“Vận dụng thao tác tư duy phân tích – tổng hợp để tìm ra lời giải các bài toán về khoảng cách trong hình học không gian”.

Trong môn Toán ở trường trung học phổ thông, phần hình học không gian giữ một vai trò, vị trí vô cùng quan trọng; ngoài việc cung cấp các kiến thức kỹ năng giải toán, hình học không gian còn góp phần rèn luyện cho học sinh những đức tính: cẩn thận, chính xác, sáng tạo và óc thẩm mỹ cao. Hình học không gian là mảng kiến thức khó, mang tính trừu tượng; đặc biệt là bài toán về khoảng cách. Trong quá trình giải toán, việc rèn cho học sinh phân tích giả thiết bài toán để tìm ra mối liên hệ giữa các kiến thức đã học nhằm chỉ ra được vấn đề cần chứng minh còn hạn chế. Nhiều em bộc lộ tính yếu kém về năng lực giải toán. Một số giáo viên đưa sẵn thuật toán, học sinh thuộc – hiểu và áp dụng vào bài tập; các em không nắm được tại sao ta có thuật toán đó? Toán học gắn liền với tư duy; các thao tác tư duy là phần không thể thiếu trong việc tìm ra lời giải bài toán. Thao tác tư duy phân tích – tổng hợp có vai trò hết sức cần thiết cho các em học sinh trong quá trình học tập môn Toán như: giúp học sinh hiểu sâu và đầy đủ những thuộc tính, những trường hợp riêng lẻ nằm trong một khái niệm, một định lý,...

PHẦN I: MỞ ĐẦU 3

1 Lý do chọn đề tài 3

2 Mục đích nghiên cứu 3

3 Đối tượng nghiên cứu 3

4 Phương pháp nghiên cứu 3

5 Phạm vi nghiên cứu 4

6 Cấu trúc khóa luận 4

PHẦN II: NỘI DUNG 5

Chương 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN 5

1.1 Khái niệm về tư duy 5

1.2 Đặc điểm của tư duy 5

1.3 Thao tác tư duy phân tích - tổng hợp 8

1.4 Những khó khăn thường gặp của học sinh khi giải các bài toán khoảng cách trong HHKG 11

Chương 2: CÁC DẠNG BÀI TOÁN VỀ KHOẢNG CÁCH TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN 13

2.1 Kiến thức cơ bản 13

2.2 Các dạng bài tập về khoảng cách 15

Chương 3: VẬN DỤNG THAO TÁC TƯ DUY PHÂN TÍCH – TỔNG HỢP ĐỂ TÌM RA LỜI GIẢI CÁC BÀI TOÁN VỀ KHOẢNG CÁCH TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN 24

KẾT LUẬN 43

TÀI LIỆU THAM KHẢO 44

LỜI CẢM ƠN

Trong suốt thời gian thực hiện đề tài, em đã nhận được nhiều sự quan tâm giúp đỡ từ quý thầy cô giáo cũng như người thân và bạn bè để hoàn thành đề tài:

“Vận dụng thao tác tư duy phân tích – tổng hợp để tìm ra lời giải các bài toán

về khoảng cách trong hình học không gian”

Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới cô giáo – Th.s Ngô Thị Bích Thủy

đã có nhiều ý kiến đóng góp quý báu và định hướng trong suốt quá trình thực hiện đề tài Em cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành đến quý thầy cô trong khoa Toán, trường Đại học Sư phạm – Đại học Đà Nẵng tạo mọi điều kiện để hoàn thành luận văn

về năng lực giải toán Một số giáo viên đưa sẵn thuật toán, học sinh thuộc – hiểu

và áp dụng vào bài tập; các em không nắm được tại sao ta có thuật toán đó?

Toán học gắn liền với tư duy; các thao tác tư duy là phần không thể thiếu trong việc tìm ra lời giải bài toán Thao tác tư duy phân tích – tổng hợp có vai trò hết sức cần thiết cho các em học sinh trong quá trình học tập môn Toán như: giúp học sinh hiểu sâu và đầy đủ những thuộc tính, những trường hợp riêng lẻ nằm trong một khái niệm, một định lý,

Với những lý do trên, tôi quyết định chọn đề tài “Vận dụng thao tác tư duy phân tích – tổng hợp để tìm ra lời giải các bài toán về khoảng cách trong hình học không gian” làm khóa luận tốt nghiệp

2 Mục đích nghiên cứu:

Vận dụng thao tác tư duy phân tích – tổng hợp để giúp học sinh tìm ra lời giải các bài toán về khoảng cách trong hình học không gian

3 Đối tượng nghiên cứu:

Tìm ra lời giải các bài toán về khoảng cách trong hình học không gian

- Phương pháp nghiên cứu lý luận: nghiên cứu các tài liệu liên quan đếncác dạng bài tập, đề thi

- Phương pháp quan sát, điều tra: học hỏi các thầy, cô giáo

5 Phạm vi nghiên cứu:

Đề tài tập trung nghiên cứu các kiến thức trọng tâm trong sách giáo khoa hình học lớp 11, 12 (cơ bản và nâng cao), sách giáo viên và các sách tham khảo liên quan

6 Cấu trúc khóa luận:

Khóa luận gồm 3 chương sau:

Chương 1: Cơ sở lý luận

Chương 2: Các dạng bài toán về khoảng cách trong hình học không gian

Chương 3: Vận dụng thao tác tư duy phân tích – tổng hợp để tìm ra lời giải các bài toán về khoảng cách trong hình học không gian

Các chữ viết tắt sử dụng trong đề tài:

PHẦN II: NỘI DUNG Chương 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN 1.1 Khái niệm về tư duy:

“Tư duy là một quá trình phản ánh những thuộc tính bản chất, những mối quan hệ và liên hệ có tính quy luật bên trong sự vật, hiện tượng trong hiện thực khách quan mà trước đó ta chưa biết” Như vậy, tư duy về bản chất là một quá trình cá nhân thực hiện nhờ các thao tác tư duy nhất định để giải quyết vấn đề hay nhiệm vụ được đặt ra Các thao tác tư duy được nói đến ở đây là thao tác: phân tích, tổng hợp, so sánh, trừu tượng hóa, khái quát hóa Đó là những thao tác cơ bản

Tư duy là hình thức cao nhất của sự phản ánh, là mức độ nhận thức mới về chất so với cảm giác, tri giác Hay nói cách khác, tư duy là sự nhận thức lý tính phản ánh những thuộc tính bản chất bên trong, những mối quan hệ và liên hệ có tính quy luật của sự vật, hiện tượng

Ví dụ: Nhờ tuy duy mà ta biết được hình chóp đều có đáy tứ giác thì đường

cao là đường nối từ đỉnh đến giao điểm của hai đường chéo (đáy là một hình vuông)

Mặc dù tư duy phản ánh được những thuộc tính bản chất bên trong của sự vật hiện tượng nhưng tư duy không phải bao giờ cũng dẫn tới cái đúng mà nó còn phụ thuộc vào chiến thuật và phương pháp tư duy

1.2 Đặc điểm của tư duy:

Tư duy có nhiều đặc điểm đặc trưng như: tính có vấn đề của tư duy, tính gián tiếp của tư duy, tính trừu tượng hóa - khái quát hóa, tư duy quan hệ chặt chẽ với ngôn ngữ, tư duy quan hệ mật thiết với nhận thức cảm tính Đối với con người, tư duy đóng vai trò vô cùng quan trọng vì tư duy giúp ích rất nhiều cho việc mở rộng giới hạn nhận thức; nâng cao khả năng nhìn nhận sâu sắc vào bản chất của sự vật, hiện tượng và tìm ra các mối quan hệ có tính quy luật giữa

được để giải quyết những vấn đề liên quan, nhờ đó tiết kiệm được công sức Tư duy có phương tiện là ngôn ngữ và có sản phẩm là những khái niệm, những

phán đoán, những suy luận được biểu đạt bằng từ ngữ, kí hiệu, công thức

Ví dụ: Khi dạy bài “Khoảng cách” trong chương trình toán hình học 11NC, giáo viên hướng dẫn học sinh làm bài toán sau: “Cho hình chóp S.ABCD

có đáy là hình chữ nhật, SA vuông góc với đáy Tìm khoảng cách từ B đến mặt bên (SCD)”

Theo định nghĩa đã học thì học sinh sẽ tìm hình chiếu vuông góc H của điểm B lên mặt (SCD), nhưng theo cách này việc tìm điểm H là rất khó  Xuất hiện hoàn cảnh có vấn đề

Như vậy, các em phải tìm hiểu kiến thức mới để tìm ra lời giải thông

qua định nghĩa 2 tiếp theo trong bài (tìm khoảng cách từ A đến (SCD) vì

/ /( )

AB SCD ).

1.2.2 Tính gián tiếp của tư duy:

Tư duy có khả năng phản ánh gián tiếp thông qua các dấu hiệu, kinh nghiệm, ngôn ngữ, công cụ,…Tính gián tiếp của tư duy giúp con người nhận thức thế giới khách quan sâu sắc, đầy đủ, đồng thời mở rộng khả năng hiểu biết

của con người, của chủ thể tư duy

Ví dụ: Bằng các phần mềm toán học kết hợp với máy vi tính, giáo viên

có thể minh họa và hướng dẫn cho học sinh thấy rõ: đường cao của một khối đa diện là đường nào?

1.2.3 Tính trừu tượng hóa và khái quát của tư duy:

a) Tính trừu tượng hóa:

Là khả năng con người dùng trí óc để gạt bỏ những liên hệ, nhữngmặt, những thuộc tính không cần thiết mà chỉ giữ lại yếu tố nào là cần thiết để

tư duy

b) Tính khái quát hóa:

Là khả năng con người hợp nhất nhiều đối tượng khác nhau nhưng

có chung những thuộc tính, những mối liên hệ thành một nhóm

Ví dụ: Khi hướng dẫn học sinh làm các bài tập về khoảng cách của một

điểm tới một mặt phẳng, ta có thể gợi ý cho học sinh tìm hiểu phương pháp tính cho trường hợp này có thể áp dụng cho các trường hợp tính khoảng cách khác hay không

1.2.4 Tư duy gắn liền với ngôn ngữ:

Tư duy của động vật bao giờ cũng dừng lại ở tư duy hành động trực giác mà không vượt quá giới hạn đó Còn ở con người, tư duy mang tính gián tiếp, trừu tượng hóa và khái quát hóa Mối liên hệ giữa tư duy và ngôn ngữ là

ngôn ngữ là hình thức biểu đạt cố định của tư duy Nhờ đó, người khác và chủ thể tư duy tiếp cận kết quả tư duy một cách dễ dàng Hay nói cách khác, ngôn

ngữ là phương tiện tư duy

1.2.5 Tư duy quan hệ mật thiết với nhận thức cảm tính:

Tư duy bao giờ cũng liên hệ gắn bó mật thiết với nhận thức cảm tính Nhận thức cảm tính là cửa ngõ của tư duy liên hệ với thế giới bên ngoài; nhận thức cảm tính cung cấp chất liệu cho tư duy và cuối cùng toàn bộ sản phẩm của

tư duy được kiểm nghiệm trong hoạt động thực tiễn

Trong học tập Toán, đặc điểm này thể hiện để tìm hiểu nội dung hay chứng minh một bài toán Trước hết dựa vào nhận thức cảm tính về yêu cầu hay giả thiết (thử hướng này, hướng khác) đi đến nhận xét, kiểm tra bằng hoạt động

tư duy đi đến kết quả

Ví dụ: Cho hình chóp đều S.ABCD có đáy là hình vuông, AB a ,

2

SA a Hãy xác định đường cao của hình chóp S.ABCD

Với những dữ kiện của bài toán: đáy là hình vuông, các cạnh bên đều bằng nhau, các mặt của hình chóp là tam giác cân  Ta có thể đoán được

đường cao của hình chóp hạ từ đỉnh S sẽ đi qua giao điểm của hai đường chéo

sinh Với đặc trưng là phân chia đối tượng nhận thức thành các bộ phận, các thành phần khác nhau sau đó hợp nhất các thành phần đã được tách rời nhờ sự phân tích thành một chỉnh thể Trong môn Toán, thao tác phân tích – tổng hợp thường được sử dụng để tìm hiểu đề bài, để nhận diện bài toán thuộc loại nào, phân tích cách diễn đạt các mối quan hệ của bài toán, phân tích thuật ngữ, phân tích cách hỏi, câu hỏi, yêu cầu của bài toán, những tình huống, tổng hợp các yếu tố, điều kiện vừa phân tích trong bài toán để đưa ra điều kiện mới, kết luận mới, tổng hợp các bước giải bộ phận để liên kết tạo thành bài giải hoàn thiện, tổng hợp các bài toán tương tự theo một tiêu chí nhất định thành một mẫu bài toán, tổng hợp các cách giải tạo thành phương pháp giải chung,

Đây là hai thao tác trái ngược nhau, nhưng lại liên hệ chặc chẽ với

nhau trong một thể thống nhất

1.3.2 Tác dụng trong dạy học toán:

Thao tác tư duy phân tích – tổng hợp có vai trò hết sức cần thiết cho các

em học sinh trong quá trình học tập môn Toán như:

- Giúp học sinh hiểu sâu và đầy đủ những thuộc tính, những trường

hợp riêng lẻ nằm trong một khái niệm, một định lý,

- Từ những thuộc tính riêng lẻ đó học sinh tổng hợp lại để nhận biết

chính xác, đầy đủ một khái niệm,

Đây là thao tác cơ bản luôn được sử dụng để tiến hành những thao tác

khác

1.3.3 Một vài biện pháp thực hiện:

* Khi dạy khái niệm, định nghĩa, tập cho học sinh phân tích các thuộctính bản chất để từ đó tổng hợp lại nhận biết và phân biệt với khái niệm khác

hay để tìm ra mối liên hệ giữa các khái niệm gần gũi nhau

Ví dụ 1: Định nghĩa “Khoảng cách từ một đến một mặt phẳng” được

phân tích thành:

- Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P) là: d M H , ( ; ) H( )P sao cho MH ( )P Kí hiệu: d M P ( ;( ))

Ví dụ 2: Phân tích để thấy sự khác nhau và giống nhau của hai định

nghĩa “ Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song” và “ Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song ”

- Khoảng cách giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P) song song với đường thẳng a là: ( ;( )) d A P với A a Kí hiệu: ( ;( ))d a P

- Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song (P) và (Q) là: ( ;( )) d B Q

* Khi dạy học sinh giải bài tập toán cần phải:

+ Nhìn bao quát một cách tổng hợp, xem xét bài toán đã cho thuộcloại nào? Phân tích cái đã cho và cái cần tìm

+ Thực hiện phân tích và tổng hợp xen kẽ nhau Sau khi phân tíchđược một số ý thì tổng hợp lại để xem ta thu được điều gì bổ ích không, còn thiếu yếu tố nào nữa?

+ Tách bài toán đã cho (thường là khó hơn) thành nhiều bài toán thànhphần, bài toán đặc biệt đơn giản hơn và dễ hơn, và cuối cùng tổng hợp lại để có kết quả

1.4 Những khó khăn thường gặp của học sinh khi giải các bài toán khoảng cách trong HHKG:

HHKG là một phần kiến thức trong chương trình toán THPT tương đối khó nên nhiều học sinh chưa quen với tính tư duy trừu tượng của nó, học sinh khó khăn ngay từ bước đầu tiếp cận ở lớp 11 và dễ dẫn đến sự mất hứng thú đối với HHKG

Qua thực tế cho thấy nhiều học sinh khi làm các bài tập về khoảng cách trong HHKG còn lúng túng, không phân dạng được các bài toán và chưa định hướng được cách giải, Học sinh thường hay gặp phải những khó khăn sau:

+ Vẽ hình chưa đúng hoặc vẽ khó nhìn, khó hình dung

+ Quen với hình học phẳng, óc tưởng tượng không gian chưa tốt, chưavận dụng được các tính chất của hình học phẳng cho hình không gian

+ Khả năng suy luận hình học còn hạn chế, dẫn đến việc xây dựngthuật toán giải còn khó khăn

+ Việc trình bày bài giải của học sinh còn thiếu chính xác, chưa khoa

học, còn lủng củng, suy luận chưa logic

+ Không phân dạng được các bài toán về khoảng cách

+ Không biết đưa các bài tập về khoảng cách từ các trường hợp phứctạp về đơn giản hơn

Chương 2: CÁC DẠNG BÀI TOÁN VỀ KHOẢNG CÁCH TRONG HÌNH

HỌC KHÔNG GIAN 2.1 Kiến thức cơ bản:

Định nghĩa 1: Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng là khoảng

cách từ điểm đó đến hình chiếu của nó trên đường thẳng Khoảng cách từ điểm

A đến đường thẳng ( ) được kí hiệu là ( ,( )) d A 

Định nghĩa 2: Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng là khoảng

cách từ điểm đó đến hình chiếu của nó trên mặt phẳng Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (P) được kí hiệu là ( ,( )) d A P

Định nghĩa 3: Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song là

khoảng cách từ một điểm bất kì của đường thẳng đến mặt phẳng Khoảng cách

Định nghĩa 4: Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là khoảng

cách từ một điểm bất kì của mặt phẳng này đến mặt phẳng kia Khoảng cách

giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) được kí hiệu là: d P(( ),( ))Q

Định nghĩa 5:

- Đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng chéo nhau gọi là đườngvuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau

- Nếu đường vuông góc chung cắt hai đường thẳng chéo nhau tại A và

B thì đoạn thẳng AB là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau

- Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau là độ dài đoạn vuônggóc chung của hai đường thẳng đó

Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b được kí hiệu là:

- Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cáchgiữa hai mặt phẳng song song lần lượt chứa hai đường thẳng đó

Tính chất: Giả sử OABC là tứ diện vuông tại O ( OAOB OB, OC,

OCOA ) và H là hình chiếu của O trên mặt phẳng (ABC) Khi đó đường cao

OH được tính bằng công thức: 1 2 12 12 12

OH OA OB OC

Chú ý: Khoảng cách giữa hai yếu tố điểm, đường thẳng, mặt phẳng là

khoảng cách bé nhất giữa hai điểm thuộc hai yếu tố đó

2.2 Các dạng bài toán về khoảng cách:

a Cách 1: Xác định mặt phẳng chứa điểm A và đường thẳng , sau đó

Dựng AH là đường cao của tam giác ABC thì: ( , d A BC)AH

Theo công thức Hêrông, diện tích S của tam giác ABC là:

Để tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (P), ta làm theo các bước

Ví dụ: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại

A, SA a và SA(ABC), biết BCa Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng

Giải:

Trong (ABC), kẻ AH BC tại H

H

 là trung điểm của BC.

Trong (SAH), kẻ AK BC tại K

a a

+ Trường hợp 2: A( )Q sao cho ( )Q ( )P

Bước 1: Tìm giao tuyến ( ) ( ) Q  P  

Bước 2: Kẻ AH  ( ) Khi đó AH ( ).P Bước 3: Kết luận: AH d A P( ,( ))

Ví dụ: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với

AB AC a a a BK

+ Nếu AB( )P tại trung điểm của AB Khi đó: d A P( ,( ))d B P( ,( )).

Ta có thể dùng công thức này để tính khoảng cách từ đỉnh của hình chóp đến mặt đáy

Ví dụ: Cho hình chóp S.ABC có SA3a vàSA(ABC), ABC có

A

S

C

B

Áp dụng Pitago trong tam giác vuông:

V

S

2.2.2 Khoảng cách giữa hai đoạn thẳng chéo nhau:

Phương pháp: Để tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau d 1 và

d 2, ta thường gặp hai trường hợp sau:

a Trường hợp 1: d1d2

Bước 1: Dựng mặt phẳng (P) chứa d 2 và vuông góc với d 1

Bước 2: Tìm giao điểm d1( )P O

SA AB a a a AH

Bước 2: Khi đó: d d d( ,1 2)d d( ,( ))1 P d M P( ,( )), (Md1 tùy ý)

Ví dụ: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a,