PHÂN LOẠI BÀI TOÁN TÌM TOẠ ĐỘ ĐỈNH, VIẾT PHƯƠNG TRÌNH CÁC CẠNH CỦA TAM GIÁC

Bài toán tìm tọa độ đỉnh, viết phương trình các cạnh trong tam giác khi biết trước 1 số yếu tố của tam giác là dạng toán hay và không quá khó trong chương trình lớp 10; để làm bài toán dạng này đòi hỏi phải nắm vững kiến thức hình học phẳng, mối quan hệ giữa các yếu tố trong tam giác và các điểm đặc biệt của tam giác như: Trọng tâm, trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp. Mức độ tư duy lời giải toán vừa phải nhẹ nhàng, lô gíc. Những phát hiện lời giải hay và hấp dẫn người học.

trờng thpT chu văn an

-o0o -sáng kiến kinh nghiệm

" Phân loại bài toán tìm toạ độ đỉnh, viết phơng trình các cạnh của tam giác "

Họ và tên: Phạm Đại An Ngày sinh: 11/08/1982

Tổ chuyên môn: Toán - Tin

Văn Yên năm 2010– năm 2010

Mục lục

Trang

1 Mục lục: 02

2 Lý do thực hiện: 03

3 Phạm vi thực hiện: 03

4 Thời gian thực hiện: 03

5 Quá trình thực hiện: 04

6 Nội dung: 05

Phần I - Nhắc lại kiến thức cơ bản: 05

Phần II - Phơng pháp chung để giải toán: 07

Phần III - Các dạng bài tập thờng gặp : 07

Dạng 1: 07

Dạng 2: 09

Dạng 3: 11

Dạng 4: 13

Dạng 5: 15

Dạng 6: 17

Dạng 7: 18

Dạng 8: 20

Dạng 9: 22

Dạng 10: 24

7 Kết quả thực hiện: 25

8 Kiến nghị sau khi thực hiện: 26

9 Tài liệu tham khảo: 27

A - Lý do chọn đề tài

Bài toán tìm tọa độ đỉnh, viết phơng trình các cạnh trong tam giác khi biết

tr-ớc 1 số yếu tố của tam giác là dạng toán hay và không quá khó trong chơng trìnhlớp 10; để làm bài toán dạng này đòi hỏi phải nắm vững kiến thức hình học phẳng,mối quan hệ giữa các yếu tố trong tam giác và các điểm đặc biệt của tam giác nh :Trọng tâm, trực tâm, tâm đờng tròn ngoại tiếp, nội tiếp Mức độ t duy lời giải toánvừa phải nhẹ nhàng, lô gíc Những phát hiện lời giải hay và hấp dẫn ngời học

Đây cũng là dạng toán chiếm tỷ lệ nhiều trong phần phơng pháp toạ độ trongmặt phẳng trong các đề thi vào đại học, cao đẳng

Là giáo viên giảng dạy ở trờng THPH và đang trực tiếp giảng dạy khối 10 tôithấy nhìn chung đối tợng học sinh ở mức trung bình khá, mức độ t duy vừa phải,các em dễ nhầm lẫn khi giải bài toán dạng này bởi các em học sinh rất hay nhầmlẫn các yếu tố trong tam giác nên việc giải các bài tập về tìm tọa độ đỉnh và viết ph-

ơng trình các cạnh trong tam giác gặp nhiều khó khăn Để giúp học sinh không bịkhó khăn khi gặp dạng toán này tôi đa ra phơng pháp phân loại bài tập từ dễ đếnkhó để học sinh tiếp cận một cách đơn giản, dễ nhớ và từng bớc giúp học sinh hìnhthành lối t duy giải quyết vấn đề

Qua đó giúp các em học tốt hơn về bộ môn hình học lớp 10, tạo cho các em

tự tin hơn khi làm các bài tập Hình học và tạo tâm lý không "bí" khi giải bài tậphình

B - Phạm vi thực hiện đề tài

Đề tài này đợc thực hiện trong phạm vi lớp 10A2, 12A5 trờng THPH ChuVăn An

C - Thời gian thực hiện đề tài

Là những buổi phụ đạo sau khi học song chơng phơng pháp toạ độ trongmặt phẳng, các tiết bài tập hình học, các buổi ôn thi đại học năm học 2010 - 2011

d - quá trình thực hiện đề tài

Chuẩn bị trớc khi thực hiện đề tài:

- Hệ thống bài tập và phơng giải các dạng toán trên

- Yêu cầu các em học sinh thực hiện làm một số bài tập:

Bài 1: (CĐ khối D - 2009) Tìm tọa độ các đỉnh A, B của tam giác ABC biết đỉnh

C 1; 2  ; đờng trung tuyến kẻ từ A có phơng trình: 5x y 9 0   và đờng cao kẻ

từ B có phơng trình là: x 3y 5 0  

Bài 2: (ĐH S phạm Hà Nội 2 - 1995) Lập phơng trình các cạnh của ABC nếucho C 4; 5   và 2 đờng cao xuất phát từ A và B có phơng trình lần lợt là2x y 1 0   và 3x 8y 13 0 

Bài 3: (ĐH Văn hóa Hà Nội - 1998) Lập phơng trình các cạnh của tam giác ABC

biết C 4; 1  ; đờng trung tuyến hạ từ A có phơng trình là: 2x3y 0 ; đờng caohạ từ đỉnh A có phơng trình là: 2x 3y 12 0  

Số liệu cụ thể trớc khi thực hiện đề tài :

Kết quả của lớp 10A2 ( sĩ số 45)

Làm đúng Làm sai Không có lời giải

Kết quả của lớp 12A5 ( sĩ số 45)

Làm đúng Làm sai Số h/s không có lời Lời giải

E - Nội dung thực hiện đề tài:

Phần I: nhắc lại kiến thức cơ bản có liên quan

1, Véc tơ chỉ phơng của đờng thẳng d

Vectơ u 0 và có giá song song hoặc trùng với d thì ulà vectơ chỉ phơng của d.Nếu u là vectơ chỉ phơng của d thì k ucũng là vectơ chỉ phơng của d (k 0 )

2, Véc tơ pháp tuyến của đờng thẳng d

Vectơ n 0 và có giá vuông góc với d thì n là vectơ pháp tuyến của d

Nếu n là vectơ pháp tuyến của d thì kncũng là vectơ pháp tuyến của d (k 0 )

3, Phơng trình của đờng thẳng

Nếu đờng thẳng d đi qua điểm M x ; y và có véc tơ chỉ phơng là  0 0 u a;b  với

2 2

a b 0 thì:

+ Phơng trình tham số của đờng thẳng d là : 0

Phơng trình đờng thẳng d qua M x ; y , có vectơ pháp tuyến  0 0 n A;B  với

Phơng trình đờng thẳng d song song với đờng thẳng : Ax By C 0   có dạng

A B M

A B M

x kxx

1 k

MA kMB

y kyy

Quy ớc: Pháp tuyến của đờng thẳng ký hiệu là n

Chỉ phơng của đờng thẳng ký hiệu là u

Phần II: Nêu phơng pháp chung để giải toán:

Trong bài toán Viết phơng đờng thẳng d thì phơng pháp chung nhất là đi xác

định véc tơ chỉ phơng hoặc vetơ pháp tuyến của đờng thẳng và toạ độ một điểm mà

đờng thẳng đi qua sau đó áp dụng các dạng phơng trình đờng thẳng nêu trên để viết

phơng trình đờng thẳng đó

Phần III: các dạng bài tập thờng gặp Các bài toán trong tam giác Dạng 1: Tam giác ABC biết đỉnh A, biết hai trung tuyến xuất phát từ 2 đỉnh còn lại BM, CN Tìm toạ độ B; C, viết phơng trình các cạnh của tam giác.

Phơng pháp:

Cách 1:

B1: Tìm toạ độ trọng tâm G x ; y của ABC G G

B2: Tham số hoá toạ độ của B x ; y ; C x ; y theo phơng trình BM, CN. B B  C C

B3: Tìm toạ độ của B, C: áp dụng công thức:

A B C G

x x xx

3

 

B4: Viết phơng trình các cạnh

Cách 2:

B1: Tìm toạ độ trọng tâm G x ; y của ABC G G

B2: Xác định điểm H đối xứng với A qua G theo công thức trung điểm

Khi đó tứ giác BGCH là hình bình hành

B3: Lập phơng trình đờng thẳng HC qua H và song song với trung tuyến BM

C là giao điểm của HC với CN

B4: Lập phơng trình đờng thẳng HB qua H và song song với trung tuyến CN

B là giao điểm của HB với BM

B5: Viết phơng trình các cạnh

ví dụ:

1, Cho tam giác ABC có A 1;3 và hai đờng trung tuyến BL: x 2y 1 0     và CK:

y 1 0  Viết phơng trình các cạnh của tam giác ABC

Bài giải:

Toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC là nghiệm của hệ phơng trình:

A G ' G

G ' G A G '

A G ' G ' G A G ' G

B C C

BBTT: Cho tam giác ABC có A 3;1 và hai đờng trung tuyến BM: 2x y 1 0    

và CN: x 1 0  Lập phơng trình các cạnh của tam giác ABC

Dạng 2: Tam giác ABC biết đỉnh A và 2 đờng cao BH, CK Tìm tọa độ các

đỉnh B; C, lập phơng trình các cạnh của tam giác ABC.

Phơng pháp:

B1: Lập phơng trình cạnh AB đi qua A và vuông góc với CK

Lập phơng trình cạnh AC đi qua A và vuông góc với BH

C ;

y5

Tọa độ điểm B là nghiệm của hệ

2, Tam giác ABC có A 2;1 và phơng trình hai đờng cao lần lợt là BH: x y 1 0    

và CK: 2x y 2 0 Tìm tọa độ các đỉnh B, C của tam giác ABC

C ;

y3

Dạng 3: Tam giác ABC biết 1 đỉnh A, phơng trình đờng cao BH và trung tuyến xuất CK Xác định tọa độ đỉnh B, C; lập phơng trình các cạnh.

Phơng pháp:

B1: Lập phơng trình cạnh AC đi qua A và vuông góc với BH

Từ đó tìm đợc tọa độ điểm C là giao điểm của AC và trung tuyến CK

B2: Tham số hoá toạ độ B x ; y ; K x ; y (với K là trung điểm của AB) theo B B  K K

và đờng trung tuyến xuất phát từ 1 đỉnh lần lợt là 5x 4y 1 0   và 8x y 7 0  

Dạng 4: Tam giác ABC biết hai cạnh AB, AC và biết trọng tâm G Xác định tọa độ các đỉnh, lập phơng trình cạnh còn lại.

Phơng pháp:

B1 (Chung cho 2 cách): tìm toạ độ điểm A là giao điểm của AB và AC

Suy ra toạ độ điểm M là trung điểm của BC nhờ : AG 2GM

B2: Tham số hoá toạ độ của B x ; y ; C x ; y theo phơng trình AB, AC B B  C C

B3: Tìm toạ độ của B; C nhờ:

B C M

B C M

x xx

2

y yy

Cách 2:

B2: Viết phơng trình đờng thẳng MN qua M và song song với AC với N là trung

điểm của AB Tìm tọa độ điểm N

Tọa độ điểm N là nghiệm của hệ

7

N ; 12

AG 2GM

5x

nên B 1;0 ; C 4;7   

BBTT: Tam giác ABC biết phơng trình AB: 2x 3y 7 0  ; AC: x9y 28 0  vàtrọng tâm G 4; 2   Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC

Dạng 5: Tam giác ABc biết hai cạnh AB, AC và trực tâm H Tìm tọa độ các

đỉnh của tam giác ABC, viết phơng trình cạnh BC.

Phơng pháp:

B1: tìm toạ độ điểm A là giao điểm của AB và AC

B2: Tham số hoá toạ độ của B(xB ; yB) theo AB

0 x 4 3 y 7  0 y 7 0 

Tọa độ đỉnh C là nghiệm của hệ:

35

C ; 72

BTTT: Tam giác ABC biết phơng trình cạnh AB: 3x 2y 1 0  và cạnh AC:

x y 3 0   và H 2;4  là trực tâm của tam giác Tìm tọa độ các đỉnh và lập

ph-ơng trình cạnh BC

Dạng 6: Tam giác ABC biết hai cạnh AB, AC và I là tâm đờng tròng ngoại tiếp tam giác Xác định tọa độ các đỉnh và lập phơng trình cạnh BC.

Phơng pháp:

B1: Tìm toạ độ điểm A là giao của AB và AC

Gọi M là trung điểm cạnh AB Vì I là trực tâm nên IMAB M

Tìm toạ độ của B nhờ M là trung điểm của AB

B2: Gọi N là trung điểm của AC Vì I là trực tâm nên INAC N

Tìm toạ độ của C nhờ N là trung điểm của AC

Tơng tự vì N là trung điểm của AC nên suy ra 9 8

B1: Tìm điểm A1 là điểm đối xứng của A qua đờng phân giác trong của góc B

Suy ra A1 thuộc đờng thẳng BC

B2: Tìm điểm A2 là điểm đối xứng của A qua đờng phân giác trong của góc C

Suy ra A2 thuộc BC

B3: Lập phơng trình đờng thẳng BC đi qua A ;A1 2

B4: Tìm tọa độ của B; C là giao điểm của BC với AB; AC

Chú ý: Bài toán: Tìm điểm đối xứng M của M qua đ’ của M qua đ ờng thẳng 

Phơng pháp:

B1: Lập phơng trình của d qua M và d vuông góc với 

B2: Gọi I là giao điểm của d với  Tìm đợc I

B3: Gọi M’ của M qua đ là điểm đối xứng với M qua  Khi đó I là trung điểm của MM’ của M qua đ

Vậy tìm đợc M’ của M qua đ nhờ:

M M ' I

M M ' I

x xx

2

y yy

Gọi d là đờng thẳng qua M và vuông góc với  Ta có n d  u (3; 1)

vậy phơng trình tổng quát của d: 3 x 1 1 y 3        0 3x y 6 0  

gọi I là giao điểm của d với , toạ độ của I là nghiệm của hệ:

x 3y 2 0 x 2

I 2;03x y 6 0 y 0

Gọi A2 là điểm đối xứng của A qua d : 2x 3y 6 0C   

Phơng trình đờng thẳng AA2 qua A và vuông góc với dC có dạng:

BTTT: Tam giác ABC biết A 2; 1   và phơng trình hai đờng phân giác trong củagóc B là d : x 2y 1 0B    và của góc C là d : x y 3 0C    Tìm tọa độ các

đỉnh và lập phơng trình các cạnh của tam giác

Dạng 8: Tam giác ABC biết A, đờng cao BH, đờng phân giác trong của góc C Tìm tọa độ các đỉnh và lập phơng trình các cạnh của tam giác.

Phơng pháp:

B1: Lập phơng trình cạnh AC vuông góc với BH và đi qua A

Suy ra toạ độ điểm C

B2: Tìm điểm đối xứng A’ của M qua đ của A qua đờng phân giác trong của góc C

Suy ra A’ của M qua đ thuộc BC

B3: Lập phơng trình cạnh BC đi qua 2 điểm C, A’ của M qua đ

B4: Lập phơng trình cạnh AB Tìm B

ví dụ

1, Cho tam giác ABC biết A 1;3 , đờng cao BH: x y 0  Đờng phân giác trongcủa góc C nằm trên đờng thẳng :x 3y 2 0   Tìm tọa độ các đỉnh và lập phơngtrình các cạnh của tam giác

Gọi A’ của M qua đ là điểm đối xứng của A qua đờng phân giác : x 3y 2 0  

Phơng trình đờng thẳng AA’ của M qua đ: 3 x 1   1 y 3    0 3x y 6 0  

Ta có trung điểm I của AA’ của M qua đ là giao của AA’ của M qua đ với 

Tọa độ trung điểm I là nghiệm của hệ: 3x y 6 0 x 2 I 2;0 

Vậy I 2;0  nên A ' 3; 3   và A’ của M qua đ thuộc BC

Vậy phơng trình BC chính là phơng trình CA’ của M qua đ:

1 x 3  7 y 3  0 x 7y 18 0  

Suy ra toạ độ B là nghiệm của hệ x y 0 x 3 B 3; 3  A '

Ta có trung điểm I của BK là giao của BK với 

Tọa độ điểm I là nghiệm của hệ x 2y 0 x 2 I 2;1 

BTTT: Lập phơng trình các cạnh của tam giác MNP biết N 2; 1  ; đờng cao hạ từ

M xuống NP có phơng trình là: 3x 4y 27 0  ; đờng phân giác trong hạ từ đỉnh P

có phơng trình là: x 2y 5 0  

Dạng 9: Tam giác ABC biết đỉnh A, đờng trung tuyến hạ từ đỉnh B, đờng phân giác trong của góc C Tìm tọa độ các đỉnh và lập phơng trình các cạnh của tam giác.

Phơng pháp:

B1: Tìm toạ độ A’ của M qua đ là điểm đối xứng của A qua đờng phân giác trong của góc C.B2: Tham số hoá toạ độ của C x ; y theo đờng phân giác trong của góc C C C

Tham số hoá toạ độ của B x ; y1 B 1 B 1 theo đờng trung tuyến hạ từ B.

B3: Tìm toạ độ của C nhờ B là trung điểm của AC

ví dụ:

1, Tam giác ABC biết A 4;4 ; trung tuyến BB  1: x 3y 2 0   , đờng phân giáctrong của góc C có phơng trình: : x  2y 1 0  Tìm tọa độ các đỉnh của tamgiác

y2

2, Tam giác ABC biết C 4;3 ; đờng phân giác trong và đờng trung tuyến của góc 

B C B M

x x x 4x

y y y 3y

BTTT: Lập phơng trình các cạnh của tam giác ABC biết C 1;3 ; đờng trung tuyếnhạ từ A có phơng trình là: x 2y 5 0   ; đờng phân giác trong hạ từ đỉnh A có ph-

ơng trình là: 4x 13y 10  0

Dạng 10: Tam giác ABC biết đỉnh B, đờng cao AH, đờng phân giác ngoài của góc C Xác định tọa độ các đỉnh và viết phơng trình các cạnh của tam giác.

Phơng pháp:

B1: Viết phơng trình cạnh BC qua B và vuông góc với AH

Suy ra C là giao điểm của BC với phân giác ngoài góc C

B2: Gọi k là hệ số góc của cạnh AC, k là hệ số góc của phân giác ngoại góc C, 1 k2

Cho tam giác ABC biết B 2; 1  , phơng trình đờng cao AH: 3x 4y 27 0  ,

ph-ơng trình đờng phân giác ngoài của góc C: x 2y 5 0   Tìm tọa độ các đỉnh vàviết phơng trình các cạnh của tam giác

Bài giải:

Phơng trình cạnh BC qua B và vuông góc với AH là: 4x 3y 5 0  

Suy ra C là giao điểm của BC với phân giác ngoài góc C Tọa độ điểm C là

ợc kiến thức lớp 10 và giúp các em nhận thức đợc đây là một trong những phầnkiến thức quan trọng khi thi đại học, cao đẳng; Các em co thêm hứng thú và tự tinvới bản thân hơn khi chuẩn bị bớc vào 2 kỳ thi quan trọng: Tốt nghiệp và đại học,cao đẳng.

Nh vậy chắc chắn các phơng pháp cụ thể mà tôi nêu ra trong đề tài đã giúpcác em phân loại đợc bài tập và nắm khá vững phơng pháp làm và trình bầy bài;giúp các em tự tin hơn trong học tập cũng nh khi đi thi

G - kiến nghị sau quá trình thực hiện đề tài.

1, Kiến nghị với Sở GD&ĐT: Phổ biến rộng rãi các đề tài đợc giải để các giáo viêncùng tham khảo

2, Kiến nghị với nhà trờng:

- Mở rộng khuyến khích việc mở các lớp chuyên đề, ôn luyện, kiểm tra đánh giáviệc ôn luyện của học sinh

- Mong muốn lớn nhất của tôi khi thực hiện đề tài này là học hỏi, đồng thời giúpcác em học sinh trớc hết là bớt đi sự khó khăn khi gặp các bài toán tìm tọa độ đỉnh

và viết phơng trình các cạnh trong tam giác, đồng thời ôn luyện lại cho học sinh vềmối quan hệ của đờng thẳng, từ đó các em say mê học toán

Đề tài của tôi chắc hẳn không thể tránh khỏi thiếu sót Rất mong quý thầy cô,

đồng nghiệp cùng đọc và đóng góp ý kiến cho tôi để đề tài của tôi đợc hoàn thiệnhơn

Xin chân thành cảm ơn!

H - tài liệu tham khảo

1, Sách giáo khoa, sách giáo viên Hình học lớp 10 - Chơng trình cơ bản

2, Sách giáo khoa, sách giáo viên Hình học lớp 10 - Chơng trình nâng cao

3, Hớng dẫn thực hiện Chuẩn kiến thức, kỹ năng môn Toán

4, Tuyển tập các bài toán về đờng thẳng trong mặt phẳng

5, Đề thi tốt nghiệp các năm từ 2000 - 2010

6, Đề thi đại học cao đẳng các năm từ 2002 - 2010

Nhận xét đánh giá

Nhận xét đánh giá của tổ chuyên môn:

Nhận xét đánh giá của Hội đồng khoa học nhà trờng:

Nhận xét đánh giá của Sở giáo dục và đào tạo: