Phương pháp hàm phạt là một phương pháp được dùng để tìm nghiệm cho bài toán cực trị có điều kiện. Ý tưởng chính của phương pháp là chuyển việc giải bài toán cực trị có điều kiện thông qua việc giải các bài toán cực trị tự do. Các loại hàm phạt thường dùng là hàm phạt điểm ngoài, hàm phạt điểm trong, hàm phạt Lagrange. Trong chương trình toán đại học, phương pháp này hầu như chưa được giới thiệu. Hơn nữa, hầu hết các giáo trình tiếng Việt, chưa trình bày một cách đầy đủ về cơ sở lý thuyết của phương pháp hàm phạt. Các bài toán dạng này thường xuất hiện trong các tài liệu, giáo trình dành cho học viên cao học. Vì vậy, việc nắm vững lý thuyết về bài toán cực trị có điều kiện và các phương pháp giải là cần thiết cho học viên, giúp học viên có cái nhìn tổng quan và mạch lạc hơn đối với vấn đề cực trị của hàm nhiều biến. Việc nắm chắc cở sở lý thuyết về bài toán cực trị có điều kiện và các phương pháp giải cũng giúp cho học viên có khả năng giải và sáng tạo ra các bài toán mới. Cấu trúc luận văn Luận văn gồm 3 chương: Chương 1: Trong chương này, trình bày một số kí hiệu, định nghĩa, định lí liên quan đến luận văn. Cụ thể, định nghĩa tập mở, tập đóng, tập compact, tập lồi; định lí hàm ẩn, định lí giá trị trung bình và sự mở rộng của chuỗi Taylor. Chương 2: Chương này trình bày một số bài toán tối ưu có điều kiện cho bởi phương trình và bất phương trình. Chương 3: Trình bày phương pháp hàm phạt, nêu các hàm phạt khả vi, không khả vi của bài toán cực trị có điều kiện cho bởi phương trình và bất phương trình. Link download file LaTex của luận văn tại: https://files.pw/cig15dq92x2t
ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ——————————– ĐINH THỊ H PHƯƠNG PHÁP HÀM PHẠT CHO BÀI TOÁN CỰC TRỊ CÓ ĐIỀU KIỆN LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC ĐÀ NẴNG - NĂM 2018 ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ——————————– ĐINH THỊ H PHƯƠNG PHÁP HÀM PHẠT CHO BÀI TỐN CỰC TRỊ CĨ ĐIỀU KIỆN Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 8.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS Phan A ĐÀ NẴNG - NĂM 2018 DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU Ký hiệu Rn λi ei |·| ∂f (x)/∂xi ∇ φ x∗ L(x, λ) Tên tiếng Anh n-dimensional vectors real eigenvalues real eigenvectors standard Euclidean norm partial derivative gradient implicit function local minimum Lagrange function Ý nghĩa không gian vector n chiều giá trị riêng thực vector riêng thực chuẩn Euclide đạo hàm riêng theo biến xi gradient hàm ẩn cực tiểu địa phương hàm số Lagrange DANH MỤC CÁC THUẬT NGỮ Từ viết tắt Thuật ngữ tiếng Anh CP constrained programming ECP equality constrained problem ICP inequality constrained problem NLP nonlinear programming NDP nondifferentiable problem K-T Kuhn-Tucker Condition QP quadratic programming Thuật ngữ tiếng Việt tốn có điều kiện tốn có điều kiện cho phương trình tốn có điều kiện cho bất phương trình tốn phi tuyến tính tốn khơng khả vi điều kiện K - T quy hoạch tồn phương LỜI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng Các số liệu, kết nêu luận văn trung thực chưa công bố cơng trình nghiên cứu khác Tác giả Đinh Thị H LỜI CẢM ƠN Lời luận văn tác giả xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy giáo hướng dẫn TS Phạm Quý Mười tận tình hướng dẫn tác giả suốt q trình thực để tác giả hồn thành luận văn Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành đến tất thầy giáo tận tình dạy bảo tác giả suốt thời gian học tập khóa học Đồng thời, tác giả xin gửi lời cảm ơn đến anh chị em lớp Tốn giải tích K32 nhiệt tình giúp đỡ tác giả trình học tập lớp Tác giả Đinh Thị H MỤC LỤC MỞ ĐẦU CHƯƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Các kí hiệu đại số 1.2 Các kí hiệu tơpơ 1.3 Tập mở, tập đóng tập compact 1.4 Hàm liên tục 1.5 Hàm khả vi .7 1.6 Định lý giá trị trung bình mở rộng dãy Taylor 1.7 Định lí hàm ẩn 1.8 Tập lồi 10 CHƯƠNG BÀI TỐN TỐI ƯU CĨ ĐIỀU KIỆN CHO BỞI PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH .12 2.1 Tổng quan toán tối ưu có điều kiện 12 2.2 Bài toán tối ưu có điều kiện cho phương trình 13 2.3 Bài tốn tối ưu có điều kiện cho phương trình bất phương trình 17 2.4 Điều kiện tối ưu toán (ICP) nhận thơng qua tốn (ECP) 18 CHƯƠNG PHƯƠNG PHÁP HÀM PHẠT 23 3.1 Hàm phạt khả vi cho toán cực trị có điều kiện cho phương trình 3.2 Hàm phạt khơng khả vi cho tốn phi tuyến tính (ICP) 23 28 Kết luận 39 TÀI LIỆU THAM KHẢO 40 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Phương pháp hàm phạt phương pháp dùng để tìm nghiệm cho tốn cực trị có điều kiện Ý tưởng phương pháp chuyển việc giải tốn cực trị có điều kiện thơng qua việc giải toán cực trị tự Các loại hàm phạt thường dùng hàm phạt điểm ngoài, hàm phạt điểm trong, hàm phạt Lagrange Trong chương trình tốn đại học, phương pháp chưa giới thiệu Hơn nữa, hầu hết giáo trình tiếng Việt, chưa trình bày cách đầy đủ sở lý thuyết phương pháp hàm phạt Các toán dạng thường xuất tài liệu, giáo trình dành cho học viên cao học Vì vậy, việc nắm vững lý thuyết tốn cực trị có điều kiện phương pháp giải cần thiết cho học viên, giúp học viên có nhìn tổng quan mạch lạc vấn đề cực trị hàm nhiều biến Việc nắm cở sở lý thuyết tốn cực trị có điều kiện phương pháp giải giúp cho học viên có khả giải sáng tạo toán Với mong muốn tìm hiểu sâu tốn cực trị có điều kiện, phương pháp hàm phạt để giải tốn đó; đồng ý hướng dẫn thầy giáo TS Phạm Quý Mười, em chọn đề tài: “Phương pháp hàm phạt cho tốn cực trị có điều kiện” cho luận văn thạc sĩ Mục đích nghiên cứu - Nắm tốn cực trị có điều kiện, định nghĩa điều kiện cần đủ cực trị - Phương pháp hàm phạt ứng dụng để giải toán cực trị - Sáng tạo toán vận dụng phương pháp Đối tượng phạm vi nghiên cứu Phương pháp hàm phạt giải tốn cực trị hình học đại số chương trình tốn cấp đại học số ứng dụng Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu tài liệu liên quan đến đề tài, bao gồm tài liệu nước Tham khảo, trao đổi với cán hướng dẫn Ý nghĩa khoa học thực tiễn Tổng hợp tài liệu để có báo cáo tổng quan đầy đủ phương pháp hàm phạt cho toán cực trị có điều kiên phương pháp giải tốn Cấu trúc luận văn Luận văn gồm chương: Chương 1: Trong chương này, trình bày số kí hiệu, định nghĩa, định lí liên quan đến luận văn Cụ thể, định nghĩa tập mở, tập đóng, tập compact, tập lồi; định lí hàm ẩn, định lí giá trị trung bình mở rộng chuỗi Taylor Chương 2: Chương trình bày số tốn tối ưu có điều kiện cho phương trình bất phương trình Chương 3: Trình bày phương pháp hàm phạt, nêu hàm phạt khả vi, không khả vi tốn cực trị có điều kiện cho phương trình bất phương trình CHƯƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chương này, trình bày số kí hiệu, định nghĩa tập mở, tập đóng, tập compact, tập lồi; định lí hàm ẩn, định lí giá trị trung bình mở rộng chuỗi Taylor 1.1 Các kí hiệu đại số Chúng ta kí hiệu R trường số thực Rn không gian gồm tất vector n chiều Cho tập S ⊂ R bị chặn (chặn dưới), kí hiệu sup S (inf S) cận nhỏ (cận lớn nhất) S Nếu S không bị chặn (dưới), viết sup S = ∞ (inf S = −∞) Trong luận văn này, vector xem xét vector cột Phép chuyển vị ma trận A cỡ m × n kí hiệu A Một vector x ∈ Rn xem ma trận cỡ n × 1, x ma trận cỡ × n vector hàng Nếu x1 , , xn tọa độ vector x ∈ Rn , ta viết x = (x1 , x2 , , xn )T Chúng ta viết x ≥ xi ≥ 0, ∀i = 1, , n, x ≤ xi ≤ 0, ∀i = 1, , n Một ma trận đối xứng A cỡ n × n gọi nửa xác định dương x Ax ≥ 0, ∀x ∈ Rn Trong trường hợp viết A ≥ Khi đó, ma trận A gọi xác định dương x Ax > 0, ∀x = viết A > Khi đó, A (nửa) xác định dương ma trận đối xứng Một ma trận A đối xứng cỡ n × n có n giá trị riêng thực y1 , y2 , , yn tương ứng có n vector riêng thực khác không e1 , e2 , , en đôi trực giao Khi 26 Bằng cách giải phương trình, ta điểm tới hạn P {x∗ = 0, λ∗ = 0} {x(c, α) = c − 1/α, λ(c, α) = (1 − c2 α2 )/2α2 } Các điểm tới hạn thấy, với c > α > với cα = 1, điểm tới hạn [x(c, α), λ(c, α)] không cặp K-T (ECP) Mặt khác, cố định α > 0, ta có lim x(c, α) = ∞ lim λ(c, α) = −∞ phù hợp với Mệnh đề 3.1.1 c→∞ c→∞ Ví dụ cho thấy ∇2xx L nửa xác định dương X × Λ giới hạn α ¯ chọn tùy ý Ví dụ 3.1.3 Cho n = 2, m = 1, f (x1 , x2 ) = − x21 , h(x1 , x2 ) = x2 Ở {x∗1 = 0, x∗2 = 0, λ∗ = 0} cặp K-T Tương tự ∇h không đổi (0, 1) cho giả thuyết hạng Mệnh đề 3.1.1 thỏa mãn Cho α = Ta có, với c > 0, 1 1 1 P (x, λ; c, 1) = − x21 + λx2 + cx22 + x21 + λ2 = λx2 + cx22 + λ2 2 2 2 Vì P độc lập với x1 , vector có dạng {x1 = y, x2 = 0, λ = 0} với y ∈ R điểm tới hạn P vector {x∗1 = 0, x∗2 = 0, λ∗ = 0} cặp K-T (ECP) Định nghĩa 3.1.4 Giả thiết S: Vector x∗ cực tiểu địa phương tồn cục điểm quy toán đẳng thức cực trị, f, h ∈ C số hình cầu mở có tâm x∗ Hơn x∗ liên kết với vector nhân tử Lagrange λ∗ thỏa mãn bất phương trình sau z ∇2xx L0 (x∗ , λ∗ )z > 0, với z = với ∇h(x∗ ) z = Mệnh đề 3.1.5 Giả sử f, h ∈ C Rn (a) Nếu x∗ cực tiểu địa phương thỏa mãn (ECP), với vector nhân tử Lagrange tương ứng λ∗ , bậc hai đầy đủ giả thiết (S), với α > tồn c¯(α) > cho, với c ≥ c¯(α), (x∗ , λ∗ ) cực tiểu địa phương không điều kiện P , ma trận ∇2 P (x∗ , λ∗ ; c, α) xác định dương 27 (b) Cho (x∗ , λ∗ ) cặp K-T (ECP) Giả sử tồn z ∈ Rn cho ∇h(x∗ ) z = z ∇2xx L(x∗ , λ∗ )z < Khi tồn α ¯ > cho với α ∈ (0, α ¯ ] c > 0, (x∗ , λ∗ ) cực tiểu địa phương không điều kiện P Mệnh đề 3.1.6 Nếu (x∗ , λ∗ ) cặp K-T (ECP) x∗ ∈ X ∗ , (x∗ , λ∗ ) điểm tới hạn P (·, ·, ; c, M ) P (x∗ , λ∗ ; c, M ) = f (x) Sau hai mệnh đề để ứng dụng cho trường hợp p = m, ma trận M (x)∇h(x) cỡ m × m không suy biến số tập Rn Điều ∇h(x) có hạng m trường hợp chọn M dạng sau M (x) = A(x)∇h(x) , (3.11) A(x) ma trận vi phân liên tục không suy biến X ∗ , làm cho M (x)∇h(x) không suy biến Ví dụ, ta chọn M (x) = η∇h(x) η số dương Mệnh đề 3.1.7 Cho (x∗ , λ∗ ) cặp K-T (ECP) X tập compact X ∗ Giả sử x∗ cực tiểu toàn cục f X ∩ {x|h(x) = 0} x∗ nằm X Giả sử M (x∗ )∇h(x∗ ) ma trận không suy biến cỡ m × m Khi đó, với tập compact Λ × Rm chứa λ∗ , tồn số thực dương c¯ > cho với c ≥ c¯, (x∗ , λ∗ ) cực tiểu toàn cục P (·, ·; c, M ) X × Λ Mệnh đề 3.1.8 Giả sử X × Λ tập compact X ∗ × Rm giả sử M (x)∇h(x) ma trận khơng suy biến cỡ m × m với x ∈ X Khi đó, tồn số thực dương c¯ > cho, với c ≥ c¯, (x∗ , λ∗ ) cực tiểu địa phương khơng có cực trị P (·, ·; c, M ) thuộc vào X × Λ, x∗ cực tiểu địa phương (ECP) 28 3.2 Hàm phạt khơng khả vi cho tốn phi tuyến tính (ICP) Ta xét tốn (ICP) f (x) g(x) ≤ Thay xét tốn trực tiếp, xét tốn khơng khả vi (NDP)c , với số thực c > đó: {f (x) + cP (x)}, với x ∈ Rn Trong đó, hàm số P (x) xác định sau: P (x) = max{0, g1 (x), , gr (x)} (3.12) Cho x ∈ Rn , d ∈ Rn , ta kí hiệu J(x) = {j|gj (x) = P (x)} (3.13) θc (x; d) = max{(∇f (x) + c∇gj (x))T d|j ∈ J(x)} (3.14) Định nghĩa 3.2.1 [1] x∗ ∈ Rn gọi điểm tới hạn f + cP d ∈ Rn ta có θc (x∗ ; d) ≥ Kí hiệu θc (x∗ ; d) định nghĩa xem vi phân Gateaux f + cP (Ortega and Rheinboldt, 1970, p.65, Leenberger, 1969, p.171) x∗ theo chiều d Định nghĩa điểm tới hạn phù hợp với định nghĩa tương tự cho hàm không khả vi mà hàm khơng khả vi khơng khả vi Gateaux Các hướng tính từ (QP)c (x, H, J), theo (d, ξ) ∈ Rn+1 , ∇f (x) d + 21 d Hd + cξ gj (x) + ∇gj (x) d ≤ ξ, ∀j ∈ J, H ma trận xác định dương J tập số chứa J(x), nghĩa là: < H, J(x) ⊂ J ⊂ {0, 1, , r} (3.15) 29 Mệnh đề 3.2.2 (a) Với x ∈ Rn , d ∈ Rn α > 0, f (x + αd) + cP (x + αd) − f (x) − cP (x) = αθc (x; d) + 0(α), (3.16) ¯ > cho lim+ 0(α)/α = Nếu θc (x; d) < tồn α α→0 f (x + αd) + cP (x + αd) < f (x) + cP (x), ∀α ∈ (0, α ¯ ] (b) Cho x ∈ Rn , H > J với J(x) ⊂ J ⊂ {0, 1, , r} Nếu (d, ξ) nghiệm tối ưu (QP)c (x, H, J) d = 0, θc (a; d) ≤ −d Hd < (3.17) Chứng minh: a) Ta có với α > f ∈ J(x), f (x+αd)+cgj (x+αd) = f (x)+α∇f (x) d+c[gj (x)+α∇gj (x) d]+0j (α), lim+ 0j (α)/α = Do α→0 f (x + αd) + c max{gj (x + αd)|j ∈ J(x)} = f (x) + α∇f (x) d + c max{gj (x) + α∇gj (x) d|j ∈ J(x)} + 0(α), = f (x) + cP (x) + αθc (x; d) + 0(α) (3.18) lim+ 0(α)/α = Ta có với α đủ nhỏ α→0 max{gj (x+αd)|j ∈ J(x)} = max{gj (x+αd)|j = 0, 1, , r} = P (x+αd) Kết hợp với hai quan hệ ta có phương trình (3.16) b) Ta có gj (x) + ∇gj (x) d ≤ ξ với j ∈ J Vì gj (x) = P (x) với j ∈ J(x), suy ∇gj (x) d ≤ ξ − P (x) với j ∈ J(x) sử dụng định nghĩa θc ta có θc (x; d) ≤ ∇f (x) d + c[ξ − P (x)] (3.19) Đặt {µj |j ∈ J} tập nhân tử Lagrange (QP )c (X, H, J) Các điều kiện K-T viết ∇f (x) + Hd + µj ∇gj (x) = 0, (3.20) j∈J c− µj = 0, j∈J (3.21) 30 gj (x) + ∇gj (x) d ≤ ξ, µj ≥ 0, ∀j ∈ J, (3.22) µj [gj (x) + ∇gj (x) d − ξ] = 0, ∀j ∈ J (3.23) ∇f (x) d + d Hd + (3.24) Từ (3.20) ta có µj ∇gj (x) d = j∈J từ phương trình (3.21), (3.23) thực tế gj (x) ≤ P (x) với j ∈ J ta có µj ∇gj (x) d = j∈J µj ξ − j∈J ≥ µj gj (x) j∈J µj [ξ − P (x)] (3.25) j∈J = c[ξ − P (x)] Kết hợp (3.24) (3.25) ta ∇f (x) d + d Hd + c[ξ − P (x)] ≤ (3.26) Từ (3.19) (3.26) ta θc (x; d) + d Hd ≤ điều phải chứng minh Mệnh đề 3.2.3 (a) Nếu x∗ điểm tới hạn f + cP , quy hoạch tồn phương (QP)c (x∗ , H, J) có {d = 0, ξ = P (x∗ )} nghiệm tối ưu với J H với < H, J(x∗ ) ⊂ J ⊂ {0, 1, , r} (b) (3.27) Nếu {d = 0, ξ = P (x∗ )} nghiệm tối ưu quy hoạch toàn phương (QP )c (x∗ , H, J) H J thỏa mãn phương trình (3.27), x∗ điểm tới hạn f + cP Giống quy hoạch toàn phương (QP)c (x∗ , H, J) liên quan đến tốn khơng khả vi (NDP)c , mà lập trình bậc hai liên kết với tốn phi tuyến tính (ICP) Lập trình (QP)0 (x, H, J) là: ∇f (x) d + 21 d Hd gj (x) + ∇gj (x) d ≤ 0, ∀j ∈ J, < H, J(x) ⊂ J ⊂ {0, 1, , r} (3.28) 31 Mệnh đề 3.2.4 Nếu cặp {x∗ , (µ∗1 , µ∗2 , , µ∗n )} cặp K-T (ICP), tồn µ∗0 ≥ cho {d∗ = 0, {µ∗j |∀j ∈ J}} cặp K-T cho (QP)0 (x∗ , H, J) với H J thỏa mãn (3.28) Ngược lại, {d∗ = 0, {µ∗j |∀j ∈ J}} cặp K-T (QP)0 (x∗ , H, J) với H J thỏa mãn (3.28), {x∗ , (µ∗1 , µ∗2 , , µ∗n )} cặp K-T (ICP), định nghĩa µ∗j = 0, ∀j ∈ / J Chứng minh: Các điều kiện K-T (ICP) r ∗ ∇f (x ) + ∗ g(x ) ≤ 0, j=1 ∗ µj ≥ µ∗j ∇gj (x∗ ) = 0, (3.29) 0, ∀j = 1, 2, , r (3.30) Lấy µ∗0 = sử dụng g0 (x) 0, ta thấy từ điều kiện suy {0, {µ∗j |j ∈ J}} thỏa mãn điều kiện K-T (QP)0 (x∗ , H, J) Tương tự, viết điều kiện {0, {µ∗j |j ∈ J}} cặp K-T (QP)0 (x∗ , H, J), suy (3.29) (3.30) Mệnh đề 3.2.5 Nếu {d, {µj |∀j ∈ J}} cặp K-T (QP)0 (x∗ , H, J) c≥ µj , j∈J j=0 ¯ cặp K-T (QP)0 (x∗ , H, J) ¯ {d, ξ = 0, {¯ µj |∀j ∈ J}} ¯ j = 0, µ J¯ = J ∪ {0}, µ ¯j = µj , ∀j ∈ J, ¯0 = c − µj j∈J j=0 Chứng minh: Từ giả thiết ta suy ∇f (x) + µj ∇gj (x) + Hd = 0, gj (x) + ∇gj (x) d ≤ 0, ∀j ∈ J, j∈J µj ≥ 0, µj [gj (x) + ∇gj (x) d] = 0, ∀j ∈ J ¯µ Sử dụng định nghĩa J, ¯j thực tế g0 (x) 0, ta thấy từ có mối quan hệ suy ∇f (x) + µ ¯j ∇gj (x) + Hd = 0, c = j∈J ¯ gj (x) + ∇gj (x) d ≤ 0, ∀j ∈ J, µ ¯j , j∈J 32 ¯ µ ¯j ≥ 0, µ ¯j [gj (x) + ∇gj (x) d] = 0, ∀j ∈ J ¯ liên Đây điều kiện K-T {d, ξ = 0, {¯ µj |j ∈ J}} ¯ quan với (QP)c (x, H, J) Mệnh đề 3.2.6 Nếu {x∗ , (µ∗1 , , µ∗r )} cặp K-T (ICP), x∗ gọi điểm tới hạn f + cP với c thỏa mãn: r µ∗j c≥ j=1 Chứng minh: Theo Mệnh đề 3.2.4, tồn µ∗0 ≤ 0, cho {d∗ = 0, (µ∗0 , µ∗1 , , µ∗r )} cặp K-T (QP)0 (x∗ , H, {0, 1, , r}) Từ Mệnh r đề 3.2.5, c ≤ j=1 µ∗j , {d∗ = 0, ξ ∗ = 0} nghiệm tối ưu ∗ (QP)c (x , H, {0, 1, , r}) Theo Mệnh đề 3.2.3, x∗ điểm tới hạn f + cP Bổ đề 3.2.7 Nếu X tập compact, với x ∈ X tồn vector µ ¯(x) = [¯ µ1 (x), , µ ¯r (x)] cực tiểu µ = (µ1 , , µr ) hàm số r r qx (µ) = |∇f (x) + [P (x) − gj (x)]2 µ2j µj ∇gj (x)| + j=1 (3.31) j=1 Hàm µ ¯(.) liên tục X , (x∗ , µ∗ ) cặp K-T (ICP) với x∗ ∈ X , µ ¯(x∗ ) = µ∗ Chứng minh: Để thấy tính vector cực tiểu phương trình (3.31), dạng bậc hai qx (µ) r r | [P (x) − gj (x)]2 µ2j , µj ∇gj (x)| + j=1 j=1 trừ µ = Thật vậy, dạng 0, µj = 0, ∀j = 1, , r với P (x) > gj (x) đồng thời rj=1 µj ∇gj (x) = Vì µj ∇gj (x) = 1≤j≤r j∈J(x) 33 Vì {∇gj (x)| j ∈ J(x)} tập độc lập tuyến tính theo giả thuyết điều cho thấy µj = với j với gj (x) = P (x) Vì µ = Tính liên tục µ ¯ theo sau tính liên tục ∇f, ∇gj , P Nếu (x∗ , µ∗ ) cặp K-T (ICP), qx∗ (µ∗ ) = Vì µ∗ cực tiểu qx∗ (·) cho thấy µ∗ = µ ¯(x∗ ) Mệnh đề 3.2.8 Cho X ⊂ Rn tập compact cho, với x ∈ X , tập gradient {∇gj (x)| j ∈ J(x)}, độc lập tuyến tính Khi tồn số thực c∗ ≥ cho với c > c∗ : a) Nếu x∗ điểm tới hạn f + cP x∗ ∈ X , tồn µ∗ ∈ Rr cho (x∗ , µ∗ ) cặp K-T (ICP) b) Nếu (x∗ , µ∗ ) cặp K-T (ICP) x∗ ∈ X , x∗ điểm tớn hạn f + cP Chứng minh: Giả sử r ∗ c = max x∈X µ ¯j (x), j=1 phương trình đạt cực đại theo giả thuyết X tập compact µ ¯j (.) liên tục theo Bổ đề 3.2.7 (a) Nếu x∗ ∈ X điểm tới hạn f + cP , theo Mệnh đề 3.2.3, {d = 0, ξ = P (x∗ )} nghiệm tối ưu (QP)c (x∗ , H, {0, 1, , r}) Vì vậy, tồn µ∗0 , µ∗1 , , µ∗r cho r ∗ ∇f (x ) + µ∗j Vì g0 (x) ≥ 0, r µ∗j ∇gj (x∗ ) j=0 ∗ µj [gj (x∗ ) µ∗j , = 0, c = (3.32) j=0 ∗ − P (x )] = 0, ∀j = 0, 1, , r (3.33) 0, ta được: r ∗ µ∗j ∇gj (x∗ ) = 0, µ∗j [gj (x∗ ) − P (x∗ )] = 0, ∀j = 1, , r ∇f (x ) + j=1 34 Sử dụng phương trình Bổ đề 3.2.7, µ∗j = µ ¯j (x∗ ) với j = 1, , r Nếu c > c∗ , ta có r µ∗0 r µ∗j =c− µ ¯j (x∗ ) ≥ c − c∗ > =c− j=1 j=1 Vì = µ∗0 [g0 (x∗ ) − P (x∗ )] = −µ∗0 P (x∗ ), P (x∗ ) = x∗ thực cho tốn (ICP) Khi từ phương trình (3.32) (3.33), {x∗ , (µ∗1 , , µ∗r )} cặp K-T cho (ICP) (b) Nếu (x∗ , µ∗ ) cặp K-T cho (ICP) x∗ ∈ X , theo Bổ đề 3.2.7, ta có µ∗ = µ(x∗ ) Nếu c > c∗ r µ∗j , c> j=1 ∗ sử dụng Mệnh đề 3.2.6, ta x điểm tới hạn f + cP Hai mệnh đề tương tự Mệnh đề 3.1.7 sử dụng giả thiết lồi vị trí giả định độc lập tuyến tính Bổ đề 3.2.9 Giả sử X ⊂ R∗ tập thỏa mãn với x ∈ R hệ bất phương trình d gj (x) + ∇gj (x) d ≤ 0, ∀j ∈ J(x), có nghiệm Cố định H > 0, giả sử tồn số thực c ≥ có tính chất sau: Với x ∈ X , (QP)0 (x, H, J(x)) có tập nhân tử Lagrange {µj (x)|∀j ∈ J(x)}, thỏa mãn c∗ ≥ µj (x) j∈J(x) Khi với c > c∗ , ta có: (a) Nếu x∗ ∈ X điểm tới hạn f + cP x∗ ∈ X , tồn µ∗ ∈ Rr cho (x∗ , µ∗ ) cặp K-T cho (ICP) (b) Nếu (x∗ , µ∗ ) cặp K-T cho (ICP) x∗ ∈ X , x∗ điểm tới hạn f + cP 35 Chứng minh: a) Giả sử x∗ ∈ X điểm tới hạn Đặt {d∗ , {µj (x∗ )|j ∈ J(x∗ )}} tương ứng cặp K-T (QP)0 (x∗ , H, J(x∗ )) Đặt c > c∗ , µj (x∗ ), từ Mệnh đề 3.2.5 {d∗ , ξ = 0} nghiệm tối ưu c > j∈J(x∗ ) (QP)c (x∗ , H, J(x∗ )) Vì x∗ điểm tới hạn, Mệnh đề 3.2.3 cho thấy d∗ = 0, P (x∗ ) = Từ Mệnh đề 3.2.4, {x∗ , (µ∗1 , , µ∗r )}, µj (x∗ ) với j ∈ J(x∗ ), j = 0, = với j = J(x∗ ), j = cặp K-T (ICP) µ∗j b) Giả sử {x∗ , (µ∗1 , , µ∗r )} cặp K-T (ICP) x∗ ∈ X Khi theo Mệnh đề 3.2.4, d∗ = nghiệm tối ưu (QP)0 (x∗ , H, J(x∗ )) Giả sử µj (x∗ ) nhân tử Lagrange thỏa mãn c∗ ≥ µj (x∗ ) theo j∈J(x∗ ) giả thiết Từ Mệnh đề 3.2.5 {d∗ = 0, ξ ∗ = 0} nghiệm tối ưu (QP)c (x∗ , H, J(x∗ )) với c ≥ c∗ Sử dụng Mệnh đề 3.2.3, ta có x∗ điểm tới hạn f + cP với c ≥ c∗ Mệnh đề 3.2.10 Giả sử g1 , , gr lồi Rn tồn vector x ¯ cho: gj (¯ x) < 0, ∀j = 1, , r Khi với tập compact X , tồn số thực c∗ > cho với c > c∗ : (a) Nếu x∗ điểm tới hạn f + cP x∗ ∈ X , tồn µ∗ ∈ Rr cho (x∗ , µ∗ ) cặp K-T cho (ICP) (b) Nếu (x∗ , µ∗ ) cặp K-T cho (ICP) x∗ ∈ X , x∗ điểm tới hạn f + cP Chứng minh: Cố định H > 0, theo tính lồi gj , ta có gj (x) + ∇gj (x) (¯ x − x) ≤ gj (¯ x) < 0, ∀x ∈ Rn , j = 1, , r Do với x ∈ Rn , (QP)0 (x, H, J(x)) có d¯ = (¯ x − x) nghiệm xác định Giả sử d(x) nghiệm tối ưu {µj (x)|j ∈ J(x)} tập 36 nhân tử Lagrange tương ứng Ta có d(x) cực tiểu ∇f (x) d + d Hd + µj (x)[gj (x) + ∇gj (x) d] j∈J(x) với d, µj (x)[gj (x) + ∇gj (x) d(x)] = 0, ∀j ∈ J(x) Do ∇f (x) d(x) + d(x) Hd(x) ≤ ∇f (x) (¯ x − x) + (¯ x − x) H(¯ x − x) + µj (x)[gj (x) + ∇gj (x) (¯ x − x)] (3.34) j∈J(x) ≤ ∇f (x) (¯ x − x) + (¯ x − x)H(¯ x − x) + µj (x)gj (¯ x) j∈J(x) ≤ ∇f (x) (¯ x − x) + (¯ x − x) H(¯ x − x) − b µj (x), j∈J(x) b = min{−gj (¯ x)|j = 1, , r} > Ta có 1 ≤ |H −1/2 ∇f (x) + H 1/2 d(x)|2 = ∇f (x) H −1 ∇f (x) 2 + ∇f (x) d(x) + d(x) Hd(x) Kết hợp (3.34) (3.35), ta có (3.35) µj (x) ≤ c(x), ∀x ∈ Rn , j∈J(x) 1 c(x) = [ ∇f (x) H −1 ∇f (x) + ∇f (x) (¯ x − x) + (¯ x − x) H(¯ x − x)]/b 2 Cho tập compact X cố định H > 0, xác định c∗ = max c(x), x∈X 37 ý c∗ ≥ c(x) ≥ µj (x), ∀x ∈ X j∈J(x) Mệnh đề 3.2.11 Giả sử f, g1 , , gr hàm lồi Rn (ICP) có vector nhân tử Lagrange µ∗ = (µ∗1 , , µ∗r ), theo nghĩa µ∗j ≥ 0, ∀j = 1, , r, infn {f (x) + µ∗ g(x)} = inf f (x) x∈R Khi đó, với c > g(x)≤0 r ∗ j=1 µj , vector x∗ cực tiểu tồn cục f + cP x∗ cực tiểu tồn cục (ICP) Ví dụ 3.2.12 Cho n = 2, r = 1, với x = (x1 , x2 ), f (x) = (x1 − 1)2 + x22 , g1 (x) = x21 Trong đó, f g1 hàm lồi (ICP) có nghiệm tối ưu {x∗1 = 0, x∗2 = 0} Xét hàm số: f (x) + cP (x) = (x1 − 1)2 + x22 + c max{0, x21 } = (x1 − 1) + x22 + cx21 (3.36) Với số thực c > 0, hàm số có điểm tới hạn {x1 (c), x2 (c)} x1 (c) = 1/(1 + c), x2 (c) = Như nghiệm tối ưu {x∗1 = 0, x∗2 = 0} (ICP) không điểm tới hạn f + cP với số thực c > dương Ngược lại, khơng điểm số điểm tới hạn {x1 (c), x2 (c)}, c > nghiệm tối ưu (ICP) Do đó, {x∗1 = 0, x∗2 = 0} khơng điểm quy [∇g1 (x∗ ) = 0], xác định khơng có nhân tử Lagrange tương ứng µ∗1 Như Mệnh đề 3.2.8 áp dụng cho tập compact chứa {x∗1 = 0, x∗2 = 0}, giả thiết Mệnh đề 3.2.11 bị vi phạm Bởi khơng tồn x ¯ cho g1 (¯ x) < 0, giả thiết Mệnh đề 3.2.10 bị vi phạm Ví dụ 3.2.13 Cho n = 1, r = 2, với x f (x) = 0, g1 (x) = −x, g2 (x) = − x2 38 Hàm số P (x) có dạng: P (x) = max{0, −x, − x2 }, Vì f (x) Chúng là điểm tới hạn f + cP không phụ thuộc vào c √ x = (1 − 5), x = 0, ≤ x Trong số này, có x ≥ tương ứng cặp K-T (ICP) Mệnh đề √ 3.2.8 áp dụng cho điểm với c∗ = Các điểm tới hạn 21 (1 − 5) không bao hàm Mệnh đề 3.2.8 tập tương ứng gradient {∇gj (x)|gj (x) = P (x), j = 1, 2} phụ thuộc tuyến tính Mệnh đề 3.2.10 3.2.11 khơng áp dụng g2 hàm khơng lồi 39 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Sau thời gian tìm hiểu, nghiên cứu từ số tài liệu tác giả hoàn thành luận văn thu kết sau: - Luận văn hệ thống số kết quan trọng không gian tôpô Cụ thể, định nghĩa tập mở, tập đóng, tập compact, tập lồi; định lí hàm ẩn, định lí giá trị trung bình mở rộng chuỗi Taylor - Luận văn nghiên cứu tốn tối ưu có điều kiện cho phương trình bất phương trình, trình bày phương pháp hàm phạt để giải toán Đề tài dự kiến đóng góp phần nhỏ vào việc giải tốn cực trị có điều kiện cho phương trình bất phương trình Trong tương lai, nghiên cứu áp dụng rộng rãi mở rộng phạm vi nghiên cứu nhiều toán phức tạp khác 40 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] David G Luenberger (1973), Introduction to Linear and Nonlinear Programming, Addison Wesley Publishing Company [2] Dimitri P Bertsekas (1996), Constrained Optimization and Lagrange multiplier methods, Athena Scientific, Belmont, Massachusetts [3] Daryoush Behmardi and Encyeh Dehgha Nayeri (2008), “Introduction of Fréchet and Gâteaux Derivation”, Applied Mathematical Science, Vol 2, no 20, 975-980 ... tài Phương pháp hàm phạt phương pháp dùng để tìm nghiệm cho tốn cực trị có điều kiện Ý tưởng phương pháp chuyển việc giải tốn cực trị có điều kiện thơng qua việc giải toán cực trị tự Các loại hàm. .. cực trị có điều kiện, phương pháp hàm phạt để giải tốn đó; đồng ý hướng dẫn thầy giáo TS Phạm Quý Mười, em chọn đề tài: ? ?Phương pháp hàm phạt cho tốn cực trị có điều kiện? ?? cho luận văn thạc sĩ. .. tốn cực trị có điều kiện cho bất phương trình thành tốn bao gồm cực trị có điều kiện cho 19 phương trình sử dụng kết tốn cực trị có điều kiện cho phương trình để tính tốn điều kiện cần thiết, điều