Trong môn Toán ở trường trung học phổ thông, phần hình học không gian giữ một vai trò, vị trí vô cùng quan trọng; ngoài việc cung cấp các kiến thức kỹ năng giải toán, hình học không gian còn góp phần rèn luyện cho học sinh những đức tính: cẩn thận, chính xác, sáng tạo và óc thẩm mỹ cao. Hình học không gian là mảng kiến thức khó, mang tính trừu tượng; đặc biệt là bài toán về khoảng cách. Trong quá trình giải toán, việc rèn cho học sinh phân tích giả thiết bài toán để tìm ra mối liên hệ giữa các kiến thức đã học nhằm chỉ ra được vấn đề cần chứng minh còn hạn chế. Nhiều em bộc lộ tính yếu kém về năng lực giải toán. Một số giáo viên đưa sẵn thuật toán, học sinh thuộc – hiểu và áp dụng vào bài tập; các em không nắm được tại sao ta có thuật toán đó? Toán học gắn liền với tư duy; các thao tác tư duy là phần không thể thiếu trong việc tìm ra lời giải bài toán. Thao tác tư duy phân tích – tổng hợp có vai trò hết sức cần thiết cho các em học sinh trong quá trình học tập môn Toán như: giúp học sinh hiểu sâu và đầy đủ những thuộc tính, những trường hợp riêng lẻ nằm trong một khái niệm, một định lý,...
MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN PHẦN I: MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Mục đích nghiên cứu 3 Đối tƣợng nghiên cứu Phƣơng pháp nghiên cứu Phạm vi nghiên cứu Cấu trúc khóa luận PHẦN II: NỘI DUNG Chƣơng 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN 1.1 Khái niệm tƣ 1.2 Đặc điểm tƣ 1.3 Thao tác tƣ phân tích - tổng hợp 1.4 Những khó khăn thƣờng gặp học sinh giải toán khoảng cách HHKG 11 Chƣơng 2: CÁC DẠNG BÀI TOÁN VỀ KHOẢNG CÁCH TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN 13 2.1 Kiến thức 13 2.2 Các dạng tập khoảng cách 15 Chƣơng 3: VẬN DỤNG THAO TÁC TƢ DUY PHÂN TÍCH – TỔNG HỢP ĐỂ TÌM RA LỜI GIẢI CÁC BÀI TOÁN VỀ KHOẢNG CÁCH TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN 24 KẾT LUẬN 43 TÀI LIỆU THAM KHẢO 44 Khóa luận tốt nghiệp LỜI CẢM ƠN Trong suốt thời gian thực đề tài, em nhận đƣợc nhiều quan tâm giúp đỡ từ quý thầy cô giáo nhƣ ngƣời thân bạn bè để hoàn thành đề tài: “Vận dụng thao tác tư phân tích – tổng hợp để tìm lời giải toán khoảng cách hình học không gian” Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới cô giáo – Th.s Ngô Thị Bích Thủy có nhiều ý kiến đóng góp quý báu định hƣớng suốt trình thực đề tài Em xin gửi lời cảm ơn chân thành đến quý thầy cô khoa Toán, trƣờng Đại học Sƣ phạm – Đại học Đà Nẵng tạo điều kiện để hoàn thành luận văn Khóa luận tốt nghiệp PHẦN I: MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài: Trong môn Toán trƣờng trung học phổ thông, phần hình học không gian giữ vai trò, vị trí vô quan trọng; việc cung cấp kiến thức kỹ giải toán, hình học không gian góp phần rèn luyện cho học sinh đức tính: cẩn thận, xác, sáng tạo óc thẩm mỹ cao Hình học không gian mảng kiến thức khó, mang tính trừu tƣợng; đặc biệt toán khoảng cách Trong trình giải toán, việc rèn cho học sinh phân tích giả thiết toán để tìm mối liên hệ kiến thức học nhằm đƣợc vấn đề cần chứng minh hạn chế Nhiều em bộc lộ tính yếu lực giải toán Một số giáo viên đƣa sẵn thuật toán, học sinh thuộc – hiểu áp dụng vào tập; em không nắm đƣợc ta có thuật toán đó? Toán học gắn liền với tƣ duy; thao tác tƣ phần thiếu việc tìm lời giải toán Thao tác tƣ phân tích – tổng hợp có vai trò cần thiết cho em học sinh trình học tập môn Toán nhƣ: giúp học sinh hiểu sâu đầy đủ thuộc tính, trƣờng hợp riêng lẻ nằm khái niệm, định lý, Với lý trên, định chọn đề tài “Vận dụng thao tác tư phân tích – tổng hợp để tìm lời giải toán khoảng cách hình học không gian” làm khóa luận tốt nghiệp Mục đích nghiên cứu: Vận dụng thao tác tƣ phân tích – tổng hợp để giúp học sinh tìm lời giải toán khoảng cách hình học không gian Đối tƣợng nghiên cứu: Tìm lời giải toán khoảng cách hình học không gian Phƣơng pháp nghiên cứu: Khóa luận tốt nghiệp - Phƣơng pháp nghiên cứu lý luận: nghiên cứu tài liệu liên quan đến dạng tập, đề thi - Phƣơng pháp quan sát, điều tra: học hỏi thầy, cô giáo Phạm vi nghiên cứu: Đề tài tập trung nghiên cứu kiến thức trọng tâm sách giáo khoa hình học lớp 11, 12 (cơ nâng cao), sách giáo viên sách tham khảo liên quan Cấu trúc khóa luận: Khóa luận gồm chƣơng sau: Chƣơng 1: Cơ sở lý luận Chƣơng 2: Các dạng toán khoảng cách hình học không gian Chƣơng 3: Vận dụng thao tác tƣ phân tích – tổng hợp để tìm lời giải toán khoảng cách hình học không gian Các chữ viết tắt sử dụng đề tài: HHKG: hình học không gian THPT: trung học phổ thông SGK: sách giáo khoa NC: nâng cao CB: Khóa luận tốt nghiệp PHẦN II: NỘI DUNG Chƣơng 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN 1.1 Khái niệm tƣ duy: “Tƣ trình phản ánh thuộc tính chất, mối quan hệ liên hệ có tính quy luật bên vật, tƣợng thực khách quan mà trƣớc ta chƣa biết” Nhƣ vậy, tƣ chất trình cá nhân thực nhờ thao tác tƣ định để giải vấn đề hay nhiệm vụ đƣợc đặt Các thao tác tƣ đƣợc nói đến thao tác: phân tích, tổng hợp, so sánh, trừu tƣợng hóa, khái quát hóa Đó thao tác Tƣ hình thức cao phản ánh, mức độ nhận thức chất so với cảm giác, tri giác Hay nói cách khác, tƣ nhận thức lý tính phản ánh thuộc tính chất bên trong, mối quan hệ liên hệ có tính quy luật vật, tƣợng Ví dụ: Nhờ mà ta biết đƣợc hình chóp có đáy tứ giác đƣờng cao đƣờng nối từ đỉnh đến giao điểm hai đƣờng chéo (đáy hình vuông) Mặc dù tƣ phản ánh đƣợc thuộc tính chất bên vật tƣợng nhƣng tƣ dẫn tới mà phụ thuộc vào chiến thuật phƣơng pháp tƣ 1.2 Đặc điểm tƣ duy: Tƣ có nhiều đặc điểm đặc trƣng nhƣ: tính có vấn đề tƣ duy, tính gián tiếp tƣ duy, tính trừu tƣợng hóa - khái quát hóa, tƣ quan hệ chặt chẽ với ngôn ngữ, tƣ quan hệ mật thiết với nhận thức cảm tính Đối với ngƣời, tƣ đóng vai trò vô quan trọng tƣ giúp ích nhiều cho việc mở rộng giới hạn nhận thức; nâng cao khả nhìn nhận sâu sắc vào chất vật, tƣợng tìm mối quan hệ có tính quy luật chúng với Tƣ giúp ta vận dụng những kiến thức tích lũy Khóa luận tốt nghiệp đƣợc để giải vấn đề liên quan, nhờ tiết kiệm đƣợc công sức Tƣ có phƣơng tiện ngôn ngữ có sản phẩm khái niệm, phán đoán, suy luận đƣợc biểu đạt từ ngữ, kí hiệu, công thức 1.2.1 Tính có vấn đề tƣ duy: Trong thực tế tƣ nảy sinh gặp hoàn cảnh có vấn đề Nhƣng tác động hoàn cảnh xuất tƣ Hoàn cảnh có vấn đề tình mà vốn kiến thức, phƣơng pháp cũ không giải đƣợc mà cần đến phƣơng pháp, tri thức để giải vấn đề, tức phải tƣ Nhƣng hoàn cảnh có vấn đề xuất tƣ thân Vậy để kích thích đƣợc tƣ hoàn cảnh có vấn đề phải đƣợc cá nhân nhận thức đầy đủ có nhu cầu chuyển thành nhiệm vụ tƣ để giải vấn đề (nghĩa cá nhân phải xác định đƣợc biết, cho, chƣa biết, cần phải tìm) Ví dụ: Khi dạy “Khoảng cách” chƣơng trình toán hình học 11NC, giáo viên hƣớng dẫn học sinh làm toán sau: “Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình chữ nhật, SA vuông góc với đáy Tìm khoảng cách từ B đến mặt bên (SCD)” S K A B D C Theo định nghĩa học học sinh tìm hình chiếu vuông góc H điểm B lên mặt (SCD), nhƣng theo cách việc tìm điểm H khó Xuất hoàn cảnh có vấn đề Khóa luận tốt nghiệp Nhƣ vậy, em phải tìm hiểu kiến thức để tìm lời giải thông qua định nghĩa (tìm khoảng cách từ A đến (SCD) AB / /(SCD) ) 1.2.2 Tính gián tiếp tƣ duy: Tƣ có khả phản ánh gián tiếp thông qua dấu hiệu, kinh nghiệm, ngôn ngữ, công cụ,…Tính gián tiếp tƣ giúp ngƣời nhận thức giới khách quan sâu sắc, đầy đủ, đồng thời mở rộng khả hiểu biết ngƣời, chủ thể tƣ Ví dụ: Bằng phần mềm toán học kết hợp với máy vi tính, giáo viên minh họa hƣớng dẫn cho học sinh thấy rõ: đƣờng cao khối đa diện đƣờng nào? 1.2.3 Tính trừu tƣợng hóa khái quát tƣ duy: a) Tính trừu tƣợng hóa: Là khả ngƣời dùng trí óc để gạt bỏ liên hệ, mặt, thuộc tính không cần thiết mà giữ lại yếu tố cần thiết để tƣ b) Tính khái quát hóa: Là khả ngƣời hợp nhiều đối tƣợng khác nhƣng có chung thuộc tính, mối liên hệ thành nhóm Ví dụ: Khi hƣớng dẫn học sinh làm tập khoảng cách điểm tới mặt phẳng, ta gợi ý cho học sinh tìm hiểu phƣơng pháp tính cho trƣờng hợp áp dụng cho trƣờng hợp tính khoảng cách khác hay không 1.2.4 Tƣ gắn liền với ngôn ngữ: Tƣ động vật dừng lại tƣ hành động trực giác mà không vƣợt giới hạn Còn ngƣời, tƣ mang tính gián tiếp, trừu tƣợng hóa khái quát hóa Mối liên hệ tƣ ngôn ngữ mối liên hệ biện chứng; mối liên hệ nội dung hình thức Trong đó, Khóa luận tốt nghiệp ngôn ngữ hình thức biểu đạt cố định tƣ Nhờ đó, ngƣời khác chủ thể tƣ tiếp cận kết tƣ cách dễ dàng Hay nói cách khác, ngôn ngữ phƣơng tiện tƣ 1.2.5 Tƣ quan hệ mật thiết với nhận thức cảm tính: Tƣ liên hệ gắn bó mật thiết với nhận thức cảm tính Nhận thức cảm tính cửa ngõ tƣ liên hệ với giới bên ngoài; nhận thức cảm tính cung cấp chất liệu cho tƣ cuối toàn sản phẩm tƣ đƣợc kiểm nghiệm hoạt động thực tiễn Trong học tập Toán, đặc điểm thể để tìm hiểu nội dung hay chứng minh toán Trƣớc hết dựa vào nhận thức cảm tính yêu cầu hay giả thiết (thử hƣớng này, hƣớng khác) đến nhận xét, kiểm tra hoạt động tƣ đến kết Ví dụ: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vuông, AB a , SA 2a Hãy xác định đƣờng cao hình chóp S.ABCD Với kiện toán: đáy hình vuông, cạnh bên nhau, mặt hình chóp tam giác cân Ta đoán đƣợc đƣờng cao hình chóp hạ từ đỉnh S qua giao điểm hai đƣờng chéo nằm mặt đáy 1.3 Thao tác tƣ phân tích - tổng hợp: 1.3.1 Mô tả: Trong đối tƣợng chứa nhiều thành phần, phận, phận có mối quan hệ khác Để nhận thức đƣợc toàn diện phận đó, ta tiến hành nhận thức riêng phận để việc nhận thức đƣợc tƣơng đối hoàn thiện hơn, trình gọi phân tích Tổng hợp hợp lại kết nhận thức phận thành chỉnh thể Đây hai thao tác trình tƣ Có thể nói phân tích - tổng hợp cặp thao tác tƣ quan trọng Nó đƣợc thực tất trình tƣ học Khóa luận tốt nghiệp sinh Với đặc trƣng phân chia đối tƣợng nhận thức thành phận, thành phần khác sau hợp thành phần đƣợc tách rời nhờ phân tích thành chỉnh thể Trong môn Toán, thao tác phân tích – tổng hợp thƣờng đƣợc sử dụng để tìm hiểu đề bài, để nhận diện toán thuộc loại nào, phân tích cách diễn đạt mối quan hệ toán, phân tích thuật ngữ, phân tích cách hỏi, câu hỏi, yêu cầu toán, tình huống, tổng hợp yếu tố, điều kiện vừa phân tích toán để đƣa điều kiện mới, kết luận mới, tổng hợp bƣớc giải phận để liên kết tạo thành giải hoàn thiện, tổng hợp toán tƣơng tự theo tiêu chí định thành mẫu toán, tổng hợp cách giải tạo thành phƣơng pháp giải chung, Đây hai thao tác trái ngƣợc nhau, nhƣng lại liên hệ chặc chẽ với thể thống 1.3.2 Tác dụng dạy học toán: Thao tác tƣ phân tích – tổng hợp có vai trò cần thiết cho em học sinh trình học tập môn Toán nhƣ: - Giúp học sinh hiểu sâu đầy đủ thuộc tính, trƣờng hợp riêng lẻ nằm khái niệm, định lý, - Từ thuộc tính riêng lẻ học sinh tổng hợp lại để nhận biết xác, đầy đủ khái niệm, Đây thao tác đƣợc sử dụng để tiến hành thao tác khác 1.3.3 Một vài biện pháp thực hiện: * Khi dạy khái niệm, định nghĩa, tập cho học sinh phân tích thuộc tính chất để từ tổng hợp lại nhận biết phân biệt với khái niệm khác hay để tìm mối liên hệ khái niệm gần gũi Khóa luận tốt nghiệp Ví dụ 1: Định nghĩa “Khoảng cách từ đến mặt phẳng” đƣợc phân tích thành: - Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P) là: d (M ; H ) , H ( P) cho MH ( P) Kí hiệu: d (M ;( P)) Ví dụ 2: Phân tích để thấy khác giống hai định nghĩa “ Khoảng cách đƣờng thẳng mặt phẳng song song” “ Khoảng cách hai mặt phẳng song song ” - Khoảng cách đường thẳng a mặt phẳng (P) song song với đường thẳng a là: d ( A;( P)) với A a Kí hiệu: d (a;( P)) - Khoảng cách hai mặt phẳng song song (P) (Q) là: d ( B;(Q)) với B ( P) Kí hiệu: d (( P);(Q)) * Khi dạy định lý phải tập cho học sinh biết phân tích giả thiết kết luận; phân tích để thấy bƣớc, ý chứng minh phân biệt giống khác định lý gần gũi Ví dụ 3: Định lí đƣờng thẳng vuông góc với mặt phẳng - Phân tích giả thiết, kết luận: d + Giả thiết: a, b ( P) a a b d a, d b P b + Kết luận: d ( P) 10 Khóa luận tốt nghiệp Phân tích toán: Dựa vào cách chứng minh đƣờng thẳng vuông góc với mặt phẳng, nhờ giả thiết SAB ABC D , SAC ABCD , ( SAC) ( SAB) SA nên ta có SA ABCD Do hai đƣờng thẳng SB CM không nằm mặt đáy (ABCD) nên nhờ dựa vào phần nhận xét (trang 13) khoảng cách hai đƣờng thẳng chéo nhau, giáo viên hƣớng dẫn cho học sinh dựng cặp mặt phẳng song song với lần lƣợt chứa đƣờng thẳng Chính vậy, dựng hình bình hành ABEC ta chứng minh đƣợc ACM // SBE (với SB SBE CM CMA ) Khi đó, học sinh đƣợc d ( SB, CM ) d ACM , SBE d A, SBE Với cách chọn điểm A thể thuật toán tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng SA BE Học sinh tiếp tục kẻ AN BE (với N BE ) nên BE SAN Sau đó, kẻ AK SN (với K SN ) nên AK SBE Tính AK xong Bài giải: SAB ABCD Ta có: SAC ABCD SA ( ABCD) (SAC ) (SAB) SA Dựng hình bình hành ABEC Khi đó: AC // BE nên AC // SBE (1) Vì ABCD hình vuông nên điểm C trung điểm đoạn ED Mà M trung điểm đoạn SD nên MC // SE nên MC // SBE (2) Từ (1) (2) suy ra: SBE // MAC Khi đó: d SB, MC d MAC , SBE d A, SBE 30 Khóa luận tốt nghiệp Do SA ABCD SA BE Kẻ AN BE (với N BE ) nên BE SAN Kẻ AK SN (với K SN ), mà BE SAN nên BE AK Ta có: AK SN AK (SBE ) d A, SBE AK AK BE Gọi O tâm hình vuông ABCD nên BO AO AN BE Lại có: AO / / BE nên tứ giác ANBO hình chữ nhật a Suy ra: NA BO BD 2 Trong SAB vuông A có: SBA 600 , tan SBA SA AB SA AB.tan SBA SA a Trong SAN vuông A: 1 2 2 AK SA AN 3a Khi đó: d SB, CM AK 21a 3.5 Bài toán 5: Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác vuông A, ABC 300 , SBC tam giác cạnh a mặt bên (SBC) vuông góc với đáy Tính theo a thể tích khối chóp S ABC khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (SAB) (Đề thi đại học khối A A1 năm 2013) 31 Khóa luận tốt nghiệp S K C H B E A Phân tích toán: Căn vào giả thiết SBC ABC , SBC ABC BC tam giác ABC nên H trung điểm BC, học sinh đƣợc SH ABC Từ đây, học sinh tính đƣợc thể tích khối chóp S ABC Dựa vào thuật toán tính khoảng cách từ điểm có SH ABC nên học sinh dễ dàng tính đƣợc d ( H ,(SAB)) Nhờ giả thiết H trung điểm BC nên học sinh nhận đƣợc d C, SAB d( H, ( SAB)) dựng đƣợc khoảng cách kẻ HE AB HK SE (với E AB , K SE ) để d H , SAB HK Tính HK xong Bài giải: Gọi H trung điểm BC Vì SBC nên SH BC SBC ABC Do: SBC ABC BC SH ( ABC ) SH (SBC ), SH BC Vì SBC cạnh a nên SH 3a 32 Khóa luận tốt nghiệp Trong ABC vuông A có: BC a ABC 300 , nên: AB BC cos300 a a 3a , AC BC sin 300 S ABC AB AC 2 1 a a a3 Khi đó: VS ABC SH S ABC 3 16 Vì H trung điểm BC nên: d C , SAB d ( H ,( SAB)) BC 2 HB d (C,(SAB)) 2d ( H ,(SAB)) Kẻ HE AB (với E AB ) Vì SH ( ABC ) SH AB Ta có: AB SH AB (SHE ) AB HE Kẻ HK SE (với K SE ) mà AB (SHE) nên AB HK Do HK AB HK SAB d H , SAB HK HK SE Vì AB HE HE / / AC mà H trung điểm BC nên E trung điểm AB, suy EH a Trong SHE vuông H, ta có: 1 16 HK SH HE 3a a 52 156a HK d ( H ,( SAB)) 52 3a Do đó: d C , SAB 2d ( H ,( SAB)) 156a 26 33 Khóa luận tốt nghiệp 3.6 Bài toán 6: Cho lăng trụ ABCDA1B1C1D1 có đáy ABCD hình chữ nhật AB a, AD a Hình chiếu vuông góc điểm A1 mặt phẳng (ABCD) trùng với giao điểm AC BD, góc hai mặt phẳng (ADD1A1) (ABCD) 600 Tính thể tích khối lăng trụ cho khoảng cách từ điểm B1 đến mặt phẳng (A1BD) theo a (Đề thi Đại học khối B năm 2011) B1 C1 D1 A1 B C O A H E D Phân tích toán: Nhờ giả thiết toán, học sinh biết đƣợc AO ( ABCD) (với O AC BD ) Từ đó, ta tính đƣợc thể tích hình lăng trụ Theo giả thiết B1C / /( A1BD) nên thay việc tính d B1 , A1BD ta tính d C , A1BD dựng đƣợc khoảng cách kẻ CH BD (với H BD ) để d C, A1BD CH Tính CH xong Bài giải: ABCD AO AD Gọi O AC BD AO 1 Gọi E trung điểm AD Vì (ABCD) hình chữ nhật nên OE AD 34 Khóa luận tốt nghiệp Ta có: AD OE AD ( A1EO) AD A1E AD AO ( ADD1 A1 ) ( ABCD) AD Do: A1E AD A1EO góc (ADD1A1) OE AD (ABCD) A1EO 600 Trong AOE vuông O có: AO OE.tan A1EO 1 a Ta có: S ABCD AB.BC a.a a S ABCD Thể tích hình lăng trụ: Vlt AO a 3a a 2 (+) Tính d B1 , A1BD : Cách 1: Do B1C / /( A1BD) d B1, A1BD d C, A1BD Kẻ CH BD, ( H BD) Ta có: CH BD CH ABD CH AO d C , A1BD CH CB.CD CB CD a d B1 , A1BD Cách 2: Ta có: d B1 , A1BD d C , A1BD d A, A1BD 3VA ABD S A BD 35 Khóa luận tốt nghiệp Trong đó: VA ABD Ta có: SA BD 1 a3 Vlt 1 a a2 AO BD 2a 2 2 a3 a d B1 , A1BD a 3 Vậy d B1 , A1BD a 3.7 Bài toán 7: Cho lăng trụ ABC A 'B 'C ' có tất cạnh a Gọi M, N lần lƣợt trung điểm AA ' BB ' Tính khoảng cách B ' M CN A’ C’ B’ M N D A C O B Phân tích toán: Theo thuật toán tìm khoảng cách hai đƣờng thẳng chéo để tính khoảng cách B ' M CN, giáo viên hƣớng dẫn học sinh tìm mặt phẳng chứa CN song song với B ' M Từ nhận thấy B ' M / /( ANC) (vì B ' M / / AN ) Khi đó: d ( B ' M , CN ) d ( B ' M ,( ACN )) d ( B ',( ACN )) Theo giả thiết đề N trung điểm B’B nên d ( B ',( ACN )) d ( B,( ACN )) 36 Khóa luận tốt nghiệp Với O, D lần lƣợt trung điểm BC CN, giáo viên cho học sinh nhận xét OACD tứ diện (tứ diện vuông) Tiếp theo, giáo viên yêu cầu học sinh tính khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (ANC) thông qua việc tính khoảng cách tứ diện vuông OACD Dựa vào diện vuông OACD, học sinh tính đƣợc khoảng cách hạ từ O đến mặt phẳng (ACD) Vì O trung điểm BC nên d ( B,( ACN )) 2d (O,( ACD)) Tính d (O,( ACD)) xong Bài giải: Vì AMB ' N hình bình hành nên: NA / /B 'M Mặt phẳng (ACN) chứa CN ( ACN ) / / B ' M nên: d ( B ' M , CN ) d ( B ' M ,( ACN )) d ( B ',( ACN )) Vì N trung điểm BB’ nên: d ( B ',( ACN )) B ' N d ( B ',( ACN )) d ( B,( ACN )) d ( B,( ACN )) BN OA BC Gọi O, D lần lƣợt trung điểm BC CN nên Suy OD ( ABC ) tứ diện OACD tứ diện vuông O Vì O trung điểm BC nên: d ( B,( ACN )) BC d ( B,( ACN )) 2d (O,( ACD)) 2h d (O,( ACD)) OC Áp dụng tính chất tứ diện vuông (tứ diện OACD vuông O) ta đƣợc: 1 1 64 a h h OA OC OD 3a 37 Khóa luận tốt nghiệp a Vậy d ( B ' M , CN ) 3.8 Bài toán 8: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vuông ABCD tâm O cạnh a, cạnh SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) SA=a Gọi I trung điểm cạnh SC M trung điểm cạnh AB a) Chứng minh đƣờng thẳng IO vuông góc với mặt phẳng (ABCD) b) Tính khoảng cách từ điểm I đến đƣờng thẳng CM S I A B D O M N H C Phân tích toán: Căn vào giả thiết I, O lần lƣợt trung điểm SC AC nên IO / / SA , mà SA ( ABCD) Từ dễ dàng suy IO ( ABCD) Dựa vào thuật toán tìm khoảng cách từ điểm đến đƣờng thẳng, ta phải tìm đƣợc hình chiếu vuông góc I lên CM Ta nhận thấy IO ( ABCD) IO CM nên tiếp tục kẻ OH CM Khi CM vuông góc với IO OH nên CM ( IOH ) , suy CM IH Vậy d I ,CM IH Tính IH xong Bài giải: a) Ta có IO / / SA mà SA ( ABCD) nên IO ( ABCD) 38 Khóa luận tốt nghiệp b) Trong mặt phẳng (ABCD), dựng H hình chiếu vuông góc O CM Khi đó: OH CM Vì IO ( ABCD) IO CM CM IO Ta có: CM ( IOH ) CM IH IH d ( I , CM ) CM OH Gọi N MO CD Vì hai tam giác MHO MNC đồng dạng nên: OH MO CN MC a a CN MO a OH MC a 5 Lại có OI đƣờng trung bình tam giác SAC nên: OI IH IO2 OH SA a 2 a a 3a 20 10 Vậy d I , CM IH a a 30 10 10 3.9 Bài toán 9: Cho hình lập phƣơng ABCD.A’B’C’D’ có cạnh a Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (A’BD) C’ B’ A’ D’ C B H O D A 39 Khóa luận tốt nghiệp Phân tích toán: Cần rằng, tính đƣợc khoảng cách từ điểm A đến (A’BD) thực chất phải tìm đƣợc mặt phẳng qua điểm A vuông góc với mặt phẳng (A’BD) Vận dụng thuật toán tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng ta dựng đƣợc khoảng cách Chính hƣớng tiếp cận theo thuật toán này, học sinh chủ động tìm đƣợc A 'OA A ' BD (do BD A ' OA , với O AC BD ) Dựng đƣờng thẳng AH vuông góc với A’O (với H A 'O ) nên AH ( A ' BD) Vậy d A,( A ' BD) AH Tính AH ta xong Bài giải: Gọi O AC BD Vì AA ' ( ABCD) nên AA ' BD Mặt khác: AO BD suy BD (OAA ') hay ( A ' BD) (OAA ') Trong mặt phẳng (OAA’), kẻ AH OA ' Lại có: BD (OAA ') BD AH AH BD Khi đó: AH ( A ' BD) hay d A, A ' BD AH AH OA ' Xét tam giác OAA’ vuông A có: Vậy d A, A ' BD 1 2 2 2 2 AH AO AA ' a a a a 40 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Ngô Thị Bích Thủy 3.10 Bài toán 10: Cho hình lập phƣơng ABCD A' B ' C ' D ' có cạnh a Gọi M trung điểm DD ' Tính khoảng cách hai đƣờng thẳng CM A ' D D’ C’ A’ B’ M O N G C D A B E Phân tích toán: Dựa vào thuật toán tính khoảng cách tính khoảng cách hai đƣờng thẳng chéo nhau, giáo viên hƣớng dẫn học sinh dựng đƣờng thẳng song song với mặt phẳng chứa đƣờng thẳng Chính vậy, dựng hình bình hành A ' NCM ta chứng minh đƣợc CM / /( A ' ND) (với A 'D (A ' ND ) ) Khi đó: d (CM , A ' D) d (CM ,( A ' ND)) Vì CM / /( A ' ND) nên d (CM ,( A ' ND)) d (M ,( A ' ND)) d (M ,( A ' DE )) (với E giao điểm A’N AB) Vì AM A ' D G nên giáo viên hƣớng dẫn học sinh tính d (M ,( A ' DE )) gián tiếp thông qua tính d ( A,( A ' DE )) Với G trọng tâm tam giác ADD’, học sinh nhận d ( M ,( A ' DE )) d ( A,( A ' DE )) Sở dĩ ta chọn tính khoảng cách từ A AA ' DE tứ diện vuông A nên dễ dàng tính đƣợc d ( A,( A ' DE )) Tính d ( A,( A ' DE )) xong Bài giải: Gọi N trung điểm BB ' A ' NCM hình bình hành Khi đó: A ' N / /CM 41 Gọi E A ' N AB Mặt phẳng ( A ' ND ) chứa A ' D song song với CM nên: d (CM , A' D) d (CM ,( A' ND)) d ( M ,( A' ND)) d ( M ,( A' DE)) Gọi O AD ' A ' D G AD ' AM Khi đó: G trọng tâm tam giác ADD ' Do đó: d ( M ,( A ' DE )) GM 1 d ( M ,( A ' DE )) d ( A,( A ' DE )) d ( A,( A ' DE )) GA 2 Tứ diện AA ' DE tứ diện vuông A nên: d ( A,( A ' DE )) AA '2 AD AE 4a d ( A,( A ' DE )) Vậy d (CM , A' D) d( M,( A' DE)) d( A,( A' DE)) a 2a Khóa luận tốt nghiệp KẾT LUẬN Luận văn thu đƣợc số kết nhƣ sau: Hệ thống đƣợc sở lý thuyết tƣ duy; phân tích đƣợc số toán điển hình khoảng cách nhằm giúp học sinh tìm lời giải; làm tảng cho việc áp dụng vào thực tế giảng dạy Đƣa số cách giải dạng toán khoảng cách HHKG thƣờng gặp chƣơng trình toán trung học phổ thông Chọn lọc số toán tính khoảng cách thƣờng gặp kì thi THPT quốc gia làm tƣ liệu bổ ích cho học sinh Vì lần tham gia nghiên cứu đề tài nên khó tránh khỏi thiếu sót Tôi mong nhận đƣợc đóng góp từ quý thầy cô nhƣ bạn để đề tài hoàn thiện TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Bộ Giáo dục Đào tạo (2009), “SGK Hình học nâng cao lớp 11”, Nhà xuất Giáo dục [2] Bộ Giáo dục Đào tạo (2016), “SGK Hình học lớp 11”, Nhà xuất Giáo dục [3] Bộ Giáo dục Đào tạo (2006), “SGK Hình học nâng cao lớp 12”, Nhà xuất Giáo dục [4] Bộ Giáo dục Đào tạo (2007), “SGK Hình học lớp 12”, Nhà xuất Giáo dục [5] Trung tâm đào tạo từ xa Đại học Huế, “Phƣơng pháp dạy - học Toán”, Nhà xuất Giáo dục [6] Nguyễn Phú Khánh, “Trọng tâm & kiến thức phƣơng pháp giải Toán”, Nhà xuất Đại học Sƣ phạm (2013) ... VẬN DỤNG THAO TÁC TƢ DUY PHÂN TÍCH – TỔNG HỢP ĐỂ TÌM RA LỜI GIẢI CÁC BÀI TOÁN VỀ KHOẢNG CÁCH TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN Phân tích toán xem xét, khai thác đặc điểm, khía cạnh toán để tìm hƣớng giải. .. Các dạng toán khoảng cách hình học không gian Chƣơng 3: Vận dụng thao tác tƣ phân tích – tổng hợp để tìm lời giải toán khoảng cách hình học không gian Các chữ viết tắt sử dụng đề tài: HHKG: hình. .. tài “Vận dụng thao tác tư phân tích – tổng hợp để tìm lời giải toán khoảng cách hình học không gian” làm khóa luận tốt nghiệp Mục đích nghiên cứu: Vận dụng thao tác tƣ phân tích – tổng hợp để