Vận dụng tính chất của tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau vào giải và phát triển một số dạng toán đại số 7

1 MỞ ĐẦU 1.1 Lí chọn đề tài Toán học chương trình THCS nói chung coi môn khoa học Với vai trò môn học công cụ, môn Toán góp phần tạo điều kiện cho em học sinh học tốt môn khoa học khác Đặc biệt chương trình môn Toán lớp toán tỉ lệ thức dãy tỉ số dạng toán bản, em gặp dạng toán chương trình toán học THCS mà nhiều môn học khác Vật lí, Hóa hoc… Trong thực tế giải loại toán học sinh thường vấp phải nhiều sai sót Hệ thống tập vừa đa dạng, vừa phong phú đòi hỏi học sinh phải có đầy đủ kiến thức bản, phương pháp phân tích hợp lí để tìm lời giải cho toán Vì việc hướng dẫn học sinh cách phân tích, khai thác hướng tìm lời giải cho toán, dạng toán quan trọng Từ khơi dậy hứng thú học tập, giúp học sinh học tự tin, hào hứng, đạt kết tốt Trong xu đổi giáo dục, đổi phương pháp dạy học đòi hỏi người dạy toán không dạy kiến thức SGK, hướng dẫn cho HS giải tập cụ thể mà phải hướng dẫn cho em nắm cách giải dạng toán, cách phát triển toán từ toán gốc hay phát triển dạng toán theo mảng kiến thúc Nếu làm tốt điều cho HS thấy việc học toán giải toán trở nên thú vị nhiều Trong năm học vừa qua thân giao nhiệm vụ giảng dạy môn toán bồi dưỡng đội tuyển học sinh giỏi trường THCS Cẩm Vân Tôi tích cực tự bồi dưỡng, xây dựng hướng dạy học cho em học sinh cách vận dụng khai thác toán, dạng toán để giải tập từ đến nâng cao đem lại kết tốt Vì lí mà chọn đề tài “Vận dụng tính chất tỉ lệ thức dãy tỉ số vào giải phát triển số dạng toán đại số 7” Với mực đích chia sẻ trao đổi kinh nghiệm đồng nghiệp Mặc dù cố gắng song đề tài khó tránh khỏi thiếu sót, mong hội đồng chuyên môn góp ý 1.2 Mục đích nghiên cứu Bằng cách xây dựng hệ thống số dạng toán sách giáo khoa “Đại số 7” tỉ lệ thức dãy tỉ số Từ phát triển lên toán khó nhằm phát triển tư duy, khơi dậy hứng thú học tập, giúp học sinh tự tin, hào hứng, mong muốn đưa đề tài vào thực tế giảng dạy để góp phần phát triển lực học toán học sinh để đạt kết tốt học toán 1.3 Đối tượng nghiên cứu Nghiên cứu, tổng kết số kinh nghiệm trình hướng dẫn học sinh Vận dụng tính chất tỉ lệ thức dãy tỉ số vào giải phát triển số dạng toán đại số 1.4 Phương pháp nghiên cứu - Nghiên cứu phương pháp trình bầy lí thuyết SGK đại số xây dựng hệ thống tập SGK, SBT loại sách tham khảo, từ tổng hợp phân loại dạng tập nhiều mức độ khác nhau, có liên quan với để xây dựng đề tài - Khảo sát chất lượng học sinh trước sau triển khai đề tài dạng kiểm tra kiến thức trắc nghiệm tâm lí đề tài để lấy kết phân tích, thu thập thông tin mức độ, từ thống kê, so sánh rút kết luận NỘI DUNG CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lý luận vấn đề Hiện nay, thực chương trình cải cách giáo dục với nội dung kiến thức ngày nâng cao Đòi hỏi học sinh nắm vững kiến thức mà phải vận dụng, khai thác phát triển tốt tập thực tiễn Rèn luyện khả suy luận lôgic, khả quan sát dự đoán, phát triển trí tưởng tượng, luyện kĩ sử dụng ngôn ngữ xác Bồi dưỡng phẩm chất tư như: linh hoạt, độc lập sáng tạo Trong chương trình toán học THCS nói chung phân môn có dạng toán riêng, kèm với phương pháp giải riêng Chính mà người dạy lẫn người học phải có phương pháp nghiên cứu cách hợp lí có kết tốt Khi giải tập toán học đòi hỏi học sinh phải linh hoạt việc áp dụng công thức mà phải đào sâu khai thác, phát triển toán để tổng quát hóa, khái quát hóa kiến thức Để đạt mục tiêu đó, thầy cô giáo cần trang bị cho học sinh kiến thức, kĩ làm tập Toán mà phải khơi dậy em lòng say mê, tính tích cực, tự giác học tập Đây vấn đề Nhưng làm để đạt mục tiêu không đẽ chút 2.2Thực trạng vấn đề: Có thực trạng dễ nhận thấy học sinh học toán phần lớn đầu tư vào việc giải hết toán đến toán khó khác mà chưa tìm cho minh phương pháp nâng cao lực học toán Mặt khác tiết tập thường có thầy số học sinh giỏi hoạt động tích cực số đông tham gia cách thụ động, phải em thiếu kiến thức kỹ học toán Qua quan sát theo dõi thân nhận thấy có nhiều học sinh chăm chỉ, lí thuyết thuộc lòng giải toán thụ động thiếu niềm tin, thân nghĩ yếu tố định đến kết học học sinh phương pháp “ Phương pháp dạy thầy phương pháp học trò” cần phải dạy cho học sinh phương pháp học toán trước dạy toán, cách vận dụng kiến thức, khai thác toán từ toán gốc… Trong Toán học bao gồm nhiều nội dung, nhiều dạng toán khác nhau, dạng toán không liên quan với nhau, liên quan, liện quan mật thiết với song học sinh khó nhận điều Đặc biệt toán chứng minh, tính giá trị biểu thức… 2.3 Các giải pháp sử dụng để giải vấn đề: A - CÁC GIẢI PHÁP THỰC HIỆN Lý thuyết học sinh cần nắm được: Tính chất tỉ lệ thức: 1.1 a c ⇔ ad = bc = b d 1.2 Từ tỉ lệ thức (b; d ≠ 0) a c = ta suy tỉ lệ thức sau: b d a b d c d b = ; = ; = c d b a c a (với a; b; c; d khác 0) Như với a; b; c; d khác từ năm đẳng thức nêu ta suy đẳng thức lại ad = bc a c = b d a d = c d d c = b a Tính chất dãy tỷ số a c = ta suy b d a a+c = (b + d ≠ 0) b b+d a a−c = (b – d ≠ 0) b b−d Từ (2 1) (2 2) a c e * Mở rộng từ dãy tỉ số b = d = f ta suy a c e a+c+e a−c+e = = = = b d f b+d + f b−d + f (Giả thiết tỉ số có nghĩa) 3.Tính chất phân số d b = c a a a.m = b b.m Với m ≠ a a:n = với n ước chung a;b b b:n 4.Tính chất lũy thừa Nếu a = b => an = bn với n ∉ N B CÁC BIỆN PHÁP THỰC HIỆN Thông qua việc nghiên cứu giảng dạy toán tỉ lệ thức dãy tỉ số sách giáo khoa, sách tham khảo tiến hành phân loại thành số dạng đại số hướng dẫn học sinh tìm kiến thức có liên quan cần thiết để giải phát triển dạng toán Sau số dạng toán phát triển theo hướng trên: DẠNG CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC * Bài toán Bài toán Cho a c a+c a−c = Chứng minh = b d b+d b−d Phân tích: + Ta thấy đẳng thức cần chứng minh xuất tổng hiệu số hạng số hạng + Dấu hiệu nhận thấy tính chất cần dùng (1.2); (3.1) (2.1) Hướng giải Cách 1: Áp dụng tính chất dãy tỉ số Ta có: a c a+c = = b d b+d (1) a c a−c = = b d b−d (2) Từ (1) (2) ta có a+c a−c = b+d b−d ( ĐPCM) Cách 2: Dùng phương pháp tính giá trị biểu thức để tính: a c = = k => a =kb; c = kd b d Đặt Ta có: a + c kb + kd k (b + d ) = = =k b+d b+d b+d a − c kb − kd k (b − d ) = =k = b−d b−d b−d Từ (3) (4) ta có Bài toán a+c a−c = b+d b−d (3) (4) ( ĐPCM) Chứng minh a2 = bc (với a ≠ b a ≠ c; a,b,c ≠ 0) Thì a+b c+a = a−b c−a (*) Giáo viên cần yêu cầu học sinh tìm hướng giải toán Hướng giải Cách 1: Dùng phương pháp tính giá trị biểu thức: a b = = k = >a = ck ; b = ak c a Đặt Ta có: a + b ck + ak c + a = = ( ĐPCM) a − b ck − ak c − a Cách 2: Dùng cách biến đổi tương đương: Từ a2 = bc => 2a2 = 2bc => a2 + a2 = bc + bc => a2 – bc = bc – a2 => ac – ab + a2 – bc = ac – ab + bc – a2 => (ac – cb) + (a2 – ab) = (ac – a2) + (bc – ab) => c (a-b) + a(a-b) = a (c-a) +b (c-a) => (a-b) (c+a) = (a+b) (c-a) => a+b c+a = ( ĐPCM) a−b c−a Bài toán Chứng minh từ tỉ lệ thức Ta suy tỉ lệ thức a c = b d ( a ± b ≠ 0; c ± d ≠ 0; a, b, c, d ≠ 0) a+b c+d = a−b c−d * Từ cách phân tích GV cho học sinh tự tìm lời giải Hướng giải Cách 1: Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có: Từ a c a b = => = (vì c; d ≠ 0) b d c d a b a+b a−b = = = (vì c + d ≠ 0; c – d ≠ 0) c d c+d c−d Từ a+b a −b a+b c+d ⇒ = = ( ĐPCM) c+d c−d a−b c−d Cách 2: Dùng phương pháp tính giá trị biểu thức a c = = k = >a = bk ; c = dk b d Đặt a+b bk + b b(k + 1) k +1 c + d dk + d d (k + 1) k + = = = c − d dk − d d (k − 1) k − (**) Ta có: a − b = bk − b = b(k − 1) = k − (k ≠ a ≠ b) Từ (*) (**) => Cách 3: Từ a+b c+d = ( ĐPCM) a−b c−d a c = = >ad = bc = >2bc = 2ad b d => bc – ad = ad - bc => ac – bd + bc – ad = ac – bd + ad – bc => (ac + bc) – (bd + ad) = (ac – bc) – (bd – ad) => c (a + b) – d (a+b) = c (a-b) + d (a-b) => (a+b) (c-d) = (a-b) (c + d) => a+b c+d = ( ĐPCM) a−b c−d Bài toán Cho a c = Chứng minh b d ( a + b )( c − d ) = ( a − b )( c + d ) Hướng giải Phát triển từ cách giải toán ta chứng minh được: a+b c+d ⇒ ( a + b )( c − d ) = ( a − b )( c + d ) = a−b c−d Bài toán Cho a c 2a + 3c 2b − 3c = Chứng minh = b d 2a + 3d 2b − 3d * Phân tích: + Ta thấy dấu hiệu chứng minh giống tập nêu , điểm khác xuất hiện: 2a, 2b, 3c, 3d + Để đến kết luận ta suy nghĩ tìm cách làm xuất biểu thức… + Để xuất biểu thức cần áp dụng tính chất phân số a a.m = với m ≠ b b.m Hướng giải Cách Từ a c a c 2a 3c ⇒ = = = = b d b d 2b 3d Áp dụng tính chất dãy tỉ số nhau, ta có a c 2a 3c 2a + 3c = = = = b d 2b 3d 2b + 3d (1) a c 2a 3c 2a − 3c = = = = b d 2b 3d 2b − 3d (2) Từ (1) (2) suy ta 2a + 3c 2b − 3c = ( ĐPCM) 2a + 3d 2b − 3d Cách 2: Dùng phương pháp tính giá trị biểu thức Đặt a c = = k Thực cách toán b d * Bài toán phát triển Cho a c = Chứng minh : b d a b = a+c b+d a+b a −b = c+d c−d b a−b = d c−d a−b c−d = b d (b – d)c = (a – c)d 11a + 3b 3a − 11b = 11c + 3d 3c − 11d 2a + 3b)(4c – 3d) = (4a – 3b)(4c + 3d) 2003a − 2004b 2003a + 2004b = 2003c − 2004d 2003c + 2004d (Giả thiết tỉ số có nghĩa) Bài toán Cho a c a2 + c2 a2 − c2 = Chứng minh = b d b + d b2 − d GV: Khi gặp toán dạng tâm lí học sinh thường cảm thấy sợ, giáo viên hướng dẫn học sinh cách quan sát, nhận định thực chất dạng tập nêu * Phân tích: + Ta thấy đẳng thức cần chứng minh có dạng toán toán xuất thêm bình phương ta phải làm để xuất lũy thừa Hướng giải Cách 1: Từ a c a c a2 c2 ⇒ ( )2 = ( )2 = = = b d b d b d Áp dụng tính chất dãy tỉ số nhau, ta có Do đó: a2 c2 a2 + c2 a2 − c2 = = = ( ĐPCM) b2 d b2 + d b2 − d * Lưu ý: Lỗi suy luận sai học sinh hay mắc phải a c a2 c2 = Ta có: = = ( Suy luận sai) b d b d a c a2 c2 Suy luận : = ⇒ = b d b d a c Cách 2: Đặt = = k Thực cách giải b d * Giáo viên mở rộng, phát triển tập dạng sau: Bài toán a c = Chứng minh b d Cho a3 + b3 a − b3 = c3 + d c3 − d Hướng giải Tương tự cách giải: Cách 1: Từ a c a c a3 c3 a3 b3 ⇒ ( ) = ( ) = = => = = b d b d b d c d Áp dụng tính chất dãy tỉ số nhau, ta có a3 b3 a3 + b3 a3 − b3 = = = ( ĐPCM) c3 d c3 + d c3 − d a c Đặt = = k => …… b d Do đó: Cách 2: * Nhận xét: Qua cách phát triển toán toán thấy việc chứng minh đẳng thức với lũy thừa điều không quan trọng • Bài toán phát triển a c = Chứng minh b d ( a + b) a + b = (c + d ) c + d a 10 + b10 a 10 + d 10 = (a + b)10 (c + d )10 (a − c) n a n = (c − d ) n b n (a + b ) ( a + b ) = ( c + d ) (c + d ) 3a + 5ab 3c + 5ac = a − 10b 7c − 10d ka n + mb n kc n + md n = pa n − qb n pc n − qd n Cho (Giả thiết tỉ số có nghĩa) Bài toán a2 + b2 a a b = Cho = Chúng minh rằng: 2 b +c c b c * Lưu ý : Để giải toán đòi hỏi học sinh có bước suy luận cao hơn, không dập khuôn máy móc mà phải chọn lọc tinh tế bước biến đổi từ tính chất tỉ lệ thức để có cách giải phù hợp Hướng giải Cách 1: Sử dụng tính chất thay thế, biến đổi ta có lời giải sau: Từ: a b ⇒ b2 = ac Thay vào vế trái ta có: = b c a + b a + ac a (a + c ) a = = = (đpcm) b + c ac + c c( a + c) c Cách 2: Vận dụng tính chất đơn điệu phép nhân (lũy thừa) đẳng thức đẳng thức ta có lời giả sau: a b a a b b a2 b2 a2 + b2 = → ⋅ = ⋅ = = = (1) b c b b c c b c b + c2 a b a2 a2 a = Mà: = → b = ac → = (2) b c b ac c a2 + b2 a = Từ (1) (2) → (đpcm) b +c c GV: Tương tự ta phát triển cách giải toán sau Bài toán Cho a c a + c ac = Chứng minh = b d b + d bd Phân tích: + Ta thấy đẳng thức cần chứng minh xuất tổng lũy thừa mà xuất tích ac; bd, ta phải vận dụng linh hoạt tỉ lệ thức dãy tỉ số bàng + Dấu hiệu nhận thấy tính chất cần dùng (1.1);(2.1) (3.1) Hướng giải Cách 1: Tính chất mở rộng tỉ lệ thức Từ a c a c a a a c ac ⇒ ( )2 = ( )2 = = = = b d b d b b b d bd ac a2 c2 Do đó: = = bd b d (1) Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có a2 c2 a2 + c2 = = b2 d b +d2 (2) Từ (1) (2) suy ac a2 + c2 = ( ĐPCM) 2 bd b +d Cách 2: Tính giá trị biểu thức Đặt a c = = k a = kb, c = kd b d Ta có: ac kb.kd = = k2 bd bd (1) a2 + c2 (kb) + (kd ) k (b + d ) = = = k2 2 2 2 b +d b +d b +d ac a2 + c2 Từ (1) (2) suy = ( ĐPCM) bd b +d Cách 3: Biến đổi tương đương Xét tích ac( b2 + d2) bd(a2 + c2) Ta có: ac( b2 + d2) = ab2c + acd2 = ab.bc + ac.cd (1) bd(a2 + c2) = a2bd + bc2d = ab.bd + bc.cd (2) So sánh (1) (2) y ad = bc ( a c = ) b d Suy ra: ac( b2 + d2) = bd(a2 + c2) Do đó: ac a2 + c2 = ( ĐPCM) 2 bd b +d Bài toán 10 Cho: a b c a  a+b+c = = Chứng minh:   = b c d d b+c+d  Hướng giải Ta có: a b c a+b+c = = = (2) b c d b+c+a a b c a = (1) ; b c d d a  a+b+c Từ (1) (2) =>   = d b+c+d  * Bài toán phát triển Cho a c = Chứng minh b d 4a + 5b a 2c = 4c + d b2d 10 (a − c ) 2016 a 2016 = (c − d ) 2016 b 2016 ( a − b) (c − d ) = (a + b) ab = (c + d ) cd ab cd (Giả thiết tỉ số có nghĩa) Bài toán 11: Cho a, b, c thỏa mãn a b c = = 2008 2009 2010 Chứng minh rằng: 4(a – b) (b – c) = (c – a)2 (*) * Phân tích: - Bài toán cho xuất dãy tỉ số - Dấu hiệu kiến thức cần vận dụng tính chất dãy tỉ số - Làm để xuất thành phần a – b; b – c; c – a? - Từ GV định hướng học sinh tìm lời giải Hướng giải Cách 1: Từ giả thiết áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có: a b c a−b b−c c−a = = = = = 2008 2009 2010 2008 − 2009 2009 − 2010 2010 − 2008 => a−b b−c c−a (a − b) (b − c)  c − a  = = => =  −1 −1 −1 −1   => (a-b) (b-c) = (c-a)2 Cách 2: Dùng cách tính giá trị biểu thức Đặt a b c = = =k 2008 2009 2010 => a = 2008k ; b = 2009k ; c = 2010k Ta có: 4(a – b) ( b- c) = (2008k – 2009k) (2009k – 2010k) = 4.(-k) (-k) = 4k2 => ( a – b) (b – c) = 4k2 (1) (c – a)2 = (2010k – 2008k)2 = (2k)2 = 4k2 (2) Từ (1) (2) => 4( a – b) (b – c) = (c - a)2 GV: Ta thấy (a – b) (b – c) = (2a – 2b) (2b – 2c) Để chứng minh (*) ta biểu diễn 2b qua a + c nào? Cách 3: Từ giả thiết ta có: 11 a b c a+c a+c 2b = = = = = = >2b = a + c 2008 2009 2010 2008 + 2010 4018 4018 = (a-b) (b-c) = (2a – 2b) (2b – 2c) = (2a – a – c) (a + c – 2c) = (a-c) (a –c) = (a – c)2 * Nhận xét: Trong trình triển khai dạng toán qua khảo sát cho thấy học sinh hứng thú học tập mong đợi làm tập dạng, kết mang lại khả quan * Kết luận: Thông qua toán thấy việc giải phát triển qua làm cho học sinh tự tin, chủ động hứng thú trình làm tập, từ cho thấy học toán, giải toán chứng minh đẳng thức sử dụng tỉ lệ thức dãy tỉ số với học sinh không khó DẠNG TÍNH GIÁ TRỊ BIỂU THỨC  Bài toán Bài toán 12 Cho a b c = = với a,b,c ≠ a + b + c ≠ So sánh số a, b, c b c a Phân tích Dấu hiệu toán cho dãy tỉ số Vận dụng tính chất dãy tỉ số để giải Hướng giải Cách 1: Áp dụng tính chất dãy tỉ số nhau, ta có a b c a+b+c = = = =1 (Do a + b + c ≠ ) b c a a+b+c ⇒ a = b; b = c; c = a ⇒ a = b = c *Lưu ý: Lỗi sai phần lớn kiến thúc chưa khẳng định a + b + c ≠ Cách 2: Đặt a b c = = =k b c a => a = k.b ; b = c.k ; c = a.k => a.b.c = (bk) (c.k) (a.k) = abc k3 => k3 = (do a.b.c ≠ 0) => k = 1; => a = b ; b = c ; c = a => a = b = c Cách 3: Đặt a b c = = = k => a=bk; b = ck; c = ak b c a => a=bk = (c.k).k = [(ak).(k)].k = ak3 => k3 = (vì a ≠ 0) => k = => a = b = c Cách 4: a b c a b c abc = = = k => k3 = = = = = (vì a.b.c ≠ 0) b c a b c a abc  k = => a = b = c Bài toán 13 12 x y z Cho y = z = x , x + y + z ≠ x; y; z số khác Tính A = x 3333 y 6666 z 9999 * Phân tích - Dấu hiệu cho xuất dãy tỉ số lũy thừa là: 3333 + 6666 = 9999 Nếu x = y = z thi đến kết - Kiến thức vận dụng ? Bài toán số 12 hương giải Hướng giải Áp dụng tính chất dãy tỉ số nhau, ta có: x y z x+ y+z = = = =1 (Do x + y + z ≠ ) y z x x+ y+z ⇒ x = y; y = z; z = x ⇒ x = y = z Đặt x = y = z = k ≠ x 3333 y 6666 k 3333 k 6666 k 9999 Khi đó: A = = = 9999 = z 9999 k 9999 k  Ta phát triển toán thành toán sau: Bài toán 14 Cho xz = y ; xy = z , x + y + z ≠ x; y; z số khác Tính giá trị biểu thức: P = y 3333 x 1111 z 2222 Hướng giải x y y z Ta có: xz = y ⇒ y = z (1) xy = z ⇒ = (2) z x x y z Từ (1) (2) ⇒ y = z = x Áp dụng cách giải toán số 13 ta có: x = y = z Vậy: P = Bài toán 15 Cho yz = x ; xz = y ; x + y + z ≠ x; y; z số khác Tính giá trị biểu thức: B= ( x + y + z ) 999 x 222 y 333 z 444 Hướng giải Áp dụng cách giải toán số 12 ta có: x = y = z Đặt x = y = z = k ≠ (k + k + k ) 999 (3.k ) 999 Vậy: B = 222 333 444 = = 999 999 k k k k * Bài toán phát triển a a a a n −1 n 1.Cho a = a = = a = a ; (a1a a n ≠ 0) n Chứng minh rằng: a1 = a2 = …=an a b c = = a = 2008 Tính b; c? b c a a b c Cho = = ; a + b + c ≠ a; b; c số khác b c a Cho 13 Tính A = a 1060 b1940 c 3000 Cho b2 = ac ; c2 = ab Chứng minh (30a + 4b + 1975c)2008 = 20092008a2007 a a a a a n −1 n Cho a = a = a = = a = a n Tính giá trị biểu thức M = (a1 + a + + a n ) 2 2 a1 + 2a + 3a3 + + na n (Giả thiết tỉ số có nghĩa)  Nhận xét: Thông qua toán thấy việc giải phát triển qua làm cho học sinh tự tin, chủ động hứng thú trình giải toán DẠNG TÌM CÁC SỐ BIẾT TỔNG, HIỆU HOẶC TÍCH VÀ TỈ SỐ CỦA CHÚNG * Bài toán x y = x + y = 10 x y  Gợi ý: Giả thiết x + y = 10 tỉ lệ thức = ta áp dụng tính chất Bài toán 16: Tìm số x ; y biết trên? Hướng giải Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta được: x y x+ y 10 = = = =2 2+3 => x = 2.2 = ; y = 2.3 = * Để khắc sâu phát huy tính sáng tạo học sinh giáo viên phát triển tập tương tự Bài toán 17 Tìm x ; y ; z biết x y z = = 5x + y – 2z = 28 10 21  Gợi ý: Ở này, để áp dụng cách giải toán 16 ta làm ? Hướng giải Từ giả thiết: x y z x y z x + y + z 28 = = = = = = = =2 10 21 50 42 50 + − 42 14 => x = 10.2 = 20 ; y = 6.2 = 12 ; z = 21.2 = 42 * Từ giáo viên phát triển tập sau: Bài toán 18 Tìm x ; y ; z biết: 3x = 2y; 7y = 5z x – y + z = 32 Hướng giải Câu hỏi tình huống: Làm để xuất dãy tỉ số ? 14 Từ Từ x 3x = y = > = z y = 5z = > = y x y => =  x y z 10 15  = => = y z y 10 15 21 => =   21 15  Từ sử dụng cách giải toán 17 Bài toán 19 Tìm số x ; y biết x y = x2 + y2 = 100 Hướng giải x y x y x y2 x + y 100 = => = = = =4 => = 14 14 + 14 25 => x = 4.9 = 36 => x = ± ; y = 4.16 = 64 => y = ± Từ: 2 + Nếu x = => y = + Nếu x = -6 => y = -8 Bài toán 20 a −1 b + c − = = 5a – 3b – c = 46 Xác định a, b, c Cho: Hướng giải Cách a − b + c − 5(a − 1) − 3(b + 3) − 4(c − 5) 5a − 3b − 4c − − + 20 = = = = = = −2 = 10 − 12 − 24 10 − 12 − 24  a = -3 ; b = -11; c = -7 Cách : Dùng phương pháp thay Đặt : a −1 b + c − = = = t ; Sau rút a, b, c theo t thay biêu thức tìm t = -2, từ timg a, b, c Bài toán 21 : Tìm x ; y ; z biết y + z +1 x + z + x + y − = = = x y x x+ y+z Hướng giải Điều kiện : x ; y ; z ≠ Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có VT y + z +1 x + z + x + y −3 y + z +1+ x + z + + x + y −3 = = = x y z x+ y+z 2( x + y + z ) = x + y + z = Do x + y + z ≠ 1 ⇒ = ⇒ x + y + z = = 0.5 x+ y+z => x + y = 0.5 – z; y + z = 0.5 – x; Thay giá trị vào dãy tỉ số ta x + z = 0.5 – y y + z +1 0,5 − x + =2→ = ⇔ 0.5 – x + = 2x ⇔ x = 0.5 x x x+z+2 0,5 − y + =2⇒ = ⇔ 0.5 – y + = 2y ⇔ y = y y 15 x+ y−3 0,5 − z − =2⇒ = ⇔ 0.5 – z – = 2z ⇔ z = z z 5 Vây: (x; y; z) = (0.5; ; - ) 6 * Theo tinh thần giáo viên tiếp tục thể phát triển lên dạng tập * Bài toán phát triển Tìm x ; y ; z biết 2x 3y 4z = = x + y + z = 49 x −1 y − z − = = 2x + 3y – z = 50 4x = 5y 3x – 2y = 30 3x = 2y x − y = 37 3x = 2y (x+y)3 – (x-y)3 = 126 x y z y + z + = x + z + = x + y − = x + y + z Bài toán 22 : Bài toán Tìm x, y biết GV: Từ x y = (1) x.y = 90 x y = làm để xuất dãy tỉ số có thành phần (xy)? Từ giúp học sinh định hướng cách giải Hướng giải Cách 1: Dùng phương pháp tính giá trị dãy số để tính ta có lời giải sau Đặt x y = = k = > x = 2k ; y = 5k 90 = xy = (2k) (5k) = 10k2 => k2 = 90 : 10 = => k = ± + Nếu k = => x = 2k = => y = 5k = 15 + Nếu k = -3 => x = 2k = -6 => y = 5k = -15 Cách 2: Sử dụng tính chất phép nhân ta có lời giải sau giải Từ: xy = 90 => x ≠ Nhân vế (1) với x ta có: x xy 90 = = = 18 5 = > x = 2.18 = 36 = > x = ±6 y + Nếu x = => = = > y = 15 −6 y = = > y = −15 + Nếu x = -6 => Cách 3: Tính chất mở rộng tỉ lệ thức ta có lời giải sau: x y x y xy 90 x = = >  = = = = => x = 36 5 10 10 2 + Nếu x = => y = 15 + Nếu x = -6 => y = -15 *Lưu ý: Lỗi suy luận sai học sinh hay mắc phải 16 Ta có: a c a.c = = ( Suy luận sai) b d b.d Cách 4: Sử dụng phương pháp thay ta có lời giải sau: x y 5x = = >y = 5x 5x = >5 x = 90.2 => 90 = xy = x = 2 90 = 36 = > x = ±6 => x2 = Từ + Nếu x = => y = 15 + Nếu x = -6 => y = -15 * Lưu ý: Ở toán kết luận: x = ± ; y = ± 15 sai * Bài toán phát triển Tìm x; y biết: 2x = 3y xy = 24 5x = 2z; 5y = 3z xyz = 810 x y = x.y2 = 96 x y = x2.y = 96 −2 * Nhận xét: Từ việc giải phát triển toán SGK lên tập nâng cao cách tự nhiên làm cho học sinh quên minh giải dạng toán mà trước coi khó, cách nâng cao lực học toán học sinh DẠNG CHIA MỘT SỐ THÀNH CÁC PHẦN TỈ LỆ VỚI CÁC SỐ CHO TRƯỚC Bài toán 23: Bài toán Chia số 30 thành ba phần tỉ lệ thuận với 4; 5; Tính giá trị phần * Phân tích * Gợi ý: Để tìm lời giải cho toán đưa nhận xét xem liệu có cách đưa giá trị cần tìm lập thành biểu thức để xuất áp dụng tính chất dãy tỉ số không ? Suy nghỉ đến tính chất đại lượng tỉ lệ thuận Hướng giải Gọi giá trị cỉa số phải tìm x; y; z x y z = = x + y + z = 30 x y z x + y + z 30 = Từ ta có: = = = =2 + + 15 ⇒ x = ; y = 10; z = 12 Theo đề ta có: • Để khắc sâu phát huy tính sáng tạo học sinh giáo viên phát triển tập tương tự sau: Bài toán 24 17 Chia số 130 thành ba phần tỉ lệ nghịch với 4; 3; Tính giá trị phần Gợi ý: Tương tự ta nghĩ đến tính chất đại lượng tỉ lệ nghịch Hướng giải Gọi giá trị cỉa số phải tìm x; y; z ≠ Theo đề ta có: 4x = 3y = 2z x + y + z = 30 Từ: 4x = 3y = 2z => x y z x + y + z 130 = = = = = 10 + + 13 ⇒ x = 30 ; y = 40; z = 60 Bài toán 25 Tam giác ABC có số đo góc A; B; C tỉ lệ thuận với 3; 5; Tính số đo góc Hướng giải Theo điều kiện đàu ta có: Từ ta có: A B C = = A + B + C = 180 A B C A + B + C 180 = = = = 12 = 3+5+ 15 ⇒ A = 36 ; B = 60; C = 84 Vậy: ∠ A = 360; ∠ B = 600; ∠ C = 840 Bài toán 26: Một hợp tác xã chia 1500kg thóc cho ba đội sản xuất tỉ lệ với số người đội Biết số người đội thứ hai trung bình cộng số người đội thứ đội thứ ba Đội thứ nhận nhiều đội thứ ba 300kg Hỏi đội nhận thóc ? Phân tích Bài toán có hai đại lượng chưa biết số thóc số người, đầu hỏi số thọc đội ý đặc điểm số thóc tỉ lệ với số người đôi GV: Có cách để đưa toán tỉ lệ thức dãy tỉ số hay không ? Ta phải làm nào? Hướng giải Gọi x; y; z số thóc đội thứ nhất, thứ 2, thứ ( x; y; z > 0, tính kg) Theo đề ta có: x + y + z = 1500 (1) x – y = 300 (2) Vì số thóc tỉ lệ với số người nên theo đề ta có: x + z = 2y (3) Từ (1) (3) ta suy ra: 3y = 1500 ⇒ y = 500 18 Từ suy ra: x + z = 1000 (4) Từ (2) (4) ta suy ra: x = 650; y = 350 Vậy: Đội thứ nhận 650kg thóc, đội thứ hai nhận 500kg thóc đội thứ hai nhận 350 kg thóc * Bài toán phát triển Chia số 210 thành ba phần tỉ lệ thuận với 4; 7; 10 Tính giá trị phần Chia số 190 thành ba phần tỉ lệ nghịch với 5; 4; 10 Tính giá trị phần Tìm ba số x; y; z biết x + y + z = 28; x y tỉ lệ thuận với 9; y z tỉ lệ thuận với Tìm ba số x; y; z biết a + b + c = 38; a b tỉ lệ thuận với 3; b c tỉ lệ nghịch với * Nhận xét: Với tinh thần mục tiểu mà đề tài nghiên cứu từ toán giáo viên tổng hợp dạng tập nâng dần mức độ, tổ chức học sinh chủ động khám phá thấy việc giải toán nhiệm vụ người học mà niềm vui 2.4 Hiệu SKKN: Khi chưa áp dụng cách khai thác thấy học sinh lúng túng, mơ hồ toán xuất kiện mới, tìm lời giải Nhưng cung cấp kiến thức thân thấy học sinh biết cách tư tìm tòi lời giải có hiệu rõ rệt Tuy nhiên Toán học môn học khó rộng kiến, đa dạng phương pháp trình nghiên cứu phải thường xuyên liên tục kết trình giáo dục cao Năm học Kết so sánh trước sau triển khai đề tài thể bảng Áp Số Học sinh giải tập theo mức độ dụng đề Lớp lượng Từ Từ Từ Từ tài học -> 20% -> 50% -> 80% 80% trở sinh 20% 50% lên SL % SL % SL % SL % Đã áp dụng 7ª 40 2.5 20.0 19 47.5 12 30.0 Chưa áp dụng 7B 39 12.8 12 30.8 20 51.3 5.1 Đã áp dụng 7ª 30 0 6.7 13 43.3 15 50.0 2011 2012 2011 2012 2014 201 2014 Chưa 201 áp dụng 19 7B 29 13.8 10 34.5 14 48.3 3.4 KẾT LUẬN Sau thực đề tài “Vận dụng tính chất tỉ lệ thức dãy tỉ số vào giải phát triển số dạng toán đại số 7” theo nội dung nêu trên, kết mà thu khả quan Trong năm trước chưa áp dụng phương pháp vào giảng dạy,tôi thấy phần lớn em thường gặp nhiều khó khăn giải toán dãy tỉ số Tuy nhiên kết chưa thể đánh giá hết thực chất việc học, việc giải toán dãy tỉ số học sinh mà phần thể ý tưởng, tác dụng đề tài Trên nét kinh nghiệm mà thân thực rút thực tế giảng dạy Tôi mong kinh nghiệm góp phần nhỏ vào việc giải toán vận dụng tỉ lệ thức dãy tỉ số Rất mong góp ý đồng nghiệp XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ …………………………………… …………………………………… …………………………………… …………………………………… …………………………………… …………………………………… …………………………………… Cẩm vân, ngày 12 tháng năm 2016 Tôi xin cam đoan SKKN viết, không chép nội dung người khác Trần Thanh Bằng 20 TÀI LIỆU THAM KHẢO 21 ĐÁNH GIÁ, XẾP LOẠI CỦA HĐKH TRƯỜNG THCS CẨM VÂN 22 ĐÁNH GIÁ, XẾP LOẠI CỦA HĐKH PGD&ĐT CẨM THỦY 23 ĐÁNH GIÁ, XẾP LOẠI CỦA HĐKH SỞ GDĐT THANH HÓA 24 ... thực đề tài Vận dụng tính chất tỉ lệ thức dãy tỉ số vào giải phát triển số dạng toán đại số 7 theo nội dung nêu trên, kết mà thu khả quan Trong năm trước chưa áp dụng phương pháp vào giảng dạy,tôi...Nghiên cứu, tổng kết số kinh nghiệm trình hướng dẫn học sinh Vận dụng tính chất tỉ lệ thức dãy tỉ số vào giải phát triển số dạng toán đại số 1.4 Phương pháp nghiên cứu - Nghiên... So sánh số a, b, c b c a Phân tích Dấu hiệu toán cho dãy tỉ số Vận dụng tính chất dãy tỉ số để giải Hướng giải Cách 1: Áp dụng tính chất dãy tỉ số nhau, ta có a b c a+b+c = = = =1 (Do a + b +