LTĐH: Chuyên đề PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN 1.PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG Có loại phương trình đường thẳng : PT ThamSố PT ChínhTắc Dạng 1: Viết ptđt (d) qua M(x0; y0 ;z0) có VTCP r u =(a,b,c) PP: phương trình tham số đường thẳng d là: * Chú ý : Nếu a, b, c x = x0 + at (d): y = y0 + bt với t ∈ R z = z + ct x − x0 y − y0 z − z0 ≠ (d) có PT tắc = = a b c * Chú ý: Đây toán Về nguyên tắc muốn viết PT dt(d) cần phải biết yếu tố tọa độ điểm thuộc d toạ độ VTCP d Dạng 2: Viết pt dt(d) qua điểm A,B uuu r - Tính AB - Viết PT đường thăng qua A, nhận uuu r AB làm VTCP Dạng 3: Viết PT dt (d) qua A //với đường thẳng ( ∆ ) - Từ pt( ∆ ) r ⇒ VTCP u ∆ - Viết Pt dt(d) qua A nhận r u∆ làm VTCP ⊥ (P) r - Tìm VTPT mp(P) n P r r - Pt dt(d) qua A Có VTCP u d = n P Dạng 4: Viết PT dt(d) qua A Dạng 5: Viết Pt dt(d) qua A vuông góc với dt (d1),(d2) uu r uur uu r uu r => tính [ u , u ] , d l u v u 1 r u2u r r uu - Vì (d) ⊥ (d1),(d2) nên có VTCP u d= [ u , u ] r 1uu r2 r uu - Pt dt(d) qua A có VTCP u d= [ u , u ] - Từ (d1),(d2) ⇒ VTCPd Dạng 6: Viết PT dt (d) giao tuyến mp (P):Ax + By + Cz + D = (Q):A'x + B'y + C'z + D' = - Từ (P) (Q) r r r r ⇒ n P ,n Q - Tính [ n P , n Q] Ax + By + Cz +D =0 ' ' ' ' A x + B y + C z + D = Chọn nghiệm (x0; y0 ;z0) từ ⇒ M ∈ d r r r - Pt dt(d) qua M có VTCP u d =[ n P , n Q] - Xét hệ Dạng 7: Viết PT hình chiếu d lên mp(P) Cách 1: - Viết ptmp(Q) chứa d vuông góc với mp(P) - Hình chiếu cần tìm d' = (P) I (Q) d I ( P ) ( áp dụng với giả thiết d cắt (P) ) + Lấy M∈ d xác định hình chiếu H M lên (P) Cách 2: + Tìm A = + Viết phương trình d' qua M, H Dạng 8: Viết pt đường thẳng d qua điểm A cắt đường thẳng d1, d2: Cách : * Viết pt mặt phẳng ( α ) qua điểm A chứa đường thẳng d1 * Tìm B = (α ) I d * Đường thẳng cần tìm qua A, B LTĐH: Chuyên đề PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN Cách : - Viết pt mặt phẳng ( α ) qua điểm A chứa đường thẳng d1 - Viết pt mặt phẳng ( β ) qua điểm B chứa đường thẳng d2 - Đường thẳng cần tìm d = α I β Dạng 9: Viết pt đường thẳng d song song d1 cắt d2 , d3 - Viết phương trình mp (P) song song d1 chứa d2 - Viết phương trình mp (Q) song song d1 chứa d3 - Đường thẳng cần tìm d = ( P ) I (Q) Dạng 10 : Viết ptđt d qua A vuông góc đường thẳng d1 cắt d2 Cách : - Viết pt mp (α ) qua A vuông góc d1 (α ) I d - Tìm giao điểm B = - Đường thẳng cần tìm qua A, B Cách : * Viết pt mp (α ) qua A vuông góc d1 * Viết pt mp ( β ) qua A chứa d1 * Đường thẳng cần tìm d = αI β Dạng 11 : Viết ptđt d qua A, song song mp (α ) , cắt đường thẳng d' Cách : - Viết ptmp(P) qua A song song với - Viết ptmp(Q) qua A chứa d' - Đường thẳng cần tìm d = ( P ) I (Q) Cách : * Viết ptmp(P) qua A song song với * Tìm B = (α ) (α ) ( P) I d ' * Đường thẳng cần tìm qua điểm A,B Dạng 12 : Viết ptđt d nằm mp(P) cắt đường thẳng d1, d2 cho trước - Tìm giao điểm A=d1 I ( P ) B=d2 I ( P ) - Đường thẳng d qua điểm A, B Dạng 13 : Viết ptđt d nằm mp(P) vuông góc với đường thẳng d' giao điểm I (P) d' * Tìm giao điểm I' = d' I ( P) r r * Tìm VTCP u d' VTPT n r * Viết ptđt d qua I có VTCP v (P) tính r rr v = [u,n] Dạng 14 : Viết ptđt vuông góc chung d dường thẳng chéo d1, d2 : - Gọi M ( x0 + at , y0 + bt , z0 + ct ) ∈ d1 , N ( x0' + a ' t ', y0' + b ' t ', z0' + c ' t ') ∈ d chân đường vuông góc chung d1, d2 - Ta có hệ uuuu rr MN u1 = MN ⊥ d1 ⇒ uuuu ⇒ t, t ' rr MN ⊥ d MN u = - Thay t, t' tìm M, N Viết ptđt qua M,N ( Với cách em tính thêm khoảng cách MN, độ dài đường vuông góc) Dạng 15 : Viết pt đường thẳng d vuông góc với mp(P) cắt đường thẳng d1,d2 * Viết ptmp(Q) chứa d1 vuông góc với mp(P) * Viết ptmp(R) chứa d2 vuông góc với mp(P) * Đường thẳng d = (Q) I ( R ) Dạng 16 : Viết ptđt d qua điểm A , cắt vuông góc với đường thẳng d1 - Viết pt mp (α ) qua A vuông góc d1 - Tìm giao điểm B = (α ) I d1 - Đường thẳng cần tìm qua A, B LTĐH: Chuyên đề PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN Dạng 17 : Viết ptđt d qua A ,vuông góc với d1,tạo với d2 góc * Gọi VTCP d α ∈ (00 ;900 ) (= 300, 450, 600) r u = (a; b; c), dk : a + b + c > rr d ⊥ d1 ⇒ u.u1 = =>phương trình (1) rr u.u Vì cosα = r r => phương trình (2) u u2 * Vì Thế (1) vào (2) => a,b,c => ptđt d ( ý : thay giả thiết d rr u.u P tạo với mp(P) góc α ∈ (00 ;900 ) có sinα = r r u uP Dạng 18 : Viết ptđt d di qua A , song song với mp(P) , tạo với d1 góc - Gọi VTCP d - Vì d//(P) nên - Vì α ∈ (00 ;900 ) r u = (a; b; c), dk : a + b + c > rr u.n p = => phương trình (1) rr u.u1 cos (d , d1 ) = r r = cosα u u1 nên có phương trình (2) - Giải hệ phương trình (1), (2) tìm a,b theo c=> chọn a,b,c =>viết ptđt d qua A, có vtcp r u = (a; b; c) α ∈ (00 ;900 ) Dạng 19 : Viết ptđt d di qua A , nằm mp(P) , tạo với d1 góc - Gọi VTCP d - Vì d ∈ (P) nên - Vì r u = (a; b; c), dk : a + b + c > rr u.n p = => phương trình (1) rr u.u1 cos (d , d1 ) = r r = cosα u u1 nên có phương trình (2) - Giải hệ phương trình (1), (2) tìm a,b theo c=> chọn a,b,c =>viết ptđt d qua A, có vtcp r u = (a; b; c) Dạng 20: Viết ptđt d di qua A , vuông góc d1 khoảng cách từ M đến d h * Gọi VTCP d * Vì d ⊥ * Vì d1 nên r u = (a; b; c), dk : a + b + c > rr u.n = => phương trình (1) r uuuu r [u , AM ] d (M , d ) = h ⇒ =h r u => phương trình (2) *Giải hệ phương trình (1), (2) tìm a,b theo c=> chọn a,b,c =>viết ptđt d qua A, có vtcp r u = (a; b; c) PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG Để viết pt măt phẳng em có cách : Xác định điểm VTPT Hoặc gọi ptmp dạng Ax+By+Cz+D=0 dựa vào giả thiết tìm A,B,C,D Vậy sử dụng cách , sử dụng cách em phân biệt dạng đề sau: Dạng 1: Viết PT mp qua A(x0; y0 ;z0) có VTPT r n =(A;B;C) A(x-x0) + B(y-y0) + C(z-z0) = ⇔ Ax + By + Cz + D = Dạng 2:Viết pt mặt phẳng qua A(x0; y0 ;z0) // mp (Q) v - Từ ptmp(Q) ⇒ VTPT n Q = (A;B;C) - Vì (P) // (Q) ⇒ VTPT v v n P = n Q = (A;B;C) ) LTĐH: Chuyên đề PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN v - PT mp (P) qua A có VTPT n P Dạng 3: Viết pt mp qua A(x0; y0 ;z0) vuông góc với đường thẳng d r ⇒ VTCP u d = (A;B;C) r r - Vì (P) vuông góc với (d) ⇒ Chọn VTPT n P= u d =(A;B;C) r ⇒ Viết ptmp (P) qua A có vtpt n P Dạng 4: Viết ptmp qua A ⊥ (Q) , ⊥ (R) r r - Từ pt mp (Q) (R) ⇒ VTPT n Q ; VTPT n R r r r r - Vì (P) ⊥ (Q) ⊥ (R) ⇒ VTPT n P ⊥ nQ n P ⊥ n R r r r ⇒ Chọn n P = [ n Q; n R] r r r - Vậy pt mp (P) qua A có VTPT n P = [ n Q; n R] Dạng 5: Viết Pt mp (P) qua điểm A,B,C không thẳng hàng uuu r uuur r uuu r uuur - Tính AB , AC a = [ AB , AC ] r r uuu r uuur - PT mp (P) qua A có VTPT n P= a = [ AB , AC ] Dạng 6: Viết ptmp (P) qua A,B ⊥ (Q) r uuu r uuu r r - Tính AB , vtpt n Q tính [ AB , n Q] r uuu r r - Vì A, B ∈ (P) ; (Q) ⊥ (P) nên chọn n P=[ AB , n Q] - Từ (d) - Viết ptmp (P) Dạng 7: Viết ptmp (P) qua A ; ⊥ (Q) r r // với dt (d) - Tính VTPT n Q mp (Q); VTCP u d đường thẳng (d) r r - Tính [ u d, n Q] r r r - Vì (P) ⊥ (Q) // (d) nên VTPT n P = [ u d, n Q] - Từ viết PT mp (p) Dạng 8: Viết ptmp (P) trung trực AB uuu r - Tình trung điểm I ABvà AB uuu r - Mp (P) qua I nhận AB làm VTPT Dạng 9: Viết pt mp(P) chứa (d) qua A r d đường thẳng (d) tìm điểm M ∈ (d) u r uuuu uuuu r r - Tính AM [ u d, AM ] r r uuuu r - Ptmp (P) qua A có VTPT n P =[ u d, AM ] Dạng 10: Viết pt mp (P) chứa (d) // ( ∆ ) r - Từ (d) ⇒ VTCP u d điểm M ∈ (d) r r r - Từ ( ∆ ) ⇒ VTCP u ∆ tính [ u d, u ∆ ] r r r - PT mp (P) qua M có VTPT n = [ u d, u ∆ ] Dạng 11: Viết Pt mp(P) chứa (d) ⊥ (Q) r - Từ (d) ⇒ VTCP u d điểm M ∈ (d) r r r - Từ (Q) ⇒ VTPT n Q tính [ u d, n Q] r r r - PT mp (P) qua M có VTPT n =[ u d, n Q] - Tính VTCP Dạng 12:Viết PT mp (P) // với (Q) d(A;(P))=h - Vì (P) // (Q) nên pt mp (P) có dạng Ax + By +Cz + D=0 ( theo pt mp (Q) , D ≠ DQ) - Vì d(A,(P))= h nên thay vào ta tìm D - Thay A,B,C,D ta có PT mp (P) cần tìm Dạng 13: Viết PT mp(P) chứa (d) d(A,(P))=h r 2 P = (A,B,C) với đk A + B + C >0 n r - Từ (d) ⇒ VTCP u d điểm M ∈ (d) r r - Vì (d) nằm (P) ⇒ u d n P=0 (1) - Gọi VTPT mp (P) LTĐH: Chuyên đề PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN - PT mp (p) qua M: A(x-x0) + B(y-y0) + C(z-z0) = - d(A,(P)) = h (2) - Giải (1);(2) ta tìm A,B theo C từ chọn A,B,C tỉ lệ , ta viết PT mp(P) Dạng 14:Viết Pt mp(P) chứa (d) hợp với mp (Q) góc α ≠ 900 - Gọi VTPT mp (P) r n P = (A,B,C) với đk A2 + B2 + C2 >0 r ⇒ VTCP u d điểm M ∈ (d) r r - Vì d ⊂ (P) ⇒ u d n P=0 (1) - Từ (d) - Tính cos ((P),(Q)) (2) - Từ (1) (2) ta tìm A,B theo C từ chọn A,B,C tỉ lệ , ta viết PT mp(P) α ≠ 900 r n P = (A;B;C) với đk A2 + B2 + C2 >0 Dạng 15:Viết Pt mp (P) chứa (d) hợp với đt( ∆ )một góc - Gọi VTPT mp (P) r ⇒ VTCP u d điểm M ∈ (d) r r - Vì d ⊂ (P) ⇒ u d n P=0 (1) - Tính sin ((P),( ∆ )) (2) - Từ (d) - Hệ (1) (2) tìm A,B theo C từ chọn A,B,C tỉ lệ , ta viết PT mp(P) Dạng 16: Cho A (d) , viết PT mp (P) chứa (d) cho d(A,(P)) lớn - Gọi H hình chiếu ⊥ A lên (d) - Ta có : d(A,(P)) = AK ≤ AH (tính chất đường vuông góc đường xiên) Do d(A(P)) max ⇔ AK = AH ⇔ K ≡ H - Viết PT mp (P) qua H nhận AH làm VTPT Dạng 17: Viết Pt mp (P) // với (Q) tiếp xúc với mặt cầu (S) - Xác định tâm I, bán kính R mặt cầu (S) - Vì (P) // (Q) nên (P) có dạng Ax + By + Cz + D'=0 (theo pt mp (Q) , D' ≠ DQ) - Mà (P) tiếp xúc với (S) nên d(I,(P))= R ⇒ tìm D' - Từ ta có Pt (P) cần tìm Dạng 18: Viết PT mp(P) // (Q) cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến đường tròn(C) có bán kính r ( diện tích, chu vi cho trước) - Xác định tâm I, bán kính R mặt cầu (S) - Adct : Chu vi đường tròn C = - d(I,(P)) = 2π r diện tích S = π r tính r R − r (1) - Vì (P) // (Q) nên (P) có dạng Ax + By + Cz + D'=0 (theo pt mp (Q) , D' ≠ DQ) - Suy d (I,(P)) (2) ⇒ Giải hệ (1), (2) tìm D' ⇒ viết pt (P) Dạng 19: Viết PT mp(P) chứa (d) tiếp xúc với mặt cầu (S) - Xác định tâm I, bán kính R mặt cầu (S) r 2 P = (A;B;C) với đk A + B + C >0 n r - Từ (d) ⇒ VTCP u d điểm M ∈ (d) r r - d ⊂ (P) ⇒ u d n P=0 (1) - Gọi VTPT mp (P) - Mà (P) tiếp xúc với (S) nên d(A,(P))= R (2) - Giải hệ (1) (2) tìm A,B theo C ⇒ PT mp(P) Dạng 20: Viết Pt mp (P) chứa (d) cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến đường tròn (C) có bán kính r ( diện tích , chu vi cho trước) - Xác định tâm I, bán kính R mặt cầu (S) - Adct : Chu vi đường tròn C = 2π r diện tích S = π r tính r r r ⊂ (P) ⇒ u d n P=0 (1) r - Gọi VTPT mp (P) n P = (A,B,C) với đk A2 + B2 + C2 >0, - Vì d chọn M đường thẳng d =>PT mp (P) qua M: A(x-x0) + B(y-y0) + C(z-z0) = - Vì (P) cắt (S) theo đường tròn bán kính r nên d(I,(P)= r (2) - Giải hệ (1) (2) tìm A,B theo C ⇒ PT mp(P) LTĐH: Chuyên đề PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN Dạng 21: Viết PT mp (P) chứa (d) cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến đường tròn (C) có bán kính nhỏ (áp dụng trường hợp d cắt (S) điểm) - Xác định tâm I, bán kính R mặt cầu (S) R − d ( I ,( p )) để r ⇒ d(I,(P)) max - Gọi H hình chiếu ⊥ I lên (d) ; K hình chiếu ⊥ I lên (P) - Ta có: d(I,(P))= IK ≤ Ih ( tính chất đường vuông góc đường xiên) - Do đó: d(I,(P)) max ⇔ AK = AH ⇔ K ≡ H uuu r - Bán kính r = - PT mp(P) qua H nhận IH làm VTPT