳng chứa SC song song với AB nên khoảng cách AB SC khoảng cách AB (SCD) Đến toán lại quy tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Ta cần khéo léo việc chọn điểm nằm cạnh AB, ta thường nghĩ tới điểm đặc biệt đoạn AB trung điểm đoạn AB Cách tính khoảng cách hai đường chéo dựa vào khoảng cách đường với mặt chứa đường lại song song với cách thường dùng — Ta tính MH cách tính d ( O, ( SCD) ) dựa vào nhận xét MH=2 d ( O, ( SCD) ) SA ⊥ ( ABCD ) Ví dụ : Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vuông ABCD cạnh a , Gọi M trung điểm SD, góc tạo SD mặt phẳng đáy 450 tính thể tích khối chóp S.ABCD khoảng cách SB CM Trang 23 S Phân tích: - Từ dấu hiệu M trung điểm ta nghĩ tới việc chứng minh quan hệ song song - Gọi I trung điểm BD IM đường trung bình tam giác SBD nên SB//IM Vậy d(SB,CM)=d(SB,(CMA)) Hướng giải quyết: - Chứng minh SB//(AMC) => M A D I B C d ( SB, CM ) = d ( SB, ( AMC ) ) = d ( B, ( AMC ) ) = d ( D, ( AMC ) ) - Tính VD AMC , S AMC Lời giải: - · Hình chiếu SD (ABCD) AD nên SDA = 45 Suy tam giác SAD vuông cân A ⇒ SA = a Khi VS ABCD = a3 ⇒ SB / / ( AMC ) Gọi I = AC ∩ BD , suy MI / / SB d ( SB, CM ) = d ( SB, ( AMC ) ) = d ( B, ( AMC ) ) = d ( D, ( AMC ) ) (vì (AMC) qua trung điểm BD) Ta lại có VD AMC a3 = VS ABCD = 12 Ta cần tính diện tích tam giác MAC Nhận thấy tam giác MAC có đường trung tuyến MI = MI = SB a MI = 2 ) (vì AC Vậy tam giác AMC vuông M (Đường trung tuyến nửa cạnh đối diện) a a a2 AM = ⇒ CM = ⇒ S MAC = MA.MC = 2 Ta lại có Trang 24 d ( D, ( AMC ) ) = Vậy 3VD AMC a = S AMC a d ( SB, CM ) =  Nêu vấn đề: - Nếu ta thay đổi câu hỏi là: tính khoảng cách từ trung điểm SB đến mặt phẳng (AMC) ta làm nào? Gợi ý: Khoảng cách khoảng cách từ B đến (AMC), ta quy tính khoảng cách từ B đến (AMC) Ví dụ : Hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông B AB = a, BC = SA = 2a, SA ⊥ ( ABC ) Gọi M trung điểm cạnh AC a) Tính khoảng cách hai đường thẳng AB SM b) Tính khoảng cách hai đường thẳng BC SM Hướng giải : Nhận thấy điểm A hình chiếu vuông góc S (ABC) nên ta hướng tới việc α tìm mặt phẳng ( ) chứa SM song song với AB, khoảng cách A SM khoảng cách từ A đến ( α ) Tương tự ta tính khoảng cách BC SM cách tìm mặt phẳng chứa SM song song với BC Lời giải : a) Trong mặt phẳng (ABC), dựng hình chữ nhật AIMD, với I trung điểm AB  AB / / DM   MD ⊥ AD ⇒ AB / / ( SDM ) DM ⊂ ( SDM ) Ta có   MD ⊥ SA ⇒ MD ⊥ ( SAD ) Mặt khác  ( ) ( ( )) Do đó⊂ ( SDM MD ) ⇒ ( SAD ) ⊥ ( SDM ) d AB, SM = d A, SDM Mà d ( BC , SM ) = d ( B, ( SIM ) ) MD ⊂ ( SDM ) ⇒ ( SAD ) ⊥ ( SDM ) theo giao tuyến SD Trong tam giác SAD kẻ đường cao AH AH ⊥ ( SDM ) ⇒ d ( A, ( SDM ) ) = AH Trong tam giác vuông SAD A ta có: AD = MI = a = + = + = Trang 25 S H D M A C I K B b) Ta có : BC//(SIM) nên d ( BC , SM ) = d ( B, ( SIM ) ) IM ⊥ ( SAB ) ⇒ IM ⊥ BK mặt phẳng (SAB), kẻ BK ⊥ SI K, ta có :  BK ⊥ SI ⇒ BK ⊥ ( SIM ) ⇒ d ( BC , SM ) = d ( B, ( SIM ) ) = BK   BK ⊥ IM 2 2 Tam giác SAI vuông A, ta có: SI = SA + AI = 4a + a = a Xét hai tam giác đồng dạng SAI BKI, ta có : a 2a BK BI BI SA a a = ⇒ BK = = = ⇒ d ( BC , SM ) = SA SI SI a 5 Ví dụ 4: Cho hình lăng trụ đứng ABC A ' B ' C ' có đáy ABC tam giác vuông, AB = BC = a , cạnh bên AA ' = a Gọi M trung điểm cạnh BC Tính theo a khoảng cách hai đường thẳng AM B ' C Hướng giải Ta nhận thấy AM B’C không vuông góc nên ta tìm mặt phẳng chứa đường song song với đường Trang 26 B' C' A' N B M C A Lời giải Gọi N trung điểm BB’ suy B’C//MN ⇒ B’C//(AMN) Mặt phẳng (AMN) mặt phẳng chứa AM song song với B’C Suy d ( B ' C , AM ) = d ( B ' C , ( AMN ) ) = d ( B ', ( AMN ) ) Do N trung điểm BB’ nên d ( B ', ( AMN ) ) = d ( B, ( AMN ) ) Gọi H hình chiếu B (AMN) Vì BN,BA,BM đôi vuông góc nên ta có: 1 1 = + + = 2+ 2+ = 2 2 BH BA BM BN a a a a => d ( B ' C , AM ) = BH = a Nhận xét: Việc xác định mặt phẳng chứa đường song song với đường cần phải có khéo léo, quan sát tinh tế hình vẽ người làm toán Tại ta lại chọn dựng mặt phẳng chứa AM song song với B’C? Bởi tam giác BB’C điểm M trung điểm cạnh BC nên ta gọi N trung điểm BB’ MN đường trung bình suy MN//B’C ⇒ B ' C / / ( AMN ) Bài tập áp dụng Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy a Gọi E điểm đối xứng D qua trung điểm SA, M trung điểm AE, N trung điểm BC a) Chứng minh MN ⊥ BD b) Tính theo a khoảng cách hai đường thẳng MN AC ( Hướng dẫn: Gọi I trung điểm SA, chứng minh MNCI hình bình hành ⇒ MN//IC ⇒ MN / / ( SAC ) ⇒ d ( MN , AC ) = d ( N , ( SAC ) ) chứng minh NK ⊥ ( SAC ) Đáp số Gọi K trung điểm OC, d ( MN , AC ) = NK = a ) Trang 27 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vuông tâm O, cạnh a Cạnh bên SA vuông góc với đáy SA = a Hãy xác định đường vuông góc chung tính khoảng cách đường sau : a) BD SC b) AC SB Đáp số: a) d ( BD, SC ) = a 6 d ( AC , SB ) = b) a 3 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật có AB = a, AD = a , SA ⊥ ( ABCD ) , SC tạo với đáy góc 300 Gọi M trung điểm BC Tính thể tích khối chóp S.ABCD khoảng cách hai đường thẳng DM SB Đáp số: d ( DM , SB ) = a Cho hình chóp A.BCD cho hình chiếu vuông góc điểm A mặt phẳng đáy trùng với trung điểm H BC Tam giác BCD vuông D có BC = 2a, BD = a Góc (ACD) (BCD) 600 Tính thể tích khối tứ diện ABCD khoảng cách hai đường thẳng BD AC Gợi ý: Dựng hình bình hành BDCE Đáp số: d ( BD, AC ) = d ( BD, ( ACE ) ) = d ( B, ( ACE ) ) = a GIẢI PHÁP 4: PHƯƠNG PHÁP TIẾP CẬN BÀI TOÁN TÍNH KHOẢNG CÁCH TRONG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH Một số công thức tính khoảng cách: Khoảng cách hai điểm AB = ( xB − xA ) Khoảng cách từ điểm A ( x A ; y A ; z A ) , B ( xB ; y B ; z B ) + ( yB − y A ) + ( zB − z A ) M ( x0 ; y0 ; z0 ) d ( M ,( P) ) = : đến mặt phẳng ( P ) : ax + by + cz + d = ax0 + by0 + cz0 + d a + b2 + c Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Ví dụ 1: A 2;1;0 ) Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng (P): x − y + z + = điểm ( a) Tính khoảng cách từ A đến (P) Trang 28 b) Tìm trục Oy điểm M cho d ( M ,( P) ) = MA lời giải: d ( A, ( P ) ) = a) b) − 2.1 + 2.0 + + ( −2 ) + 2 = M ∈ Oy ⇒ M ( 0; y;0 ) d ( M ,( P) ) = ⇔ − y + 2.0 + + ( −2 ) + 2 = ( − 0) + (1− y) + 2y − = + ( 1− y) 2 ⇔ ( y − ) = 4 + ( − y )    2 ⇔ y − 32 y + 32 = ( y − y + )  y = −1 ⇔ ⇔ y + 14 y + 13 =  y = −13 Vậy ta có hai điểm M thỏa mãn điều kiện Ví dụ 2: Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng d1 : M ( 0; −1;0 ) , M ( 0; −13;0 ) ( P ) : x − y + z + = , đường thẳng x−3 y +4 z −2 x−3 y −6 z = = , d2 : = = −3 −5 Tìm M N thuộc d1 , d cho MN//(P) d(MN,(P))=2 Phân tích: - Khi MN//(P) d ( MN , ( P ) ) = d ( M , ( P ) ) ⇒ d ( M , ( P ) ) = , ta tìm tọa độ điểm M Vậy ta cần tìm mối ràng buộc tọa độ điểm M tọa độ điểm N Hướng giải quyết: - Chuyển d1 , d dạng tham số; suy tọa độ điểm M,N biểu thị theo tham số Trang 29 - Nhận thấy - Dựa vào MN / / ( P ) uuuu r uur uur MN n = n P nên mối ràng buộc ( P vtpt (P)) d ( M ,( P) ) = để suy tọa độ điểm M, từ suy N Lời giải: Ta có  x = + 2t  x = + 6u   d1 :  y = −4 − 3t , d :  y = + 4u ⇒ M ( + 2t ; −4 − 3t; + 2t ) , N ( + 6u;6 + 4u, −5u )  z = + 2t  z = −5u   uuuu r MN = ( 6u − 2t ;10 + 4u + 3t ; −2 − 5u − 2t ) uur uuuu r uur nP = ( 1; −2; ) , MN nP = ⇒ t + u + = d ( MN , ( P ) ) 12t + 18 = ⇒ t = −1, t = −2 = d ( M ,( P) ) = t = −1 ⇒ u = −1 ⇒ M ( 1; −2;0 ) , N ( −3; 2;5 ) t = −2 ⇒ u = ⇒ M ( −1; 2; −2 ) , N ( 3;6;0 ) Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng - Để tính khoảng cách từ điểm tới đường thẳng ta tìm hình chiếu đường thẳng sau dùng công thức tính khoảng cách hai điểm để tính khoảng cách Để tìm tọa độ hình chiếu điểm A đường thẳng ∆ ta làm sau: — Chuyển đường thẳng dạng tham số — Gọi A ' hình chiếu A ∆ Khi ta có tọa độ điểm A ' biểu thị theo tham số đường thẳng uuuur — Để tìm tọa độ A ' ta nhận thấy vectơ AA ' vuông góc với vectơ phương uu r uuuur uu r uuuur u∆ đường thẳng AA ' nên ta có: AA '.u∆ = , suy tham số tìm — tọa độ A ' — Khi d ( A, ∆ ) = AA ' Ví dụ 1: Trong không gian Oxyz cho đường thẳng x = 1+ t  ∆ :  y = −2 − 2t z = t  điểm A ( −2;3;1) a) Tìm tọa độ hình chiếu điểm A đường thẳng ∆ Trang 30 b) Tính khoảng cách từ A đến đường thẳng ∆ Lời giải : a) Gọi hình chiếu điểm A đường thẳng ∆ A ' + t ; −2 − 2t ; t ) A ' Suy ( ta có uuur AA ' = ( t + 3; −2t − 5; t − 1) đường thẳng ∆ A' A , vectơ phương u uu r u∆ = ( 1; −2;1) uuur uur uuur uur AA ' ⊥ u ∆ nên AA '.u∆ = ta nhận thấy b) Khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng ∆ khoảng cách hai điểm A A ' Vậy ta có: uuur AA ' = ( 1; −1; −3) d ( A, ∆ ) = AA ' = 12 + ( −1) + ( −3) = 11 Ví dụ 2: Tính khoảng cách từ điểm M ( 2; −1; −3) x −1 y + z = = −1 đến đường thẳng ∆ : Lời giải Đường thẳng ∆ có phương trình tham số là: x = 1+ t   y = −2 − t  z = 2t  H + t ; −2 − t ; 2t ) Gọi điểm H hình chiếu điểm M đường thẳng ∆ Khi ( suy uuuur MH = ( t − 1; −t − 1; 2t + 3) Vectơ phương đường thẳng ∆ : uu r u∆ = ( 1; −1; ) uuuur uur uuuur uu r t − + ( −t − 1) ( −1) + ( 2t + 3) = ⇔ t = −1 ⇒ H ( 0; −1; −2 ) MH ⊥ u ⇒ MH u ∆ ∆ =0 ⇒ Vì Vậy d ( M , ∆ ) = MH = Khoảng cách hai đường thẳng chéo : Để tính khoảng cách hai đường thẳng chéo d1 d2 ta có hai cách sau : Cách : —Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d1 song song với d2 , (P) có vectơ pháp tuyến tích có hướng hai vectơ phương d1 d2 —Sau lấy điểm M nằm d2 tính khoảng cách từ M đến (P) d ( d1 , d ) = d ( M , ( P ) ) Trang 31 Cách : Gọi M N hai điểm thuộc hai đường thẳng d1 d2, ta có tọa độ điểm M N theo tham số hai đường Ta tìm độ dài đường vuông góc chung MN cách tìm tọa độ điểm M N thông qua việc giải hệ phương trình uuuu r ur  MN u1 = rr  uuuu  MN u = ur uu r u , u (trong vectơ phương d1 d2) Ví dụ : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng:  x = 2t  y = t z = d1:  d2: x = − t '  y = t ' z =  a) Chứng minh d1 d2 chéo b) Tính khoảng cách hai đường d1 d2 Hướng giải Trong đề yêu cầu tính khoảng cách không cần thiết phải tính tọa độ hai đầu mút đoạn vuông góc chung nên ta dùng cách thứ để giải Lời giải uur ur a) Ta có d1 có vtcp u1 = ( 2;1;0 ) , d2 có vtcp u2 = ( −1;1;0 ) ur uu r u1 u2 không phương Hệ phương trình  2t = − t '  t = t ' 4 =  vô nghiệm nên d1 d2 chéo b) rGọiur(P)ulà mặt phẳng chứa d1 song song d2 (P) có vectơ pháp tuyến u r n = u1 ∧ u2 = ( 0;0;3) (P) chứa d1 nên (P) qua điểm A(0;0;4) Vậy mặt phẳng (P) có phương trình tổng quát là: lấy H(2;1;0) ∈ d Khi ( z − 4) = ⇔ z − = d ( d1 , d ) = d ( H , ( P ) ) = Ví dụ : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng chéo nhau: Trang 32  x = 2t  y = t z = d1 :  d2: x = − t '  y = t ' z =  Tìm tọa độ trung điểm đoạn vuông góc chung hai đường thẳng d1 d2 Hướng giải Để tìm tọa độ trung điểm đoạn vuông góc chung ta phải tìm tọa độ hai điểm mút phải dùng cách thứ hai để giải toán Lời giải Gọi M ( 2t ; t ; ) ∈ d1 , N ( − t '; t ';0 ) ∈ d Ta có uuuu r MN = ( − t '− 2t ; t '− t ; −4 ) uuuu r ur  MN u1 = r uu r  uuuu MN u  =0 MN đoạn vuông góc chung  ( − t '− 2t ) + ( t '− t ) = t '+ 5t = ⇔ t = ⇒ M ( 2;1; )   ⇔ − t '− 2t ) ( −1) + ( t '− t ) = ( t ' + t =  t ' = ⇒ N ( 2;1;0 )   Ta có Gọi I trung điểm đoạn vuông góc chung I ( 2;1; ) Ví dụ 3: Trong KG Oxyz cho hai đường thẳng chéo  x = −1 + 4t  ∆1 :  y = − t z = + t   x = − 2t '  ∆ :  y = + 2t ' z = t '  Hãy viết phương trình mặt cầu có đường kính đoạn vuông góc chung hai đường thẳng cho Hướng giải quyết: Ở ta phải tìm đoạn vuông góc chung hai đường thẳng ∆1 ∆ , tâm mặt cầu trung điểm đoạn vuông góc chung Trong ta phải dùng cách thứ hai để giải toán bắt buộc ta phải tìm tọa độ hai điểm mút đoạn vuông góc chung ta tìm tọa độ tâm mặt cầu Lời giải Gọi M,N hai điểm hai đường thẳng ∆1 ∆ ta có Trang 33 M ( −1 + 4t ;1 − t ; + t ) , N ( − 2t ';1 + 2t '; t ' ) uuuu r ⇒ MN = ( − 4t − 2t '; t + 2t '; t '− t − ) uuuu r ur  MN u1 = r uu r  uuuu MN u2 = ∆ , ∆   MN đoạn vuông góc chung khi: ur uu r u1 = ( 4; −1;1) , u2 = ( −2; 2;1) ( ) ( − 4t − 2t ' ) + ( t + 2t ' ) ( −1) + ( t '− t − ) =  ( − 4t − 2t ') ( −2 ) + ( t + 2t ') + ( t '− t − ) = Ta có  M  M ( −1;1; ) t = 6t + 3t ' =   ⇔ ⇒ ⇒   −1  N ; ; 3t + 3t ' = t ' =   3 ÷   I N  −2  I ; ; ÷ Gọi I trung điểm MN,  3  Bài tập áp dụng: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(1; –2; 3) đường thẳng d có phương x +1 y − z + = = −1 Tính khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng d Viết phương trình trình mặt cầu tâm A, tiếp xúc với d 2 Đáp số: R= d(A, (d)) = Phương trình mặt cầu ( x –1) + ( y + 2) + ( z –3) = 50 PT mặt cầu tâm A (1; –2; 3), bán kính R = : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x − y − 2z − = đường x y +1 z − = = Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I thuộc d, I cách (P) thẳng d: −1 khoảng (P) cắt (S) theo đường tròn (C) có bán kính 2  1    13   x + ÷ +  y + ÷ +  z − ÷ = 13 6  3  6 Đáp số: (S):  Trang 34 2  11   14   1  x − ÷ +  y + ÷ +  z − ÷ = 13 6  3  6 (S):  Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d: x+5 y−7 z = = −2 điểm M(4;1;6) Đường thẳng d cắt mặt cầu (S), có tâm M, hai điểm A, B cho AB = Viết phương trình mặt cầu (S) Hướng dẫn: Gọi H chân đường vuông góc vẽ từ M đến đường thẳng d ⇒ MH = d ( M , d ) =  AB  R = MH +  ÷ = 18   Bán kính mặt cầu (S): 2 2 ⇒ PT mặt cầu (S): ( x − 4) + ( y − 1) + ( z − 6) = 18 Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng  x = 2t  d1 :  y = −2 + t  z = −1 + t   x = 3t '  d :  y = − 2t ' z = − t '  a) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d2 song song với d1 b) Tính khoảng cách d1 d2 Đáp số: (P): x + y − z + = , Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng ∆2 : ∆1 : d ( d1 , d ) = x − y −1 z = = 2 −1 x+3 y +5 z −7 = = −2 Tính khoảng cách hai đường ∆1 ∆ Đáp số: Trong không gian Oxyz cho đường thẳng d ( ∆1 , ∆ ) =  x = 2t  ∆1 :  y = −5 − 3t  z = + 2t  x = 1− t '  ∆2 :  y =  z = − 2t '  Trang 35 a) Chứng minh ∆1 ∆ chéo b) Viết phương trình mặt cầu đường kính đoạn vuông góc chung hai đường 2 2 15     15     x+ ÷ + y− ÷ +z+ ÷ =  ÷ 7    14    Đáp số:  IV HIỆU QUẢ CỦA ĐỀ TÀI Năm học 2010-2011 dạy lớp 12, gặp toán tính khoảng cách em đa số thường bỏ có em có học lực giỏi số em tìm cách giải ý Số học sinh lại bỏ hẳn có số em có học lực Nguyên nhân em chưa nắm phương pháp giải, nắm cách hời hợt đặc biệt em gặp vấn đề khâu tiếp cận toán, em thường xuất phát từ chỗ Năm học 2013-2014 dạy lại lớp 12 định triển khai chuyên đề “ PHƯƠNG PHÁP TIẾP CẬN CÁC BÀI TOÁN TÍNH KHOẢNG CÁCH TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN LỚP 12” cho học sinh Bước đầu thấy số kết đáng mừng Đa số em tự hệ thống lại cho kiến thức phương pháp tính khoảng cách hình học không gian Số học sinh bỏ ý đi, em hào hứng việc tính khoảng cách, biết tìm tòi, tìm điểm xuất phát toán Kết thu được so sánh hai bảng sau: Số lượng Tỉ lệ ( %) Kết năm học 2010-2011 (Lớp 12A2, 12A3 Tổng số học sinh: 82 học sinh) Bỏ câu Có suy nghĩ Tìm hướng tính không giải khoảng tìm hướng sai phần tính cách giải toán 50 18 61 22 Số lượng Tỉ lệ ( %) Kết năm học 2013-2014 (Lớp 12C6, 12C7 Tổng số học sinh: 76 học sinh) Bỏ câu Có suy nghĩ Tìm hướng tính không giải khoảng tìm hướng sai phần tính cách giải toán 20 17 10 26 22 13 Giải hoàn chỉnh 11 Giải hoàn chỉnh 29 39 V ĐỀ XUẤT, KHUYẾN NGHỊ KHẢ NĂNG ÁP DỤNG Quá trình áp dụng hiệu Trang 36 Qua trình triển khai chuyên đề, không thay đổi hết cách tiếp cận em dạng toán khả tiếp thu em khác phần khó đa số học sinh nhận thấy tiến triển tích cực: số học sinh có ý định bỏ phần tính khoảng cách giảm hẳn, em biết tìm tòi để giải toán, đáng mừng số học sinh giải trọn vẹn ý tăng lên rõ rệt Bài học kinh nghiệm Sau học sinh học xong chuyên đề, đa số học sinh không “sợ” phần tính khoảng cách Phần lớn em tự hệ thống cho phương pháp tính khoảng cách dạng tập, em biết phác thảo bước việc giải toán Đối với số học sinh giỏi hướng dẫn em tự đặt thêm vấn đề thay đổi câu hỏi để áp dụng cách giải có giải tương tự Kiến nghị-kết luận Việc tiếp cận toán phần khó việc giải vấn đề, phần tính khoảng cách, chuyên đề mang lại cho học sinh nhìn đơn giản đối hình học không gian đặc biệt việc tính khoảng cách, giúp em nắm kiến thức bản, tự tin tìm tòi, sáng tạo Chuyên đề giúp em tự tóm tắt bước làm việc giải toán, tạo cho học sinh thói quen xây dựng ý tưởng giải sau vào chi tiết Tôi hi vọng đề tài giúp ích cho em kì thi trung học phổ thông quốc gia tới Trong trình dạy cố gắng tìm hiểu sâu thêm khó khăn em đồng thời cố gắng tìm cách để khắc phục khó khăn Quá trình soạn đề tài tránh khỏi thiếu sót Rất mong nhận góp ý chân thành thầy cô giáo đồng nghiệp hội đồng chuyên môn nhà trường để đề tài hoàn thiện VI TÀI LIỆU THAM KHẢO Sách giáo khoa hình học lớp 11, lớp 12 nhà XBGD Bài tập hình học lớp 11, lớp 12 nhà XBGD Đề thi tuyển sinh năm 2013 Báo toán học tuổi trẻ số 436 web: vnmath.com Người viết SKKN TẠ HỮU DŨNG Trang 37