Kinh nghiệm sử dụng tính chất tỉ lệ thức, tính chất của dãy tỉ số bằng nhau để giải một số dạng toán ở môn đại số 7

I MỞ ĐẦU 1.1 Lí chọn đề tài: Chủ đề tỉ lệ thức, tính chất dãy tỉ số nội dung chương I đại số nội dung chương trình tốn Trong q trình giảng dạy tơi thấy học sinh mắc những sai lầm giải tốn dạng Ngồi đề thi học sinh giỏi tốn đa số có tốn tỉ lệ thức Hiện ngồi kiến thức tập sách giáo khoa sách tập chưa có tài liệu bàn sâu vấn đề cách đầy đủ nên dạy phần giáo viên dạy ơn đội tuyển gặp khơng những khó khăn để biên soạn cho hết nội dung chủ đề Trong q trình giảng dạy thân tơi nghiên cứu, thấy phần hay, tâm đắc muốn trình bày số kinh nghiệm nội dung kiến thức chủ đề để giáo viên dễ dàng áp dụng việc giảng dạy cho học sinh Còn đối với học sinh, thơng qua hướng dẫn giải tập giáo viên, giúp học sinh rèn luyện tính tích cực, trí thơng minh sáng tạo, bồi dưỡng hứng thú học tập, nâng cao mức độ tư duy, khả phân tích phán đốn, khái qt học sinh đồng thời rèn luyện kỹ năng, kỹ xảo làm tập Trường THCS Lê Đình Chịnh huyện Ngọc Lặc trường tỉ lệ học sinh giỏi tương đối cao so với mặt chung tồn huyện, có nhiều học sinh u thích mơn Tốn dự thi học sinh giỏi cấp huyện cấp tỉnh Là giáo viên phân cơng giảng dạy mơn tốn nhiều năm với mong muốn giúp học trò học tốt mơn tốn đạt điểm cao kì thi HSG cấp huyện mơn Tốn 7, tơi nghiên cứu viết đề tài sáng kiến kinh nghiệm : “Kinh nghiệm giải tốn tỉ lệ thức, tính chất dãy tỉ số mơn Đại số lớp 7” 1.2 Mục đích của sáng kiến: Giúp học sinh đại tra hiểu kiến thức vận dụng kiến thức cách linh hoạt vào giải tập Giúp học sinh thi học sinh giỏi tiếp cận với nhiều dạng nhiều cách giải tốn dạng để khơng thấy khó khăn gặp phải dạng tập Muốn thân, đồng nghiệp ngồi trường tham khảo để giảng dạy tốt tập dạng tốn tỉ lệ thức, tính chất dãy tỉ số Muốn cho học sinh học sinh Trung học sở có những tính tích cực, tự giác, chủ động, tư sáng tạo có lực tự học, khả thực hành, lòng say mê học tập ý chí vươn lên đòi hỏi người giáo viên phải có phương pháp dạy học đạt hiệu cao đối với dạy 1.3.Đới tượng nghiên cứu: - Học sinh lớp 7A1+7A2 trường THCS Lê Đình Chinh, Ngọc Lặc năm học 2015-2016 - Giúp học sinh nghiên cứu sở lý thuyết phương pháp giải tập dạng tốn tỉ lệ thức tính chất dãy tỉ số 1.4.Phương pháp nghiên cứu: Đề tài viết dựa sở thực tế hướng dẫn học sinh giải tốn tỉ lệ thức, tính chất dãy tỉ số - Nghiên cứu từ tài liệu sách tham khảo có liên quan - Thơng qua tiết dạy trực tiếp lớp, tiết dạy phụ đạo, tiết dạy bồi dưỡng học sinh giỏi - Hệ thống lý thuyết tiết dạy, chủ đề tỉ lệ thức tính chất dãy tỉ số , chốt lại vấn đề cần lưu ý, đưa ví dụ chọn lọc từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp -Triển khai nội dung đề tài, kiểm tra đối chiếu kết học tập học sinh từ đầu năm học đến cuối học kì I NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1.Cơ sở lý luận 2.1.1.KIến thức a c = a Định nghĩa: Tỉ lệ thức đẳng thức giữa hai tỉ số b d Ta viết : a : b = c : d đó a d ngoại tỉ (số hạng ngồi) ; b c trung tỉ (số hạng trong) a c = b Tính chất của tỉ lệ thức: b d a c = Tính chất 1: Nếu b d a.d = b.c Tính chất 2: (Đảo lại) Nếu a.d = b.c với a, b, c, d ≠ ta có tỉ lệ thức: (ta có thể suy ba tỉ lệ thức khác cách: - Đổi chỗ ngoại tỉ cho - Đổi chỗ trung tỉ cho - Đổi chỗ ngoại tỉ cho đổi chỗ trung tỉ cho nhau) Cụ thể: a c a b d c d b = = = = b d ; c d ;b a; c a a c a b d c d b = = = = Tính chất 3: Từ tỉ lệ thức b d suy tỉ lệ thức: c d , b a , c a c Tính chất của dãy tỉ sớ nhau: a c = Tính chất 1: Từ tỉ lệ thức b d suy a = b Tính chất 2: từ dãy tỉ số a c a +c a −c = = = b d b + d b − d , (b ≠ ± d) c i = d j ta suy ra: a c i a +c+i a−c+i = = = = b d j b + d + j b − d + j , (giả thiết tỉ số có nghĩa) a a1 a2 a3 = = = = n bn Tính chất 3: có n tỉ số nhau(n ≥ 2): b1 b2 b3 a a + a + a + + an a1 − a2 + a3 + − an a1 a2 a3 = = = = n = = b1 b2 b3 bn b1 + b2 + b3 + + bn b1 − b2 + b3 + − bn (giả thiết tỉ số có nghĩa) d Nâng cao k1a + k2 c + k3e a c e =k = = =k k b + k d + k f b d f Nếu a c a±b c±d = = d Từ b d => b a±b c±d = a c (Tính chất gọi tính chất tổng hiệu tỉ lệ) a b c = = 2) Chú ý: Các số x, y, z tỉ lệ với số a, b, c => x y z Ta viết x:y:z = a:b:c Lưu ý: Nếu đặt dấu “ – ” trước số hạng tỉ số đặt dấu “- ” trước số hạng dưới tỉ số đó Tính chất dãy tỉ số cho ta khả rộng rãi để từ số tỉ số cho trước, ta lập những tỉ số mới tỉ số cho, đó số hạng số hạng dưới nó có dạng thuận lợi nhằm sử dụng dữ kiện tốn x y z = = Chú ý: nói số x, y, z tỉ lệ với a, b,c tức ta có: a b c Ta viết: x:y:z=a:b:c 2.1.2 Thực trạng vấn đề Khi khảo sát lớp khác nhau, qua chấm thi tơi thấy học sinh gặp nhiều sai sót q trình giải tốn Ví dụ em hay sai cách trình bày lời giải , nhầm lẫn giữa dấu “=” với dấu “=>”giữa “=” với dấu “+” x y x y = (⇒) = d 3.3 7.3 em lại dùng dấu “=” sai Ví dụ: x y z = = Ví dụ: Hãy tìm x, y, z biết 12 x + y + z = 44 x y z x + y + z 44 x = = (⇒) = =2 = ⇒ x = 4.2 = S + + 12 22 Giải: 12 Ở em dùng dấu “=>” sai Ví dụ : kiểm tra khảo sát giữa học kì I tốn năm học 2015-2016 có x y z x + y + z 44 + + = = =2 học sinh trình bày : 12 + + 12 22 Lí em chưa hiểu rõ tính chất dãy tỉ số nên nhớ nhầm Có những em học yếu mơn tốn trình bày tìm giá trị x, y,z sau : x y z = 2.4 = = 2.6 = 12 = 2.12 = 24 ; ; 12 Ngồi làm nhiều tập có nhiều đáp trường hợp em khơng xét hết trường hợp có thể xãy Vì tơi đưa số dạng tốn giúp em khơng sai sót lời giải : Chứng minh đẳng thức từ tỉ lệ thức cho trước Chia số thành phần tỉ lệ với số cho trước Tìm hai số biết tích tỉ số chúng Tính giá trị biểu thức 2.1.3 Giải pháp và tổ chức thực Hướng dẫn vận dụng kiến thức giải tập một cách xác, nhanh ,ngắn giáo viên cần giúp học sinh định hướng kiến thức, phương pháp cần dùng để giải dạng tốn cụ thể Để khắc sâu kiến thức giáo viên cần chọn những tập mang tính chất mang tính phát triển kiến thức khía cạnh Qua đó giúp học sinhvừa nắm kiến thức vừa phát triển tư duy, sáng tạo linh hoạt làm tạo hứng thú u thích mơn học 2.1.3a) Dạng 1: Loại tốn chứng minh đẳng thức từ tỉ lệ thức cho trước Phương pháp giải: tìm cách biến đổi dể trở đẳng thức cần chứng minh có thể đặt tỉ số cho trước số k đó a c a c = = Bài 1.1: Cho b d chứng minh a − b c − d a c = =k Hướng dẫn: Đối với tốn ta có thể đặt b d biến đổi tỉ lệ thức cho trứơc để chúng trở thành đẳng thức cần chứng minh - Giáo viên trình bày kĩ cho học sinh bốn cách giải sau: Giải: a c b d b d a −b c −d a c = ⇒ = ⇒ 1− = 1− ⇒ = = a c a c a c ⇒ a − b c − d (đpcm) Cách 1: b d a c a b a −b a c = ⇒ = = ⇒ = Cách 2: b d c d c − d a − b c − d (đpcm) a c a b = = Cách 3: b d ⇒ c d ⇒ ad = bc ⇒ ac − ad = ac − bc ⇒ a ( c − d ) = c ( a − b ) a c = ⇒ a − b c − d (đpcm) Cách 4: ( cách áp dụng vào nhiều tốn dạng này) a c = =k đặt b d suy a = bk ; c = dk Ta có : a bk bk k = = = a − b bk − b b(k − 1) k − (1) c dk dk k = = = c − d dk − d d (k − 1) k − (2) a c = Từ (1) (2) suy a − b c − d a c = Giáo viên lết luận : Như để chứng minh tỉ lệ thức b d , ta thường dùng hai phương pháp : Phương pháp : Chứng tỏ tích ad tích bc Phương pháp :chứng tỏ hai tỉ số có giá trị Nếu đề cho trước tỉ lệ thức khác, ta có thể đặt giá trị tỉ số tỉ lệ hức cho k, tính giá trị tỉ số tỉ lệ thức phải chứng minh theo k (cách 4) có thể dùng tính chất tỉ lệ thức hốn vị số hạng , tính chất dãy tỉ số nhau, tính chất đẳng thức… để biến đổi tỉ lệ thức tỉ lệ thức phải chứng minh(cách 1,2) Kinh nghiệm dạy với tập 1.1 giáo viên nên đưa cách giải để học sinh biết nhiên giáo viên cho học sinh nhận xét cách giải, phân tích cách giải chọn cách giải tối ưu cho chọn cách giải phù hợp với tập dạng tương tự tập 1.1 Giáo viên có thể kết luận đối với cách ta có thể áp dụng nhiều bài tốn chứng minh đẳng thức từ tỉ lệ thức cho trước Sau làm song bài tập giáo viên cho học sinh làm bài tâp 1.2 sau a c a+b c+d = ≠1 = Bài 1.2 Chứng minh : Nếu b d a − b c − d với a, b, c, d ≠ Học sinh tự làm u cầu học sinh làm theo cách cách Giải: Cách : a c a c a +b c+d = ⇒ +1 = +1 ⇒ = d b d Với a, b, c, d ≠ ta có: b d b a+b b ⇒ = c + d d (1) a c a −b c −d a −b b = ⇒ = ⇒ = b d b d c − d d (2) a +b a −b a+b c+d = ⇒ = Từ (1) (2) => c + d c − d a − b c − d (đpcm) a c = =k Cách 2: Đặt b d suy a = bk ; c = dk a + b bk + b b.(k + 1) k + = = = Ta có a − b bk − b b.(k − 1) k − (1) c + d dk + d d (k + 1) k + = = = c − d dk − d d (k − 1) k − (2) Và a+b c+d = Từ (1) (2) suy a − b c − d a c = Bài 1.3: cho tỉ lệ thức: b d chứng minh ta có tỉ lệ thức sau(giả thiết tỉ lệ thức có nghĩa): 2015a + 2016b 2015c + 2016d = a, 2015a − 2016b 2015c − 2016d a + b ab = 2 b, c + d cd Hướng dẫn: - Làm để xuất 2015a, 2015c, 2016b, 2016d? Muốn có 2015a, 2015c, 2016b, 2016d ta phải làm xuất tỉ số nào? Cách gợi ý cho giải 3? Sử dụng cách có làm khơng? Giáo viên hướng dẫn theo cách cho học sinh nhà giải theo cách Giải: a Từ a c a b 2015a 2016b 2015a 2015c 2015a + 2016b 2015c + 2016d = ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ = b d c d 2015c 2016d 2016b 2016d 2015a − 2016b 2015c − 2016d (áp dụng kết ) a c a b a b2 a + b2 = ⇒ = ⇒ = = 2 b Từ b d c d c d c + d (1) a c a b a a b a a ab = ⇒ = ⇒ = ⇒ = từ b d c d c c d c c cd (2) a + b ab = 2 từ (1) (2) suy c + d cd (đpcm) a+b c+a = Bài 1.4: Chứng minh rằng: Nếu a = bc a − b c − a điều đảo lại có hay khơng? Nhận xét: Với tốn đưa ra, u cầu học sinh phân tích đề để a+b c+a = hiểu nội dung u cầu đề chiều thuận: Nếu a = bc a − b c − a đảo lại a+b c+a = có nghĩa là: a − b c − a a = bc có khơng? Vậy học sinh phải chứng minh chiều thuận chiều đảo Giải: a = bc ⇒ a b a b a +b a −b a +b c+a = ⇒ = = = ⇒ = c a c a c+a c−a a −b c −a + Ta có: + Điều đảo lại đúng, thật vậy: Ta có : a+b c+a = a −b c −a ⇒ ( a + b) ( c − a) = ( a − b) ( c + a) hay ac − a + bc − ab = ac + a − bc − ab ⇒ 2bc = 2a ⇒ a = bc a c = a + c = b (1) bd = c ( b + d ) (2) Bài 1.5: Chứng minh rằng: Nếu đk: b;d ≠ b d Nhận xét: tốn đề cho đẳng thức từ đẳng thức chứng minh tỉ lệ thức, giáo viên có thể hướng dẫn học sinh suy luận ngược sau: a c = Muốn có b d ⇐ cb = ad ⇐ ………… ⇐ c ( b + d ) = ( a + c ) d váo (1) (2)cả hai vế 2bd từ a + c = 2b nhân hai vế với d ta có thể trình bày giải sau : Giải : Ta có : a + c = 2b ⇒ ( a + c ) d = 2bd ( 3) Từ (3) (2) ⇒ c ( b + d ) = ( a + c) d ⇒ cb + cd = ad + cd ⇒ cb = ad a c ⇒ = b d (đpcm) c ( a + c) = b ( b + a) 2 Bài 1.6: cho a, b, c ba số khác a =bc chứng minh rằng: thi khảo sát chất lượng học kì I huyện Ngọc Lặc năm học 2015-2016) Hướng dẫn: (đề ( a + c) =bc ta biến đổi để xuất ( b + a ) 2 Từ a ( a +c ) a c a +c a  c   a +c  a =bc ⇒ = = ⇒ ÷ = ÷ = ÷= b a b +a b  a   b +a  ( b +a ) 2 2 Giải: Từ (1) c ( a + c) a bc c a = = = =  ÷ 2 b b + a) ( (2) b b b b   a = bc Ta lại có (vì ) Từ (1) (2) ta có 2004 2004 2004 2004 ( x1 − y1 ) + ( x2 − y2 ) + ( x3 − y3 ) + + ( x2005 − y2005 ) ≤ Bài 1.7: Cho: x1 + x2 + x3 + + x2005 = 1,5 Chứng minh rằng: y1 + y2 + y3 + + y2005 Hướng dẫn: giáo viên cho học sinh đọc, quan sát, suy ngẫm kĩ đề để phát vấn đề: x1 + x2 + x3 + + x2005 = 1,5 y + y + y + + y 2005 1) 2004 2004 2004 2004 ( x1 − y1 ) ; ( x2 − y2 ) ; ( x3 − y3 ) ; ; ( x2005 − y2005 ) ≥ 2) 3)mà ( x1 − y1 ) 2004 + ( x2 − y2 ) 2004 + ( x3 − y3 ) 2004 + + ( x2005 − y2005 ) 2004 ≤0 4) Từ 2) suy được: ( x1 − y1 ) + ( x2 − y2 ) + ( x3 − y3 ) + + ( x2005 − y2005 ) 2004 2004 2004 2004 x1 − y1 ) + ( x2 − y2 ) + ( x3 − y3 ) + + ( x2005 − y2005 ) =0 ( 5) Từ 3) 4) 2004 2004 2004 2004 ≥0 6)Hay ( x1 − y1 ) 2004 ; ( x2 − y2 ) 2004 ; ( x3 − y3 ) 2004 ; ; ( x2005 − y2005 ) 2004 =0 7) ( x1 − y1 ) ; ( x2 − y2 ) ; ( x3 − y3 ) ; ; ( x2005 − y2005 ) = ⇒ x x1 x2 x3 = = = = 2005 = y1 y2 y3 y2005 Áp dụng tính chất dãy tỉ số bàng ta có: x x + x + x + + x2005 x1 x2 x3 = = = = 2005 = = = 1,5 y1 y2 y3 y2005 y1 + y2 + y3 + + y2005 2.1.3b) Dạng : Chia số thành phần tỉ lệ với số cho trước Giáo viên hướng dẫn học sinh Đối với dạng bài tập này cần nhớ phương pháp giải sau: Phương pháp giải: giả sử phải chia số S thành ba phần x, y, z tỉ lệ với số a, b, c Ta làm sau: x y z x+ y+z s s s s = = = = x= a y = b z = c a b c a + b + c a + b + c đó a+b+c ; a+b+c ; a+b+c x y = Bài 2.1: Tìm hai số x, y biết : x + y = 16 Hướng dẫn: Với học sinh cần vận dụng tính chất dãy tỉ số để giải, nhiên u cầu đối với giáo viên cần hướng dẫn, trình bày cụ thể nêu những ý mà học sinh có thể dẫn đến sai đặt mục thực trạng vấn đề x y y z = ; = x + y – z = 10.(Bài 61- Bài 2.2 Tìm ba số x, y, z, biết rằng: trang 31 SGK tốn tập 1) Hướng dẫn: tốn chưa cho ta dãy tỉ số Vậy để xuất y y dãy tỉ số ta làm thề nào? Ta thấy tỉ số có hai số hạng giống nhau, làm để hai tỉ số có số hạng dưới (ta tìm tỉ số trung gian để xuất dãy tỉ số nhau), ta quy đồng hai tỉ số mẫu chung, muốn ta tìm BCNN(3;4) =12 từ đó mẫu chung 12 Giải: BCNN(3;4) =12 nên ta biến đổi sau: x y x y = ⇒ = 12 ( nhân hai vế với ) (1) y z y z • = ⇒ = 12 15 ( nhân hai vế với ) (2) x y z = = Từ (1) (2) 12 15 Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có: x y z x + y − x 10 = = = = =2 12 15 + 12 − 15 • Vậy x = 8.2 = 16 y = 12.2 = 24 z = 15.2 =30 giáo viên : tốn phải biến đổi để xét x, y, z tỉ lệ với số nào? x y y z = = Bài 2.3 Tìm x, y, z cho : và x + y − z = 372 Hướng dẫn : Hướng dẫn học sinh nhận tốn kết hợp 2.1 2.2 - Trước hết ta phải biến đổi xét xem x, y, z tỉ lệ với số - Sau đó làm xuất tổng : x + y − z = 372 Giải : BCNN(4 ;5)=20 nên ta biến đổi sau : x y x y = ⇒ = Ta có : 15 20 (nhân hai vế cho ) (1) y z y z = ⇒ = 20 28 (nhân hai vế cho ) (2) x y z = = Từ (1) (2) suy 15 20 28 Áp dụng tính chất dãy tỉ số giống ta giải : x = 90 ; y = 120 ; z = 168 Bài 2.4 Tìm x, y, z biết : x −1 y − z − = = ( 1) a 2x + 3y –z = 50 2x 3y 4z = = ( 2) b x + y +z = 49 Nhận xét : Đối với câu a học sinh có thể tìm cách giải tương tự 2.2, từ câu a học sinh có thể tự suy luận tìm cách giải câu b, học sinh khơng làm đươc giáo viên hướng dẫn sau : tốn giả thiết cho x + y +z = 49 sống hạng dãy tỉ số lại 2x ; 3y ; 4z, làm để số hạng x ; y ; z ta tìm BCNN (2 ;3 ;4) = 12 khử tử để số hạng x ; y ; z Giải : ( x − 1) ( y − ) z − 2.( x − 1) 3.( y − 2) z − = = = = 3.3 hay a Ta biến đổi (1) sau : 2.2 áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có : ( x − 1) ( y − ) z − x − + y − − z + ( x + y − z ) + −2 − + 50 − = = = = = =5 4+9−4 9 x −1 = ⇒ x = 11 y−2 = ⇒ y = 17 z −3 = ⇒ z = 23 2) Chia vế (2) cho BCNN (2;3;4) = 12 2x y 4z 2x 3y 4z x y z = = ⇒ = = = = 3.12 4.12 5.12 hay 18 16 15 Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có: x y z x+ y+z 49 = = = = =1 18 16 15 18 + 16 + 15 49 x = 18; y = 16; z = 15 Bài 2.5 Tìm số a, b, c biết : 2a = 3b, 5b = 7c 3a + 5c – 7b = 30 Giáo viên u cầu học sinh tự giải tốn cho học sinh nêu phương pháp làm sử dụng Giải : a b = Từ 2a = 3b suy b c = Từ 5b = 7c suy Ta tìm BCNN(2,7)=14 a b a b a b = ⇒ = ⇒ = Từ 3.7 2.7 21 14 (1) b c b c b c = ⇒ = ⇒ = Từ 7.2 5.2 14 10 (2) a b c = = Từ (1) (2) ta có : 21 14 10 a b c 3a 7b 5c 3a 7b 5c = = ⇒ = = ⇒ = = Từ 21 14 10 3.21 7.14 5.10 63 98 50 3a 7b 5c = = Áp dụng tính chất dãy tỉ số cho dãy tỉ số 63 98 50 3a 7b 5c 3a + 5c − 7b 30 = = = = =2 ta có : 63 98 50 63 + 50 − 98 15 Từ đó ta tính a = 42 ; b = 28 ; c = 20 x y z = = 2 Bài 2.6 Tìm số x, y, z biết x + y + z = 747 Hướng dẫn : Giáo viên u cầu học sinh tự giải tốn Giải : x y z = = =k ⇒ x = 5k ; y = k ; z = 3k Đặt 2 2 2 Vì x + y + z = 747 nên 25k + 49k + 9k = 747 747 ⇒ 83k = 747 ⇒ k = = ⇒ k = ±3 83 Với k = 3, ta có : x = 5k = 5.3 = 15; y = 7k = 7.3 = 21; z = 3k = 3.3 = Với k = -3, ta có : x = 5k = 5.(−3) = −15; y = 7k = 7(−3) = −21; z = 3k = 3(−3) = −9 Vậy cặp số (x, y, z) cần tìm : (15, 21, 9) (-15, -21, -9) Bài tập tương tự : 1) Một số A chia thành phần tỉ lệ nghịc với ; ; Biết 10 tổng lập phương ba phần đó 9512 Hãy tìm số A 2) Tìm ba phân số, biết tổng chúng với ; ; 5, mẫu chúng tỉ lệ với ; ; Bài 2.7 Tìm số a1, a2, …a9 biết: 3 70 , tử chúng tỉ lệ a −9 a1 − a − = = = 9 a1 + a + + a = 90 Giáo viên hướng dẫn học sinh áp dụng tính chất dãy tỉ số làm sau: Giải : Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có: a − ( a1 + a + + a ) − ( + + + ) 90 − 45 a1 − a − = = = = = =1 9 + + + 45 Từ đó dễ dàng suy : a1 = a2 = a3 = = a9 = 10 Ngồi cách trên, q trình dạy cho học sinh tơi thấy học sinh làm cách khác hay nhiều so với cách trên, đó học sinh trừ tỉ số với 1, đưa dãy tỉ số: a − 10 ( a1 + a2 + + a10 ) − ( 10 + 10 + + 10 ) a1 − 10 a − 10 90 − 90 = = = = = =0 9 + + + + + + sau đó em tìm a1; a2 ; ; a10 cách dẽ dàng ( a1 = a2 = a3 = = a9 = 10 ) Bài 2.8 Ba lớp 7A, 7B, 7C có tất 153 học sinh Số học sinh lớp 7B số 17 học sinh lớp 7A, số học sinh lớp 7C 16 số học sinh lớp 7B Tính số học sinh lớp Hướng dẫn : loại tốn ta phải gọi ẩn cho đại lượng cần tìm, thể mối quan hệ qua ẩn đó tốn trở dạng quen thuộc mà học Nếu gọi số học sinh ba lớp 7A, 7B, 7C theo thứ tự x, y, z theo đề ta 17 x z= y , 16 Vậy ta giải tốn tìm x, y, z có : x + y + z = 153, 17 y= x z= y , 16 biết: x + y + z = 153,và y= Giải : Gọi số học sinh ba lớp 7A, 7B, 7C theo thứ tự x, y, z theo đề ta có :x 17 x z= y , 16 + y + z = 153, 17 y= x z= y , 16 X + y + z = 153, z 17 17 z y = z= y = 16 nên y 16 hay 17 16 (1) Do y y x y x y= x = = = nên x hay hay 16 18 (2) Do y= 11 x y z = = Từ (1) (2) ta có 18 16 17 Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có : x y z x+y+z 153 = = = = =3 18 16 17 18+16+17 51 Từ tìm x= 54; y=48; z= 51 Vậy số học sinh ba lớp 7A, 7B, 7C 54; 48; 51 Bài 2.9: Ba máy bơm nước bơm nước vào bể bơi có dung tích 235 m3 biết thời gian để bơm m nước ba máy phút, phút phút Hỏi máy bơm mét khối nước đầy bể? Hướng dẫn: giải tương tự 2.8: Giải: Gọi số mét khối nước bơm ba máy x (m 3), y (m3), z(m3) Theo ta có : x + y + z =235 (1) 3x = 4y = 5z 3x y 5z x y z = = = = 60 60 60 hay 20 15 12 (2) Từ 3x = 4y = 5z suy Áp dụng tính chất dãy tỉ số , từ (2) (1) ta có : x y z x+y+z 235 = = = = =5 20 15 12 20+15+12 47 Do đó: x = 20 = 100; y = 15 = 75; z = 12 = 60 Vậy số mét khối nước bơm ba máy theo thứ tự 100 m , 75m3 60m3 Bài 2.10: Tìm ba số ngun dương biết BCNN chúng 3150 tỷ số 10 số thứ với số thứ , số thứ với số thứ ba Hướng dẫn: - Xét ba số cần tìm tỉ lệ với ba số nào? - Tìm mối quan hệ giữa ba số với BCNN chúng Giải: Gọi ba số ngun dương là: x; y; z Theo ta có : BCNN (x , y , z) = 3150 x = y hay x 10 = hay z x y x y = = hay 10 18 (1) x z = 10 (2) x y z = = Từ (1) (2) ta có : 10 18 x y z = = Đặt 10 18 =k 12   ⇒ y = 18.k = 32.2.k    ⇒ BCNN (x, y, z)=2.5.k.32 ⇒ z = 7.k ⇒ x = 10k = 2.5.k Mà BCNN (x, y, z)=3150 = 2.32.52.7 nên 2.5.k.32 7= 2.32.52.7 Từ đó suy : k = Suy x=10 = 50; y =18 = 90; z =7 = 35 Vậy số ngun dương x = 50; y = 90; z = 35 2.1.3c) Dạng 3: Tìm hai số biết tích tỉ số chúng x a = y b Phương pháp giải: Giả sử phải tìm hai số x, y, biết x.y = P x a x y x y = ⇒ = = =k Từ y b a b Đặt a b , ta có x=k.a, y=k.b đó: P x y = ( ak ) ( bk ) = ab.k ⇒ k = ab Từ đó tìm k tính x y Chú ý: Cần lưu ý cho học sinh giải hai trường hợp k, Cần tránh sai lầm áp dụng “tương tự” tính chất dãy tỉ số nhau: x y xy = = a b ab (sai) x y = Bài 3.1: (Bài 62 SGK –Tốn tập 1) Tìm hai số x y, biết xy=10 Giáo viên đưa tập u cầu học sinh phút giáo viên xem xét sai lầm có trình bày cách giải nhấn mạnh những điểm mà học sinh mắc sai lầm x y xy = = (cần tránh sai lầm áp dụng ‘‘tương tự ’’ tính chất dãy tỉ số : 2.5 Hướng dẫn giải : x y = =k Đặt , ta có x =2k, y =5k 2 Vì xy=10 nên 2k.5k=10 ⇒ 10k = 10 ⇒ k = ⇒ k = k = −1 + với k = x = 2.1 = ; y = 5.1 = + với k = -1 x = 2.(-1) = -2 ; y = 5.(-1)= -5 Vậy x = ; y = ; x = - ; y = - Chú ý : với cần lưu ý k = ⇒ k = ±1 x = Bài 3.2 : Tìm x, y biết : y xy = 135 Hướng dẫn : Bài này làm tương tự bài 3.1 để học sinh biết cách giải khác giáo viên hướng dẫn cho em làm theo cách khác sau : x x y x x y x x xy 135 = ⇒ = ⇒ = ⇒ = = =9 15 15 Từ y 5 vì x ≠ nhân hai vế với x 3 2 suy x = 9.9 = ( ) = ( −9 ) ⇒ x = x = −9 13 135 = 15 với 135 x = −9 ⇒ y = = −15 −9 với x=9⇒ y = Bài 3.3 : Một miếng đất hình chữ nhật có diện tích 76,95 m có chiều rộng 19 chiều dài Tính chiều rộng chiều dài miếng đất đó Hướng dẫn : loại tốn này ta phải gọi ẩn cho đại lượng cần tìm ,thể quan hệ qua ẩn đưa bài tốn dạng tìm hai số biết tích và tỉ số chúng Giải : Gọi chiều rộng chiều dài miếng đất hình chữ nhật đó x (m) ,y(m) Theo cho ta có x y = 76,95 x= x y y hay = 19 19 x y = =k Đặt 19 , ta có x = 5.k ; y=19.k Vì x 76,95 nên (5.k).(19.k)=76.95 ⇒ 95k = 76,95 ⇒ k = 76,95 : 95 = 0,81 ⇒ k = 0,9 k = −0,9 + với k = 0,9 x = 5.0,9 = 4,5 ; y = 19.0,9 = 17,1 + với k = -0,9 x = 5.(- 0,9) = -4.5 ; y =19.(- 0,9) = - 17,1 Do x, y chiều rộng chiều dài miếng đất hình chữ nhật nên x=4,5 y= 17,1 Vậy chiều rộng : 4,5(m) ; chiều dài : 17,1(m) Bài 3.4 : Tìm x, y z biết y = x y z = = a) 12 xyz = 20 x y z = = b) xyz = 810 Hướng dẫn giải : x y z = = =k Đặt 12 , ta có x = 12k ; y=9k; z=5k 20 1 3 ⇒ 540 k = 20 ⇒ k = = ⇒ k = 12 k k k = 20 540 27 Vì xyz = 20 nên ( ) ( ) ( ) 1 x = 12 = y = = z = = 3 3 Suy ; ; x = 4; y=3; z= Vậy x y z = = =k b) Tương tự câu a : đặt , ta có x=2k ; y=3k ; z=5k 3 xyz = 810 nên (2k).(3k).(5k)=810 ⇒ 30k = 810 ⇒ k = 810 : 30 = 27 ⇒ k = Vậy x = ; y = ; z =15 14 Bài 3.5 : ba lớp 7A ; 7B ; 7C mua số gói tăm từ thiện, lúc đầu số gói tăm dự địnhchia cho ba lớp tỉ lệ với : : sau đó chia theo tỉ lệ :5 :6 nên có lớp nhận nhiều dự định gói Tính tổng số gói tăm mà ba lớp mua.(Bài 24 trang 32 – chủ đề nâng cao tốn tác giả Huỳnh Quang Lâu) Hướng dẫn : ở bài tốn này ta phải tìm lớp nào nhận nhiều dự định gói tăm cách tìm số tăm lớp so với tổng số tăm ba lớp phải mua Giải : Gọi tổng số gói tăm lớp mua x ( x số tự nhiên khác 0) Số gói tăm dự định chia chia cho lớp 7A, 7B, 7C lúc đầu : a, b, c a b c a+b+c x 5x 6x x 7x = = = = ⇒ a = ;b = = ;c = 18 18 18 18 18 Ta có : (1) Số gói tăm sau đó chia cho lớp a’, b’, c’, ta có : a , b , c , a , + b, + c , x x , 5x x , x = = = = ⇒ a, = ;b = = ;c = 15 15 15 15 15 (2) So sánh (1) (2) ta có : a > a’ ; b=b’ ; c < c’ nên lớp 7C nhận nhiều lúc đầu 6x x x − =4⇒ = ⇒ x = 360 90 Vây: c’ – c = hay 15 18 Vậy số gói tăm lớp mua 360 gói 2.1.3d) Dạng : Tính giá trị biểu thức : Bài 4.1 : 3x − y x = Cho tỉ lệ thức x + y Tính giá trị tỉ số y (bài tập 54 sách nâng cao và phát triển tốn tác giả Vũ Hữu Bình) Bài giải : Cách : 3x − y = x + y ⇒ 4(3x – y) = 3(x+y) ⇔ 12x – 4y = 3x + 3y Từ ⇔ 12x – 3y = 3(x+y) ⇔ 9x = 7y x Vậy y = Cách : 3x −1 y = 3x − y x = +1 y Từ x + y ⇒ x 3a − Đặt y = a ⇒ a + = Bài 4.2: y+z−x x y z = = Cho Tính giá trị biểu thức P = x − y + z Hướng dẫn: ta đặt tỉ số k, tìm x, y, x theo k thay vào P Cách 1: 15 x y z = = Đặt = k ⇒ x = 2k ; y = 3k ; z = 4k ( k ≠ 0) 3k + 4k − 2k 5k = = P = 2k − 3k + 4k 3k Vậy P = Hoặc có thể biến đổi nhu sau : Cách : x y z y+z−x y+z−x x− y+z x− y+z = = = = = 2−3+ Có = + − y+z−x x− y+z y+z−x ⇒ = ⇒ = x− y+z Vậy P = Nhận xét : Với hai cách thì cách học sinh dễ phát hiện, dễ hiểu cách Bài 4.3 : Cho dãy tỉ số a b c d = = = b + c + d a + c + d a + b + d b + c + a Tính giá trị biểu thức a+b b+c c+d d +a M= + + + c+d a+d a+b b+c Hướng dẫn giải : a b c d = = = Từ b + c + d a + c + d a + b + d b + c + a a b c d ⇒ +1 = +1 = +1 = +1 b+c+d a+c+d a+b+d b+c+a a+b+c+d a+b+c+d a +b+c+d a +b+c+d ⇒ = = = b+c+d a+c+d a +b+d b + c + a (*) +) Xét a + b + c + d = ⇒ a + b = −(c + d ); b + c = −(a + d ) ⇒ M = −4 +) Xét a + b + c + d ≠ Từ (*) ta có : b+c +d = a +c +d = a +b+d = b +c +a ⇒a =b=c=d ⇒ M =4 Lưu ý: Với giáo viên cần lưu ý cho học sinh xét hết trường hợp có thể xảy Bài tập tương tự: Cho dãy tỉ số 2012a + b + c + d a + 2012b + c + d a + b + 2012c + d a + b + c + 2012d = = = 2011a 2011b 2011c 2011d Tính giá trị biểu thức 16 M= a+b b+c c+d d +a + + + c + d a + d a + b b + c (đề thi hsg tốn huyện Ngọc Lặc năm học 2013- 2014) Cũng là bài tập tương tự u cầu đề bài khác ví dụ: Cho dãy tỉ số a b c d = = = b + c + d a + c + d a + b + d b + c + a Chứng minh biểu thức sau có giá trị a+b b+c c+d d +a M= + + + c+d a+d a+b b+c ngun Bài 4.4: a+b b+c c+a = = a b Cho a , b ,c đơi khác thỏa mãn c  a  b  c  P = 1 + ÷ + ÷ + ÷  b  c  a  Tính giá trị biểu thức Bài giải: a+b b+c c+a a+b b+c c+a = = ⇒ +1 = +1 = +1 a b c a b Từ c a+b+c a+b+c a+b+c ⇒ = = c a b (*) +) Xét a + b + c = ⇒ a + b = −c; a + c = −b; b + c = −a a + b b + c a + c −c − a −b −abc × × = × × = = −1 b c a b c a abc +) Xét a + b + c ≠ Từ (*) ta có : a =b=c⇒ P =8 P= Nhận xét : q trình dạy và học nhiều thầy và học sinh khơng xét trường hợp mà đưa trường hợp P = -1 vì vậy dạy cho học sinh giáo viên cần lưu ý cho học sinh xét đầy dủ hai trường hợp Bài 4.5 : ab bc ca = = Cho số a;b;c khác thỏa mãn a + b b + c c + a ab + bc + ca P= a3 + b3 + c Tính giá trị biểu thức Bài giải : ab bc ca = = Với a, b, c ≠ ta có : a + b b + c c + a a+b b+c c+a 1 1 1 ⇒ = = ⇒ + = + = + ab bc ca b a c b a c 1 ⇒ = = ⇒a=b=c a b c thay vào ta P = C BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài Tìm số x,y,z biết 17 x−2 x+4 = a x − x + x y z = = b 10 21 x + y − z = 28 c x = y ; y = z x − y + z = d x : y : z = 12 : : xyz = 20 10 14 = = e x − y − z − 21 xyz = 6720 x + 16 y − 25 z + = = 16 25 x − = 15 f Bài Tìm số x,y,z biết 2 a x : y : z = : : z − 3x − y = 594 x − 1) = ( y − ) ( y − ) = ( z − 3) b ( ; x + y − z = 50 12 x − 15 y 20 z − 12 y 15 y − 20 z = = 11 c x + y + z = 48 2x 3y 4z = = d − x − y − z = −49 Bài Tìm số x,y,z biết : x y = = y ; z x − y + z = a x + y − 2 x + y −1 = = 6x c d, 1+ y 1+ y 1+ 8y = = 19 5x b, 13 y + z +1 x + z + y + x − = = = x y z x+ y+z Bài a c = Cho tỉ lệ thức b d Chứng minh ta có tỉ lệ thức sau ( với giả thiết tỉ số có nghĩa ) 2a + 7b 2c + 7d = a 3a − 4b 3c − 4d a2 + b2  a +b  =  ÷ 2 c  c + d  c + d 2015a − 2016b 2015c − 2016d = b, 2016c + 2017 d 2016a + 2017b ab  2a + 3b  = ÷ cd  2c + 3d  d, 7a + 5ac 7b + 5bd = 2 e, 7a − 5ac 7b − 5bd Bài Cho a + c = 2b 2bd = c ( b + d ) a c = ; b, d ≠ CMR : b d Bài a a1 a2 a3 = = = L = 2014 a2015 chứng minh đẳng thức Cho dãy tỉ số : a2 a3 a4 2014  a + a + a + L + a2014  a1 = ÷ a2015  a2 + a3 + a4 + L + a2015  18 Bài a c = Cho b d số x, y , z, t thỏa mãn ax + yb ≠ zc + td ≠ xa + yb xc + yd = Chứng minh rằng: za + tb zc + td Bài 2a + 13b 2c + 13d = Cho tỉ lệ thức 3a − 7b 3c − d Chứng minh rằng: a c = b d Bài 10 x y z t = = = Biết y + z + t z + t + x t + x + y x + y + z x+ y y + z z +t t + x P= + + + z+t t + x x+ y y+ z Tính Bài 11 Tìm số tự nhiên có ba chữ số, biết số đó bội 72 chữ số nó xếp từ nhỏ đến lớn tỉ lệ với ;2 ;3 4/.Kết nghiên cứu vấn đề : Sau thời gian áp dụng sáng kiến kinh nghiệm tơi thấy kết mang lại khả quan thu kết sau : TSH Giỏi Khá Trung Yếu Kém S bình SL % SL % SL % SL % SL % 14 21, 18 27, 28 42, Đầu năm 66 2 Giữa 66 14 21, 20 30, 27 40, 7,6 0 HKI 66 20 30, 18 27, 28 42, 0 0 Cuối HKI KẾT LUẬN, KIẾN NGHI 1/.Bài học kinh nghiệm: Qua kết nghiên cứu áp dụng sáng kiến kinh nghiệm tơi nhận thấy học sinh khơng sợ dạng tốn chứng minh đẳng thức từ tỉ lệ thức cho trước, dạng tốn có tham số em nắm vận dụng tốt vào giải tốn tương tự Khi đưa tốn em nhận dạng nhanh tốn đó dạng nào.Các em có kỹ tính tốn nhanh nhẹn, em biết cách biến đổi từ những dạng tốn phức tạp dạng biết cách giải.Qua những tập đó rèn luyện tư sáng tạo, linh hoạt đối với những tập phù hợp kiến thức chương trình Ngồi cách hướng dẫn giải giáo viên tơi thấy em có nhiều cách giải hay thể những điểm thơng minh phép biến đổi Nhờ đó mà tăng số lượng học sinh khá, giỏi, tăng số lượng chất lượng đội tuyển học sinh giỏi cấp huyện 19 - Do thời gian hạn chế nên muốn thực giải pháp phải đưa vào dạy tự chọn bồi dưỡng học sinh giỏi khơng khơng có thời gian để luyện tập cho học sinh Tốn chứng minh đẳng thức từ tỉ lệ thức cho trước, ta nghiên cứu sâu đối với đẳng thức phức tạp nhiều dạng tốn phức tạp mà chưa đưa sáng kiến kinh nghiệm được, ngồi dạng tốn dựa vào tính chất tỉ lệ thức áp dụng bất đẳng thức chưa đưa Do đó, giáo viên phải tiếp tục nghiên cứu, đó phần hạn chế mà đề tài chưa đề cập đến 2/.Hướng phổ biến áp dụng đề tài: Tuy có những hạn chế nhìn chung giải pháp “kinh nghiệm giải tốn tỉ lệ thức tính chất dãy tỉ số lớp 7” trang bị cho học sinh kiến thức chun sâu nhằm vận dụng nó để giải tập tốn nâng cao tỉ lệ thức tốn dãy tỉ số cách có hiệu Vì vậy, để thực có hiệu quả, chúng tơi xin đưa số đề xuất: + Giáo viên cần dạy kĩ kiến thức phần mở rộng, những phần lưu ý cần khắc sâu để học sinh khơng bị sai sót + Trong q trình giảng dạy ý rèn kĩ phân tích đề xem cho điều u cầu chứng minh tìm Bài tập sau có khác so với tập trước, rèn cho em cách nhìn phân tích tốn thật nhanh + Khi giảng dạy, giáo viên cố gắng lựa chọn tập có nội dung lồng ghép những tốn thực tế, có kiến thức liên mơn để kích thích tính tò mò, muốn khám phá những điều chưa biết chương trình Tốn + giáo viên dạy mơn Hóa học có thể tham khảo cách giải tốn tỉ lệ thức chương trình hóa 8,9 có nhiều giải liên quan đến dạng tốn Sau thực đề tài “kinh nghiệm giải tốn tỉ lệ thức tính chất dãy tỉ số mơn Đại số lớp 7” Tơi nhận thấy học sinh có hứng thú học tập hơn, kết học tốt Tuy nhiên nhiều dạng tốn nữa mà tơi chưa đưa đề tài Bởi tơi tiếp tục nghiên cứu thêm vào năm học sau Với lực hạn chế việc nghiên cứu đầu tư, tơi ghi lại những kinh nghiệm thân, những vấn đề tiếp thu tham khảo sách tài liệu có liên quan nên việc trình bày sáng kiến kinh nghiệm tơi khơng tránh khỏi những sai sót định Rất mong góp ý chân thành Hội đồng khoa học cấp Ngọc Lặc, ngày 20 tháng năm 2016 XÁC NHẬN Tơi xin cam kết sáng kiến tơi tự làm, CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ khơng sử dụng chép coppy người khác Người viết 20 Phạm Thị Dun TÀI LIỆU THAM KHẢO Sách giáo khoa, sách bài tập toán tập I Sách nâng cao và phát triển Toán -tác giả Vũ Hữu Bình Bài tập nâng cao và sớ chun đề Toán –tác giả: Bùi Van Tun Các chủ đề nâng cao toán tác giả Huỳnh Quang Lâu 5.Các đề thi học sinh giỏi toán huyện,các tỉnh mạng intenet 21 ... trị tỉ số tỉ lệ hức cho k, tính giá trị tỉ số tỉ lệ thức phải chứng minh theo k (cách 4) có thể dùng tính chất tỉ lệ thức hốn vị số hạng , tính chất dãy tỉ số nhau, tính chất đẳng thức… để biến... chung giải pháp kinh nghiệm giải tốn tỉ lệ thức tính chất dãy tỉ số lớp 7 trang bị cho học sinh kiến thức chun sâu nhằm vận dụng nó để giải tập tốn nâng cao tỉ lệ thức tốn dãy tỉ số cách... số x, y, z, biết rằng: trang 31 SGK tốn tập 1) Hướng dẫn: tốn chưa cho ta dãy tỉ số Vậy để xuất y y dãy tỉ số ta làm thề nào? Ta thấy tỉ số có hai số hạng giống nhau, làm để hai tỉ số có số