Hướng dẫn học sinh lớp 7 khắc phục những sai lầm thường gặp khi giải những bài toán tỉ lệ thức, dãy tỉ số bằng nhau

Dạy như thế nào để học sinh không những nắm vững kiến thức cơ bản một cách có hệ thống mà phải được nâng cao để các em có hứng thú,say mê học tập là một câu hỏi mà mỗi thầy cô chúng ta l

1 MỞ ĐẦU

1.1 Lí do chọn đề tài.

Cùng với sự phát triển của đất nước,sự nghiệp giáo dục cũng không ngừng đổi mới.Các nhà trường đã ngày càng chú trọng hơn tới chất lượng giáo dục toàn diện Bên cạnh sự đầu tư thích đáng cho giáo dục mũi nhọn thì giáo dục đại trà cũng không thể lơ là.Với vai trò là môn học công cụ,bộ môn Toán đã góp phần tạo điều kiện cho các em học tốt các bộ môn khoa học tự nhiên khác

Dạy như thế nào để học sinh không những nắm vững kiến thức cơ bản một cách có hệ thống mà phải được nâng cao để các em có hứng thú,say mê học tập là một câu hỏi mà mỗi thầy cô chúng ta luôn đặt ra cho mình

Trong các nội dung ở chương trình Toán lớp 7 THCS thì "Tỉ lệ thức" là một phần rất quan trọng Đặc thù của toán tỉ lệ thức là khá đa dạng và phong phú, Ngoài những bài toán cơ bản về tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau thì có những bài toán không có một phương pháp hay một quy tắc giải nào cụ thể Đặc biệt như là chứng minh tỉ lệ thức khó và phức tạp ở trong các đề thi học sinh giỏi, thi lớp chọn Chính vì thế, tuy "Tỉ lệ thức" là một phần nhỏ trong hệ thống kiến thức Toán THCS nhưng trong nó chứa đựng đầy đủ các yếu tố để tạo nên sức hấp dẫn, thú vị và kích thích năng lực tư duy sáng tạo cho các bạn học sinh

Tôi là một giáo viên được phân công giảng dạy môn toán 7 một số năm và khi dạy đến phần giải toán về tỉ lệ thức và tính chất của dãy tỉ số bằng nhau các em học sinh lớp 7 vẫn còn sai lầm trong lời giải kể cả những bài toán cơ bản nhất Ngoài ra khi gặp các dạng toán hơi phức tạp một chút là các em lại sợ làm không được

Các bài toán về dãy tỉ số bằng nhau là một dạng toán cơ bản trong chương trình môn Toán lớp 7 Các em thường gặp dạng toán này trong các bài kiểm tra khảo sát chất lượng, các kỳ thi học sinh giỏi Trong thực tế khi giải loại toán này không những học sinh đại trà mà nhiều em học sinh khá, giỏi cũng vấp phải những sai sót Vì vậy tôi muốn đưa ra một số kinh nghiệm giúp học trò không còn sai sót

và sợ dạng toán đó nữa nên tôi đã nghiên cứu đề tài: “Hướng dẫn học sinh lớp 7

khắc phục những sai lầm thường gặp khi giải những bài toán tỉ lệ thức, dãy tỉ

số bằng nhau”

1 2 Mục đích nghiên cứu

Với mục đích giúp học sinh đại trà cũng như học sinh giỏi khắc phục các sai

lầm thường gặp,biết phát triển, mở rộng bài toán đề xuất các bài toán tương tự, từ

đó phát triển tư duy lô gic, tư duy sáng tạo và tính chính xác trong giải toán, áp dụng làm tốt các dạng toán từ đơn giản đến phức tạp

Bên cạnh đó, học sinh có thể vận dụng kiến thức giải toán về tỉ lệ thức và tính chất của dãy tỉ số bằng nhau để vận dụng giải các dạng toán khác như : Tìm các số chưa biết của một tỉ lệ thức, tìm các số hạng chưa biết khi cho một dãy tỉ số bằng nhau, chứng minh đẳng thức,tính giá trị của biểu thức Thông qua việc giải bài tập tập sẽ hình thành cho học sinh kĩ năng phân tích, kĩ năng quan sát, phán đoán, rèn tính cẩn thận, linh hoạt

1.3 Đối tượng nghiên cứu

- Các lỗi trong biên đổi tỉ lệ thức

- Các lỗi trình bày trong những bài toán về dãy tỉ số bàng nhau

- Những nhầm lẫn về tính chất trong dãy tỉ số bàng nhau

- Những thiếu sót mà học sinh thường mắc phải khi giải những bài toán dãy tỉ số bằng nhau nâng cao

1.4 Phương pháp nghiên cứu:

- Phương pháp thu thập số liệu qua việc khảo sát học sinh

- Thu thập số liệu bằng cách tham khảo tài liệu

- Phương pháp quan sát

- Phương pháp suy luận logic

- Phương pháp vấn đáp gợ mở

- Trao đổi ý kiến với đồng nghiệp

2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

2 1 Cơ sở lí luận

Bản thân tôi là một giáo viên đã trực tiếp giảng dạy môn Toán 7 với thời gian không phải là ít và một số năm bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 7 tại trường THCS Yên Bái tôi thấy rằng:

Đối với các em học sinh đại trà khi làm những bài toán về tỉ lệ thức, dãy tỉ số bằng nhau các em rất hay nhầm lẫn về cách trình bày cũng như về bản chất của các bài toán.Cụ thể như sai lầm trong việc dùng dấu “=” thì viết là dấu “ ”, hay trong

phép biến đổi tương đương như phép bình phương

Đối với học sinh khá giỏi các em hay nhầm lẫn trong các phép biến đổi tương đương về tỉ lệ thức, hoặc trình bày rườm rà thiếu sót, dẫn đến lời giải của các em không được hoàn hảo mặc dù kiến thức không quá khó.Ví dụ như thiếu trường hợp trong phép bình phương, thiếu trường hợp trong việc xét những trường hợp đặc biệt như tử bằng “không”, hay không để ý đến điều kiện để có thể sử dụng được dãy tỉ

số bằng nhau

Bản thân rất băn khoăn và lo lắng về điều đó Bởi lẽ các kiến thức trong tầm tay mà các em không làm được hoặc là làm không trọn vẹn Vì vậy tôi mạnh dạn tổng hợp lại những sai lầm thường gặp mà học sinh thường mắc phải mà mình thấy được qua những năm tháng giảng dạy, để hướng dẫn học sinh có hệ thống, nhằm giúp các em học sinh có kết quả học tập tốt hơn

2 2, Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm

2.2.1 Kháo sát thống kê ban đầu:

* Khảo sát 28 học sinh lớp 7 trường THCS Yên Bái vào cuối tháng 9 ( Sau khi học xong phần dãy tỉ số bằng nhau) Kết quả như sau

Điểm 0 -1,75 Điểm 2-4,75 Điểm 5-6,75 Điểm 7-8,75 Điểm 9-10

* Điều tra học sinh giỏi: Đầu tháng 10 năm 2016

Lần 1 Lần 2

HS1: 4 điểm HS 2: 6 điểm HS 1: 5 điểm HS 2: 6 điểm

2.2.2 Nguyên nhân:

- Một số học sinh chủ quan vì thấy bài toán quá dễ

- Một số học sinh còn lười học, lười suy nghĩ, thiếu tính cẩn thận

- Thời gian trên lớp không có nhiều, học sinh đông nên giáo viên không bao quát hết tất các em để sửa lỗi cho từng em mà chỉ có thể sửa chung cả lớp, nhiều

em có tư duy chậm hoặc thiếu độ tập chung chưa hiểu thấu đáo, cặn kẽ

- Việc học và làm bài tập ở nhà của các em hời hợt, mang tính đối phó do phụ huynh chưa thật sự sát sao đối với con em mình

2.3 Sáng kiến và giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề

2.3.1 Một số lý thuyết cơ bản học sinh cần nắm được:

a) Tính chất tỉ lệ thức:

+

d

c b

a

 (=) ad = bc (b; d 0) + Từ tỉ lệ thức b a d c ta suy ra 3 tỉ lệ thức sau:

d

b c

a

 ;

a

b c

d a

c b

d



 ; (với a; b; c; d khác o)

b) Tính chất dãy tỷ số bằng nhau

Từ b a d c ta suy ra

d b

c a

b

a





 (b + d 0)

d b

c a

b

a





 (b – d 0)

Mở rộng từ dãy tỉ số bằng nhau b a d c e f ta suy ra

f d b

e c a f d b

e c a f

e d

c

b

a

























(Giả thiết các tỉ số đều có nghĩa)

c) Tính chất cơ bản của phân số

Với a, b,n  z, b 0, n 0, ta luôn có

+ b a b a..n n

+ b a b a::n n ( n là ƯC của a và b)

2.3.2.Một số sai lầm học sinh thường mắc phải khi giải bài toán tỉ lệ thức, dãy tỉ

số bằng nhau:

a) Sai lầm trong biến đổi tỉ lệ thức

HS đại trà thường mắc những sai lầm này

Ví dụ 1:: Tìm các số x; y biết:

10 y x

vµ  

 3

2

y x

* Đặt vấn đề: Một số học sinh thường làm như sau:

Do  

3

2

y

x

2 3

y x

 , rồi sau đó áp dụng tính chất dayc tỉ số bằng nhau

* Lời giải đúng:



3

2

y

x

3 2

y x



Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có

2

5

10 3 2 3





y x y x

6 2

3

4 2

2















y y

x x

Vậy (x;y)=(4;6)

* Biện pháp: Giáo viên cần nhấn mạnh học sinh nắm vững câu: “ Tích trung tỉ

bằng tích ngoại tỉ” hay còn gọi tắt là “ tích chéo’ để kiểm tra xem tỉ lệ thức mà mình biến đổi có đúng không Chẳng hạn tỉ lệ thức





3

2

y

x

có tích chéo là x.3 = y 2

Nếu có tỉ lệ thức mới là

2 3

y x

 thì tích chéo là x.2 = y.3, điều đó nghĩa là HS

đã biến đổi sai và làm lại dựa vào tích chéo

b) Sai lầm trong việc nhầm lẫn giữa dấu “=” và dấu “ ”

Ví dụ 2: Tìm x,y biết

3 2

y x

 và x+y =14

* Đặt vấn đề : học sinh thường làm như sau

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau

2

7

14 4 3 4





y x y x

* Lời giải đúng :

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có

2

7

14 4 3 4





y x y x

8 2

4

6 2

3















y y

x x

Vậy (x;y)=(6;8)

* Biện pháp : Giáo viên chấm chữa bài thật cẩn thận, khoanh tròn chỗ sai và trừ

điểm thật nặng khi học sinh mắc lỗi này

c) Sai lầm khi nhầm tưởng tính chất dãy tỉ số bằng nhau và kết luận chưa rõ ràng

Ví dụ 3 : Tìm x.y biết 2x 3y và x.y=24

* Đặt vấn đề: Hs thường làm như sau

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có

4

6

24 3 2

3

y x y x

Nhưng tính chất dãy tỉ số bằng nhau là

b a d c b a d b b a d c















Chứ không có tính chất b a d c b a..d c

* Lời giải đúng

Cách 1: Đặt x y k

3

2  x 2k;y 3k

Do x.y=24 nên

2

4

24 6

24

3

.

2

2

2

















k

k

k k

k

+ với k=2  x 4 :y 6

+ với k=-2 x  4 :y  6

Vậy (x;y)=(4:6):(-4;-6)

Cách 2: Ta có :

3 2

y x



6 4

24 6

3

2 3

2

2 2







































2































4

4 2

2

2 2

x

x x

x

2

3









 y































6

6 2

3

2 3

y

y y

y

Do x,y cùng dấu nên

( x,y)=(4;6) ; (-4;-6)

Nếu làm theo cách này học sinh thường kết luận

x= 4 ;y= 6

Kết luận như trên chung chung nhưng chưa rõ ràng

d) Sai lầm trong phép biến đổi tương đương

Ví dụ 4: Tìm x,y biết

3x=5y và 2 2 34



y x

* Đặt vấn đề : Học sinh thường làm như sau

3x=5y 

5

x

 3

y

9 25

2

x



* Lời giải đúng

3x=5y

9 25 3 5

2

2 y x y x









Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau

1 34

34 9 25

9

25

2 2

2

2











y x y

x

3 9

1

9

5 25

1

25

2

2

2

2



























y y

y

x x

x

Do 3x=5y x,y cùng dấu nên

(x;y)=(5;3);(-5;-30)

Giáo viên cần lưu ý phần kết luận,tránh sai lầm giống bài toán 2

* Biện pháp : Lưu ý học sinh: a=b a 2 b2 chứ không có tính chất

a = b = a 2 b2 hay a=a2, b = b2

e) Sai lầm về dấu , thiếu trường hợp

Ngoài những lưu ý về dấu ở Ví dụ 3 Trong quá trình dạy giáo viên cần đưa ra các bài toán sau

Ví dụ 5: Tìm x , y biết

5

4

y

x 

 và 2 2 41



y x

* Đặt vấn đê: Học sinh thường mắc những sai lầm sau

Do

5 4 5

4

2

x y









Nhưng chính xác phải là 4x 5y 4x 2 5y2 16x2 25y2









 





















* Lời giải đúng: Ta có

25 16 5

4

2

2 y x y x









Áp dụng tính chất cảu dãy tỉ số bằng nhau

1 41

41 25 16

25

16

2 2

2

2











y x y

x

4 16

1

16

2

2













5 25

1

25

2

2











y

Do x y x;y

5



 (x;y)=(4;-5);(-4;5)

* Lưu ý : Giáo viên lưu ý ,so sánh phần kết luận của ví dụ 3 và ví dụ 5

Ví dụ 6: Tìm x, y biết

4

2

x

=

9

2

y

và 2x+y=14

* Đặt vấn đề : Học sinh thương mắc sai lầm như sau

3 2 3 2

9

4

2 2 2

x



































Nhưng đúng ra phải là : 2x 2 3y2  2x3y























 hoặc2x 3y

* Lời giải đúng :

Từ x42 y92 2x 2 3y2 2x 3y



























+ Nếu 2x 3y

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có

2 7

14 3 2

.

2

2

3





y x y

x

4 2

2  

6

2

3   y

y

+ Nếu 2x 3y

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có

14 1

14 3 2

.

2

2

3







x

28 14

2   

3   



y y

Vậy (x;y)=(4;6);(28;-42)

* Biện pháp: Giáo viên cần nhấn mạnh tính chất a2 b2  a b

f) Sai lầm khi không xét tử số bằng 0

Ví dụ 7: Tìm x,y biết

x

y x y

x

6

1 3 2 7

2 3

5

1









* Đặt vấn đề : Hs thường làm như sau

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có

2 5 1 3 7 2 2 53 71 2 2 123 1















x

2 6

12 6

1 3 2 12

1

3

2



















x

y x y

x

Hs đã sai lầm ở chỗ

Nếu 2x+3y-1= 0 thì không thể kết luận 12= 6x nên bài toán làm đến

x

y x y

x

6

1 3 2 12

1

3







thì xét 2 trường hợp

* Lời giải đúng

Do 2x513y7 2 2x63x y1



7

2 3

5

1



x

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có

2 5 1 3 7 2 2 53 71 2 2 123 1















x

x

y x y

x

6

1 3 2 12

1

3









Trường hợp 1: 2x +3y-1=0

7 5

2 1 3 2 7

2 3

5

1

2

















x

0 1

2  

 x ; 3y 2  0

2

1





 x ; y 32

Trường hợp 2 : 2x+ 3y-1 0 12  6x x 2

7

2 3

5

1

2

.





3



 y

Vậy (x;y)= ; ( 2 ; 3 )

3

2

; 2

1











 

Ví dụ 8: Cho dãy tỉ số

d d c b a c

d c b a b

d c b a a

d c

b

























Tính M=c a d b d b c a c a d b d b c a























* Đặt vấn đề : Hs thường có thể làm như sau:

Ta có

d d c b a c

d c b a b

d c b a a

d

c

b



























d

d d c b a c

d c c b a b

d c b b a a

d c

b

a

































d

d c b a c

d c b a b

d c b a a

d

c

b

























 a = b = c = d

a a

a a a a

a a a a

a a a a

a a c b

a d b a

d c a d

c b

d

c

b

a

M

















































2

2 2

2 2

2

2

2

















a

a a

a a

a

a

a

Học sinh đã không xét đến trường hợp a+b+c+d = 0

* Lời giải đúng

Ta có

d d c b a c

d c b a b

d c b a a

d

c

b



























d

d d c b a c

d c c b a b

d c b b a a

d c

b

a

































d

d c b a c

d c b a b

d c b a a

d

c

b























+ Nếu a+b+c+d = 0  a+b = - (c+d)   1







d c

b a

Tương tự : 







d c

b a







d a

c b







b a

d c

1









c b

d a

 M = (-1) + (-1)+(-1) + (-1) = -4

+ Nếu a+b+c+d  0

Từ (*)  a = b = c = d

M c a d b d b a c a c d b d b c a a a a a a a a a a a a a a a a a

















































2

2 2

2 2

2

2

2

















a

a a

a a

a

a

a

Vậy M = 1 hoặc M = -1

* Biện pháp chung :

+ Nhấn mạnh tính chất: Nếu a.b =a.c thì xảy ra 2 trường hợp

- TH1: a =0

- TH2: a 0 thì b=c

Giải thích vì sao phải xét trường hợp a=0: Vì nếu a=0 thì b và c khác nhau thì đẳng thức vẫn đúng

+ Liên hệ mở rộng để củng cố kiến thức ( Dành cho học sinh giỏi) bằng những bài toán có dạng:

Tìm x biết: a) x(x-2) = 3(x-2)

b) (x-1)2016 = (x-1)2017

g) Sai lầm khi không để ý đến điều kiện để có thể áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau

Ví dụ 9: Tính giá trị M biết

c c

a

b c

b

a











* Đặt vấn để : Hs thường làm như sau

Áp dụng dãy tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có

2

1 ) (

2   















c b a b a

c c

a

b

c

b

a

1















b a

c c a

b

c

b

a

Vậy M = 21

Việc thực hiện tính chất dãy tỉ số bằng nhau chỉ được thực hiện nếu a+b+c  0

Vì vậy khi giải bài toán này phải phân thành 2 trường hợp

+ Nếu a+b+c=0 a+b=- c   1









c

c b a c

1

















b a

c c

a

b

c

b

a

+ Nếu a+b+c 0 áp dụng dãy tỉ số bằng nhau ta được

2

1 ) (

2   















c b a b a

c c a

b

c

b

a



2

1











c c a

b c

b

a

Ví dụ 10: Tìm x ,biết

1182y 1244y 16x6y

* Đặt vấn đề: Học sinh thường làm như sau:

Do 1182y 1244y 16x6y (1)

x

y y

6

6 1

18

2







Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có

x

y x

y x

y y

x

y y

3 9

4 1 6 18

8 2 6

18

6 1 2 1 6

6

1

18

2

1





























Từ (1) và (2) 1 244y 19 43y x









5 15

3 24

9

3      

Học sinh sai lầm 2 vấn đề

- Sai lầm 1

+ Không xét trường hợp 1+4y=0

- Sai lầm 2: Nếu 3x + 9 =0 thì sao? Nếu vậy biểu thức19 43y x





không tồn tại ,nghĩa

là không thể áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau trong trường hợp này

Vậy phải làm sao cho đúng ? Nếu vẫn đi theo hướng của học sinh thì sẽ có rất nhiều trường hợp

Trường hợp 1: 3x + 9 = 0  x  3 thay x = -3 vào (1) ta được

18

6 1 24

4 1

18

2

1











Dẫn đến không tồn tại giá trị y nên không nhận giá trị x= -3

Trường hợp 2: 3x + 9 0 chia thành 2 trường hợp nhỏ

Trường hợp 2a: 1+4y=0

Trường hợp 2b: 1+4y 0

Như vậy tương đối rối với học sinh lớp 7

* Lời giải đúng và ngắn gọn

Do 1182y 1244y 16x6y (1)