Viết phương trình đường thẳng trong mặt phẳng

Hình học 10| HÌNH HỌC 10 CHƯƠNG 3: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG BÀI 1: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG LÝ THUYẾT I = Vectơ phương đường thẳng = - Vectơ u gọi vectơ phương đường thẳng  u  giá của u song song = trùng với  I Phương trình tham số phương trình tắc đường thẳng - Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng  qua điểm M  x0 ; y0  nhận vectơ u   u1 ; u2  làm  x  x0  u1t vectơ phương có phương trình tham số   y  y0  u2t -Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng  qua điểm M  x0 ; y0  nhận vectơ u   a ; b   ab   làm vectơ phương có phương trình tắc x  x0 y  y0  a b - Nếu đường thẳng  có vectơ phương u   u1 ; u2  với u1  hệ số góc  k  u2 u1 - Nếu đường thẳng  có hệ số góc k vectơ u  1; k  vectơ phương  Vectơ pháp tuyến đường thẳng - Vectơ n gọi vectơ pháp tuyến đường thẳng  n  n vng góc với vectơ phương  Phương trình tổng quát đường thẳng - Phương trình ax  by  c  với a  b2  gọi phương trình tổng quát đường thẳng - Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng  qua điểm M  x0 ; y0  nhận vectơ n   a ; b  làm vectơ pháp tuyến có phương trình tổng qt a  x  x0   b  y  y0    ax  by  c  với c  ax0  by0 u   b ;  a  - Đường thẳng  có vectơ pháp tuyến n   a ; b   vectơ phương  u   b ; a   n   u2 ;  u1  - Đường thẳng  có vectơ phương u   u1 ; u2   vectơ pháp tuyến   n   u2 ; u1  Công thức giải nhanh Cho đường thẳng d1 : ax  by  c  d2 : ax  by  c  cắt điểm Khi phương trình đường phân giác góc tạo bởihai đường thẳng ax  by  c ax  by  c  2 a b a2  b2 1| STRONG TEAM TỐN VD–VDC DẠNG1: VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG | Chương 3: Phương pháp tọa độ mặt phẳng II = = =I BÀI TẬP TỰ LUẬN Ví dụ Ví Lập phương trình tham số đường thẳng  , biết  qua điểm A  1;3 có vectơ phương u   4;1 Lời giải STRONG TEAM TOÁN VD–VDC   x  1  4t qua A  1;3 Ta có  :   PTTS  :  y   t VTCPu  4;1      Ví dụ Ví Lập phương trình tham số đường thẳng  , biết  qua điểm A  2;1 B  5;  3 Lời giải  x  2  7t Ta có:  qua A , B nên vectơ phương  AB   7;    PTTS  :   y   4t Ví dụ Ví Lập phương trình tham số đường thẳng  , biết  qua điểm A 1;1 có hệ số góc k  2 góc k  2 x  1 t u  1;    PTTS  :   y   2t Do  có hệ số Lời giải nên vectơ phương đường thẳng  Ví dụ Ví Lập phương trình tham số đường thẳng  , biết  qua điểm A  0;7  có vectơ pháp tuyến n   2;  3 Lời giải  x  3t Do  có vectơ pháp tuyến n   2;  3 nên vectơ phương  u   3;    :   y   2t Ví dụ Ví Lập phương trình tổng qt đường thẳng  , biết  qua điểm A  2;1 có vectơ pháp tuyến |2 Hình học 10| n   3;5 Lời giải   qua A  2;1 Ta có  :   PTTQ  :3  x     y  1   3x  y   VTPT n  3;5     Ví dụ Ví Lập phương trình tổng qt đường thẳng  , biết  qua điểm M  4;3 có vectơ phương u   6;1 Do đường thẳng  có vectơ phương u   6;1 nên vectơ pháp tuyến  n   1;6  Phương trình tổng quát  : 1 x  4   y  3    x  y 14  Ví dụ Ví Lập phương trình tổng quát đường thẳng  , biết  qua điểm H  2;   K  5;  1 Lời giải Ta có:  qua H , K nên vectơ phương  HK   7;1  vectơ pháp tuyến  n  1;7   PTTQ  :1 x     y     x  y  12  Ví dụ Ví Lập phương trình tổng quát đường thẳng  , biết  qua điểm E  1;  có hệ số góc k Lời giải 1 nên vectơ phương đường thẳng  u  1;   vectơ pháp  2 1 tuyến  n   ;  1 Phương trình tổng quát  :  x  1  1 y     x  y   2 2  Do  có hệ số góc k  Cách :  qua điểm E  1;  có hệ số góc k  y nên có phương trình: 1  x  1   x  y   2 Ví dụ Ví Cho tam giác ABC có A 1 ;  , B  ;  , C  ; 3 Lập phương trình đường cao tam giác 3| STRONG TEAM TỐN VD–VDC Lời giải | Chương 3: Phương pháp tọa độ mặt phẳng ABC kẻ từ A Lời giải Ta có BC   ; 1 Phương trình đường cao tam giác ABC kẻ từ A là:  x  1  y    x  y   Ví dụ 10 Ví Cho tam giác ABC có A  2;0  , B  0;3 , C  –3;1 Viết phương trình đường thẳng d qua B song song với AC Lời giải STRONG TEAM TOÁN VD–VDC Đường thẳng d qua điểm B  0;3 có vtcp AC   5;1  vtpt n  1;5 Vậy phương trình tổng quát đường thẳng d : x  y –15  Ví dụ 11 Ví Cho ABC có A 1 ;1 , B  ; 2  , C  ;  Viết phương trình tổng quát trung tuyến CM Lời giải Gọi M trung điểm đoạn thẳng AB suy M  ;   , CM    ;   2 2 2  Đường CM qua C  ;  nhận vectơ CM    ;5 làm vtcp nên có vtpt nCM   5; 7  Vậy pttq đường thẳng CM 5( x  4)  7( y  2)   5x  y   Ví dụ 12 Ví Tam giác ABC có đỉnh A  1 ;  3 Phương trình đường cao CC :3  x  y  12  Viết phương trình đường thẳng AB Lời giải Đường thẳng CC :3  x  y  12  có VTPT nCC '   ; 8 nên có VTCP uCC '  8; 3 Vì AB  CC ' nên đường thẳng AB có VTPT nAB  uCC '  8; 3 Từ suy phương trình đường thẳng AB là: 8( x  1)  3( y  3)   8x  y   |4 Hình học 10| Ví dụ 13 Ví Gọi H trực tâm tam giác ABC , có phương trình cạnh AB : x  y   đường cao tam giác BH : 2x  y   ; AH : x  y   Viết phương trình đường cao CH tam giác ABC Lời giải Ta có CH  AB mà AB : x  y   nên CH có VTPT n  1;7  Vậy CH có phương trình: 1 x     y     x  y   Ví dụ 14 Ví Viết phương trình tham số phương trình tắc đường thẳng d trường hợp sau: a d qua A  1;2  song song với đường thẳng x   b d qua B  7; 5 vng góc với đường thẳng x  y   Lời giải a d song song với đường thẳng x   nên nhận u  0; 5 vectơ phương  x  1 Vậy d có phương trình tham số  khơng có phương trình tắc  y   5t b d vng góc với đường thẳng x  y   nên nhận vectơ pháp tuyến u 1;3 x   t đường thẳng làm vectơ phương Vậy d có phương trình tham số  có  y  5  3t x7 y 5 phương trình tắc  Ví dụ 15 Ví  x   3t Cho đường thẳng d :  Viết phương trình tham số phương trình tổng quát đường  y  1 t thẳng  qua M  0;1 vng góc với d Lời giải d có vectơ phương u  3;1 5| STRONG TEAM TOÁN VD–VDC 2 x  y    x   Gọi H  x; y  ,khi x, y nghiệm hệ:  Từ H  2;  x  y   y  | Chương 3: Phương pháp tọa độ mặt phẳng Đường thẳng  vng góc với d nên có vectơ pháp tuyến n  3;1 Phương trình đường thẳng  qua M  0;1 3  x    1 y  1   3x  y   x  t Từ phương trình tổng quát, cho x  t ta phương trình tham số d :   y   3t Ví dụ 16 Ví Viết phương trình đường cao tam giác ABC biết A  1;  , B  2; 4  , C 1;0  Lời giải Ta có AB   3; 6  ; BC   1;  ; AC   2; 2  Gọi H trực tâm tam giác ABC STRONG TEAM TOÁN VD–VDC Đường cao AH qua A nhận BC làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình: 1 x  1   y     x  y   Tương tự đường cao BH có phương trình: x  y   Tương tự đường cao CH có phương trình: x  y   Ví dụ 17 Ví Cho tam giác ABC biết trung điểm cạnh AB, BC, CA M  1; 1 , N 1;9  , P  9;1 a Viết phương trình đường thẳng chứa cạnh AB b Viết phương trình đường trung trực tam giác ABC Lời giải a Phương trình cạnh AB qua M có vectơ phương u  NP  1; 1 x 1 y 1   x  y   1 b Phương trình đường trung trực cạnh AB qua M vng góc với AB nên có vectơ pháp tuyến n  1; 1 d1 : x  y  Tương tự,phương trình đường trung trực cạnh AC : x  y 14  Phương trình đường trung trực cạnh cạnh BC : 5x  y 14  Ví dụ 18 Ví |6 Hình học 10| a Đường thẳng d có vectơ phương u  2;  Chuyển d dạng phương trình tổng quát: x  y 1  Phương trình đường thẳng MI là: x  y   Toạ độ toạ hình chiếu I điểm M nghiệm hệ phương trình  x   x  y  1   I  ;      2 2 x  y  y     b Vì M ' đối xứng với M qua đường thẳng d nên I trung điểm MM ' Suy  xM '  xI  xM  2  M '  2; 4    yM '  yI  yM  4 Bình luận: Cho điểm M  xM ; yM  đường thẳng d : Ax  By  C  Tìm tọa độ I hình chiếu vng góc M d Lời giải Ax  By  C Bước 1: Tìm số t sau: t  M M2 A B  xI  xM  At Bước 2: Ta có   yI  yM  Bt Áp dụng: Câu a Phương trình tổng quát đường thẳng d : x  y   M  3;1 + Tìm số t  11  11  xI      I1;5 + Tọa độ điểm I thỏa mãn:    2 2  y   I   7| STRONG TEAM TOÁN VD–VDC  x  2  2t Cho đường thẳng d :  điểm M  3;1  y   2t a Tìm toạ hình chiếu I điểm M lên đường thẳng d b Xác định toạ độ điểm M ' đối xứng với M qua đường thẳng d Lời giải | Chương 3: Phương pháp tọa độ mặt phẳng Cho điểm M  xM ; yM  đường thẳng d : Ax  By  C  Tìm tọa độ M ' điểm đối xứng M qua d Lời giải Bước 1: Tìm số t sau: t  AxM  ByM  C A2  B STRONG TEAM TOÁN VD–VDC  x '  xM  At Bước 2: Ta có  M  yM '  yM  Bt Áp dụng:  xM '   2.1    I 2; 4 Câu b Tọa độ điểm M '     y '   2.1   M Ví dụ 19 Ví Lập phương trình bốn cạnh hình vng ABCD , biết tọa độ điểm A  1;  phương trình  x  1  2t đường chéo d :   y  2t Lời giải  x  1  2t Vì A  d :  Nên đường chéo cho đường chéo BD  y  2t d có vectơ phương u  1; 1 Phương trình đường chéo AC : x  y   I  AC  d Thay phương trình d vào phương trình AC ta 1 1  2t  2t    t   I  2;1 Vì I trung điểm AC nên C  3;0  ABCD hình vng nên ID  IB  IA Do B  d  B  1  2t; 2t  |8 Hình học 10| t  2 IB  IA2   2t  1   2t  1    t    Suy B  1;0  B  3;2  Nếu B  1;0  D  3;  ; Nếu B  3;  D  1;0  Từ phương trình bốn cạnh hình vng là: x   0; y  0; x   0; y   Ví dụ 20 Ví Tam giác ABC có A   2;0 , B   0;4  , C   4;  1 Viết phương trình cạnh AB , AC đường phân giác góc A x y    2x  y   x  y 1   x  2y   +) Phương trình cạnh AC  1 +) Phương trình đường phân giác góc A 2x  y  x  2y  x  y      x  y   Đặt f1  x ; y   x  y  22  12 12  22  +) Phương trình cạnh AB Ta có f1  0;4   6  f1  4;  1  Do B C nằm khác phía đường thẳng x  y   Nên đường phân giác góc A Bình luận: Viết phương trình đường phân giác góc A Lời giải Ta có vecto phương đường phân giác góc A u  Suy u  1 AB  AC AB AC 1;1 Vậy phương đường phân giác góc A 1. x  2  1. y  0   x  y   Ví dụ 21 Ví Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho ba đường thẳng  1  : 3x  y   ,  2  : x  y    3  : y  Gọi A   1      , B   2    3  , C   3    1  a) Viết phương trình đường phân giác phân giác ngồi góc A b) Tìm tọa độ tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC Lời giải 3x  y    x  2  a) Tọa độ điểm A nghiệm hệ phương trình  Do A   2;3 y  x  y     9| STRONG TEAM TOÁN VD–VDC Lời giải | Chương 3: Phương pháp tọa độ mặt phẳng  4 x  y   x  1  Tọa độ điểm B nghiệm hệ phương trình   Do B   ;0  4  y   y  3x  y   x  Tọa độ điểm C nghiệm hệ phương trình  hay C   2;0   y  y  Phương trình đường phân giác góc góc A x  y   3x  y  x  y 1   32  42 32  42  x  y 1  Đặt f1  x ; y   x  y  STRONG TEAM TOÁN VD–VDC 19  1   f1  ;0     Ta có     f  2;0   3   Do hai điểm B C nằm phía đường thẳng x  y   Nên phân giác góc A Do x  y   đương phân giác góc A b) + Tìm phương trình đường phân giác góc B tam giác ABC Phương trình đường phân giác góc B 4 x  y   4x  y 1 y   2 2 3 1 4 x  y   Đặt f3  x ; y   x  y  Ta có f  2;3  15  f  2;0   Do hai điểm A C khác phía đường thẳng x  y   Do đường phân giác góc B + Tọa độ tâm đường tròn nội tiếp tam giác nghiệm hệ phương trình  x  x  y       4 x  y   y    Ví dụ 22 Ví Cho tam giác ABC có A 2;  1 hai đường phân giác có phương trình x  y   , x  y   Lập phương trình cạnh BC Lời giải A Kí hiệu d B , d C theo thứ tự đường phân giác góc B C Ta thấy tọa độ điểm A khơng nghiệm phương trình x  y   x  y   Khơng tính tổng quát gọi x  y   x  y   theo thứ tự phương trình đường phân giác góc B C | 10 I B A1 J A2 C Hình học 10| Nhận thấy : đường thẳng AC đối xứng với BC qua đường thẳng d C nên A1 điểm đối xứng A qua d C A1  BC Tương tự A2 điểm đối xứng A qua d B A2  BC Suy đường thẳng A1 A2 đường thẳng BC Bài tốn trở thành lập phương trình đường thẳng A1 A2 + Xác định A1 Gọi 1 phương trình đường thẳng qua A vng góc với d C 1 : x  y  c  Đường thẳng 1 qua A nên c  3 Do 1 : x  y   Gọi  đường thẳng qua A vng góc với d B 2 : x  y  c  x  y   x  Suy I  0;  3   x  y    y  3 Do A1 đối xứng với A qua d C nên I trung điểm AA1 Do A1  2;  5 + Xác định điểm A2 Đường thẳng  qua A nên c  3 Do 2 : x  y   Gọi J    d B Do tọa độ điểm J nghiệm hệ phương trình x  y 1   x  y  Suy J 1;1  2 x  y   A2 A đối xứng qua d C nên J trung điểm AA2 Do A2   0;3 + Viết phương trình đương thẳng BC Vì BC qua hai điểm A1 A2 nên ta có phương trình đường thẳng A1 A2 x 2 y 5   4x  y    3 Ví dụ 23 Trong mặt phẳng Ví Oxy  , cho tam giác ABC có đỉnh A  2;6 , đường phân giác BE : x  y   đường cao BH : x  y  15  Lập phương trình ba cạnh tam giác ABC Lời giải A H E B C Nhắc: đường phân giác góc tam giác chia góc thành hai góc có số đo Do BE đường phân giác góc B nên BA đối xứng với BC qua BE 11 | STRONG TEAM TOÁN VD–VDC Gọi I  1  dC Do tọa độ điểm I nghiệm hệ phương trình | Chương 3: Phương pháp tọa độ mặt phẳng Gọi A điểm đối xứng A qua BE , theo A nằm cạnh BC ; A giao điểm BC đường thẳng d qua A vng góc với BE + Viết phương trình đường thẳng AC Ta có AC  BH : x  y  15  Suy đường thẳng AC có vectơ phương a  1;   STRONG TEAM TỐN VD–VDC Phương trình đường thẳng AC x2 y6   x  y  14  4 + Viết phương trình đường thẳng AB x  y   Tọa độ điểm B nghiệm hệ phương trình   B  7;2  x  y  15  Phương trình đường thẳng AB x2 y6   x  y  46  9 4 + Viết phương trình đường thẳng d qua A vng góc với đường phân giác BE : x2 y 6   x  y   1 Gọi K giao điểm d BE Tọa độ điểm K nghiệm hệ phương trình  x  x  y     Suy K   ;     2 x  y   y    Gọi A điểm đối xứng A qua phân giác BE Suy K trung điểm AA  x   xH  x A  11 Suy  A Suy A  11;    y A  yH  y A  7 + Viết phương trình đường thẳng BC x7 y2   x  y  71  Vì BC qua điểm A B nên 4 9 Ví dụ 24 Trong mặt phẳng Ví Oxy  , cho tam giác ABC có đỉnh A  3;4  ; đường phân giác BE : x  y   ; trung tuyến BN :13x  y  15  Lập phương trình ba cạnh tam giác ABC Lời giải + Viết phương trình cạnh AB Tọa độ điểm B nghiệm hệ phương trình 2 x  y    x  1  Suy B  1;7   13x  y  15  y  Phương trình cạnh | 12 B A' H AB A E N C Hình học 10| x3 y 4   3x  y  25  3 + Viết phương trình cạnh BC Gọi d đường thẳng qua A vng góc với phân giác BE x3 y 4   x  2y   Phương trình đường thẳng d Tọa độ giao điểm H d BE nghiệm hệ phương trình x  y    H 1;3  2 x  y   Vì A  BC nên đường thẳng BC đường thẳng BA Phương trình đường thẳng BC x   + Viết phương trình cạnh AC Gọi N trung điểm AC Khi x A  xC  xC  x   N    xC  yC  2 ; Do N     y  y  y 2   A C C  yN    2 Vì N thuộc đường trung tuyến BN nên 13xN  yN  15   13  13xC  yC  25  Mà C thuộc BC nên xC  1 Suy C  1;  3 Phương trình đường thẳng AC x3 y 4   7x  y   13 |  xC  yC   15  2 STRONG TEAM TOÁN VD–VDC Gọi A điểm đối xứng điểm A qua phân giác BE suy H trung điểm AA Khi ta có  x A  xH  x A  1 Suy A  1;2    y A  y H  y A  ... t đường thẳng làm vectơ phương Vậy d có phương trình tham số  có  y  5  3t x7 y 5 phương trình tắc  Ví dụ 15 Ví  x   3t Cho đường thẳng d :  Viết phương trình tham số phương trình. .. Suy đường thẳng A1 A2 đường thẳng BC Bài tốn trở thành lập phương trình đường thẳng A1 A2 + Xác định A1 Gọi 1 phương trình đường thẳng qua A vng góc với d C 1 : x  y  c  Đường thẳng. .. BC đường thẳng d qua A vng góc với BE + Viết phương trình đường thẳng AC Ta có AC  BH : x  y  15  Suy đường thẳng AC có vectơ phương a  1;   STRONG TEAM TỐN VD–VDC Phương trình đường