Các phương pháp viết phương trình đường thẳng và mặt phẳng không gian

Để viết pt măt phẳng em có 2 cách cơ bản : . Xác định 1 điểm và 1 VTPT . Hoặc gọi ptmp dạng Ax+By+Cz+D=0 rồi dựa vào giả thiết tìm A,B,C,D. Vậy khi nào sử dụng cách 1 , khi nào sử dụng cách 2 thì em phân biệt các dạng đề bài sau: Dạng 1: Viết PT mp đi qua A(x0; y0 ;z0) và có VTPT =(A;B;C) A(xx0) + B(yy0) + C(zz0) = 0 Ax + By + Cz + D = 0 Dạng 2:Viết pt mặt phẳng đi qua A(x0; y0 ;z0) và mp (Q) Từ ptmp(Q) VTPT Q = (A;B;C) Vì (P) (Q) VTPT P = Q = (A;B;C) PT mp (P) đi qua A và có VTPT P

Phương pháp tọa độ trong không gian Oxyz www.PNE.edu.vn 1. ph¬ng tr×nh mÆt ph¼ng Để viết pt măt phẳng em có 2 cách cơ bản : <1>. Xác định 1 điểm và 1 VTPT <2>. Hoặc gọi ptmp dạng Ax+By+Cz+D=0 rồi dựa vào giả thiết tìm A,B,C,D. Vậy khi nào sử dụng cách 1 , khi nào sử dụng cách 2 thì em phân biệt các dạng đề bài sau: Dạng 1: Viết PT mp đi qua A(x 0 ; y 0 ;z 0 ) và có VTPT n r =(A;B;C) A(x-x 0 ) + B(y-y 0 ) + C(z-z 0 ) = 0 ⇔ Ax + By + Cz + D = 0 Dạng 2:Viết pt mặt phẳng đi qua A(x 0 ; y 0 ;z 0 ) và // mp (Q) - Từ ptmp(Q) ⇒ VTPT n v Q = (A;B;C) - Vì (P) // (Q) ⇒ VTPT n v P = n v Q = (A;B;C) - PT mp (P) đi qua A và có VTPT n v P Dạng 3: Viết pt mp đi qua A(x 0 ; y 0 ;z 0 ) và vuông góc với đường thẳng d - Từ (d) ⇒ VTCP u r d = (A;B;C) - Vì (P) vuông góc với (d) ⇒ Chọn VTPT n r P = u r d =(A;B;C) ⇒ Viết ptmp (P) đi qua A và có vtpt n r P . Dạng 4: Viết ptmp đi qua A và ⊥ (Q) , ⊥ (R) - Từ pt mp (Q) và (R) ⇒ VTPT n r Q ; VTPT n r R - Vì (P) ⊥ (Q) và ⊥ (R) ⇒ VTPT n r P ⊥ Q n r và n r P ⊥ n r R ⇒ Chọn n r P = [ n r Q; n r R ] - Vậy pt mp (P) đi qua A và có VTPT n r P = [ n r Q; n r R ] Dạng 5: Viết Pt mp (P) đi qua 3 điểm A,B,C không thẳng hàng - Tính AB uuur , AC uuur và a r = [ AB uuur , AC uuur ] - PT mp (P) đi qua A và có VTPT n r P = a r = [ AB uuur , AC uuur ] Dạng 6: Viết ptmp (P) đi qua A,B và ⊥ (Q) - Tính AB uuur , vtpt n r Q và tính [ AB uuur , n r Q ] - Vì A, B ∈ (P) ; (Q) ⊥ (P) nên chọn n r P =[ AB uuur , n r Q ] - Viết ptmp (P) Trang 1 Phương pháp tọa độ trong không gian Oxyz www.PNE.edu.vn Dạng 7: Viết ptmp (P) đi qua A ; ⊥ (Q) và // với dt (d) - Tính VTPT n r Q của mp (Q); VTCP u r d của đường thẳng (d). - Tính [ u r d , n r Q ] - Vì (P) ⊥ (Q) và // (d) nên VTPT n r P = [ u r d , n r Q ] - Từ đó viết được PT mp (p) Dạng 8: Viết ptmp (P) là trung trực của AB. - Tình trung điểm I của ABvà AB uuur - Mp (P) đi qua I và nhận AB uuur làm VTPT. Dạng 9: Viết pt mp(P) chứa (d) và đi qua A - Tính VTCP u r d của đường thẳng (d) và tìm điểm M ∈ (d) - Tính AM uuuur và [ u r d , AM uuuur ] - Ptmp (P) đi qua A và có VTPT n r P =[ u r d , AM uuuur ]. Dạng 10: Viết pt mp (P) chứa (d) và // ( ∆ ) - Từ (d) ⇒ VTCP u r d và điểm M ∈ (d) - Từ ( ∆ ) ⇒ VTCP u ∆ r và tính [ u r d , u r ∆ ] - PT mp (P) đi qua M và có VTPT n r = [ u r d , u r ∆ ]. Dạng 11: Viết Pt mp(P) chứa (d) và ⊥ (Q) - Từ (d) ⇒ VTCP u r d và điểm M ∈ (d) - Từ (Q) ⇒ VTPT n r Q và tính [ u r d , n r Q ] - PT mp (P) đi qua M và có VTPT n r =[ u r d , n r Q ]. Dạng 12:Viết PT mp (P) // với (Q) và d(A;(P))=h - Vì (P) // (Q) nên pt mp (P) có dạng Ax + By +Cz + D=0 ( theo pt của mp (Q) , trong đó D ≠ D Q ) - Vì d(A,(P))= h nên thay vào ta tìm được D - Thay A,B,C,D ta có PT mp (P) cần tìm. Dạng 13: Viết PT mp(P) chứa (d) và d(A,(P))=h - Gọi VTPT của mp (P) là n r P = (A,B,C) với đk là A 2 + B 2 + C 2 >0 - Từ (d) ⇒ VTCP u r d và điểm M ∈ (d) - Vì (d) nằm trong (P) ⇒ u r d. n r P =0 (1) - PT mp (p) đi qua M: A(x-x 0 ) + B(y-y 0 ) + C(z-z 0 ) = 0 - d(A,(P)) = h (2) - Giải (1);(2) ta tìm được A,B theo C từ đó chọn A,B,C đúng tỉ lệ , ta viết được PT mp(P). Dạng 14:Viết Pt mp(P) chứa (d) và hợp với mp (Q) một góc α ≠ 90 0 Trang 2 Phương pháp tọa độ trong không gian Oxyz www.PNE.edu.vn - Gọi VTPT của mp (P) là n r P = (A,B,C) với đk là A 2 + B 2 + C 2 >0 - Từ (d) ⇒ VTCP u r d và điểm M ∈ (d) - Vì d ⊂ (P) ⇒ u r d. n r P =0 (1) - Tính cos ((P),(Q)) (2) - Từ (1) và (2) ta tìm được A,B theo C từ đó chọn A,B,C đúng tỉ lệ , ta viết được PT mp(P). Dạng 15:Viết Pt mp (P) chứa (d) và hợp với đt( ∆ )một góc α ≠ 90 0 - Gọi VTPT của mp (P) là n r P = (A;B;C) với đk là A 2 + B 2 + C 2 >0 - Từ (d) ⇒ VTCP u r d và điểm M ∈ (d) - Vì d ⊂ (P) ⇒ u r d. n r P =0 (1) - Tính sin ((P),( ∆ )) (2) - Hệ (1) và (2) tìm được A,B theo C từ đó chọn A,B,C đúng tỉ lệ , ta viết được PT mp(P). Dạng 16: Cho A và (d) , viết PT mp (P) chứa (d) sao cho d(A,(P)) là lớn nhất - Gọi H là hình chiếu ⊥ của A lên (d) - Ta có : d(A,(P)) = AK ≤ AH (tính chất đường vuông góc và đường xiên) Do đó d(A(P)) max ⇔ AK = AH ⇔ K ≡ H - Viết PT mp (P) đi qua H và nhận AH làm VTPT Dạng 17: Viết Pt mp (P) // với (Q) và tiếp xúc với mặt cầu (S) - Xác định tâm I, bán kính R của mặt cầu (S) - Vì (P) // (Q) nên (P) có dạng Ax + By + Cz + D'=0 (theo pt của mp (Q) , trong đó D' ≠ D Q ). - Mà (P) tiếp xúc với (S) nên d(I,(P))= R ⇒ tìm được D' - Từ đó ta có Pt (P) cần tìm Dạng 18: Viết PT mp(P) // (Q) và cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là đường tròn(C) có bán kính r ( hoặc diện tích, chu vi cho trước). - Xác định tâm I, bán kính R của mặt cầu (S) - Adct : Chu vi đường tròn C = 2 r π và diện tích S = 2 r π tính r. - d(I,(P)) = 2 2 R r− (1) - Vì (P) // (Q) nên (P) có dạng Ax + By + Cz + D'=0 (theo pt của mp (Q) , trong đó D' ≠ D Q ) - Suy ra d (I,(P)) (2) ⇒ Giải hệ (1), (2) tìm được D' ⇒ viết được pt (P). Dạng 19: Viết PT mp(P) chứa (d) và tiếp xúc với mặt cầu (S) - Xác định tâm I, bán kính R của mặt cầu (S) - Gọi VTPT của mp (P) là n r P = (A;B;C) với đk là A 2 + B 2 + C 2 >0 Trang 3 Phương pháp tọa độ trong không gian Oxyz www.PNE.edu.vn - Từ (d) ⇒ VTCP u r d và điểm M ∈ (d) - d ⊂ (P) ⇒ u r d. n r P =0 (1) - Mà (P) tiếp xúc với (S) nên d(A,(P))= R (2) - Giải hệ (1) và (2) tìm được A,B theo C ⇒ PT mp(P). Dạng 20: Viết Pt mp (P) chứa (d) và cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là đường tròn (C) có bán kính r ( hoặc diện tích , chu vi cho trước) - Xác định tâm I, bán kính R của mặt cầu (S) - Adct : Chu vi đường tròn C = 2 r π và diện tích S = 2 r π tính r. - Vì d ⊂ (P) ⇒ u r d. n r P =0 (1) - Gọi VTPT của mp (P) là n r P = (A,B,C) với đk là A 2 + B 2 + C 2 >0, chọn M trên đường thẳng d. =>PT mp (P) đi qua M: A(x-x 0 ) + B(y-y 0 ) + C(z-z 0 ) = 0 - Vì (P) cắt (S) theo đường tròn bán kính r nên d(I,(P)= r (2) - Giải hệ (1) và (2) tìm được A,B theo C ⇒ PT mp(P). Dạng 21: Viết PT mp (P) chứa (d) và cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là đường tròn (C) có bán kính nhỏ nhất .(áp dụng trường hợp d cắt (S) tại 2 điểm). - Xác định tâm I, bán kính R của mặt cầu (S) - Bán kính r = 2 2 ( ,( ))R d I p− để r min ⇒ d(I,(P)) max - Gọi H là hình chiếu ⊥ của I lên (d) ; K là hình chiếu ⊥ của I lên (P) - Ta có: d(I,(P))= IK ≤ Ih ( tính chất đường vuông góc và đường xiên) - Do đó: d(I,(P)) max ⇔ AK = AH ⇔ K ≡ H - PT mp(P) đi qua H và nhận IH uuur làm VTPT 2. ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng Có 2 loại phương trình đường thẳng : PT ThamSố và PT ChínhTắc. Dạng 1: Viết ptđt (d) qua M(x 0 ; y 0 ;z 0 ) và có VTCP u r =(a,b,c) PP: phương trình tham số của đường thẳng d là: (d): 0 0 0 x x at y y bt z z ct = +   = +   = +  với t ∈ R * Chú ý : Nếu cả a, b, c ≠ 0 thì (d) có PT chính tắc 0 0 0 x x y y z z a b c − − − = = * Chú ý: Đây là bài toán cơ bản. Về nguyên tắc muốn viết PT dt(d) thì cần phải biết 2 yếu tố đó là tọa độ một điểm thuộc d và toạ độ VTCP của d. Dạng 2: Viết pt dt(d) đi qua 2 điểm A,B - Tính AB uuur Trang 4 Phương pháp tọa độ trong không gian Oxyz www.PNE.edu.vn - Viết PT đường thăng đi qua A, và nhận AB uuur làm VTCP Dạng 3: Viết PT dt (d) đi qua A và //với đường thẳng ( ∆ ) - Từ pt( ∆ ) ⇒ VTCP u r ∆ - Viết Pt dt(d) đi qua A và nhận u r ∆ làm VTCP Dạng 4: Viết PT dt(d) đi qua A và ⊥ (P) - Tìm VTPT của mp(P) là n r P - Pt dt(d) đi qua A và Có VTCP u r d = n r P Dạng 5: Viết Pt dt(d) đi qua A và vuông góc với cả 2 dt (d 1 ),(d 2 ) - Từ (d 1 ),(d 2 ) 1 2 1 2 , à u à uVTCPd d l v⇒ uur uur => tính [ 1 u uur , 2 u uur ]. - Vì (d) ⊥ (d 1 ),(d 2 ) nên có VTCP u r d= [ 1 u uur , 2 u uur ] - Pt dt(d) đi qua A và có VTCP u r d= [ 1 u uur , 2 u uur ] Dạng 6: Viết PT của dt (d) là giao tuyến của 2 mp (P):Ax + By + Cz + D = 0 (Q):A ' x + B ' y + C ' z + D ' = 0 - Từ (P) và (Q) ⇒ n r P , n r Q - Tính [ n r P , n r Q ] - Xét hệ ' ' ' ' Ax + By + Cz +D =0 A 0x B y C z D    + + + =   . Chọn một nghiệm (x 0 ; y 0 ;z 0 ) từ đó ⇒ M ∈ d - Pt dt(d) đi qua M và có VTCP u r d =[ n r P , n r Q ]. Dạng 7: Viết PT hình chiếu của d lên mp(P) Cách 1: - Viết ptmp(Q) chứa d và vuông góc với mp(P) - Hình chiếu cần tìm d ' = (P) I (Q) Cách 2: + Tìm A = ( )d PI ( chỉ áp dụng với giả thiết d cắt (P) ) + Lấy M d∈ và xác định hình chiếu H của M lên (P) + Viết phương trình d' đi qua M, H Dạng 8: Viết pt đường thẳng d đi qua điểm A và cắt 2 đường thẳng d 1 , d 2 : Cách 1 : * Viết pt mặt phẳng ( α ) đi qua điểm A và chứa đường thẳng d 1 * Tìm B = 2 ( ) d α I * Đường thẳng cần tìm đi qua A, B Cách 2 : - Viết pt mặt phẳng ( α ) đi qua điểm A và chứa đường thẳng d 1 Trang 5 Phương pháp tọa độ trong không gian Oxyz www.PNE.edu.vn - Viết pt mặt phẳng ( β ) đi qua điểm B và chứa đường thẳng d 2 - Đường thẳng cần tìm d = α β I Dạng 9: Viết pt đường thẳng d song song d 1 và cắt cả d 2 , d 3 - Viết phương trình mp (P) song song d 1 và chứa d 2 - Viết phương trình mp (Q) song song d 1 và chứa d 3 - Đường thẳng cần tìm d = ( ) ( )P QI Dạng 10 : Viết ptđt d đi qua A và vuông góc đường thẳng d 1 và cắt d 2 Cách 1 : - Viết pt mp ( ) α qua A và vuông góc d 1 - Tìm giao điểm B = 2 ( ) d α I - Đường thẳng cần tìm đi qua A, B Cách 2 : * Viết pt mp ( ) α qua A và vuông góc d 1 * Viết pt mp ( ) β qua A và chứa d 1 * Đường thẳng cần tìm d = α β I Dạng 11 : Viết ptđt d đi qua A, song song mp ( ) α , cắt đường thẳng d' Cách 1 : - Viết ptmp(P) đi qua A và song song với ( ) α - Viết ptmp(Q) đi qua A và chứa d' - Đường thẳng cần tìm d = ( ) ( )P QI Cách 2 : * Viết ptmp(P) đi qua A và song song với ( ) α * Tìm B = ( ) 'P dI * Đường thẳng cần tìm đi qua 2 điểm A,B Dạng 12 : Viết ptđt d nằm trong mp(P) và cắt 2 đường thẳng d 1 , d 2 cho trước. - Tìm giao điểm A=d 1 ( )PI và B=d 2 ( )PI - Đường thẳng d đi qua 2 điểm A, B Dạng 13 : Viết ptđt d nằm trong mp(P) và vuông góc với đường thẳng d' tại giao điểm I của (P) và d'. * Tìm giao điểm I' = d' ( )PI * Tìm VTCP u r của d' và VTPT n r của (P) và tính [u,n]v = r r r * Viết ptđt d qua I và có VTCP v r Dạng 14 : Viết ptđt vuông góc chung d của 2 dường thẳng chéo nhau d 1 , d 2 : - Gọi 0 0 0 1 ( , , )M x at y bt z ct d+ + + ∈ , và ' ' ' 0 0 0 2 ( ' ', ' ', ' ')N x a t y b t z c t d+ + + ∈ là các chân đường vuông góc chung của d 1 , d 2 Trang 6 Phương pháp tọa độ trong không gian Oxyz www.PNE.edu.vn - Ta có hệ 1 1 2 2 . 0 , ' . 0 MN d MN u t t MN d MN u  ⊥ =   ⇒ ⇒   ⊥ =    uuuur r uuuur r . - Thay t, t' tìm M, N. Viết ptđt đi qua M,N. ( Với cách 2 em tính thêm được khoảng cách MN, cũng chính là độ dài đường vuông góc) Dạng 15 : Viết pt đường thẳng d vuông góc với mp(P) và cắt 2 đường thẳng d 1 ,d 2 . * Viết ptmp(Q) chứa d 1 và vuông góc với mp(P) * Viết ptmp(R) chứa d 2 và vuông góc với mp(P) * Đường thẳng d = ( ) ( )Q RI Dạng 16 : Viết ptđt d đi qua điểm A , cắt và vuông góc với đường thẳng d 1 . - Viết pt mp ( ) α qua A và vuông góc d 1 - Tìm giao điểm B = 1 ( ) d α I - Đường thẳng cần tìm đi qua A, B Dạng 17 : Viết ptđt d đi qua A ,vuông góc với d 1 ,tạo với d 2 góc 0 0 (0 ;90 ) α ∈ (= 30 0 , 45 0 , 60 0 ) * Gọi VTCP của d là 2 2 2 ( ; ; ), : 0u a b c dk a b c= + + > r * Vì 1 1 . 0d d u u⊥ ⇒ = r r =>phương trình (1) Vì 2 2 . . u u cos u u α = r r r r => phương trình (2) Thế (1) vào (2) => a,b,c => ptđt d. ( chú ý : nếu thay giả thiết là d tạo với mp(P) góc 0 0 (0 ;90 ) α ∈ thì có . . P P u u sin u u α = r r r r ) Dạng 18 : Viết ptđt d di qua A , song song với mp(P) , tạo với d 1 góc 0 0 (0 ;90 ) α ∈ . - Gọi VTCP của d là 2 2 2 ( ; ; ), : 0u a b c dk a b c= + + > r - Vì d//(P) nên . 0 p u n = r r => phương trình (1). - Vì 1 1 1 . ( , ) . u u cos d d cos u u α = = r r r r nên có phương trình (2). - Giải hệ phương trình (1), (2) tìm a,b theo c=> chọn a,b,c. =>viết ptđt d đi qua A, có vtcp ( ; ; )u a b c= r Dạng 19 : Viết ptđt d di qua A , nằm trong mp(P) , tạo với d 1 góc 0 0 (0 ;90 ) α ∈ . - Gọi VTCP của d là 2 2 2 ( ; ; ), : 0u a b c dk a b c= + + > r - Vì d ∈ (P) nên . 0 p u n = r r => phương trình (1). - Vì 1 1 1 . ( , ) . u u cos d d cos u u α = = r r r r nên có phương trình (2). - Giải hệ phương trình (1), (2) tìm a,b theo c=> chọn a,b,c. =>viết ptđt d đi qua A, có vtcp ( ; ; )u a b c= r Trang 7 Phng phỏp ta trong khụng gian Oxyz www.PNE.edu.vn Dng 20: Vit ptt d di qua A , vuụng gúc d 1 v khong cỏch t M n d bng h. * Gi VTCP ca d l 2 2 2 ( ; ; ), : 0u a b c dk a b c= + + > r * Vỡ d 1 d nờn 1 . 0u n = r r => phng trỡnh (1). * Vỡ [ , ] ( , ) u u AM d M d h h= = r uuuur r => phng trỡnh (2). *Gii h phng trỡnh (1), (2) tỡm a,b theo c=> chn a,b,c. =>vit ptt d i qua A, cú vtcp ( ; ; )u a b c= r Chúc các em ôn tập tốt, đạt kết quả cao!!! Gạo đem vào giã bao đau đớn, Gạo giã xong rồi trắng tựa bông. Sống ở trên đời ngời cũng vậy, Gian nan rèn luyện mới thành công! Hồ Chí Minh! www.PNE.edu.vn Trang 8 . Phương pháp tọa độ trong không gian Oxyz www .PNE. edu. vn 1. ph¬ng tr×nh mÆt ph¼ng Để viết pt măt phẳng em có 2 cách cơ bản : <1>. Xác định. n r P =[ AB uuur , n r Q ] - Viết ptmp (P) Trang 1 Phương pháp tọa độ trong không gian Oxyz www .PNE. edu. vn Dạng 7: Viết ptmp (P) đi qua A ; ⊥ (Q) và // với dt (d) - Tính VTPT n r Q của mp (Q);. (d) và hợp với mp (Q) một góc α ≠ 90 0 Trang 2 Phương pháp tọa độ trong không gian Oxyz www .PNE. edu. vn - Gọi VTPT của mp (P) là n r P = (A,B,C) với đk là A 2 + B 2 + C 2 >0 - Từ (d)