Quy về hình chiếu vuông góc của một điểm lên một mặt phẳng để giải bài toán tính khoảng cách trong hình học không gian lớp 11

Trong chương trình toán THPT, sách giáo khoa Hình học 11 cơ bản cácbài toán tính khoảng cách giữa các đối tượng trong hình học không gian đượcđưa ra khá đơn giản, học sinh chưa được tiếp

1 MỞ ĐẦU1.1 Lý do chọn đề tài

Toán học là bộ môn quan trọng trong chương trình phổ thông Việc giảngdạy và học tập môn Toán không những trang bị cho học sinh những kiến thức,rèn luyện cho học sinh các kỹ năng và phương pháp tư duy toán học cụ thể Màcòn áp dụng những kiến thức đó trong cuộc sống cũng như trong các bộ mônkhoa học khác mới là điều quan trọng

Trong chương trình toán THPT, sách giáo khoa Hình học 11 cơ bản cácbài toán tính khoảng cách giữa các đối tượng trong hình học không gian đượcđưa ra khá đơn giản, học sinh chưa được tiếp cận với cách tính cụ thể dẫn đếnphần lớn học sinh học phần hình học không gian lớp 11 đặc biệt là bài toánkhoảng cách các em còn gặp rất nhiều vướng mắc Với suy nghĩ làm thế nào đểhọc sinh tự tìm ra và tháo gở những vướng mắc trong khi học hình học khônggian lớp 11, hiểu rõ bản chất, thực hiện thành thạo kỹ năng tính khoảng cách và

có hứng thú với môn học này Từ đó, các em có thể tự học, tự tìm tòi và khámphá những điều hay, những cái mới của môn Toán Và từ kinh nghiệm giảng dạycủa mình, để giúp học sinh nâng cao năng lực tư duy và có thêm kiến thức để tựtin hơn trong việc giải quyết các bài toán khó Đồng thời giúp cho quý Thầy, Cô

và các bạn đồng nghiệp dạy Toán có thêm một tài liệu tham khảo trong quá trìnhgiảng dạy bộ môn của mình Vì vậy, tôi chọn đề tài:

'' Kỹ thuật quy về hình chiếu vuông góc của một điểm lên một mặt phẳng để giải bài toán tính khoảng cách trong hình học không gian lớp 11''.

1.2 Mục đích nghiên cứu

+ Giúp các em học sinh lớp 11 rèn luyện kĩ năng giải bài toán tính khoảngcách từ một điểm đến một mặt phẳng trong hình học không gian lớp 11 bằngcách quy về một điểm là hình chiếu vuông góc của một điểm lên một mặt phẳng

và các em biết lựa chọn phương pháp tối ưu để giải các bài toán tính khoảngcách, đặc biệt là khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau dưới dạng câu hỏi

tự luận cũng như dưới dạng câu hỏi trắc nghiệm như hiện nay Từ đó giúp các

em phát triển, nâng cao năng lực tư duy và tạo hứng thú giải các bài toán khó.+ Chia sẻ kinh nghiệm dạy học với quý Thầy, Cô và các bạn đồng nghiệp

1.3 Đối tượng nghiên cứu

Bài toán tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng là bài toán cơbản về tính khoảng cách

Tìm phương pháp, kỹ thuật quy về điểm hình chiếu vuông góc của mộtđiểm lên một mặt phẳng để tính khoảng cách trong hình học không gian lớp 11

Phân biệt và lựa chọn phương pháp tối ưu để tính khoảng cách giữa haiđường thẳng chéo nhau trong không gian và áp dụng vào câu hỏi trắc nghiệmmột cách linh hoạt hơn

Phạm vi áp dụng: Đề tài này có thể áp dụng rộng rãi cho các em học sinhlớp 11, 12 ôn thi THPT Quốc Gia , các em học sinh giỏi và tất cả Thầy, Cô giáogiảng dạy môn Toán ở các trường trung học phổ thông tham khảo.

1.4 Phương pháp nghiên cứu

Phương pháp nghiên cứu của đề tài được xây dựng trên cơ sở lý thuyết bộmôn toán, thực tiễn giảng dạy và đối tượng học sinh được áp dụng:

+ Tìm hiểu thực trạng về đổi mới phương pháp dạy học môn Toán, đặc biệt làphương pháp truyền đạt nội dung kiến thức môn hình học không gian lớp 11

+ Tìm hiểu về thực trạng học tập môn hình học không gian ở trường Trung học

Nghiên cứu tài liệu

2 NỘI DUNG 2.1 Cơ sở lý luận

Hiện nay, nền giáo dục nước ta đang đổi mới và áp dụng những phươngpháp giáo dục hiện đại, nhằm phát huy năng lực tự học, năng lực tư duy sángtạo, và năng lực giải quyết vấn đề của người học

Việc đổi mới phương pháp dạy và học trong nhà trường phổ thông đangđược thực hiện Việc đổi mới này nhắm đến người học, người học làm trungtâm, chủ động tìm hiểu và giải quyết vấn đề Người dạy là người hướng dẫn,định hướng cho người học, tạo hứng thú cho người học

Hình học không gian là môn học có cấu trúc chặt chẽ, nội dung phong phú,

là môn học đòi hỏi học sinh có tư duy lôgic, trí tưởng tượng không gian, và tínhsáng tạo cao Đặc biệt là bài toán tính khoảng cách là bài toán khó yêu cầu họcsinh phải có vốn kiến thức tổng hợp về hình không gian, hình học phẳng từ vẽhình đến các kiến thức cơ bản để vận dụng vào bài toán cụ thể

Vì vậy, là giáo viên tôi phải áp dụng nhiều phương pháp giáo dục khácnhau trong dạy học phù hợp với từng đối tượng học sinh Trong đó, việc tổ chứccác hoạt động học tập để giúp các em học sinh nắm bắt được những kiến thức cơbản của hình học không gian nói chung và bài toán tính khoảng cách nói riêng.Bồi dưỡng cho các em khả năng tự học, tự nghiên cứu, độc lập tư duy và nhất làtạo cho các em có sự hứng thú trước các vấn đề khó hay các bài toán khó Từ đógiúp các em đạt được kết quả cao trong quá trình học tập và vận dụng được cáckiến thức, kỹ năng được học vào hoạt động thực tiễn

2.2 Thực trạng của vấn đề

Thực trạng học môn Toán hiện nay ở các trường THPT là một bộ phậnkhông nhỏ các học sinh học toán nhưng không hiểu rõ bản chất, chưa chủ độngtìm hiểu sâu về một vấn đề dẫn đến các em gặp phải nhiều khó khăn trong quátrình học tập môn toán cũng như các môn học khác

Ở trường các em học sinh được học sách Hình học 11 cơ bản, các bài tậptương đối đơn giản nhưng trong thực tế bài tập có yêu cầu cao hơn; hình thức thitrắc nghiệm cũng đòi hỏi học sinh phải giải quyết nhanh các bài toán dẫn đếnhọc sinh đã không mấy hứng thú với môn hình học không gian lại còn thấy lúngtúng và bế tắc hơn

Giáo viên còn hạn chế trong việc nâng cao hiệu quả sử dụng phươngpháp, phương tiện, công cụ, thiết bị đồ dùng dạy học bộ môn, phần lớn giáo viênmới chỉ dừng lại ở mức trang bị lý thuyết và giao nhiệm vụ cho học sinh với mộtvài bài tập cụ thể mà chưa khai thác bài toán ở nhiều dạng khác nhau, dẫn đếnhọc sinh chưa hứng thú học tập môn hình học không gian, kết quả học tập củahọc sinh còn hạn chế

Bên cạnh đó còn có nguyên nhân như các em chưa xác định đúng đắnđộng cơ học tập, chưa có phương pháp học tập cho từng bộ môn, từng phân mônhay từng chuyên đề mà giáo viên đã cung cấp cho học sinh Cũng có thể do

chính các thầy cô chưa chú trọng rèn luyện cho học sinh, hay phương pháptruyền đạt kiến thức chưa tốt làm giảm nhận thức của học sinh

Từ thực trạng trên, là giáo viên dạy Toán trực tiếp giảng dạy khối lớp 11,tôi đã mạnh dạn đưa ra giải pháp sau để các em học sinh có kỹ năng tính khoảngcách giữa các đối tượng trong hình học không gian lớp 11 thành thạo và có thểvận dụng vào các bài toán khác cũng như môn học khác

2.3 Giải pháp và tổ chức thực hiện

2.3.1 Giải pháp để giải quyết vấn đề được nêu:

Bước 1 Tổ chức cho học sinh nắm bắt các kiến thức cơ bản về lí thuyết

Bài 5: Khoảng cách (SGK Hình học 11, cơ bản) theo phân phối chương trình

dạy học

Bước 2 Tổ chức bồi dưỡng rèn luyện kĩ năng quy về điểm hình chiếu

vuông góc của một điểm lên một mặt phẳng để tính khoảng cách giữa các đốitượng trong không gian

Thời lượng thực hiện thông qua thời lượng các tiết dạy học tự chọn Quađây cũng rèn luyện khả năng tự học, phương pháp tư duy sáng tạo và tạo hứngthú học môn hình học không gian cũng như giải các bài toán khó cho học sinh

2.3.2 Tổ chức thực hiện giảng dạy nội dung:

Bài toán tính khoảng cách trong hình học không gian lớp 11

Phần I Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng, đến một mặt phẳng

a) Kiến thức cần nhớ ( SGK Hình học 11, cơ bản).

+ d(M, a) = MH trong đó H là hình chiếu của M trên a (Hình 1).

+ d(M, (P)) = MH trong đó H là hình chiếu của M trên mp P( ) ( Hình 2)

+ Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong

( )

mp P thì d vuông góc với mp P( ).

+ Nếu hai mặt phẳng vuông góc với nhau thì bất kì đường thẳng nào nằm trong mặt phẳng này và vuông góc với giao tuyến thì vuông góc với mặt phẳng kia.

b) Bài toán 1: Tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng bằng cách sử

dụng điểm hình chiếu vuông góc của một điểm lên một mặt phẳng

Giáo viên tổ chức hoạt động cho học sinh rèn luyện kỹ năng tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.

làm theo các bước sau:

Bước 1 Dựng mp Q( ) đi qua M và vuông góc với mp P( )

Bước 2 Xác định giao tuyến d của mp P( )và mp Q( )

Bước 3 Kẻ MH vuông góc với d tại H thì: MH ( )P  d M P( ,( ))MH

Lưu ý: Các trường hợp đặc biệt :

+ Hình chóp đều có hình chiếu vuông góc của đỉnh lên mặt đáy là tâm củađường tròn ngoại tiếp đa giác đáy

+ Hình chóp có các cạnh bên bằng nhau hoặc cùng tạo với mặt đáy mộtgóc bằng nhau thì hình chiếu vuông góc của đỉnh lên mặt đáy là tâm của đườngtròn ngoại tiếp đa giác đáy

+ Hình chóp có các mặt bên cùng tạo với mặt đáy một góc thì hình chiếuvuông góc của đỉnh lên mặt đáy là tâm của đường tròn nội tiếp đa giác đáy

c) Áp d ng.ụng

Ví dụ 1 Cho hình chóp S ABCD có ABCD là hình vuông cạnh bằng a SA

vuông góc với đáy và SA2a Tính khoảng cách

qua ba bước sau:

Bước 1: Xác định được BC (SAB)

giác ABC Tính khoảng cách

b) Giáo viên tiếp tục rèn luyện cho

học sinh tìm khoảng cách từ một điểm

đến một mặt phẳng qua ba bước sau:

Ta có: M là trung điểm của BC

Nhận xét 1: Trong Ví dụ 2 nếu thay yêu cầu tính khoảng cách từ điểm G đến

mp(SBC) bằng tính khoảng cách từ trung điểm N của AB đến mp(SBC) thì việc tìm mp(Q) qua N và vuông góc với (SBC) khá là khó đối với học sinh khi mới làm quen với bài toán tính khoảng cách Vì vậy, giáo viên gợi mở cho học sinh

có thể tính khoảng cách đó bằng cách quy về tính khoảng cách từ G đến (SBC), ( G là hình chiếu vuông góc của điểm S lên (ABC)) và sử dụng kết quả sau:

* Nếu M N, không thuộc mp P( ) mà

được hình chiếu vuông góc của A lên

(SBD), tuy nhiên nếu việc làm này

3

a HK

HK HM HS a  a a   .

Vậy ( ,( )) 2 ( ,( )) 2

3

a

d A SBD  d H SBD  .

Nhận xét 2: Trong các ví dụ trên việc tích khoảng cách từ một điểm A đến một

mặt phẳng ( P ) chúng ta đều phải dựng hình chiếu vuông góc của A lên ( P ) Bài toán dễ dàng giải được nếu ta quy khoảng cách đó về khoảng cách từ điểm M đến ( P ), mà M là hình chiếu vuông góc của một điểm N trên ( P ) lên ( Q ) nào

Ví dụ 4 Cho hình lăng trụ đứng tam giác đều ABC A B C ' ' ' có AA' 2 AB2a

, G là trọng tâm của tam giác ABB' Tính khoảng cách từ điểm G đến( ' ')

Phần II Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song, giữa hai mặt phẳng song song

a) Kiến thức cần nhớ ( SGK Hình học 11, cơ bản)

+ d(a,(P)) = d(M,(P)) với a // (P), M là điểm bất kì nằm trên a ( Hình 4) + d((P),(Q)) = d(M,(P)) với (P) // (Q), M là điểm bất kì nằm trên (Q) (Hình 5).

b) Bài toán 2: Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song, giữa

hai mặt phẳng song song

Phương pháp giải:

Bước 1 Bằng định nghĩa chuyển khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng

song song, giữa hai mặt phẳng song song về khoảng cách từ một điểm đến một

mặt phẳng.( tức là chuyển Bài toán 2 về Bài toán 1)

Bước 2 Giải Bài toán 1.

a OH

Ví dụ 6 Cho hình lập phương ABCD A B C D ' ' ' ' có cạnh bẳng a Gọi M N P, ,

lần lượt là trung điểm của AB C D, ' ' và B C' ' Tính khoảng cách:

a) Giữa BC' và (AB D' ') b) Giữa (MNP)và (AB D' ')

Giải

a) Ta có BC'/ /AD' BC'/ /(AB D' '), suy ra: (d BC', (AB D' '))d C( ', (AB D' ')).Gọi O là tâm của A B C D' ' ' ', vì OA'AC' nên ( ', (d C AB D' '))d A AB D( ', ( ' '))

Ta có: ' ' (B D  OAA') hay (AB D' ') ( OAA') mà (AB D' ') ( OAA')AO

Kẻ 'A H OA tại H thì A H' (AB D' ') suy ra ( ', (d A AB D' '))A H'

'3

Gọi I là giao của A N' và B D' ' thì I là trọng

tâm của tam giác A C D' ' ', suy ra: 1

' 2

NI

A I  , khi đó:

1( , ( ' ')) ( ', ( ' '))

Nhận xét 3: Trong các Ví dụ 5, Ví dụ 6 thì việc tính khoảng cách giữa các đối

tượng đều dùng kỹ thuật quy về khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng và

điểm đó phải là hình chiếu vuông góc của một điểm lên một mặt phẳng Đây

là kỹ thuật rất cần thiết và quan trọng mà học sinh cân có trong tính khoảng cách.

Phần III Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

a) Kiến thức cần nhớ ( SGK Hình học 11, cơ bản)

a) Đường thẳng d cắt cả a, b và cùng vuông

góc với a, b được gọi là đường vuông góc

chung của a, b.

b) Nếu d là đường thẳng vuông góc và cắt

a, b tại M N, thì MN được gọi là đoạn

vuông góc chung của a, b.

c) Độ dài đoạn vuông góc chung MN của a,

b được gọi là khoảng cách giữa a, b

+ d a b( , )MN trong đó MN là đoạn vuông

góc chung của a và b ( Hình 6).

b) Bài toán 3: Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau.

Trong không gian cho hai đường thẳng chéo nhau a và b, xác định khoảng cách giữa hai đường thẳng a và b Ta đã biết khoảng cách giữa a và b là độ dài của đoạn vuông góc chung của a và b Ngoại trừ trường hợp đoạn vuông góc chung có sẵn, ta thường dựng đoạn vuông góc chung của a và b như sau:

Cách 1 (Áp dụng khi hai đường thẳng

a, b vuông góc):

Bước 1 Dựng mp P( ) chứa b, vuông

góc với a tại A ( Hình 7).

Bước 2 Kẻ AB vuông góc với b tại B

Đoạn AB là đoạn vuông góc chung

Bước 2 Dựng hình chiếu vuông góc

H của O lên b' Bước 3 Qua H dựng d // a và d cắt b tại B, kẻ BA a tại A Đoạn AB là đoạn vuông góc chung của a và b (Hình 9)

c) Áp d ng.ụng

Ví dụ 7 Cho hình tứ diện S ABC có SA SB SC, , đôi một vuông góc và

SA SB SC a   Gọi I là trung điểm của BC Xác định và tính khoảng cách:a) Giữa SA và BC b) Giữa AI và SC

Hướng dẫn giải

a)( Học sinh dễ dàng giải được)

Ta có: SA(SBC) nên SA BC SI SA , 

mà tam giác SBC cân tại S Suy ra SI

là đoạn vuông góc chung của SA và BC

Bước 1 Ta đi dựng hình chiếu vuông góc

của AI lên (SAB):

Qua I kẻ IK SC/ / và cắt SB tại trung

điểm K, suy ra IK (SAB), nên AK là

hình chiếu vuông góc của AI lên (SAB)

Bước 2 Kẻ SH AK tại H

Bước 3 Hoàn thành dựng đoạn vuông góc chung của AI và SC :

Kẻ HN SC/ / (N AI ) và kẻ/ /

MN SH (M SC ) Khi đó MN là đoạn vuông góc chung của AI và

SH SA SK a a   Vậy

5( , )

5

a

d AI SC MN

Ví dụ 8 Cho hình chóp S ABCD có ABCD là hình vuông cạnh bằng a, SA

vuông góc với (ABCD) và SA = a Tính khoảng cách giữa SD và AC

Hướng dẫn giải

Ta đi dựng đoạn vuông góc chung của AC và SD theo cách 2 như sau:

Dựng đường thẳng Dt / /AC , dựng AI Dt tại I, suy ra Dt (SAI), kẻ

AE SI tại E, kẻ EM / /AC( M SD ) và kẻ MN / /AE(NAC) Khi

đó MN là đoạn vuông góc chung của SD và AC và MN AE

Ta có AIDO là hình vuông nên 2

AI OD   , tam giác SIA vuông tại A

và AE là đường cao nên

3E

a AE

+ Ở Ví dụ 7a) thì việc dựng đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo

nhau này rất đơn giản nên học sinh có thể áp dụng và làm rất nhanh.

+ Còn ở Ví dụ 7b), Ví dụ 8 thì việc dựng đoạn vuông góc chung của hai đường

thẳng chéo nhau gặp khó khăn Nếu như học sinh không nắm được cách dựng cho mỗi trường hợp cụ thể, nhất là không nắm rõ bản chất của nó dẫn đến học sinh không mấy hứng thú gì đến bài toán này

Khi đó học sinh cần biết cách chuyển khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau qua các khoảng cách quen thuộc hơn nhờ hai kết quả sau ta có thể

chuyển bài toán này qua Bài toán 1.

Kết quả 1: ( SGK Hình học 11, cơ

bản) Khoảng cách giữa hai đường

thẳng chéo nhau a và b bằng khoảng

cách giữa một trong hai đường thẳng

đó đến mặt phẳng song song với nó và

chứa đường thẳng còn lại.( Hình 10)

Kết quả 2: ( SGK Hình học 11, cơ

bản) Khoảng cách giữa hai đường

thẳng chéo nhau bằng khoảng cách

giữa hai mặt phẳng song song lần lượt

chứa hai đường thẳng đó.( Hình 11)

* Đến đây giáo viên cần cho học sinh xác định rõ các bước (hay kỹ thuật)

chuyển Bài toán 3 về Bài toán 1 như sau:

Bước 1: Dựng mp( P ) chứa đường thẳng b và ( P ) // a ( Hình 10, Hình 11) Bước 2: Quy ( , ) d a b d a P( , ( ))