Ví dụ 1 : Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng đường cao và bằng a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD.
a) Chứng minh rằng (SMN) vuông góc với (SCD).
b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SC và AB.
Hướng giải quyết:
- Trước tiên ta nhận thấy hai đường thẳng SC và AB là hai đường thẳng chéo nhau và không vuông góc nên ta đi tìm một mặt phẳng chứa đường này và song với đường kia
Lời giải
H
M N
O
D
B C
A S
a) Ta có CD⊥MN (vì CDMN⊥/ /BCBC⇒MN ⊥CD ( )1
/ / MN BC CD BC
⊥
)
CD⊥SN ( vì tam giác SCD cân tại S) => CD⊥(SMN)
Trang 22
Mà CD⊂(SCD) nên (SCD) (⊥ SMN)
b) Ta có AB//CD nên AB//(SCD) ⇒d AB SC( , ) =d AB SCD( ,( ) ) =d M SCD( ,( ) )
trong tam giác SMN kẻ MH ⊥SN. Do CD⊥(SMN) ⇒CD⊥MH
Ta có : MHMH ⊥⊥CDSN ⇒MH ⊥(SCD)⇒d M SCD( ,( ) )=MH
Gọi O là tâm của hình vuông ABCD. Vì S.ABCD là hình chóp đều nên SO là chiều cao của hình chóp, suy ra SO a= .
Trong tam giác SMN ta có : MH.SN=SO.MN
2
2 2
. . 2 5
5 5 2
SO MN SO MN a a
MH SN SO ON a
⇒ = = = =
+
Vậy d AB SC( , ) = 2a5 5
Nhận xét :
—Mặt phẳng (SCD) là mặt phẳng chứa SC và song song với AB nên khoảng cách giữa AB và SC bằng khoảng cách giữa AB và (SCD). Đến đây bài toán lại quy về tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng. Ta cần khéo léo trong việc chọn một điểm nằm trên cạnh AB, ta thường nghĩ tới những điểm đặc biệt trên đoạn AB như trung điểm của đoạn AB.
Cách tính khoảng cách giữa hai đường chéo nhau dựa vào khoảng cách giữa một đường với một mặt chứa đường còn lại và song song với nó là một cách thường dùng nhất.
— Ta có thể tính MH bằng cách tính d O SCD( ,( )) dựa vào nhận xét MH=2d O SCD( ,( )).
Ví dụ 2 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh a, SA⊥(ABCD).
Gọi M là trung điểm của SD, góc tạo bởi SD và mặt phẳng đáy bằng 450. tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa SB và CM.
I
M
D A
B C
S
Hướng giải quyết:
- Chứng minh SB//(AMC) =>d SB CM( , )=d SB AMC( ,( ) ) =d B AMC( ,( ) ) =d D AMC( ,( ) )
- Tính VD AMC. ,SAMC
Lời giải:
- Hỡnh chiếu của SD trờn (ABCD) là AD nờn SDAã =450. Suy ra tam giác SAD vuông cân tại A ⇒SA a= .
Khi đó
3
. 3
S ABCD
V = a
Gọi I =AC∩BD, suy ra MI/ /SB ⇒SB/ /(AMC)
( , ) ( ,( ) ) ( ,( ) ) ( ,( ) )
d SB CM =d SB AMC =d B AMC =d D AMC (vì (AMC) đi qua trung điểm của BD).
Ta lại có
3
. .
1
4 12
D AMC S ABCD
V = V = a
Ta cần đi tính diện tích tam giác MAC.
Nhận thấy trong tam giác MAC có đường trung tuyến
1 2
MI =2a
(vì 2 MI = SB
)
2 MI = AC
. Vậy tam giác AMC vuông ở M (Đường trung tuyến bằng nửa cạnh đối diện)
Ta lại có
2 2
AM = a 2
2 CM a
⇒ = 1 2
2 . 4
MAC
S MA MC a
⇒ = =
Trang 24 Phân tích:
- Từ dấu hiệu M là trung điểm ta nghĩ tới việc chứng minh quan hệ song song.
- Gọi I là trung điểm của BD thì IM là đường trung bình của tam giác SBD nên SB//IM. Vậy
d(SB,CM)=d(SB,(CMA))
( )
( , ) 3 . 3
AMC
D AMC
V a
d D AMC
= S =
Vậy ( , )
3 d SB CM = a
Nêu vấn đề:
- Nếu ta thay đổi câu hỏi là: tính khoảng cách từ trung điểm của SB đến mặt phẳng (AMC) thì ta làm như thế nào?
Gợi ý: Khoảng cách này bằng khoảng cách từ B đến (AMC), vậy ta cũng quy về tính khoảng cách từ B đến (AMC).
Ví dụ 3 : Hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B và
( )
, 2 ,
AB a BC SA= = = a SA⊥ ABC . Gọi M là trung điểm của cạnh AC.
a) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SM.
b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BC và SM.
Hướng giải quyết :
Nhận thấy điểm A là hình chiếu vuông góc của S trên (ABC) nên ta hướng tới việc tìm mặt phẳng ( )α chứa SM và song song với AB, khi đó khoảng cách giữa A và SM là khoảng cách từ A đến ( )α . Tương tự ta cũng tính khoảng cách giữa BC và SM bằng cách tìm mặt phẳng chứa SM và song song với BC.
Lời giải :
a) Trong mặt phẳng (ABC), dựng hình chữ nhật AIMD, với I là trung điểm của AB.
Ta có DMAB DM/ /⊂(SDM) ⇒AB/ /(SDM)
Do đó d AB SM( , ) =d A SDM( ,( ) )
Trang 25 Mặt khác MDMD⊥⊥SAAD⇒MD⊥(SAD)
Mà
( ) ( ) ( )
( , ) ( ,( ) )
MD SDM SAD SDM
d BC SM d B SIM
⊂ ⇒ ⊥
=
( ) ( ) ( )
MD⊂ SDM ⇒ SAD ⊥ SDM theo giao tuyến SD.
Trong tam giác SAD kẻ đường cao AH thì
( )
AH ⊥ SDM ⇒d A SDM( ,( ) ) =AH
Trong tam giác vuông SAD tại A ta có:
AD MI= =a
D
M
I A
B
C S
K H
b) Ta có : BC//(SIM) nên d BC SM( , ) =d B SIM( ,( ) )
IM ⊥(SAB)⇒IM ⊥BK
trong mặt phẳng (SAB), kẻ BK ⊥SItại K, ta có :
BKBK ⊥⊥SIIM ⇒BK ⊥(SIM)⇒d BC SM( , )=d B SIM( ,( ) ) =BK
Tam giác SAI vuông tại A, ta có: SI = SA2+AI2 = 4a2+a2 =a 5 Xét hai tam giác đồng dạng SAI và BKI, ta có :
. 2.2 5
5 5 a a
BK BI BI SA a
SA = SI ⇒BK= SI = a =
⇒d BC SM( , ) =a55
.
Ví dụ 4: Cho hình lăng trụ đứng ABC A B C. ' ' ' có đáy ABC là tam giác vuông,
AB BC a= = , cạnh bên AA '=a 2. Gọi M là trung điểm của cạnh BC. Tính theo akhoảng cách giữa hai đường thẳng AM và B C' .
Trang 26 Hướng giải quyết
Ta nhận thấy AM và B’C không vuông góc nên ta tìm một mặt phẳng chứa đường này và song song với đường kia.
A' N
M
A
B' C'
B C
Lời giải
Gọi N là trung điểm của BB’ suy ra B’C//MN⇒ B’C//(AMN) Mặt phẳng (AMN) là mặt phẳng chứa AM và song song với B’C.
Suy ra d B C AM( ' , ) =d B C AMN( ' ,( ) ) =d B( ',(AMN) )
Do N là trung điểm của BB’ nên d B( ',(AMN) ) =d B AMN( ,( ) ).
Gọi H là hình chiếu của B trên (AMN).
Vì BN,BA,BM đôi một vuông góc nên ta có:
2 2 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 4 2 7
BH = BA +BM +BN =a +a +a =a
=> ( ' , )
7 d B C AM =BH = a
.
Nhận xét: Việc xác định mặt phẳng chứa đường này và song song với đường kia cũng cần phải có sự khéo léo, quan sát tinh tế trên hình vẽ của người làm toán. Tại sao ta lại chọn dựng mặt phẳng chứa AM và song song với B’C? Bởi vì trong tam giác BB’C điểm M là trung điểm của cạnh BC nên khi ta gọi N là trung điểm của BB’ thì MN là đường trung bình suy ra MN//B’C⇒B C' / /(AMN).
Bài tập áp dụng
1. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a. Gọi E là điểm đối xứng của D qua trung điểm của SA, M là trung điểm của AE, N là trung điểm của BC.
a) Chứng minh MN ⊥BD.
b) Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng MN và AC.
( Hướng dẫn: Gọi I là trung điểm của SA, chứng minh MNCI là hình bình hành ⇒ MN//IC ⇒MN/ /(SAC)⇒d MN AC( , ) =d N SAC( ,( ) ).Gọi K là trung điểm của OC, chứng minh NK ⊥(SAC) . Đáp số d MN AC( , ) =NK = a42
).
2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông tâm O, cạnh a. Cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA a= . Hãy xác định đường vuông góc chung và tính khoảng cách giữa các đường sau đây :
a) BD và SC.
b) AC và SB. Đáp số: a) d BD SC( , ) = a66
b) d AC SB( , ) =a33
. 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật có AB a AD a= , = 2,
( )
SA⊥ ABCD , SC tạo với đáy góc 300. Gọi M là trung điểm của BC. Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng DM và SB.
Đáp số: d DM SB( , ) = 2a
4. Cho hình chóp A.BCD cho hình chiếu vuông góc của điểm A trên mặt phẳng đáy trùng với trung điểm H của BC. Tam giác BCD vuông ở D và có BC=2 ,a BD a= . Góc giữa (ACD) và (BCD) là 600. Tính thể tích của khối tứ diện ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng BD và AC.
Gợi ý: Dựng hình bình hành BDCE
Đáp số: d BD AC( , ) =d BD ACE( ,( ) ) =d B ACE( ,( ) ) =a26
GIẢI PHÁP 4: PHƯƠNG PHÁP TIẾP CẬN BÀI TOÁN TÍNH KHOẢNG CÁCH TRONG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH
Một số công thức tính khoảng cách: