Qua thực tế giảng dạy, tôi nhận thấy rằng bài tập về đường tròn là rất quan trọng đối với học sinh, đặc biệt là chương III hình học 9: “Góc với đường tròn”. Mặt khác lượng kiến thức và bài tập về đường tròn tương đối nhiều và đa dạng nên học sinh khá khó khăn trong việc hệ thống dạng bài tập cũng như cách giải. Vì vậy, nếu từ một bài toán đơn giản ban đầu, nếu biết cách hướng học sinh tìm lời giải rồi từ đó tạo ra được một số bài toán nhằm củng cố lại hệ thống kiến thức đã học thì việc thu nhận và hệ thống kiến thức của chương trở nên dễ dàng hơn đối với học sinh đại trà nói chung và phát triển tư duy cho học sinh khá giỏi nói riêng. Nhằm khắc phục những khó khăn trong việc hướng dẫn học sinh cách tự học và cách khai thác bài toán có hiệu quả, tôi đã rút ra một số kinh nghiệm để củng cố và phát triển tư duy cho học sinh. Trong đề tài này tôi xin trình bày việc “Hướng dẫn học sinh khai thác có hiệu quả bài toán về ba đường cao trong tam giác” để củng cố và nâng cao kiến thức chương III, Hình học 9 cho học sinh; đặc biệt là kỹ năng chứng minh tứ giác nội tiếp và khai thác các tính chất của tứ giác nội tiếp để giải toán.
Trang 1PHÒNG GDĐT VINH TRƯỜNG THCS LÊ LỢI
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
“HƯỚNG DẪN HỌC SINH KHAI THÁC CÓ HIỆU QUẢ BÀI TOÁN VỀ BA ĐƯỜNG CAO TRONG TAM GIÁC”
Vinh, ngày 04 tháng 04 năm 2011
PHẦN I: ĐẶT VẤN ĐỀ
1
Trang 2Học toán gắn liền với hoạt động giải toán Thông qua việc hướng dẫn học sinhgiải toán, người giáo viên cần rèn luyện cho học sinh năng lực tư duy, tính độc lập,linh hoạt, sáng tạo nhằm đáp ứng yêu cầu đào tạo con người mới Việc khai tháchiệu quả các bài toán là một trong những cách bồi dưỡng cho học sinh những nănglực đó Ngoài ra, việc khai thác có hiệu quả bài toán còn đem lại cho học sinhnhững giờ học thú vị, lòng say mê hứng thú môn học, bởi tâm lý học sinh nóichung luôn muốn biết và tìm tòi cái mới Để rèn luyện kỹ năng giải toán cho họcsinh, một phương pháp hữu hiệu là từ một bài toán ban đầu và cách giải bài toán
đó, ta có thể hướng dẫn học sinh khai thác để phát biểu và giải được nhiều bài toánkhác
Để khai thác và phát triển một bài toán, ta có thể sử dụng các cách sau:
- Sử dụng triệt để kết quả chứng minh được, lật ngược vấn đề và khai thác bài toánđảo
- Sử dụng kết quả bài toán và một số phép biển đổi hình học như đối xứng tâm, đốixứng trục để tạo ra bài toán mới chứng minh được bằng cách sử dụng kết quả bàitoán đã có
- Khái quát hoá đi đến bài toán tổng quát
- Đặc biệt hoá để khai thác bài toán cực trị
- Tương tự, mở rộng bài toán…
Việc hướng dẫn học sinh cách khai thác một bài toán là một trong những vấn
đề khó khăn đối với giáo viên, đòi hỏi người giáo viên cần phải có vốn kiến thứcsâu rộng, kiên trì và cần nhiều thời gian Đối với học sinh, việc rèn luyện kỹ năngkhai thác là rất cần thiết, nhằm nâng cao khả năng tự học, sáng tạo, tư duy độc lập
và đặc biệt là gây được hứng thú học tập
Qua thực tế giảng dạy, tôi nhận thấy rằng bài tập về đường tròn là rất quan trọng
đối với học sinh, đặc biệt là chương III hình học 9: “Góc với đường tròn” Mặt
khác lượng kiến thức và bài tập về đường tròn tương đối nhiều và đa dạng nên họcsinh khá khó khăn trong việc hệ thống dạng bài tập cũng như cách giải Vì vậy, nếu
Trang 3từ một bài toán đơn giản ban đầu, nếu biết cách hướng học sinh tìm lời giải rồi từ
đó tạo ra được một số bài toán nhằm củng cố lại hệ thống kiến thức đã học thì việcthu nhận và hệ thống kiến thức của chương trở nên dễ dàng hơn đối với học sinhđại trà nói chung và phát triển tư duy cho học sinh khá giỏi nói riêng
Nhằm khắc phục những khó khăn trong việc hướng dẫn học sinh cách tự học vàcách khai thác bài toán có hiệu quả, tôi đã rút ra một số kinh nghiệm để củng cố vàphát triển tư duy cho học sinh Trong đề tài này tôi xin trình bày việc “Hướng dẫn học sinh khai thác có hiệu quả bài toán về ba đường cao trong tam giác” để củng cố và nâng cao kiến thức chương III, Hình học 9 cho học sinh;
đặc biệt là kỹ năng chứng minh tứ giác nội tiếp và khai thác các tính chất của tứgiác nội tiếp để giải toán
3
Trang 4PHẦN II: NỘI DUNG
Ta bắt đầu từ bài tập 10 trang 104 - SGK Toán 9 - Tập Một
Bài toán 1: Cho tam giác ABC, các đường cao BD và CE Chứng minh rằng:
a Bốn điểm B, E, D, C cùng thuộc một đường tròn
b DE < BC
Phân tích bài toán: Đây là bài toán thuộc
Chương II “Đường tròn” của chương trình Hình
học 9 Là bài tập nhằm củng cố lại định nghĩa
đường tròn và mối liên hệ giữa đường kính và
dây của đường tròn, nên để giải bài tập ta cần
chỉ rõ cho học sinh phương pháp Cụ thể:
a) Để chứng minh 4 điểm B, E, C, D cùng thuộc một đường tròn ta có thể:
- Chỉ ra một điểm cách đều cả 4 điểm B, E, C, D (đó là trung điểm I của đoạn BC) hoặc
- Chỉ ra có một đường tròn đi qua cả 4 điểm B, E, C, D là đường tròn đường kính BC.
b) Từ kết quả chứng minh ở câu a) => ED và BC là hai dây của một đường tròn
và BC là đường kính của đường tròn đó => ED < BC (Định lí liên hệ giữa dây và đường kính).
Từ đó ta có cách giải bài toán như sau:
Giải:
a) Cách 1:
Gọi I là trung điểm của đoạn BC
∆ BEC vuông tại E (gt) => trung tuyến
A
D E
A
D E
Trang 5b Trong đường tròn đường kính BC: ED là dây, BC là đường kính
=> ED < BC (liên hệ giữa dây và đường kính trong một đường tròn)
* Nhận xét 1:
- Kết quả bài toán trên luôn đúng với mọi tam giác ABC.
- Nếu bài tập này được đưa ra sau bài “Tứ giác nội tiếp” của Chương III, Hình học 9, ta có thể phát biểu kết quả câu a) dưới hình thức khác: Chứng minh tứ giác BECD nội tiếp và dấu hiệu được sử dụng là hai đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh chứa hai đỉnh còn lại dưới hai góc bằng nhau hoặc tứ giác có 4 đỉnh cùng nằm trên một đường tròn Từ bài toán này ta có thể khai thác thành một số bài toán nhằm củng cố các kiến thức về góc với đường tròn và phát triển tư duy cho học sinh Cụ thể:
1 Đối với học sinh trung bình có thể cho học sinh nêu kết quả tương tự
- Nếu gọi H là giao điểm của BD và CE => H là trực tâm của tam giác ABC và
A
KH
Trang 6A, E, H, D cùng thuộc đường tròn đường kính AH;
C, D, H, K cùng thuộc đường tròn đường kính CH;
B, K, H, E cùng thuộc đường tròn đường kính BH.
b DK < AB; EK < AC.
Ta cũng chứng minh được ED < AH; EK < BH; DK < HC.
2 Đối với học sinh khá giỏi có thể yêu cầu học sinh tiếp tục khai thác các kết
quả trên bằng cách sử dụng tính chất tứ giác nội tiếp để có các kết quả khác của bài toán, qua các câu hỏi gợi ý như: KH có là phân giác của góc EKD không? Vì sao? Kết quả tương tự là gì? Từ đó, có nhận xét gì về vị trí đặc biệt của điểm H đối với tam giác EKD?
- Trong trường hợp tam giác ABC nhọn => H nằm trong tam giác ABC Nối
EK, KD Từ kết quả chứng minh được ở trên suy ra các tứ giác BEHK và
CKHD là các tứ giác nội tiếp => EBH DCH EKH DKH
Mà ABDACE (cùng phụ góc ABC) => EKH DKH
=> KH là phân giác của góc EKD
Chứng minh tương tự ta có : DH là phân giác góc EDK ; EH là phân giác góc DEK => H là giao điểm ba đường phân giác trong của tam giác EDK
=> H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác EDK.
Mặt khác, ta thấy EH hay EC là phân giác góc KED mà AE EC
=> EA là phân giác góc ngoài tại E của tam giác EKD Ta lại có KA là phân giác góc EKD => A là tâm đường tròn bàng tiếp trong góc K của tam giác EKD Tương tự => B; C lần lượt là tâm các đường tròn bàng tiếp trong góc D;
Trang 7góc E của tam giác EKD Từ đó ta có bài toán sau có thể củng cố được kiến thức về tứ giác nội tiếp, khái niệm tâm đường tròn nội tiếp và tâm đường tròn bàng tiếp tam giác.
Bài toán 1.1 :
Cho tam giác nhọn ABC Các đường cao AK, BD, CE đồng quy tại H Chứngminh:
a) KH là phân giác góc DKE Nêu kết quả tương tự
b) H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác DKE
c) A; B; C là tâm các đường tròn bàng tiếp tam giác DKE
* Nhận xét 2:
- Nếu gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Qua A vẽ tiếp tuyến Ax
với (O) Ta nhận thấy Ax //ED vì:
Trong (O): BAx=BCA (cùng bằng
1
2 sđ cung AB).
Mặt khác tứ giác BEDC nội tiếp
( bài toán 1)
=>BCAAED (cùng bù góc DEB)
Do đó BAxAED mà hai góc này
D
CB
A
KH
Trang 8- Gọi A’; B’; C’ lần lượt là giao điểm của AK, BD, CE với (O) Ta có:
=> tam giác CA’H cân tại C
=> K là trung điểm của HA’.
Do đó BC là đường trung trực của
đoạn thẳng HA’ => H và A’ đối xứng nhau qua BC Chứng minh tương tự ta có:
H và B’ đối xứng nhau qua AC; H và C’ đối xứng nhau qua AB.
Mặt khác tứ kết quả chứng minh trên => HBCA BC' => bán kính đường tròn ngoại tiếp các tam giác HBC và A’BC bằng nhau mà tam giác A’BC nội tiếp đường tròn (O;R) => tam giác HBC nội tiếp đường tròn có bán kính bằng
R Tương tự: các tam giác HBA; HAC có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng
R Từ đó ta có bài toán mới khai thác tính chất trực tâm H của tam giác ABC.
Bài toán 1.3:
Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O;R), các đường cao AK; BD; CEđồng quy tại H Gọi A’; B’; C’ lần lượt là giao điểm của AK; BD; CE với đườngtròn (O) Chứng minh:
a) A’; B’; C’ đối xứng với H qua BC, CA, AB
b) Các tam giác HBC; HCA; HAB có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng nhau
* Nhận xét 4:
- Có thể phát biểu câu b) của bài toán trên bằng cách khác như sau: chứng minh các tam giác HBC; HCA; HAB; ABC có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng nhau Cách phát biểu này giúp ta định hướng cách giải dễ hơn so với cách phát biểu của bài toán 1.3.
12E
B'
C'
O
CB
A
KA'H1
D
Trang 9- Từ kết quả bài toán 1.3, có thể đặt vấn đề nêu bài toán đảo của bài toán trên Nếu gọi A’; B’; C’ là các điểm đối xứng với H qua BC; CA; AB thì các điểm A; B; C; A’; B’; C’ có cùng thuộc một đường tròn được không? Ta xét bài toán đảo của bài toán 1.3.
Bài toán 1.4:
Cho tam giác nhọn ABC; các đường cao AK, BD, CE đồng quy tại H Gọi A’;B’; C’ lần lượt là các điểm đối xứng với H qua BC, CA, AB Chứng minh:
a) Sáu điểm A; B; C; A’; B’; C’ cùng thuộc một đường tròn
b) Các tam giác HBC; HCA; HAB nội tiếp các đường tròn bằng nhau
Hướng dẫn giải:
a) A’ đối xứng với H qua BC => C1C2 mà A1C2 (cùng phụ gócABC) => A1C2 => tứ giác ABA’C nội tiếp => 4 điểm A, B, C, A’ cùngthuộc một đường tròn => A’ thuộc đường tròn (ABC)
Chứng minh tương tự ta có B’, C’ thuộc đường tròn (ABC)
Vậy 6 điểm A, B, C, A’, B’, C’ cùng thuộc một đường tròn
b) Chứng minh tương tự bài toán 1.3
Trang 10- Ta nhận thấy rằng: kết quả trên chỉ đúng khi tam giác ABC nhọn Nếu tam giác ABC là tam giác tù (tại A chẳng hạn) thì A là tâm đường tròn nội tiếp tam giác DKE; còn H là tâm đường tròn bàng tiếp trong góc K của tam giác DKE
- Sử dụng mối liên hệ giữa đường kính và dây trong đường tròn ta có thể hướng dẫn học sinh khai thác tiếp kết quả của bài toán như sau: Kẻ OF vuông góc với AC; ON vuông góc với BC
(F thuộc AC; N thuộc BC )
=> F; N lần lượt là trung điểm của AC; BC
=> FN là đường trung bình của tam
giác ABC => NF // AB và 1
2
NF
AB Mặt khác:
OF // BH (cùng vuông góc với AC)
ON // AH (cùng vuông góc với BC) => các tam giác ONF và HAB đồng
F
Trang 11cho bài toán 1.5 Với cách giải này ta có thể củng cố lại kiến thức về tỉ số lượng giác của góc nhọn cho học sinh.
- Từ kết quả chứng minh của bài toán 1.5: AH có độ dài không đổi khi điểm A chạy trên cung lớn BC của đường tròn (O); ta có thể đặt câu hỏi là: Vậy điểm H chạy trên đường nào khi điểm A chạy trên cung lớn BC của đường tròn (O)? Nếu gọi I là điểm đối xứng với điểm O qua N
đường tròn (O) ngoại tiếp tam giác ABC)
=> H thuộc đường tròn (I; R) cố định
Ta đã giải được bài toán về quỹ tích sau:
- Từ kết quả chứng minh của bài toán 1.5:
AH = 2.ON => nếu gọi Q là giao điểm
của AO và HN thì ta cũng chúng minh được
A
K H
O N
D
C B
A
K H
Q
Trang 12hình bình hành Như vậy, ta có thể phát biểu
thành các bài toán sau:
Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O;R); trực tâm H; cạnh BC cố định
kẻ đường kính AQ của (O) Chứng minh khi A di động trên cung lớn BC
của (O) thì HQ luôn đi qua một điểm cố định
Trang 13toán nào đó về bài toán quen thuộc hoặc dễ tìm ra cách giải hơn, từ đó suy ra cách giải bài toán theo yêu cầu
- Ta tiếp tục khai thác các tính chất khác của trực tâm H Gọi giao điểm của HO
và trung tuyến AN của tam giác ABC là G Ta chứng minh được các tam giác AHG và NOG đồng dạng (g.g)
=> AH NO NG AG HG GO mà AH = 2.ON (cmt)
=> HG = 2.OG và AG = 2.NG.
Từ AG = 2.NG => G là trọng tâm của
tam giác ABC Từ đó ta có thể nêu bài
toán như sau:
- Nếu gọi M là giao điểm của ON với (O) => M là điểm chính giữa của cung
BC => OM // AK (cùng vuông góc với BC) => OMAKAM mà
OMA OAM
(vì tam giác OAM cân tại O) => KAM OAM
=> AM là phân giác của góc KAO Mặt khác ta cũng có AM là phân giác của góc BAC Do đó BAK OAC
Nếu gọi S là giao điểm của AM và BC; P là giao điểm của MN với (O)
=> MP là đường kính của (O)
=> MAP900 mà PNS 900
=> tứ giác PASN nội tiếp => P thuộc
đường tròn ( ASN ) mà P cũng thuộc
13
ON
D
CB
A
K
HG
M
A
O K P
S
Trang 14(O) => P là giao điểm thứ hai của (O) và
a) Chứng minh: AM là tia phân giác của góc KAO
b) Gọi P là giao điểm thứ hai của (O) và (ASN) Chứng minh M; N; P thẳnghàng
Bài toán 1.9.1:
Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O); BC cố định Gọi M là điểmchính giữa của cung BC không chứa điểm A, S là giao điểm của AM với BC; N
là giao điểm của OM với BC Chứng minh rằng khi A di chuyển trên cung lớn
BC thì đường tròn ngoại tiếp tam giác ASN luôn đi qua một điểm cố định
khác N
Bài toán 1.9.2:
Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O) Gọi M là điểm chính giữa củacung BC không chứa điểm A, S là giao điểm của AM với BC; N là giao điểmcủa OM với BC Gọi P là giao điểm của đường tròn (ASN) với MN Chứngminh P thuộc đường tròn (O)
N
Trang 15Tương tự gọi N là điểm đối xứng với K qua AC => E, D, N thẳng hàng.
=> 4 điểm M, E, D, N thẳng hàng Ta có bài toán 1.10:
- Từ kết quả bài toán 1.10 => MN = ME + ED + DN mà ME = EK,
DN = DK (tính chất đối xứng trục) => MN = EK + ED + DK; tức là độ dài đoạn
MN bằng chu vi tam giác DEK
- Nếu D, E, K là các điểm bất kỳ trên các cạnh CA, AB, BC thì M, E, D, N không thẳng hàng Khi đó độ dài đường gấp khúc MEDN = ME + ED + DN hay độ dài đường gấp khúc MEDN = EK + ED + DK => chu vi tam giác DEK nhỏ nhất khi
M, E, D, N thẳng hàng Khi đó D, E, K là chân các đường cao của tam giác ABC.
A
KM
Trang 16Bài toán 1.11:
Cho tam giác nhọn ABC; K, D, E là các điểm bất kỳ trên các cạnh BC, CA, AB.Chứng minh rằng chu vi tam giác DEK nhỏ nhất khi K, D, E là chân các đườngcao của tam giác ABC
tiếp trong góc D, góc E của tam giác
EDK Theo tính chất các tiếp tuyến
- Từ bài toán 1.6 ta thấy: nếu A là điểm chính giữa của cung BC lớn thì
S N => AM là đường kính của đường tròn (O) và AM BC
Trang 17AM.BC = AB.CM + AC.BM
Vậy nếu tứ giác ABMC nội tiếp và
AM BC thì tích hai đường chéo bằng
tổng các tích của các cạnh đối Có thể
đặt câu hỏi là kết quả trên còn đúng
không nếu ABMC là tứ giác bất kỳ nội tiếp được? Từ đó ta có thể giới thiệu định lý Ptôlêmê:
Bài toán 1.13:
Chứng minh rằng trong một tứ giác nội tiếp, tích hai đường chéo bằng tổng cáctích của các cặp cạnh đối
* Nhận xét 14:
- Từ nhận xét 13, nếu tam giác ABC
là tam giác đều, ta còn chứng minh
được tam giác OBM, tam giác OCM
cũng là các tam giác đều
=> MB = MC = MO = R,
mà AM = 2R => MA = MB + MC.
Ta cũng chứng minh được kết quả trên
vẫn đúng khi M không là điểm chính giữa của cung BC không chứa điểm A Từ
đó ta có bài toán sau:
Bài toán 1.14:
Cho tam giác ABC đều nội tiếp đường tròn (O) M là điểm bất kỳ trên đườngtròn (O) Chứng minh rằng trong 3 đoạn thẳng MA, MB, MC có một đoạn bằngtổng 2 đoạn còn lại
Trang 18- Từ các bài toán trên, ta có thể giới thiệu cho HS một số bài toán khác được khai thác từ kết quả của các bài toán đã có nhằm củng cố và nâng cao khả năng giải các dạng toán khác như tỉ số lượng giác, dựng hình… như sau:
Bài toán 1.15:
Cho tam giác ABC, trực tâm H Gọi O1; O2 ; O3 là tâm các đưòng tròn ngoại tiếpcác tam giác HBC, tam giác HCA, tam giác HAB Chứng minh các tam giácABC và tam giác O1O2O3 bằng nhau
Trang 19PHẦN III: KẾT LUẬN
Như vậy, từ một bài toán gốc đơn giản, bằng cách vận dụng và khai thác triệt
để các kết quả chứng minh được và một số phép đối xứng trục, đối xứng tâm,đặc biệt hoá, tổng quát hoá ta có thể phát biểu và chứng minh được một số bàitoán mới, nhằm củng cố và hệ thống lại các kiến thức, các dạng bài tập và cáchgiải các bài tập của Chương II, Chương III hình học 9; nhất là dạng toán vềchứng minh tứ giác nội tiếp và các góc liên quan đến đường tròn Để vận dụng
có hiệu quả nhất định và phát triển tư duy của học sinh, giáo viên cần biết hướngdẫn học sinh phân tích bài toán, tìm và phát biểu các kết quả tương đương, thayđổi hình thức phát biểu bài toán, nêu bài toán tổng quát, kết quả bài toán đặcbiệt
Trên đây là một số suy nghĩ và việc làm tôi đã thực hiện trong quá trìnhgiảng dạy Tôi nhận thấy rằng các bài toán, dạng toán được giới thiệu có hệthống, có liên hệ chặt chẽ với nhau thì việc tiếp thu của các em có hiệu quả hơn.Việc khai thác bài toán sẽ giúp các em phát triển năng lực tư duy, phát triểnngôn ngữ, hướng các em đến sự độc lập trong tư duy, sáng tạo và có khả năng tựhọc; tạo thói quen phân tích một bài toán để định hướng phương pháp giải bằngcách quy “lạ” về “quen”; khai thác triệt để kết quả bài toán đã giải được để tạo rađược các bài toán mới Tôi nghĩ rằng đó là điều người giáo viên cần quan tâm,tìm tòi và tích luỹ để chất lượng dạy học ngày càng được nâng cao Hệ thống bàitập được khai thác trong đề tài này phù hợp với việc dạy ôn tập chương III hìnhhọc 9 hoặc dạy ôn tập cuối năm, phụ đạo học sinh đại trà và bồi dưỡng học sinhkhá giỏi
Rất mong được sự quan tâm và góp ý của người đọc Tôi xin chân thành cám ơn
Vinh, ngày 04 tháng 4 năm 2011.
19