Vị trí tương đối của hai đường thẳng trong hệ tọa độ OXY

Hình học 10| HÌNH HỌC 10 CHƯƠNG 3: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG BÀI 1: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG DẠNG 2: VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG I = LÝ THUYẾT Tọa độ giao điểm nghiệm hệ phương trình: a1 x b1 y c1 a2 x b2 y c2 ● Nếu hệ có nghiệm  x0 ; y0  1 cắt  điểm M  x0 ; y0  ● Nếu hệ có vơ số nghiệm 1 trùng với  ● Nếu hệ vơ nghiệm 1  khơng có điểm chung, hay 1 song song với  Cách Xét tỉ số a b c ● Nếu   1 trùng với  a2 b2 c2 ● Nếu a1 b1 c1   1 song song  a2 b2 c2 ● Nếu a1 b1  1 cắt  a2 b2 Các trường hợp khác ● Với n1   a1; b1  n2   a2 ; b2  véc tơ pháp tuyến 1  ; 1 vng góc với với   n1.n2  ● Cách tìm điều kiện để ba đường thẳng 1 ,  ,  đồng quy: Ta tìm giao điểm hai ba đường trên, sau tìm điều kiện để điểm vừa tìm thuộc đường thẳng lại II = BÀI TẬP TỰ LUẬN 2.1 Xét vị trí tương đối hai đường thẳng (khơng chứa tham số) Ví dụ Ví Xét vị trí tương đối cặp đường thẳng sau: a) d1 : x  10 y   d2 : x  y   0; 1| STRONG TEAM TOÁN VD–VDC Lý thuyết: Xét hai đường thẳng có phương trình tổng quát 1 : a1 x  b1 y  c1  2 : a2 x  b2 y  c2  | Chương 3: Phương pháp tọa độ mặt phẳng b) d3 :12 x  y  10  d4 : x  y   0;  x  6  5t c) d5 :8x  10 y  12  d :   y   4t  x  1  t  x   2t  d) Xét vị trí tương đối hai đường thẳng d7 :  d8 :   y  2  2t  y  8  4t  Lời giải 10 a) Ta có:   Vậy d1 cắt d 1 12 6 10 b) Ta có:   Vậy d3 / / d 1 c) Phương trình tổng quát d là: x  y   6   Vậy d5  d6 10 12  x  1  t d) d7 :  có vec tơ phương u7  1; 2   y  2  2t STRONG TEAM TOÁN VD–VDC Ta có:  x   2t  d8 :  qua điểm B  2; 8 có vec tơ phương u8   2;   y  8  4t  Ta thấy u7 , u8 phương điểm B  2; 8 thuộc đường thẳng d Vậy d7  d8 Ví dụ Ví  x   3t  x  2t  Xét vị trí tương đối hai đường thẳng d1 :  d :   y  2t  y  2  3t  Lời giải  x   3t d1 :  có vec tơ phương u1   3; 2   y  2t  x  2t  d2 :  có vec tơ phương u1   2;3  y  2  3t  Ta thấy u1  u2  nên d1  d2 Ví dụ Ví Cho hai đường thẳng d1 : x  y   d2 : 3x  y  Tìm giao điểm d1 d Lời giải Giao điểm d1 d2 điểm có tọa độ nghiệm hệ phương trình: x  y   x    3x  y   y  Vậy d1 cắt d điểm A 1;3 |2 Hình học 10| Ví dụ Ví Cho hai đường thẳng 1 : 3x  y   0, 2 : x  y   điểm M (0; 2) a) Tìm tọa độ giao điểm 1  b) Viết phương trình đường thẳng  qua M cắt 1  A B cho B trung điểm đoạn thẳng AM Lời giải  xA    xB  x A   điểm AM suy     : 29 x  y   4 xB    3xA   x   B   Ví dụ Ví Cho tam giác ABC có phương trình đường thẳng AB, BC, CA AB :2 x  y   , BC :3x  y   , CA :3x  y   Xác định vị trí tương đối đường cao kẻ từ đỉnh A đường thẳng  :3x  y   Lời giải 2 x  y    x  1   A  1;0  Tọa độ điểm A nghiệm hệ  3x  y   y  Đường thẳng BC có vectơ phương u   2;  3 Đường cao kẻ từ đỉnh A vng góc với BC nên nhận vectơ u   2;  3 làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình là:  x  1  y  hay x  y   Ta có 3| 1 suy hai đường thẳng d  cắt  3 d  STRONG TEAM TOÁN VD–VDC 1 9 a) N  ;   giao điểm hai đường thẳng 1  4 4 b) A 1  3xA  yA    yA  3xA  , B 2  xB  yB    yB  2 xB  B trung | Chương 3: Phương pháp tọa độ mặt phẳng 2.1.3 Bài tập luyện tâp: Câu Xác định vị trí tương đối đường thẳng 1 : x  y    : 3x  y   A Song song B Trùng C Vng góc D Cắt Lời giải Chọn A x  y 1  Cách 1: Xét hệ phương trình:  hệ vơ nghiệm nên 1 / /  3x  y   2 Cách 2: Ta có: nên 1 / /    3 1 x y   x  y   B Cắt khơng vng góc với D Vng góc với Lời giải STRONG TEAM TỐN VD–VDC Câu Vị trí tương đối hai đường thẳng có phương trình A Song song C Trùng Chọn B Ta có 2 x y    3x  y   Do  nên hai đường thẳng cắt 3 2 Mặt khác 6.3   2   2   nên hai đường thẳng khơng vng góc   x   2t Câu Xác định vị trí tương đối đường thẳng 1 :   : y   t   A Hai đường thẳng song song với B Hai đường thẳng cắt khơng vng góc C Hai đường thẳng vng góc D Hai đường thẳng trùng Lời giải Chọn B 1 : có vtcp u1    2;  ;  : có vtcp u2     x   3t '    y   2t '  3;  Ta có: u1 , u2 khơng phương u1.u2  nên 1 ,  cắt khơng vng góc Câu Đường thẳng  : 3x  y   cắt đường thẳng sau đây? A d1 : 3x  y  B d2 : 3x  y  C d3 : 3x  y   D d4 : x  y  14  Lời giải Chọn A  : 3x  y   d1 : 3x  y  có 2    cắt d1 |4 Hình học 10| Câu Hai đường thẳng d1 : x  y 18  0; d2 : 3x  y 19  cắt điểm có toạ độ: A  3;  B  3;  C  3; 2  D  3; 2  Lời giải Chọn A 4 x  y  18  x   Vậy d1  d2  A  3;2  Xét hệ phương trình  3x  y  19  y  Câu Toạ độ giao điểm hai đường thẳng x  y  26  3x  y   A  2; 6  B  5;  C  5; 2  D Khơng có giao điểm Lời giải Toạ độ giao điểm hai đường thẳng nghiệm hệ phương trình: 4 x  y  26   x   Vậy toạ độ giao điểm  5; 2   3x  y    y  2 Câu Phương trình sau biểu diễn đường thẳng không song song với đường thẳng d : y  x  1? A x  y   B x  y   C 2 x  y  D x  y   Lời giải Chọn D  d  : y  2x 1  2x  y 1  đường thẳng x  y   khơng song song 1  Câu Cho điểm A(0 ; 2), B(1 ; 0), C(0 ; 4), D(2 ; 0) Tìm tọa độ giao điểm đường thẳng AB CD  1 B   ;   2 D Khơng có giao điểm A (1 ; 4) C (2 ; 2) Lời giải Chọn D AB có vectơ phương AB   1;  CD có vectơ phương CD   2;  Và điểm A, B, C khơng thẳng hàng Ta có: AB   1;  CD   2;  phương nên AB CD khơng có giao điểm Câu Cho đường thẳng  d1  : 3x  y   ,  d  : x  y   ,  d3  : 3x  y   Viết phương trình đường thẳng  d  qua giao điểm  d1  ,  d  song song với  d3  A 24 x  32 y  53  5| B 24 x  32 y  53  STRONG TEAM TOÁN VD–VDC Chọn C | Chương 3: Phương pháp tọa độ mặt phẳng D 24 x  32 y  53  C 24 x  32 y  53  Lời giải Chọn A Tọa độ giao điểm M  d1   d  nghiệm hệ   x   3x  y  5  31    M  ;    16  2 x  y   y  31  16 STRONG TEAM TOÁN VD–VDC  31  Phương trình đường thẳng    song song với  d3  qua M   ;  có dạng  16     :  x   53 3  31     y     3x  y    24 x  32 y  53  8  16   x   2t Câu 10 Cho hai đường thẳng d d  biết d : x  y   d  :  Biết I  a; b  tọa y  3t độ giao điểm d d  Khi tổng a  b A C B D Lời giải Chọn A Tham số t ứng với giao điểm d d  nghiệm phương trình x  1  2t     t     t  Khi   I  3;   a  b  y  Câu 11 Trong mặt phẳng Oxy , cho đường thẳng d : x  y   Nếu đường thẳng  qua điểm M 1; 1  song song với d  có phương trình A x  y   B x  y   C x  y   D x  y   Lời giải Chọn B Đường thẳng d có vectơ pháp tuyến n  1; 2  Đường thẳng  qua điểm M 1; 1  song song với d nên  nhận n  1; 2  làm vectơ pháp tuyến Phương trình tổng quát đường thẳng   x  1   y  1   x  y    x   3t Câu 12 Cho đường thẳng  :  t   y  1  t qua M vuông góc với  A 3x  y    điểm M  1;  Phương trình đường thẳng B x  y  17  |6 Hình học 10| D x  y  19  C 3x  y   Lời giải Chọn C  có vectơ phương u   3;1 Vì đường thẳng d vng góc với  nên d có véctơ pháp tuyến n  u   3;1 Phương trình tổng quát đường thẳng d  x  1   y     3x  y   Câu 13 Cho đường thẳng d1 :2 x  y  15  d2 : x  y   Khẳng định sau đúng? A d1 d vng góc với B d1 d song song với D d1 d cắt khơng vng góc với Lời giải Chọn A d1 có vectơ pháp tuyến n1   2;1 d có vectơ pháp tuyến n2  1;   Ta có n1.n2  2.1   2   Vậy d1 d vng góc với Câu 14 Cho bốn điểm A 1;  , B  1;  , C  2;  , D  3;  Toạ độ giao điểm hai đường thẳng AB CD A A 1;  B B  3; 2  C  0; 1 D  5; 5 Lời giải Chọn A AB   2;2  CD   5;0  Phương trình tổng quát AB CD x  y   y   x  y   x   y   y   Toạ độ giao điểm AB CD nghiệm hệ  Câu 15 Cho bốn điểm A 1;  , B  4;0  , C 1; 3 , D  7; 7  Vị trí tương đối hai đường thẳng AB CD A Song song C Trùng Chọn A 7| B Cắt khơng vng góc với D Vng góc với Lời giải STRONG TEAM TỐN VD–VDC C d1 d trùng với | Chương 3: Phương pháp tọa độ mặt phẳng AB   3; 2  , CD   6; 4  AC   0; 5 Ta thấy: CD  AB  CD AB phương Lại có: 5   AB AC khơng phương 2 STRONG TEAM TỐN VD–VDC Vậy hai đường thẳng AB CD song song |8 Hình học 10| Loại 2.2: Tìm điều kiện tham số để hai đường thẳng cắt nhau, song song, trùng nhau, vng góc…và đường thẳng đồng quy (Chứa tham số) A VÍ DỤ MẪU Ví dụ Ví Với giá trị m hai đường thẳng a) d1 : 3x  y  10  d :  2m  1 x  m2 y  10  trùng nhau? b) d1 : mx   m  1 y  2m  d : x  y   song song?   c) d1 : 3mx  y   d : m2  x  2my   cắt nhau? Lời giải  d :  2m  1 x  m y  10  d1 d2 2m  m2 10 a)      10 d : x  y  10     2m     m  m  Vậy m  hai đường thẳng (d1 ) (d ) trùng d1 : mx   m  1 y  2m  d1||d2 m m  2m     b)  1 d : x  y   m    m   m  2m  Vậy m  hai đường thằng (d1 ) (d ) song song d1 : 3mx  y    n1   3m;2  c) Ta có:  2 d :  m   x  2my    n2   m  2;2m  d1 : y    m   tm  TH1: m    d : x  y   m  2m   m  1 3m Vậy với m  1 hai đường thằng (d1 ) (d ) cắt d1 d  M  TH2: m   Ví dụ Ví Với giá trị m hai đường thẳng  x   3t a) d1 : x  y   d :  cắt  y   4mt  x  1  at b) d1 : x  y   d :  vng góc với nhau?  y    a  1 t 9| STRONG TEAM TOÁN VD–VDC | Chương 3: Phương pháp tọa độ mặt phẳng  x   2t c) d1 :  d : x  y  m  trùng  y   mt Lời giải STRONG TEAM TOÁN VD–VDC d1 : x  y   4m 3  n1   2; 3 d1 d  M       m  a)   x   3t 3 n2   4m; 3 d :  y   4mt   Vậy với m  hai đường thằng (d1 ) (d ) cắt d1 : x – y   n1  1; 2   d1  d     n1  n2   a   2a   a   x  1  at b)  d : n  a  ; a       y    a  1 t  Vậy với a  hai đường thằng (d1 ) (d ) vng góc   x   2t 5  m  d1 :   A  2;1  d1 , u1   2; m   d d  A  d   2 m    m  c)  y   mt   m     d : x  y  m   u2   3;   3  Ví dụ Ví Với giá trị m hai đường thẳng   x   mt  x  m  2t  : a) 1 :  trùng nhau?  2 y  m t   y    m  1 t  x   3t  x   3t b) d1 :  d :  vng góc?  y   2t  y   4mt Lời giải   x  m  2t  A  m;1  d1 , u1   2; m  1  1 :   A  d2 y   m  t      d1  d   m a)   x   mt    m    :  y  m  t  u2   m;1   m   mt m    m   m 1  m   1  m  t    m   m   m  m  m        m3  m     | 10 | Chương 3: Phương pháp tọa độ mặt phẳng Câu 8: Định m cho hai đường thẳng  1  : (2m  1) x  my  10   2  : 3x  y   vng góc với A m  B Không m C m  D m  Lời giải Chọn D 1 có vectơ pháp tuyến n1   2m  1; m  ,  có vectơ pháp tuyến n2   3;  Ta có: 1    n1.n2    2m  1  2m   m  STRONG TEAM TOÁN VD–VDC Câu 9: Định m để hai đường thẳng sau vng góc: 1 : x  y    :  x   3t   y   4mt A m   B m   Lời giải C m  D m   Chọn D Đường thẳng 1 có vtpt n1   2; 3 ,  có vtcp u2   3; 4m   vtpt n2   4m;3 Để 1    n1.n2   m   Câu 10: Hai đường thẳng d1 : m x  y  m  1; d2 : x  my  cắt khi: A m  B m  1 Lời giải C m  D m  1 Chọn B m   m2    m  1 m Với giá trị m hai đường thẳng d1 : x  3my  10  d2 : mx  y   d1 cắt d  Câu 11: cắt nhau? A m C m  B m  D m Lời giải Chọn A 3m    3m2   m  m Với giá trị m hai đường thẳng phân biệt d1 : 3mx  y   d1 cắt d  Câu 12: d2 :  m2   x  2my   cắt nhau? | 14 Hình học 10| A m  1 C m B m  D m  m  1 Lời giải Chọn D d1 cắt d  Câu 13: m  3m   4m    m  2m m  1 Nếu ba đường thẳng d1 : x  y –  ; d2 : 5x – y   ; d3 : mx  y –  đồng qui m có giá trị là: 12 A B  12 D 12 C 12 Chọn D Tọa độ giao điểm hai đường thẳng d1 d nghiệm hệ phương trình:   x  2 x  y –   26   Suy d1 , d cắt M  ;   9  5 x – y    y  26  26 Vì d1 , d , d đồng quy nên M  d3 ta có: m     m  12 9 Câu 14:  x  1  t Xác định a để hai đường thẳng d1 : ax  y –  d :  cắt  y   3t điểm nằm trục hoành A a  B a  –1 C a  D a  –2 Lời giải Chọn D Cách 1: Gọi M  d1  d2  M  1  t;3  3t   d2 , M  Ox   3t   t  –1 Suy M  2;0  M  d1 , thay tọa độ M vào phương trình d1 ta được: a  2  3.0 –   a  –2 Vậy a  2 giá trị cần tìm Cách 2: Thay x, y từ phương a  1  t     3t  –    a   t  a   t  trình d vào d1 ta được: a 5 a9  14 6a  12  Gọi M  d1  d2  M  ;  Theo đề M  Ox  6a  12   a  2  a9 a9  Vậy a  –2 giá trị cần tìm Câu 15: Cho đường thẳng d1 : x  y –1  0, d2 : x  y   0, d3 : mx – y –  Để ba đường thẳng đồng qui giá trị thích hợp m là: 15 | STRONG TEAM TOÁN VD–VDC Lời giải | Chương 3: Phương pháp tọa độ mặt phẳng A m  –6 C m  –5 B m  D m  Lời giải Chọn B 2 x  y    x   Giao điểm d1 d nghiệm hệ   x  y    y  1 Vậy d1 cắt d A 1; 1 Để đường thẳng d1 , d2 , d3 đồng quy d phải qua điểm A Suy tọa độ điểm A thỏa phương trình d STRONG TEAM TỐN VD–VDC m     m  Câu 16:  x  m  2t Cho đoạn thẳng AB với A 1;  , B(3; 4) đường thẳng d :  Định m để  y  1 t d cắt đoạn thẳng AB A m  B m  C m  D Khơng có m Lời giải Chọn B Dạng tổng quát đường thẳng d : x  y  m   Đường thẳng d đoạn thẳng AB có điểm chung  A, B nằm hai phía đường thẳng d A, B nằm đường thẳng d  (1   m  2)(3   m  2)   (3  m)(3  m)   m  Câu 17:  x  2t  Đường thẳng song song với đường thẳng  :  cách A 1;1 khoảng y  t   là: d : x  by  c  Khi b  c A 14 16 B 16 14 Lời giải C 10 20 D 10 Chọn A Gọi d : x  by  c   x  2t  Vì đường thẳng d // :  nên b  2 y  t 5 Phương trình d : x  y  c  c  14 Theo đề ta có: d  A; d    c   15   c  16 Loại 2.3: Các toán sử dụng vị trí tương đối hai đường thẳng liên quan đến tam giác | 16 Hình học 10| B CÁC YẾU TỐ TRONG TAM GIÁC THƯỜNG Đường cao tam giác: Trong tam giác, đoạn thẳng kẻ vng góc từ đỉnh đến đường thẳng chứa cạnh đối diện gọi đường cao Tính chất: Ba đường cao tam giác đồng quy điểm điểm gọi trực tâm Đường trung tuyến tam giác: Trong tam giác, đoạn thẳng kẻ từ đỉnh đến trung điểm cạnh đối diện gọi đường trung tuyến Tính chất: i) Ba đường trung tuyến tam giác đồng quy điểm, điểm gọi trọng tâm Đường trung trực tam giác: đường trung trực cạnh tam giác đường trung trực tam giác Tính chất: Ba đường trung trực tam giác qua điểm, điểm cách ba đỉnh tam giác Đường phân giác tam giác: tia phân giác góc tam giác gọi đường phân giác góc Trong tam giác có ba đường phân giác Tính chất: i) Ba đường phân giác tam giác đồng qui điểm, điểm cách ba cạnh tam giác ii) Điểm nằm tia phân giác góc cách hai cạnh góc iii) Điểm nằm bên góc cách hai cạnh góc nằm tia phân giác góc C VÍ DỤ MẪU Ví dụ Ví 3  Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có M  ;0  trung điểm đoạn AC 2  Phương trình đường cao AH , BK 2x  y   x  y  13  Xác định tọa độ đỉnh tam giác ABC 17 | STRONG TEAM TOÁN VD–VDC ii) Gọi G trọng tâm tam giác ABC , A điểm đối xứng với A qua G Khi GBAC hình bình hành | Chương 3: Phương pháp tọa độ mặt phẳng Định hướng: Viết phương trình đường thẳng AC qua M vng góc với BK Suy  A  AC  AH  C Viết phương trình đường thẳng BC qua C vng góc với AH  B  BC  BK Lời giải Đường thẳng AC qua M vng góc với BK nên có phương trình x  y  4 x  y   A  0;2 2 x  y  2 Tọa độ điểm A nghiệm hệ phương trình  Từ M  ;0  trung điểm AC suy C 3;  2 2  Đường thẳng BC qua C vng góc với AH nên có phương trình x  y   STRONG TEAM TOÁN VD–VDC  x  y  1  B  3;1 3 x  y  13 Tọa độ điểm B nghiệm hệ phương trình  Vậy tọa độ đỉnh tam giác ABC A  0;2  , B  3;1 , C  3;   Ví dụ Ví Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có đỉnh A  4;  1 phương trình đường cao trung tuyến kẻ từ đỉnh B 2x  y  12  2x  y  Xác định tọa độ đỉnh lại tam giác ABC Định hướng: - Tọa độ điểm B  BH  BM - Viết phương trình đường thẳng AC qua A vng góc với BH Suy tọa độ M   AC  BM  C Lời giải Gọi BH , BM đường cao trung tuyến kẻ từ B 2 x  y  12   B  3;2  2 x  y  Tọa độ điểm B nghiệm hệ phương trình  Đường thẳng AC qua A vng góc với BH nên có phương trình x  y  10  2 x  y   M 6; 4  3 x  y  10  Tọa độ điểm M nghiệm hệ phương trình  | 18 Hình học 10| Do M trung điểm AC suy tọa độ điểm C 8;  7 Vậy B  3;2  , C 8;   Ví dụ Định hướng: -Tìm tọa độ điểm  A  AH  AM  B -Viết phương trình đường thẳng BC qua B vng góc với AH -Tìm tọa độ  N   BC  AN  C -Viết phương trình đường thẳng AC qua A ,C Lời giải Gọi AH , AN đường cao đường trung tuyến kẻ từ A 7 x  y    A 1;2  6 x  y   Tọa độ điểm A nghiệm hệ phương trìn  Từ M trung điểm AB  B 3; 2 Đường thẳng BC qua B vuông góc với AH nên có phương trình x  y   7 x  y   3   N  0;   2 x  y     Tọa độ điểm N nghiệm hệ phương trình  Từ N trung điểm BC suy tọa độ điểm C  3;  1 Khi ta có phương trình đường thẳng AC : x  y   Ví dụ Ví 4 1 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC cân A , có trọng tâm G  ;  3 3 Phương trình đường thẳng BC x  y   0, phương trình đường thẳng BG x  y   Tìm tọa độ đỉnh tam giác ABC 19 | STRONG TEAM TỐN VD–VDC Ví Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC Điểm M  2;0  trung điểm AB Đường trung tuyến đường cao kẻ từ A có phương trình x  y   x  y   Viết phương trình đường thẳng AC | Chương 3: Phương pháp tọa độ mặt phẳng Định hướng: -Tìm B  BC  BG -Viết phương trình AG , tìm M   AG  BC  C -Sử dụng tính chất trọng tâm suy A Lời giải x  y    B  0; 2  7 x  y   STRONG TEAM TOÁN VD–VDC Tọa độ điểm B nghiệm hệ phương trình  Đường thẳng AG qua G vng góc với BC nên có phương trình 2x  y  2 x  y   M  2; 1 x  y   Tọa độ trung điểm M BC nghiệm hệ  Từ suy tọa độ điểm C  4;0 3 xG  x A  xB  xC  A  0;3  3 yG  yA  yB  yC Từ  Vậy A  0;3 , B 0;-2 ,C 4;0  Ví dụ Ví Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC cân A Đường thẳng BC đường cao kẻ từ B có phương trình x  y   0, x  y   0; Điểm M  2;1 thuộc đường cao kẻ từ C Xác định tọa độ đỉnh tam giác ABC Định hướng: -Tìm tọa độ điểm B Nhận xét BM  BC -Viết phương trình MN , tìm  N   BH  MN -Suy C , viết phương trình BC Tìm I -Viết phương trình AI , AC , suy A Lời giải x  y    B  0; 1 x  y   Tọa độ điểm B nghiệm hệ phương trình  | 20 Hình học 10|   BM  2;2  Lúc   u BC 1;  1  BM u BC   BM  BC Phương trình đường thẳng qua M song song với BC có phương trình  : x  y    x  y3  8 1 N ;  3 3 x  y   Tọa độ giao điểm N  BH   nghiệm hệ  Đường thẳng qua N vng góc với BC cắt BC C có phương trình x  y   7 x y 2 5 Tọa độ điểm C nghiệm hệ phương trình   C ;  3 3  x  y   Trung điểm BC I  ;   Phương trình đường thẳng AI : x  y  3 3 Đường thẳng AC qua C vng góc với BH nên AC : x  y     x  y   11   A  ;  Tọa độ điểm A nghiệm hệ phương trình   9 2 x  y     11  2 5 Vậy A  ;- , B 0;-1 ,C  ;-  9  3 3 Ví dụ Ví 4 7 Cho tam giác ABC có A  ;  hai ba đường phân giác có phương trình 5 5 x  y   , x  y   Viết phương trình đường thẳng chứa cạnh BC Lời giải B x  y 1  F E 4 7 A ;  5 5 C x  y 1  4 7 Dễ thấy điểm A  ;  không thuộc hai đường phân giác x  y   x  y   5 5 Suy gọi CF : x  y   , BE : x  y   phương trình đường phân giác xuất phát từ đỉnh C , B (như hình vẽ trên) 21 | STRONG TEAM TOÁN VD–VDC STRONG TEAM TOÁN VD–VDC | Chương 3: Phương pháp tọa độ mặt phẳng 4 7 Gọi d đường thẳng qua A  ;  vng góc với BE d có VTPT 5 5 4  7  nd   3; 1 nên có phương trình  x     y     3x  y   Tọa độ điểm 5  5    x  3x  y   2 1   M  ;  M  d  BE thỏa mãn hệ   5 x  y 1  y   4 7 2 1 Suy tọa độ điểm đối xứng với A  ;  qua M  ;  A  0; 1 A  BC 1 5 5  5 4 7 Gọi d  đường thẳng qua A  ;  vuông góc với CF d  có VTPT 5 5 4  7  nd    2;1 nên có phương trình  x     y     x  y   Tọa độ điểm 5  5   x  2 x  y    7 1   N ;  N  d   CF thỏa mãn hệ   5 x  y 1  y   4 7 7 1 Suy tọa độ điểm đối xứng với A  ;  qua N  ;  A  2; 1 A  BC   5 5  5 Từ 1   ta có AA   2;0  VTCP BC suy VTPT BC n   0;1 Do phương trình cạnh BC :  x    1 y  1   y   C BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu Cho tam giác ABC với A  2; 1 , B  4;5 , C  3;  Phương trình tổng quát đường cao qua điểm A tam giác ABC A 3x  y   B 3x  y  13  C x  y  13  D x  y  11  Lời giải Chọn D BC   7; 3    7;3  n   7;3 véc tơ pháp tuyến đường cao qua A Vậy phương trình tổng quát đường cao qua A x  y  11  Câu Trong mp  Oxy  , cho tam giác ABC với A  2;6  , B  3; 4  C  5;1 Tìm tọa độ trực tâm H tam giác ABC  57 10   57 10  A H   ;   B H  ;    11 11   11 11  Lời giải Chọn C  57 10  C H  ;   11 11   57 10  D H   ;   11 11  | 22 Hình học 10| Phương trình đường thẳng qua B  3;   nhận AC   3;  5 làm VTPT có dạng:  x  3   y     3x  y  11  Phương trình đường thẳng qua A  2;6  nhận BC  8;5 làm VTPT có dạng:  x     y     8x  y  46  57  x  3x  y  11  11 Suy tọa độ H thỏa mãn hệ phương trình:   x  y  46 10  y   11  57 10  Vậy H  ;  tọa độ cần tìm  11 11  Gọi H trực tâm tam giác ABC Phương trình cạnh đường cao tam giác AB : x  y   ; BH : x  y   ; AH : x  y   Phương trình đường cao CH tam giác ABC A x  y  B x  y   C x  y   D x  y   Lời giải Chọn C A H B C Gọi H  x; y  Ta có H  AH  BH 2 x  y  x  Nên tọa độ điểm H nghiệm hệ phương trình:  , suy  x  y  y  H  2;0  Đường thẳng AB có vectơ phương u  1;7  Đường cao CH vng góc với cạnh AB nên nhận u làm vectơ pháp tuyến Vậy phương trình tổng quát đường cao CH  x     y     x  7y   Câu Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có C 1; 2  , đường cao BH : x  y   , đường phân giác AN : x  y   Tọa độ điểm A A A  2;1 B A  2;1 Lời giải Chọn B 23 | C A  2; 1 D A  2; 1 STRONG TEAM TOÁN VD–VDC Câu | Chương 3: Phương pháp tọa độ mặt phẳng Đường thẳng AC qua C 1; 2  vng góc với BH nên có phương trình AC : x  y 1  x  y 1   x  2 Khi tọa độ điểm A nghiệm hệ  Vậy A  2;1  2 x  y   y 1 STRONG TEAM TOÁN VD–VDC Câu Cho tam giác ABC có A  2;7  ; B  3;5 ; C 1; 4  Biết trực tâm tam giác a b  a b , ABC điểm H  ;  , với a , b , m , n số nguyên dương m n m n a b phân số tối giản Tính T   m n 95 43 72 54 A T  B T  C T  D T  Lời giải Chọn C Đường cao AH ABC qua A  2;7  nhận CB   2;9  làm VTPT nên có phương trình:  x     y     x  y  59  Đường cao BH ABC qua B  3;5 nhận AC   3; 11 làm VTPT nên có phương trình  x  3  11 y  5   3x  11y  46  235  x  2 x  y  59   49 Tọa độ điểm H nghiệm hệ phương trình   3x  11y  46   y  269  49 72 Vậy T  Câu Trong mặt phẳng Oxy , cho tam giác ABC có A  4; 1 , hai đường cao BH CK có phương trình x  y   3x  y   Viết phương trình đường thẳng BC tính diện tích tam giác ABC 25 35 A BC : x  y  ; S  B BC : x  y  ; S  2 25 35 C BC : x  y  ; S  D BC : x  y  ; S  2 Lời giải Chọn D A K B H C | 24 Hình học 10| + BH có véctơ pháp tuyến n BH  2; 1 CK có véctơ pháp tuyến n CK  3;  + Đường thẳng AB vng góc CK nên nhận n CK  3;  làm véctơ phương, AB có véctơ pháp tuyến n AB  2; 3 Mặt khác AB qua A  4; 1 nên có phương trình:  x     y  1   x  y   + Đường thẳng AC vng góc BH nên nhận n BH  2; 1 làm véctơ phương, AC có véctơ pháp tuyến n AC 1;  Mặt khác AC qua A  4; 1 nên có phương trình:  x  1 2 x  y    B  1;1 + B giao điểm AB BH Xét hệ:   y 1 2 x  y   x  y   x   C  6; 6  + C giao điểm AC CK Xét hệ:   3x  y    y  6 + Đường thẳng BC có véctơ phương BC   7; 7  nên có véctơ pháp tuyến n   7;7  Vậy BC có phương trình:  x  1   y  1   x  y  + BC  72   7   + Chiều cao kẻ từ A tam giác ABC d  A, BC   4  12  12  35 + Diện tích tam giác ABC là: S   2 Câu Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC vuông A Biết A(1; 4) , 7  B(1; 4) , đường thẳng BC qua điểm K  ;  Biết điểm C (a; b) Phát biểu sau 3  ? A b  a Chọn A 25 | B a2  b2  16 C b (1;3) Lời giải D b2  a  STRONG TEAM TOÁN VD–VDC 1 x     y  1   x  y   | Chương 3: Phương pháp tọa độ mặt phẳng B (1; -4) A (-1; 4) C STRONG TEAM TỐN VD–VDC K (7/3; 2) +) Có AB  (2; 8) Đường thẳng AC qua điểm A(1; 4) , nhận n1  (1; 4) làm vectơ pháp tuyến nên AC :1( x  1)  4( y  4)   x  y  17  4  +) BK   ;6  Đường thẳng BC qua B(1; 4) , nhận n2   9; 2  làm vectơ pháp 3  tuyến nên BC : 9( x 1)  2( y  4)   x  y  17  +) C  AC BC nên tọa độ điểm C nghiệm hệ phương trình :  x  y  17  x   x  y  17     9 x  y  17 9 x  y  17  y  Vậy C (3;5) Câu Trong hệ trục Oxy , cho tam giác ABC có đỉnh A thuộc đường thẳng d : x  y   , cạnh BC song song với d Phương trình đường cao BH : x  y   trung điểm cạnh AC M (1;1) Tìm tọa độ trọng tâm G tam giác ABC A G ( ; 1) B G ( ; 1) D G ( ;1) C G ( ;1) Lời giải d: x - 4y - = A H M(1;1) B BH: x + y + = C | 26 Hình học 10|  M  AC  AC : y  x +)   BH  AC Câu Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC với đỉnh A  2;1 , gọi m đường cao qua đỉnh B có phương trình x  y   n đường trung tuyến qua đỉnh C có phương trình x  y   Giả sử B  x1 ; y1  , C  x ; y2  , tính P  x1  y1  x2  y2 ? B P  4 A P  6 C P  3 Lời giải D P  5 m A n D B C + Lập phương trình đường thẳng AC Do đường thẳng AC vng góc với m nên phương trình đường thẳng AC có dạng: 3x  y  c  Ta có A  2;1  AC  3.2   c   c  7  AC : 3x  y   Lại có C  AC  n nên tọa độ điểm C thỏa mãn hệ phương trình: 3x  y   x    C  4; 5  x  y    y  5 + Có B  m nên tọa độ điểm B có dạng B  3b  7; b  Gọi D trung điểm đoạn  3b  b   AB , suy D  ;    3b  b   3b  b   Mà D  ;     b  3  B  2; 3 n   2  Vậy P      6 Chọn đáp án A 27 | STRONG TEAM TOÁN VD–VDC  x  x  y    2  +) A( x; y)  AC  d nên ( x; y) nghiệm hệ:    A( ;  ) 3 y  x y     8 +) Vì M (1;1) trung điểm cạnh AC nên C ( ; ) 3 +) Cạnh BC song song với d qua B nên phương trình BC : x  y    x  y    x  4   B(4;1) +) B( x; y)  BC  BH nên ( x; y) nghiệm hệ:  x  y   y 1 +) Vậy trọng tâm G ( ;1) | Chương 3: Phương pháp tọa độ mặt phẳng Câu 10 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC cân đỉnh A , trọng tâm G( ; ) 3 Phương trình đường thẳng BC x  2y   phương trình đường thẳng BG 7x  4y   Gọi đỉnh A( x A ;y A ) , B( xB ;y B ) Tính tổng x2A  y2A  x2B  y2B B A 13 C Lời giải D 25 Chọn A A E STRONG TEAM TOÁN VD–VDC G B H C  x  2y   x    B(0; 2)  Tọa độ B nghiệm hệ phương trình 7x  4y   y  2 Gọi H trung điểm BC suy AH  BC  1 G  ;   AH nên  3 C  3  AG : x  y   H giao diểm BC, AG nên tọa độ H nghiệm hệ Phương trình AH có dạng 2x  y  c   x  2y   x    H(2; 1) phương trình   2x  y   y  1 Do G trọng tâm nên AG  2GH  A(0;3) Vậy x2A  y2 A  x2 B  y2 B  13 | 28 ... 2t Câu Xác định vị trí tương đối đường thẳng 1 :   : y   t   A Hai đường thẳng song song với B Hai đường thẳng cắt khơng vng góc C Hai đường thẳng vng góc D Hai đường thẳng trùng Lời giải... Câu Vị trí tương đối hai đường thẳng có phương trình A Song song C Trùng Chọn B Ta có 2 x y    3x  y   Do  nên hai đường thẳng cắt 3 2 Mặt khác 6.3   2   2   nên hai đường thẳng. .. dụng vị trí tương đối hai đường thẳng liên quan đến tam giác | 16 Hình học 10| B CÁC YẾU TỐ TRONG TAM GIÁC THƯỜNG Đường cao tam giác: Trong tam giác, đoạn thẳng kẻ vng góc từ đỉnh đến đường thẳng