Quy về hình chiếu vuông góc của một điểm lên một mặt phẳng để giải bài toán tính khoảng cách trong hình học không gian lớp 11

1 MỞ ĐẦU 1.1 Lý chọn đề tài Toán học môn quan trọng chương trình phổ thông Việc giảng dạy học tập môn Toán trang bị cho học sinh kiến thức, rèn luyện cho học sinh kỹ phương pháp tư toán học cụ thể Mà áp dụng kiến thức sống môn khoa học khác điều quan trọng Trong chương trình toán THPT, sách giáo khoa Hình học 11 toán tính khoảng cách đối tượng hình học không gian đưa đơn giản, học sinh chưa tiếp cận với cách tính cụ thể dẫn đến phần lớn học sinh học phần hình học không gian lớp 11 đặc biệt toán khoảng cách em gặp nhiều vướng mắc Với suy nghĩ làm để học sinh tự tìm tháo gở vướng mắc học hình học không gian lớp 11, hiểu rõ chất, thực thành thạo kỹ tính khoảng cách có hứng thú với môn học Từ đó, em tự học, tự tìm tòi khám phá điều hay, môn Toán Và từ kinh nghiệm giảng dạy mình, để giúp học sinh nâng cao lực tư có thêm kiến thức để tự tin việc giải toán khó Đồng thời giúp cho quý Thầy, Cô bạn đồng nghiệp dạy Toán có thêm tài liệu tham khảo trình giảng dạy môn Vì vậy, chọn đề tài: '' Kỹ thuật quy hình chiếu vuông góc điểm lên mặt phẳng để giải toán tính khoảng cách hình học không gian lớp 11'' 1.2 Mục đích nghiên cứu + Giúp em học sinh lớp 11 rèn luyện kĩ giải toán tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng hình học không gian lớp 11 cách quy điểm hình chiếu vuông góc điểm lên mặt phẳng em biết lựa chọn phương pháp tối ưu để giải toán tính khoảng cách, đặc biệt khoảng cách hai đường thẳng chéo dạng câu hỏi tự luận dạng câu hỏi trắc nghiệm Từ giúp em phát triển, nâng cao lực tư tạo hứng thú giải toán khó + Chia sẻ kinh nghiệm dạy học với quý Thầy, Cô bạn đồng nghiệp 1.3 Đối tượng nghiên cứu Bài toán tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng toán tính khoảng cách Tìm phương pháp, kỹ thuật quy điểm hình chiếu vuông góc điểm lên mặt phẳng để tính khoảng cách hình học không gian lớp 11 Phân biệt lựa chọn phương pháp tối ưu để tính khoảng cách hai đường thẳng chéo không gian áp dụng vào câu hỏi trắc nghiệm cách linh hoạt Phạm vi áp dụng: Đề tài áp dụng rộng rãi cho em học sinh lớp 11, 12 ôn thi THPT Quốc Gia , em học sinh giỏi tất Thầy, Cô giáo giảng dạy môn Toán trường trung học phổ thông tham khảo 1.4 Phương pháp nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu đề tài xây dựng sở lý thuyết môn toán, thực tiễn giảng dạy đối tượng học sinh áp dụng: + Tìm hiểu thực trạng đổi phương pháp dạy học môn Toán, đặc biệt phương pháp truyền đạt nội dung kiến thức môn hình học không gian lớp 11 + Tìm hiểu thực trạng học tập môn hình học không gian trường Trung học phổ thông + Tìm hiểu kĩ sử dụng thiết bị, sơ đồ tư học tập hình học không gian lớp 11 + Tổ chức thực đề tài vào thực tế dạy học trường THPT Như Thanh + Tiến hành so sánh, đối chiếu đánh giá hiệu đề tài áp dụng cho lớp học sinh giảng dạy Nghiên cứu tài liệu 2 NỘI DUNG 2.1 Cơ sở lý luận Hiện nay, giáo dục nước ta đổi áp dụng phương pháp giáo dục đại, nhằm phát huy lực tự học, lực tư sáng tạo, lực giải vấn đề người học Việc đổi phương pháp dạy học nhà trường phổ thông thực Việc đổi nhắm đến người học, người học làm trung tâm, chủ động tìm hiểu giải vấn đề Người dạy người hướng dẫn, định hướng cho người học, tạo hứng thú cho người học Hình học không gian môn học có cấu trúc chặt chẽ, nội dung phong phú, môn học đòi hỏi học sinh có tư lôgic, trí tưởng tượng không gian, tính sáng tạo cao Đặc biệt toán tính khoảng cách toán khó yêu cầu học sinh phải có vốn kiến thức tổng hợp hình không gian, hình học phẳng từ vẽ hình đến kiến thức để vận dụng vào toán cụ thể Vì vậy, giáo viên phải áp dụng nhiều phương pháp giáo dục khác dạy học phù hợp với đối tượng học sinh Trong đó, việc tổ chức hoạt động học tập để giúp em học sinh nắm bắt kiến thức hình học không gian nói chung toán tính khoảng cách nói riêng Bồi dưỡng cho em khả tự học, tự nghiên cứu, độc lập tư tạo cho em có hứng thú trước vấn đề khó hay toán khó Từ giúp em đạt kết cao trình học tập vận dụng kiến thức, kỹ học vào hoạt động thực tiễn 2.2 Thực trạng vấn đề Thực trạng học môn Toán trường THPT phận không nhỏ học sinh học toán không hiểu rõ chất, chưa chủ động tìm hiểu sâu vấn đề dẫn đến em gặp phải nhiều khó khăn trình học tập môn toán môn học khác Ở trường em học sinh học sách Hình học 11 bản, tập tương đối đơn giản thực tế tập có yêu cầu cao hơn; hình thức thi trắc nghiệm đòi hỏi học sinh phải giải nhanh toán dẫn đến học sinh không hứng thú với môn hình học không gian lại thấy lúng túng bế tắc Giáo viên hạn chế việc nâng cao hiệu sử dụng phương pháp, phương tiện, công cụ, thiết bị đồ dùng dạy học môn, phần lớn giáo viên dừng lại mức trang bị lý thuyết giao nhiệm vụ cho học sinh với vài tập cụ thể mà chưa khai thác toán nhiều dạng khác nhau, dẫn đến học sinh chưa hứng thú học tập môn hình học không gian, kết học tập học sinh hạn chế Bên cạnh có nguyên nhân em chưa xác định đắn động học tập, chưa có phương pháp học tập cho môn, phân môn hay chuyên đề mà giáo viên cung cấp cho học sinh Cũng thầy cô chưa trọng rèn luyện cho học sinh, hay phương pháp truyền đạt kiến thức chưa tốt làm giảm nhận thức học sinh Từ thực trạng trên, giáo viên dạy Toán trực tiếp giảng dạy khối lớp 11, mạnh dạn đưa giải pháp sau để em học sinh có kỹ tính khoảng cách đối tượng hình học không gian lớp 11 thành thạo vận dụng vào toán khác môn học khác 2.3 Giải pháp tổ chức thực 2.3.1 Giải pháp để giải vấn đề nêu: Bước Tổ chức cho học sinh nắm bắt kiến thức lí thuyết Bài 5: Khoảng cách (SGK Hình học 11, bản) theo phân phối chương trình dạy học Bước Tổ chức bồi dưỡng rèn luyện kĩ quy điểm hình chiếu vuông góc điểm lên mặt phẳng để tính khoảng cách đối tượng không gian Thời lượng thực thông qua thời lượng tiết dạy học tự chọn Qua rèn luyện khả tự học, phương pháp tư sáng tạo tạo hứng thú học môn hình học không gian giải toán khó cho học sinh 2.3.2 Tổ chức thực giảng dạy nội dung: Bài toán tính khoảng cách hình học không gian lớp 11 Phần I Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng, đến mặt phẳng a) Kiến thức cần nhớ ( SGK Hình học 11, bản) + d(M, a) = MH H hình chiếu M a (Hình 1) + d(M, (P)) = MH H hình chiếu M mp ( P) ( Hình 2) + Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng cắt nằm mp ( P) d vuông góc với mp ( P) + Nếu hai mặt phẳng vuông góc với đường thẳng nằm mặt phẳng vuông góc với giao tuyến vuông góc với mặt phẳng b) Bài toán 1: Tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng cách sử dụng điểm hình chiếu vuông góc điểm lên mặt phẳng Giáo viên tổ chức hoạt động cho học sinh rèn luyện kỹ tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Cho điểm M mp ( P) không chứa M , xác định khoảng cách từ M đến mp(P)? Vì khoảng cách d ( M ,( P )) = MH ( Hình 2) nên A nằm mp (Q) mà mp (Q) vuông góc với mp ( P) Vì vậy, để xác định khoảng cách ta cần làm theo bước sau: Bước Dựng mp (Q) qua M vuông góc với mp ( P) Bước Xác định giao tuyến d mp ( P) mp (Q) Bước Kẻ MH vuông góc với d H thì: MH ⊥ ( P ) ⇒ d ( M ,( P )) = MH Lưu ý: Các trường hợp đặc biệt : + Hình chóp có hình chiếu vuông góc đỉnh lên mặt đáy tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy + Hình chóp có cạnh bên tạo với mặt đáy góc hình chiếu vuông góc đỉnh lên mặt đáy tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy + Hình chóp có mặt bên tạo với mặt đáy góc hình chiếu vuông góc đỉnh lên mặt đáy tâm đường tròn nội tiếp đa giác đáy c) Áp dụng Ví dụ Cho hình chóp S ABCD có ABCD hình vuông cạnh a SA vuông góc với đáy SA = 2a Tính khoảng cách a) Từ D đến mp ( SAC ) b) Từ A đến mp ( SBC ) Hướng dẫn giải a) ( Học sinh dễ dàng tính được) Ta có: BD ⊥ AC , BD ⊥ SA ⇒ BD ⊥ ( SAC ) a 2 b) Giáo viên cần hình thành cho học sinh tìm khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng qua ba bước sau: Bước 1: Xác định BC ⊥ ( SAB) BC ⊂ ( SBC ) ⇒ ( SBC ) ⊥ ( SAB ) Bước 2: SB = ( SBC ) ∩ ( SAB ) Bước 3:Trong ( SAB ) kẻ ⇒ AH ⊥ SB H AH ⊥ ( SBC ) , suy d ( A,( SBC )) = AH 1 1 2a 2a = + = + = ⇒AH = ⇒d ( A,( SBC )) = 2 AH AB AS a 4a 4a 5 ⇒ d ( D,( SAC )) = DO = Ví dụ Cho hình chóp S ABC có cạnh a , G trọng tâm tam giác ABC Tính khoảng cách a) Từ S đến mp ( ABC ) b) Từ G đến mp ( SBC ) Hướng dẫn giải a) ( Học sinh áp dụng trường hợp đặc biệt) S ABC hình chóp nên trọng tâm G tam giác ABC tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Ta có: SG ⊥ ( ABC ) ⇒ d (G ,( ABC )) = SG mà AG = AM = a = a 3 3 ⇒ SG = SA2 − AG = a ⇒ d (G ,( ABC )) = a b) Giáo viên tiếp tục rèn luyện cho học sinh tìm khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng qua ba bước sau: Ta có: M trung điểm BC BC ⊥ AM , BC ⊥ SM ⇒ BC ⊥ ( SAM ) ( SBC ) ⊥ ( SAM ) , hay ( SBC ) ∩ ( SAM ) = SM Kẻ GH ⊥ SM H , suy ra: GH ⊥ ( SBC ) ⇒ d (G,( SBC )) = GH 1 12 27 = + = + = GH GM GS a 2a 2a ⇒ GH = a Vậy d (G ,( SBC )) = a 9 Nhận xét 1: Trong Ví dụ thay yêu cầu tính khoảng cách từ điểm G đến mp(SBC) tính khoảng cách từ trung điểm N AB đến mp(SBC) việc tìm mp(Q) qua N vuông góc với (SBC) khó học sinh làm quen với toán tính khoảng cách Vì vậy, giáo viên gợi mở cho học sinh tính khoảng cách cách quy tính khoảng cách từ G đến (SBC), ( G hình chiếu vuông góc điểm S lên (ABC)) sử dụng kết sau: * Nếu M , N không thuộc mp( P) mà MI = k thì: MN cắt mp(P) I NI d (M ,( P )) = k d ( N ,( P )) Thậtvậy, MH MI = = k ⇒ MH = k MH ' NH ' NI ⇒ d ( M ,( P )) = k d ( N ,( P )) ( Hình 3) Ví dụ c) Tính khoảng cách từ N ( trung điểm AB ) đến ( SBC )? Giải: Ta có: NC 3 a = ⇒ d ( N ,( SBC )) = d (G,( SBC )) = GC 2 (theo câu b) Ví dụ 2) Ví dụ 3.( Trích đề thi tuyển sinh- Khối A – 2014, môn Toán) Cho hình chóp 3a S ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a, SD = , hình chiếu vuông góc S lên mặt phẳng ( ABCD ) trung điểm AB Tính khoảng cách từ điểm A đến mp ( SBD) Phân tích toán: để tính khoảng cách từ điểm A đến ( SBD) ta cần dựng hình chiếu vuông góc A lên ( SBD) , nhiên việc làm khó khăn ta dùng cách khác để tính d ( A,( SBD)) Nếu theo Nhận xét ta quy tính khoảng cách khác Vậy, ta quy d ( A,( SBD)) tính khoảng cách từ điểm đến ( SBD) ? Điểm có đặc biệt? Áp dụng Bài toán + Học sinh lập luận đưa lời giải: Bước 1: Quy d ( A,( SBD)) d ( H ,( SBD)) Bước 2: Tính d ( H ,( SBD)) với H hình chiếu vuông góc S lên (ABCD) Giải Gọi H trung điểm AB , nên SH ⊥ ( ABCD ) Ta có: AB = ⇒ d ( A,( SBD)) = 2.d ( H ,( SBD)) AH Kẻ HM ⊥ BD M BD ⊥ ( SMH ) hay ( SBD) ⊥ ( SMH ) , ( SBD) ∩ ( SMH ) = SM Trong ( SMH ) kẻ HK ⊥ SM K , suy ra: d ( H ,( SBD)) = HK Ta có: a a HD = , SH = SD2 − HD = a, HM = Tam giác SHM vuông H , HK đường cao nên: 1 1 a = + = + = ⇒ HK = HK HM HS a a a 2a Nhận xét 2: Trong ví dụ việc tích khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng ( P ) phải dựng hình chiếu vuông góc A lên ( P ) Bài toán dễ dàng giải ta quy khoảng cách khoảng cách từ điểm M đến ( P ), mà M hình chiếu vuông góc điểm N ( P ) lên ( Q ) ( Q ) phải cắt ( P ) Khi việc tính khoảng cách từ A đến ( P ) sau: Vậy d ( A,( SBD)) = 2.d ( H ,( SBD)) = +Bước 1: Sử dụng Nhận xét quy d ( A,( P)) d ( M ,( P )) +Bước 2: Tính d ( M ,( P)) - Kẻ MI vuông góc với giao tuyến d ( P ) ( Q ) I - Kẻ MH ⊥ NI H MH ⊥ ( P) , suy ra: d ( M ,( P)) = MH Ví dụ Cho hình lăng trụ đứng tam giác ABC A ' B ' C ' có AA ' = AB = 2a , G trọng tâm tam giác ABB ' Tính khoảng cách từ điểm G đến mp ( AB ' C ') Giải GO = Gọi O tâm ABB ' A ' , ta có: A 'O => d (G,( AB ' C ')) = d ( A ',( AB ' C ')) Gọi M trung điểm B ' C ' , ta có: A ' M ⊥ B ' C ', B ' C ' ⊥ AA ' => B ' C ' ⊥ ( AA ' M ) hay ( AB ' C ') ⊥ ( AA ' M ) ( AB ' C ') ∩ ( AA ' M ) = AM Trong ( AA ' M ) kẻ A ' H ⊥ SM H , suy ra: A ' H ⊥ ( AB ' C ') ⇒ d ( A ',( AB ' C ')) = A ' H A' M = 1 a = + 2 A' H A' M A ' A2 19 ⇒ A ' H = 2a 57 ⇒ d ( A ',( AB ' C ')) = 2a 57 + 2= 2 3a 4a 12a 19 19 2a 57 Vậy d (G,( AB ' C ')) = d ( A ',( AB ' C ')) = 57 = Phần II Khoảng cách đường thẳng mặt phẳng song song, hai mặt phẳng song song a) Kiến thức cần nhớ ( SGK Hình học 11, bản) + d(a,(P)) = d(M,(P)) với a // (P), M điểm nằm a ( Hình 4) + d((P),(Q)) = d(M,(P)) với (P) // (Q), M điểm nằm (Q) (Hình 5) b) Bài toán 2: Khoảng cách đường thẳng mặt phẳng song song, hai mặt phẳng song song Phương pháp giải: Bước Bằng định nghĩa chuyển khoảng cách đường thẳng mặt phẳng song song, hai mặt phẳng song song khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng.( tức chuyển Bài toán Bài toán 1) Bước Giải Bài toán c) Áp dụng Ví dụ Cho hình chóp S ABCD có tất cạnh bẳng a Tính khoảng cách AB ( SCD) Giải AB / / CD ⇒ AB / /( SCD ) Ta có: nên d ( AB,( SCD)) = d ( A,( SCD )) Gọi O tâm ABCD AC SO ⊥ ( ABCD ) mà = , suy ra: OC d ( A,( SCD)) = 2.d (O,( SCD)) Gọi M trung điểm CD Ta có: CD ⊥ ( SOM ) hay ( SCD) ⊥ ( SOM ) ( SCD) ∩ ( SOM ) = SM Trong ( SOM ) kẻ OH ⊥ SM H OH ⊥ ( SCD ) nên d (O,( SCD)) = OH 1 4 a a a Ta có: SH = = 2+ = + ⇒ OH = , OM = , 2 2 OH OS OM 3a a a a Vậy d ( AB,( SCD)) = 2.d (O,( SCD)) =2 = Ví dụ Cho hình lập phương ABCD A ' B ' C ' D ' có cạnh bẳng a Gọi M , N , P trung điểm AB, C ' D ' B ' C ' Tính khoảng cách: a) Giữa BC ' ( AB ' D ') b) Giữa ( MNP ) ( AB ' D ') Giải BC '/ / AD ' ⇒ BC '/ /( AB ' D ') a) Ta có , suy ra: d ( BC ', ( AB ' D ')) = d (C ', ( AB ' D ')) Gọi O tâm A ' B ' C ' D ' , OA ' = AC ' nên d (C ', ( AB ' D ')) = d ( A ', ( AB ' D ')) Ta có: B ' D ' ⊥ (OAA ') hay ( AB ' D ') ⊥ (OAA ') mà ( AB ' D ') ∩ (OAA ') = AO Kẻ A ' H ⊥ OA H A ' H ⊥ ( AB ' D ') suy d ( A ', ( AB ' D ')) = A ' H 1 1 a a Vậy d ( BC ', ( AB ' D ')) = = + = + => A ' H = 2 3 A' H A ' A A 'O a a b) Ta có: MN / / AD ', NP / / B ' D ' ⇒ ( MNP) / /( AB 'D ') nên d (( MNP), ( AB ' D ')) = d ( N , ( AB ' D ')) Gọi I giao A ' N B ' D ' I trọng tâm tam giác A ' C ' D ' , suy ra: đó: NI = , A' I a d ( N , ( AB ' D ')) = d ( A ', ( AB ' D ')) = (theo câu a)) a Vậy d (( MNP), ( AB ' D ')) = Nhận xét 3: Trong Ví dụ 5, Ví dụ việc tính khoảng cách đối tượng dùng kỹ thuật quy khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng điểm phải hình chiếu vuông góc điểm lên mặt phẳng Đây kỹ thuật cần thiết quan trọng mà học sinh cân có tính khoảng cách Phần III Khoảng cách hai đường thẳng chéo a) Kiến thức cần nhớ ( SGK Hình học 11, bản) a) Đường thẳng d cắt a, b vuông góc với a, b gọi đường vuông góc chung a, b b) Nếu d đường thẳng vuông góc cắt a, b M , N MN gọi đoạn vuông góc chung a, b c) Độ dài đoạn vuông góc chung MN a, b gọi khoảng cách a, b + d (a, b) = MN MN đoạn vuông 10 góc chung a b ( Hình 6) b) Bài toán 3: Khoảng cách hai đường thẳng chéo Trong không gian cho hai đường thẳng chéo a b, xác định khoảng cách hai đường thẳng a b Ta biết khoảng cách a b độ dài đoạn vuông góc chung a b Ngoại trừ trường hợp đoạn vuông góc chung có sẵn, ta thường dựng đoạn vuông góc chung a b sau: Cách (Áp dụng hai đường thẳng a, b vuông góc): Bước Dựng mp( P) chứa b, vuông góc với a A ( Hình 7) Bước Kẻ AB vuông góc với b B Đoạn AB đoạn vuông góc chung a b Cách 2: Bước Dựng mp( P ) chứa b song song với a, Bước 2.Dựng mp( Q ) chứa a ( Q ) ⊥ ( P ), ( Q ) cắt b B Bước Từ B dựng d ⊥ ( P) cắt a A Đoạn AB đoạn vuông góc chung a b (Hình 8) Cách 3: Bước Dựng ( P) ⊥ a O dựng hình chiếu vuông góc b' b lên ( P ) Bước Dựng hình chiếu vuông góc H O lên b' Bước Qua H dựng d // a d cắt b B, kẻ BA ⊥ a A Đoạn AB đoạn vuông góc chung a b (Hình 9) c) Áp dụng Ví dụ Cho hình tứ diện S ABC có SA, SB, SC đôi vuông góc SA = SB = SC = a Gọi I trung điểm BC Xác định tính khoảng cách: a) Giữa SA BC b) Giữa AI SC Hướng dẫn giải 11 a)( Học sinh dễ dàng giải được) Ta có: SA ⊥ ( SBC ) nên SA ⊥ BC , SI ⊥ SA mà tam giác SBC cân S Suy SI đoạn vuông góc chung SA BC Ta có: SI = BC a = 2 Bình luận: Ở câu a) SA ⊥ BC nên việc dựng đoạn vuông góc chung dễ dàng Nhưng câu b) việc dựng đoạn vuông góc chung khó hơn, ta dựng theo cách nào? Nếu quan sát thật kỹ có ( SAB) ⊥ SC nên ta dùng cách để dựng đoạn vuông góc chung AI SC sau: b) Hướng dẫn giải Ta có: ( SAB) ⊥ SC Bước Ta dựng hình chiếu vuông góc AI lên ( SAB) : Qua I kẻ IK / / SC cắt SB trung điểm K , suy IK ⊥ ( SAB) , nên AK hình chiếu vuông góc AI lên ( SAB) Bước Kẻ SH ⊥ AK H Bước Hoàn thành dựng đoạn vuông góc chung AI SC : Kẻ HN / / SC ( N ∈ AI ) kẻ MN / / SH ( M ∈ SC ) Khi MN đoạn vuông góc chung AI SC MN = SH Ta có: 1 1 a a Vậy d ( AI , SC ) = MN = = + = + => SH = 5 SH SA SK a a Ví dụ Cho hình chóp S ABCD có ABCD hình vuông cạnh a, SA vuông góc với ( ABCD) SA = a Tính khoảng cách SD AC Hướng dẫn giải Ta dựng đoạn vuông góc chung AC SD theo cách sau: Dựng đường thẳng Dt / / AC , dựng AI ⊥ Dt I , suy Dt ⊥ ( SAI ) , kẻ AE ⊥ SI E , kẻ EM / / AC ( M ∈ SD ) kẻ MN / / AE ( N ∈ AC ) Khi MN đoạn vuông góc chung SD AC MN = AE Ta có AIDO hình vuông nên AI = OD = BD a , tam giác SIA vuông A = 2 12 AE đường cao nên 1 1 a = + = + => AE = AE SA2 AI a a a Vậy d ( AC , SD) = Nhận xét 4: + Ở Ví dụ 7a) việc dựng đoạn vuông góc chung hai đường thẳng chéo đơn giản nên học sinh áp dụng làm nhanh + Còn Ví dụ 7b), Ví dụ việc dựng đoạn vuông góc chung hai đường thẳng chéo gặp khó khăn Nếu học sinh không nắm cách dựng cho trường hợp cụ thể, không nắm rõ chất dẫn đến học sinh không hứng thú đến toán Khi học sinh cần biết cách chuyển khoảng cách hai đường thẳng chéo qua khoảng cách quen thuộc nhờ hai kết sau ta chuyển toán qua Bài toán Kết 1: ( SGK Hình học 11, bản) Khoảng cách hai đường thẳng chéo a b khoảng cách hai đường thẳng đến mặt phẳng song song với chứa đường thẳng lại.( Hình 10) Kết 2: ( SGK Hình học 11, bản) Khoảng cách hai đường thẳng chéo khoảng cách hai mặt phẳng song song chứa hai đường thẳng đó.( Hình 11) * Đến giáo viên cần cho học sinh xác định rõ bước (hay kỹ thuật) chuyển Bài toán Bài toán sau: Bước 1: Dựng mp( P ) chứa đường thẳng b ( P ) // a ( Hình 10, Hình 11) Bước 2: Quy d ( a, b) = d (a, ( P )) 13 Bước 3: Quy d ( a,( P )) = d ( M ,( P)) , M điểm thuộc đường thẳng a.(Bài toán 1) Ví dụ Cách giải 2: Dựng đường thẳng Dt / / AC ( Dt , S ) / / AC nên: d ( AC , SD) = d ( AC , (S , Dt )) = d ( A,( S , Dt )) Kẻ AI ⊥ Dt I , suy Dt ⊥ ( SAI ) hay ( SDI ) ⊥ ( SAI ), ( SDI ) ∩ ( SAI ) = SI Kẻ AE ⊥ SI E AE ⊥ ( S , Dt ) suy ra: d ( A,( S , Dt )) = AE a Ta có AIDO hình vuông nên AI = OD = SAI vuông A AE đường cao nên Tam giác 1 1 a d ( AC , SD) = a Vậy = + = + => A E = 3 AE SA2 AI a a Ví dụ câu b) Cách giải 2: Kẻ IK / / SC ( K ∈ SD ) SC / /( AIK ) nên: d ( SC , AI ) = d ( SC ,( AIK )) = d ( S ,( AIK )) Ta có ( AIK ) ⊥ ( SAB), ( AIK ) ∩ ( SAB) = AK Kẻ SH ⊥ AK SH ⊥ ( AIK ) ⇒ d ( S ,( AIK )) = SH Tam giác SAK vuông S SH chiều cao nên: 1 1 a = + = + => SH = SH SA SK a a a Vậy d ( SC , AI ) = MN = S ABCD có ABCD hình chữ nhật Ví dụ Cho hình chóp AD = AB = 2a , SA ⊥ ( ABCD) SA = a Gọi M , N trung điểm AD BC Tính khoảng cách BM SN Giải Ta có BM / / DN BM / /( SDN ) nên d ( BM , SN ) = d ( BM ,( SND)) MD 1 = d ( M ,( SND )) , mà = suy ra: d ( M ,( SND)) = d ( A,( SND )) AD 2 ND ⊥ AN , ND ⊥ SA ⇒ ND ⊥ ( SAN ) Ta có hay ( SND) ⊥ ( SAN ), SN = ( SND) ∩ ( SAN ) Kẻ AH ⊥ SN H d ( A,( SND )) = AH 14 Tam giác SAN vuông A, AH chiều cao ta có: 1 1 a = + = + => AH = AH AS AN a 2a a a Vậy d ( BM , SN ) = = Nhận xét 5: Qua cách giải hai Ví dụ 7, Ví dụ 8, Ví dụ phần giúp học sinh nắm ưu nhược điểm cánh giải để có lựa chọn cách giải tốt nhất, nhanh cho toán tính khoảng cách hai đường thẳng chéo + Nếu hai đường thẳng a b chéo vuông góc với cách dùng đoạn vuông góc chung để tính khoảng cách tốt + Trường hợp lại, việc tính khoảng cách hai đường thẳng a b chéo ta quy việc tính khoảng cách tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Nhất đối thi trắc nghiệm trước toán học sinh giải mà phải biết lựa chọn áp dụng cách giải nhanh Các ví dụ sau giúp học sinh rèn luyện kĩ chuyển toán tính khoảng cách đối tượng hình học không gian Bài toán rèn luyện kỹ quy điểm cần tính khoảng cách điểm hình chiếu vuông góc điểm lên mặt phẳng Ví dụ 10 Cho hình chóp S ABCD có ABCD hình thoi cạnh a, góc ·ABC = 60o , SA = AC , SB = SD góc SA mặt đáy 60o Tính khoảng cách giữa: a) AC SD b) AB SC Giải Gọi O tâm ABCD , suy SO ⊥ ( ABCD ) a) Ta có AC ⊥ ( SBD) chứa SD , từ O kẻ OH ⊥ SD H thì: d ( AC , SD) =OH · Góc SA ( ABCD ) góc SA OA SAO = 60o , a tam giác ABC , SAC , ADC tam giác đều, có AC = AB = a , SO = OD = , suy tam giác SOD vuông cân O a a a Vậy d ( AC , SD) = OH = = 2 4 15 b) Ta có AB / / CD suy AB / /( SCD ) nên d ( AB, SC ) = d ( AB, ( SCD )) = d ( A,( SCD )) AC = nên d ( A,( SCD)) = 2d (O,( SCD)) Vì OC Từ O kẻ OI ⊥ CD I CD ⊥ ( SOI ) , ( SCD) ⊥ ( SOI ),( SCD) ∩ ( SOI ) = SI kẻ OK ⊥ SI K , suy ra: OK ⊥ ( SCD ) d (O,( SCD)) = OK Tam giác OCD vuông O ta có: 1 = + Tam giác SOI vuông O ta có: 2 OI OC OD 1 1 1 4 20 a 15 = 2+ 2= + + + = => OK = 2 2 = + OK OI OS OC OS OD 10 a 3a 3a 3a a 15 Vậy d ( AB, SC ) = 10 Ví dụ 11.( Trích đề thi tuyển sinh khối A – 2012, môn Toán) Cho hình chóp S ABC có ABC tam giác có cạnh a Hình chiếu S lên mặt phẳng ( ABC ) điềm H cho AH = 2CH Góc SB mặt phẳng ( ABC ) 60o Tính khoảng cách SA BC Giải Kẻ đường thẳng At / / BC nên : BC / / mp ( S , At ) ⇒ d ( BC , SA) = d ( BC ,( S , At )) = d (C ,( S , At )) mà CA 3 = ⇒ d (C , ( S , At )) = d ( H , ( S , At )) HA 2 Kẻ HG ⊥ At G AG ⊥ ( SHG ) hay ( SAG ) ⊥ ( SHG ) ( SAG ) ∩ ( SHG ) = SG Kẻ HK ⊥ HG K HK ⊥ ( SAG ) suy ra: d ( H , ( SAG )) = HK Ta có BH = HC + BC − 2.HC.BC.cos 600 = a a · AM = , SCH = 60o 3 a 21 1 24 a 42 ⇒ SH = 3HB = = + = ⇒ HK = 2 12 HK HG HS 7a a 42 ⇒ d (C , ( S , At )) = d ( H , ( S , At )) = HG = 16 a 42 Vậy d ( BC , SA) = Ví dụ 12 ( Trích đề thi THPT QG - 2015, môn Toán) Cho hình chóp S ABCD có ABCD hình vuông cạnh a, SA ⊥ ( ABCD) , góc SC mặt đáy 45o Tính khoảng cách AC SB Giải d / / AC Kẻ đường thẳng d qua B , AC / / mp ( S , d ) ta có: , d ( AC , SB ) = d ( AC , ( S , d )) = d ( A,( S , d )) Kẻ AM ⊥ d M , AH ⊥ AM H Khi đó: BM ⊥ ( SAM ), hay ( SBM ) ⊥ ( SAM ) ( SBM ) ∩ ( SAM ) = SM Suy AH ⊥ ( S , d ) ⇒ d ( A,( S , d )) = AH · Ta có SCA = ( SC ,( ABCD )) = 45o ⇒ SA = AC = a Tam giác SAM vuông A đường cao AH nên 1 a 10 = 2+ = ⇒ d ( AC , SB) = AH = 2 AH AS AM 2a Ví dụ 13 Cho hình lăng trụ ABC A ' B ' C ' , G trọng tâm tam giác ABC , khoảng cách từ G đến ( B ' AC ) a, góc tạo hai mặt phẳng ( B ' AC ) ( ABC ) 30o Tính khoảng cách AC B ' G Giải Đường thẳng qua G cắt BA, BC M , N ta có: AC / / MN nên AC / /( B ' MN ) Khi đó: d ( AC , B ' G ) = d ( AC ,( B ' MN )) = d ( A,( B ' MN )) Ta có: AM 1 = ⇒ d ( A,( B ' MN )) = d ( B,( B ' MN )) BM 2 Ta có BG ⊥ MN ⇒ ( BGB ') ⊥ ( B ' MN ) , kẻ BH ⊥ B ' G BH ⊥ ( B ' MN ) ⇒ d ( B ,( B ' MN )) = BH Gọi D trung điểm AC , I hình chiếu vuông góc G lên ( B ' AC ) , ta · có: GI = a , BDB ' = (( B ' AC ),( ABC )) = 30o suy GD = 2a, BD = a, BG = 4a , BB ' = BD.tan 30o = 2a Tam giác BB ' G vuông B BH chiều cao nên: 17 1 2a 84 = + = ⇒ BH = 2 2 BH BG BB ' 48a 2a 84 a 84 Vậy d ( A,( B ' MN )) = = 7 Ví dụ 14 ( Trích đề thi tuyển sinh khối B - 2014, môn Toán) Cho hình lăng trụ ABC A ' B ' C ' có đáy tam giác cạnh a, hình chiếu vuông góc A ' lên ( ABC ) trung điểm AB Góc A ' C mặt đáy 60o Tính khoảng cách từ B đến ( ACC ' A ') Giải Gọi H trung điểm AB , ta có: BA = ⇒ d ( B,( ACC ' A ')) = 2d ( H ,( ACC ' A ')) HA Kẻ HM ⊥ AC M ta AC ⊥ ( A ' HM ) hay ( ACC ' A ') ⊥ ( A ' HM ) ( ACC ' A ') ∩ ( A ' HM ) = A ' M Kẻ HK ⊥ A ' M ⇒ HK ⊥ ( ACC ' A ') d ( H , ( ACC ' A ')) = HK Ta có: a 3a , CH = , A ' H = CH tan 60o = 2 a Tam giác A ' HM vuông H, HK đường cao nên MH = HC = 1 52 3a 52 = + = ⇒ HK = 52 HK HM HA '2 9a 3a 52 Vậy d ( B, ( ACC ' A ') = HK = 26 2.4 Kết đạt qua việc áp dụng SKKN *) Đối với học sinh sau tiếp thu nội dung: Bài toán tính khoảng cách hình học không gian lớp 11 + 100% học sinh đạt yêu cầu thành thạo giải toán tính khoảng cách từ điểm điến mặt phẳng ( toán bản) + Kỹ tính khoảng cách đối tượng hình học không gian nâng lên rõ rệt qua việc quy điểm hình chiếu vuông góc điểm lên mặt phẳng + Học sinh biết lựa chọn phương pháp tối ưu cho toán tính khoảng cách hai đường thẳng chéo + Nâng cao kỹ giải nhanh toán tính khoảng cách cho dạng câu hỏi trắc nghiệm 18 + Các tiết học sôi nổi, học sinh hứng thú chủ động tìm tòi giải toán tính khoảng cách toán hình học không gian khác em tự tin trước toán khó Năng lực tư đa phần học sinh cải thiện đáng kể Trong năm học 2016 – 2017, sau áp dụng SKKN vào lớp 11B trường THPT Như Thanh Tôi yêu cầu học sinh lớp làm tập sau đây: Tìm toán hình học không gian tính khoảng cách dạng câu hỏi trắc nghiệm giải chúng Kết em làm phần phụ lục *) Đối với thân đồng nghiệp qua áp dụng SKKN này: + Chất lượng giảng dạy giáo dục thân, đồng nghiệp trường THPT Như Thanh nâng lên đáng kể Kỹ vận dụng phương pháp giảng dạy giáo dục học sinh ngày hoàn thiện + Nội dung, ý tưởng SKKN đồng nghiệp đánh giá cao 19 KẾT LUẬN Sáng kiến đạt số kết sau : - Rèn luyện kỹ giải giải nhanh toán tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng (bài toán bản) - Đưa phương pháp, kỹ thuật quy toán tính khoảng cách đối tượng hình học không gian lớp 11 toán bản, đồng thời cho học sinh biết cách lựa chọn phương pháp tính khoảng cách hai đường thẳng chéo (đây toán khó) Qua đó, em học sinh nâng cao lực tư trước toán mà lâu em bế tắc Các em có kiến thức, phương pháp vững hình học không để vận dụng vào kiến thức hình học lớp 12 đặc biệt phần thể tích khối đa diện khối tròn xoay Qua giảng dạy thấy rằng: Bài toán tính khoảng cách đối tượng hình học không gian lớp 11 vấn đề mới, thực tế cho thấy có nhiều Thầy, Cô chưa quan tâm mức vần đề này, đặc biệt rõ cho học sinh chất việc tính khoảng cách phương pháp, kỹ thuật tính nhanh Vì vậy, vấn đề cho dù khó mà giáo viên quan tâm truyền thụ cho học sinh lòng say mê nhiệt tình hút em việc học tập nghiên cứu em SKKN áp dụng rộng rãi giúp em học sinh có thêm kĩ giải loại toán này, rèn luyện tư từ tự tin thi Đại học, góp thêm tài liệu cho quý Thầy, Cô bạn đồng nghiệp Rất mong quan tâm đóng góp ý kiến em học sinh, quý Thầy, Cô giáo bạn đồng nghiệp XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày tháng năm 2017 Tôi xin cam đoan SKKN viết, không chép nội dung người khác Người thực Lê Đình Ngọc 20 TÀI LIỆU THAM KHẢO [ 1] Sách giáo khoa hình học 11 Cơ - Nhà xuất giáo dục 2010 – TRẦN VĂN HẠO ( Tổng chủ biên).NGUYỄN MỘNG HY (chủ biên) [ 2] Sách tập hình học 11 Cơ - Nhà xuất giáo dục 2010 – TRẦN VĂN HẠO ( Tổng chủ biên).NGUYỄN MỘNG HY (chủ biên) [ 3] Giải toán câu hỏi trắc nghiệm Hình Học 11- Nhà xuất giáo dục 2010 – Nhóm tác giả TRẦN THÀNH MINH, PHAN LƯU BIÊN, TRẦN QUANG NGHĨA [ 4] Giải toán Hình Học 11 - Nhà xuất giáo dục 2004 – TRẦN THÀNH MINH (Chủ biên) [ 5] Đề thi Đại học khối A, B, D từ năm 2002 đến năm 2015 Bộ Giáo dục Đào tạo [ 6] Tài liệu nguồn Internet 21 DANH MỤC SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM NGÀNH GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN, TỈNH VÀ CÁC CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN Họ tên tác giả: Lê Đình Ngọc Chức vụ đơn vị công tác: giáo viên dạy môn Toán, trường THPT Như Thanh, Thanh Hoá Cấp đánh giá Kết Năm học xếp loại đánh giá TT Tên đề tài SKKN đánh giá (Ngành GD cấp xếp loại huyện/tỉnh; xếp loại (A, B, C) Tỉnh ) Sử dụng phương pháp hàm Ngành GD Tỉnh số giải toán tìm giá trị Thanh Hoá nhỏ nhất, giá trị lớn C 2013 - 2014 biểu thức chứa nhiều biến 22 ... dung: Bài toán tính khoảng cách hình học không gian lớp 11 + 100% học sinh đạt yêu cầu thành thạo giải toán tính khoảng cách từ điểm điến mặt phẳng ( toán bản) + Kỹ tính khoảng cách đối tượng hình. .. cách giải nhanh Các ví dụ sau giúp học sinh rèn luyện kĩ chuyển toán tính khoảng cách đối tượng hình học không gian Bài toán rèn luyện kỹ quy điểm cần tính khoảng cách điểm hình chiếu vuông góc điểm. .. 1: Tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng cách sử dụng điểm hình chiếu vuông góc điểm lên mặt phẳng Giáo viên tổ chức hoạt động cho học sinh rèn luyện kỹ tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng