skkn phân loại phương pháp giải những bài toán về cấu tạo khái niệm phân số

Các em có thể hiểu về cấu tạo, khái niệm phân số nhưng khi bước vào giải các bài toán về phân số rất lúng túng kể cả những bài toán mang tính đại trà.Ví dụ: Bài toán viết số a dưới dạng

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

MÔN TOÁN

Đề tài

“Phân loại phương pháp giải những bài

Giáo viên thực hiện Nguyễn Thị Mai Phương

Lời cảm ơn

Tôi xin chân thành cảm ơn sự động viên, khuyến khích và giúp đỡ của các thầy, các cô giáo trong Khoa giáo dục Tiểu học, trường bồi dưỡng cán bộ Hà Nội đối với tôi trong quá trình học tập, nghiên cứu đề tài

Tôi xin trình bày lòng biết ơn Ban giám hiệu trường và tập thể trường Tiểu học Nghĩa Đô , quận Cầu Giấy , thành phố Hà Nội và gia đình đã khích lệ, tạo điều kiện trong quá trình học tập, nghiên cứu, điều tra, thử nghiệm và hoàn thành khoá luận này

Đặc biệt, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc về lòng nhiệt tâm

về phương pháp luận nghiên cứu khoa học của thầy giáo hướng dẫn TS Mai Quang Tâm trong quá trình hướng dẫn tôi hoàn thành và hoàn chỉnh khoá luận

Dù đã rất cố gắng, luận văn này vẫn còn nhiều thiếu sót, kính mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy, cô giáo và các đồng nghiệp gần xa

Mở đầu

1 Lí do chọn đề tài

Hiện nay phân số được dạy ở tiểu học thông qua các ví dụ cụ thể Học xong

học sinh mơ hồ trong “cái gọi”là đơn vị Các em có thể hiểu về cấu tạo, khái niệm

phân số nhưng khi bước vào giải các bài toán về phân số rất lúng túng kể cả những bài toán mang tính đại trà.Ví dụ:

Bài toán viết số a dưới dạng phân số có mẫu số cho trước, bài toán tìm x dạng

Trên cơ sở những lí luận và thực tiễn nói trên tôi mạnh dạn đưa ra ý tưởng

“Phân loại phương pháp giải những bài toán về cấu tạo khái niệm phân số” để

đồng ngiệp cùng tôi nghiên cứu áp dụng bồi dưỡng nâng cao chất lượng học sinh giỏi

2 Mục đích nghiên cứu

- Hệ thống các dạng bài có cấu tạo số thập phân và định hướng phương pháp

giải

3 Khách thể và đối tượng nghiên cứu

3.1 Khách thể : Những bài toán có cấu tạo phân số

3.2 Đối tượng : Các bài toán tạo phân số cho học sinh giỏi 4&5

4 Nhiệm vụ nghiên cứu

5 Phương pháp nghiên cứu:

+ Phương pháp điều tra

+ Phương pháp phân tích tổng hợp

+ Phương pháp đàm thoại

+ Phương pháp thực nghiệm

6 Phạm vi giới hạn nghiên cứu:

+ Khai thác nội dung kiến thức về khái niệm, cấu tạo, tính chất phân số trong sách giáo khoa lớp 4,5

+ Tìm phân dạng những bài toán liên quan đến khái niệm, cấu tạo phân số + Nhắc lại bổ sung những kiến thức cần cho việc giải những bài toán nói trên

+ Tìm phân tích, áp dụng những phương pháp thủ thuật cụ thể giúp học sinh giải hay những bài toán nói trên

+ Điều tra vấn đáp giáo viên tìm hiểu phương pháp và nội dung dạy

+ Khảo sát học sinh đánh giá chất lượng

Nội dung

Chương 1: Cơ sở lí luận của đề tài

Khái niệm và cấu tạo phân số đựơc hình thành ở lớp 4, khắc sâu mở rộng ở lớp 5 Học phân số các em được tiếp cận với một kiểu số mới cho phép ghi thương đúng một phép chia hai số tự nhiên Phân số ghi một giá trị được so sánh với một đơn vị nào đó.Vậy nên hiểu sâu, nắm chắc phân số các em có thể xử lý được các tình huống, các bài toán có ý nghĩa thực tế Chính vì thế phát huy tối đa tư duy toán học giúp các em nắm chắc phần này cần phải có những bài toán cụ thể trên cơ

sở kiến thức cơ bản về phân số Bởi lẽ sách giáo khoa giới thiệu phân số cho trẻ chỉ

là những lý thuyết về phân số khái niệm, cấu tạo chưa quan tâm đến những bài toán Điều này sẽ rất là thiếu sót đối với những học sinh có khả năng muốn tìm hiểu sâu hơn về phân số ngay ở bậc Tiểu học Mặt khác thực tế cho thấy nếu học sinh nắm chắc về phân số sẽ có khả năng học tốt các bài toán về diện tích, bài toán thực tế, có kỹ năng thực hành những yếu tố chứa đựng kiến thức phân số

Chương 2: Nội dung kiến thức về khái niệm cấu tạo

- b: (dưới dấu -) mẫu số chỉ số phần bằng nhau được chia ra của một đơn vị

(một cái bánh, một hình vuông, một mảnh ruộng)

- a: Tử số (viết trên dấu gạch ngang) chỉ số phần lấy đi trong b phần bằng

nhau được chia ra Đọc

+ Một phân số có tử số lớn hơn mẫu số thường hay được viết dưới dạng hỗn

số

Ví dụ:

3

1 2 3

2 3 7

2 : 20 12

2.3 ứng dụng các tính chất cơ bản của phân số:

2.3.1.Rút gọn phân số:

Nếu cả tử số và mẫu số của một phân số cùng chia hết cho một số thì ta chia

cả tử số và mẫu số cho số ấy được một phân số mới bằng phân số ban đầu Việc ấy gọi là rút gọn phân số

Ví dụ:

18

23 2 : 36

2 : 46 36

2.3.2.Quy đồng mẫu số:

- Quy đồng mẫu số là làm cho các phân số ấy có mẫu số bằng nhau (chung)

- Quy đồng mẫu số:

+ Bước 1: Tìm mẫu số chung

+ Bước 2: Chia mẫu số chung cho từng mẫu số được một giá trị gọi là

thừa số phụ

+ Bước 3: Lần lượt nhân cả tử số và mẫu cho từng phân số với thừa số

- Trong hai phân số có cùng mẫu số phân số nào có tử số lớn hơn thì lớn hơn

- Trong hai phân số có cùng mẫu số phân số nào có mẵu số lớn hơn thì nhỏ hơn

2.4.3 Cách so sánh hai phân số:

- Quy đồng mẫu số rồi so sánh theo quy tắc 2

2.5 Các kiến thức bổ sung:

2.5.1 Cách tìm mẫu số chung:

- Cách 2: Nếu mẫu số lớn nhất chia hết cho các mẫu số khác thì lấy luôn

mẫu số ấy làm mẫu số chung

- Cách 2: Đem mẫu số lớn nhất lần lượt nhân với 2,3,4 cho đến khi được

số chia hết cho tất cả các mẫu số còn lại thì lấy đó làm mẫu số chung

2.5.2 Các cách so sánh phân số không qui đồng:

x, y gọi là phần bù của phân số a, b

x, y được gọi là phần hơn của các phân số a và b

- So sánh phân số bằng cách đưa các phân số về hỗn số

+ Tách phần nguyên nêu phân số nào có phần nguyên lớn hơn thì lớn hơn

+ Tách phần nguyên: Nếu phần nguyên bằng nhau so sánh phần phụ (chọn

một trong các cách so sánh ở trên) phân số nào có phần phụ lớn hơn thì lớn hơn

- So sánh bằng cách rút gọn các phân số

2.5.3 Các kiến thức dùng cho giải các bài toán về cấu tạo phân số

- Trong một tổng gồm hai số hạng, nếu ta thêm vào số hạng này bao nhiêu đơn vị và bớt ở số hạng kia đi bấy nhiêu đơn vị thì tổng không thay đổi

- Khi cùng thêm (hoặc cùng bớt) ở các số bị trừ và số trừ một số đơn vị như

nhau thì hiệu số không thay đổỉ

-Khi thêm vào tử số của một phân số một số bằng mẫu số của phân số đó

(mẫu số lớn hơn không) và giữ nguyên mẫu số thì giá trị của phân số tăng thêm

một đơn vị

- Khi bớt ở tử số một phân số lớn hơn một, một số bằng mẫu số của phân số

đó giữ nguyên mẫu số thì giá trị phân số đó giảm đi một đơn vị

- Khi thêm vào tử số của một phân số bằng tử số của phân số đó, giữ nguyên mẫu số thì giá trị của phân số đó tăng lên 2 lần

Chương 3: Các bài toán về cấu tạo khái niệm và so

5 6 1

72 , 11 66

Bài 2: Tìm số tự nhiên x biết:

21

28 12

; 25 5

4

=

=

x x

Giải: ,

25

20 5 5

5 4 5

7 : 28 21

Mà ,

9

12 3 3

3 4 3

Giải: Lấy 3 cái bánh cắt mỗi cái thành 4 phần bằng nhau Lấy 4 cái bánh cắt

mỗi cái thành 3 phần bằng nhau Mỗi ngươi lấy

3

1 cái bánh và

4

1 cái bánh

Dạng 2: Các bài toán về cấu tạo phân số

Bài 4: Cho phân số

2

15 1

=

x x

Vậy số lần giản ước: 45 : 3 = 15 lần

Phân số khi chưa giản ước :

30

15 15

2

15

x x

20

x x

a Thêm vào tử số a một số bằng mẫu số b (

b

a hay b

b a b

b b

b

b

a+ Vậy phân số

a b

a a b

a b

b a b

b b

Vậy phân số

b

a giảm đi 1 đơn vị

Bài 7: Viết 3 phân số khác nhau cho mỗi trường hợp sau:

3

; 14

5

; 4

3 c ;

111

111

; 4

4

; 3 3

Bài 8: Viết các phân số sau dưới dạng hỗn số mà phần phân số của hỗn số là

51

; 48

60

; 125

131

; 50

113

; 4

9

; 2 5

Giải:

a ;

10

5 2 10

225 4

9 = =

100

26 2 100

226 50

113 = =

1000

48 1 1000

1048 500

524 125

1000

425 1 1000

1425 250

Dạng 3: Các bài toán về so sánh phân số không sử dụng phương pháp qui

g

3

10 và

4 13

Giải:

a

4141

3737 101

41

101 37

101 : 3737 4141

10000

2000 5000

2000 5

1000

2 1000

14 < (QT1) 1-

13

12 12

9 > (QT2)

6

7 6

9 > (QT2) Vậy

6

7 5

9

; 5

2 3 5

10 = ;

4

1 3 4

13 =

4

1 3 3

1

3 > Vậy

4

13 3

1 =

12

4 3

1 = 12

4 12

5 2

11

; 4

17

; 3

7

; 4

10

; 7 4

Xếp thứ tự:

4

17

; 3

11

; 4

10

; 3

7

; 6

5

; 7 4

Chương 4: Một số phương pháp và thủ thuật nhận dạng

các bài toán về phân số

4.1.6 Phương pháp giảng giải minh hoạ

Đó là 6 phương pháp thường được sử dụng để dạy cấu tạo, khái niệm, so sánh phân số cũng như dạy những bài toán dạng đó Hiện nay các phương tiện phục vụ cho việc dạy học toán phân số còn nhiều hạn chế Do vậy việc giáo viên chọn phư-ơng pháp nào cho phù hợp với nội dung bài, với điều kiện thực tế, với trình độ học sinh là vô cùng quan trọng

Theo tôi hiện nay ở một góc độ nào đó phương pháp trực quan đã phát huy ưu điểm của nó trong dạy học toán cũng như trong dạy học phân số Khi học sinh đã

có kiến thức biến tượng toán học mới ta cần sử dụng phương pháp luyện tập để khắc sâu kiến thức rèn kĩ năng Phương pháp tổng hợp - phân tích giúp học sinh tìm kế hoạch giải một bài toán Phương pháp gợi mở vấn đáp, gieo vấn đề đưa học

sinh đứng trước một bài toán cần tìm hướng giải quyết (một bài tập cần tìm đáp

số) Các em sẽ phân tích tổng hợp từ các dấu hiệu quen thuộc tổng hợp lại để được

kết quả Những lí luận trên cần được thực tế hoá đưa đến học sinh qua những bài tập để làm được điều có cần có sự lựa chọn phương pháp nội dung phù hợp với học sinh, với điều kiện giảng dạy hiện nay Từng bước nâng cao chất lượng đại trà

và bồi dưỡng những học sinh có khả năng, tố chất (Bồi dưỡng học sinh giỏi)

4.2 Một số phương pháp cụ thể, những thủ thuật nhận dạng để giải các bài toán về cấu tạo, so sánh phân số

4.2.1 Các bài toán về cấu tạo phân số đa về dạng toán điển hình

- Một số bài toán về cấu tạo phân số mà khi giải bài toán đó thực chất là giải các bài toán

- Tìm hai số khi biết tổng và tỉ số

- Tìm hai số khi biết hiệu và tỉ số

- Trước khi thực hiện giải bài toán đến người giải toán cần phân tích, thực

hiện các bước trung gian để chuyển bài toán có “hình thức phân số” sáng cốt lõi

toán học là giải bài toán điển hình

Ví dụ:

Cho một phân số

3

17 Hỏi phải bớt tử số bao nhiêu đơn vị và thêm vào mẫu

bấy nhiêu đơn vị thì đợc phân số

3

1 Nhận xét:

Tìm số a sao cho

3

1 3

17 = +

) 17 (

17 đi bao nhiêu đơn vị và thêm vào mẫu của nó

đi bấy nhiêu đơn vị thì tổng tử số và mẫu số của chúng không thay đổi luôn là: 17 + 3 = 20

Vậy theo bài ra ta có sơ đồ sau:

Cho phân số

21

23 Hỏi phải bớt ở tử số và mẫu số đi bao nhiêu đơn vị để đợc

một phân số mới có giá trị bằng

3

5 Phân tích nhận xét Giả sử có 2 số A và B thì A - B = (A-C) - (B - C) có nghĩa là khi cùng bớt ở số bị trừ và số trừ đi cùng một số thì hiệu quả chúng không thay đổi Đưa A, B về dạng một phân số

33 đi cùng một số thì hiệu giữa

chúng không thay đổi: 33 – 21 = 12 Bài toán trở thành tìm 2 số (tử số, mẫu) biết

* Ngoài ra các bài toán dạng này còn có thể có cách giải khác; sử dụng bài

toán tỉ lệ thuận (bài toán 4, bài toán 5- trang 9, 10)

4.2 Một số thủ thuật nhận dạng, các phân số để giải các bài toán về so sánh cácphân số

Các bài toán về so sánh phân số có rất nhiều dạng và dù ở dạng nào thì bằng cách quy đồng mẫu số các phân số ta luôn so sánh được giá trị các phân số Song trong phạm vi bài viết này tôi xin đề cập một vài thủ thuật nhận dạng từ đó đưa ra phương pháp áp dụng giải bài toán so sánh phân số nhanh nhất và không quy đồng

mẫu số (Yêu cầu dành cho học sinh giỏi) Giải những bài toán dạng này ngoài việc

rèn cho học sinh kĩ năng mà còn bồi dưỡng tư duy, sáng tạo toán học, năng lực, nhân cách mỗi học sinh, giúp các em học tập các lớp trên tốt hơn

4.2.1 Những bài toán so sánh phân số qua đại lượng trung gian:

1 2

1 2000

1999 <

Đối với những phân số này đều là những phân số nhỏ một (1999 < 2002,

2000 < 2001) Khi so sánh tử số và mẫu số trong cùng một phân số nhưng chưa tìm

ra yếu tố, dấu hiệu so sánh Ta nghĩ đến việc so sánh tử số, mẫu số của cả hai phân

số Ví dụ so sánh tử số 1 với tử số 2 mẫu số 1 với mẫu số 2…

* Từ bài toán này bạn có thể dùng cho bất kì một phân số nào, từ đó trừ đi hoặc cộng thêm ở tử số và ngược lại cộng thêm hoặc trừ đi ở mẫu số được một cặp phân số cần so sánh

4.2.1 Những bài toán về so sánh phân số bằng cách sử dụng phần bù, phần phụ:

Đối với những bài toán về so sánh phân số việc tìm ra những dấu hiệu qua việc so sánh giữa các yếu tố tử số với mẫu số trong cùng một phân số, so sánh tử

số, mẫu số phân số này với tử số và mẫu số phân số kia là hết sức quan trọng Từ

11 + = Do:

25

6

17 6 > (QT2) 1

25

6 25

Có

399

102 1 399

501 − = Do:

110

102 399

102 <

110

102 1 110

212 − = Nên:

110

102 399

501 < (T.T3)

d) Giải tương tự (3)

* Các cặp phân số có dấu hiệu như thế nào thì áp dụng cách so sánh thông qua phần bù hay phần phụ?

- Nếu cả hai phân số đều nhỏ hơn 1 ( hoặc đều lớn hơn 1) và hiệu quả mẫu số

và tử số (hoặc hiệu quả giữa tử số và mẫu số) cảu hai phân số ấy đều bằng nhau thì

sử dụng cách so sánh phần bù đối với cặp phân số nhỏ hơn 1, sử dụng cách so sánh phần phụ đối với cặp phân số lớn hơn 1

* Nguyên tắc tổng quát để ra đề đối với những phân số dạng trên:

4.2.3 Những bài toán về só sánh phân số bằng cách đưa về hỗn số (tách phần nguyên)

* Những cặp phân số như thế nào thì chọn cách so sánh bằng cách đưa về hỗn số?

- Những cặp phân số có tử số lớn hơn mẫu số đồng thời hiệu giữa tử số và

mẫu số lớn hơn mẫu số (nghĩa là phần nguyên lớn hơn 1)

Ví dụ 6: So sánh các cặp phân số sau bằng cách nhanh nhất:

* Những cặp phân số dạng này khi đưa về hỗn số trường hợp các phần nguyên bằng nhau lúc này việc so sánh phần phân số lại đưa về các dạng đã để cập

1001 171 623

171

623623 171171

- Những bài toán dạng này đã theo một quy tắc nhất định có:

abab

ab×101 = abc x 1001 = abc abc

abcx10101=abab

4.3 Thủ thuật tìm hướng giải các bài toán chia phần:

* Đây là những bài toán chia phần quen thuộc để giải được những bài toán kiểu này ta cần ta chỉ cần tìm ra đề toán từ đó đi người lại có cách giải

- Những bài toán dạng chia một số vật cụ thể thành một số phần nhất định sao

cho số lần cắt là ít nhất ( dạng bài 3 trang 7)

- ở dạng toán này ngời ra đề thường chọn một số vật cụ thể thực tế cần chia

(Ví dụ: Cái bánh, quả cam, …) Số lượng chọn thường là các số nguyên tố: Như 5,

7, 9, 11, … Sau đó chọn một cặp số có tổng bằng: Số lượng trên sao cho các số là nhỏ nhất Ví dụ: 3 + 2 = 5; 4 + 3 = 7; 5 + 4 = 9; 5 + 6 = 11; …từ đó mới định ra số người cần chia bằng cách nhân 2 số đã chọn Ví dụ: 3 × 2 = 6; 4 × 3 = 12, … Cuối cùng định số phần chia ít nhất cho một yếu tốt phải chia

Ví dụ 8: Có 11 cái bánh cần chia đều cho 30 người Hỏi phải cắt thế nào để

mỗi cái bánh không cắt quá 6 lần

Giải Lấy 5 cái bánh, mỗi cái cắt thành 6 phần bằng nhau 6 cái bánh còn lại

mỗi cái cắt thành 5 phần bằng nhau Chia mỗi ngời

5

1 và

6

1 cái bánh

4.4 Sử dụng phương pháp dùng sơ đồ đoạn thẳng kết hợp với tính

ng-ược từ cuối trong giải các bài toán về phân số:

* Những bài toán đa ra một số lượng của một yếu tố thực tế (quả cam, quả táo, hòn bi, số ngời, …) Sau một số lần chia còn lại một số lượng nhất định, yêu cầu tính số lượng ban đầu

Từ số lượng còn lại người giải toán dựa vào điều kiện của bài toán lần lượt

đi từ cuối để tìm ra số lượng ban đầu (bước làm này là tính ngược từ cuối) Để dễ diễn giải và minh hoạ cho học sinh giáo viên thường dùng sơ đồ đoạn thẳng để minh hoạ

Ví dụ 9: (bài 5 trang 18 “Vui học toán 5”)

Bà nội có một số cam

Chia đều làm bốn, tặng Lan một phần

Số cam còn lại đem phân

Ra đều ba phần, lấy một cho Tâm

Số cam còn lại tặng Lâm

Lâm chia đôi để biếu Ông một phần

Bổ ra một quả Lâm ăn Còn thừa hai quả dành phần cho Nhung

Đố các bạn nhỏ tính cùng

Số cam Bà đã chia chung cả nhà?

* Phân tích: Bà có một số cam chia làm bốn Lan nhận

2

= số cam còn

4

1 số cam Lâm ăn 1 quả còn phần Nhung 2 quả

Giải: Theo đề bài ra ta có sơ đồ: